Как найти глубину погружения тела формула

На лесосплавных
предприятиях лесной промышленности
до­вольно часто приходится встречаться
с плавающими бревнами, бонами, пучками,
плотами, сплоточными машинами, патруль­ными
судами, буксирными катерами и др. Поэтому
важно знать законы плавания тел, уметь
определить их остойчивое и нео­стойчивое
положение на вод? при воздействии на
них грузов и других внешних сил.

Закон
Архимеда о силе, действующей на погруженное
в воду тело, был сформулирован Архимедом
за 250 лет до н. э. На ос­нове закона
Архимеда были в последующем разработаны
во­просы теории корабля, изложенные
в трудах Эйлера, С. О. Ма­карова и А. Н.
Крылова. Закон Архимеда формулируется
следующим обра­зом: на погруженное в
жидкость тело действует выталкивающая
сила, равная весу жидкости, вытесненной
этим телом. Для доказательства этого
положения рассмотрим действующие на
погруженное в жидкость тело А
(рис.
20, а)
силы:
давление жидкости на тело сверху Р\
давление
жидкости на тело снизу Р₂;

давление
жидкости на боковые стороны тела Р_п.

Так
как на боковые стороны действуют равные,
но противо­положно направленные силы,
то равнодействующая их равна нулю. Сила
веса G
погруженного
тела А
направлена
вниз

Давление
жидкости на тело А
сверху
будет Pi
= pgHiQ.

Давление
жидкости на тело снизу P₂=pgH₂Q.
Суммарное
давление жидкости на погруженное тело,
или вы­талкивающая сила, будет оавна
оазности сил Pi
и Р%,
а
именно:

(106)

где Н
—
высота тела, м; Q
— площадь верхней или нижней грани
тела, м²;
hi
—
глубина погружения в жидкость верхней
грани тела, м; Я₂
— глубина погружения в жидкость нижней
грани тела, м.

Так
как Ни
представляет
собой объем V
погруженного
тела, то выталкивающая си»°

(107)

Следовательно,
подъемная, или выталкивающая, сила,
дей­ствующая на погруженное в жидкость
тело, равна весу жидкости, вытесненной
данным телом.

Величина выталкивающей
силы не зависит от глубины по­гружения
плавающего тела и будет постоянной при
погружении тела на различные глубины.
Закон Архимеда можно применять лишь
для тел, плавающих на поверхности
жидкости, точнее для погруженной в
жидкость части Плавающего тела, на
которую действует гидростатическое
давление.

10) Силы давления жидкости на плоские поверхности. Определение точки приложения.

Давление жидкости
на плоскую горизонтальную поверхность.
Гидростатический парадокс

Имеем
сосуд (рис. 12, а) с глубиной воды h.
Давление
жидкости в какой-либо точке сосуда
зависит от глубины погру­жения этой
точки. Если взять точки А,
В и С, то
давления в них будут соответственно
равны

Сила
гидростатического давления на
горизонтальную пло­щадку (Ос

Сила гидростатического
давления на все дно сосуда площа­дью
и может быть определена по Аоомуле —

(67)

Следовательно,
суммарная сила давления жидкости на
гори­зонтальную поверхность равна
весу столба жидкости/ располо­женной
над рассматриваемой поверхностью.

На рис.
12, б
изображены
три сосуда различной формы. Пло­щадь
дна Q
всех трех сосудов одинакова. Все сосуды
напол­нены однородной жидкостью на
глубину Н.
На
рис. 12, б
Н=H1+H₂.
Гидростатическое
давление на дно во всех сосудах будет
одинаковым и равным p
= pgH.

Суммарная
сила гидростатического давления на-
дно любого из трех показанных на рис.
12, б
сосудов
будет также одинако­вой и равной P
= pxQ
= pgHQ.
Спрашивается,
откуда в сосуде I
берется
дополнительная сила по сравнению с
сосудом // и куда пропадает избыток веса
жидкости в сосуде /// по сравнению с
сосудом II.
Нет ли здесь противоречия с законами
физики? Законы гидравлики утверждают,
что давление жидко­сти не зависит от
формы сосуда, а зависит от

глубины
погружения площади-и ее размеров. В этом
и заключается гидростатический парадокс,
который мо­жет быть объяснен особым
свойством жидкости передавать внешнее
давление одинаковой величины по всем
направлениям (закон Паскаля). Например,
на дно сосуда /// действует сум­марная
сила гидростатического давления P
= pgHQ.
Что
ка­сается жидкости, находящейся в
объемах (АВС)Втл
(А’В’С’)В’, то
ее вес воспринимается наклонными
стенками, а не дном со­суда. Безусловно,
если сосуд /// будет стоять на столе, то
стол воспринимает вес всей жидкости,
находящейся в сосуде. Сле­довательно,
никакого противоречия между законами
физики и гидравлики не существует.
Суммарная сила гидростатического
давления на дно сосуда зависит от
плотности жидкости, глу­бины наполнения
сосуда и величины площади его дна и не
за­висит от формы сосуда. тогда

(69)

где jq
t/dco
— статический момент площади относительно
оси х.
Как
известно, статический момент площади
равен произведе­нию площади на
расстояние у₀
от
центра его тяжести до рас­сматриваемой
оси. Следовательно,

На рис.
13 видно, что y₀sna
= h₀.
Тогда,
подставляя значе­ние статического
момента в уравнение (69) и заменяя через
h₀
получим

‘ (70)

При
ро—ра
на
щит будет действовать слева атмосферное
давление и справа давление со стороны
жидкости, направлен­ные навстречу
друг к другу. Поэтому формула (70) для
этого случая будет иметь вид

(71)

Из
уравнения (71) видно, что суммарная сила
давления жидкости на плоскую поверхность
равна произведению пло­щади смоченной
фигуры на давление в центре ее тяжести.
Нетрудно видеть также, что сила Р
состоит
из двух слагаемых! внешней силы суммарного
гидростатического давления рой и силы
избыточного давления pg/ioQ.
Первая сила приложена в центре тяжести
фигуры. Точка приложения второй силы
(центр давления) располагается ниже
центра тяжести.

3. Определение
местоположения центра давления

Центром давления
называют точку приложения равнодей­ствующей
избыточного гидростатического давления.
Для уста­новления размеров щитов,
затворов и других частей» сооруже­ний
определяют не только величину, но и
точку приложения суммарной силы
гидростатического давления.

Для
определения центра давления Ц. Д.
обратимся вновь к рис. 13 и воспользуемся
известной теоремой теоретической
механики о том, что момент равнодействующей
силы равен сумме моментов составляющих
сил. На основании указанной теоремы
напишем уравнение моментов относительно
оси х,
по­лагая,
что координата центра давления равна
г/_с-Тогда

(72)

Из.рисунка
видно,
что

Равнодействующая
сила

(73) В свою очередь

Но
интеграл §_u&<s>y*
=
I_x
—
момент инерции смоченной пло­щади
относительно оси х.

Тогда
pgsina^Q^^pgsin/,,
или

(74) и ордината центра
давления

(75) Момент инерции
/_ж
может быть определен по формуле

(76)

гДе /о — момент
инерции смоченной фигуры, вычисленный
от­носительно оси, проходящей через
центр ее тяжести.

Подставим значение
/* в уравнение (75). После несложных
преобразований окончательно получим

(77)

Отсюда
следует, что
центр
давления всегда располагается ниже
центра тяжести фигуры на величину
/о/Йг/о, в случае, когда щит расположен
горизонтально, его центр давления
сов­падает с центром тяжести.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Приветствую вас, глубокоуважаемые!

Что если я скажу, что глубина, что бы вы под ней не подразумевали, является одной из самых сложных для точного измерения величин? На какой глубине плывет подводная лодка? Какая глубина марианской впадины? На какой глубине лежит Титаник? Если вам не повезет с параметрами, то на первом километре глубины, вы можете ошибиться примерно на 30-40 метров и на 200-300 метров на 6-ом километре, используя датчик давления. Если вы предпочитаете эхолот, то при неудачном стечении обстоятельств, которые вы не учли, ошибка на первом километре составит метров 100, а на 6-ом — целый километр. Конечно, можно еще использовать длинную веревку… Но там, как известно, свои подводные камни.

Как такое могло случиться и как делать правильно я расскажу под катом. В довесок к статье есть Open-source библиотека на C#/C/Rust/Matlab/Octave/JavaScript и пара онлайн-калькуляторов для демонстрации.

Статья будет полезна разработчикам подводной техники, число которых за последние лет пять выросло в разы.

Итак, для начала сразу оговоримся, что глубиной часто называют две разных величины:

• и расстояние по вертикали от поверхности воды до точки, где эту глубину измеряют,
• и расстояние по вертикали от поверхности воды до дна.

В первом случае — это глубина погружения, а во втором — глубина места.

Есть ровно два с половиной фундаментальных способа изменения этих величин, как я уже упомянул:

• по гидростатическому давлению столба жидкости, т.е. при помощи датчика давления;
• по времени распространения звука — эхолотом
• по длине выпущенной за борт веревки =)

С веревкой все понятно, а с остальными двумя давайте разберемся. Сегодня разберем:

Способ 1 — По давлению столба жидкости

Все мы знаем из школьного курса физики формулу гидростатического давления столба жидкости:

Из нее легко посчитать высоту столба жидкости (т.е. глубину в нашем случае), не забывая про атмосферное давление

:

На «100» умножаем, если хотим получить глубину в метрах, измеряем давление в миллибарах, плотность воды в кг/м^3, а ускорение свободного падения в м/c^2.

Давайте абстрагируемся от точности конкретных приборов, пусть даже они у нас суперточные.
Проблема в том, что никакой член формулы не является константой. Даже атмосферное давление может меняться в течение часа.

Как влияет атмосферное давление?

Давление у поверхности моря может варьироваться в пределах 641-816 мм. рт. ст., или, тоже самое в миллибарах: от 855 до 1087. Если просто взять за

стандартное значение в 1013.25 мБар, то в зависимости от погоды уже можно получить ошибку в 40-50 сантиметров, причем, как в «плюс», так и в «минус».

Что с ускорением свободного падения?

Боюсь показаться Кэпом, но все же напомню, что земля у нас

плоская

вращается, и за счет центробежной силы притягивает на экваторе слабее, чем на полюсах.

Если не крохоборничать и не учитывать гравитационные аномалии из-за разной плотности земных пород, гор, впадин, изменения скорости вращения земли от сброшенной земными деревьями листвы и перемещениями соков по их стволам, то нас вполне устроит стандартная зависимость ускорения свободного падения от георафической широты. Т.н WGS-84 Gravity formula.

Согласно этой формуле, ускорение свободного падения меняется от 9.7803 м/с2 на экваторе (0° градусов широты) до 9.8322 м/с2 на полюсах (90/-90° широты).

Допустим, мы возьмем стандартное значение ускорения свободного падения 9.80665 м/с2, на сколько мы ошибемся в худшем случае?

Это иллюстрируетя картинкой ниже. На ней синий график показывает ошибку определения глубины на экваторе, если мы будем использовать стандартное значение

, а оранжевый график — такую же ошибку на полюсах.

То есть, если мы подставим в формулу стандартное значение

и пойдем погружаться где-то ближе к экватору, то на 100 метрах ошибемся всего на 20-30 сантиметров, на километре — на 2,5-3 метра, а на 9-10 километрах (Бездна Челленжера, кстати, находится на 11° северной широты) ошибка будет уже 25-30 метров. Т.е. реальная глубина будет больше, чем та, которую мы измерим.

А как влияет плотность воды?

Самым нехорошим образом. Если два первых компонента погрешности учесть достаточно просто, да и вклад их весьма скромен, то с плотностью воды история более замысловатая.

Дело в том, что плотность воды в упрощенном случае есть функция температуры, давления и солености.

То есть мало измерять давление, атмосферное давление, учитывать географическую широту места. Нужно еще знать температуру и соленость воды.

Для определения плотности морской воды в (разумном) диапазоне условий на практике наиболее широко применяется формула из работы Чена и Миллеро (Да, ЮНЕСКО занимается еще и этим!)

Допустим, мы измерили и температуру и соленость, но остается сжимаемость воды — изменение плотности с давлением (т.е. с глубиной), и чтобы определить высоту столба жидкости нужно просуммировать высоты элементарных столбиков, на которых давление изменяется на какую-то малую величину

. В целом это конечно интеграл, но чтобы сразу привнести некое практическое значение, запишем его так:

N — это число интервалов разбиения давления от

до измеренного

.

Плотность зависит от давления практически линейно, и считать такую сумму из-за учета одной лишь сжимаемости смысла нет, но я привел здесь эту формулу не просто так.

Сам факт, что плотность зависит от трех параметров — это еще пол беды. Сложность кроется в том, что все эти параметры могут сильно меняться с глубиной. В этом случае принято говорить о профиле температуры и солености. Вот так, к примеру, выглядит профиль из Арктики:

Вот так с северной части тихого океана:

А вот так, для сравнения — с юга атлантики:

Например, если представить, что мы погружается в северной части тихого океана (39°СШ,152°ВД) учитываем атмосферное давление и географическую широту места и сжимаемость воды, а наш датчик давления показывает 100 Бар (~1000 м), а температуру и соленость мы берем в точке измерения, но не учитываем профиль, мы ошибемся с глубиной на 2 метра.

Я специально запилил онлайн-калькулятор и добавил три тестовых профиля (их можно переключать кнопками), чтобы каждый мог сам попробовать.

Если теперь просто переключить профиль на «южноатлантический» и попробовать пересчитать, то мы увидим, что разница выросла до 6-и метров. Напомню: все, даже сжимаемость воды мы уже учли! Ошибка связана только с наличием профиля — слоев разной температуры и солености в толще воды.

Естественно, все меняется и со сменой времен года и со сменой времени суток. Летом (в северном полушарии, зимой — в южном) верхний слой прогревается, а зимой — остывает. Шторма перемешивают воду, дожди смывают грязь с суши и реками уносят в моря, таят снега и ледники.

Это я к тому, что нельзя один раз перемерить и выбить в граните все профили температуры и солености для всех морей и океанов — все течет, все меняется. И если вдруг вы собрались погружаться на ощутимые глубины и у вас нет температурного профиля — я не поверю в ваш рекорд )

Матчасть

Как я упомянул в начале статьи, все необходимое для расчета глубины я собрал в библиотеку и положил на GitHub.

Она в том числе переведена на JavaScript, а в качестве интерактивного примера ее использования привожу онлайн-калькулятор.

P.S.

Благодарю за внимание, буду искренне благодарен за конструктивную критику, сообщения об ошибках, пожелания и предложения.

В следующей статье разберу второй способ определения глубины — по эхолокации.

Рассказать в следующей статье про измерение эхолотом?

Проголосовали 137 пользователей.

Воздержались 18 пользователей.

Чтобы определить глубину погружения водолаза, воспользуемся формулой для вычисления гидростатического давления:

Р = ρ * g * h, где Р — заданное гидростатическое давление на иллюминатор (Р = 200 кПа = 200 * 10³ Па), ρ — плотность морской воды (табличное значение ρ = 1030 кг/м³), g — ускорение свободного падения (const, g = 9,81 м/с²), h — глубина погружения.

h = Р / (ρ * g).

Выполним расчет:

h = 200 * 10³ / (1030 * 9,81) = 19,8 м.

Ответ: Глубина погружения водолаза составит 19,8 метров.