Представление о Земле как о шаре, который свободно, без всякой опоры находится в космическом пространстве, является одним из величайших достижений науки древнего мира.
Считается, что первое достаточно точное определение размеров Земли провёл греческий учёный Эратосфен (276—194 до н. э.), живший в Египте. Идея, положенная в основу измерений Эратосфена, весьма проста: измерить длину дуги земного меридиана в линейных единицах и определить, какую часть полной окружности эта дуга составляет. Получив эти данные, можно вычислить длину дуги в 1°, а затем длину окружности и величину её радиуса, т. е. радиуса земного шара. Очевидно, что длина дуги меридиана в градусной мере равна разности географических широт двух пунктов: ϕB – ϕA.
Рис. 3.8. Способ Эратосфена
Для того чтобы определить эту разность, Эратосфен сравнил полуденную высоту Солнца в один и тот же день в двух городах, находящихся на одном меридиане. Измерив высоту Солнца hB (рис. 3.8) в полдень 22 июня в Александрии, где он жил, Эратосфен установил, что Солнце отстоит от зенита на 7,2°. В этот день в полдень в городе Сиена (ныне Асуан) Солнце освещает дно самых глубоких колодцев, т. е. находится в зените (hA = 90°). Следовательно, длина дуги составляет 7,2°. Расстояние между Сиеной (A) и Александрией (B) около 5000 греческих стадий — l.
Стадией в Древней Греции считалось расстояние, которое проходит легко вооружённый греческий воин за тот промежуток времени, в течение которого Солнце, коснувшееся горизонта своим нижним краем, целиком скроется за горизонт.
Несмотря на кажущееся неудобство такой единицы и достаточную громоздкость словесного определения, её введение выглядело вполне оправданным, учитывая, что строгая периодичность небесных явлений позволяла использовать их движение для счёта времени.
Обозначив длину окружности земного шара через L, получим такое выражение:
= 
,
откуда следует, что длина окружности земного шара равняется 250 тыс. стадий.
Точная величина стадии в современных единицах неизвестна, но, зная, что расстояние между Александрией и Асуаном составляет 800 км, можно полагать, что 1 стадия = 160 м. Результат, полученный Эратосфеном, практически не отличается от современных данных, согласно которым длина окружности Земли составляет 40 тыс. км.
Эратосфен ввёл в практику использование терминов «широта» и «долгота». Видимо, появление этих терминов связано с особенностями формы карт того времени: они повторяли по очертаниям побережье Средиземного моря, которое длиннее по направлению запад—восток (по долготе), чем с севера на юг (по широте).
Рис. 3.9. Параллактическое смещение
Определить географическую широту двух пунктов оказывается гораздо проще, чем измерить расстояние между ними. Зачастую непосредственное измерение кратчайшего расстояния между этими пунктами оказывается невозможным из-за различных естественных препятствий (гор, рек и т. п.). Поэтому применяется способ, основанный на явлении параллактического смещения и предусматривающий вычисление расстояния на основе измерений длины одной из сторон (базиса — BC) и двух углов B и C в треугольнике ABC (рис. 3.9).
Параллактическим смещением называется изменение направления на предмет при перемещении наблюдателя.
Чем дальше расположен предмет, тем меньше его параллактическое смещение, и чем больше перемещение наблюдателя (базис измерения), тем больше параллактическое смещение.
Рис. 3.10. Схема триангуляции
Для определения длины дуги используется система треугольников — способ триангуляции, который впервые был применён ещё в 1615 г. Пункты в вершинах этих треугольников выбираются по обе стороны дуги на расстоянии 30—40 км друг от друга так, чтобы из каждого пункта были видны по крайней мере два других. Основой для вычисления длин сторон во всех этих треугольниках является размер базиса AC (рис. 3.10). Точность измерения базиса длиной в 10 км составляет около 1 мм. Во всех пунктах устанавливают геодезические сигналы — вышки высотой в несколько десятков метров. С вершины сигнала с помощью угломерного инструмента (теодолита) измеряют углы между направлениями на два-три соседних пункта. Измерив углы в треугольнике, одной из сторон которого является базис, геодезисты получают возможность вычислить длину двух других его сторон. Проводя затем измерение углов из пунктов, расстояние между которыми вычислено, можно узнать длину двух очередных сторон в треугольнике. Зная длину сторон этих треугольников, можно определить длину дуги AB.
В какой степени форма Земли отличается от шара, выяснилось в конце XVIII в. Для уточнения формы Земли Французская академия наук снарядила сразу две экспедиции. Одна из них работала в экваториальных широтах Южной Америки в Перу, другая — вблизи Северного полярного круга на территории Финляндии и Швеции. Измерения показали, что длина одного градуса дуги меридиана на севере больше, чем вблизи экватора. Последующие исследования подтвердили, что длина дуги одного градуса меридиана увеличивается с возрастанием географической широты. Это означало, что форма Земли — не идеальный шар: она сплюснута у полюсов. Её полярный радиус на 21 км короче экваториального.
Для школьного глобуса масштаба 1 : 50 000 000 отличие этих радиусов будет всего 0,4 мм, т. е. совершенно незаметно.
Отношение разности величин экваториального и полярного радиусов Земли к величине экваториального называется сжатием. По современным данным, оно составляет 
, или 0,0034. Это означает, что сечение Земли по меридиану будет не окружностью, а эллипсом, у которого большая ось проходит в плоскости экватора, а малая совпадает с осью вращения.
В XX в. благодаря измерениям, точность которых составила 15 м, выяснилось, что земной экватор также нельзя считать окружностью. Сплюснутость экватора составляет всего 
(в 100 раз меньше сплюснутости меридиана). Более точно форму нашей планеты передаёт фигура, называемая эллипсоидом, у которого любое сечение плоскостью, проходящей через центр Земли, не является окружностью.
В настоящее время форму Земли принято характеризовать следующими величинами:
|
сжатие эллипсоида — 1 : 298,25; |
|
средний радиус — 6371,032 км; |
|
длина окружности экватора — 40075,696 км. |
Измерить расстояние от Земли до Солнца удалось лишь во второй половине XVIII в., когда был впервые определён горизонтальный параллакс Солнца. По сути дела, при этом измеряется параллактическое смещение объекта, находящегося за пределами Земли, а базисом является её радиус.
Горизонтальным параллаксом ( p) называется угол, под которым со светила виден радиус Земли, перпендикулярный лучу зрения (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Горизонтальный параллакс светила
Из треугольника OAS можно выразить величину — расстояние OS = D:
D = 
,
где R — радиус Земли. По этой формуле можно вычислить расстояние в радиусах Земли, а зная его величину, — выразить расстояние в километрах.
Очевидно, что чем дальше расположен объект, тем меньше его параллакс. Наибольшее значение имеет параллакс Луны, который меняется в связи с тем, что Луна обращается по эллиптической орбите, и в среднем составляет 57ʹ. Параллаксы планет и Солнца значительно меньше. Так, параллакс Солнца равен 8,8ʺ. Такому значению параллакса соответствует расстояние до Солнца, примерно равное 150 млн км. Это расстояние принимается за одну астрономическую единицу (1 а. е.) и используется при измерении расстояний между телами Солнечной системы.
Известно, что для малых углов sin p ≈ p, если угол p выражен в радианах. В одном радиане содержится 206 265ʺ. Тогда, заменяя sin p на p и выражая этот угол в радианной мере, получаем формулу в виде, удобном для вычислений:
D = 
R,
или (с достаточной точностью)
D = 
R.
Во второй половине XX в. развитие радиотехники позволило определять расстояния до тел Солнечной системы посредством радиолокации. Первым объектом среди них стала Луна. Затем радиолокационными методами были уточнены расстояния до Венеры, Меркурия, Марса и Юпитера. На основе радиолокации Венеры величина астрономической единицы определена с точностью порядка километра. Столь высокая точность определения расстояний — необходимое условие для расчётов траекторий полёта космических аппаратов, изучающих планеты и другие тела Солнечной системы. В настоящее время благодаря использованию лазеров стало возможным провести оптическую локацию Луны. При этом расстояния до лунной поверхности измеряются с точностью до сантиметров.
На каком расстоянии от Земли находится Сатурн, когда его горизонтальный параллакс равен 0,9ʺ?
|
Дано: p1 = 0,9ʺ D☉ = 1 а. е. p☉ = 8,8ʺ |
Решение: Известно, что параллакс Солнца на расстоянии в 1 а. е. равен 8,8ʺ. Тогда, написав формулы для расстояния до Солнца и до Сатурна и поделив их одна на другую, получим: |
|
D1 — ? |
= 
.
Откуда
D1 = 
= 
= 9,8 а. е.
Ответ: D1 = 9,8 а. е.
Рис. 3.12. Угловые размеры светила
Зная расстояние до светила, можно определить его линейные размеры, если измерить его угловой радиус ρ (рис. 3.12). Формула, связывающая эти величины, аналогична формуле для определения параллакса:
D = 
.
Учитывая, что угловые диаметры даже Солнца и Луны составляют примерно 30ʹ, а все планеты видны невооружённым глазом как точки, можно воспользоваться соотношением: sin ρ ≈ ρ. Тогда:
D = 
и D = 
.
Следовательно,
r = 
R.
Если расстояние D известно, то
r = Dρ,
где величина ρ выражена в радианах.
Чему равен линейный диаметр Луны, если она видна с расстояния 400 000 км под углом примерно 30ʹ?
|
Дано: D = 400 000 км ρ = 30ʹ |
Решение: Если ρ выразить в радианах, то d = Dρ. Следовательно, |
|
d — ? |
d = 
= 3490 км.
Ответ: d = 3490 км.
Вопросы 1. Какие измерения, выполненные на Земле, свидетельствуют о её сжатии? 2. Меняется ли и по какой причине горизонтальный параллакс Солнца в течение года? 3. Каким методом определяется расстояние до ближайших планет в настоящее время?
Упражнение 11 1. Чему равен горизонтальный параллакс Юпитера, наблюдаемого с Земли в противостоянии, если Юпитер в 5 раз дальше от Солнца, чем Земля? 2. Расстояние Луны от Земли в ближайшей к Земле точке орбиты (перигее) 363 000 км, а в наиболее удалённой (апогее) — 405 000 км. Определите горизонтальный параллакс Луны в этих положениях. 3. Во сколько раз Солнце больше, чем Луна, если их угловые диаметры одинаковы, а горизонтальные параллаксы равны 8,8ʺ и 57ʹ соответственно? 4. Чему равен угловой диаметр Солнца, видимого с Нептуна?
1. Каким образом греческий учёный Эратосфен определил размеры Земли?
Идея Эратосфена заключается в следующем. На одном и том же географическом меридиане земного шара выберем две точки $O_1$ и $O_2.$ Обозначим длину пути меридиана $O_1O_2$ через $l,$ а её угловое значение через $n$ (в градусах). Тогда длина пути $1°$ меридиана $l_0$ будет равна:
$$l_0=dfrac{l}{n},$$
а длина всей окружности меридиана:
$$L=360°·l_0=dfrac{360°·l}{n}=2pi R,$$
где $R$ — радиус земного шара. Отсюда $R=dfrac{180°·l}{pi n}.$
2. Как определяют длину дуги меридиана триангуляционным методом?
Длина дуги определяется путём вычислений, требующих измерения только сравнительно небольшого расстояния — базиса и ряда углов. По обе стороны дуги $O_1O_2$, длину которой необходимо определить, выбирается несколько точек $A, B, C, …$ на взаимных расстояниях до 50 км с таким расчётом, чтобы из каждой из них были видны по меньшей мере две другие точки.
Длину базиса очень тщательно измеряют специальными мерными лентами. Измеренные углы в треугольниках и длина базиса позволяют по тригонометрическим формулам вычислить стороны треугольников, а по ним — длину дуги $О_1О_2$ с учётом её кривизны.
3. Что понимают под горизонтальным параллаксом?
Определение расстояний до тел Солнечной ситсемы основано на измерении их горизонтальных параллаксов. Горизонтальный параллакс — угол $p,$ под которым со светила виден радиус Земли, перпендикулярный к лучу зрения.
4. Как определить расстояние до светила, зная его горизонтальный параллакс?
Зная горизонтальный параллакс светила, можно определить его расстояние $D.$ Расстояние до светила $D=S=dfrac{R_⊕}{sin p},$ где $R_⊕$ — радиус Земли. Приняв $R_⊕$ за единицу, можно выразить расстояние до светила в земных радиусах.
5. Что такое астрономическая единица?
Для измерения расстояний в пределах Солнечной системы используют астрономическую единицу (а.е.), которая равна среднему расстоянию Земли от Солнца(1 а.е. ≈ 149 600 000 км).
6. В чём состоит радиолокационный метод определения расстояний до небесных тел?
Расстояние до объекта по времени прохождения радиолакационного сигнала можно определить по формуле $S=dfrac{1}{2}ct,$ где $S$ — расстояние до объекта; $c$ — скорость светы; $t$ — время прохождения сигнала до объекта и обратно.
7. на каком расстоянии от Земли находится небесное тело, если его горизонтальный параллакс равен 1′?
Для нахождения расстояния применим формулу:
$$D=dfrac{206265»}{p»}R_⊕.$$
Приняв радиус Земли $6371, км,$ получим $D=1, 314, 114, 315, км,$ или $8.8, а.е.$
8. Определите линейный радиус Луны, если во время наблюдений стало известно, что её горизонтальный параллакс в это время равен 57′ а угловой радиус — 15,5′ Радиус Земли принять равным 6400 км.
Дано:
$p = 57′,$
$ρ = 15.5′,$
$R_З = 6400, км.$
$R — ?$
Решение:
Найдём расстояние $D$ до Луны:
$D=dfrac{R_З}{sin p};$ $D=dfrac{6400}{sin 0.95°} approx 3.86 · 10^5, км.$
Вычислим линейный радиус:
$R=D·sin ρ;$ $R = 3.86 · 10^5 · sin 0.26° approx 1752, км.$
Ответ: $1752, км.$
9. Определите диаметр Меркурия, если при прохождении по диску Солнца его угловой диаметр оказался 11.0″, а горизонтальный параллакс в этот момент равен 14.3″.
Дано:
φ=28°.varphi=28°.
Найти:
aМ−?a_М-?
Решение:
sinφ=aМaЗ.sin varphi=dfrac{a_М}{a_З}.
aМ=a⊕⋅sin(28°)=0.4694…≈=0.47 а. е.a_М=a_opluscdot sin(28°)=0.4694…approx=0.47text{ а. е.}
Ответ: aМ=0.47 а. е.a_М=0.47text{ а. е.}
Присоединяйтесь к Telegram-группе @superresheba_11,
делитесь своими решениями и пользуйтесь материалами, которые присылают другие участники группы!
Вначале хочу отметить, что когда речь идет о ГОРИЗОНТАЛЬНОМ параллаксе, то единицей расстояния является радиус Земли (Rз) равный 6370 км. Горизонтальный параллакс какого-либо небесного объекта (в секундах дуги) можно найти по формуле р = 206265*Rз/L. Здесь L — расстояние до небесного объекта. Таким образом, горизонтальный параллакс Луны равен рл – 206265*6370/384000 = 3421,636 угловые секунды, или 3421,636/60 = 57, 027 угловые минуты.
Вы уже знаете, что ещё в Древней Греции учёными и мыслителями
было установлено, что наша планета не является плоской, а имеет шарообразную
форму. Представление о Земле как о шаре, который свободно, без всякой опоры
находится в космическом пространстве, является одним из величайших достижений
древнего мира.
Первый известный науке метод определения размеров Земли
применил греческий учёный Эратосфен, живший в Египте. Его идея была достаточно
проста. Итак, Эратосфен выбрал два города — Александрию и Сиену (ныне Асуан) —
расположенных на одном земном меридиане.
Далее он обозначил длину дуги меридиана между двумя городами
через l, а её
угловое значение в градусах как п.
Тогда длина дуги в 1о выбранного меридиана равна
А длина всей окружности меридиана: L = 360o ∙ l0.
С другой стороны, он знал, что длина окружности равна: L =
2πR.
Приравняв правые части последних двух уравнений, легко
получить искомый радиус земного шара:
Теперь было необходимо определить длину дуги меридиана в градусной
мере. Очевидно, что она равна разности географических широт Александрии и
Сиены. Так вот, чтобы определить эту разность Эратосфен придумал хитрый способ.
Он знал, что в полдень дня летнего Солнцестояния в Сиене Солнце находится в
зените и освещает дно самых глубоких колодцев. А в Александрии Солнце до зенита
не доходит. Поэтому шест, вбитый вертикально в землю должен отбрасывать тень.
Измерив длину этой тени можно легко определить искомую длину дуги меридиана,
которая у Эратосфена оказалась равной 7,2о.
Ну а расстояние между Александрией и Сиеной ему было хорошо
известно: оно составляло пять тысяч греческих стадий.
Подставив все данные в формулу для длины окружности
меридиана, Эратосфен получил значение в 250 000 стадий.
Стадий — это весьма неоднозначная единица измерения
расстояния. Но, как правило, за стадий принимали расстояние, которое проходит
легковооружённый воин за промежуток времени от появления первого луча солнца
при его восходе до того момента, когда весь солнечный диск окажется над горизонтом.
Однако если учесть, что расстояние между Александрией и
Асуаном по прямой примерно равно 844 километрам, то можно полагать, что одна
стадия примерно равна 169 метрам.
Тогда искомая длина всей окружности меридиана равна
42 250 километрам, что совсем не плохо для того времени.
Современная наука располагает более точными способами
измерения расстояний на земной поверхности. Одним из них является метод
триангуляций, основанный на явлении параллактического смещения.
Параллактическое смещение — это изменение направления
на предмет при перемещении наблюдателя. С его помощью можно измерить расстояние
на основе измерения длины одной из сторон (базиса) и двух прилегающих к
ней углов в треугольнике.
Суть метода триангуляций состоит в следующем. По обе стороны
дуги, длину которой нужно измерить, выбирается несколько точек на расстоянии не
более 50 километров друг от друга, на которых устанавливаются геодезические
вышки. При этом из каждой точки должны быть видны по крайней мере две другие
точки. Далее тщательным образом измеряется длина базиса (с точностью до одного
миллиметра). После этого с вершины вышки при помощи теодолита измеряются углы
между направлениями на два-три соседних пункта. Измерив углы в треугольнике,
одной из сторон которого является базис, геодезисты получают возможность
вычислить длину двух других его сторон по известным тригонометрическим
формулам. Проводя затем измерение углов из пунктов, расстояние между которыми
уже вычислено, можно узнать длину очередных двух сторон и так далее. Затем, по
вычисленным сторонам, определяется искомая длина дуги.
В XVIII веке использование триангуляционных измерений в
экваториальных широтах и вблизи северного полярного круга, показало, что длина
дуги в 1о меридиана не одинакова и увеличивается к полюсам. Из этого
следовало, что наша планета не является идеальным шаром и её полярный радиус
почти на 21 километр короче экваториального. Поэтому в геодезии и форму Земли
считают геоидом, то есть телом с поверхностью, близкой к поверхности спокойного
океана и продолженной под материками.
В настоящее время форму Земли принято характеризовать
следующими физическими характеристиками:
· полярное сжатие — 0,0033528;
· экваториальный радиус — 6378,1 км;
· полярный радиус — 6356,8 км;
· средний радиус — 6371,0 км;
·
и длина окружности экватора — 40 075,017 км.
Долгое время загадкой для многих астрономов являлось истинное
расстояние от Земли до Солнца. Измерить его смогли лишь во второй половине XVIII века,
когда был впервые определён горизонтальный параллакс Солнца. По сути дела, при
этом измеряется параллактическое смещение объекта, находящегося за пределами
Земли, а базисом является её радиус.
Горизонтальным параллаксом называется угол, под
которым со светила виден радиус Земли, перпендикулярный лучу зрения.
Зная горизонтальный параллакс светила, можно, по известным
тригонометрическим соотношениям, определить его расстояние от центра Земли:
Очевидно, что чем дальше расположено светило, те меньше его
горизонтальный параллакс. Например, наибольший параллакс, в среднем 57ʹ,
имеет спутник Земли — Луна. У Солнца он значительно меньше и примерно
составляет 8,794ʹʹ. Такому параллаксу соответствует среднее
расстояние от Земли до Солнца, примерно равное 149,6 миллиона километров.
На одном из прошлых уроков мы говорили о том, что это
расстояние в астрономии принимается за одну астрономическую единицу. С её
помощью удобно измерять расстояния между телами в Солнечной системе.
Но вернёмся к нашей формуле. Итак, из геометрии вам должно
быть известно, что при малых значениях угла его синус примерно равен самому углу,
выраженному в радианах. Если учесть, что в одном радиане содержится 206
265ʹʹ, то легко можно получить формулу, удобную для вычислений:
Для примера, давайте с вами определим расстояние от Земли до
Юпитера в момент противостояния, если его горизонтальный параллакс был равен
2,2ʹʹ. Радиус Земли примем равным 6371 километру.
Эту же задачу можно было решить несколько иначе.
В настоящее время для более точного определения расстояний до
тел в Солнечной системе применяется более точный метод измерений — радиолокационный.
Измерив время, необходимое для того, чтобы радиолокационный импульс достиг
небесного тела, отразился и вернулся на Землю, вычисляют расстояние до этого
тела по формуле:
где с — это скорость света в вакууме.
С разработкой методов определения расстояний до тел в
Солнечной системе учёным не составило большого труда придумать и способ
определения их размеров. В частности, при наблюдениях небесного тела Солнечной
системы с Земли можно измерить угол, под которым оно видно наблюдателю, то есть
его угловой размер (или угловой диаметр), а, следовательно, и угловой радиус.
А зная угловой радиус и расстояние до светила, можно
вычислить его линейный радиус:
.
Только в этой формуле угловой радиус должен быть выражен в
радианах.
Если в записанное уравнение подставить формулу для
определения расстояний методом горизонтального параллакса и упростить её,
используя тот факт, что значения углов ρ и р малы, то получим
формулу, по которой можно определять линейные размеры небесных тел:
Но помните, пользоваться ей можно тогда, когда видны диски
светил.
Для примера давайте решим с вами такую задачу. При наблюдении
прохождения Меркурия по диску Солнца определили, что его угловой радиус равен
5,5’’, а горизонтальный параллакс — 14,4’’. Чему равен линейный радиус
Меркурия?