Как найти график функции примеры

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Содержание страницы:

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Гипербола

Графиком функции y = k x является гипербола.

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

Если k     <     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Квадратный корень

Функция y     =     x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

Функция y   =   f ( x ) возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y   =   f ( x ) убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Скачать домашнее задание к уроку 5.

Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она… мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, — линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.

Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».

Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».

Темы для повторения:

Понятие функции

Типы элементарных функций

Преобразования графиков функций

Производная функции

Асимптоты. Поведение функции в бесконечности

1. Построим график функции

Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

Упростим формулу функции:

при

График функции — прямая с выколотой точкой

2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

3. Построим график функции

Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали

4. Построим график функции

Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:

Действуем по порядку:

1) График функции y=sinx сдвинем на влево;

2) сожмем в 2 раза по горизонтали,

3) растянем в 3 раза по вертикали,

4) сдвинем на 1 вверх

Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

5. Построим график функции

Область определения функции:

Нули функции: и

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

Раскроем скобки в формуле функции:

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.

6. Построим график функции

Это дробно-рациональная функция.

Область определения функции

Нули функции: точки — 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты:

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, — горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

Еще один интересный прием — сложение графиков.

7. Построим график функции

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте

Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:

Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

8. Построим график функции

Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен

Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при

При значение cos x равно единице. Значение функции в этих точках будет равно при

9. Построим график функции

Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции — в точках, где то есть при при

Если x стремится к бесконечности, стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?

Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

10. Построим график функции

Область определения функции — все действительные числа, поскольку

Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.

Найдем производную функции
По формуле производной частного,

если или

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», — точка минимума функции.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», — точка максимума функции.

Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

Общая схема построения графика функции: 

1. Область определения функции

2. Область значений функции

3. Четность — нечетность (если есть)

4. Периодичность (если есть)

5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

7. Асимптоты (если есть).

8. Поведение функции в бесконечности

9. Производная функции

10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.

Графики функций с модулями

Покажем полезные примеры построения графиков модулей функций. Такие графики с модулями встречаются на ЕГЭ в задачах с параметрами.

11. Построим графики функций:

а)

б)

в)

Решение:
а) Первый график построить легко. Выделим полный квадрат в формуле функции

График – квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево и на 1 вверх и перевернутая ветвями вниз.

б) Чтобы построить график функции зеркально отражаем относительно оси Х те части первого графика, которые лежали под ней. А та часть первого графика, которая лежала выше оси Х, остается на месте. Точки (2; 0) и (4; 0), в которых график пересекал ось Х, также остаются на месте.

в) Теперь график функции

Он тоже получается из графика первой функции, но преобразования другие. Часть первого графика, лежащая справа от оси Y, остается на месте. Действительно, модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Получили график функции для неотрицательных . И отражаем его зеркально относительно оси Y в левую полуплоскость.

12. Построим график функции

Функция определена при всех действительных х.

Нули функции:

Функция получается из элементарной функции в результате следующих преобразований:

1) Сдвиг на 2 единицы вниз,
2) Отражение части графика, лежащей ниже оси ОХ, в верхнюю полуплоскость. Стандартный прием при построении графика модуля функции.

13. Построим график функции

Ее график получается из графика функции сдвигом на 5 единиц вниз вдоль оси ОУ и симметричным отображением части графика, лежащей ниже оси ОХ, в верхнюю полуплоскость.

– вертикальная асимптота графика, — горизонтальная асимптота.

Читайте также: Асимптоты. Поведение функции в бесконечности

План урока:

Что такое функция

Способы задания функции

Построение графика функции

Линейная функция

Степенная функция с натуральным показателем

Что такое функция

Нередко в жизни можно наблюдать взаимосвязь между различными величинами. Предположим, что на входе в зоопарк указана информация о стоимости билетов. Для детей до 7 лет проход бесплатен, для детей от 8 до 18 лет билет стоит 100 рублей, а взрослым он обойдется в 200 рублей. Таким образом, стоимость билета определяется возрастом его покупателя. Математики в таком случае говорят, что цена билета является функцией от возраста посетителя.

Пусть есть выражение 2s + 5. Обозначим его значение переменной d. Для любого значения s мы можем вычислить значение d, которое будет ему соответствовать. При s = 5 получаем

d = 2*5 + 2 = 15

а при s = 10 имеем

d = 2*10 + 2 = 25

Получается, что значение переменной d однозначно определяется s, то есть d является функцией от s.

Попробуем дать строгое определение функции. Как и многие другие определения в математике, оно использует понятие множества.

Обозначим буквой D множество всех тех чисел, которые можно подставить в функцию вместо величины d. Очевидно, что это множество всех действительных чисел. Аналогично буквой S обозначим множество всех тех значений, которые может принимать величина s. Получается, что функция

d = 2s + 5

задает правило, по которому каждому элементу множества D ставится в соответствие один из элементов множества S. В связи с этим можно сформулировать определение:

Множество S называют областью определения функции, а множество D – областью значений функции. Величину s называют независимой величиной, независимой переменной, либо просто аргументом, ведь мы можем по своему усмотрению придавать ей любое значение. Для величины d используют термин зависимая величина, зависимая переменная, либо просто функция, ведь ее значение ЗАВИСИТ от того, какое значение будет выбрано для аргумента. Другими словами, аргумент и функция – это две величины, одна из которых (независимая) определяет другую (зависимую). Иногда встречается запись:

d(s) = 2s + 5

Буква s в скобках означает, что d зависит именно от переменной s. Другой пример: запись u(t)обозначает некую функцию, где t выступает в роли независимой величины, а u – в роли зависящей от аргумента функции.

Иногда необходимо указать значение функции при конкретном значении аргумента. В этом случае этот аргумент пишут в скобках:

d(3) = 2*3 + 5 = 11

d(8) = 2*8 + 5 = 21

d(-100) = 2*(-100) + 5 = -195

То есть, если нам надо указать значение какой-то функции y(х) при х равном, например, 7, то мы просто пишем у(7).

Сделаем несколько уточнений. Во-первых, множества, между которыми устанавливается соответствие, не обязательно должны быть числовыми. Например, если стоимость чехла для телефона зависит от его цвета (синий, желтый, красный), то эту стоимость можно считать функцией от цвета, который не описывается числом. Если для каждого кассира, работающего в магазине, можно указать кассу, где он трудится, то касса является функцией от имени кассира. Впрочем, в основном математика, а особенно алгебра,изучает именно числовые функции.

Во-вторых, принципиально важно, чтобы для каждого значения аргумента функция задавала ровно 1 значение зависимой величины.

Например, пусть числу n соответствует такое число m, чтобы выполнялось условие:

m²=n

Тогда числу 4 мы можем поставить в соответствие как 2, так и – 2:

(-2)²=4

2² = 4

Значит, это соответствие не является функцией.

Однако допускается обратная ситуация, когда при разных аргументах функция имеет одинаковое значение:

Здесь на рисунке разным аргументам, 2 и (– 2), соответствует одно и тоже число, 4.

В-третьих, данное определение подходит только для функций, зависящих от одной переменной. Существуют и более сложные функции, зависящие от двух и более переменных. Например, в медицине используется индекс массы тела, который рассчитывается как отношение массы тела к квадрату роста. Таким образом, этот индекс зависит от двух переменных – от роста человека и его веса. В рамках школьного курса математики функции нескольких переменных не изучаются, однако они используются при решении многих практических задач.

Наконец, надо понимать, что фраза «переменная d зависит от s» не всегда означает наличия причинно-следственной связи между этими параметрами. Классический пример – цены на нефть на мировых биржах. Для каждого прошедшего момента времени можно указать, сколько именно тогда стоила нефть. Тем самым, с математической точки зрения, задается функция, где цена товара зависит от времени. Однако любой экономист скажет, что на самом деле стоимость продукции зависит отнюдь не от времени, а от спроса и предложения на товар, а также себестоимости его производства. Другими словами, в математике словосочетание «a зависит от b» правильнее понимать как «a соответствует b».

Способы задания функции

Самый простой способ задания какой-либо зависимости – описательный, или словесный. Вот пример такого описания: «каждому нечетному числу x соответствует число y, равное его наименьшему делителю (не считая единицы)». Такая формулировка значит, что, например, числу 15 соответствует число 3, ведь 15 делится только на 3 и 5, а тройка меньше пятерки. Числу 91 соответствует 7, так как 91 делится на 7 и 13. А какое число соответствует, скажем, 12? Никакое, ведь в описании функции указано, что аргументом должно быть нечетное число, а 12 – четное.

Чаще всего в алгебре применяют аналитический способ задания функции. Он подразумевает, что записывается формула, позволяющая по значению независимой величины вычислить величину зависимую:

Этим записям аналогична другая, где аргумент прямо указывается в скобках после зависимой величины:

Иногда функция может быть представлена в виде алгоритма. Например: «для вычисления значения g(х) необходимо сложить все десятичные цифры, из которых состоит натуральное число x». Тогда для аргумента 135 функция будет равна 9:

g(135) = 1 + 3 + 5 = 9

Вот ещё несколько значений этой функции:

g(89) = 8 + 9 =17

g(5656) = 5 + 6 + 5 +6 = 22

Подобный подход нередко встречается в некоторых языках программирования.

Если область определения функции не содержит бесконечное число чисел, то ее можно задать таблицей.В ней указывают все возможные значения независимой величины, а также соответствующие её значения зависимой величины. Вот пример табличной функции, задающей соответствие между размерами европейскими и английскими размерами мужских пальто:

А вот ещё одна табличная функция, которая каждому натуральному числу n от 1 до 5 ставит в соответствие число, равное 2n + 3:

По приведенной таблице легко определить, что

y(1) = 5

y(2) = 7

y(3) = 9

y(4) = 11

y(5) = 13

Очень распространен графический способ задания функции. Он предполагает, что нарисован график (линия или набор линий на координатной плоскости), с помощью которого можно по аргументу определить зависимую величину. Этот график может выглядеть так:

На координатной плоскости показана горизонтальная ось, по которой откладывают значение независимой переменной (в этом примере это х), и вертикальная ось, где отмечают зависимую переменную (у). Сам график показан синей линией. Покажем, как с его помощью находить значение y. Пусть надо узнать y(2), то есть значение y при x = 2. Находим на горизонтальной оси x (ее ещё называют осью абсцисс) число 2 и проводим с нее вертикальную линию до пересечения графика:

После этого от полученной точки проводится уже горизонтальная линия до пересечения с вертикальной осью y (другое ее название – ось ординат):

Далее смотрим, где именно горизонтальная линия пересекла ось у. В рассматриваемом случае получили, что у(2) = – 2,5.

Можно сформулировать определение графика функции:

Надо понимать, что не любая линия задает какую-нибудь функцию. Дело в том, что ни одна вертикальная линия не должна пересекаться с графиком в 2 и более точках, ведь тогда одному значению аргумента будет соответствовать несколько значений функции.Такая ситуация показана на рисунке:

Здесь можно видеть, что для x = 3 можно указать два значения для y. Однако по определению значению независимой величины в соответствие ставится лишь одно значение зависимой переменной. Поэтому синяя линия здесь не является графиком функции (приведен как пример того, что не всякая линия может являться графиком функции). Нередко полностью построить график невозможно. Например, зависимость

y = x + 2

определена и при x = 1, и при x =1000000000000000000. Поэтому иногда график строят частично, чтобы наглядно были видны его особенности.

Примерами графических функций являются кардиограммы, фиксирующие работу сердца, а также показания сейсмографа – прибора, измеряющего силу землетрясений.

Построение графика функции

Одну и ту же зависимость возможно порою задать как аналитически, так и графически. Графики помогают при решении многих сложных задач, ведь они наглядно иллюстрируют поведение функций. Посмотрим, как построить график функции, если для нее известна формула, ее описывающая.

Пусть дана зависимость

y(x) = 0.5x(4 — x)

Будем строить для нее график при значениях x от – 2 до 6. Для этого запишем в таблице все возможные целые значения х и вычислим для них величину y.Покажем несколько примеров расчета:

y(-2) = 0.5*(-2)(4-(-2)) = -6

y(-1) = 0.5*(-1)(4-(-1)) = -2.5

y(0) = 0.5*0*(4-0) = 0

Таким образом заполняется вся таблица:

Получили координаты 9 точек, которые отметим на плоскости (для первых двух точек пунктирами показано, как нашли их местоположение):

Они уже «намечают» некоторую линию. Конечно, отметить все возможные точки невозможно. Однако при необходимости можно «уплотнить» точки на графике, вычислив у ещё при некоторых дробных значениях x, например:

y(-1.5) = 0.5*(-1.5)(4-(-1.5)) = 4.125

y(-0.5) = 0.5*(-0.5)(4-(-0.5)) = 1.125

Отложим эти и ещё несколько дополнительных точек на графике:

С помощью современной компьютерной техники можно почти мгновенно вычислить местоположение миллионов таких точек. Соединив их все плавной линией, получим график:

Линейная функция

Можно представить огромное количество разных функций, однако есть некоторые, которые имеют особое значение как в математике, так и в естественных науках. Знакомство с основными функциями мы начнем с простейшей и одновременно важнейшей из них –линейной функции. Сначала познакомимся с ее частным случаем – прямой пропорциональностью.

Пусть автомобиль едет со скоростью 15 м/с. Обозначим за t время поездки в секундах, а за s – пройденное расстояние в метрах. Так как путь равен произведению скорости и времени, то можно записать:

s = 15t

Увеличение времени поездки, например, вдвое ведет также к удвоению пройденного расстояния. Сокращение времени в три раза приведет и к уменьшению пути втрое. В таком случае математики говорят, что величина s прямо пропорциональна величине t.

Периметр квадрата p зависит от длины его стороны a и вычисляется по формуле:

p = 4a

Величины p и a также прямо пропорциональны друг другу.

Зависимость, связывающая такие величины, называется прямой пропорциональностью. Она имеет вид

y = kx

где x – независимая величина, y – зависимая величина, а k – произвольное число (константа), которое не равно нулю.

Число k называют коэффициентом пропорциональности. Он показывает, во сколько раз зависимая переменная больше аргумента.

Легко заметить, что при x = 0 и y = 0, причем это правило будет выполняться независимо от значения коэффициента пропорциональности. Это значит, что график у = kх обязательно проходит через начало координат точку O (0;0).

Построим график прямой пропорциональности на примере

y = 0.5x

Выше мы уже строили график функции, находя несколько ее значений и занося их в таблицу. Здесь поступим также:

Теперь можно отметить найденные точки, соединить их и получить график:

Оказывается, что все точки лежат строго на одной прямой! И это будет верно для любой зависимости, которая является прямой пропорциональностью. Для наглядности покажем на графике функции:

• y = x (синий цвет);
• y = 2x (зеленый цвет);
• y = 3x (красный цвет).

Из курса геометрии известно, что для построения прямой достаточно двух ее точек. Поэтому, чтобы получить график заданной прямой пропорциональности, достаточно найти одну точку, относящуюся к этому графику, и соединить ее прямой с началом координат.

На координатной плоскости принято выделять координатные четверти, которые ещё называют квадрантами. Их использование упрощает анализ графиков:

По четверти, в которой располагается точка, можно сразу определить знак ее координат:

• в I четверти координаты х и у положительны;
• во II четверти х отрицателен, а у положителен;
• в III четверти обе координаты отрицательны;
• в IV четверти х положителен, а у отрицателен.

Все примеры графиков прямой пропорциональности, которые мы рассматривали до этого, проходили через I и III четверть. Это было связано с тем, что коэффициент пропорциональности в них был положительным числом. Теперь попробуем построить графики функций

y = -0.5x

y = -x

y = -2x

На графике они показаны соответственно синим, зеленым и красным цветом:

Видно, что при отрицательных значениях коэффициента пропорциональности прямая проходит через II и IV четверти.

Также можно заметить, что наклон графика зависит от k. Чем больше этот коэффициент (по модулю, то есть без учета знака), тем ближе прямая к вертикальной линии. Чем меньше k, тем ближе прямая к горизонтальной линии. Убедимся в этом, построив графики y = 10x и y = 0,1x:

Теперь рассмотрим собственно линейную функцию. Она отличается от прямой пропорциональности добавлением свободного коэффициента в правой части. Примерами линейной функции являются:

s = 8t + 2

d = 0.27b — 7.5

y = 19x + 0.001

Приведем пример из реальной жизни. Пусть есть бидон для молока, который весит 5 кг. Масса 1 литра молока равна 0,9 кг. Тогда масса бидона (обозначим ее как m), в который залили молоко, зависит от объема молока в нем (обозначим этот объем как p). Эту зависимость можно описать так:

m = 5 + 0.9p

Говорят, что масса бидона линейно зависит от объема молока в нем.

По сути, линейная функция – это такая же прямая пропорциональность. Отличие только в том, что при аргументе, равном нулю, сама зависимая переменная нулю может и не равняться. В данном примере при отсутствии молока в емкости у нее всё равно остается собственная масса.

Отдельно отметим два момента. Во-первых, прямая пропорциональность тоже является линейной функцией, если принять b = 0, а k≠ 0, то будет: у = kx. Во-вторых, в отличие от прямой пропорциональности, у линейной функции коэффициент k может быть и равным нулю.

Каковы особенности линейной функции и ее графика? До этого мы строили график

y = 0.5x

Теперь построим график линейной зависимости

y = 0.5x + 3

Будем сравнивать в таблице значения этих двух выражений:

Видно, что при любом значении x функция y = 0,5x + 3 имеет значение, которое на 3 больше значения y = 0,5x. Поэтому все точки графика можно получить, «подняв» на 3 единицы точки графика без коэффициента b (а это прямая пропорциональность):

Получается, что график линейной зависимости – это также прямая, которая, однако, может и не проходить через точку О (0; 0).

Если в зависимость

y = kx + b

подставить значение аргумента, равное нулю, то получим

y = k*0 + b

y = b

Это значит, что график линейной функции проходит через точку с координатами (0, b), в которой он и пересекает вертикальную ось у. С другой стороны, график линейной зависимости у = kх + b параллелен графику y = kx:

Так как коэффициент k определяет наклон прямой, его именуют угловым коэффициентом.

Через любые две точки проходит только одна прямая, а потому для построения графика линейной зависимости достаточно вычислить ее значение в двух точках, отметить их и соединить прямой линией.

Пусть необходимо построить график зависимости

y = 2x/3 + 2

Вычислим значение функции в двух точках. Удобнее всего взять значения х, равные 0 и 3:

y(0) = 2/3*0 + 2 = 2

y(3) = 2/3*3 + 2 = 2 + 2 = 4

Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем прямую:

Рассмотрим отдельно ситуацию, когда число k = 0. В этом случае одночлен с переменной x можно опустить:

y = 0*x + b = b

Примерами подобных функций являются

y = 1

y = 5

y = 8.37

y = -3.23

Хотя в записи этих выражений аргумент не указан (нет переменной x), их всё равно можно считать функциями, ведь определить значение зависимой величины можно. Просто при любом значении независимой величины значение y остается одним и тем же.

Графиками подобных зависимостей являются горизонтальные прямые, пересекающие ось ординат в точке с координатами (0;b):

Если на плоскости построены два разных графика с одинаковым угловым коэффициентом, то они будут параллельны друг другу. В противном случае они пересекутся. Любые две прямые пересекаются только в одной точке. Покажем, как ее найти.

Пусть надо найти точку пересечения графиков

y = -3x + 1

и

y = x — 3

Ясно, что их общая точка должна иметь такие координаты, которые при подставлении в каждую из функций дают верное равенство. Обозначим ее координаты как x₀ и y₀. Тогда можно записать два равенства:

y₀ = -3x₀ + 1

y₀ = x₀ — 3

У этих двух уравнений равны левые части, значит, должны равняться и правые:

-3x₀ + 1 = x₀ — 3

Решим его:

-4x₀ = -4

x₀ = 1

Найдя значение x₀, можно подставить его в любую из функций, чтобы вычислить и значение y₀:

y₀ = x₀ — 3 = 1 — 3 = -2

Получили точку (1; – 2). Данный способ нахождения точки пересечения графиков функции называют аналитическим. Проверим себя, используя графический способ, то есть просто построим эти графики:

Степенная функция с натуральным показателем

Если обозначить сторону квадрата как a, то его площадь будет являться функцией:

S = a²

Для вычисления объема куба с ребром a необходимо возводить число уже в третью степень:

V = a³

Эти выражения являются примерами степенных функций с натуральным показателем. Таковой будет являться любое уравнение y = x^s, где s – это какое-то натуральное число.

При s = 1 степенная функция обращается в зависимость у = х, то есть в прямую пропорциональность. Независимая величина х может принимать любые значения, а вот область значений зависит от четности или нечетности показателя s (этот вопрос будет рассмотрен подробнее чуть позже).

Рассмотрим функцию y = x². Ясно, что при х, равном нулю, зависимая переменная также обращается в нуль:

y(0) = 0² = 0

Следовательно, ее график проходит через точку О (0;0). Это характерное свойство степенных функций с любым натуральным показателем.

Квадрат любого числа не может быть отрицательным числом, а потому график лежит в I и II четвертях. Следовательно, областью значений будет являться всё множество неотрицательных действительных чисел.

Заметим, что противоположным значениям х соответствуют одинаковые значения y:

y(-x) = (-x)² = x² = y(x)

Из-за этого график обладает симметрией относительно оси у.

Найдем несколько точек, по которым можно построить график степенной функции:

Полученную фигуру называют параболой, а точку О (0;0) – вершиной параболы. Видно, что точки параболы располагаются симметрично относительно оси ординат.

Заметим, что у степенных функций с четным показателем графики похожи. Они все симметричны относительно оси у, а также у них есть три общие точки:

• (0;0);
• (1;1);
• (– 1;1).

Они определены на множестве всех неотрицательных чисел. Чем выше показатель степени, тем более плотно график «прижимается» к горизонтальной оси при малых х и тем более резко он поднимается вверх при больших х:

Далее изучим те степенные функции, показатель которых – нечетное число. Одной из них является

y = x³

Её график также пересекает начало координат. При положительном значении аргумента куб числа также положителен, а при отрицательном значении аргумента он будет отрицательным числом. Следовательно, график должен проходить через I и III четверти. Построим график по точкам:

Полученный график называют кубической параболой. Графики других степенных функций (x⁵, x⁷, x⁹ и т.д.) похожи на этот:

Они проходят через точки (0;0), (1;1) и (– 1; –1), лежат в I и III четвертях. У всех этих функций и в область значений, и область определений попадают все действительные числа.

Исследование функции и построение графика

На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.

Что будет дальше?

Общая схема исследования

Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят график онлайн для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены «горбы» выпуклости, где не определены значения и т.п.

А уже на основании этих «особенностей» и строится макет графика — картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).

Начнем, конечно же, с плана. Исследование функции — объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.

Алгоритм

1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
3. Найти точки пересечения с осями координат.
4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
10. Построить график и асимптоты.

В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.

Схема исследования в формате pdf: скачать.

Полный пример решения онлайн

Провести полное исследование и построить график функции
$$
y(x)=frac{x^2+8}{1-x}.
$$

1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя.
$$1-x=0, quad Rightarrow quad x=1.$$
Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем:
$$
D(y)=(-infty; 1) cup (1;+infty).
$$

2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ — вертикальная асимптота.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:

Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:

Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.

Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x in (-infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x in (1; +infty)$ функция $ylt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не
является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.

6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y’=0$):

Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

При $x in (-infty; -2), (4;+infty)$ производная $y’ lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.

При $x in (-2; 1), (1;4)$ производная $y’ >0$, функция возрастает на данных промежутках.

При этом $x=-2$ — точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ — точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).

Найдем значения функции в этих точках:

Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.

7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:

Приравняем вторую производную к нулю:

Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x in (-infty; 1)$ выполняется $y» gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x in (1;+infty)$ выполняется $y» lt 0$, то есть функция выпуклая.

Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.

Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:

Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.

9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.

$$
y(-5)=5.5; quad y(2)=-12; quad y(7)=-9.5.
$$

10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):

Примеры решений по исследованию функции

Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!

Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

$$y=frac{e^x}{x}.$$

Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.

$$y=-frac{1}{4}(x^3-3x^2+4).$$

Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.

$$y=ln frac{x+1}{x+2}.$$

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.

$$y=frac{x}{sqrt{x^2+x}}.$$

Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.

$$y=frac{x^3-1}{4x^2}.$$

Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.

$$y=frac{x^3}{x^2-1}.$$

Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.

$$y=frac{x^3}{2(x+5)^2}.$$

Задача 8. Построить график функции $y=y(x)$, заданной параметрически

$$x=frac{t^2}{t+1}, y=frac{1}{t}-frac{t^3}{3}.$$

Задача 9. Исследовать функцию и построить ее график $r=1+tg phi$.

Задача 10. Исследовать функцию и построить ее график $(x^2+y^2)^3=4x^2y^2$.

Задача 11. Провести полное исследование периодической функции
$y = cos 3x – 2 sin 6x$ и построить её график.

Задача 12. Провести полное исследование и построить график функции $y=f(x)$ с помощью Excel. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; -1]$.

$$y=frac{4-x^3}{x^2}.$$

Задача 13. Провести полное исследование и построить график функции.

$$f(x)=frac{x}{2}-arccosfrac{2x}{1+x^2}.$$

Еще примеры исследования функции (контрольные работы)

Как построить график онлайн?

Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки, с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).

Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?

Графический калькулятор Desmos

Desmos.com

Невероятно гибкий и функциональный графический калькулятор. Интутивно понятно вводятся формулы (прямо на ходу преобразуются), автоматически подбираются масштаб и цвета графика для максимальной наглядности. Например, для функции $y(x)=frac{x^3}{4(x-2)^2}$ буквально за минуту построены основной график и асимптоты, вот что получилось:

При этом сайт сам пометил важные точки на графике (см. серым): локальный экстремум, пересечение с осями.

Вы можете менять масштаб, цвета, вид линий; добавлять на график точки, линии, кривые, табличные данные и даже анимацию!

Посмотрите, какую красоту Desmos умеет рисовать (точнее, его пользователи):

Сайт для построения графиков y(x).ru

y(x).ru

Это уже наш продукт, возможно, не такой красивый и интерактивный, но вполне подходящий для учебных целей. Можно строить онлайн несколько графиков одновременно, при этом выбирать и обычный, и параметрический вид, и даже задание в полярных координатах. Цвет и масштаб можно менять вручную. Вот так вводятся графики:

И такой график получается в итоге:

Из минусов можно заметить, что вводить, например, горизонтальные асимптоты не так просто: если в Desmos мы просто написали $x=2$, то здесь пришлось вводить параметрическую функцию $x(t)=2, y(t)=t$. Цвета и масштаб тоже пришлось подбирать вручную (иначе все графики оказались бы красными и мелкими).

Другие сайты

Еще несколько сервисов, которые обладают меньшим удобством/функциональностью, но тоже достойны внимания:

• ru.numberempire.com Можно построить сразу несколько функций, цвета подбираются автоматически, график интерактивный (положение и масштаб меняются мышкой).
• mathsolution.ru Можно строить несколько графиков, выбирая толщину линий и цвет, скрывать/отображать сетку, менять масштаб, сохранять картинки в файл.
• easyto.me При построении нескольких графиков на одном поле предыдущие не редактируются. В остальном функции как у прежних: выбор цвета, толщины линии, масштаба чертежа.
• grafikus.ru Кроме обычных графиков можно также строить трехмерные (3d). Можно построить несколько графиков разного типа (обычный,параметрический, в полярных координатах). Цвет и толщину линии выбрать нельзя. Интерактивности нет

Больше знаний: теория и практика

Еще немного ссылок для тех, кто хочет углубиться в тему. Первая ссылка на теоретический материал, где вы найдете и подробные примеры, и отсылки к предыдущим разделам теории (а исследовать функцию не зная пределов, производных, понятия непрерывности и т.п. нельзя) с не менее подробным объяснением. Все это сдобрено порцией юмора, отчего очень «съедобно» даже для полного чайника в математике: Исследование функций от Александра Емелина.

Вторая ссылка практическая, для тех, кто хочет научиться строить красивые графики в Desmos.com (см. выше описание): Полная инструкция по работе с Desmos. Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта поменялся в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться с важными функциями сервиса.

Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos.

Решебник

Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена — около 50 рублей. Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!

Полезные видео-ролики

Вебинар по работе с Desmos.com. Это уже полноценный обзор функций сайта, на целых 36 минут. К сожалению, он на английском языке, но базовых знаний языка и внимательности достаточно, чтобы понять большую часть.

Классный старый научно-популярный фильм «Математика. Функции и графики». Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.

Функции и их графики

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение функции

Определение 1

$y=f(x)$ называется функцией, если для любого значения $x$ из множества $D (Din {mathbb R}{rm )}$ каким-либо образом определен единственный элемент $y$ из множества $E (Ein {mathbb R}{rm )}$.

В этом определении множество $D$ называется областью определения функции, а множество $E$ — областью значения функции.

$x$ — независимая переменная.

$y$ — зависимая переменная (значение функции).

Способы задания функции

Существуют три основных способа задания функции: аналитический, табличный и графический. Рассмотрим подробнее каждый из этих способов.

Аналитический способ

Здесь для начала введем понятие аналитического выражения.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

В основу аналитического способа здания функции лежит задание функции с помощью аналитического выражения.

Примеры: $y=x^2+5x+3$, $y=frac{x+1}{x+2}$, $y=cos2x$.

Преимущества:

1. Формулы определяют значение функции для любого значения независимой переменной;
2. Возможность при изучении функции пользоваться аппаратом математического анализа.

Недостатки:

1. Недостаточная наглядность.
2. Необходимость производить подчас очень громоздкие вычисления.

Табличный способ

При табличном задании функции просто выписывается ряд значений независимой переменной и соответствующие им значения функции.

Пример:

Преимущество:

Для каждого значения независимой переменной, входящей в таблицу, сразу можно найти соответствующее значение функции.

Недостатки:

1. При нем, чаще всего, невозможно задать функцию полностью;
2. Недостаточная наглядность.

Графический способ

Введем определение графика функции:

Определение 3

График функции $f(x)$ называется множество всех точек декартовой координатной плоскости вида $(x, fleft(xright))$, где $xin D$.

«Функции и их графики» 👇

Задание графика функции называется графическим способом задания функции $f(x)$.

Пример: рис. 1.

Рис. 1. График функции $y=f(x)$.

Схема для построения графика функции

1. Область определения $D(f)$ и область значения $E(f)$.
2. Четность ($fleft(xright)=fleft(-xright))$, нечетность ($fleft(xright)=-fleft(xright))$, периодичность ($fleft(xright)=fleft(x+Tright))$.
3. Точки пересечения с осями координат и промежутки, где $fleft(xright)>0$ и $fleft(xright)
4. Исследовать на возрастание ${(f}’left(xright)>0)$, убывание ${(f}’left(xright)
5. Исследовать на точки перегиба и интервалы выпуклости $(f^{»}left(xright) > 0)$, вогнутости ($f^{»}left(xright)
6. Вычислить пределы на границах области определения.
7. Значения в дополнительных точках.
8. График.

Правила построения графиков

1. $y=f(x-a)$ получается из графика $f(x)$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $|a|$ вправо, если $a > 0$ и влево, если $a
2. $y=fleft(xright)+b$ получается из графика $f(x)$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на $|b|$ вверх, если $b>0$ и вниз, если $ b
3. $y=f(kx)$ получается из графика $f(x)$ сжатием к оси $Oy$, если $k>1$ и растяжением, если $0
4. $y=kf(x)$ получается из графика $f(x)$ растяжением от оси $Ox$ в $k$ раз, если $k > 1$ и сжатием к оси $Ox$ в $frac{1}{k}$ раз, если $0
5. $y=f(-x)$ получается из графика $f(x)$ симметричным отображением относительно оси $Oy$.
6. $y=-f(x)$ получается из графика $f(x)$ симметричным отображением относительно оси $Ox$.
7. $y=|fleft(xright)|$ получается из графика $f(x)$ следующим образом: часть графика $f(x)$,лежащая над осью $Ox$ остается неизменна, а лежащая под $Ox$ отображается симметрично относительно оси $Oy$.
8. $y=fleft(|x|right)$ получается из графика $f(x)$ следующим образом: часть графика $f(x)$,лежащая справа от оси $Oy$ остается неизменна, а затем эта часть отображается симметрично относительно оси $Oy$, заменяя часть, лежащую слева от $Oy$.

Пример исследования и построения функции

Задача

Исследовать функцию и построить её график:

[y=frac{5x^2+x+1}{x}]

1. Область определения: $left(-infty ,0right)(0,infty )$. Область значения:$left(-infty ,1-2sqrt{5}right][1+2sqrt{5},infty )$
2. функция ни четна, ни нечетна, непериодическая.
3. Точек пересечения с осями координат нет.

При $xin left(-infty ,0right)$ функция отрицательна, при $xin left(0,infty right)$ функция положительна.

4. $y’=frac{10x^2+x-5x^2-x-1}{x^2}=frac{5x^2-1}{x^2}$

[frac{5x^2-1}{x^2}=0]

[xne 0, x=pm frac{sqrt{5}}{5}]

Методом интервалов получаем, что

Функция возрастает при $xin left(-infty ,-frac{sqrt{5}}{5}right)left(frac{sqrt{5}}{5},infty right)$ и убывает при $xin left(-frac{sqrt{5}}{5},0right)left(0,frac{sqrt{5}}{5}right)$

Максимум функции: $left(-frac{sqrt{5}}{5},1-2sqrt{5}right)$

Минимум функции: $left(frac{sqrt{6}}{6},1+2sqrt{5}right)$

5. $y^{»}=frac{{10x}^3-{10x}^3+2x}{x^4}=frac{2}{x^3}$

[frac{2}{x^3}=0]

[xne 0]

Методом интервалов получаем, что функция выпукла при $xin left(0,infty right)$ и вогнута при $xin left(-infty ,0right)$

6. ${mathop{lim}_{xto 0-0} y }=-infty $, ${mathop{lim}_{xto 0+0} y }=+infty $, ${mathop{lim}_{xto -infty } y }=-infty $, ${mathop{lim}_{xto +infty } y }=+infty $

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 02.02.2023