Как найти градусные меры двух дуг окружности

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Окружность
5. Градусная мера дуги окружности

Советуем посмотреть:

Взаимное расположение прямой и окружности

Касательная к окружности

Теорема о вписанном угле

Свойство биссектрисы угла

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Теорема о пересечении высот треугольника

Вписанная окружность

Описанная окружность

Окружность

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 660,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 664,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 705,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 707,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 11,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 26,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 726,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 12,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1134,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1279,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Вопрос 1

Какой угол называется центральным углом окружности?

Ответ:

Центральный угол — это угол, вписанный в окружность, вершина которого лежит в центре этой окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается (если угол опирается на дугу равную 90 градусам, то этот угол будет равен 90 градусам).

Вопрос 2

Как называют часть окружности на которые делят ее две точки?

Ответ:

Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Вопрос 3

Каким символом обозначают дугу окружности?

Ответ:

Дуга окружности обозначается: ◡

Вопрос 4

В каком случае говорят что центральный угол опирается на дугу?

Ответ:

Когда говорят, что центральный угол опирается на дугу, то имеют в виду внутреннюю дугу, лежащую между сторонами угла.

Вопрос 5

Чему считают равной градусную меру окружности?

Ответ:

Градусную меру всей окружности считают равной 360°.

Вопрос 6

Как связаны градусные меры центрального угла окружности и дуги на которую этот угол опирается?

Ответ:

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

Вопрос 7

Сколько дуг стягивает каждая хорда? чему равна сумма их градусных мер?

Ответ:

Каждая хорда стягивает две дуги. Сумма их градусных мер равна 360°

Вопрос 8

Какой угол называют вписанным углом окружности?

Ответ:

Вписанный угол– это угол, сформированный двумя хордами, берущими начало в одной точки окружности.

Вопрос 9

В каком случае говорят что вписанный угол опирается на дугу?

Ответ:

Когда говорят, что вписанный угол опирается на дугу — имеют в виду часть окружности, не содержащую вершину угла.

Проще говоря, угол (и центральный и вписанный) опирается на ту дугу, которая принадлежит части плоскости между сторонами угла.

Вопрос 10

Чему равна градусная мера вписанного угла?

Ответ:

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается и половине градусной меры центрального угла, опирающегося на эту же дугу.

Вопрос 11

Каким свойством обладают вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу?

Ответ:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми.

Сумма вписанных углов, опирающихся на дуги, дополняющие друг друга до окружности, равна.

Вопрос 12

Какой вид имеет вписанный угол опирающийся на диаметр?

Ответ:

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Задание 278

Чему равна градусная мера центрального угла окружности, опирающегося на дугу, которая составляет: 1) 1/6 окружности; 2) 1/10 окружности; 3) 1/3 окружности; 4) 2/9 окружности?

Ответ:

Градусная мера всей окружности равна 360.

1) 360/6=60 градусов

2) 360/10=36 градусов

3) 360/3=120 градусов

4) 2*(360/9)=80 градусов

Задание 279

Найдите градусные меры двух дуг окружности, на которые её делят две точки, если градусная мера одной из дуг на 80° больше градусной меры другой.

Ответ:

Меньшая дуга: (360° − 80°) : 2 = 140°

Большая: 360° − 140° = 220°

Задание 280

Найдите градусные меры двух дуг окружности, на которые её делят две точки, если градусные меры этих дуг относятся как 7 : 11.

Ответ:

Х — градусная мера одной из дуг

(х+80°) — градусная мера второй дуги этой окружности.

360° — градусная мера всей окружности

Уравнение

х + (х + 80°) = 360°

2х = 360° — 80°

2х = — 280°

х = 280° : 2

х = 140° — градусная мера одной из дуг

140°+ 80° = 220° — градусная мера второй дуги этой окружности.

Ответ: 140°; 220°

Задание 281

Найдите градусную меру дуги, которую описывает конец часовой стрелки: 1) за 2 ч; 2) за 5 ч; 3) за 8 ч; 4) за 30 мин; 5) за 12 ч.

Ответ:

Полный круг циферблата составляет 360°.

Он разделен на 12 частей по количеству часов  в половине суток.

Тогда градусная мера дуги, соответствующей одной части (или одному часу):

360° : 12 = 30°

1) 30° · 2 = 60°

2) 30° · 5 = 150°

3) 30° · 8 = 240°

4) 30° · 0,5 = 15°

5) 30° ·  12 = 360°

Задание 282

Какие из углов, изображённых на рисунке 90, являются вписанными? На какую дугу опирается каждый из вписанных углов?

Ответ:

Вписанным углом окружности называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Угол CAS-вписанный, опирается на дугу CDS

Угол PBD-вписанный, опирается на дугу  PFD

Угол PBF-вписанный, опирается на дугу  PF

Вписанный угол FBD опирается на дугу FSD

Вы зашли на страницу вопроса Найдите градусные меры двух дуг окружности , на которые её делят две точки , если градусные меры этих дуг относятся как 7 : 11?, который относится к
категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной
программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ
и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью
автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в
комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для
обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют,
создайте свой вариант запроса в верхней строке.

Ключевые слова:         угол,   окружность,   хорда,    дуга,   центральный угол,    вписанный угол,    касательная,   секущая,    теорема о секущих,   теорема о касательной и секущей,   градусная мера дуги,    угол опирается на хорду,    угол опирается на дугу,   дуга стягивает хорду,    угол между хордой и касательной,    внутренный угол окружности,    внешний угол окружности.

Центральные и вписанные углы в окружности    

Центральный угол     в   окружности — угол с вершиной в ее центре и сторонами-радиусами.

Дуга окружности ,    соответствующей центральному углу — часть окружности внутри плоского угла.

Градусная мера     дуги окружности — градусная мера соответствующего центрального угла.

Вписанный угол — вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (хорды).

• Вписанный угол опирается на хорду , которая соединяет точки пересечения сторон угла и окружности.
• Вписанный угол опирается на дугу, заключенную между его сторонами.
• Обозначение:   $AB^o$ — градусная мера дуги    $AB$   ,     равна центральному    углу   $AOB$.

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Вписанный угол равен   половине   центрального    угла, что опирается    на ту же дугу.

Теорема$angle BAC=frac{angle BOC}{2}=frac{BC^o}{2}$       $angle BAD=frac{angle BOD}{2}=frac{BD^o}{2}$       $angle DAC=frac{angle DOC}{2}=frac{DC^o}{2}$

_____________________________________________________________________________________

               

Случай 1:       Точка   $O$ принадлежит лучу   $AC$.

• Пусть   $angle A = alpha$    ,   тогда   и    $angle B = alpha$ ,   ведь      $bigtriangleup AOB$   — равнобедренный, его стороны    $OB=OA$   как радиусы.   
• $angle BOC$   является внешним для треугольника , а значит равен сумме двух других углов:       $alpha+alpha=2alpha$     
• угловое измерение дуги   $BC$   есть    $2alpha$       $Rightarrow$      вписанный угол   равен    половине дуги,    на которую он опирается.

Случай 2:       Точка   $O$ лежит   внутри   вписанного угла $angle BAC$ .   

• Проведем диаметр    $AD$, обозначим      $angle BAD = alpha$    и тогда    дуга $BD$   равна   $2alpha$   (см. случай 1).
• Обозначим $angle BAD$   за    $beta$ ,   тогда    дуга    $DC$   равна   $2beta$   ( так же из-за случая 1)          
• $Rightarrow$         вся дуга     $BC = 2alpha + 2beta = 2left(alpha+betaright)$.    Но     $angle BAC$   ,   в свою очередь, равен     $alpha + beta$            
• $Rightarrow$       вписанный угол   равен    половине дуги,   на которую он опирается.

Случай 3:       Точка   $O$   находится   вне   вписанного угла .     

• Проведем диаметр   $AD$, обозначим   угол   $angle BAD$   через    $alpha$ ,   тогда   дуга    $BD$   равна   $2alpha$   (из-за случай 1).
• $angle CAD$   обозначим через    $beta$ ,   тогда   дуга   $DC = 2beta$ (из-за случай 1).
• Дуга     $BC$    является разностью большой   дуги   $BD$    и    дуги    $DC$       :       $BC=BD-DC=2alpha-2beta=2left(alpha-betaright)$
• $Rightarrow$        Вписанный угол     $angle BAD = alpha — beta$. … вписанный угол   равен    половине дуги опирания.

Следствия теоремы о вписанном угле:

             

Задача 1:        Точки   $A$,   $B$,    $C$   находятся на окружности   и делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5.               Найдите больший   угол   треугольника    $ABC$   в градусах.

• Решение:      Пусть   меньшая   дуга   окружности   равна   $x$ ,    тогда     $x + 3x + 5x = 360^o$    ,     $9x = 360^o$    ,     $x = 40^o$           
• Больший   угол    $bigtriangleup ABC$     опирается   на   большую дугу   и   равен    $5cdot40^o$    ,   для окружности   он   является   вписанным           
• и   значит равен половине этой дуги   $frac{200}{2}$.                                   Ответ:     $100^o$

            

Задача 2:        В треугольнике   $ABC$     угол $B$    равен   $25^o$   .    Найти   угол   между   радиусом   описанной окружности   и   противоположной   стороной   $AC$.

• Решение:          Обозначим   $angle ABC$     за   $x$   . Он вписанный     и     опирается на дугу   $AC$ , на   которую   так же опирается   центральный   угол   $AOC$.   
• Вписанный   угол в два раза   меньше    центрального         $Rightarrow$       $angle AOC = 2x$.                 
• $bigtriangleup AOC$   —    равнобедренный, т.к.   две его   стороны   являются радиусами ,
• значит   углы   при    основании — хорде      $AC$ равны     и     $OAC=OCA=frac{180-2x}{2}=90-x=90-25=65$    .
• Кстати, угол    $HOC=ABC=x$.          Ответ:     $65^o$

Задача 3:        Отрезки $AC$   и   $BD$ — диаметры окружности с центром   $O$ ,   образовали меж собой   угол   $COD$   равный    $58^o$.   Найти     $angle ACB$.

• Решение:          Углы    $BOA$    и       $COD$      равны    как   вертикальные ,     поэтому      $angle BOA = 58^o$ .   
• Искомый угол   $ACB$   — вписанный   и   он   опирается на   ту же дугу , что и центральный угол   $BOA$   .
• По теореме о вписанных и центральных углах     $ACB=frac{1}{2}BOA=frac{1}{2}cdot58=29$            Ответ:     $angle ACB = 29^o$

Задача 4:        Найдите     $angle DEF$,     если градусные меры дуг $DE$ и   $EF$   равны    $161^o$   и   $53^o$    соответственно.                        

• Решение:   $angle DEF$ — вписанный,   его градусная   мера   равна половине дуги, на которую он опирается.
• Дуга    $FD = 360° – (161° + 53°) = 146°$         $Rightarrow$         $angle$ $DEF=frac{1}{2}146=73$                        Ответ:     $73^o$

Задача 5:        Найдите градусную меру   $angle ACB$ , если известно, что   $BC$ является диаметром окружности, а градусная мера центрального $angle AOC$    равна $96^o$.

• Решение:          $angle ACB$ — вписанный, опирается на дугу    $AB$   и   равен   её половине. Найдем дугу $AB$.        
• $BC$ — диаметр окружности,   дуга   $CAB$ равна   $180^o$.    $angle AOC$ — центральный угол.     По условию   $angle AOC = 96^o$ .   
• $Rightarrow$       дуга   $AC = 96^o$ ,   а дуга    $AB = 180^o — 96^o = 84^o$ ,    тогда     $angle$ $ACB=frac{1}{2}84=42$.   Ответ:             $angle ACB = 42^o$

              

Задача 6:        Сторона   $AC$    треугольника   $ABC$   содержит   центр описанной около него окружности.   Найдите $angle C$,   если $angle A = 69^o$.

• Решение: Важное свойство: вписанный     $angle В$ , опирающийся   на   диаметр     $AC$ ,    равен   $90^o$ .
• Любой диаметр — развернутый центральный угол — опирается на   дугу   $180^o$           $Rightarrow$       $bigtriangleup ABC$    —    прямоугольный.
• По свойству прямоугольного треугольника   сумма острых углов   равна      $90^o$    $Rightarrow$     $angle C=90^o-angle A=90^o — 69^o=21^o$ .
• Ответ:     $angle C = 21^o$

Задача 7:         $AC$   и    $BD$ — диаметры окружности с центром   $O$.      $angle ACB$    равен     $57^o$.     Найдите    $angle AOD$ .

• Решение:   $angle ACB$    является     вписанным     углом ,    значит     равен     половине    дуги,    на    которую    опирается …
• градусная мера   дуги    $AB= 2B = 2cdot57^o=114^o$ .           $O$ — центр окружности лежит на    $BD$   ,     значит $BAD = 180^o$,        
• тогда    дуга    $AD = 180^o — 114^o= 66^o$.     $angle AOD$ — центральный    и опирается    на    дугу   $AD$ ,
• значит их градусные меры совпадают.           $Rightarrow$                  Ответ:     $angle AOD = 66^o$

                 

Задача 8:         В   окружности с   центром в   точке     $O$ проведены   диаметры    $AD$   и     $BC$ , угол    $OCD$   равен    $41^o$.     Найдите величину   $angle OAB$   .

• Решение:   $angle OCD$       и     $angle OAB$ — вписанные    и    опираются на одну и ту же дугу     $DB$ , тогда …
• … по свойству вписанных углов    они равны.      Таким образом,   $angle OAB$   то же    равен     $41^o$.         Ответ:     $angle OAB = 41^o$

Задача 9:        Диаметр    $AB$,    угол   $CDA$   равен   38°.        Найдите    величину     угла     $CAB$.

• Решение: угол   $CDA$ —   вписанный,    значит     его   дуга     $AC^o=2cdot38^o=76^o$.         Тогда дуга     $BCD$    равна     $180 — 76 = 104^o$ ,
• но на   нее опирается   вписанный угол   $CAB$        $Rightarrow$          $CAB=frac{1}{2}104^o$            Ответ:     $CAB = 52^o$   

О главном по теме:   Центральные и вписанные углы в окружности.            1.   Центральный угол     в   окружности — угол с вершиной в ее центре и сторонами-радиусами.         2.   Дуга окружности ,    соответствующей центральному углу — часть окружности внутри плоского угла.         3.   Градусная мера     дуги окружности — градусная мера соответствующего центрального угла.   4.   Вписанный угол — вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (хорды).   ….     Вписанный угол опирается на хорду , которая соединяет точки пересечения сторон угла и окружности. …. Вписанный угол опирается на дугу, заключенную между его сторонами.     Теорема    Вписанный угол равен   половине того центрального    угла, которая опирается    на ту же дугу.

Интерактивные Упражнения:

Задача 21:   Угол АВС равен 66. Найти все что можно. (Т)

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 22: Градусные меры дуг окружности относятся как 3 : 2 : 2 : 5. Найдите градусную меру большей из этих дуг.

Задача 23: Точки А, В, С, D отметили на окружности в порядке следования их в латинском алфавите. При этом оказалось, что дуга ВСD в 3 раза больше дуги BАD. Найдите градусную меру дуги BCD.

Задача 24: В окружности с центром О проведены две равные хорды MK и PN. Найдите градусную меру большей из дуг с концами M и K, если угол PON равен 110°

Задача 25: Вписанный угол CBA равен 80°, где AB – диаметр. Найдите угол CAB.

Задача 26: На окружности с центром в точке O взяли последовательно точки A, B, C так, что ∠AOC = 150°. Найдите градусную меру угла ABC.

Задача 27: Точки А, В и С лежат на окружности с центром О, ∠ВАС – вписанный угол. Про градусные меры дуг известно, что ∪AB : ∪BC : ∪AC = 3 : 1 : 2. Найдите АВС.

Задача 28: В окружности проведен диаметр AB и равные хорды AC и AD так, что ∠DAB = 40°. Найдите градусную меру угла CBD.

Задача 29: Три точки A,B,C делят окружность на части так, что ∪AB : ∪BC : ∪AC = 3 : 4 : 5. Найдите градусные меры из этих дуг.

Задача 30: Дана окружность с центром в точке О. На окружности взяты точки N, P, Q так, что угол РОQ в 2 раза меньше угла PON и в 3 раза меньше угла QON. Найдите градусную меру дуги PQ, которая не содержит точку N.

Задача 31: Вписанный угол ВСD равен 25°, дуга ВС имеет градусную меру 80°. Найдите градусную меру дуги CD.

Задача 32: На окружности взяли последовательно точки A, B, C, D так, что ∠ABC = 120°. Найдите градусную меру угла ADC.

Задача 33: На окружности с центром в точке О взяты точки K, М, N так, что MK – диаметр, а угол КОN равен 80°. Найдите угол КМN.