Как найти горизонтальную составляющую силы трения

Содержание:

Трение:

При движении или стремлении двигать одно тело по поверхности другого в касательной плоскости поверхностей соприкосновения возникает сила трения скольжения.

Если одно тело, например цилиндрический каток, катить или стремиться катить по поверхности другого тела, то кроме силы трения скольжения из-за деформации поверхностей тел дополнительно возникает пара сил, препятствующая качению катка. Возникновение силы трения, препятствующей скольжению, иногда называют трением первого рода, а возникновение пары сил, препятствующей качению,— трением второго рода.

Трение скольжения

Пусть на тело действует плоская система активных сил и тело находится в равновесии, соприкасаясь с поверхностью другого тела, являющегося связью для рассматриваемого тела. Если поверхности соприкасающихся тел абсолютно гладкие и тела абсолютно твердые, то реакция поверхности связи направлена по нормали к общей касательной в точке соприкосновения и направление реакции в этом случае не зависит от действующих на тело активных сил. От активных сил зависит только числовое значение силы реакции. В действительности абсолютно гладких поверхностей и абсолютно твердых тел не бывает. Все поверхности тел в той или иной степени шероховаты и все тела деформируемы. В связи с этим и сила реакции

Если силу реакции

В теоретической механике обычно рассматривается только сухое трение между поверхностями тел, т. е. такое трение, когда между ними нет смазывающего вещества. Для сухого трения надо различать трение скольжения при покое или равновесии тела и трение скольжения при движении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью.

При покое сила трения зависит только от активных сил. При выбранном направлении касательной в точке соприкосновения поверхностей тел сила трения вычисляется по формуле

Аналогично, при выбранном направлении нормали нормальная реакция выражается через заданные силы

В 1781 г. Кулон установил основные приближенные законы для сухого трения скольжения. В дальнейшем законы Кулона многократно проверялись другими исследователями. Но эти законы подтверждались в случае, когда поверхности тел не вдавливались друг в друга и шероховатость была не очень велика.

Законы Кулона можно установить на приборе, схема которого дана рис. 59. На этом приборе изменяя вес гири, можно изменять нормальное давление (или равную ему нормальную реакцию ) между трущимися поверхностями. Изменяя же вес гирь , можно изменять силу , которая стремится двигать тело вдоль поверхности другого тела, являющегося связью. Очевидно, что если сила , то тело находится в равновесии и сила трения равна нулю.

Если силу увеличить (при этом тело не скользит по поверхности, а находится в равновесии), то по условию равновесия возникает сила трения , которая равна, но противоположна активной силе . Нормальная реакция равна нормальному давлению . Увеличивая силу при одном и том же нормальном давлении , можно достичь и такого положения, когда ничтожно малое дальнейшее увеличение силы выведет тело из равновесия, заставляя его скользить по поверхности связи. Очевидно, будет достигнуто предельное положение, при котором сила трения станет наибольшей и не сможет уравновешивать силу при ее дальнейшем увеличении. Изменяя силу нормального давления , можно исследовать, как изменяется при этом предельная сила трения . Можно также исследовать влияние на предельную силу трения площади соприкосновения тел, сохраняя при этом нормальное давление, а также влияние материала тел, характер обработки поверхностей и другие факторы. Такие опыты позволяют проверить законы Кулона для сухого трения скольжения.

Рис. 59

Трение скольжения:

При решении многих технических вопросов приходится принимать в расчет силы трения. Остановимся на рассмотрении сил трения 1-го рода (скольжения).

Рис. 31.

Пусть на тело А (рис. 31), лежащее на горизонтальной негладкой плоскости, действует сила Р под углом а к вертикали. Раскладывая силу Р на две составляющие  и замечаем, что сила уравновешивается с реакцией плоскости N; вторая же составляющая неминуемо должна была бы сообщить телу А движение вправо, но при небольшом угле α тело А находится еще в покое; следовательно, в противоположную сторону силы направлено сопротивление, которое обусловлено силой трения F. Увеличивая постепенно угол будет возрастать до некоторого предела. Обозначим через угол, при котором начинается скольжение тела по плоскости. В этом случае сила трения достигает наибольшей величины; определяем ее из Δabc при по формуле:

где — нормальная реакция плоскости.

Угол называется углом трения, а тангенс этого угла — коэффициентом трения скольжения и обозначается через f; следовательно, вообще:

Формула (28) выражает первый закон трения, который формулируется так:

Первый закон трения

1. Сила трения прямо пропорциональна нормальному давлению или реакции связи и направлена в сторону, противоположную относительному перемещению трущихся тел.

Этот закон был установлен опытным путем. Амонтоном-Кулоном и другими исследователями были установлены еще следующие законы:

2. Коэффициент трения зависит от материала и состояния трущихся поверхностей.

3. Коэффициент трения в покое больше коэффициента трения в движении.

4. Коэффициент трения не зависит от величины трущихся поверхностей (можно считать правильным лишь в первом приближении).

5. Коэффициент трения зависит от скорости движения трущихся поверхностей и с увеличением этой скорости уменьшается, приближаясь к некоторой предельной величине.

Обращаясь к рисунку 31, замечаем, что тело А находится в равновесии, если сила Р проходит внутри конуса с углом при вершине С, равным двойному углу трения ; такой конус называется конусом трения и играет важную роль при решении задач.

Когда тело А находится еще в покое (рис. 31), то по мере увеличения угла возрастает также и сила , а сила F уменьшается. Наконец, наступает такой момент, когда при тело находится на грани между покоем и скольжением. В этом случае сила F и коэффициент трения в покое f достигают наибольшего значения. При незначительном увеличении силы тело А начинает скользить по плоскости, благодаря чему нарушается сцепление между поверхностями соприкасания тела и плоскости. В этом случае сила трения скольжения F коэффициент трения в движении f уменьшаются по величине, приближаясь к некоторой предельной величине с увеличением относительной скорости скольжения. Исключение составляют лишь некоторые’материалы, например при трении кожи о металл в ременных передачах, где с увеличением скорости относительного скольжения коэффициент трения также возрастает.

Рис. 32.

Задача №1

Тело А весом Q=100кГ лежит на шероховатой наклонной плоскости (рис. 32,а). Какую наименьшую горизонтальную силу Р ладо приложить к телу, чтобы оно начало двигаться, если коэффициент трения тела о плоскость f=0,2.

Решение. Рассмотрим равновесие тела А. Помимо горизонтальной силы Р на тело действует сила Q, нормальная реакция N плоскости и сила трения F, направленная параллельно плоскости в обратную сторону движения тела (рис. 32,6).

Составляя уравнения равновесия (27), имеем:

В двух уравнениях имеются три неизвестные величины: Р, N и F. Для получения третьего уравнения по формуле (28) имеем > зависимость: .

Выражая в уравнениях равновесия F через N, получим:

Задача №2

Определить наибольший и наименьший груз Р, при котором груз Q = 10 кГ не будет двигаться (рис» 33, а). Коэффициент трения груза Q о плоскость f=0,2.

Рис. 33.

Указание: при наименьшем грузе тело А будет стремиться сползти вниз, следовательно сила трения F будет направлена параллельно плоскости вверх (рис. 33, б). При наибольшем грузе , напротив, тело А стремится двигаться кверху, а потому сила трения F будет направлена параллельно плоскости вниз (рис. 33, в).

Составляя для каждого из случаев (рис. 33, б и 33, в) по два уравнения равновесия и принимая во внимание формулу (28), получим:

32

Законы Кулона

1.    Сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного или реального скольжения тела под действием приложенных сил. Сила трения при покое зависит от активных сил и ее модуль заключен между нулем и максимальным значением, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия, т. е.

2.    Максимальная сила трения скольжения при прочих равных условиях не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. Из этого закона следует, что для того, чтобы сдвинуть, например, кирпич, надо приложить одну и ту же силу независимо от того, какой гранью он положен на поверхность, широкой или узкой.

3.    Максимальная сила трения скольжения пропорциональна нормальному давлению (нормальной реакции), т. е.

где безразмерный коэффициент называют коэффициентом трения скольжения; он не зависит от нормального давления.

4.    Коэффициент трения скольжения зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, т. е. от величины и характера шероховатости, влажности, температуры и других условий. Коэффициент трения скольжения в зависимости от различных условий устанавливается экспериментально. Так, коэффициент трения для кирпича по бетону равен ; для стали по стали — ; для дуба по дубу поперек волокон — , а для дуба по дубу вдоль волокон — .

Опыты показывают, что при скольжении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью возникает сила трения скольжения, равная максимальной, только при этом коэффициент трения скольжения незначительно изменяется в зависимости от скорости скольжения. Для большинства материалов он уменьшается с увеличением скорости скольжения, но для некоторых материалов, наоборот, увеличивается (трение кожи о металл).

В приближенных технических расчетах обычно считают, что коэффициент трения скольжения не зависит от относительной скорости скольжения.

В отличие от сухого трения трение при наличии смазывающего слоя между поверхностями определяется распределением относительной скорости скольжения в этом слое. В этом случае трение происходит не между поверхностями тел, а между слоями смазывающего вещества. Теория трения в смазывающем слое жидкости рассматривается в гидродинамике.

Угол и конус трения

Многие задачи на равновесие тела на шероховатой поверхности, т. е. при наличии силы трения, удобно решать геометрически. Для этой цели введем понятия угла и конуса трения.

Пусть твердое тело под действием активных сил находится на шероховатой поверхности в предельном состоянии равновесия, т. е. таком состоянии, когда сила трения достигает своего наибольшего значения при данном значении нормальной реакции (рис. 60). В этом случае полная реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол.

Этот наибольший угол между полной реакцией, построенной на наибольшей силе трения при данной нормальной реакции, и направлением нормальной реакции называют углом трения.

Угол трения зависит от коэффициента трения, т. е.

Но по третьему закону Кулона,

следовательно,

т. е. тангенс угла трения равен коэффициенту трения.

Рис. 60

Конусом трения называют конус, описанный полной реакцией, построенной на максимальной силе трения, вокруг направления нормальной реакции. Его можно получить изменяя активные силы так, чтобы тело на шероховатой поверхности находилось в предельных положениях равновесия, стремясь выйти из равновесия по всем возможным направлениям, лежащим в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей.

Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то конус трения круговой. Если не одинаков, то конус трения не круговой, например в случае, когда свойства соприкасающихся поверхностей различны (вследствие определенного направления волокон или в зависимости от направления обработки поверхности тел, если обработка происходит на строгальном станке и т. п.).

Равновесие тела на шероховатой поверхности

При равновесии сил, действующих на твердое тело, находящееся в равновесии на шероховатой поверхности, возникает дополнительно неизвестная сила реакции шероховатой поверхности— сила трения. В случае предельного равновесия сила трения достигает своего максимального значения и по формуле (1) выражается через нормальную реакцию. В общем случае равновесия сила трения находится между нулем и ее максимальным значением. Поэтому соответствующие условия равновесия, в которые входит сила трения после замены ее максимальным значением, становятся неравенствами. После этого неизвестные находят путем совместного решения уравнений и неравенств. Для всех неизвестных или для их части получают решения в виде неравенств.

Некоторые задачи на равновесие с учетом сил трения удобно решать геометрически с помощью конуса трения.

Можно сформулировать условия равновесия тела на шероховатой поверхности используя конус трения. Если активные силы, действующие на тело, приводятся к равнодействующей силе , то при равновесии тела на шероховатой поверхности равнодействующая активных сил  по аксиоме о равновесии двух сил, приложенных к твердому телу, уравновешивается полной реакцией R шероховатой поверхности (рис. 61). Полная реакция проходит через вершину конуса, а следовательно, через вершину конуса проходит и равнодействующая активных сил.

Очевидно, при изменении равнодействующей активных сил тело находится в равновесии до тех пор, пока составляющая равнодействующей активных сил, лежащая в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей не будет превышать наибольшего значения силы трения .

Рис. 61

Рис. 62

Предельным положением равновесия тела является случай, когда сила равна силе . В этом случае равнодействующая активных сил направлена по образующей конуса трения, так как —составляющая равнодействующей активных сил по нормали — уравновешена нормальной реакцией , если только активные силы не отделяют тела от шероховатой поверхности. Поэтому условие равновесия тела на шероховатой поверхности можно сформулировать так: для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину (рис. 62).

Тело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если ее линия действия проходит внутри конуса трения.

Если линия действия равнодействующей активных сил не проходит внутри конуса трения или по его образующей, то тело на шероховатой поверхности не может находиться в равновесии (рис. 63).

Рис. 63

Рис. 64

Пример 1.

Тело, сила тяжести которого , удерживается в равновесии силой на шероховатой наклонной плоскости, имеющей угол наклона (рис. 64). Коэффициент трения скольжения между телом и плоскостью . Сила действует на тело под углом к линии наибольшего ската. Определить значение силы при равновесии тела на шероховатой наклонной плоскости.

Решение. К телу приложены силы , , и сила трения . Возможны два случая предельного равновесия тела и соответственно два предельных значения силы  при двух направлениях силы трения по наклонной плоскости вниз и вверх в зависимости от направления возможного скольжения вверх по наклонной плоскости и вниз. Для составления уравнений равновесия целесообразно ввести , где .

Составляем условия равновесия в виде суммы проекций сил на координатные оси для обоих предельных случаев. Имеем

По закону Кулона,

Решая эти уравнения относительно , получаем

Отсюда при

при

Таким образом, сила при равновесии тела должна удовлетворять условию .

Пример 2.

Однородный тяжелый стержень длиной опирается концом на гладкую вертикальную стену, а другим — на шероховатую вертикальную стену (рис.65). Расстояние между стенами . Определить коэффициент трения стены , при котором возможно равновесие стержня.

Рис. 65

Решение. Рассмотрим случай, когда точка расположена выше точки стержня. Равновесие стержня невозможно, если точка  расположена ниже точки . На стержень действуют сила тяжести , приложенная посередине стержня нормальная реакция гладкой стены и реакция шероховатой стены , которую разложим на нормальную реакцию и силу трения .

Составим условия равновесия плоской системы сил:

К этим условиям следует добавить неравенство для силы трения

Из уравнений равновесия находим

Из геометрических условий задачи имеем

Итак, для силы трения имеем следующие уравнение и неравенство:

Исключая из них силу трения , после сокращения на получаем

Искомое условие для коэффициента трения  при равновесии стержня принимает вид

Трение качения

Если рассматриваемое тело имеет форму катка и под действием приложенных активных сил может катиться по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей этих тел в месте соприкосновения могут возникнуть силы реакции, препятствующие не только скольжению, но и качению. Примерами таких катков являются различные колеса, как, например, у электровозов, вагонов, автомашин, шарики и ролики в шариковых и роликовых подшипниках и т. п.

Пусть цилиндрический каток находится на горизонтальной плоскости под действием активных сил. Соприкосновение катка с плоскостью из-за деформации фактически происходит не вдоль одной образующей, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке. Если активные силы приложены симметрично относительно среднего сечения катка, т. е. вызывают одинаковые деформации вдоль всей его образующей, то можно изучать только одно среднее сечение катка. Этот случай рассмотрен ниже.

Активные силы, действующие на катки в виде колес (рис. 66), кроме силы тяжести обычно состоят из силы , приложенной к центру колеса параллельно общей касательной в точке , и пары сил с моментом , стремящейся катить колесо, называемое в этом случае ведомо-ведущим. Если , а то колесо называют ведомым-, если , a , то ведущим. Ведомо-ведущими являются колеса локомотива, идущего вторым в составе поезда.

Если активные силы, действующие на колесо, привести к точке соприкосновения катка с плоскостью, у которых нет деформации, то в общем случае получим силу и пару сил, стремящиеся заставить каток скользить и катиться. Следует различать чистое качение, когда точка соприкосновения катка не скользит по неподвижной плоскости, и качение со скольжением, когда наряду с вращением катка есть и скольжение, т. е. точка катка движется по плоскости. При чистом скольжении, наоборот, каток движется по плоскости, не имея вращения.

Рис. 66

Рис. 67

Рис. 68

Соприкосновение среднего сечения колеса с неподвижной плоскостью из-за деформации колеса и плоскости происходит по некоторой линии . По этой линии на колесо действуют распределенные силы реакции (рис. 67). Если привести распределенные силы к точке , то в этой точке получим главный вектор этих распределенных сил с составляющими (нормальная реакция) и (сила трения скольжения), а также пару сил с моментом . При симметричном распределении сил по линии относительно точки момент пары сил равен нулю. В этом случае нет активных сил, стремящихся катить каток в каком-либо направлении. _

Приведем активные силы в общем случае к точке . В этой точке получим главный вектор этих сил и пару сил, момент которой равен главному моменту (рис. 68).

При равновесии катка, т. е. когда каток не катится и не скользит по плоскости, активные силы уравновешиваются силами реакций связи и, следовательно,

Изменив активные силы, приложенные к катку так, чтобы увеличивался момент пары активных сил, стремящейся катить каток. Пока каток находится в равновесии, увеличивается и равный ему по числовой величине, но противоположный по направлению момент пары сил, препятствующий качению катка и возникающий от действия на каток неподвижной плоскости. Наибольшее значение достигается в момент начала качения катка по плоскости.

Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующей качению:

1. Наибольший момент пары сил, препятствующей качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

2.    Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению, а следовательно, и равной ему нормальной реакции :

Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом трения качения при покое или коэффициентом трения второго рода. Из формулы (3) следует, что имеет размерность длины.

3.    Коэффициент трения качения зависит от материала катка, плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения качения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости. Для случая качения вагонного колеса по стальному рельсу коэффициент трения качения .

Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся материалов катка и плоскости.

Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и плоскости, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной точке. В этой точке соприкосновения в среднем сечении катка кроме нормальной реакции и силы трения надо приложить еще и пару сил, препятствующую качению.

Коэффициент трения качения равен длине , которую вычислим следующим образом. Сложим нормальную реакцию с парой сил, препятствующей качению в момент, когда . Получим ту же силу , но сдвинутую параллельно самой себе на расстояние

В предельном случае равновесия катка . Эту величину следует отложить в направлении, в котором активные силы стремятся катить каток (рис. 69).

Для того чтобы каток не скользил, необходимо выполнение условия

Для заданных активных сил соответственно

Для того чтобы каток не катился, должно выполняться условие

Для активных сил оно имеет вид

Рис. 69

Рис. 70

Для примера рассмотрим случай ведомого колеса, к которому кроме силы тяжести приложена еще горизонтальная активная сила (рис. 70).

Если каток находится в равновесии, то из условий равновесия плоской системы сил, приложенных к катку, получаем

где за моментную точку взята точка .

В случае отсутствия скольжения по формуле (4) с учетом условий равновесия

Аналогично, при отсутствии качения по формуле (5) имеем

Таким образом, при отсутствии скольжения сила должна удовлетворять условию , а при отсутствии качения эта же сила — удовлетворять другому условию:

Если , то, пока , каток находится в равновесии.

Если , то каток катится без скольжения (чистое качение). При кроме качения появляется еще и скольжение. При  каток находится в равновесии, пока . Если , он скользит не вращаясь (поступательное движение). При наряду со скольжением возникает качение.

В том случае, если , каток находится в равновесии, пока . Если же , то он катится со скольжением.

Обычно  и, следовательно, для начала качения катка требуется значительно меньшая сила , чем для начала его скольжения. Поэтому по мере увеличения силы каток сначала начинает катиться, а при дальнейшем ее росте к качению добавляется еще и скольжение.

С точки зрения затраты энергии выгодно заменять скольжение качением. Этим объясняется преимущество шариковых и роликовых подшипников по сравнению с подшипниками скольжения, если даже в них трение и не уменьшается введением смазывающего вещества.

Аналогично трению качения можно рассмотреть и явление возникновения так называемого трения верчения, т.е. случая, когда активные силы стремятся вращать тело, например в форме шара, вокруг нормали к общей касательной поверхности соприкосновения.

В этом случае возникает пара сил, препятствующая верчению, причем наибольший ее момент, возникающий в момент начала верчения, также прямо пропорционален нормальной реакции. Коэффициент пропорциональности, т. е. коэффициент трения верчения, обычно значительно меньше коэффициента трения качения.

Равновесие с учетом сил трения

Задачи, приведенные в этом параграфе, отличаются от предыдущих тем, что в них рассматривается равновесие тел, имеющих, кроме идеальных, еще и реальные связи, т. е. связи с трением.

При свободном опирании тела на поверхность идеальной связи реакция такой связи (рис. 117, а) направлена перпендикулярно к ее поверхности, т. е. по нормали п к этой поверхности.

Если же тело опирается на поверхность реальной связи (в отличие от идеальных связей реальные связи условимся отмечать двойной штриховкой), то ее реакция  (рис. 117,6)в зависимости от нагрузок, приложенных к телу, отклонится от нормали п к поверхности связи на некоторый угол

Поясним это общее положение следующим примером.

Наклонный брус (рис. 118, а), вес которого G, опирается в двух

точках А и В соответственно на вертикальную и горизонтальную поверхности идеальных связей. Этот брус не может находиться в равновесии, потому что три силы —вес бруса G и реакции и —расположены так, что не выполняется необходимое условие равновесия трех непараллельных сил; их линии действия не пересекаются в одной точке.

Чтобы брус, показанный на рис. 118, а, находился в равновесии, необходимо наложить еще одну связь, например, удержать брус шнуром или упереть в выступ на горизонтальной плоскости (обе возможные связи показаны пунктиром).

Теперь представим, что в точке В брус опирается не на идеально гладкую, а на шероховатую (реальную) поверхность (рис 118, б). В этом случае брус может находиться в равновесии без дополнительной связи (шнура или упорной планки). Значит три силы — вес и реакции опор — образуют уравновешенную систему. Равновесие трех сил, действующих на брус, возможно потому, что реакция реальной связи отклоняется на некоторый угол от нормали к поверхности связи и линии действия всех трех сил пересекаются в точке О.

Если реакцию реальной связи разложим на две составляющие, направленные вдоль поверхности и перпендикулярно к ней (это разложение показано на рис. 118, а справа), то получим силу —нормальную составляющую , численно равную нормальному давлению, производимому концом бруса на опору, и силу F—касательную составляющую реакции которая называется силой трения.

При увеличении угла а, характеризующего наклон бруса относительно горизонтальной поверхности, угол уменьшается, а вместе с ним уменьшается и сила трения, но брус сохраняет равновесие.

Если же уменьшать угол а, то угол ф, характеризующий отклонение реакции от нормали, увеличивается, а вместе с ним увеличивается и сила трения (рис. 118, в). При некотором наклоне бруса, определенном для данной пары соприкасающихся в точке В тел (например, для деревянного бруса, опирающегося о деревянный пол), брус скользит. Это означает, что сила трения, достигая предельного значения, больше увеличиваться не может. При этом реакция отклоняется также до предельного значения и при дальнейшем уменьшении угла а линия действия реакции уже не попадает в точку пересечения сил G и

У гол соответствующий максимальному значению силы трения, называется углом трения. Числовое значение угла трения зависит от материала соприкасающихся тел и от состояния их поверхностей.

Для случая предельного равновесия  между силой трения и углом трения имеем такую зависимость;

Постоянное для данной пары соприкасающихся тел значение называется коэффициентом трения при покое.

Таким образом,

При решении задач необходимо учитывать, что сила трения направлена всегда в сторону, противоположную той, при которой точка может скользить по идеальной поверхности.

Если в число реакций связей, обеспечивающих равновесие тела, входит сила трения, то такое состояние равновесия называется самоторможением. Во всех приведенных ниже задачах рассмотрены различные случаи самоторможения (равновесия при наличии силы трения) и условия, при которых возможно самоторможение.

Задача №3

Тело А массой 8 кг поставлено на шероховатую горизонтальную поверхность стола. К телу привязана нить, перекинутая через блок Б (рис. 119, а). Какой груз Р можно подвязать к концу нити, свешивающейся с блока, чтобы не нарушить равновесия тела А? Коэффициент трения f = 0,4. Трением на блоке пренебречь.

Решение.

1.    Если масса тела А m = 8 кг, то его вес

2.    Пренебрегая размерами тела, будем считать, что все силы приложены к точке А.

3.    Когда тело поставлено на горизонтальную поверхность, то на него действуют только две силы: вес и противоположно направленная реакция опоры (рис. 119,6).

4.    Если же приложить некоторую силу действующую вдоль горизонтальной поверхности, то реакцияуравновешивающая силы начнет отклоняться от вертикали, но тело А будет находиться в равновесии до тех пор, пока модуль силы Р не превысит максимального значения силы трения F, соответствующей предельному значению угла (рис. 119, в).

5.    Разложив реакцию на две составляющие получаем систему четырех сил, приложенных к одной точке (рис. 119, г).

Спроектировав эту систему сил на оси хну, получим два уравнения равновесия:

Решаем полученную систему уравнений:

но 
поэтому

Таким образом, равновесие тела А сохраняется при условии, что к концу нити, перекинутой через блок, подвешен груз, не превышающий по весу 31,4 н.

При этом масса груза Р

Задача №4

При каком минимальном коэффициенте трения между полом и лестницей последняя может находиться в равновесии, опираясь верхним концом о гладкую стену, как показано на рис. 120, а? Вес лестницы G = 120 н.

Решение.

1.    На лестницу действует только одна нагрузка — ее собственный вес, приложенный в точке С посредине длины лестницы АВ.

2.    Вес лестницы уравновешен реакцией гладкой стены и реакцией шероховатого пола, которую заменим двумя составляющими: — нормальной составляющей и—силой трения (рис. 120,6).

3.    Составим три уравнения равновесия:

4.    Из уравнений (1) и (3)

А так как N = G [из уравнения (2)[, то минимальный коэффициент трения, обеспечивающий равновесие лестницы.

Таким образом, при 0,2 лестница находится в равновесии.

Задача №5

В месте соприкосновения пола и лестницы в предыдущей задаче коэффициент трения f= 0,4. Сможет ли человек, масса которого 70 кг, подняться по лестнице до самого верха и чтобы лестница при этом не скользила по полу?

Решение.

1.    К силам действующим на лестницу и приведенным в предыдущей задаче, необходимо добавить еще одну нагрузку —вес человека — и приложить его у верхнего конца лестницы (рис. 121).

2.    Вес человека

3.    Человек сможет подняться до самого верха лестницы лишь в том случае, если горизонтальная составляющая реакции пола (сила на рис. 121) будет меньше максимального значения силы трения, возможного при данном коэффициенте трения.

4.    Составим уравнения равновесия:

5.    Из уравнения (2)

Максимальная сила трения, которая может возникнуть в данном случае

Из уравнений (1) и (3) находим силу F—горизонтальную составляющую реакции пола, которая может обеспечить равновесие лестницы с человеком, стоящим наверху:

Таким образом,

Следовательно, человек сможет подняться по лестнице до самого верха.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Задача №6

При каких значениях угла а, образуемого с гладкой вертикальной стеной, лестница, опирающаяся нижним концом о шероховатый горизонтальный пол, будет находиться в равновесии, если, кроме собственного веса, она ничем не нагружена и известно, что коэффициент трения при соприкосновении лестницы с полом f?

Решение.

1.    Для решения этой задачи воспользуемся рис. 120, б, так как на лестницу действуют те же четыре силы: вес лестницы реакция гладкой стены и две составляющие реакции пола —

2.    Лестница не выйдет из состояния равновесия (не начнет скользить) до тех пор, пока

т. е. пока горизонтальная составляющая реакции пола остается меньше максимальной силы трения, возникающей при опирании лестницы о пол в данном случае.

3. Из уравнений (1) и (3), составленных при решении задачи 90-15, найдено, что

Сопоставляем уравнения (а) и (б):

А так как в данном случае G =N, то лестница находится равновесии до тех пор, пока выполняется неравенство

где — угол трения.

Следовательно, лестница находится в равновесии до тех пор, пока тангенс угла, образуемого лестницей с вертикальной гладкой стеной, остается меньше удвоенного коэффициента трения между лестницей и полом. Например, при f=0,4

и неравенство (в) соблюдается при значениях углов

Следовательно, при f=0,4 лестница не будет скользить по полу при любом значении угла a от 0 до 38°40′.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №7

При каких значениях угла a однородная лестница, опирающаяся на шероховатые стену и пол (рис. 122), будет находиться в равновесии? Коэффициенты трения при опирании лестницы о стену и о пол считать одинаковыми и равными f.

Ответ.

Указание. В данной задаче в системе сил, действующих на лестницу, образуется пять неизвестных: четыре реакции и угол а. Поэтому при решении задачи нужно к трем уравнениям равновесия добавить еще два уравнения, выражающих зависимость сил трения от нормального давления.

Задача №8

Цилиндр с горизонтальной площадкой наверху (рис. 123, а), находясь в двух кольцевых направляющих, скользит вниз, так как между поверхностью цилиндра и поверхностями направляющих имеется незначительный зазор. Вес цилиндра На каком наименьшем расстоянии l от оси цилиндра необходимо поместить груз Q, чтобы цилиндр перестал скользить? Коэффициент трения f. Расстояние между направляющими кольцами а.

Решение.

1.    На цилиндр в состоянии равновесия действуют две нагрузки: вес и груз (рис. 123, б).

2.    Груз Q, помещенный на горизонтальную площадку, прижимает цилиндр к верхнему направляющему кольцу в точке А, а к нижнему — в точке В. Благодаря зазору в точках С и D цилиндр не касается направляющих колец. В точках А и В возникают две реакции, которые заменим их составляющими (в точке А) и (в точке В).

3.    Образовалось пять неизвестных величин:

Если спроектировать все силы на ось х, то получим

откуда

Так как и

и

также, имея в виду равенство (1а), находим что

Скоректировав все силы на ось у, получим четвертое уравнение:

откуда с учетом (За)

Приняв за центр моментов точку О, лежащую на оси цилиндра и на середине расстояния а, составим пятое уравнение — уравнение моментов, в котором d- диаметр цилиндра (d = CA = BD):

Имея в виду равенства (1а) и (За), уравнение (5) можно упростить так:

откуда

Если теперь в уравнение (2) подставить значение из (4а), то

откуда

И теперь выражение (5а) принимает окончательный вид:

При значениях /, удовлетворяющих полученному неравенству, цилиндр не скользит вниз.

Задача №9

Тело А поставлено на негладкую пластину ВС, которую можно поворачивать около шарнира В. Коэффициент трения f между телом А и пластиной ВС известен. Определить, при каких значениях угла а (рис. 124, а) тело А будет оставаться на пластине в покое? Решение.

1.    Представим, что пластина ВС наклонена к горизонту на некоторый угол а (рис. 124, б).

При этом положении пластины на тело А действуют три силы: его собственный вес нормальная реакция пластины и сила трения действующая на тело вдоль пластины и которая при некотором положении пластины ВС сможет достичь максимального значения.

2. Тело А будет находиться в покое до тех пор, пока равнодействующая сил направленная вдоль пластины, будет оставаться меньше т. е. пока

но

поэтому

или 
Следовательно, пока тангенс угла наклона пластины к горизонту меньше коэффициента трения, тело А остается в покое.

Это положение выражает так называемое условие самоторможения тела по наклонной плоскости.

3.    Учитывая, что

где — угол трения, неравенство (а) можно представить в виде

Так как углы —острые и, следовательно, меньшему тан генсу соответствует меньший угол, последнее неравенство можно заменить равносильным неравенством

Тело А находится в покое на наклонной плоскости до тех пор, пока угол наклона плоскости меньше угла трения.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Равновесие при наличии трения

Постановка Задачи. Конструкция состоит из двух шарнирно соединенных между собой тел. Одна из опор конструкции представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с трением. Коэффициент трения, размеры конструкции и часть внешних нагрузок заданы. Найти пределы изменения одной из внешних нагрузок, действующей на конструкцию в условии равновесия.

План решения:

1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением. Прикладываем к этой опоре силу трения, направляя ее в сторону противоположную возможному движению. Предельное значение силы трения связываем с величиной нормальной реакции опоры N по формуле Кулона — коэффициент трения, зависящий от свойств контактирующих материалов и заданный в условии задачи.

2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Для этого разбиваем систему на две отдельные части, для которых составляем и решаем уравнения равновесия. Из решения определяем предельное значение нагрузки д.чя заданного направления скольжения опоры.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Предыдущий пункт плана выполняем заново и определяем другое предельное значение нагрузки. Два найденных значения нагрузки определяют ту область ее изменения, при которой конструкция находится в равновесии.

Задача №10

Конструкция состоит из двух частей, шарнирно соединенных в точке С (рис. 52). Опора В представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с коэффициентом трения опора А — неподвижный шарнир. К конструкции приложена пара сил с моментом М = 10 кНм, сила Q = 10 кН под углом

Размеры даны в метрах. Найти продолы изменения нагрузки Р, действующей под углом на конструкцию, в условии равновесия.

Решение

1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением Предполагая возможное движение ползуна В влево, силу трения направим направо (рис. 53). Предельное значение силы трения связываем с нормальной реакцией опоры N по формуле Кулона:

где — коэффициент трения.

2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Для этого систему разбиваем по шарниру С на две отдельные части — АС и СВ. Реакции шарнира С для левой и правой части направлены в противоположные стороны (рис. 54). К точке А прикладываем две составляющие реакции неподвижного шарнира

Действие ползуна заменяем нормальной реакцией N, направленной вниз, так как ползун по условию задачи является односторонней связью, и силой трения Из множества комбинаций уравнений равновесия (§ 2.4, с. 60) выберем уравнение моментов относительно точки А для всей системы в целом (рис. 53) и сумму моментов относительно С для правой части:

Уравнения (2) вместе с законом Кулона (1) образуют замкнутую систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Решение системы имеет вид

При получаем Эта нагрузка для движения влево является предельной.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Пусть ползун В движется вправо. Силу направим в противоположную сторону. Очевидно, знак момента силы в уравнениях (2) изменится на противоположный, следовательно, решение для нового направления движения будет отличаться от (3) только знаком при . Формально подставляя в (3) = —0.2, получим Значения являются границами области равновесия.

Чтобы убедиться, что равновесие соответствует значениям нагрузки между этими числами, определим Р при Действительно, из (3) имеем

Из выражения (3) для N также следует, что при нормальная реакция N > 0, поэтому отрыв ползуна В от поверхности невозможен. Таким образом, рама находится в равновесии при

где

Этим нагрузкам соответствуют следующие значения нормальной реакции:

Замечание. Неравенство не является обязательным.

Трение качения

Постановка задачи. Система состоит из двух цилиндров, соединенных стержнем. Цилиндры могут кататься без проскальзывания, один цилиндр без сопротивления, другой — с трением качения. В каких пределах меняется внешний момент, приложенный к одному из цилиндров, в условии равновесия системы?

Трение качения происходит за счет деформации цилиндра и опорной поверхности в месте контакта. В результате реакция опоры смещается в сторону возможного движения на половину длины площадки контакта и создает момент сопротивления. Плечо этого момента принимают за коэффициент трения качения. Таким образом, где N— реакция опоры, — коэффициент трения качения, имеющий размерность длины. Так в рамках теоретической механики, где изучается твердое тело, для объяснения явления трения качения вводят гипотезу деформируемости. Считают, что область деформаций

в теле мала, а глубиной продавливания цилиндра в поверхность (или величиной смятия цилиндра) пренебрегают. Коэффициент трения качения зависит не только от свойств материала цилиндра и поверхности, но и от радиуса цилиндра.

План решения:

1. Задаем направление возможного движения при достижении условия предельного равновесия. К катящемуся телу (цилиндру, колесу) прикладываем момент трения качения, направляя его в сторону, противоположную возможному движению. Не забываем про силу сцепления в точке контакта, направленную вдоль плоскости.

2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Используем метод разбиения системы на отдельные тела. Внешние и внутренние связи заменяем их реакциями. Составляем и решаем уравнения равновесия. Оси координат для уравнения проекций для цилиндрических тел выбираем вдоль нормальной реакции, а уравнение моментов составляем относительно точки касания. Из решения системы уравнений равновесия определяем условие предельного равновесия.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление момента трения качения. Решаем задачу заново, определяем второе условие предельного равновесия.

Задача №11

Система состоит из двух цилиндров весом и с одинаковыми радиусами R = 50 см, соединенных однородным стержнем веса Цилиндры могут кататься без проскальзывания, цилиндр 1 — без сопротивления, а цилиндр 2 — с трением качения.

Коэффициент трения качения К цилиндру 1 приложена пара с моментом М. К оси цилиндра 2 приложена наклонная сила F = 10 Н (рис. 55). В каких пределах меняется момент М в условии равновесия системы?

Решение

1. Задаем направление возможного движения при достижении условия предельного равновесия. Пусть за счет достаточно большой, по сравнению с моментом М, силы F произойдет движение системы влево. Тогда момент трения качения, приложенный к цилиндру 2, будет направлен по часовой стрелке (рис. 57). Его величину находим по формуле

2. Решаем задачу о равновесии системы двух цилиндров и стержня. Разбиваем систему на три тела (рис. 56, 57, 58). Внешние связи заменяем реакциями

Реакции приложены к цилиндрам в точках их касания поверхностей, вызваны силами сцепления (трения) и обеспечивают вращение цилиндров. Реакции внутренних связей —

При составлении системы семи уравнений с неизвестными избегаем уравнения, в которые входят неизвестные реакции

Составляем уравнения равновесия для цилиндра 1 (рис. 56):

Уравнения равновесия цилиндра 2 (рис. 57) имеют вид

3.2.Трения качения

Уравнения равновесия стержня АВ (рис. 58) имеют вид

Из решения системы уравнений (1-3) определяем

Радиус и коэффициент трения качения переводим в метры R = 0.5 м, Получаем М — 3.414 Нм. Вычисляем нормальные реакции опор:

Убеждаемся, что что соответствует наличию опоры. Если реакция опоры равна нулю, то это означает отрыв тела от поверхности, отрицательной реакции опоры в задаче с односторонней связью не существует (физически не реализуется).

3. Меняем направление возможного движения системы. Пусть за счет действия момента М произойдет движение системы вправо. Момент трения качения направим против часовой стрелки (рис. 59). Составляя уравнения равновесия для новой системы сил, заметим, что отличие от прежней системы проявляется только в знаке во втором уравнении равновесия (2). Так как то новое решение для М будет формально отличаться от (4) только знаком у коэффициента трения Поэтому, не решая (и даже не составляя) системы уравнений равновесия типа (1-3) для нового направления возможного движения, записываем ответ, изменяя знаки у в (4):

Точно так же находим нормальные реакции опор: При равновесии системы момент, приложенный к
 цилиндру 1, изменяется в пределах (в Нм) 

Черноуцан А. И. Сила трения покоя //Квант. — 1990. — № 11. — С. 37-39,42.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Как мы обычно решаем задачи по динамике? Делаем чертеж, изображаем силы и пишем уравнения второго закона Ньютона, проектируя все силы и ускорения на выбранные оси. Чтобы решить полученные уравнения, к ним необходимо добавить формулы, отражающие закономерности, которым подчиняются действующие на тела силы. Например, вместо величины силы тяжести мы подставляем mg (m — масса тела, g — ускорение свободного падэния), вместо силы упругости — kx (k — жесткость, x — величина упругой деформации), силы трения скольжения — μN (μ — коэффициент трения, N — сила нормальной реакции). Еще на стадии составления чертежа мы опираемся на правила для определения направления сил: сила тяжести всегда направлена вниз, сила трения скольжения — против относительной скорости тела и поверхности и т. д.

Однако не все силы имеют свои законы. Так, силу нормальной реакции или силу натяжения нити нам удается определить только благодаря тем ограничениям, которые они накладывают на движение тел. Сила реакции, например, возникает ровно такой величины, чтобы обеспечить движение тела точно вдоль поверхности.

Аналогичными свойствами обладает и известная вам сила трения покоя. Рецепт для определения этой силы выглядит примерно так: сила трения покоя всегда имеет такие величину и направление, чтобы обеспечить покой тела относительно поверхности, по которой оно может двигаться. Эта сила иногда доставляет нам большие неприятности. Первые трудности возникают уже при изображении этой силы на чертеже. Про ее направление известно лишь одно — она направлена по касательной к поверхности. Но в какую сторону? Это не всегда ясно. Кроме того, при решении задач необходимо проверять, что получившееся значение силы трения лежит в допустимых пределах (0 ≤ F_тр ≤ μN); в противном случае начнется проскальзывание. И последнее: сила трения покоя выступает иногда в столь незнакомом обличии (например, в виде силы тяги поезда или машины), что порой бывает трудно ее даже распознать.

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Неподвижное тело

Пусть на тело действуют несколько сил, но при этом оно остается неподвижным. Это означает, что сила трения покоя имеет такие величину и направление, что сумма всех сил равна нулю. Какие же именно?

В простейшем случае (рис. 1) ответ очевиден[~vec F_{mp} = -vec F]. Если тело лежит на наклонной плоскости с углом α, сила трения направлена вверх вдоль плоскости и равна (~F_{mp} = mg sin alpha) (m — масса тела). Тело не соскальзывает в том случае, если (~F_{mp} le mu N = mu mg cos alpha), т. е. если tg α ≤ μ. Теперь приложим к этому телу небольшую горизонтальную силу, направленную вдоль плоскости (рис. 2), и будем увеличивать ее модуль F. При этом (~vec F_{mp}) будет изменяться как по величине, так и по направлению. Когда величина силы трения покоя (~F_{mp} = sqrt{(mg sin alpha)^2 + F^2}) достигнет значения (~mu N = mu mg cos alpha), начнется проскальзывание тела, причем в сторону, противоположную направлению (~vec F_{mp}) в этот момент.

Тело на движущейся тележке

Пусть тележка разгоняется по горизонтальной плоскости с ускорением (~vec a) (рис. 3). Чтобы тело массой m, находящееся на тележке, двигалось вместе с ней, сила трения покоя должна придать телу такое же ускорение (~vec a), как у тележки. Таким образом, (~vec F_{mp}) направлена вперед и равна (~F_{mp} = ma). Проскальзывания не будет в том случае, если (~F_{mp} le mu N = mu mg); если же ускорение тележки превысит величину (~a_0 = mu g), тело с нее соскользнет назад. На рисунке 3 изображена также сила трения (~vec F ‘_{mp}), действующая на тележку со стороны тела по третьему закону Ньютона (~vec F ‘_{mp} = -vec F_{mp}).

Тело на вращающейся платформе

Ускорение тела, неподвижного относительно вращающейся платформы, должно быть направлено к центру платформы. Так как сила трения — единственная горизонтальная сила, которая может сообщить это ускорение, она направлена к центру и равна (~m omega^2 r) (рис. 4, а). Если очень медленно увеличивать угловую скорость вращения платформы ω, то в тот момент, когда сила трения покоя достигнет величины (~mu N = mu mg), тело начнет соскальзывать с платформы. Если же платформа раскручивается быстро, то кроме центростремительного (или так называемого нормального) ускорения нужно учитывать еще одно ускорение, направленное вдоль скорости и отвечающее за изменение модуля скорости (так называемое тангенциальное ускорение, в случае медленного раскручивания мы им пренебрегли). Это значит, что сила трения покоя, обеспечивающая оба эти ускорения, точнее — две составляющие ускорения (оно, конечно же, всегда одно), будет направлена не строго в сторону центра, а под некоторым углом к радиусу (рис. 4, б).

Колесо на наклонной плоскости

Пусть колесо скатывается с наклонной плоскости, но проскальзывание между колесом и плоскостью отсутствует. Это означает, что те точки колеса, которые в данный момент соприкасаются с плоскостью, являются в этот момент неподвижными. При этом сила трения покоя имеет такую величину, чтобы обеспечивать «раскручивание» колеса (рис. 5). Если бы сила трения отсутствовала, то имело бы место не скатывание колеса, а его соскальзывание — колесо двигалось бы вдоль плоскости поступательно, без вращения.

Разгон покоящегося автомобиля

Заметим, что сила тяги мотора, разгоняющая машину, есть не что иное, как действующая на ведущие (задние) колеса сила трения покоя. На вал машины со стороны мотора через передачу действуют силы, которые пытаются повернуть колеса по часовой стрелке (рис. 6). Препятствуя проскальзыванию, и возникает сила трения покоя, направленная вперед и приводящая в движение автомобиль.

А как насчет ведомых (передних) колес — действует ли на них сила трения покоя? Да, действует, но гораздо меньшей величины, а именно такой, которая необходима для раскручивания этих колес.

Кроме этих сил, в горизонтальном направлении действует еще сила сопротивления движению, которая состоит из двух частей: силы трения качения, связанной с деформацией поверхности колеса и с неровностями на дороге, и силы сопротивления воздуха.

Машина на повороте

Пусть автомобиль совершает поворот, двигаясь с постоянной по величине скоростью. Тогда ускорение машины направлено к центру закругления, перпендикулярно скорости машины.

В эту же сторону направлена и сила трения покоя, действующая на колеса, которые катятся без проскальзывания. К сожалению, школьники часто принимают эту силу трения за силу трения скольжения (ведь автомобиль движется!) и направляют ее против скорости. Но тогда сразу возникает вопрос: а какая же сила создает центростремительное ускорение?

Интересно, что, кроме силы трения покоя, на машину и в самом деле действует сила сопротивления движению, направленная против скорости. Влияет ли она на силу трения покоя? В принципе влияет. Так как машина движется с постоянной скоростью, то сила сопротивления должна быть скомпенсирована такой же по величине силой тяги, т. е. дополнительной силой трения покоя, направленной вперед по ходу движения. Это значит, что результирующая сила трения покоя направлена под углом к радиусу (рис. 7): одна ее составляющая создает центростремительное ускорение, а другая — компенсирует силу сопротивления. На плохой дороге сила сопротивления может быть немалой, и этим обстоятельством пренебрегать нельзя. Ведь проскальзывание (и потеря управления!) произойдет в тот момент, когда именно эта полная сила трения покоя достигнет величины (~mu N = mu mg). Правда, в теоретических задачах обычно молчаливо подразумевается, что силой сопротивления можно пренебречь. Ну, а в жизни?!

Сила трения.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: силы в механике, сила трения, коэффициент трения скольжения.

Сила трения — это сила взаимодействия между соприкасающимися телами, препятствующая перемещению одного тела относительно другого. Сила трения всегда направлена вдоль поверхностей соприкасающихся тел.

В школьной физике рассматриваются два вида трения.

1.Сухое трение. Оно возникает в зоне контакта поверхностей твёрдых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки.
2.Вязкое трение. Оно возникает при движении твёрдого тела в жидкой или газообразной среде или при перемещении одного слоя среды относительно другого.

Сухое и вязкое трение имеют разную природу и отличаются по свойствам. Рассмотрим эти виды трения по отдельности.

Сухое трение.

Сухое трение может возникать даже при отсутствии относительного перемещения тел. Так, тяжёлый диван остаётся неподвижным при слабой попытке сдвинуть его с места: наша сила, приложенная к дивану, компенсируется силой трения, возникающей между диваном и полом. Сила трения, которая действует между поверхностями покоящихся тел и препятствует возникновению движения, называется силой трения покоя.

Почему вообще появляется сила трения покоя? Соприкасающиеся поверхности дивана и пола являются шероховатыми, они усеяны микроскопическими, незаметными глазу бугорками разных форм и размеров. Эти бугорки зацепляются друг за друга и не дают дивану начать движение. Сила трения покоя, таким образом, вызвана силами электромагнитного отталкивания молекул, возникающими при деформациях бугорков.

При плавном увеличении усилия диван всё ещё не поддаётся и стоит на месте — сила трения покоя возрастает вместе с увеличением внешнего воздействия, оставаясь равной по модулю приложенной силе. Это понятно: увеличиваются деформации бугорков и возрастают силы отталкивания их молекул.

Наконец, при определённой величине внешней силы диван сдвигается с места. Сила трения покоя достигает своего максимально возможного значения. Деформации бугорков оказываются столь велики, что бугорки не выдерживают и начинают разрушаться. Возникает скольжение.

Сила трения, которая действует между проскальзывающими поверхностями, называется силой трения скольжения. В процессе скольжения рвутся связи между молекулами в зацепляющихся бугорках поверхностей. При трении покоя таких разрывов нет.

Объяснение сухого трения в терминах бугорков является максимально простым и наглядным. Реальные механизмы трения куда сложнее, и их рассмотрение выходит за рамки элементарной физики.

Сила трения скольжения, приложенная к телу со стороны шероховатой поверхности, направлена противоположно скорости движения тела относительно этой поверхности. При изменении направления скорости меняется и направление силы трения. Зависимость силы трения от скорости — главное отличие силы трения от сил упругости и тяготения (величина которых зависит только от взаимного расположения тел, т. е. от их координат).

В простейшей модели сухого трения выполняются следующие законы. Они являются обобщением опытных фактов и носят приближённый характер.

1. Максимальная величина силы трения покоя равна силе трения скольжения.
2. Абсолютная величина силы трения скольжения прямо пропорциональна силе реакции опоры:

.

Коэффициент пропорциональности — называется коэффициентом трения.

3. Коэффициент трения не зависит от скорости движения тела по шероховатой поверхности.
4. Коэффициент трения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.

Этих законов достаточно для решения задач.

Задача. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит брусок массой кг. Коэффициент трения . К бруску приложена горизонтальная сила . Найти силу трения в двух случаях: 1) при 2) при .

Решение.Сделаем рисунок, расставим силы. Силу трения обозначаем (рис. 1).

Рис. 1. К задаче

Запишем второй закон Ньютона:

(1)

Вдоль оси брусок не совершает движения, . Проектируя равенство (1) на ось , получим: , откуда .

Максимальная величина силы трения покоя (она же сила трения скольжения) равна

.

1) Сила меньше максимальной силы трения покоя. Брусок остаётся на месте, и сила трения будет силой трения покоя:
2) Сила больше максимальной силы трения покоя. Брусок начнёт скользить, и сила трения будет силой трения скольжения: .

Вязкое трение.

Сила сопротивления, возникающая при движении тела в вязкой среде (жидкости или газе), обладает совершенно иными свойствами.

Во-первых, отсутствует сила трения покоя. Например, человек может сдвинуть с места плавающий многотонный корабль, просто потянув за канат.

Во-вторых, сила сопротивления зависит от формы движущегося тела. Корпус подводной лодки, самолёта или ракеты имеет обтекаемую сигарообразную форму — для уменьшения силы сопротивления. Наоборот, при движении полусферического тела вогнутой стороной вперёд сила сопротивления очень велика (пример — парашют).

В третьих, абсолютная величина силы сопротивления существенно зависит от скорости. При малых скоростях движения сила сопротивления прямо пропорциональна скорости:

.

При больших скоростях сила сопротивления прямо пропорциональна квадрату скорости:

.

Например, при падении в воздухе зависимость силы сопротивления от квадрата скорости имеет место уже при скоростях около нескольких метров в секунду. Коэффициенты и зависят от формы и размеров тела, от физических свойств поверхности тела и вязкой среды.

Так, парашютист при затяжном прыжке не набирает скорость безгранично, а с определённого момента начинает падать с установившейся скоростью, при которой сила сопротивления становится равна силе тяжести:

.

Отсюда установившаяся скорость:

(2)

Задача. Два металлических шарика, одинаковых по размеру и различных по массе, падают без начальной скорости с одной и той же большой высоты. Какой из шариков быстрее упадёт на землю — лёгкий или тяжёлый?
Решение. Из формулы (2) следует, что у тяжёлого шарика установившаяся скорость падения больше. Значит, он дольше будет набирать скорость и потому быстрее достигнет земли.

Синтез наук – оружие познания XXI века

Продолжение. См. № 15, 17/05

К.Ю.Богданов,
школа № 1326, г. Москва. KBogdanov@mtu-net.ru

Элективный курс, 10–11 классы,
естественнонаучный профиль (136 ч, 2 ч/нед.)

Уроки 7–8. Всё о силе трения

С трением мы сталкиваемся на каждом
шагу, но без трения мы не сделали бы и шага.
Невозможно представить себе мир без сил трения. В
отсутствие трения многие кратковременные
движения продолжались бы бесконечно. Земля
сотрясалась бы от непрерывных землетрясений, т.к.
тектонические плиты постоянно сталкивались бы
между собой. Все ледники сразу же скатились бы с
гор, а по поверхности Земли носилась бы пыль от
прошлогоднего ветра. Как хорошо, что всё-таки
есть на свете сила трения! С другой стороны,
трение между деталями машин приводит к их износу
и дополнительным расходам. Приблизительные
оценки показывают, что научные исследования в
трибологии – науки о трении – могли бы сберечь
от 2 до 10% национального валового продукта.

Классический закон трения. Два самых
главных изобретения человека – колесо и
добывание огня – связаны с силой трения.
Изобретение колеса позволило значительно
уменьшить силу, препятствующую движению, а
добывание огня поставило силу трения на службу
человеку. Однако до сих пор учёные далеки от
полного понимания физических основ силы трения.
И вовсе не оттого, что людей с некоторых пор
перестало интересовать это явление. Первая
формулировка законов трения принадлежит
великому Леонардо (1519 г.), который утверждал, что
сила трения, возникающая при контакте тела с
поверхностью другого тела, пропорциональна силе
прижатия, направлена против направления
движения и не зависит от площади контакта. Этот
закон был заново открыт через 180 лет Г.Амонтоном,
а затем уточнён в работах Ш.Кулона (1781 г.). Амонтон
и Кулон ввели понятие коэффициента трения как
отношения силы трения к нагрузке, придав ему
значение физической константы, полностью
определяющей силу трения для любой пары
контактирующих материалов. До сих пор именно эта
формула:

Fтр = N,
         (1)

где Fтр – сила трения, N – составляющая
силы прижатия, нормальная к поверхности
контакта, а –
коэффициент трения, – является единственной
формулой, которую можно найти в учебниках по
физике.

В течение двух столетий
экспериментально доказанный закон (1) никто не
смог опровергнуть и до сих пор он звучит так, как
и 200 лет назад:

1. Сила трения прямо пропорциональна
нормальной составляющей силы, сжимающей
поверхности скользящих тел, и всегда действует в
направлении, противоположном направлению
движения.

2. Сила трения не зависит от величины
поверхности соприкосновения.

3. Сила трения не зависит от скорости
скольжения.

4. Сила трения покоя всегда больше силы
трения скольжения.

5. Сила трения зависит только от
свойств двух материалов, которые скользят друг
по другу.

Потираем руки и проверяем основной
закон трения. Сила трения – одна из
диссипативных сил. Другими словами, вся работа,
расходуемая на её преодоление, переходит в тепло.
Значения m, приводимые в инженерных справочниках,
позволяют оценивать этот нагрев в проектируемых
приборах и устройствах (см. таблицу). Ну а мы
попробуем найти количество выделяющейся
тепловой энергии, когда, разогреваясь, потираем
руки или разогреваем с их помощью охлаждённые
участки тела.

Пусть мы сжимаем ладони с силой 0,5 Н, и для трения кожи о
кожу составляет 0,5. Тогда сила трения, которую мы
преодолеваем при скольжении одной ладони по
поверхности другой, будет равна 0,25 Н. Если
считать, что, разогреваясь, мы за одну секунду
совершаем четыре движения ладони, и каждое из них
по 0,1 м, то мощность, расходуемая на преодоление
силы трения, составляет 0,1 Вт. За 10 с такого
разогрева в области контакта ладоней выделится 1
Дж тепловой энергии. Пусть всё тепло идёт на
разогрев участка поверхности кожи площадью 0,01 м²
и толщиной 0,001 м, который имеет массу около 10^–5
кг и удельную теплоёмкость, близкую к
теплоёмкости воды (4 кДж/(кг .  °С). Значит, наш
разогрев приведёт к нагреву этого участка на 25
°С. Видно, что оценка нагрева получилась явно
завышенной. Большая часть тепла от разогрева,
конечно, уходит в ткани, расположенные под кожей
и разносится по телу с кровотоком, но и
оставшейся части тепловой энергии оказывается
достаточно, чтобы поднять температуру кожи на
несколько градусов.

Тормозной путь. Две машины столкнулись
на перекрёстке. Повреждения небольшие, т.к.
каждый успел почти полностью затормозить перед
аварией. Поэтому и виноватым себя считать никто
не хочет. Приехавший инспектор решил, что виноват
тот, у кого длина тормозного пути – чёрного следа
от колёс – больше. Почему?

Пусть машина выезжала на перекрёсток
со скоростью , и
её водитель, увидев другую машину, стал
тормозить, оставив на дороге след длиной L. Если
считать, что к моменту столкновения вся
кинетическая энергия автомобиля перешла в
работу по преодолению силы трения (в тепло), то   где m – масса
автомобиля, а g – ускорение свободного падения.
Откуда следует, что длина тормозного пути
пропорциональна квадрату скорости автомобиля.
Значит, тот, кто подъезжал к перекрёстку с
большей скоростью, имеет и большую длину
тормозного пути. Так, например, для = 0,7 длина тормозного пути
30 м соответствует скорости движения 73 км/ч, что на
13 км/ч больше разрешённой скорости движения по
улицам города.

А почему все шины чёрные? Все
изготовители шин используют один и тот же
процесс – вулканизацию жидкой резины, при
котором одной из добавок служит угольная пудра. В
результате длинные молекулы жидкой резины
сшиваются между собой, что превращает её в
эластичный и прочный материал. Так как частички
угля чёрные и их относительно много (около 25% по
весу), то и резина становится чёрной. Чем больше
добавлять угольной пудры, состоящей практически
из одного углерода, тем более жёсткой, прочной и
менее прилипчивой будет резина.

Как нажимать на газ и тормоз, чтобы
быстрее разогнаться и остановиться? Некоторые
водители, увидев, что на светофоре зажёгся
зелёный свет, вдавливают педаль газа до самого
пола, пытаясь как можно быстрее набрать
максимальную скорость. Свидетели такого старта
слышат свист проскальзывающих относительно
дороги шин. Со стороны это выглядит,
действительно, очень впечатляюще. Но как на самом
деле? Неужели, для того чтобы машина приобрела
наибольшее ускорение, надо заставлять колёса
скользить по дорожному покрытию? Конечно, нет.

Известно, что движущей силой
автомобиля служит сила трения его колёс о
дорожное покрытие. Если резко нажать на педаль
газа, вызвав проскальзывание шин относительно
асфальта, то максимальное ускорение будет
пропорционально силе трения скольжения, которая
всегда меньше максимальной силы трения покоя.
Поэтому быстрее ускоряются не те, кто сжигает
резину покрышек, а те, кто использует силу трения
покоя (т.е. не допускает скольжения) в том
диапазоне, где она превышает силу трения
скольжения.

Резкое торможение, как и ускорение,
может привести к скольжению колёс по дорожному
покрытию, а значит, к уменьшению силы, тормозящей
автомобиль. Ведь тормозящей силой является тоже
сила трения. Поэтому, нажав очень резко на педаль
газа и допустив проскальзывание, мы увеличиваем
тормозной путь. Чтобы минимизировать тормозной
путь, в современных автомобилях устанавливают
систему ABS (Antilock Brake System), которая, препятствуя
скольжению колёс по дорожному покрытию,
трансформирует резкое нажатие на тормоз в
последовательность нескольких торможений.
Эффективность ABS-торможения особенно высока на
мокрых дорогах, когда максимальная сила трения
покоя может в несколько раз превышать силу
трения скольжения.

Зависимость силы трения, действующей
на тело, от силы, которая может привести или
приводит к движению тела для сухого и мокрого
дорожного покрытия

Для чего нужен рисунок на шинах
автомобиля? Если машина въезжает в лужу, а вода не
успевает выскочить из-под колеса, то сцепление с
дорогой теряется, и колесо может вращаться
вокруг оси, не испытывая трения. В этом случае
машина теряет движущую силу и становится
неуправляемой. Вот почему на покрышках
автомобильных шин находятся канавки, помогающие
воде выбираться из-под колеса, что помогает
резине шин даже в лужах быстро находить контакт с
покрытием дороги. Зимой большинство водителей
«обувают» свои машины в зимнюю резину. Если
ездить на летних покрышках зимой, то узкие
канавки быстро забьются снегом, а он,
превратившись в лёд, сделает из автомобиля
прекрасное средство для неуправляемого
скольжения по дорогам. Поэтому покрышки,
приспособленные для езды по заснеженным и
обледенелым дорогам, имеют широкие канавки и
гораздо большую поверхность контакта с дорожным
покрытием. Ну а если предстоит ехать по
бездорожью, то покрышки должны быть глубоко
рифлёными, т.к. грязь, имеющая большую вязкость,
просто не пролезет через канавки, когда будет
двигаться под весом наезжающего колеса.

Покрышки автомобильных шин,
предназначенные для летних (слева),
зимних (в середине) дорог и бездорожья (справа)

Гонки «Формулы-1» – война шин. Каждый
пилот гоночного болида хочет иметь хорошее
сцепление с дорогой, чтобы обеспечить быстрый
старт. Но это значит, что шины его автомобиля
должны хорошо прилипать к дорожному покрытию.
Ведь только тогда максимальная сила трения покоя
будет велика. Но такая прилипчивая шина всегда
будет оставлять на дороге след из частичек,
прилипших навсегда к дорожному покрытию. Другими
словами, износ шин с высоким сцеплением тоже
высок. Поэтому на гонках «Формулы-1» средний
ресурс шины около 200 км, в то время как у
обычных шин он может составлять несколько
десятков тысяч километров.

Шины гоночных болидов «Формулы-1» очень
широкие и совсем «лысые»

Известно, что автомобильные гонки
проходят на лысой резине или шинах с несколькими
очень неглубокими канавками. Канавки в шинах
гоночных машин не нужны, т.к. они увеличивают
сцепление с дорогой только тогда, когда она
мокрая. А при мокрой дороге гонки отменяют.

Для производства шин гоночных
автомобилей используется специальная липкая
резина. Поэтому сила трения этих шин на сухой
дороге растёт с увеличением площади контакта,
таким образом вступая в противоречие с
классическим законом, справедливым для трения
твёрдых и неэластичных поверхностей. Чтобы
обеспечить максимальную силу трения, шины колёс
гоночных автомобилей делают очень широкими (до
0,38 м), что также позволяет лучше рассеивать
тепло, образующееся при трении о дорожное
покрытие.

Чистая резина прилипает к дороге
лучше, чем грязная. Поэтому перед самым стартом
покрышки с помощью специальных устройств и
процедур нагревают до 80°С, очищая их поверхность,
обеспечивая хорошее прилипание к дорожному
покрытию. Кстати, шины гоночных автомобилей
иногда надувают азотом, т.к. влага, содержащаяся в
обычном воздухе, при нагревании шин испаряется и
увеличивает давление в колёсах, что создаёт
дополнительные трудности в управлении.

О чём поют колёса? Шум, издаваемый
колёсами автомобилей, – одна из основных проблем
больших городов. Огромные средства тратятся
ежегодно на борьбу с этим шумом, т.к. стоимость
одного километра звукопоглощающего барьера,
устанавливаемого вдоль шоссе, близка к миллиону
долларов. Есть несколько теорий возникновения
этого шума. В одной из них считается, что он
возникает из-за колебаний деформированных
участков внешней части покрышки, после того как
они распрямляются. Другая связывает появление
шума с отлипанием резины от дороги. Ну а самая
романтичная гипотеза объясняет шум тем, что
причиной всему воздух, двигающийся по канавкам
автомобильных покрышек, как по трубам органа, и
поэтому поющий.

Классики не всегда правы. Уже в XIX в.
стало ясно, что закон Амонтона–Кулона не даёт
правильного описания силы трения, а коэффициенты
трения отнюдь не являются универсальными
характеристиками. Прежде всего было отмечено,
что коэффициенты трения зависят не только от
того, какие материалы контактируют, но и от того,
насколько гладко обработаны контактирующие
поверхности. Выяснилось, например, что сила
трения в вакууме всегда больше, чем при
нормальных условиях.

Как отмечает лауреат Нобелевской
премии по физике (1965) Р.Фейнман в своих лекциях,
«…таблицы, в которых перечислены коэффициенты
трения “стали по стали, меди по меди” и прочее,
всё это сплошное надувательство, ибо в них этими
мелочами пренебрегают, а ведь они-то и определяют
значение .
Трение “меди о медь” и т.д. – это на самом деле
трение “о загрязнения, приставшие к меди”».

Можно, конечно, пойти по другому пути и,
изучая трение «меди по меди», измерять силы при
движении идеально отполированных и
дегазированных поверхностей в вакууме. Но тогда
два таких куска меди просто слипнутся, и
коэффициент трения покоя начнёт расти со
временем, прошедшим с начала контакта
поверхностей. По тем же причинам коэффициент
трения скольжения будет зависеть от скорости
(расти с её уменьшением). Значит, точно определить
силу трения для чистых металлов тоже невозможно.

Тем не менее для сухих стандартных
поверхностей классический закон трения почти
точен, хотя причина такого вида закона до самого
последнего времени оставалась непонятной. Ведь
теоретически оценить коэффициент трения между
двумя поверхностями никто так и не смог.

Как атомы трутся друг о друга? –
спрашиваем у учёных. Сложность изучения трения
заключается в том, что место, где этот процесс
происходит, скрыт от исследователя со всех
сторон. Несмотря на это, учёные уже давно пришли к
заключению, что сила трения связана с тем, что на
микроскопическом уровне (т.е. если посмотреть в
микроскоп) соприкасающиеся поверхности очень
шероховатые, даже если они отполированы. Поэтому
скольжение двух поверхностей друг по другу может
напоминать фантастический случай, когда
перевёрнутые Кавказские горы трутся, например, о
Гималаи.

Прежде думали, что механизм трения
несложен: поверхность покрыта неровностями, и
трение есть результат следующих друг за другом
циклов «подъём–спуск» скользящих частей. Но это
неправильно, ведь тогда не было бы потерь
энергии, а при трении расходуется энергия.
Поэтому более правильной можно считать
следующую модель трения. При скольжении трущихся
поверхностей микронеровности задевают друг за
друга, и в точках соприкосновения противостоящие
друг другу атомы сцепляются. При дальнейшем
относительном движении тел эти сцепки рвутся, и
возникают колебания атомов, подобные тем, какие
происходят при отпускании растянутой пружины. Со
временем эти колебания затухают, а их энергия
превращается в тепло, растекающееся по обоим
телам. В случае скольжения мягких тел возможно
также разрушение микронеровностей, так
называемое «пропахивание», в этом случае
механическая энергия расходуется на разрушение
атомарных связей.

Таким образом, если мы хотим изучать
трение, нам надо ухитриться двигать песчинку,
состоящую из несколько атомов, вдоль поверхности
на очень маленьком расстоянии от неё, измеряя при
этом силы, действующие на эту песчинку со стороны
поверхности. Это стало возможным после
изобретения атомно-силового микроскопа (АСМ)
Г.Биннингом и Г.Рорером, которым в 1986 г. была
присуждена Нобелевская премия по физике.
Создание такого микроскопа, способного
чувствовать силы притяжения и отталкивания
между отдельными атомами, дало возможность
наконец «пощупать», что такое силы трения, открыв
новую область науки о трении – нанотрибологию.

Основой АСМ служит микрозонд, обычно
сделанный из кремния и представляющий собой
тонкую пластинку-консоль (её называют
кантилевером, от англ. cantilever – консоль, балка). На
конце кантилевера (длина 500 мкм, ширина 50 мкм,
толщина 1 мкм) делается очень острый шип (высота 10
мкм, радиус закругления 1–10 нм), оканчивающийся
группой из одного или нескольких атомов. При
перемещении микрозонда вдоль поверхности
образца остриё шипа приподнимается и опускается,
очерчивая микрорельеф поверхности, подобно
скользящей по грампластинке игле. На выступающем
конце кантилевера (над шипом) расположена
зеркальная площадка, на которую падает и от
которой отражается луч лазера. Когда шип
опускается и поднимается на неровностях
поверхности, отражённый луч отклоняется, и это
отклонение регистрируется фотодетектором.
Данные фотодетектора используются в системе
обратной связи, которая может обеспечивать либо
постоянное удаление шипа от поверхности образца,
либо постоянную силу давления острия на образец.

В первом случае пьезоэлектрический
преобразователь может регистрировать движение
кантилевера, прыгающего от одного атома
исследуемой поверхности к другому, строя таким
образом объёмный рельеф поверхности образца в
режиме реального времени. Разрешающая
способность таких микроскопов составляет
примерно 0,1–1 нм по горизонтали и 0,01 нм по
вертикали. Смещая зонд по горизонтали, можно
получить серию рельефов и с помощью компьютера
построить трёхмерное изображение.

С помощью АСМ с начала 1990-х гг.
проводятся систематические исследования силы
трения микрозондов при их скольжения вдоль
различных поверхностей и зависимости этих сил от
силы прижатия. Оказалось, что для обычно
используемых зондов, сделанных из кремния,
микроскопическая сила трения скольжения
составляет около 60–80% от прижимающей силы,
которая составляет не более 10 нН. Как и следовало
ожидать, сила трения скольжения растёт с
размером микрозонда, т.к. количество атомов,
одновременно его притягивающих, увеличивается.
Таким образом, сила трения скольжения микрозонда
зависит от площади его контакта с поверхностью,
что противоречит классическому закону трения.
Оказалось также, что сила трения скольжения не
становится нулевой при отсутствии силы,
прижимающей микрозонд к поверхности. Да это и
понятно, т.к. окружающие микрозонд атомы
поверхности так близко к нему расположены, что
притягивают его даже в отсутствие внешней силы
сжатия. Поэтому и основное предположение
классического закона – о прямой
пропорциональной зависимости силы трения от
силы сжатия – тоже не соблюдается в
нанотрибологии.

Однако все эти расхождения между
основным законом и данными нанотрибологии,
полученными с помощью АСМ, легко устраняются. При
увеличении силы, прижимающей скользящее тело,
увеличивается количество микроконтактов, а
значит, увеличивается и суммарная сила трения
скольжения. Поэтому никаких противоречий между
только что полученными данными и старым законом
нет.

Зависимость силы трения скольжения
микрозонда от внешней силы N, прижимающей его к
графитовой поверхности. Радиус кривизны зонда 17
нм (вверху) и 58 нм (внизу). При малых N
зависимость нелинейная, а при больших
приближается к линейной (пунктир). Данные взяты
из статьи Х.Холшера и А.Шварца (2002)

Долгое время было принято считать, что,
принуждая одно тело скользить по другому, мы
ломаем малые неоднородности одного тела, которые
цепляются за неоднородности поверхности
другого, и для того, чтобы ломать эти
неоднородности, и нужна сила трения. Поэтому
старые представления часто связывают силу
возникновение силы трения с повреждением
микровыступов трущихся поверхностей, их так
называемым износом. Нанотрибологические
исследования с помощью АСМ и других современных
методик показали, что сила трения между
поверхностями может существовать даже тогда,
когда они не повреждаются. Причиной такой силы
трения служат постоянно возникающие и рвущиеся
адгезионные связи между трущимися атомами.

Почему лёд скользкий? Узнать, почему
можно скользить по льду, удалось учёным только
сейчас. А началось всё давным-давно, в 1849 г. Братья
Джеймс и Вильям Томсоны (последнему впоследствии
за большие заслуги было присвоен титул лорда
Кельвина) выдвинули гипотезу, согласно которой
лёд под нами плавится оттого, что мы на него
давим. И поэтому мы скользим уже не по льду, а по
образовавшейся плёнке воды на его поверхности.

Действительно, если увеличить
давление, то температура плавления льда
понизится. Происходит это вот почему. Известно,
что плотность льда меньше плотности воды, и
поэтому, когда лёд сжимают, он, «пытаясь»
уменьшить деформацию, вызванную ростом давления,
«понижает» температуру плавления. Это одно из
проявления так называемого принципа Ле Шателье:
внешнее воздействие, выводящее систему из
термодинамического равновесия, вызывает в ней
процессы, стремящиеся ослабить результаты этого
воздействия. Расчёты и эксперименты показали,
что для того, чтобы понизить температуру
плавления льда на один градус, необходимо
давление увеличить до 121 атм (1,22 МПа). Попробуем
посчитать, какое давление оказывает спортсмен на
лёд, когда скользит по нему на одном коньке
длиной 20 см и толщиной 0,3 см. Если считать, что
масса спортсмена 75 кг, то его давление на лёд
составит около 12 атм. Таким образом, стоя на
коньках, мы едва ли сможем понизить температуру
плавления льда больше, чем на 1 °С. Значит,
объяснить скольжение по льду в коньках и тем
более в обычной обуви, опираясь на принцип Ле
Шателье, невозможно, если за окном, например, –10
°С.

В 1939 г., когда стало ясно, что
понижением температуры плавления скользкость
льда не объяснить, Ф.Бауден и Т.Хьюз предположили,
что тепло, необходимое для плавления льда под
коньком, даёт сила трения. Однако эта теория не
могла объяснить, почему так тяжело бывает даже
стоять на льду, не двигаясь. С начала 1950-х гг.
учёные стали считать, что лёд скользкий из-за
тонкой плёнки воды, образующейся на его
поверхности в силу каких-то неизвестных причин.
Только в конце 1990-х гг. изучение того, как
рассеивает лёд рентгеновские лучи,
действительно показало, что его поверхность не
является упорядоченной кристаллической
структурой, а скорее похожа на жидкость.

Учёные объяснили это тем, что
расположенные на поверхности льда молекулы воды
находятся в особых условиях. Силы, заставляющие
их находиться в узлах гексагональной решётки,
действуют на них только снизу. Поэтому
поверхностным молекулам ничего не стоит
«уклониться от советов» молекул, находящихся в
решётке, и если это происходит, то к такому же
решению приходят сразу несколько поверхностных
слоёв молекул воды. В результате на поверхности
льда образуется плёнка жидкости, служащая
хорошей смазкой при скольжении.

Кстати, тонкие плёнки жидкости
образуются не только на поверхности льда, но и
многих других кристаллов. Толщина жидкой плёнки
увеличивается с ростом температуры, т.к. более
высокая тепловая энергия молекул вырывает из
гексагональных решёток больше поверхностных
слоёв. Наличие примесей (молекул, отличных от
воды) тоже мешает поверхностным слоям
образовывать кристаллические решётки. Поэтому
увеличить толщину жидкой плёнки можно, растворив
в ней какие-либо примеси, например, обычную соль.
Этим и пользуются коммунальные службы, когда
борются зимой с обледенением дорог и тротуаров.

Схематическое изображение поперечного среза
льда. Беспорядочное расположение молекул воды на
поверхности соответствует плёнке жидкости, а
гексагональная структура в толще –
кристаллическому льду. Серые кружки – атомы
кислорода, белые – водорода

Трение качения – это совсем другое. В
идеальном случае, когда колесо, сделанное из
несжимаемого материала, по инерции катится по
гладкой недеформируемой поверхности, никакие
силы трения на это колесо не действуют. Колесо,
касаясь поверхности в одной точке, вращается
вокруг этой точки, потом точкой касания и центром
вращения становится другая точка и т.д. Так как
точка касания не движется относительно
поверхности, то и сила трения скольжения
отсутствует.

Однако в реальных условиях дорожное
покрытие, и материал, из которого сделан диск
колеса, не являются абсолютно жёсткими.
Рассмотрим сначала первый случай. Если поставить
колесо на мягкую поверхность, надавить сверху с
силой P и пытаться, вращая его, продвинуть вперёд
со скоростью v, то мы столкнёмся с силой
сопротивления качению Fк. Колесо деформирует
поверхность под собой так, что впереди
появляется бугорок, который всё время приходится
преодолевать. Горизонтальная составляющая сил
реакции этого бугорка и представляет собой силу
трения качения Fк. Вертикальные составляющие сил
сопротивления бугорка компенсируются силой
тяжести автомобиля. Так как высота бугорка
пропорциональна весу колеса (или укреплённого на
нём автомобиля), то и сила трения качения Fк тоже
пропорциональна весу автомобиля и силе реакции
со стороны дороги N : Fк = кN.

Качение несжимаемого колеса радиуса R
по несжимаемой поверхности. K – точка касания и
мгновенный центр вращения колеса с угловой
скоростью ,
результатом которого является движение центра
колеса О со скоростью

При качении мягкого колеса по твёрдой
дороге на переднюю часть соприкасающейся с
дорогой поверхности колеса всё время «наезжают».
Поэтому она сжимается больше, чем задняя, и сила
реакции от передней части колеса, направленная
противоположно движению, тоже больше. Сила
трения качения равна разности горизонтальных
составляющих сил реакции от передней и задней
частей колеса. Так как сжатие колеса
пропорционально весу машины (или силе реакции
опоры), то Fк = кN.

Возникновение силы трения при качении
твёрдого колеса по мягкой дороге

Силы трения качения определяются
жёсткостью материалов колеса и дорожного
покрытия. Чем больше жёсткость, тем меньше
величина трения качения. Поэтому, чтобы
сократить расходы на топливо, необходимо как
можно сильнее накачивать автомобильные колеса,
делая их более жёсткими. Достаточно пощупать
колёса грузовика, чтобы убедиться в этом. У
пассажирского автомобиля давление в колёсах
гораздо меньше, т.к. с жёсткими колёсами
пассажиры будут ощущать все неровности дороги. В
результате его шины больше деформируются, и
соответственно растёт сила трения качения.

Возникновение силы трения при качении
мягкого колеса по жёсткой дороге. При качении
мягкого колеса деформация его передних участков
больше, что приводит к появлению горизонтальной
составляющей силы, действующей со стороны
дороги, и силы, тормозящей движение, – силы
трения качения

Сила, необходимая для преодоления
трения качения, пропорциональна весу автомобиля
и, вообще говоря, не зависит от скорости его
движения. Чтобы измерить эту силу, поместите
машину на горизонтальный участок дороги,
поставьте рычаг переключения скоростей в
нейтральное положение (отсоедините колёса от
двигателя) и выключите зажигание. После этого
привяжите к автомобилю трос, а к нему – пружинные
весы. Прикладывая к тросу силу, постарайтесь
сдвинуть машину с места и равномерно тянуть её.
Одновременно с этим ваш помощник должен смотреть
на показания весов и записывать их. Если нет
пружинных весов, можно использовать бытовые весы
для взвешивания человека. Такими весами можно
толкать машину, используя их в качестве
прокладки. Сила трения качения для автомобиля
массой 1000 кг в среднем составляет около 100 Н.

Для очень дальних перевозок построили железные
дороги, где железное колесо катится по железному
рельсу с очень малым коэффициентом трения
качения. Тормозят поезда медленно, но
эксплуатация их очень выгодна.

Определения

Трение — вариант взаимодействия двух тел. Оно возникает при движении одного тела по поверхности другого. При этом тела действуют друг на друга с силой, которая называется силой трения. Сила трения имеет электромагнитную природу.

Сила трения — сила, возникающая между телами при их движении или при попытке их сдвинуть. Обозначается как F_тр. Единица измерения — Н (Ньютон).

Трение бывает сухим и жидким. В школьном курсе физике изучается сухое трение.

Виды сухого трения:

1. трение скольжения;
2. трение качения;
3. трение покоя.

Трение скольжения

Трение скольжения — трение, возникающее при скольжении одного тела по поверхности другого. Сила трения скольжения направлена противоположно направлению движения тела: F_тр↑↓v.

Сила трения скольжения определяется формулой:

μ — коэффициент трения, N — сила реакции опоры, F_давл. — сила нормального давления

Сила реакции опоры и сила нормального давления — равные по модулю, но противоположные по направлению силы. Если тело не перемещается с ускорением относительно оси ОУ, модули силы реакции опоры и силы нормального давления равны модулю силы тяжести, действующей на это тело.

Силу трения скольжения зависит от степени неровности (шероховатости) поверхности. Поэтому ее можно легко менять.

Чтобы увеличить силу трения скольжения, нужно сделать поверхность тела более шероховатой. Так, чтобы зимой автомобили не скользили по голому льду, автомобилисты используют зимние шины. От летних они отличаются глубоким протектором и наличием шипов, создающих дополнительную неровность.

Чтобы уменьшить силу трения скольжения, нужно сделать поверхность более ровной. Ее можно отшлифовать или смазать. Так, чтобы лыжи скользили по снегу лучше, их смазывают специальными мазями или парафинами.

Полезные факты

• Если тело движется по гладкой поверхности, сила трения между ними отсутствует.
• Сила трения скольжения не зависит от площади соприкосновения тел.
• Сила трения качения обычно в несколько раз меньше силы трения скольжения. Поэтому тяжелые грузы перемещают не волоком, а с помощью тележек на колесах.

Пример №1. Конькобежец массой 70 кг скользит по льду. Какова сила трения, действующая на конькобежца, если коэффициент трения скольжения коньков по льду равен 0,002?

Сила реакции опоры по модулю равна силе тяжести, действующей на конькобежца. Отсюда:

Трение покоя

Трение покоя возникает при попытке сдвинуть предмет с места. Трение покоя противоположно направлено приложенной к телу силе (в сторону возможного движения).

Сила трения покоя всегда больше нуля, но всегда меньше силы трения скольжения:

0 < F_тр.пок. < F_{тр. ск.}

Способы определения вида силы трения, возникающей между телами, и ее модуля:

• Когда к телу прикладывается сила F , модуль которой меньше силы трения скольжения, возникает сила трения покоя. Тело продолжает покоиться. При этом модуль силы трения покоя равен модулю прикладываемой к телу силы. Если F < F_{тр. ск.}, F_тр.пок. = F.
• Когда к телу прикладывается сила, модуль которой равен силе трения скольжения или превышает ее, возникает сила трения скольжения. Тело при этом начинает двигаться. Сила трения определяется формулой силы трения скольжения. Если F ≥ F_{тр. ск.}, F_тр. = F_тр.ск.

Графически это можно изобразить так:

Пример №2. На горизонтальном полу стоит ящик массой 20 кг. Коэффициент трения между полом и ящиком равен 0,3. К ящику в горизонтальном направлении прикладывают силу 36 Н. Какова сила трения между ящиком и полом?

Чтобы определить вид трения, возникающего между ящиком и полом, нужно найти силу трения скольжения и сравнить с ней приложенную к ящику силу.

Сила, приложенная к ящику, меньше силы трения скольжения. Значит, между ящиком и полом возникает сила трения покоя. Модуль силы трения покоя равен модулю приложенной силы:

F_тр.пок. = F = 36 (Н).

Описание движения тел с учетом сил трения

Тело может двигаться по горизонтальной, наклонной или вертикальной плоскости. Оно может покоиться, двигаться равномерно или с ускорением, а сила тяги, под действием которой движется тело, может быть направлена, как в сторону движения тела, так и под углом к плоскости. Поэтому применение законов Ньютона к каждому из случаев имеет свои особенности.

Движение тела по горизонтальной плоскости

Равноускоренное движение по горизонтали, сила тяги параллельная плоскости
	Второй закон Ньютона в векторной форме: mg + N + Fт + Fтр = ma Проекция на ось ОХ: Fт – Fтр = ma Проекция на ось ОУ: N – mg = 0
Равнозамедленное движение по горизонтали, сила тяги параллельная плоскости
	Второй закон Ньютона в векторной форме: mg + N + Fт + Fтр = ma Проекция на ось ОХ: – Fтр = –ma Проекция на ось ОУ: N – mg = 0
Ускоренное движение по горизонтали, сила тяги направлена под углом к горизонту (вверх)
	Второй закон Ньютона в векторной форме: mg + N + Fт + Fтр = ma Проекция на ось ОХ: Fтcosα – Fтр = ma Проекция на ось ОУ: Fтsinα + N – mg = 0
Ускоренное движение по горизонтали, сила тяги направлена под углом к горизонту (вниз)
	Второй закон Ньютона в векторной форме: mg + N + Fт + Fтр = ma Проекция на ось ОХ: Fтcosα – Fтр = ma Проекция на ось ОУ: N – Fтsinα – mg = 0

Внимание! В случаях, когда сила тяги F_т направлена под углом к плоскости движения, сила реакции опоры не равна силе тяжести: N ≠ mg.

Пример №3. Брусок массой 1 кг движется равноускоренно по горизонтальной поверхности под действием силы 10 Н, как показано на рисунке. Коэффициент трения скольжения равен 0,4, а угол наклона α — 30 градусов. Чему равен модуль силы трения?

Сила трения равна произведению коэффициента трения скольжения на силу реакции опоры:

F_тр = μN

Проекция сил на ось ОУ выглядит так:

N – F_тsinα – mg = 0

Отсюда силы реакции опоры равна:

N = F_тsinα + mg

Подставим ее в формулу для вычисления силы трения и получим:

F_тр = μN = μ (F_тsinα + mg) = 0,4(10∙0,5 + 1∙10) = 6 (Н)

Движение тела по вертикальной плоскости

Тело прижали к вертикальной плоскости и удерживают
	Второй закон Ньютона в векторной форме: mg + N + Fт + Fтр = ma Проекция на ось ОХ: N – F = 0 Проекция на ось ОУ: Fт.п. – mg = 0
Тело поднимается под действием силы тяги, направленной под углом к вертикали
	Второй закон Ньютона в векторной форме: mg + N + Fт + Fтр = ma Проекция на ось ОХ: N – Fтsinα = 0 Проекция на ось ОУ: Fтcosα – Fтр – mg = 0

Пример №4. Груз массой 50 кг удерживают на вертикальной плоскости, коэффициент трения которой равен 0,4. Определить, какую силу нужно приложить, чтобы груз оставался в состоянии покоя.

Проекция на ось ОХ:

N – F = 0

Отсюда следует, что сила должна быть равна силе реакции опоры.

Проекция на ось ОУ:

F_т.п. – mg = 0

Перепишем, выразив силу трения через силу реакции опоры:

μN – mg = 0

Отсюда выразим силу реакции опоры:

Следовательно:

Движение тела по наклонной плоскости

Движение вниз без трения
	Второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + N = ma
Проекция на ось ОХ:
mg sinα = ma
Проекция на ось ОУ:
N – mg cosα = 0
Тело покоится на наклонной плоскости
	Второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + N + Fтр = ma
Проекция на ось ОХ:
mg sinα – Fтр.п. = 0
Проекция на ось ОУ:
N – mg cosα = 0
Тело удерживают на наклонной плоскости
	Второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + N + F + Fтр = ma
Проекция на ось ОХ:
F + Fтр. – mg sinα = ma
Проекция на ось ОУ:
N – mg cosα = 0
Равноускоренное движение вверх с учетом силы трения
	Второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + N + Fт + Fтр = ma
Проекция на ось ОХ:
Fт – mg sinα – Fтр. = ma
Проекция на ось ОУ:
N – mg cosα = 0
Равномерное движение вверх с учетом силы трения
	Второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + N + F + Fтр = ma
Проекция на ось ОХ:
Fт – mg sinα – Fтр. = 0
Проекция на ось ОУ:
N – mg cosα = 0

Пример №5. Брусок массой 200 г покоится на наклонной плоскости. Коэффициент трения между поверхностью бруска и плоскостью равен 0,6. Определите величину силы трения, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30 градусам.

Переведем массу в килограммы: 200 г = 0,2 кг.

Проекция сил, действующих на тело, на ось ОХ:

mg sinα – F_тр.п. = 0

Отсюда сила трения равна:

F_тр.п. = mg sin α

Подставляем известные данные и вычисляем:

F_тр.п. = 0,2∙10∙sin30^o = 2∙0,5 = 1 (Н)

Полезная информация

Алиса Никитина | Просмотров: 14.5k