У параллелограмма 4 угла, это частный случай четырехугольника, у которого противоположные стороны
попарно параллельны. Из этого свойства вытекает равенство противоположных сторон, равенство
противоположных углов и равенство суммы смежных углов двум прямым. Свойства параллелограмма широко
используются в быту и технике.
- Острый угол параллелограмма через боковую сторону и
высоту - Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и
периметр - Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны
- Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую
диагональ - Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную
диагональ
Острый угол параллелограмма через боковую сторону и высоту
Если известна боковая сторона и высота, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:
sin α = h / b
где α – острый угол, h – высота, b – боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть h = 4 см, b = 8 см. sin α = h / b = 8 / 4 = 2. α = 90°.
Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны
Если известна площадь и две стороны, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:
sin α= S / ab
где α – острый угол, S — площадь параллелограмма, a и b – его стороны.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть S=50 м², a=10 м, b=5 м. sin α= S / ab = 50 / (10 * 5) = 1. α = 90°.
Угол прямой, смежные стороны не равны, имеем дело с прямоугольником.
Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и периметр
Если известна высота, сторона и периметр, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:
sin α = (2h + a) / P
где α – острый угол, h — высота, a — сторона, P — периметр.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Высота опускается на известную и подставляемую в формулу сторону a. Параллелограмм с заданным
периметром приходится строить, если, например, периметр определен длиной веревки, которую требуется
растянуть на местности в форме параллелограмма.
Пример. Пусть h=10 м, a=15 м, P=70 м. sin α=(2h + a) / P= (2 * 10 + 15) / 70 = 0,5. α = 30°.
Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую диагональ
Если известны две стороны и короткая диагональ, то можно найти острый угол параллелограмма по
формуле:
cos α = (a² + b² — d²) / 2ab
где α – острый угол, a и b – стороны параллелограмма, d – его короткая диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример расчета: в данном частном случае 2 прилежащие стороны и короткая диагональ
равны, а именно: a = b = d = 26 мм. cos α=(a² + b² — d²) / 2ab = (26² + 26² — 26²) / (2 * 26 * 26) = 0,5. α=60°.
Из равенства прилежащих сторон следует, что это ромб, а результат расчета показывает, что острый угол
в ромбе равен 60°. Знаете, что это за ромб с подобными размерами? Это нагрудный академический знак
для лиц, окончивших советские высшие учебные заведения, установленный с 1961 года.
Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную диагональ
Если известны две стороны и длинная диагональ, то можно найти тупой угол параллелограмма по
формуле:
cos β = (a² + b² — D²) / 2ab
где α – тупой угол, a и b – стороны параллелограмма, D – его длинная диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример расчета: вновь ромб со сторонами a = b = 26 мм и длинной диагональю D=43 мм.
cos β = (a² + b² — D²) / 2ab = (26² + 26² — 43²) / (2 * 26 * 26) = -0,368. α = 112°.
Это опять-таки нагрудный академический знак из предыдущего примера, небольшое отличие полученного
результата от 120° (при остром угле 60° по предыдущему примеру) объясняется округлением исходных
данных до целого числа миллиметров.
Свойства параллелограмма
У любого выпуклого четырехугольника сумма всех внутренних углов равна 360°, исходя из общей формулы
суммы внутренних углов выпуклого многоугольника в градусах s = 180 (n — 2), где n – количество
сторон. Следовательно, если хотя-бы 1 угол параллелограмма равен прямому (90°), остальные 3 угла
также являются прямыми, и параллелограмм вырождается в свой частный вид – прямоугольник.
Если 2 смежные стороны параллелограмма равны, то равны все его 4 стороны, и параллелограмм
вырождается в ромб. И, наконец, если у параллелограмма равны 2 смежные стороны, а угол между ними
прямой, параллелограмм является одновременно и прямоугольником, и ромбом, и вырождается в квадрат.
Зачастую возникает необходимость определения неизвестных характеристик параллелограмма через
известные. Выше ряд примеров подобного рода.
Самый наглядный пример параллелограмма – пантограф электропоезда. При подключении опущенного
пантографа к контактной сети железной дороги изменяется конфигурация пантографа при сохранении длин
сторон, в результате изменяется вертикальная диагональ и происходит касание с подачей электрического
тока.
Форму параллелограмма имеет автомобильный реечный домкрат, велосипедная рама (с
диагональю для увеличения жесткости). Ведь параллелограмм — фигура нежесткая, в отличие от
треугольника. Из нежесткости параллелограмма следует, что знания одних длин сторон недостаточно для
вычисления площади фигуры. Так, пантограф электропоезда можно «сложить» до нулевой площади.
Стеклоочиститель лобового стекла автобуса также представляет собой параллелограмм, и именно
нежесткость фигуры позволяет стеклоочистителю «ометать» при движении стекло.
Углы параллелограмма
Обновлено 01.02.2022
Параллелограмм — это геометрическая фигура,
у которой четыре угла и противоположные
стороны попарно параллельны и равны.
Так, как противоположные стороны параллельны,
значит они лежат на параллельных прямых.
Градусные меры противолежащих углов равны.
Сумма двух углов параллелограмма прилежащих к одной
из сторон равна 180 градусам. Внутренние односторонние
углы при параллельных прямых. Это одно из свойств
параллельных прямых для параллелограмма.
Сумма четырех углов параллелограмма — 360 градусов,
как у любого другого четырехугольника.
Формула нахождение углов параллелограмма, если известен только один угол:
[ 2x + 2y = 360 ]
Где x, y — два угла при какой-либо стороне.
Частными случаями параллелограмма являются ромб, прямоугольник, квадрат.
Параллелограмм можно условно разделить на два треугольника.
А как мы знаем сумма углов одного треугольника — 180 градусов,
двух — 360 градусов, поэтому сумма углов параллелограмма — 360 градусов.
Рассмотрим задачи в которых известна сумма углов параллелограмма.
Сумма всех четырёх углов параллелограмма равна 360° (как сумма углов выпуклого четырёхугольника).
Для параллелограмма ABCD
∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
Сумма двух углов параллелограмма
Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей).
Для параллелограмма ABCD
∠A+∠B=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AD||BC и секущей AB);
∠C+∠D=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AD||BC и секущей CD);
∠A+∠D=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AB||CD и секущей AD);
∠B+∠C=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AB||CD и секущей BC).
Если в задаче известна сумма двух углов параллелограмма, отличная от 180°, то речь идёт о сумме противолежащих углов.
Поскольку противолежащие углы параллелограмма равны, то чтобы найти эти углы, достаточно данную сумму разделить пополам.
Задача 1
Найти углы параллелограмма, если сумма двух его углов равна 110°.
Решение:
Так как сумма углов отлична от 180°, то эти углы — противолежащие. Противолежащие углы параллелограмма равны, поэтому каждый из них равен 110:2=55°.
Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей), то каждый из двух оставшихся углов равен 180-55=125°.
Ответ: 55°, 125°.
Сумма трёх углов параллелограмма
Если известна сумма трёх углов параллелограмма, то сумма двух из них равна 180° (как сумма внутренних односторонних при параллельных прямых и секущей). Значит, если из суммы трёх углов, вычесть 180°, то получим третий угол.
Можно рассуждать иначе. Так как сумма всех четырёх углов параллелограмма равна 360°, то четвёртый угол равен разности 360° и данной суммы.
Задача 2
Найти углы параллелограмма, если трёх его углов равна 310°.
Решение:
Сумма двух из трёх углов параллелограмма равна 180°.
Следовательно, третий угол равен 310-180=130°.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей). Поэтому каждый из двух оставшихся углов равен 180-130=50°.
Второй способ:
360-310=50°;
180-50=130°.
Ответ: 50°, 130°.
Углы параллелограмма
Угол
Параллелограмм представляет собой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны и равны друг другу. Два угла, прилежащие к одной стороне параллелограмма, в сумме составляют 180°. Если известен один угол параллелограмма, несложно найти смежный с ним угол путем вычитания из 180° величину известного угла.
α = 180°-β
Таким образом, мы нашли значения всех углов, т.к. известно, что противолежащие углы параллелограмма равны.
Отрезок, проведенный из двух противоположных вершин параллелограмма, является его диагональю. Если заданы стороны и диагональ, можно определить углы параллелограмма. Диагональ делит параллелограмм на два одинаковых треугольника. Основанием треугольника является диагональ, боковыми сторонами — смежные стороны параллелограмма. Для определения угла используем теорему косинусов, по которой квадрат стороны треугольника (в нашем треугольнике это диагональ) равен сумме квадратов двух его сторон, образующих искомый угол, плюс удвоенное произведение этих сторон на косинус угла. Отсюда, косинус искомого угла равен сумме квадратов смежных сторон (а, b) минус квадрат третей стороны треугольника (в нашем случае — диагонали), противолежащей искомому углу, и все это деленное на удвоенное произведение смежных сторон:
d2 = a2 + b2 + 2ab cos (α)
cos (α) = (a2 + b2 — d2) / 2ab
,
где а, b — стороны параллелограмма, d — диагональ.
Воспользовавшись таблицей косинусов находим величину искомого угла. После чего находим смежный с ним угол.
Рассчитать углы параллелограмма зная стороны и диагональ
Как найти углы параллелограмма
Параллелограммом называют четырехугольник противолежащие стороны которого попарно параллельны. Также параллелограмм обладает такими свойствами, как противоположные стороны равны, противоположные углы равны, сумма всех углов равна 360 градусов.
Вам понадобится
- Знания по геометрии.
Инструкция
Предположим дан один из углов параллелограмма и равен A. Найдем значения остальных трех. По свойству параллелограмма противоположные углы равны. Значит угол, лежащий напротив данного равен данному и его значение равно А.
Найдем оставшиеся два угла. Так как сумма всех углов в параллелограмме равна 360 градусов, а противоположные углы между собой равны, то получается, что угол, принадлежащий одной стороне с данным, равен (360 — 2А)/2. Ну или после преобразования получим 180 — А. Таким образом в параллелограмме два угла равны А, а два других угла равны 180 — А.
Обратите внимание
Значение одного угла не может превышать 180 градусов. Полученные значения углов можно легко проверить. Для этого сложите их и, если сумма равна 360, все посчитано верно.
Полезный совет
Прямоугольник и ромб являются частным случаем параллелограмма, поэтому все свойства и методы вычисления углов применимы и к ним.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.