Как найти глубину погружения в физике формула

Приветствую вас, глубокоуважаемые!

Что если я скажу, что глубина, что бы вы под ней не подразумевали, является одной из самых сложных для точного измерения величин? На какой глубине плывет подводная лодка? Какая глубина марианской впадины? На какой глубине лежит Титаник? Если вам не повезет с параметрами, то на первом километре глубины, вы можете ошибиться примерно на 30-40 метров и на 200-300 метров на 6-ом километре, используя датчик давления. Если вы предпочитаете эхолот, то при неудачном стечении обстоятельств, которые вы не учли, ошибка на первом километре составит метров 100, а на 6-ом — целый километр. Конечно, можно еще использовать длинную веревку… Но там, как известно, свои подводные камни.

Как такое могло случиться и как делать правильно я расскажу под катом. В довесок к статье есть Open-source библиотека на C#/C/Rust/Matlab/Octave/JavaScript и пара онлайн-калькуляторов для демонстрации.

Статья будет полезна разработчикам подводной техники, число которых за последние лет пять выросло в разы.

Итак, для начала сразу оговоримся, что глубиной часто называют две разных величины:

• и расстояние по вертикали от поверхности воды до точки, где эту глубину измеряют,
• и расстояние по вертикали от поверхности воды до дна.

В первом случае — это глубина погружения, а во втором — глубина места.

Есть ровно два с половиной фундаментальных способа изменения этих величин, как я уже упомянул:

• по гидростатическому давлению столба жидкости, т.е. при помощи датчика давления;
• по времени распространения звука — эхолотом
• по длине выпущенной за борт веревки =)

С веревкой все понятно, а с остальными двумя давайте разберемся. Сегодня разберем:

Способ 1 — По давлению столба жидкости

Все мы знаем из школьного курса физики формулу гидростатического давления столба жидкости:

Из нее легко посчитать высоту столба жидкости (т.е. глубину в нашем случае), не забывая про атмосферное давление

:

На «100» умножаем, если хотим получить глубину в метрах, измеряем давление в миллибарах, плотность воды в кг/м^3, а ускорение свободного падения в м/c^2.

Давайте абстрагируемся от точности конкретных приборов, пусть даже они у нас суперточные.
Проблема в том, что никакой член формулы не является константой. Даже атмосферное давление может меняться в течение часа.

Как влияет атмосферное давление?

Давление у поверхности моря может варьироваться в пределах 641-816 мм. рт. ст., или, тоже самое в миллибарах: от 855 до 1087. Если просто взять за

стандартное значение в 1013.25 мБар, то в зависимости от погоды уже можно получить ошибку в 40-50 сантиметров, причем, как в «плюс», так и в «минус».

Что с ускорением свободного падения?

Боюсь показаться Кэпом, но все же напомню, что земля у нас

плоская

вращается, и за счет центробежной силы притягивает на экваторе слабее, чем на полюсах.

Если не крохоборничать и не учитывать гравитационные аномалии из-за разной плотности земных пород, гор, впадин, изменения скорости вращения земли от сброшенной земными деревьями листвы и перемещениями соков по их стволам, то нас вполне устроит стандартная зависимость ускорения свободного падения от георафической широты. Т.н WGS-84 Gravity formula.

Согласно этой формуле, ускорение свободного падения меняется от 9.7803 м/с2 на экваторе (0° градусов широты) до 9.8322 м/с2 на полюсах (90/-90° широты).

Допустим, мы возьмем стандартное значение ускорения свободного падения 9.80665 м/с2, на сколько мы ошибемся в худшем случае?

Это иллюстрируетя картинкой ниже. На ней синий график показывает ошибку определения глубины на экваторе, если мы будем использовать стандартное значение

, а оранжевый график — такую же ошибку на полюсах.

То есть, если мы подставим в формулу стандартное значение

и пойдем погружаться где-то ближе к экватору, то на 100 метрах ошибемся всего на 20-30 сантиметров, на километре — на 2,5-3 метра, а на 9-10 километрах (Бездна Челленжера, кстати, находится на 11° северной широты) ошибка будет уже 25-30 метров. Т.е. реальная глубина будет больше, чем та, которую мы измерим.

А как влияет плотность воды?

Самым нехорошим образом. Если два первых компонента погрешности учесть достаточно просто, да и вклад их весьма скромен, то с плотностью воды история более замысловатая.

Дело в том, что плотность воды в упрощенном случае есть функция температуры, давления и солености.

То есть мало измерять давление, атмосферное давление, учитывать географическую широту места. Нужно еще знать температуру и соленость воды.

Для определения плотности морской воды в (разумном) диапазоне условий на практике наиболее широко применяется формула из работы Чена и Миллеро (Да, ЮНЕСКО занимается еще и этим!)

Допустим, мы измерили и температуру и соленость, но остается сжимаемость воды — изменение плотности с давлением (т.е. с глубиной), и чтобы определить высоту столба жидкости нужно просуммировать высоты элементарных столбиков, на которых давление изменяется на какую-то малую величину

. В целом это конечно интеграл, но чтобы сразу привнести некое практическое значение, запишем его так:

N — это число интервалов разбиения давления от

до измеренного

.

Плотность зависит от давления практически линейно, и считать такую сумму из-за учета одной лишь сжимаемости смысла нет, но я привел здесь эту формулу не просто так.

Сам факт, что плотность зависит от трех параметров — это еще пол беды. Сложность кроется в том, что все эти параметры могут сильно меняться с глубиной. В этом случае принято говорить о профиле температуры и солености. Вот так, к примеру, выглядит профиль из Арктики:

Вот так с северной части тихого океана:

А вот так, для сравнения — с юга атлантики:

Например, если представить, что мы погружается в северной части тихого океана (39°СШ,152°ВД) учитываем атмосферное давление и географическую широту места и сжимаемость воды, а наш датчик давления показывает 100 Бар (~1000 м), а температуру и соленость мы берем в точке измерения, но не учитываем профиль, мы ошибемся с глубиной на 2 метра.

Я специально запилил онлайн-калькулятор и добавил три тестовых профиля (их можно переключать кнопками), чтобы каждый мог сам попробовать.

Если теперь просто переключить профиль на «южноатлантический» и попробовать пересчитать, то мы увидим, что разница выросла до 6-и метров. Напомню: все, даже сжимаемость воды мы уже учли! Ошибка связана только с наличием профиля — слоев разной температуры и солености в толще воды.

Естественно, все меняется и со сменой времен года и со сменой времени суток. Летом (в северном полушарии, зимой — в южном) верхний слой прогревается, а зимой — остывает. Шторма перемешивают воду, дожди смывают грязь с суши и реками уносят в моря, таят снега и ледники.

Это я к тому, что нельзя один раз перемерить и выбить в граните все профили температуры и солености для всех морей и океанов — все течет, все меняется. И если вдруг вы собрались погружаться на ощутимые глубины и у вас нет температурного профиля — я не поверю в ваш рекорд )

Матчасть

Как я упомянул в начале статьи, все необходимое для расчета глубины я собрал в библиотеку и положил на GitHub.

Она в том числе переведена на JavaScript, а в качестве интерактивного примера ее использования привожу онлайн-калькулятор.

P.S.

Благодарю за внимание, буду искренне благодарен за конструктивную критику, сообщения об ошибках, пожелания и предложения.

В следующей статье разберу второй способ определения глубины — по эхолокации.

Рассказать в следующей статье про измерение эхолотом?

Проголосовали 137 пользователей.

Воздержались 18 пользователей.

Чтобы определить глубину погружения водолаза, воспользуемся формулой для вычисления гидростатического давления:

Р = ρ * g * h, где Р — заданное гидростатическое давление на иллюминатор (Р = 200 кПа = 200 * 10³ Па), ρ — плотность морской воды (табличное значение ρ = 1030 кг/м³), g — ускорение свободного падения (const, g = 9,81 м/с²), h — глубина погружения.

h = Р / (ρ * g).

Выполним расчет:

h = 200 * 10³ / (1030 * 9,81) = 19,8 м.

Ответ: Глубина погружения водолаза составит 19,8 метров.

Движение тела в жидкости

Основные положения
гидроаэромеханики

Жидкости
являются телами с характерным ближайшим
упорядочением структурной взаимосвязи
молекул. Расстояние между молекулами
жидкости мало, поэтому силы взаимодействия
значительны, что приводит к малой
сжимаемости жидкостей от действия
внешних сил и вызывает появление
значительных сил межмолекулярного
отталкивания.

Молекулы жидкости
колеблются около положения равновесия,
однако эти положения не являются
постоянными. По истечении некоторого
времени, называемого «временем оседлой
жизни», молекула скачком переходит в
новое положение равновесия, равное
среднему расстоянию между соседними
молекулами. Например, для воды это
расстояние составляет:

метра.

Подвижность
молекул объясняет малую вязкость
жидкости. С понижением температуры и
давления подвижность молекул аморфных
тел уменьшается и тела становятся
твердыми.

Силы противодействия
внешней силе, сжимающей жидкость,
определяют упругие свойства жидкости.
Особенностью упругих сил жидкости (сил
давления) является то, что, будучи
векторами, они не имеют определенной
точки приложения. Для характеристики
распределения сил давления вдоль
поверхности введена скалярная
характеристика – давление. Величина
давления измеряется силой, действующей
в направлении нормали на единицу
поверхности:

Паскалем
было
определено, что жидкость или газ передают
производимое на них давление по всем
направлениям одинаково.

В сообщающихся
сосудах, например, давление жидкости
на одной горизонтальной плоскости будет
одинаковым. При этом соотношение высот
столбов установившейся жидкости в
сообщающихся сосудах обратно соотношению
плотностей этих жидкостей:

Давление
в слое жидкости образованное от веса
самой вышерасположенной жидкости
называется гидростатическим и определяется
по формуле:

или, преобразовав,

Разность
гидростатических давлений на верхнюю
и нижнюю поверхности тела обуславливает
появление выталкивающей силы, действующей
со стороны жидкости на погруженное в
нее тело и равной:

где d_ж
– удельный вес жидкости,

V_т
– объем погруженной части тела.

Движущаяся жидкость
может образовать два вида своего течения
– неразрывное (ламинарное) и разрывное
(турбулентное). Если соотношение скоростей
струй жидкости в потоке остается
постоянным по всему течению, то такое
называется ламинарным в противном
случае -течение турбулентное. Вязкость
— это проявление взаимодействие слоев
жидкости. Силы вязкости направлены
касательно к слоям жидкости. Вязкость
называют еще и внутренним трением
жидкости.

Сила вязкости
изменяется от изменения скорости
жидкости, отнесенной к длине в направлении,
перпендикулярном скорости течения:

где
– коэффициент внутреннего трения или
коэффициент динамической вязкости с
размерностью [кг/м·с];

изменяется в
широких пределах.

Например: для воды
— 0,105 10^-2,

для смазочных
масел – 66·10^-2,

для глицерина –
139, 3·10^-2.

Это различие
объясняется различием связей молекул
— чем сложнее молекула. Тем крепче связи,
тем больше вязкость.

Объем
протекающей
жидкости в выделенном ее сечении (S)
радиуса R
за 1 секунду был определен в 18 веке
Пуазейлем:

.

В случае движения
тела в жидкости с постоянной скоростью,
сила трения со стороны жидкости,
обладающей определенной вязкостью,
находится по формуле Стокса:

где R
– радиус тела, V
– скорость движения.

Определителем
характера движения жидкости (ламинарного
или турбулентного) служит коэффициент,
называемый числом Рейнольдса
(Re):

где V
– скорость течения; D
– диаметр сечения объема жидкости.

Например, если для
течения воды Re
> 2300, то в ней возникает турбулентное
движение, если Re
меньше – ламинарное.

Бернулли
было
установлено, что в стационарном потоке
жидкости полное давление, состоящее из
статистического (p),
динамического (ρ(V)²/2)
и гидростатистического (ρgh)
есть величина постоянная:

Движущаяся
жидкость, обладая кинетической энергией,
образует так называемую силу лобового
сопротивления:

;

S
– площадь поперечного сечения тела в
направлении перпендикулярном вектору
скорости движения потока (миделево
сечения).

Контрольные
вопросы по теории

1. Чем объясняется
   свойство текучести жидкости?

2. Что такое время
   оседлости молекул?

3. Что называется
   давлением жидкости?

4. Напишите формулу
   гидростатистического давления.

5. Сформулируйте
   закон Архимеда и напишите формулу.

6. Напишите формулу
   лобового сопротивления жидкости.

7. Напишите формулу
   Стокса величины вязкости жидкости.

8. В каком случае
   сила давления жидкости на стенку будет
   равно силе давления на дно сосуда?

9. Сформулируйте
   условия плавания тел.

10. Почему давление
    не векторная величина?

11. Напишите уравнение
    Бернулли для стационарного потока
    жидкости.

12. Дайте определение
    ламинарного и турбулентного течений
    жидкости.

13. Каков механизм
    подъемной силы крыла?

14. Сформулируйте
    закон Паскаля.

15. Каков принцип
    работы гидравлического пресса?

16. На поверхности
    воды в сосуде плавает лед. Изменится
    ли уровень воды, если лед растает?

17. Почему возникает
    выталкивающая сила в жидкостях и газе?

18. Как будут относиться
    высоты жидкостей различной плотности
    в сообщающихся сосудах?

19. Назовите основные
    механические свойства жидкости.

Российский
государственный университет физической
культуры,

спорта и туризма

Кафедра
естественно-научных дисциплин

Движение тела в
жидкости и газе

Вычисление глубины
погружения спортсмена при прыжках в
воду

РГР №2

по курсу физики

Вариант №43

Выполнил:

студент I
курса I
потока I
группы

Иванов И.И.

Преподаватель:

доцент (профессор)
кафедры ЕНД

Москва 2010 г.

Содержание:

1. Текст задания.

2. Алгоритм решения.

3. Иллюстрация.

4. Таблица исходных
   данных.

5. Таблица вычислений.

6. Таблица результатов.

1. Текст задания:

Спортсмен прыгает
в воду с вышки высотой Н=10
м.

Масса тела спортсмена
m.

Коэффициент
обтекаемости тела спортсмена при
погружении в воду C₂.

Коэффициент
обтекаемости тела спортсмена при
всплытии
C₁.

Плотность тела ρ.

Плотность воздуха
ρ₁=1,29
кг/м³.

Плотность воды
ρ₂=10³
кг/м³.

Коэффициент
вязкости воды j=0,105·10^-2
(Па·с).

Ускорение свободного
падения g=9,8
м/с².

Вычислить:

Глубину погружения
спортсмена в бассейне h₁.

Время погружения
t₂.

Время всплытия
t₃.

Время нахождения
спортсмена под водой t₄.

Величину инерционных
перегрузок при входе в воду n.

Импульс силы при
погружении в воду F·t.

Силу сопротивления
воздуха F₀.

Коэффициент
обтекания в воздухе C₁.

Построить:

График зависимости
глубины погружения h
от массы
тела m
по трём
точкам: m;
m-4;
m+4
(кг).

2. Алгоритм
решения:

2.1. Максимальная
глубина погружения определяется из
условия, что вся потенциальная энергия
тела П_АС
от уровня вышки до уровня погружения
затрачена на работу против силы
динамического (лобового) сопротивления
воды (F_ЛС),
гидростатической силы выталкивания
(силы Архимеда F_Ар)
и силы вязкости воды (F_В):

П_АС
= А_ЛС
+ А_Ар
+ А_В.

2.2. Сделаем допущение,
что скорость движения тела спортсмена
в воде снижается равнозамедленно под
действием всех приложенных сил, что
допускает расчёт силы динамического
(лобового) сопротивления с использованием
значения квадрата средней скорости
движения.

2.3. Коэффициент
обтекаемости и плотность тела спортсмена
на вдохе примем равными табличным
значениям.

а

Faрх

Fлс

Fв

mg

mg

Fлс

Погружение

Всплытие

H

h₁

Faрх

Графическая
интерпретация

условий задачи.

mg

F_В

а

4. Таблица исходных
данных

№	Параметр	Обозначение	Величина	Единица измерения (СИ)
1.	Масса тела	m	48	кг
2.	Высота вышки	Н	10	м
3.	Плотность тела	ρ	996	кг/м3
4.	Плотность воздуха	ρ1	1,29	кг/м3
5.	Плотность воды	ρ2	1000	кг/м3
6.	Коэффициент обтекаемости при погружении	C2	0,43	–
7.	Коэффициент обтекаемости при всплытии	C3	0,63	–
8.	Коэффициент вязкости воды	j	0,105·10-2	Па·с
9.	Ускорение свободного падения	g	9,8	м/с2
10.	Время движения до воды	t1	1,44	с
11.	Обхват грудной клетки	L	0,81	м
12.	Площадь сечения грудной клетки	S1	0,045	м2

5. Таблица
вычислений

Параметр	Формула	Вычисления	Результат
1. Движение тела в воздухе
1.1. Ускорение движения от А до В с учётом сопротивления воздуха			9,65 м/с2
1.2. Сила сопротивления воздуха F0			7,2 Н
1.3. Скорость входа тела в воду (конечная скорость движения тела в воздухе)	при		13,9 м/с
1.4. Коэффициент обтекаемости тела в воздухе C1. Силу сопротивления воздуха F0 запишем как силу динамического сопротивления движению тела в воздухе: , где – средняя скорость в воздухе			2,57
2. Движение тела при погружении
2.1. Среднее значение силы лобового сопротивления FЛС			934,65 Н
2.2. Сила вязкости воды FВ			0,0177 Н

Параметр	Формула	Вычисления	Резуль- тат
2.3. Сила Архимеда Fарх			472,3 Н
2.4. Глубину погружения h1 определим приравняв потенциальную энергию к алгебраической сумме работ сил сопротивления:			5,023 м
2.5. Время погружения t2 вычислим разделив глубину погружения h1 на среднюю скорость погружения			0,72 с
2.6. Инерционные перегрузки при вхождении в воду n с учётом ускорения торможения в воде:			1,97
2.7. Импульс силы при погружении			667,2 Н·с
3. Движение тела при всплытии
3.1. Ускорение при всплытии а3 найдём из уравнения: , т.к. FВ малó, то пренебрегаем, тогда:			0,0159 м/с2
3.2. Время всплытия t3 определим из формулы:			25,14 с
Параметр	Формула	Вычисления	Резуль- тат
3.3. Время нахождения под водой t4			25,86 с

6. Таблица
результатов

№	Параметр	Обозначение	Величина	Единица измерения (СИ)
1.	Сила сопротивления воздуха	F0	7,2	Н
2.	Коэффициент обтекания в воздухе	C1	2,57	–
3.	Глубина погружения	h1	5,023	м
4.	Время погружения	t2	0,72	с
5.	Время всплытия	t3	25,14	с
6.	Время нахождения под водой	t4	25,86	с
7.	Инерционные перегрузки	n	1,97
8.	Импульс силы при погружении	F·t	667,2	Н·с

Таблица вариантов
исходных данных РГР №2

	Параметры	Номер варианта
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1.	Масса тела, m (кг)	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60
2.	Высота вышки, Н (м)	10	10
3.	Плотность тела, ρ (кг/м3)	996	994
4.	Плотность воздуха, ρ1 (кг/м3)	1,29	1,29
5.	Плотность воды, ρ2(кг/м3)	1000	1000
6.	Коэффициент обтекаемости при погружении, C2(–)	0,40	0,41	0,42	0,43	0,44	0,45	0,46	0,47	0,48	0,49
7.	Коэффициент обтекаемости при всплытии, C1 (–)	0,60	0,61	0,62	0,63	0,64	0,65	0,66	0,67	0,68	0,69
8.	Коэффициент вязкости воды, j(Па·с)	0,105·10-2	0,105·10-2
9.	Ускорение свободного падения, g (м/с2)	9,8	9,8
10.	Время движения до воды, t1 (с)	1,44	1,44
11.	Обхват грудной клетки, L (м)	0,75	0,77	0,79	0,81	0,83	0,85	0,88	0,90	0,91	0,93
12.	Площадь сечения грудной клетки, S1 (м2)	0,045	0,045	0,053

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Механика. Изменение физических величин в процессах

В. З. Шапиро

В этом задании нужно определить, как меняются физические величины в различных ситуациях. Темы могут варьироваться по всем разделам механики.

1. Подвешенный на пружине груз совершает свободные вертикальные гармонические колебания. Пружину заменили на другую, жёсткость которой меньше, оставив массу груза и амплитуду колебаний неизменными. Как при этом изменятся частота свободных колебаний груза и его максимальная скорость?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения

1) увеличится

2) уменьшится

3) не изменится

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Частота свободных колебаний груза	Максимальная скорость груза

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле  Замена пружины на пружину с меньшей жёсткостью приведёт к росту периода. Так как то частота колебаний уменьшится. Максимальная скорость груза определяется из закона сохранения и превращения механической энергии.

Скорость уменьшится.

Ответ: 22.

Форма вопросов в заданиях может быть различной. Но правильные ответы базируются на умении определять, как изменятся одни физические величины при изменении других.

1. Искусственный спутник Земли перешёл с одной круговой орбиты на другую, на новой орбите скорость его движения меньше, чем на прежней. Как изменились при этом потенциальная энергия спутника в поле тяжести Земли и его период обращения вокруг Земли?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличилась

2) уменьшилась

3) не изменилась

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться. 

Потенциальная энергия	Период обращения спутника вокруг Земли

Эту задачу можно решить, используя простые рассуждения. Так как при переходе на другую орбиту скорость спутника уменьшилась, то его притяжение к Земле стало также меньше. Следовательно, он отдалился от поверхности Земли на большее расстояние. Радиус новой орбиты больше, поэтому потенциальная энергия увеличивается. Обращение вокруг Земли стало медленнее, поэтому период также возрастает.

Ответ: 11.

Секрет решения: Движение ИСЗ (искусственного спутника Земли) связано с притяжением Земли. В этой теме много сложных для запоминания формул. Выводы большинства этих формул основываются на знаниях закона всемирного тяготения и понятия центростремительной силы. Равенство силы всемирного тяготения и центростремительной силы позволяет упростить запоминание «тяжелых» формул.

3. На поверхности воды плавает брусок из древесины плотностью 500 кг/м³. Брусок заменили на другой брусок той же массы и с той же площадью основания, но изготовленный из древесины плотностью 700 кг/м³. Как при этом изменились глубина погружения бруска и действующая на него сила Архимеда?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличилась

2) уменьшилась

3) не изменилась

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Глубина погружения бруска	Сила Архимеда

Ключевым моментом в подобных задачах является равенство силы тяжести и силы Архимеда. При выполнении этого условия тела плавают на поверхности жидкости. Так как в обоих случаях масса не изменилась, то сила тяжести и сила Архимеда также не изменились.

Глубину погружения можно выразить из формулы для силы Архимеда.

Из последней формулы видно, что все физические величины остались без изменения. Поэтому глубина погружения не изменилась.

Ответ: 33.

Секрет решения: При рассмотрении задач на плавание тел надо приравнивать силу Архимеда и силу тяжести. Надо помнить, что в формуле для выталкивающей силы используется плотность жидкости (а не тела) и объем погруженной части тела (а не весь объем тела).