Как найти градиентный спуск

Время на прочтение
8 мин

Количество просмотров 125K

Часть 1 — линейная регрессия

В первой части я забыл упомянуть, что если случайно сгенерированные данные не по душе, то можно взять любой подходящий пример отсюда. Можно почувствовать себя ботаником, виноделом, продавцом. И все это не вставая со стула. В наличии множество наборов данных и одно условие — при публикации указывать откуда взял данные, чтобы другие смогли воспроизвести результаты.

Градиентный спуск

В прошлой части был показан пример вычисления параметров линейной регрессии с помощью метода наименьших квадратов. Параметры были найдены аналитически — , где — псевдообратная матрица. Это решение наглядное, точное и короткое. Но есть проблема, которую можно решить численно. Градиентный спуск — метод численной оптимизации, который может быть использован во многих алгоритмах, где требуется найти экстремум функции — нейронные сети, SVM, k-средних, регрессии. Однако проще его воспринять в чистом виде (и проще модифицировать).

Проблема заключается в том, что вычисление псевдообратной матрицы очень затратно: 2 умножения по , нахождение обратной матрицы — , умножение матрицы вектор , где n — количество элементов в матрице A (количество признаков * количество элементов в тестовой выборке) Если количество элементов в матрице A велико (> 10^6 — например), то даже если в наличии 10000 ядер, нахождение решения аналитически может затянуться. Также первая производная может оказаться нелинейной, что усложнит решение, аналитического решения может не оказаться вовсе или данные могут просто не влезть в память и потребуется итеративный алгоритм. Бывает, что в плюсы записывают и то, что численное решение не идеально точное. В связи с этим функцию стоимости минимизируют численными методами. Задачу нахождения экстремума называют задачей оптимизации. В этой части я остановлюсь на методе оптимизации, который называется градиентный спуск.

Не будем отходить от линейной регрессии и МНК и обозначим функцию потерь как — она осталась неизменной. Напомню, что градиент — это вектор вида , где — это частная производная. Одним из свойств градиента является то, что он указывает направление, в котором некоторая функция f возрастает больше всего. Доказательство этого следует из определения производной. Пара доказательств. Возьмем некоторую точку a — в окрестности этой точки функция F должна быть определена и дифференцируема, тогда вектор антиградиента будет указывать на направление, в котором функция F убывает быстрее всего. Отсюда делается вывод, что в некоторой точке b, равной , при некотором малом значение функции будет меньше либо равным значению в точке а. Можно представить это, как движение вниз по холму — сделав шаг вниз, текущая позиция будет ниже, чем предыдущая. Таким образом, на каждом следующем шаге высота будет как минимум не увеличиваться. Формальное определение. Исходя из этих определений можно получить формулу для нахождения неизвестных параметров (это просто переписанная версия формулы выше):

— это шаг метода. В задачах машинного обучения его называют скоростью обучения.

Метод очень прост и интуитивен, возьмем простой двумерный пример для демонстрации:

Необходимо минимизировать функцию вида . Минимизировать значит найти при каком значении функция принимает минимальное значение. Определим последовательность действий:

1) Необходима производная по :
2) Установим начальное значение = 0
3) Установим размер шага — попробуем несколько значений — 0.1, 0.9, 1.2, чтобы посмотреть как этот выбор повлияет на сходимость.
4) 25 раз подряд выполним указанную выше формулу: Так как неизвестный параметр только один, то и формула только одна.

Код крайне прост. Исключая определение функций, весь алгоритм уместился в 3 строки:

STEP_COUNT = 25
STEP_SIZE = 0.1  # Скорость обучения


def func(x):
    return (x - 5) ** 2


def func_derivative(x):
    return 2 * (x - 5)

previous_x, current_x = 0, 0

for i in range(STEP_COUNT):
    current_x = previous_x - STEP_SIZE * func_derivative(previous_x)
    previous_x = current_x

print("After", STEP_COUNT, "steps theta=", format(current_x, ".6f"), "function value=", format(func(current_x), ".6f"))

Весь процесс можно визуализировать примерно так (синяя точка — значение на предыдущем шаге, красная — текущее):

Или же для шага другого размера:

При значении, равном 1.2, метод расходится, каждый шаг опускаясь не ниже, а наоборот выше, устремляясь в бесконечность. Шаг в простой реализации подбирается вручную и его размер зависит от данных — на каких-нибудь ненормализованных значениях с большим градиентом и 0.0001 может приводить к расхождению.

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as anim
import numpy as np


STEP_COUNT = 25
STEP_SIZE = 0.1  # Скорость обучения
X = [i for i in np.linspace(0, 10, 10000)]


def func(x):
    return (x - 5) ** 2


def bad_func(x):
    return (x - 5) ** 2 + 50 * np.sin(x) + 50

Y = [func(x) for x in X]


def func_derivative(x):
    return 2 * (x - 5)


def bad_func_derivative(x):
    return 2 * (x + 25 * np.cos(x) - 5)

# Какая-то жажа и первый кадр пропускается
skip_first = True
def draw_gradient_points(num, points, line, cost_caption, step_caption, theta_caption):
    global previous_x, skip_first, ax
    if skip_first:
        skip_first = False
        return points, line
    current_x = previous_x - STEP_SIZE * func_derivative(previous_x)
    step_caption.set_text("Step: " + str(num))
    cost_caption.set_text("Func value=" + format(func(current_x), ".3f"))
    theta_caption.set_text("$\theta$=" + format(current_x, ".3f"))
    print("Step:", num, "Previous:", previous_x, "Current", current_x)
    points[0].set_data(previous_x, func(previous_x))
    points[1].set_data(current_x, func(current_x))
    # points.set_data([previous_x, current_x], [func(previous_x), func(current_x)])
    line.set_data([previous_x, current_x], [func(previous_x), func(current_x)])

    if np.abs(func(previous_x) - func(current_x)) < 0.5:
        ax.axis([4, 6, 0, 1])

    if np.abs(func(previous_x) - func(current_x)) < 0.1:
        ax.axis([4.5, 5.5, 0, 0.5])

    if np.abs(func(previous_x) - func(current_x)) < 0.01:
        ax.axis([4.9, 5.1, 0, 0.08])

    previous_x = current_x
    return points, line


previous_x = 0
fig, ax = plt.subplots()
p = ax.get_position()
ax.set_position([p.x0 + 0.1, p.y0, p.width * 0.9, p.height])
ax.set_xlabel("$\theta$", fontsize=18)
ax.set_ylabel("$f(\theta)$", fontsize=18)

ax.plot(X, Y, '-r', linewidth=2.0)
ax.axvline(5, color='black', linestyle='--')

start_point, = ax.plot([], 'bo', markersize=10.0)
end_point, = ax.plot([], 'ro')

rate_capt = ax.text(-0.3, 1.05, "Rate: " + str(STEP_SIZE), fontsize=18, transform=ax.transAxes)
step_caption = ax.text(-0.3, 1, "Step: ", fontsize=16, transform=ax.transAxes)
cost_caption = ax.text(-0.3, 0.95, "Func value: ", fontsize=12, transform=ax.transAxes)
theta_caption = ax.text(-0.3, 0.9, "$\theta$=", fontsize=12, transform=ax.transAxes)

points = (start_point, end_point)
line, = ax.plot([], 'g--')


gradient_anim = anim.FuncAnimation(fig, draw_gradient_points, frames=STEP_COUNT,
                                   fargs=(points, line, cost_caption, step_caption, theta_caption),
                                   interval=1500)

# Для того, чтобы получить гифку необходимо установить ImageMagick
# Можно получить .mp4 файл без всяких magick-shmagick
gradient_anim.save("images/animation.gif", writer="imagemagick")

Вот еще пример с «плохой» функцией. В первой анимации метод также расходится и будет долго блуждать по холмам из-за слишком высокого шага. Во втором случае был найден локальный минимум и варьируя значение скорости не получится заставить метод найти минимум глобальный. Этот факт является одним недостатков метода — он может найти глобальный минимум только если функция выпуклая и гладкая. Или если повезет с начальными значениями.

Также возможно рассмотреть работу алгоритма на трехмерном графике. Часто рисуют только изолинии какой-то фигуры. Я взял простой параболоид вращения: . В 3D выглядит он так: , а график с изолиниями — «вид сверху».

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as anim
import numpy as np


STEP_COUNT = 25
STEP_SIZE = 0.005  # Скорость обучения
X = np.array([i for i in np.linspace(-10, 10, 1000)])
Y = np.array([i for i in np.linspace(-10, 10, 1000)])


def func(X, Y):
    return 4 * (X ** 2) + 16 * (Y ** 2)


def dx(x):
    return 8 * x


def dy(y):
    return 32 * y

# Какая-то жажа и первый кадр пропускается
skip_first = True
def draw_gradient_points(num, point, line):
    global previous_x, previous_y, skip_first, ax
    if skip_first:
        skip_first = False
        return point
    current_x = previous_x - STEP_SIZE * dx(previous_x)
    current_y = previous_y - STEP_SIZE * dy(previous_y)
    print("Step:", num, "CurX:", current_x, "CurY", current_y, "Fun:", func(current_x, current_y))
    point.set_data([current_x], [current_y])
    # Blah-blah
    new_x = list(line.get_xdata()) + [previous_x, current_x]
    new_y = list(line.get_ydata()) + [previous_y, current_y]
    line.set_xdata(new_x)
    line.set_ydata(new_y)

    previous_x = current_x
    previous_y = current_y
    return point


previous_x, previous_y = 8.8, 8.5
fig, ax = plt.subplots()
p = ax.get_position()
ax.set_position([p.x0 + 0.1, p.y0, p.width * 0.9, p.height])
ax.set_xlabel("X", fontsize=18)
ax.set_ylabel("Y", fontsize=18)

X, Y = np.meshgrid(X, Y)
plt.contour(X, Y, func(X, Y))
point, = plt.plot([8.8], [8.5], 'bo')
line, = plt.plot([], color='black')


gradient_anim = anim.FuncAnimation(fig, draw_gradient_points, frames=STEP_COUNT,
                                   fargs=(point, line),
                                   interval=1500)

# Для того, чтобы получить гифку необходимо установить ImageMagick
# Можно получить .mp4 файл без всяких magick-shmagick
gradient_anim.save("images/contour_plot.gif", writer="imagemagick")

Также обратите внимание, что все линии градиента, направлены перпендикулярно изолиниям. Это означает, что двигаясь в сторону антиградиента, не получится за один шаг сразу же прыгнуть в минимум — градиент указывает совсем не туда.

После графического пояснения, найдем формулу для вычисления неизвестных параметров линейной регрессии с МНК.

Если бы количество элементов в тестовой выборке было равно единице, то формулу можно было бы так и оставить и считать. В случае, когда в наличии n элементов алгоритм выглядит так:

Повторять v раз
{

для каждого j одновременно.
}, где n — количество элементов в обучающей выборке, v — количество итераций

Требование одновременности означает, что производная должна быть вычислена со старыми значениями theta, не стоит вычислять сначала отдельно первый параметр, затем второй и т.д., потому что после изменения первого параметра отдельно, производная также изменит свое значение. Псевдокод одновременного изменения:

for i in train_samples:
    new_theta[1] = old_theta[1] + a * derivative(old_theta)
    new_theta[2] = old_theta[2] + a * derivative(old_theta)
    old_theta = new_theta

Если вычислять значения параметров по одиночке, то это уже будет не градиентный спуск. Допустим, у нас трехмерная фигура и если вычислять параметры один за одним, то можно представить этот процесс как движение только по одной координате за раз — один шажок по x координате, затем шажок по y координате и т.д. ступеньками, вместо движения в сторону вектора антиградиента.

Приведенный выше вариант алгоритма называют пакетный градиентный спуск. Количество повторений можно заменить на фразу «Повторять, пока не сойдется». Эта фраза означает, что параметры будут корректироваться до тех пор, пока предыдущее и текущее значения функции стоимости не сравняются. Это значит, что локальный или глобальный минимум найден и дальше алгоритм не пойдет. На практике равенства достичь невозможно и вводится предел сходимости . Его устанавливают какой-нибудь малой величиной и критерием остановки является то, что разность предыдущего и текущего значений меньше предела сходимости — это значит, что минимум достигнут с нужной, установленной точностью. Выше точности (меньше ) — больше итераций алгоритма. Выглядит это как-то так:

while abs(S_current - S_previous) >= Epsilon:
    # do something

Так как пост неожиданно растянулся, я бы хотел его на этом завершить — в следующей части я продолжу разбор градиентного спуска для линейной регрессии с МНК.

Продолжение.

Для запуска примеров необходимы: numpy, matplotlib.
Для запуска примеров, создающих анимации необходим ImageMagick.
Материалы, использованные в статье — github.com/m9psy/neural_network_habr_guide

Введение

Зачастую задачи машинного обучения формулируются таким образом, что «веса» модели, которую мы строим, возникают, как решение оптимизационной задачи. В качестве VIP-примера рассмотрим задачу линейной регрессии:

$$
Vert y — Xw Vert_2^2 to min_w,
$$

По сути, мы получили чистейшую задачу квадратичной оптимизации. В чем особенность конкретно этой задачи? Она выпуклая.

Для интересующихся определением.

Важное свойство выпуклых функций – локальный минимум автоматически является глобальным (но не обязательно единственным!). Это позволяет избегать уродливых ситуаций, которые с теоретической точки зрения могут встретиться в невыпуклом случае, например, вот такой:

Теорема (No free lunch theorem) Пусть $A$ – алгоритм оптимизации, использующий локальную информацию (все производные в точке). Тогда существует такая невыпуклая функция $f colon [0,1]^d to [0,1]$, что для нахождения глобального минимума на квадрате $[0,1]^d$ с точностью $frac{1}{m}$ требуется совершить хотя бы $m^d$ шагов.

Для интересующихся доказательствами.

Мы видим, что в общем случае без выпуклости нас ожидает полное разочарование. Ничего лучше перебора по сетке придумать в принципе невозможно. В выпуклом случае же существуют алгоритмы, которые находят глобальный минимум за разумное время.

Встречаются ли в жизни функции невыпуклые? Повсеместно! Например, функция потерь при обучении нейронных сетей, как правило, не является выпуклой. Но отсюда не следует, что любой алгоритм их оптимизации будет обязательно неэффективным: ведь «контрпример» из теоремы довольно специфичен. И, как мы увидим, оптимизировать невыпуклые функции очень даже возможно.

Найти глобальный минимум невыпуклой функции – очень трудная задача, но зачастую нам хватает локального, который является, в частности, стационарной точкой: такой, в которой производная равна нулю. Все теоретические результаты в случае невыпуклых задач, как правило, касаются поиска таких точек, и алгоритмы тоже направлены на их отыскание.

Этим объясняется и то, что большинство алгоритмов оптимизации, придуманных для выпуклого случая, дословно перешли в невыпуклый. Теоретическая причина в следующем: в выпуклом случае поиск стационарной точки и поиск минимума – буквально одна и та же задача, поэтому то, что хорошо ищет минимум в выпуклом случае, ожидаемо будет хорошо искать стационарные точки в невыпуклом. Практическая же причина в том, что оптимизаторы в библиотеках никогда не спрашивают, выпуклую ли им функцию подают на вход, а просто работают и работают хорошо.

Внимательный читатель мог возразить на моменте подмены задачи: подождите-ка, мы ведь хотим сделать функцию как можно меньше, а не стационарную точку искать какую-то непонятную. Доказать в невыпуклом случае тут, к сожалению, ничего невозможно, но на практике мы снова используем алгоритмы изначально для выпуклой оптимизации. Почему?

Причина номер 1: сойтись в локальный минимум лучше, чем никуда. Об этом речь уже шла.

Причина номер 2: в окрестности локального минимума функция становится выпуклой, и там мы сможем быстро сойтись.

Причина номер 3: иногда невыпуклая функция является в некотором смысле «зашумленной» версией выпуклой или похожей на выпуклую. Например, посмотрите на эту картинку (функция Леви):

У этой функции огромное количество локальных минимумов, но «глобально» она кажется выпуклой. Что-то отдаленно похожее наблюдается и в случае нейронных сетей. Нашей задачей становится не скатиться в маленький локальный минимум, который всегда рядом с нами, а в большую-большую ложбину, где значение функции минимально и в некотором смысле стабильно.

Причина номер 4: оказывается, что градиентные методы весьма часто сходятся именно к локальным минимумам.

Сразу отметим важную разницу между выпуклой и невыпуклой задачами: в выпуклом случае работа алгоритма оптимизации не очень существенно зависит от начальной точки, поскольку мы всегда скатимся в точку оптимума. В невыпуклом же случае правильно выбранная точка старта – это уже половина успеха.

Теперь перейдём к разбору важнейших алгоритмов оптимизации.

Градиентный спуск (GD)

Опишем самый простой метод, который только можно придумать – градиентный спуск. Для того, чтобы его определить, вспомним заклинание из любого курса матанализа: «градиент – это направление наискорейшего локального возрастания функции», тогда антиградиент – это направление наискорейшего локального убывания.

Для интересующихся формализмом.

Тогда пусть $x_0$ – начальная точка градиентного спуска. Тогда каждую следующую точку мы выбираем следующим образом:

$$
x_{k+1} = x_k — alpha nabla f(x_k),
$$

где $alpha$ – это размер шага (он же learning rate). Общий алгоритм градиентного спуска пишется крайне просто и элегантно:

x = normal(0, 1)                # можно пробовать и другие виды инициализации
repeat S times:                 # другой вариант: while abs(err) > tolerance
   h = grad_f(x)                # вычисляем направление спуска
   x -= alpha * h               # обновляем значение в точке

Эту схему в приложении к линейной регрессии можно найти в главе про линейные модели.

После всего этого начинаются тонкости:

• А как вычислять градиент?
• А как выбрать размер шага?
• А есть ли какие-то теоретические оценки сходимости?

Начнем разбирать вопросы постепенно. Для вычисления градиентов современный человек может использовать инструменты автоматического дифференцирования. Идейно, это вариация на тему алгоритма обратного распространения ошибки (backpropagation), ведь как правило человек задает функции, составленные из элементарных при помощи умножений/делений/сложений/композиций. Такой метод реализован во всех общих фреймворках для нейронных сетей (Tensorflow, PyTorch, Jax).

Но, вообще говоря, возникает некоторая тонкость. Например, расмотрим задачу линейной регрессии. Запишем её следующим образом:

$$
f(w) = frac{1}{N} sum_{i=1}^N (w^top x_i — y_i)^2.
$$

Видим, что слагаемых суммарно $N$ – размер выборки. При $N$ порядка $10^6$ и $d$ (это количество признаков) порядка $10^4$ вычисление градиента за $O(Nd)$ становится жутким мучением. Но если от $d$ избавиться без дополнительных предположений (например, о разреженности) нельзя, то с зависимостью от $N$ в каком-то смысле удастся разделаться при помощи метода стохастического градиентного спуска.

Хранение градиентов тоже доставит нам проблемы. У градиента столько же компонент, сколько параметров у модели, и если мы имеем дело с глубокой нейросетью, это даст значительные затраты дополнительной памяти. Хуже того, метод обратного распространения ошибки устроен так, что нам приходится помнить все промежуточные представления для вычисления градиентов. Поэтому вычислить градиент целиком невозможно ни для какой нормальной нейросети, и от этой беды тоже приходится спасаться с помощью стохастического градиентного спуска.

Теперь перейдем к размеру шага. Теория говорит о том, что если функция гладкая, то можно брать достаточно маленький размер шага, где под достаточно маленьким подразумевается $alpha leq frac1L$, где $L$ – некоторая константа, которая зависит от гладкости задачи (так называемая константа Липшица). Вычисление этой константы может быть задачей сложнее, чем изначальная задача оптимизации, поэтому этот вариант нам не годится. Более того, эта оценка крайне пессимистична – мы ведь хотим размер шага как можно больше, чтобы уменьшить функцию как можно больше, а тут мы будем изменять все очень мало.

Существует так называемый метод наискорейшего спуска: выбираем размер шага так, чтобы как можно сильнее уменьшить функцию:

$$
alpha_k = argmin_{alpha geq 0} f(x_k — alpha nabla f(x_k)).
$$

Одномерная оптимизация является не сильно сложной задачей, поэтому теоретически мы можем её совершать (например, методом бинарного/тернарного поиска или золотого сечения), можно этот шаг также совершать неточно. Но сразу стоит заметить, что это можно делать, только если функция $f$ вычислима более-менее точно за разумное время, в случае линейной регрессии это уже не так (не говоря уже о нейронных сетях).

Также есть всевозможные правила Армихо/Гольдштейна/Вульфа и прочее и прочее, разработанные в давние 60-е, и для их проверки требуется снова вычислять значения функции в точке. Желающие могут посмотреть на эти условия на википедии. Про более хитрые вариации выбора шагов мы поговорим позже, но сразу стоит сказать, что эта задача довольно сложная.

По поводу теории: сначала скажем что-то про выпуклый случай.

В максимально общем выпуклом случае без дополнительных предположений оценки для градиентного спуска крайне и крайне пессимистичные: чтобы достичь качества $varepsilon$, то есть

$$vert f(x_k) — f(x^*) vertleq varepsilon $$

достаточно сделаеть $O(R^2/varepsilon^2)$ шагов, где $R^2$ — это расстояние от $x_0$ до $x^*$. Выглядит очень плохо: ведь чтобы достичь точности $10^{-2}$, необходимо сделать порядка $10^4$ шагов градиентного спуска. Но на практике такого не происходит, потому что на самом деле верны разные предположения, дающие более приятные свойства. Для контраста, укажем оценку в случае гладкой и сильно выпуклой в точке оптимума функции: за $k$ шагов будет достигнута точность

$$
Oleft( minleft{R^2 exp
left(-frac{k}{4kappa}right), frac{R^2}{k} right}right),
$$

где $kappa$ – это так называемое число обусловленности задачи. По сути, это число измеряет, насколько линии уровня функции вытянуты в окрестности оптимума.

Морали две:

• Скорость сходимости градиентного спуска сильно зависит от обусловленности задачи;
• Также она зависит от выбора хорошей точки старта, ведь везде входит расстояние от точки старта до оптимума.

В качестве ссылки на доказательство укажем на работу Себастиана Стича, где оно довольно простое и общее.

В невыпуклом же случае все куда хуже с точки зрения теории: требуется порядка $O(1/varepsilon^2)$ шагов в худшем случае даже для гладкой функции, где $varepsilon$ – желаемая точность уменьшения нормы градиента.

Стохастический градиентный спуск (SGD)

Теперь мы попробуем сэкономить в случае регрессии и подобных ей задач. Будем рассматривать функционалы вида

$$
f(x) = sum_{i=1}^N mathcal{L}(x, y_i),
$$

где сумма проходится по всем объектам выборки (которых может быть очень много). Теперь сделаем следующий трюк: заметим, что это усреднение – это по сути взятие матожидания. Таким образом, мы говорим, что наша функция выглядит как

$$
f(x) = mathbb{E}[mathcal{L}(x, xi)],
$$

где $xi$ равномерно распределена по обучающей выборке. Задачи такого вида возникают не только в машинном обучении; иногда встречаются и просто задачи стохастического программирования, где происходит минимизация матожидания по неизвестному (или слишком сложному) распределению.

Для функционалов такого вида мы также можем посчитать градиент, он будет выглядеть довольно ожидаемо:

$$
nabla f(x) = mathbb{E} nabla mathcal{L}(x, xi).
$$

Будем считать, что вычисление матожидания напрямую невозможно.

Новый взгляд из статистики дает возможность воспользоваться классическим трюком: давайте подменим матожидание на его несмещенную Монте-Карло оценку. Получается то, что можно назвать стохастическим градиентом:

$$
tilde nabla f(x) = frac{1}{B} sum_{i=1}^B nabla mathcal{L}(x, xi_i).
$$

Говоря инженерным языком, мы подменили вычисление градиента по всей выборке вычислением по случайной подвыборке. Подвыборку $xi_1,ldots,xi_B$ часто называют (мини)батчем, а число $B$ – размерном батча.

По-хорошему, наука предписывает нам каждый раз независимо генерировать батчи, но это трудно с вычислительной точки зрения. Вместо этого воспользуемся следующим приёмом: сначала перемешаем нашу выборку (чтобы внести дополнительную случайность), а затем будем рассматривать последовательно блоки по $B$ элементов выборки. Когда мы просмотрели всю выборку – перемешиваем еще раз и повторяем проход. Очередной прогон по обучающей выборке называется эпохой. И, хотя, казалось бы, независимо генерировать батчи лучше, чем перемешивать лишь между эпохами, есть несколько результатов, демонстрирующих обратное: одна работа и вторая (более новая); главное условие успеха – правильно изменяющийся размер шага.

Получаем следующий алгоритм, называемый стохастическим градиентным спуском (stochastic gradient descent, SGD):

x = normal(0, 1)                    # инициализация
repeat E times:                     # цикл по количеству эпох
   for i = 0; i <= N; i += B:
        batch = data[i:i+B]
        h = grad_loss(batch).mean() # вычисляем оценку градиента как среднее по батчу
        x -= alpha * h

Дополнительное удобство такого подхода – возможность работы с внешней памятью, ведь выборка может быть настолько большой, что она помещается только на жёсткий диск. Сразу отметим, что в таком случае $B$ стоит выбирать достаточно большим: обращение к данным с диска всегда медленнее, чем к данным из оперативной памяти, так что лучше бы сразу забирать оттуда побольше.

Поскольку стохастические градиенты являются лишь оценками истинных градиентов, SGD может быть довольно шумным:

Поэтому если вы обучаете глубокую нейросеть и у вас в память влезает лишь батч размером с 2-4 картинки, модель, возможно, ничего хорошего не сможет выучить. Аппроксимация градиента и поведение SGD может стать лучше с ростом размера батча $B$ – и обычно его действительно хочется подрастить, но парадоксальным образом слишком большие батчи могут порой испортить дело (об этом дальше в этой главе!).

Теоретический анализ

Теперь перейдем к теоретической стороне вопроса. Сходимость SGD обеспечивается несмещенностью стохастического градиента. Несмотря на то, что во время итераций копится шум, суммарно он зачастую оказывается довольно мал.

Теперь приведем оценки. Сначала, по традиции, в выпуклом случае. Для выпуклой функции потерь за $k$ шагов будет достигнута точность порядка

$$
Oleft( minleft{R^2 exp
left(-frac{k}{4kappa} right)+ frac{sigma^2}{mu k}, frac{R^2}{k} + frac{sigma^2 R}{sqrt{k}} right}right),
$$

где $sigma^2$ – это дисперсия стохградиента, а $mu$ – константа сильной выпуклости, показывающая, насколько функция является «не плоской» в окрестности точки оптимума. Доказательство в том же препринте С. Стича.

Мораль в следующем: дисперсия стохастического градиента, вычисленного по батчу размера $B$ равна $sigma_0^2/B$, где $sigma_0^2$ – это дисперсия одного градиента. То есть увеличение размера батча помогает и с теоретической точки зрения.

В невыпуклом случае оценка сходимости SGD просто катастрофически плохая: требуется $O(1/varepsilon^4)$ шагов для того, чтобы сделать норму градиента меньше $varepsilon$. В теории есть всевозможные дополнительные способы снижения дисперсии с лучшими теоретическими оценками (Stochastic Variance Reduced Gradient (SVRGD), Spider, etc), но на практике они активно не используются.

Использование дополнительной информации о функции

Методы второго порядка

Основной раздел.

Постараемся усовершенствовать метод стохастического градиентного спуска. Сначала заметим, что мы используем явно не всю информацию об оптимизируемой функции.

Вернемся к нашему VIP-примеру линейной регресии с $ell_2$ регуляризацией:

$$
Vert y — Xw Vert_2^2 + lambda Vert w Vert_2^2 to min_w.
$$

Эта функция достаточно гладкая, и может быть неплохой идеей использовать её старшие производные для ускорения сходимости алгоритма. В наиболее чистом виде этой философии следует метод Ньютона и подобные ему; о них вы можете прочитать в соответствующем разделе. Отметим, что все такие методы, как правило, довольно дорогие (исключая L-BFGS), и при большом размере задачи и выборки ничего лучше вариаций SGD не придумали.

Проксимальные методы

Основной раздел.

К сожалению, не всегда функции такие красивые и гладкие. Для примера рассмотрим Lasso-регресию:

$$
Vert y — Xw Vert_2^2 + lambda Vert w Vert_1 to min_w.
$$

Второе, не гладкое слагаемое резко ломает все свойства этой задачи: теоретически оценки для градиентного спуска становятся гораздо хуже (и на практике тоже). С другой стороны, регуляризационное слагаемое устроено очень просто, и эту дополнительную структурную особенность можно и нужно эксплуатировать. Методы решения задачи вида

$$
f(x) + h(x) to min_x,
$$

где $h$ – простая функция (в некотором смысле), а $f$ – гладкая, называются методами композитной оптимизации. Глубже погрузиться в них можно в соответствующем разделе, посвященном проксимальным методам.

Использование информации о предыдущих шагах

Следующая претензия к методу градиентного спуска – мы не используем информацию о предыдущих шагах, хотя, кажется, там может храниться что-то полезное.

Метод инерции, momentum

Начнем с физической аналогии. Представим себе мячик, который катится с горы. В данном случае гора – это график функции потерь в пространстве параметров нашей модели, а мячик – её текущее значение. Реальный мячик не застрянет перед небольшой кочкой, так как у него есть некоторая масса и уже накопленный импульс – некоторое время он способен двигаться даже вверх по склону. Аналогичный прием может быть использован и в градиентной оптимизации. В англоязычной литературе он называется Momentum.

С математической точки зрения, мы добавляем к градиентному шагу еще одно слагаемое:

$$
x_{k+1} = x_k — alpha_k nabla f(x_k) + color{red}{beta_k (x_k — x_{k-1})}.
$$

Сразу заметим, что мы немного усугубили ситуацию с подбором шага, ведь теперь нужно подбирать не только $alpha_k$, но и $beta_k$. Для обычного, не стохастического градиентного спуска мы можем адаптировать метод наискорейшего и получить метод тяжелого шарика:

$$
(alpha_k, beta_k) = argmin_{alpha,beta} f(x_k — alpha nabla f(x_k) + beta (x_k — x_{k-1})).
$$

Но, увы, для SGD это работать не будет.

Выгода в невыпуклом случае от метода инерции довольно понятна – мы будем пропускать паразитные локальные минимумы и седла и продолжать движение вниз. Но выгода есть также и в выпуклом случае. Рассмотрим плохо обусловленную квадратичную задачу, для которой линии уровня оптимизируемой функции будут очень вытянутыми эллипсами, и запустим на SGD с инерционным слагаемым и без него. Направление градиента будет иметь существенную вертикальную компоненту, а добавление инерции как раз «погасит» паразитное направление. Получаем следующую картинку:

Также удобно бывает представить метод моментума в виде двух параллельных итерационных процессов:

$$begin{align}
v_{k+1} &= beta_k v_k — alpha_k nabla f(x_k)
x_{k+1} &= x_k + v_{k+1}.
end{align}
$$

Accelerated Gradient Descent (Nesterov Momentum)

Рассмотрим некоторую дополнительную модификацию, которая была предложена в качестве оптимального метода первого порядка для решения выпуклых оптимизационных задач.

Можно доказать, что в сильно выпуклом и гладком случае найти минимум с точностью $varepsilon$ нельзя быстрее, чем за

$$
Omegaleft( R^2expleft(-frac{k}{sqrt{kappa}}right) right)
$$

итераций, где $kappa$ – число обусловленности задачи. Напомним, что для обычного градиентного спуска в экспоненте у нас был не корень из $kappa$, а просто $kappa$, то есть, градиентный спуск справляется с плохой обусловленностью задачи хуже, чем мог бы.

В 1983 году Ю.Нестеровым был предложен алгоритм, имеющий оптимальную по порядку оценку. Для этого модифицируем немного моментум и будем считать градиент не в текущей точке, а как бы в точке, в которую мы бы пошли, следуя импульсу:

$$begin{align}
v_{k+1} &= beta_k v_k — alpha_k nabla f(color{red}{x_k + beta_k v_k})
x_{k+1} &= x_k + v_{k+1}
end{align}
$$

Сравним с обычным momentum:

Комментарий: иногда упоминается, что Nesterov Momentum «заглядывает в будущее» и исправляет ошибки на данном шаге оптимизации. Конечно, никто не заглядывает в будущее в буквальном смысле.

В работе Нестерова были предложены конкретные (и довольно магические) константы для импульса, которые получаются из некоторой еще более магической последовательности. Мы приводить их не будем, поскольку мы в первую очередь заинтересованы невыпуклым случаем.

Nesterov Momentum позволяет значительно повысить устойчивость и скорость сходимости в некоторых случаях. Но, конечно, он не является серебряной пулей в задачах оптимизации, хотя в выпуклом мире и является теоретически неулучшаемым.

Также отметим, что ускоренный метод может напрямую примениться к проксимальному градиентному спуску. В частности, применение ускоренного метода к проксимальному алгоритму решения $ell_1$ регрессии (ISTA) называется FISTA (Fast ISTA).

Общие выводы:

• Добавление momentum к градиентному спуску позволяет повысить его устойчивость и избегать маленьких локальных минимумов/максимумов;
• В выпуклом случае добавление моментного слагаемого позволяет доказуемо улучшить асимптотику и уменьшить зависимость от плохой обусловленности задачи.
• Идея ускорения применяется к любым около-градиентным методам, в том числе и к проксимальным, позволяя получить, например, ускоренный метод для $ell_1$-регрессии.

Адаптивный подбор размера шага

Выше мы попытались эксплуатировать свойства градиентного спуска. Теперь же пришел момент взяться за больной вопрос: как подбирать размер шага? Он максимально остро встаёт в случае SGD: ведь посчитать значение функции потерь в точке очень дорого, так что методы в духе наискорейшего спуска нам не помогут!

Нужно действовать несколько хитрее.

Adagrad

Рассмотрим первый алгоритм, который является адаптацией стохастического градиентного спуска. Впервые он предложен в статье в JMLR 2011 года, но она написана в очень широкой общности, так что читать её достаточно сложно.

Зафиксируем $alpha$ – исходный learning rate. Затем напишем следующую формулу обновления:

$$begin{align}
G_{k+1} &= G_k + (nabla f(x_k))^2
x_{k+1} &= x_k — frac{alpha}{sqrt{G_{k+1} + varepsilon}} nabla f(x_k).
end{align}
$$

Возведение в квадрат и деления векторов покомпонентные. По сути, мы добавляем некоторую квазиньютоновость и начинаем динамически подбирать размер шага для каждой координаты по отдельности. Наш размера шага для фиксированной координаты – это какая-то изначальная константа $alpha$ (learning rate), деленная на корень из суммы квадратов координат градиентов плюс дополнительный параметр сглаживания $varepsilon$, предотвращающий деление на ноль. Добавка $varepsilon$ на практике оставляется дефолтными 1e-8 и не изменяется.

Идея следующая: если мы вышли на плато по какой-то координате и соответствующая компонента градиента начала затухать, то нам нельзя уменьшать размер шага слишком сильно, поскольку мы рискуем на этом плато остаться, но в то же время уменьшать надо, потому что это плато может содержать оптимум. Если же градиент долгое время довольно большой, то это может быть знаком, что нам нужно уменьшить размер шага, чтобы не пропустить оптимум. Поэтому мы стараемся компенсировать слишком большие или слишком маленькие координаты градиента.

Но довольно часто получается так, что размер шага уменьшается слишком быстро и для решения этой проблемы придумали другой алгоритм.

RMSProp

Модифицируем слегка предыдущую идею: будем не просто складывать нормы градиентов, а усреднять их в скользящем режиме:

$$begin{align}
G_{k+1} &= gamma G_k + (1 — gamma)(nabla f(x_k))^2
end{align}
$$

$$begin{align}
x_{k+1} &= x_k — frac{alpha}{sqrt{G_{k+1} + varepsilon}} nabla f(x_k).
end{align}
$$

Такой выбор позволяет все еще учитывать историю градиентов, но при этом размер шага уменьшается не так быстро.

Общие выводы:

• Благодаря адаптивному подбору шага в современных оптимизаторах не нужно подбирать последовательность $alpha_k$ размеров всех шагов, а достаточно выбрать всего одно число – learning rate $alpha$, всё остальное сделает за вас сам алгоритм. Но learning rate все еще нужно выбирать крайне аккуратно: алгоритм может либо преждевременно выйти на плато, либо вовсе разойтись. Пример приведен на иллюстрации ниже.

Объединяем все вместе…

Adam

Теперь покажем гвоздь нашей программы: алгоритм Adam, который считается решением по умолчанию и практически серебряной пулей в задачах стохастической оптимизации.

Название Adam = ADAptive Momentum намекает на то, что мы объединим идеи двух последних разделов в один алгоритм. Приведем его алгоритм, он будет немного отличаться от оригинальной статьи отсутствием коррекций смещения (bias correction), но идея останется той же самой:

$$begin{align}
v_{k+1} &= beta_1 v_k + (1 — beta_1) nabla f(x_k)
end{align}
$$

$$begin{align}
G_{k+1} &= beta_2 G_k + (1 — beta_2)(nabla f(x_k))^2
end{align}
$$

$$begin{align}
x_{k+1} &= x_k — frac{alpha}{sqrt{G_{k+1} + varepsilon}} v_{k+1}.
end{align}
$$

Как правило, в этом алгоритме подбирают лишь один гиперпараметр $alpha$ – learning rate. Остальные же: $beta_1$, $beta_2$ и $varepsilon$ – оставляют стандартными и равными 0.9, 0.99 и 1e-8 соответственно. Подбор $alpha$ составляет главное искусство.

Зачастую, при начале работы с реальными данными начинают со значения learning rate равного 3e-4. История данного значения достаточно забавна: в 2016 году Андрей Карпатый (Andrej Karpathy) опубликовал шутливый пост в Twitter.

После чего сообщество подхватило эту идею (до такой степени, что иногда число 3e-4 называют Karpathy constant).

Обращаем ваше внимание, что при работе с учебными данными зачастую полезно выбирать более высокий (на 1-2 порядка) начальный learning rate (например, при классификации MNIST, Fashion MNIST, CIFAR или при обучении языковой модели на примере поэзии выбранного поэта).

Также стоит помнить, что Adam требует хранения как параметров модели, так и градиентов, накопленного импульса и нормировочных констант (cache). Т.е. достижение более быстрой (с точки зрения количества итераций/объема рассмотренных данных) сходимости требует больших объемов памяти. Кроме того, если вы решите продолжить обучение модели, остановленное на некоторой точке, необходимо восстановить из чекпоинта не только веса модели, но и накопленные параметры Adam. В противном случае оптимизатор начнёт сбор всех своих статистик с нуля, что может сильно сказаться на качестве дообучения. То же самое касается вообще всех описанных выше методов, так как каждый из них накапливает какие-то статистики во время обучения.

Интересный факт: Adam расходится на одномерном контрпримере, что совершенно не мешает использовать его для обучения нейронных сетей. Этот факт отлично демонстрирует, насколько расходятся теория и практика в машинном обучении. В той же работе предложено исправление этого недоразумения, но его активно не применяют и продолжают пользоваться «неправильным» Adamом потому что он быстрее сходится на практике.

AdamW

А теперь давайте добавим $ell_2$-регуляризацию неявным образом, напрямую в оптимизатор и минуя адаптивный размер шага:

$$begin{align}
v_{k+1} &= beta_1 v_k + (1 — beta_1) nabla f(x_k)
end{align}
$$

$$begin{align}
G_{k+1} &= beta_2 G_k + (1 — beta_2)(nabla f(x_k))^2
end{align}
$$

$$begin{align}
x_{k+1} &= x_k — left( frac{alpha}{sqrt{G_{k+1} + varepsilon}} v_{k+1} color{red}{ + lambda x_{k}} right).
end{align}
$$

Это сделано для того, чтобы эффект $ell_2$-регуляризации не затухал со временем и обобщающая способность модели была выше. Оставим ссылку на одну заметку про этот эффект. Отметим, впрочем, что этот алгоритм особо не используется.

Практические аспекты

Расписания

Часто learning rate понижают итеративно: каждые условные 5 эпох (LRScheduler в Pytorch) или же при выходе функции потерь на плато. При этом лосс нередко ведет себя следующим схематичным образом:

Помимо этого используют другие варианты «расписаний» для learning rate. Из часто применяемых неочевидных лайфхаков: сначала сделать warmup, то есть увеличивать learning rate, а затем начать постепенно понижать. Использовалось в известной статье про трансформеры. В ней предложили следующую формулу:

$$
lr = d^{-0.5}_{rm{model}} cdot min(step_ num^{-0.5}, step_ num cdot warmup_ steps^{-1.5}).
$$

По сути, первые $warmup_ steps$ шагов происходит линейный рост размера шага, а затем он начинает уменьшаться как $1/sqrt{t}$, где $t$ — число итераций.

Есть и вариант с косинусом из отдельной библиотеки для трансформеров.

В этой же библиотеке можно также почерпнуть идею рестартов: с какого-то момента мы снова включаем warmup, увеличивая размер шага.

Большие батчи

Представим ситуацию, что мы хотим обучить свою нейронную на нескольких GPU. Одно из решений выглядит следующим образом: загружаем на каждую видеокарту нейронную сеть и свой отдельный батч, вычисляем стохастические градиенты, а затем усредняем их по всем видеокартам и делаем шаг. Что плохого может быть в этом?

По факту, эта схема в некотором смысле эквивалентна работе с одним очень большим батчем. Хорошо же, нет разве?

На самом деле существует так называемый generalization gap: использование большого размера батча может приводить к худшей обобщающей способности итоговой модели. О причине этого эффекта можно поспекулировать, базируясь на текущих знаниях о ландшафтах функций потерь при обучении нейронных сетей.

Больший размер батча приводит к тому, что оптимизатор лучше «видит» ландшафт функции потерь для конкретной выборки и может скатиться в маленькие «узкие» паразитные локальные минимумы, которые не имеют обобщающий способности — при небольшом шевелении этого ландшафта (distributional shift c тренировочной на тестовую выборку) значение функции потерь резко подскакивает. В свою очередь, широкие локальные минимумы дают модель с лучшей обобщающей способностью. Эту идею можно увидеть на следующей картинке:

Иными словами, большие батчи могут приводить к переобучению, но это можно исправить правильным динамическим подбором learning rate, как будет продемонстрировано далее. Сразу отметим, что совсем маленькие батчи – это тоже плохо, с ними ничего не получится выучить, так как каждая итерация SGD знает слишком мало о ландшафте функции потерь.

LARS

Мы рассмотрим нестандартный оптимизатор для обучения нейронных сетей, которого нет в Pytorch по умолчанию, но который много где используется: Layer-wise Adaptive Rate Scaling (LARS). Он позволяет эффективно использовать большие размеры батчей, что очень важно при вычислении на нескольких GPU.

Основная идея заключена в названии – нужно подбирать размер шага не один для всей сети или каждого нейрона, а отдельный для каждого слоя по правилу, похожему на RMSProp. По сравнению с оригинальным RMSProp подбор learning rate для каждого слоя дает большую стабильность обучения.

Теперь рассмотрим формулу пересчета: пусть $w_l$ – это веса слоя $l$, $l < L$. Параметры алгоритма: базовый learning rate $eta$ (на который запускается расписание), коэффициент инерции $m$, коэффециент затухания весов $beta$ (как в AdamW).

for l in range(L):                                              # Цикл по слоям
    g_l = stochgrad(w_prev)[l]                                  # Вычисляем стохградиент из батча для текущего слоя
    lr = eta * norm(w[l]) / (norm(g_l) + beta * norm(w[l]))     # Вычислеяем learning rate для текущего слоя
    v[l] = m * v[l] + lr * (g_l + beta * w[l])                  # Обновляем momentum
    w[l] -= v[l]                                                # Делаем градиентный шаг по всему слою сразу
w_prev = w                                                      # Обновляем веса

LAMB

Этот оптимизатор введен в статье Large Batch Optimization For Deep Learning и является идейным продолжателем LARS, более приближенным к Adam, чем к обычному RMSProp. Его параметры – это параметры Adam $eta, beta_1, beta_2, varepsilon$, которые беруется как в Adam, а также параметр $lambda$, который отвечает за затухание весов ($beta$ в LARS).

for l in range(L):                                              # Цикл по слоям
    g_l = stochgrad(w_prev)[l]                                  # Вычисляем стохградиент из батча для текущего слоя
    m[l] = beta_1 * m[l] + (1 - beta_1) * g_l                   # Вычисляем моментум
    v[l] = beta_2 * v[l] + (1 - beta_2) * g_l                   # Вычисляем новый размер шага
    m[l] /= (1 - beta_1**t)                                     # Шаг для уменьшения смещения из Adam
    v[l] /= (1 - beta_2**t)
    r[l] = m[l] / sqrt(v[l] + eps)                              # Нормируем моментум как предписывает Adam
    lr = eta * norm(w[l]) / norm(r[l] + llambda * w[l])         # Как в LARS
    w[l] = w[l] - lr *  (r[l] + llambda * w[l])                 # Делаем шаг по моментуму
w_prev = w                                                      # Обновляем веса

Усреднение

Теперь снова заглянем в теорию: на самом деле, все хорошие теоретические оценки для SGD проявляются, когда берётся усреднение по точкам.

Этот эффект при обучении нейронных сетей был исследован в статье про алгоритм SWA. Суть очень проста: давайте усреднять веса модели по каждой $c$-й итерации; можно считать, что по эпохам. В итоге, веса финальной модели являются усреднением весов моделей, имевщих место в конце каждой эпохи.

В результате такого усреднения сильно повышается обобщающая способность модели: мы чаще попадаем в те самые широкие локальные минимумы, о которых мы говорили в разделе про большие батчи. Вдохновляющая картинка из статьи прилагается:

На второй и третьей картинке изображено сравнение SGD и SWA при обучении нейронной сети (Preactivation ResNet-164 on CIFAR-100) при одной и той же инициализации.

На первой же картинке изображено, как идеологически должен работать SWA. Также мы видим тут демонстрацию эффекта концентрации меры: после обучения стохастический градиентный спуск становится случайным блужданием по области в окрестности локального минимума. Если, например, предположить, что итоговая точка – это нормальное распределение с центром в реальном минимуме в размерности $d > 10^6$, то все эти точки с большой вероятности будут находиться в окрестности сферы радиуса $sqrt{d}$. Интуитивную демонстрацию многомерного нормального распределения можно увидеть на следующей картинке из книги Р.Вершинина «High-Dimensional Probability» (слева в размерности 2, справа в большой размерности):

Поэтому, чтобы вычислить центральную точку этой гауссианы, усреднение просто необходимо, по такому же принципу работает и SWA.

Предобуславливание

Теперь мы снова обратимся к теории: скорость сходимости градиентного спуска (даже ускоренного) очень сильно зависит от числа обусловленности задачи. Разумной идеей будет попытаться использовать какие-то сведения о задаче и улучшить этот показатель, тем самым ускорив сходимость.

В теории, здесь могут помочь техники предобуславливания. Но, к сожалению, попытки наивно воплотить эту идею приводят к чему-то, похожему на метод Ньютона, в котором нужно хранить большую-большую матрицу для обучения больших моделей. Способ обойти эту проблему рассмотрели в статье о методе Shampoo, который использует то, что веса нейронной сети зачастую удобно представлять как матрицу или даже многомерный тензор. Таким образом, Shampoo можно рассматривать как многомерный аналог AdaGrad.

In mathematics, gradient descent (also often called steepest descent) is a first-order iterative optimization algorithm for finding a local minimum of a differentiable function. The idea is to take repeated steps in the opposite direction of the gradient (or approximate gradient) of the function at the current point, because this is the direction of steepest descent. Conversely, stepping in the direction of the gradient will lead to a local maximum of that function; the procedure is then known as gradient ascent.
It is particularly useful in machine learning for minimizing the cost or loss function.^[1] Gradient descent should not be confused with local search algorithms, although all are iterative methods for optimization.

Gradient descent is generally attributed to Augustin-Louis Cauchy, who first suggested it in 1847.^[2] Jacques Hadamard independently proposed a similar method in 1907.^[3][4] Its convergence properties for non-linear optimization problems were first studied by Haskell Curry in 1944,^[5] with the method becoming increasingly well-studied and used in the following decades.^[6][7]

A simple extension of gradient descent, stochastic gradient descent, serves as the most basic algorithm used for training most deep networks today.

Description[edit]

Gradient descent is based on the observation that if the multi-variable function is defined and differentiable in a neighborhood of a point , then decreases fastest if one goes from in the direction of the negative gradient of at . It follows that, if

for a small enough step size or learning rate , then . In other words, the term is subtracted from because we want to move against the gradient, toward the local minimum. With this observation in mind, one starts with a guess for a local minimum of , and considers the sequence such that

We have a monotonic sequence

so, hopefully, the sequence converges to the desired local minimum. Note that the value of the step size is allowed to change at every iteration. With certain assumptions on the function (for example, convex and Lipschitz) and particular choices of (e.g., chosen either via a line search that satisfies the Wolfe conditions, or the Barzilai-Borwein method^[8][9] shown as following),

convergence to a local minimum can be guaranteed. When the function is convex, all local minima are also global minima, so in this case gradient descent can converge to the global solution.

This process is illustrated in the adjacent picture. Here, is assumed to be defined on the plane, and that its graph has a bowl shape. The blue curves are the contour lines, that is, the regions on which the value of is constant. A red arrow originating at a point shows the direction of the negative gradient at that point. Note that the (negative) gradient at a point is orthogonal to the contour line going through that point. We see that gradient descent leads us to the bottom of the bowl, that is, to the point where the value of the function is minimal.

An analogy for understanding gradient descent[edit]

The basic intuition behind gradient descent can be illustrated by a hypothetical scenario. A person is stuck in the mountains and is trying to get down (i.e., trying to find the global minimum). There is heavy fog such that visibility is extremely low. Therefore, the path down the mountain is not visible, so they must use local information to find the minimum. They can use the method of gradient descent, which involves looking at the steepness of the hill at their current position, then proceeding in the direction with the steepest descent (i.e., downhill). If they were trying to find the top of the mountain (i.e., the maximum), then they would proceed in the direction of steepest ascent (i.e., uphill). Using this method, they would eventually find their way down the mountain or possibly get stuck in some hole (i.e., local minimum or saddle point), like a mountain lake. However, assume also that the steepness of the hill is not immediately obvious with simple observation, but rather it requires a sophisticated instrument to measure, which the person happens to have at the moment. It takes quite some time to measure the steepness of the hill with the instrument, thus they should minimize their use of the instrument if they wanted to get down the mountain before sunset. The difficulty then is choosing the frequency at which they should measure the steepness of the hill so not to go off track.

In this analogy, the person represents the algorithm, and the path taken down the mountain represents the sequence of parameter settings that the algorithm will explore. The steepness of the hill represents the slope of the function at that point. The instrument used to measure steepness is differentiation. The direction they choose to travel in aligns with the gradient of the function at that point. The amount of time they travel before taking another measurement is the step size.

Choosing the step size and descent direction[edit]

Since using a step size that is too small would slow convergence, and a too large would lead to divergence, finding a good setting of is an important practical problem. Philip Wolfe also advocated using «clever choices of the [descent] direction» in practice.^[10] Whilst using a direction that deviates from the steepest descent direction may seem counter-intuitive, the idea is that the smaller slope may be compensated for by being sustained over a much longer distance.

To reason about this mathematically, consider a direction and step size and consider the more general update:

.

Finding good settings of and requires some thought. First of all, we would like the update direction to point downhill. Mathematically, letting denote the angle between and , this requires that To say more, we need more information about the objective function that we are optimising. Under the fairly weak assumption that is continuously differentiable, we may prove that:^[11]

(1)

This inequality implies that the amount by which we can be sure the function is decreased depends on a trade off between the two terms in square brackets. The first term in square brackets measures the angle between the descent direction and the negative gradient. The second term measures how quickly the gradient changes along the descent direction.

In principle inequality (1) could be optimized over and to choose an optimal step size and direction. The problem is that evaluating the second term in square brackets requires evaluating , and extra gradient evaluations are generally expensive and undesirable. Some ways around this problem are:

Usually by following one of the recipes above, convergence to a local minimum can be guaranteed. When the function is convex, all local minima are also global minima, so in this case gradient descent can converge to the global solution.

Solution of a linear system[edit]

Gradient descent can be used to solve a system of linear equations

reformulated as a quadratic minimization problem.
If the system matrix is real symmetric and positive-definite, an objective function is defined as the quadratic function, with minimization of

so that

For a general real matrix , linear least squares define

In traditional linear least squares for real and the Euclidean norm is used, in which case

The line search minimization, finding the locally optimal step size on every iteration, can be performed analytically for quadratic functions, and explicit formulas for the locally optimal are known.^[6][13]

For example, for real symmetric and positive-definite matrix , a simple algorithm can be as follows,^[6]

To avoid multiplying by twice per iteration,
we note that implies , which gives the traditional algorithm,^[14]

The method is rarely used for solving linear equations, with the conjugate gradient method being one of the most popular alternatives. The number of gradient descent iterations is commonly proportional to the spectral condition number of the system matrix (the ratio of the maximum to minimum eigenvalues of ), while the convergence of conjugate gradient method is typically determined by a square root of the condition number, i.e., is much faster. Both methods can benefit from preconditioning, where gradient descent may require less assumptions on the preconditioner.^[14]

Solution of a non-linear system[edit]

Gradient descent can also be used to solve a system of nonlinear equations. Below is an example that shows how to use the gradient descent to solve for three unknown variables, x₁, x₂, and x₃. This example shows one iteration of the gradient descent.

Consider the nonlinear system of equations

Let us introduce the associated function

where

One might now define the objective function

which we will attempt to minimize. As an initial guess, let us use

We know that

where the Jacobian matrix is given by

We calculate:

Thus

and

Now, a suitable must be found such that

This can be done with any of a variety of line search algorithms. One might also simply guess which gives

Evaluating the objective function at this value, yields

The decrease from to the next step’s value of

is a sizable decrease in the objective function. Further steps would reduce its value further until an approximate solution to the system was found.

[edit]

Gradient descent works in spaces of any number of dimensions, even in infinite-dimensional ones. In the latter case, the search space is typically a function space, and one calculates the Fréchet derivative of the functional to be minimized to determine the descent direction.^[7]

That gradient descent works in any number of dimensions (finite number at least) can be seen as a consequence of the Cauchy-Schwarz inequality. That article proves that the magnitude of the inner (dot) product of two vectors of any dimension is maximized when they are colinear. In the case of gradient descent, that would be when the vector of independent variable adjustments is proportional to the gradient vector of partial derivatives.

The gradient descent can take many iterations to compute a local minimum with a required accuracy, if the curvature in different directions is very different for the given function. For such functions, preconditioning, which changes the geometry of the space to shape the function level sets like concentric circles, cures the slow convergence. Constructing and applying preconditioning can be computationally expensive, however.

The gradient descent can be combined with a line search, finding the locally optimal step size on every iteration. Performing the line search can be time-consuming. Conversely, using a fixed small can yield poor convergence.

Methods based on Newton’s method and inversion of the Hessian using conjugate gradient techniques can be better alternatives.^[15][16] Generally, such methods converge in fewer iterations, but the cost of each iteration is higher. An example is the BFGS method which consists in calculating on every step a matrix by which the gradient vector is multiplied to go into a «better» direction, combined with a more sophisticated line search algorithm, to find the «best» value of For extremely large problems, where the computer-memory issues dominate, a limited-memory method such as L-BFGS should be used instead of BFGS or the steepest descent.

While it is sometimes possible to substitute gradient descent for a local search algorithm, gradient descent is not in the same family: although it is an iterative method for local optimization, it relies on an objective function’s gradient rather than an explicit exploration of a solution space.

Gradient descent can be viewed as applying Euler’s method for solving ordinary differential equations to a gradient flow. In turn, this equation may be derived as an optimal controller^[17] for the control system with given in feedback form .

It can be shown that there is a correspondence between neuroevolution and gradient descent.^[18]

Modifications[edit]

Gradient descent can converge to a local minimum and slow down in a neighborhood of a saddle point. Even for unconstrained quadratic minimization, gradient descent develops a zig-zag pattern of subsequent iterates as iterations progress, resulting in slow convergence. Multiple modifications of gradient descent have been proposed to address these deficiencies.

Fast gradient methods[edit]

Yurii Nesterov has proposed^[19] a simple modification that enables faster convergence for convex problems and has been since further generalized. For unconstrained smooth problems the method is called the fast gradient method (FGM) or the accelerated gradient method (AGM). Specifically, if the differentiable function is convex and is Lipschitz, and it is not assumed that is strongly convex, then the error in the objective value generated at each step by the gradient descent method will be bounded by . Using the Nesterov acceleration technique, the error decreases at .^[20][21] It is known that the rate for the decrease of the cost function is optimal for first-order optimization methods. Nevertheless, there is the opportunity to improve the algorithm by reducing the constant factor. The optimized gradient method (OGM)^[22] reduces that constant by a factor of two and is an optimal first-order method for large-scale problems.^[23]

For constrained or non-smooth problems, Nesterov’s FGM is called the fast proximal gradient method (FPGM), an acceleration of the proximal gradient method.

Momentum or heavy ball method[edit]

Trying to break the zig-zag pattern of gradient descent, the momentum or heavy ball method uses a momentum term in analogy to a heavy ball sliding on the surface of values of the function being minimized,^[6] or to mass movement in Newtonian dynamics through a viscous medium in a conservative force field.^[24] Gradient descent with momentum remembers the solution update at each iteration, and determines the next update as a linear combination of the gradient and the previous update. For unconstrained quadratic minimization, a theoretical convergence rate bound of the heavy ball method is asymptotically the same as that for the optimal conjugate gradient method.^[6]

This technique is used in stochastic gradient descent and as an extension to the backpropagation algorithms used to train artificial neural networks.^[25][26] In the direction of updating, stochastic gradient descent adds a stochastic property. The weights can be used to calculate the derivatives.

Extensions[edit]

Gradient descent can be extended to handle constraints by including a projection onto the set of constraints. This method is only feasible when the projection is efficiently computable on a computer. Under suitable assumptions, this method converges. This method is a specific case of the forward-backward algorithm for monotone inclusions (which includes convex programming and variational inequalities).^[27]

Gradient descent is a special case of mirror descent using the squared Euclidean distance as the given Bregman divergence.^[28]

See also[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). «Unconstrained Minimization» (PDF). Convex Optimization. New York: Cambridge University Press. pp. 457–520. ISBN 0-521-83378-7.
• Chong, Edwin K. P.; Żak, Stanislaw H. (2013). «Gradient Methods». An Introduction to Optimization (Fourth ed.). Hoboken: Wiley. pp. 131–160. ISBN 978-1-118-27901-4.
• Himmelblau, David M. (1972). «Unconstrained Minimization Procedures Using Derivatives». Applied Nonlinear Programming. New York: McGraw-Hill. pp. 63–132. ISBN 0-07-028921-2.

External links[edit]

• Using gradient descent in C++, Boost, Ublas for linear regression
• Series of Khan Academy videos discusses gradient ascent
• Online book teaching gradient descent in deep neural network context
• Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: «Gradient Descent, How Neural Networks Learn». 3Blue1Brown. October 16, 2017 – via YouTube.
• Handbook of Convergence Theorems for (Stochastic) Gradient Methods