Как найти горизонтальную скорость в физике

Движение горизонтально брошенного тела:

Рассмотрим движение шара, движущегося прямолинейно по поверхности стола с высотой

При достаточно малом сопротивлении воздуха, которым можно пренебречь, тело будет двигаться в горизонтальном направлении равномерно со скоростью . Поэтому перемещение
в горизонтальном направлении в любой момент времени , или длина полета, определяется следующей формулой: 

Проекции скорости тела на оси и  определятся следующими соотношениями:

В вертикальном же направлении, двигаясь равноускоренно без начальной скорости, тело будет свободно падать с высоты . Следовательно, положение тела в вертикальном направлении после произвольного времени будет определяться формулой:

Из соотношений (1.21) и (1.22) уравнение траектории движения горизонтально брошенного тела на плоскости будет иметь следующий вид:

Выражение (1.24) является уравнением параболы. Значит, горизонтально брошенное тело будет двигаться по параболической линии. Время полета тела, брошенного горизонтально с высоты , определяется выражением:

В этом случае формула для расчета длины полета тела будет иметь вид:

Горизонтально брошенное тело, одновременно двигаясь в горизонтальном направлении равномерно и в вертикальном направлении равноускоренно, свободно падает. К концу движения (после истечения времени ) скорости в горизонтальном и вертикальном направлении будут  и соответственно. Таким образом, скорость тела при падении на землю определяется выражением:

или

Перемещение и траектория тела при криволинейном движении неравны между собой. Модуль вектора и направление движения горизонтально брошенного тела на протяжении движения меняются непрерывно.

Образец решения задачи:

Тело брошено горизонтально на высоте 35 м со скоростью 30м/с. Найти скорость тела при падении на землю.
Дано:

Найти:

Формула:

Решение:

Ответ: 40 м/c.

Движение тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту

Если материальная точка участвует одновременно в нескольких движениях, то такое движение называют сложным.

Примером сложного движения является движение под действием силы тяжести в том случае, если падающему телу сообщена начальная скорость, непараллельная вектору ускорения свободного падения.

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально со скоростью Выберем систему координат так, что ее начало находится на поверхности Земли, направив ось Ох горизонтально, а ось Оу — вертикально (рис. 23).

Это сложное движение можно представить в виде суммы двух независимых движений — равномерного с постоянной скоростью  вдоль горизонта (оси Ох) и свободного падения в вертикальном направлении с ускорением

Движение тела в горизонтальном направлении будет описываться уравнением

а в вертикальном — уравнением

Здесь — координата тела по оси Оу в начальный момент времени Если тело брошено с высоты то время падения определяется из

условия

Для получения уравнения траектории движения у(х) необходимо исключить время из уравнений движения (1) и (2). Из уравнения (1) выражаем время t и подставляем в уравнение (2). Получаем

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент перед множителем отрицательный.

Скорость вдоль направления оси Ох остается неизменной и равной

Вдоль оси Оу движение равноускоренное. В начальный момент времени вертикальная составляющая скорости равна нулю поэтому мгновенная скорость вдоль оси Оу находится из соотношения Модуль мгновенной скорости определяется по теореме Пифагора (см. рис. 23):

Угол между начальной скоростью и мгновенной скоростью и в момент времени t можно найти из соотношения

В приведенных формулах сопротивление воздуха не учитывается.

Рассмотрим теперь движение тела, брошенного со скоростью под некоторым углом к горизонту (рис. 24).

Это сложное движение можно представить в виде суммы двух независимых движений — равномерного в горизонтальном направлении со скоростью

и равноускоренного в вертикальном направлении с ускорением и начальной
скоростью

В том случае, если система координат выбрана так, что начальные координаты уравнение траектории движения имеет вид

Как и при движении тела, брошенного горизонтально, траектория представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент перед отрицателен. Вершина параболы при этом имеет координаты

где l — дальность полета тела, — максимальная высота его подъема в процессе полета.

Модули горизонтальной  и вертикальной составляющих мгновенной скорости движения определяются из следующих соотношений:

Мгновенную скорость  и движения тела в произвольной точке Л траектории можно найти как векторную сумму горизонтальной и вертикальной мгновенных скоростей движения (см. рис. 24).

Время подъема тела можно найти из условия

Если сопротивление воздуха при движении не учитывается, то время подъема равно времени падения: (докажите это самостоятельно).

Таким образом, время полета тела можно найти как

Определив вертикальную составляющую скорости  в искомый момент времeни, по формуле можно найти высоту, на которой находится тело.

Максимальная высота подъема тела легко определяется из условия, что вертикальная составляющая скорости в этой точке равна пулю Тогда

Дальность полета l — расстояние, пройденное телом за время полета  вдоль оси Ох с постоянной скоростью (см. рис. 24). Она определяется по формуле

Таким образом, дальность полета определяется модулем начальной скорости тела и углом его бросания

Заметим, что согласно формуле (9) при неизменном модуле начальной скорости тела максимальная дальность полета достигается при т. е. при угле бросания = 45°.

Если тело бросить горизонтально с некоторой высоты, оно будет одновременно падать и двигаться вперед. Это значит, что оно будет менять положение относительно двух осей: ОХ и ОУ. Относительно оси ОХ тело будет двигаться с постоянной скоростью, а относительно ОУ — с постоянным ускорением.

Кинематические характеристики движения

Важные факты!

Графически движение горизонтально брошенного тела описывается следующим образом:

1. Вектор скорости горизонтально брошенного тела направлен по касательной к траектории его движения.
2. Проекция начальной скорости на ось ОХ равна v₀: v_ox = v₀. Ее проекция на ось ОУ равна нулю: v_oy = 0.
3. Проекция мгновенной скорости на ось ОХ равна v₀: v_x = v₀. Ее проекция на ось ОУ равна нулю: v_y = –gt.
4. Проекция ускорения свободного падения на ось ОХ равна нулю: g_x = 0. Ее проекция на ось ОУ равна –g: g_y = –g.

Модуль мгновенной скорости в момент времени t можно вычислить по теореме Пифагора:

Подставив в эту формулу значения проекций мгновенной скорости в момент времени t, получим:

Минимальная скорость в течение всего времени движения равна начальной скорости: v_min = v₀.

Максимальной скорости тело достигает в момент приземления. Поэтому максимальной скоростью тела в течение всего времени движения является его конечная скорость: v_max = v.

Время падения — время, в течение которого перемещалось тело до момента приземления. Его можно выразить через формулу высоты при равноускоренном прямолинейном движении:

h₀ — высота, с которой тело бросили в горизонтальном направлении.

Дальность полета — перемещение тела относительно ОХ. Обозначается буквой l. Так как относительно ОХ тело движется с постоянной скоростью, для вычисления дальности полета можно использовать формулу перемещения при равномерном прямолинейном движении:

l = s_x = v₀t_пад

Выразив время падения через высоту и ускорение свободного падения, формула для определения дальности полета получает следующий вид:

Горизонтальное смещение тела — смещение тела вдоль оси ОХ. Вычислить горизонтальное смещение тела в любой момент времени t можно по формуле координаты x:

Учитывая, что x₀ = 0, и проекция ускорения свободного падения на ось ОХ тоже равна нулю, а проекция начальной скорости есть модуль этой скорости, данная формула принимает вид:

x = v₀t

Мгновенная высота — высота, на которой находится тело в выбранный момент времени t. Она вычисляется по формуле координаты y:

Пример №1. Из окна, расположенного 5 м от земли, горизонтально брошен камень, упавший на расстоянии 8 м от дома. С какой скоростью был брошен камень?

Так как нам известна высота места бросания и дальность полета, начальную скорость тела можно вычислить по формуле:

Выразим начальную скорость и вычислим ее:

Горизонтальный бросок тела с горы

Горизонтальный бросок тела с горы — частный случай горизонтального броска. От него он отличается увеличенным расстоянием между местом бросания и местом падения. Это увеличение появляется потому, что плоскость находится под наклоном. И чем больше этот наклон, тем больше времени требуется телу, чтобы приземлиться.

График горизонтального броска тела с горы

α — угол наклона плоскости к горизонту, s — расстояние от места бросания до места падения

Дальность полета — смещение тела относительно оси ОХ от места бросания до места падения. Она равна произведению расстояния от места бросания до места падения и косинуса угла наклона плоскости к горизонту:

l = s • cosα

Начальная высота — высота, с которой было брошено тело. Обозначается h₀. Начальная высота равна произведению расстояния от места бросания до места падения и синусу угла наклона плоскости к горизонту:

h₀ = s sinα

Пример №2. На горе с углом наклона 30^о бросают горизонтально мяч с начальной скоростью 15 м/с. На каком расстоянии от точки бросания вдоль наклонной плоскости он упадет?

Выразим это расстояние через дальность полета:

Дальность полета выражается по формуле:

Подставим ее в формулу для вычисления расстояния от точки бросания до точки падения:

Выразим с учетом формулы начальной высоты:

Преобразуем:

Поделим обе части выражения на общий множитель s:

Подставим известные значения:

Алиса Никитина | Просмотров: 18.2k

In physics, when you work on velocity problems, you break the motion into two components, vertical and horizontal. You use vertical velocity for problems that include an angle of trajectory. Horizontal velocity becomes important for objects moving in a horizontal direction. The horizontal and vertical components are independent of one another, so any mathematical solution will treat them separately. Generally, horizontal velocity is horizontal displacement divided by time, such as miles per hour or meters per second. Displacement is simply the distance an object has traveled from a starting point.

Identifying the Horizontal Velocity

The horizontal velocity of a motion problem deals with motion in the x direction; that is, side to side, not up and down. Gravity, for example, acts only in the vertical direction and doesn’t affect horizontal motion directly. Horizontal velocity comes from forces that act in the x-axis.

Tips for Recognizing Horizontal Velocity

Learning to recognize the horizontal velocity component in a motion problem takes practice. Situations that have horizontal velocity include a ball thrown forward, a cannon firing a cannonball, or a car accelerating on a highway. On the other hand, a rock dropped straight down into a well has no horizontal velocity, only vertical velocity. In some instances, an object will have a combination of horizontal and vertical velocity, such as a cannonball shot at an angle; the cannonball moves both horizontally and vertically. Although gravity acts only in the vertical direction, you may however have an indirect horizontal velocity component, such as when an object rolls down a ramp.

Writing the Horizontal Component

For a general velocity problem you can simply write an equation using «V» for velocity, such as:

V=atimes t

However, to write a motion equation that treats horizontal and vertical velocity separately, you must distinguish the two by using V_x and V_y, for horizontal and vertical velocity, respectively. If the problem asks for both horizontal and vertical velocities, you write them as two separate equations, such as these:

V_x=25times frac{x}{t}text{ and }V_y=-9.8times t

Solving a Horizontal Velocity Problem

Write the horizontal velocity problem as

V_x=frac{Delta x}{t}

where V_x is the horizontal velocity. For example:

V_x=frac{20text{ m}}{5text{ s}}=4text{ m/s}

Divide Displacement by Time

Divide the horizontal displacement by time to find the horizontal velocity. In the example, V_x = 4 meters per second.

Calculating Negative Velocity

Try a more difficult problem, such as:

V_x=frac{-5text{ m}}{4text{ s}}

In this problem, V_x = -1.25 m/s. A negative horizontal velocity means that the object moved backward from its original position.

Рассмотрим тело, брошенное под углом к горизонту. Пусть сопротивление воздуха будет очень малой величиной, такой малой, что мы сможем ей пренебречь.

Благодаря силе притяжения земли тело часть пути будет подниматься над поверхностью, а часть – опускаться к поверхности. Траектория полета такого тела – это парабола (рис. 1).

Разложим скорость тела

Вместо того, чтобы рассматривать сложное движение одного тела по параболе, будем рассматривать одновременное и более простое движение двух тел. Одно тело движется по вертикали, а второе – по горизонтали. Тела одновременно стартуют и заканчивают движение.

Мы сможем сложное движение разделить на два простых, как только разложим на проекции скорость тела. Полученные скорости будем рассматривать, как скорости отдельно двигающихся тел.

Любой вектор, направленный под углом к осям, можно разложить на проекции — вертикальную и горизонтальную (рис. 2).

Формулы разложения скорости выглядят так:

[ large boxed{ begin{cases} v_{0y}  = v cdot sin(alpha) \ v_{0x}  = v cdot cos(alpha) end{cases} } ]

Вертикальная и горизонтальная проекции скорости

Обратим внимание теперь на рисунок 3.

На рисунке черным цветом обозначен вектор скорости летящего тела. Видно, что от точки к точке он изменяется не только по модулю, но и по направлению. То есть, меняются характеристики вектора.

Вектор, обозначенный синим цветом на рисунке – это горизонтальная проекция вектора скорости. Заметно, что горизонтальная часть скорости не меняется ни по длине, ни по направлению, то есть, остается постоянной (одной и той же).

Вертикальная проекция скорости обозначена на рисунке красным цветом. При движении вверх она уменьшается, а при движении вниз – растет.

В самой высокой точке траектории вертикальная проекция скорости превращается в ноль. Из-за этого в верхней точке скорость направлена только горизонтально и равна числу ( v_{0x}). Число ( v_{0x}) – это горизонтальная проекция начальной скорости ( v_{0}) тела.

Упростить сложное движение тела на плоскости можно, рассматривая отдельно движение двух тел: одно тело движется по вертикали, меняя свою скорость, а второе – по горизонтали и, скорость свою не меняет.

Из рисунка 3 так же, следует, что

если тело при падении вернется на уровень, с которого оно стартовало, то:

1. скорость, с которой мы подбросим тело, по модулю будет равна скорости, с которой тело упадет;
2. угол (alpha) между скоростью тела на старте и осью Ox будет равен углу между конечной скоростью и горизонталью;
3. время подъема равняется времени спуска;

Запишем теперь формулы, описывающие движение тела, под углом к горизонту. Разделим движение тела на две части: подъем и спуск. Вертикальное движение тела происходит под действием силы тяжести.

Подъем

Когда тело поднимается, оно проходит вертикальный путь (h):

[ large h  = v_{0y} cdot t_{text{вверх}} — g cdot  frac{t_{text{вверх}}^2}{2} ]

Вертикальная часть скорости уменьшается – движение равнозамедленное:

[ large v_{y}  = v_{0y} — g cdot t_{text{вверх}} ]

Горизонтальная часть скорости остается такой же, как была в начале пути.

[ large v_{x}  = v_{0x} ]

Поэтому вдоль горизонтали движение равномерное, т. е. происходит с неизменной скоростью

[ large S_{1} = v_{0x} cdot t_{text{вверх}}]

Эти формулы можно записать в виде системы:

[ large boxed{ begin{cases} v_{y}  = v_{0y} — g cdot t_{text{вверх}} \ h  = v_{0y} cdot t_{text{вверх}} — g cdot  frac{t_{text{вверх}}^2}{2} \ S_{1} = v_{0x} cdot t_{text{вверх}} end{cases} } ]

На максимальной высоте траектории скорость имеет только горизонтальную проекцию (вертикальной скорости нет, скорость только горизонтальная).

[ large boxed{ begin{cases} h  = h_{max} \ v_{y}  = 0 \ v = v_{0x} end{cases} } ]

Спуск

При спуске, вертикальная проекция скорости растет – движение равноускоренное

[ large v_{y}  = 0 + g cdot t_{text{вниз}} ] ,

Тело спускается, вертикальное перемещение можно найти из соотношения

[ large h  = g cdot  frac{t_{text{вниз}}^2}{2} ]

Горизонтальная часть скорости – все так же, меняться не будет. Поэтому движение вдоль горизонтали происходит с неизменной скоростью и тело проходит вторую часть горизонтального пути

[ large S_{2} = v_{0x} cdot t_{text{вниз}} ]

Объединим эти формулы в систему

[ large boxed{ begin{cases} v_{y}  = 0 + g cdot t_{text{вниз}} \ h  = g cdot  frac{t_{text{вниз}}^2}{2} \ S_{2} = v_{0x} cdot t_{text{вниз}} end{cases} } ]

После того, как мы найдем время подъема и время спуска, можем найти общий путь по горизонтали:

[ large boxed{ S = S_{1} + S_{2} = v_{0x} cdot  left(t_{text{вверх}} + t_{text{вниз}} right)}]