Как найти границы для функции

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

понятие предела для чайников

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

вычислить пределы для чайников

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

математический анализ пределы для чайников

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

пределы с нуля для чайников

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Решение пределов требует контроля

 

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

пределы с подробным решением для чайников пошагово

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

пределы объяснение

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

задания по математике пределы

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Пределы

 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

предел функции в точке для чайников

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

как решать пределы для чайников с корнями

Сократим и получим:

объяснение пределов для чайников

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Математика. Таблица пределов

 

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

пределы математика для чайников

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Правило Лопиталя

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Правило Лопиталя для чайников

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1
Вычислить а) $ lim_{x to 0} frac{1}{x} $; б)$ lim_{x to infty} frac{1}{x} $
Решение

а) $$ lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty $$

б)$$ lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ text{a)} lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty text{ б)}lim limits_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$
Пример 2
$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $$
Решение

Внимание «чайникам» :) Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2+2 cdot x+1}{x+1}=frac{1^2+2 cdot 1+1}{1+1} = $$

$$ = frac{4}{2}=2 $$

Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется :)

Ответ
$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 2 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Пример 3
Решить $ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} $
Решение

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. 

$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = frac{(-1)^2-1}{-1+1}=frac{0}{0} $$

Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её :)

Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

$$ lim limits_{x to -1}frac{x^2-1}{x+1} = lim limits_{x to -1}frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$

$$ = lim limits_{x to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$

Ответ
$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$
Пример 4
$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$
Решение

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{0}{0} = $$

$$ = lim limits_{x to 2}frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2} = $$

$$ = lim limits_{x to 2}frac{x+2}{x-2} = frac{2+2}{2-2} = frac{4}{0} = infty $$

Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.

Ответ
$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = infty $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $

Пример 5
Вычислить $ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} $
Решение

$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = frac{infty}{infty} $

Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем…

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} =lim limits_{x to infty} frac{x^2(1-frac{1}{x^2})}{x(1+frac{1}{x})} = $$

$$ = lim limits_{x to infty} frac{x(1-frac{1}{x^2})}{(1+frac{1}{x})} = $$

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

$$ = frac{infty(1-frac{1}{infty})}{(1+frac{1}{infty})} = frac{infty cdot 1}{1+0} = frac{infty}{1} = infty $$

Ответ
$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = infty $$
Пример 6
$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$
Решение

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} $$

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем…

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} = $$

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2(1-frac{4}{x^2})}{x^2(1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2})} = $$

$$ lim limits_{x to infty}frac{1-frac{4}{x^2}}{1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2}} = frac{1}{1} = 1 $$

Ответ
$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = 1 $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

  1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
  2. Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
  3. Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Итак, ты ученик первого курса технического вуза, а единственное, что ты можешь сказать, глядя на эту хуйню, — это «ебись оно конем»? Тогда этот гайд для тебя.

Урок математики. Учительница говорит:

— Сегодня мы будем брать интегралы.

Вовочка спрашивает:

— А как это в жизни пригодится?

— Ты ебало-то завали.

Рассмотрим простейший пример:

Не знаешь, как буковки могут складываться с циферками? Тогда у меня есть для тебя решение — эвтаназия, а данный обучающий гайд тебе вряд ли поможет.

Все очень просто. Видишь как икс стремится к трем? То-то же. Просто подставь в дробь значение икс равное трем. В числителе получается 10, а в знаменателе 5. Делим и получаем ответ 2. Понял в чем дело? Просто подставляем в предел вместо икса то, к чему стремится этот самый икс. И все.

Но такое на контрольной тебе никогда не дадут. Рассмотрим пример посложнее.

Хочешь поделить своих хейтеров на бесконечность?

Подставляем бесконечность вместо икса и включаем мозг: логично предположить, что бесконечность это очень много, а когда мы делим небольшое число на очень большое, то получаем очень маленький ответ. А когда мы делим любое число на бесконечно большое, то получаем 0. Запомнил? Молодец, даже у Эйнштейна это только с третьего раза получилось.

Ну а что, если икс стремится к нулю? На ноль делить же нельзя? Это правда, только мы подставляем не 0, а число бесконечно стремящееся к нулю. Логика подсказывает, что в таком случае в ответе получится бесконечность. Понял? Если нет, спроси свою маму или бабушку.

А теперь глядь сюды:

Пиздец, правда? И с такой хуйней твоей учительнице по математике приходиться встречаться каждый день. Это поэтому она такая злая ходит.

Что у нас тут получается? Бесконечность в числителе и бесконечность в знаменателе? Неопределенность какая-то. Именно с неопределенностями разных типов тебе придется сразится на контрольной. В данном случае у нас неопределенность вида ВОСЬМЕРКА НА БОКУ РАЗДЕЛИТЬ НА ВОСЬМЕРКУ НА БОКУ. Решить данную блевоту можно вынеся старшую степень за скобки. Ну мы же не такие, правда? Лови лайфхак: когда у нас Х стремится к бесконечности и в пределе отношение многочлена на многочлен, то ответом является отношение коэффициентов при старших степенях. То есть нам нужно взять циферку перед икс в кубе из числителя и разделить его на циферку перед икс в кубе в знаменателе. Ответ получается в уме — 1/2. Да, ты можешь выкрикнуть ответ с места еще до того, как пример будет дописан на доске. Учителя такое очень любят, рекомендую.

Подобную хуету можно применить для поебени посложнее:

Получив такое на контрольной не торопись умирать от инфаркта вперемешку с инсультом. Тут все очень просто.

Решается абсолютно аналогично. Видишь хрень под корнем? Мысленно убери х+1 и извлеки корень. Выходит, что старшая степень 2. У нас получается так, что в числителе старшая степень и под корнем прячется и вне корня тоже есть. В общем, мне лень дальше писать, ответ 4/3. Кто не понял, тот лох.

Если старшие степени не совпадают, то ответом будет либо ноль либо бесконечность (зависит от вашего настроения).

Заикнувшимся про правило Лопиталя напомню, что за него на контрольной могут и выебать.

Теперь посмотрим на неопределенность иного типа:

Подставляем значение икса в предел и получаем неопределенность вида 0/0. Хуйня какая-то. Но только до тех пор, пока ты не догадаешься разложить числитель на множители. Находим корни в уме за пять лет (отсылка на предыдущий пост, охуеть!) и раскладываем поеботу по следующей формуле: (циферка ПЕРЕД ИКСОМ В квадрате)×(ИКС МИНУС первый корень)×(ИКС МИНУС второй корень). Эту формулу знает даже Невский.

Корни получились 5/2 и -1.

Понял, да? Я внес циферку перед иском в квадрате внутрь первой скобки.

Теперь просто подставляем -1 и получаем ответ -7.

Если из бесконечности вычесть бесконечность, то может получиться твой IQ.

Внимательно глядим на новое спецзадание. Тут нас ждет неопределенность нового типа — бесконечность минус бесконечность. Домножем этот понос на такой же понос, только со знаком плюс вместо минуса. Ну раз мы домножили выражение на что-то, то на это самое что-то нужно и разделить, чтобы выражение не изменилось. В числителе применим формулу из продвинутого курса высшей математики:

В Хогвартсе такое не проходят.

Получилось вот что:

Как ты видишь, в числителе из произведении поноса на понос получился умеренный такой поносик небольших размеров. Операцию, что мы проделали называют умножением на сопряженное. 

А дальше вспоминай пример номер 3 (это там, где мне было лень все расписывать и я выдал сразу ответ) и действуй аналогично. Ответ (2) находится в уме настолько быстро, что как-то неловко об этом писать.

Закрепим материал заданием, которым пытают Гитлера в аду:

Научившись решать такое, ты станешь самым популярным в школе.

Видишь классическую неопределенность вида 0/0? Значит нужно разложить на множители. Должно получиться что-то вроде (х-1)*(………) и в числителе и в знаменателе. Далее х-1 сократится и все будет хорошо. Есть один секретный способ, но я тебе его не покажу, поэтому будет раскладывать на множители делением в столбик. Ахтунг! Далее идет шок контент. Я предупредил.

В общем, в процессе деления столбиком ты увидишь, что в ответе вырисовывается ряд из степеней от большей к нулю. В конце у нас остается остаток в самом низу рисунка. Это полный квадрат выражения х-1. То есть при делении его на х-1 мы получим х-1. В знаменателе будет тоже самое, только ряд степеней начнется с 49. На множитель (х-1) мы сократили и числитель и знаменатель в предыдущем абзаце, если кто забыл. Теперь подставляем х=1 и получаем 98/48 или 49/24.

Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы получить на контрольной твердую 2, а учительница если и будет тебя бить, то не сильно.

Напоследок дам универсальный способ. Если ты не можешь найти ответ, то он находится

Содержание:

Предел функции в точке

Понятие предела является одним из фундаментальных понятий в математике. Чтобы представить понятие предела, рассмотрим следующие примеры.

Площадь круга

Великий ученый и философ Архимед для нахождения площади круга использовал площади вписанных в круг и описанных около круга правильных многоугольников. Площадь квадрата, вписанного в круг, намного меньше площади круга, однако площадь восьмиугольника уже не так отличается от площади круга. Если внутри круга изобразить правильные 16-ти угольник, 32-х угольник и т.д., то их площади еще больше приближаются к площади круга. При увеличении количества сторон вписанного правильного многоугольника площадь будет стремиться к площади круга.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

При увеличении количества сторон правильного многоугольника, описанного около круга, разница между площадью многоугольника и площадью круга также уменьшается.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Данный подход, предложенный Архимедом, на самом деле составляет основную концепцию предела.

2. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияый член последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

можно найти по формуле Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

С возрастанием числа в знаменателе, каждый следующий член становится меньше предыдущего. Сделайте прикидку, к какому значению стремится Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияесли Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения неограниченно возрастает!

Исследование. Участок прямоугольной формы необходимо оградить проволокой, длина которой равна 24 м. Какие размеры нужно выбрать для этого участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение: обозначим длину прямоугольника через Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения а ширину через Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Тогда периметр прямоугольника будет равен Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения По условию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияОтсюда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Используем последнее в формуле для нахождения площади Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Тогда зависимость площади от ширины можно записать как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения или Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Составим таблицу значений площади для значений ширины Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения которые как справа, так и слева стремятся к 6.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Значит, при стремлении значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения как справа, гак и слева к 6 значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения приближаются к 36. Также это стремление не зависит от того, как значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремятся к 6. В этом случае число 36 называется пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при стремлении переменной Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения к 6 и это записывается так:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

При стремлении значений переменной Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения к 6 предел функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равен 36.

Здесь запись Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения означает, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения расположено сколь угодно близко к 6, однако это не означает, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равно 6. Как видно из таблицы, числа при стремлении слева меньше 6, а при стремлении справа числа больше 6.

Записав Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в виде Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения можно увидеть, что при стремлении величины Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения к 0 значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремятся к 36.

Интервал Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения окрестностью точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Можно выбрать Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения так, что для любых Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения из данной окрестности, расстояние Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения станет меньше любого положительного числа. Значит, разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения можно сделать сколь угодно близкой к 0.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пусть функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения определена в какой-либо окрестности точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (кроме может быть, этой точки). Если при стремлении разности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения к нулю разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения также стремится к нулю, то число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и это записывает так:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определение. Пусть для произвольного числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения можно найти число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения такое что для всех х удовлетворяющих соотношению Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Тогда число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и записывается как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Это можно объяснить коротко геометрически.

На оси ординат для произвольного числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения возьмем окрестность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Через точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения проведем прямые, параллельные оси абсцисс. Получим полосу шириной Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Тогда всем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияфункции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в окрестности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения соответствуют значения из интервала Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениярасположенные в полосе Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения по графику.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример 1. Используя определение предела, покажем справедливость следующего равенства Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: выберем произвольное число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Для всех Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющих условию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения оценим величину Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Возьмем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения тогда для всех Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющих условию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет место Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения А это, но определению, означает Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел можно приблизительно оценить или определить различными методами.

• по таблице • по графику • аналитически

Нахождение значения предела функции по таблице значений и по графику

Пример 2. Задайте таблицу значений и найдите предел: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: запишем в таблицу значения функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при некоторых значениях Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремящихся слева и справа к 2.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

По таблице видно, что при стремлении значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения к 2, как справа, так и слева, значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения приближаются к 4.

Построив график функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения также можно увидеть, что при стремлении х как справа, гак и слева к 2, значения функции «сходятся» к 4. Значит, можно записать следующее: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример 3. Найдите Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Решение: функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не определена в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Построим таблицу значений функции при стремлении Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения слева и справа к числу 1.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Из таблицы видно, что при стремлении значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения к 1 значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремятся к 2. Убедится в этом можно, построив график соответствующей функции.

Внимание! В точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения заданная функция не определена, однако в этой точке предел функции существует и он равен 2.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Обратите внимание на разницу двух понятий — предел функции и значение функции в заданной точке!

Пример 4. По графику функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения найдите: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: а) из графика видно, что при стремлении значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения к 3 значение функции приближается к 2: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

b) Значение функции в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равно 1: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Существование предела. Односторонний предел

Для некоторых значений переменной Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения приходится рассматривать стремление к а только с одной стороны (слева или справа).

Левый предел. Если значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения оставаясь меньше Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремятся к Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при этом разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю, то число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения слева и записывается как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Правый предел. Если значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения оставаясь больше Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремятся к Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при этом разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю, то число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения справа и записывается как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет правый и левый пределы и они равны, то функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет предел и справедливо равенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Для данного предположения верно и обратное.

Пример 5. Для функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

найдите предел слева и справа при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

предел слева: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел справа: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так как левый и правый пределы не равны, то в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения для данной функции предела не существует.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример 6. Для функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

найдите предел слева и справа при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: предел слева: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел справа: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

значение функции: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

В определении предела функции мы предположили, что числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения конечны. Однако, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (одно или оба) могут и не быть конечными числами.

Рассмотрим предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Как видно по графику, при стремлении значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения к нулю слева и справа значения функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения бесконечно возрастают. Значит, выбирая достаточно маленькие значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения можно достигнуть того, что функция будет иметь значения больше произвольного числа. Например,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

при уменьшении значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения значения функции неограниченно растут. Функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения бесконечно возрастающая. Это записывается гак:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Для пределов функции справедливы следующие утверждения.

Если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет предел в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то он единственный.

Предел постоянной величины. Для постоянной функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел тождественной функции.

Для тождественной функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

При нахождении пределов функции используются следующие свойства. Если для действительных чисел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеются Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то:

1. Предел суммы: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел суммы двух функций равен сумме их пределов .

Пример. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

2. Предел разности: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел разности двух функций равен разности их пределов.

Пример. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

3. Предел произведения: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

В частном случае, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

То есть постоянный множитель можно вынести за знак предела.

Пример. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

4. Предел частного: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю.

Пример. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

5. Предел степени: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

В частном случае, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

На основании данных утверждений можно сделать следующий вывод.

Предел многочлена и рациональной функции

Для произвольного многочлена Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеем: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Для произвольных многочленов Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Как видно, если знаменатель рациональной функции при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения отличен от нуля, то можно применить все свойства, о которых говорилось ранее.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Можно показать, что при возможных значениях переменной имеет место:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Некоторые способы вычислении пределов

Нахождение предела рационального выражении, при помощи разложении числители и знаменатели на множители и сокращения.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

При непосредственной подстановке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения получим неопределенность вида Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

В этом случае числитель и знаменатель рационального выражения раскладывают на множители и сокращают, а затем вычисляют предел эквивалентного выражения:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Нахождение пределов при помощи освобождении от радикала

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Вычислите предел, освободив числитель от радикала

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Применяются свойства пределов.

Прикладные задания

Пример. По теории относительности Эйнштейна длина движущегося тела относительно наблюдателя, находящегося в состоянии покоя, при возрастании скорости уменьшается. Если длина тела в состоянии покоя Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения а при движении длина тела равна Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то между этими величинами существует зависимость Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Что можно сказать о длине искусственного спутника, если его скорость будет стремиться к скорости света?

Решение: в этом случае мы должны вычислить предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Значит, для наблюдателя, находящегося в состоянии покоя, длина спутника сравняется с нулем в случае, если скорость спутника сравняется со скоростью света.

Непрерывность функции

Непрерывность функции часто можно легко объяснить следующим образом. Если график какой-либо функции можно построить не отрывая карандаш от бумаги, то эта функция непрерывна. В противном случае, у графика есть точки разрыва (скачка) и данная функция является разрывной функцией. График разрывной функции невозможно изобразить, не отрывая карандаш от листа.

Непрерывность функции в точке

Для того, чтобы функция была непрерывной в точке, ее график не должен прерываться, т. е. график не должен иметь «скачков». График функций на рисунках прерывается или имеет «скачок» в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Значит, эти функции в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеют разрыв. Рассмотрим данные случаи.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Как видно по графику, функция разрывная в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в следующих случаях:

1. Функция не определена в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения однако определена в некоторой окрестности этой точки.

2. В точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не имеет предела.

3. Предел функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует, но не равен Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Точка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в которой функция прерывается, называется точкой разрыва.

Если функция не удовлетворяет ни одному из указанных выше условий, то ее можно назвать непрерывной в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Непрерывность функции в точке. Для того, чтобы функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения была непрерывна в точке с должны выполняться три следующих условия:

1. Функция должна быть определена в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

2. Должен существовать предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

3. Должно выполняться равенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. Исследуйте непрерывность следующих функций.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: а) из графика функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения видно,что при стремлении значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения к 1 функция имеет предел и он равен 2:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Однако в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения функция не определена. Значит, в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения функция разрывна.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что во всех точках кроме Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения на всей действительной оси она

определена и непрерывна.

b) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Как видно из графика, при стремлении значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения к 1 функция имеет предел, равный 1, в тоже время, при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения значение функции также равно 1.

Предел функции: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Значение функции: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

При Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения предел функции равен значению функции в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияТ. е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Значит, данная функция непрерывна в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Непрерывность функции на интервале

Определение. Функция называется непрерывной на интервале Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Непрерывность функции на отрезке

Определение. Функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется непрерывной на отрезке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если она определена на отрезке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения непрерывная на интервале Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Любая функция — многочлен непрерывна на всей числовой оси. Рациональная функция непрерывна во всех точках, кроме тех, которые обращают знаменатель в 0. Функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения непрерывны на всей действительной оси, а функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения непрерывны на области определения.

Для функции, непрерывной на отрезке, справедлива следующая теорема.

Теорема Вейерштрасса. Функция, непрерывная на отрезке, принимает в нем наименьшее и наибольшее значения.

Теорема Коши. Если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения непрерывна на отрезке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и принимает на концах отрезка значения противоположных знаков, то хотя бы в одной точке из отрезка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения она принимает значение, равное нулю.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Функция, непрерывная на отрезке, принимает все значения от наименьшего до наибольшего

Применяя эту теорему, можно решить следующий тип задач.

Пример 1. Существует ли такое действительное число, куб которого больше самого числа на 1?

Решение: искомое число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равно Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения т. е. должно удовлетворять уравнению Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Для решение задачи исследуем функцию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Из графика функции, построенного с помощью граф-калькулятора, видно, что значения функции в точках Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеют разные знаки: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Тогда, по теореме Коши, существует такое число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениячто Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Это число с является корнем уравнения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если какая-либо функция непрерывна на интервале (a; b), это не означает, что она непрерывна на отрезке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример 2. Исследуйте непрерывность функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: как видно из графика, при стремлении Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения справа к 6 предел функции равен 1, при стремлении слева предел равен -1.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Т. е. в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения предела функции не существует. Данная функция разрывается в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения но на каждом из интервалов Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения она непрерывна. г х + 2 , х < О

Пример 3. Определите точки разрыва функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Линейная функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения постоянная функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и функция-многочлен Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения непрерывны для всех значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Значит, непрерывность может быть нарушена только в точках «перехода» , т. е. в точках Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Сначала исследуем непрерывность функции в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Значение функции

Функция определена в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Существование предела

Для определения предела Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения исследуем левый Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и правый Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения пределы функции. При приближении к 0 слева значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения меньше 0 и в этом случае Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

При приближении к 0 справа значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения больше 0, и в этом случае Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Значит, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

»0V .г—» 0* х—*0

Значение и предел функции в точке

Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения функция непрерывна.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечательные пределы, содержащие тригонометрические функции

Пределы тригонометрических функций

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения принадлежит области определения тригонометрической функции.

Примеры: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Первый замечательный предел

Функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет предел в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и этот предел равен 1.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — действительное число или радианная мера угла, но таблице можно установить, что для значений, удовлетворяющих условию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениязначения функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремятся к 1.Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения т. е. так как заданная функция четная, то для значений, удовлетворяющих условию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

По графику функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияпостроенному при помощи графкалькулятора, также видно, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не существует. По графику, построенному при помощи граф-калькулятора, видно, что функция нечетная и не имеет периода. При приближении значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения к 0, значения функции изменяются между Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример 1. Найдите предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

! Покажите, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Обозначьте Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения тогда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример 2. Найдите предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Выражение записывается в виде разности двух дробей.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Применяется свойство предела разности

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Вычисляется предел

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример 3. Покажите, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Числитель и знаменатель умножается на выражение Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияУпрощается

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Учитывается, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Выражение записывается в виде произведения двух выражений. Применяется свойство произведения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Учитываются значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Бесконечные пределы

Пример. По графику функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения на рисунке видно, что при приближении значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения справа к 2 значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения бесконечно растут. Т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

При приближении значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения к 2 слева значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения также бесконечно увеличиваются по абсолютному значению. Т. е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так как левый и правый пределы различны, то заданная функция не имеет предела в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Функция, график которой задан на рисунке, определена для всех значений на множестве действительных чисел, кроме числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в интервале, содержащем данное число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Этот предел записывается как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Аналогичным образом можно установить, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения т. е. показывает на бесконечное изменение функции.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Бесконечное изменение функции можно записать при помощи следующих 6 пределов:

Если выполняется одно из следующих отношений:

Вертикальная асимптота.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

то прямая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является вертикальной асимптотой функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. По графику исследуйте левые и правые пределы в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Функция не имеет предела, однако

правый и левый пределы показывают изменение функции.

b) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения И правый и левый пределы функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

c) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Функция не имеет предела, однако и правый и левый пределы показывают изменение функции.

d) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияИ правый и левый пределы функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Прямая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является вертикальной асимптотой этих функций

Если функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения являются непрерывными на данном интервале, и в точке с из этого интервала Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения тогда прямая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является вертикальной асимптотой функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел функции на бесконечности. Горизонтальная асимптота

Рассмотрим еще раз по графику, как изменяются значения функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения изменяются (увеличиваются или уменьшаются) до бесконечности.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Как видно из графика функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю. Запишем это: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Таким же образом, при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

и прямая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является горизонтальной асимптотой функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Горизонтальная и вертикальна асимптоты

Если существуют пределы Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения или Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то прямая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является горизонтальной асимптотой функции

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется бесконечно малой.

Например, функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения бесконечно малая.

Если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения бесконечно малая, то функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения бесконечно

большая. Например, при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения бесконечно малая, а Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения бесконечно большая.

Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций бесконечно малая. В частности, при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. Нахождение Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения по графику.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Свойства пределов справедливы и для предела функции в бесконечности.

Пример. Найдите предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: разделим числитель и знаменатель дроби на Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и применим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Теорема. При Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ведет себя как старший член многочлена, т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, учитывая, что рациональная функция является отношением двух многочленов для предела рациональной функции имеем:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Здесь Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример.

Решение. Применим теорему к решению:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Прикладные задания

Рассмотрим как меняется функция при стремлении значений аргумента в бесконечность на следующем примере.

Пример. Нормальная концентрация кислорода в озерной воде равна 12 единицам. При сбросе в озеро отходов, в момент Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения концентрация кислорода в озере изменяется. Зависимость изменения концентрации кислорода в озерной воде от времени выражается следующим образом:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Объясните как, со временем, изменяется концентрация кислорода? Сможет ли концентрация кислорода вновь стать равной 12 единицам?

Решение: по графику функции, построенном при помощи графкалькулятора, можно увидеть, что при увеличении до бесконечности значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения значение функции приближается к 12, но концентрация равная 12 не наблюдается.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Описать данную ситуацию математически можно при помощи следующего предела

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Здесь прямая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является горизонтальной асимптотой.

Предел числовой последовательности

Запишем несколько первых членов последовательности, общий член которой задан формулой Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Как видно, при возрастании Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения значения членов последовательности уменьшаются и приближаются к 2.

На самом деле, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и при возрастании Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения абсолютное значение разности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения становится достаточно близким к 0.

Например, начиная с 11-го члена Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения все последующие члены удовлетворяют отношению Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения а с 101 члена Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — отношению Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Вообще, для произвольного числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения можно найти такой номер Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения что для всех Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Здесь число 2 является пределом этой последовательности.

Определение. Пусть для последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и для произвольного Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует такой номер Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения что для всех Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения после заданного номера выполняется неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Тогда число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется пределом последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и это записывается как

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Из определения ясно, что если число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является пределом последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то для некоторого числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения все члены после определенного номера расположены в окрестности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и за пределами данной окрестности рас-положено конечное число членов. Это говорит о том, что при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения на координатной плоскости расположены в полосе Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПоследовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а не имеющая конечного предела, расходящейся последовательностью.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Свойство. Если последовательность имеет предел, то он единственен.

Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется бесконечно малой.

Например, последовательность с Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияым членом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (здесь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — какое -либо число, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) является бесконечно малой. Каждая сходящаяся последовательность равна сумме ее предела и бесконечно малой последовательностью и наоборот:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Например, для Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения сходящаяся, и ее предел равен Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. Найдите предел последовательности (если он существует) Если предела нет, то объясните почему.

a) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: а) для последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияпокажем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

При Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа это, по определению, означает, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

То, что предел последовательности равен 1, можно увидеть, отметив на координатной плоскости точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения для достаточных значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

b) При бесконечном возрастании Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения члены последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениябесконечно увеличиваются, т. е. стремятся к бесконечности. Значит, последовательность не имеет конечного предела. Мы можем убедится в этом, отметив соответствующие точки на координатной плоскости. Одним из примеров является наличие конечного предела для периодической десятичной дроби.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Для данной периодической десятичной дроби общий член Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Если рассмотреть эту бесконечную сумму как предел суммы первых Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения членов последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что числовая последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является функцией, определенной на множестве натуральных чисел. Можно показать, что если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения тогда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Например, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Многие свойства пределов функции при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения справедливы для предела последовательности.

Пусть последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения сходящиеся и существуют Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Тогда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. Вычислите: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: умножив и разделив выражение внутри скобки на сопряженное иррациональное выражение и применив теорему о пределах, получим:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел монотонной и ограниченной последовательности

Если для всех значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияназывается возрастающей, если выполняется Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то последовательность называется убывающей. Например, последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является возрастающей. На самом деле,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

А последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения убывающая. Все члены данной последовательности

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Тогда получим, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Графики примеров монотонных последовательностей

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если для чисел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяет неравенству Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то она является ограниченной последовательностью. Теорема Вейерштрасса. Для любой монотонной и ограниченной последовательности существует предел.

Второй замечательный предел

Можно показать, что последовательность с общим членом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениявозрастающая и ограниченная и имеет предел равный числу Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Здесь Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Примечание: при вычислении многих пределов, связанных с числом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения будем учитывать следующее: если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения тогда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. Вычислим предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. Вычислите предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

В равенстве Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения натуральное. Можно показать,

что для любого действительного числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется отношение Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если в последнем отношении выполнить замену Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то можно записать следующее Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Используя данный предел, можно показать следующее: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример. Вычислите предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Теория пределов

Действительные числа

Под величиной в математике понимается все то, что может быть измерено; при этом физическая сущность величины для нас безразлична. Поэтому выводы математики обладают общностью, они применимы ко всем величинам вообще. Процесс измерения величины состоит в сравнении ее с другой однородной величиной (т. е. величиной той же природы), принятой за единицу. Результат измерения величины есть число — значение измеряемой величины. Если измеряемая величина и единица измерения соизмеримы между собой (т.е. имеют общую меру), то результат измерения есть рациональное число

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где тип — целые числа. Если измеряемая величина и единица измерения несоизмеримы между собой (т. е. не имеют общей меры), то результат измерения есть иррациональное число

(например, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения , п и т. д.), которое можно изобразить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если брать в этой дроби конечное число знаков после запятой, то мы будем получать некоторые рациональные числа, которые дадут нам значение измеряемой величины с любой степенью точности; поэтому практически при измерениях можно обойтись числами рациональными. Однако при формулировке общих законов избежать иррациональных чисел нельзя (например, площадь круга Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — число иррациональное). Числа рациональные и иррациональные носят название действительных или вещественных чисел1).

Для геометрического изображения действительных чисел служит числовая ось Ох (рис. 80), где в определенном масштабе расположены числа: рациональные (целые 0, ±1, ±2, … и дробные Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения … и т. д.) и иррациональные. В результате все действительные числа помещаются на числовой оси, заполняя последнюю без просветов, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой оси и, обратно, каждой точке числовой оси отвечает некоторое действительное число. Поэтому вместо слов «действительное число» часто говорят «точка».

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Для приложений к множеству всех действительных чисел х присоединяют два символа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения со свойствами

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Такая система действительных чисел называется расширенной. Предполагается, что справедлива следующая арифметика:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Действительные числа могут быть положительными и отрицательными. В некоторых случаях приходится игнорировать знак числа, т. е. рассматривать его модуль.

Определение: Модулем (или абсолютной ее личиной) действительного числа х называется такое неотрицательное число, обозначающееся Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Например, |-5| = 5, |3| = 3. Очевидно, для всякого числа х имеет место равенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Если расположить действительные числа на числовой оси, то модуль |*| любого числа х представляет собой расстояние от начала отсчета О до соответствующей точки А с абсциссой х: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияOA (рис. 81).

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда следует, что если модуль числа х удовлетворяет неравенству

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

то число х подчинено ограничению

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

т. е. х принадлежит интервалу (-а, а) (или отрезку [-а, а]). В частности, для любого числа х справедливо неравенство

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Обратно, если имеет место одно из двойных неравенств (2), то выполняется соответственно одно из неравенств (1). Более общее утверждение: если

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

то, так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равно расстоянию между точками х и х0> имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

и обратно (рис. 82).

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Модуль действительного числа обладает следующими свойствами.

1) Модуль суммы двух или нескольких чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел.

В самом деле, пусть сначала х и у — действительные числа одинаковых знаков, т. е. ху > 0. Очевидно, имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

(например, |-3 — 5| = |-(3 + 5)| = 3 + 5).

Пусть теперь хну — действительные числа различных знаков, т. е. ху < 0, причем для определенности предположим, например, что |х| > 11/1. Тогда имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

(например, |-5 + 2| = |-(5 — 2)| = 5 — 2 < 5 + 2).

Таким образом, для любых действительных чисел х и у справедливо неравенство

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда числа х и у одинаковых знаков.

Замечание. Неравенство (3) легко распространяется на любое конечное число слагаемых, например

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

2)Модуль разности двух чисел больше или равен разности модулей этих чисел.

В самом деле, в силу свойства 1 имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

3)Модуль произведения двух или нескольких чисел равен произведению модулей этих чисел, например

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

4)Моду ль частного равен частному модулей (если делитель отличен от нуля), т. е. если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

5)Модуль целой положительной или целой отрицательной степени равен соответствующей степени модуля основания, т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство почти очевидных предложений 3)—5) предоставляем читателю.

Погрешности приближенных чисел

Измеряя величину с точным значением а, мы обычно получаем лишь ее приближенное значение х; разность а — х называется ошибкой приближенного числа х. Число а будем называть точным числом, а число х — приближенным. Если х < а, то х называется приближением по недостатку: если же х > а, то х называется приближением по избытку.

Определение: Абсолютной погрешностью (или абсолютной ошибкой) Д0 приближенного числа х называется модуль разности между соответствующим точным числом а и данным приближенным числом х, т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если точное число а неизвестно, то формула (1) не дает возможности определить абсолютную погрешность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения приближенного числа х. В этом случае ограничиваются оценкой сверху абсолютной погрешности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, т. е. находят положительное число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, по возможности мало отличающееся от Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, такое, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Число Д, удовлетворяющее неравенству (2), называется предельной абсолютной погрешностью приближенного числа х. Очевидно, имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

вместо неравенства (3) употребляется также сокращенная запись

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Часто бывает, что известны два приближенных числа х1 и х2 между которыми заключается точное число а:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Тогда можно положить

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Абсолютная погрешность, взятая без учета измеряемой величины, не характеризует точности измерения. Например, если при измерении длины стола а1 = 2 м и длины железной дороги а2 = 200 км допущена одна и та же абсолютная погрешность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения= Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 0,1 м, то это не значит, что измерения равноточны; очевидно, второе измерение точнее первого. Для оценки точности измерений вводят понятие относительной погрешности.

Определение: Относительной погрешностью (iотносительной ошибкой) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения приближенного числа х называется отношение абсолютной погрешности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения этого числа к модулю соответствующего точного числа а, т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

т. е. абсолютная погрешность приближенного числа равна относительной погрешности его, умноженной на модуль соответствующего точного числа.

Если точное число а неизвестно или слишком громоздко, то дают верхнюю оценку числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, удовлетворяющее неравенству

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

называется предельной относительной погрешностью приближенного числа х. Очевидно, если х > 0, то можно положить

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — предельная абсолютная погрешность числа х такая, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Какова предельная относительная погрешность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения числа х = 3,14, заменяющего число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения?

Решение:

Так как 3,14 < Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения < 3,142, то абсолютная погрешность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения числа х удовлетворяет неравенству Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения < 0,002. Отсюда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, можно принять Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — 0,064 %.

Так как точное число а во многих случаях найти трудно, то на практике полагают а ~ х, где х — достаточно близкое к а приближенное число, и пользуются приближенными формулами

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — знак приближенного равенства). Соответствующие формулы справедливы также для предельных погрешностей.

Пример:

Результат измерения с точностью до 0,5 % равен х = 25,7м. Определить предельную абсолютную погрешность А этого измерения.

Решение:

Из формулы (5′) имеем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, измеряемую величину а можно положить равной а = 25,7 м ± 0,13 м.

Введем некоторые понятия, связанные с изображением чисел в десятичной системе, причем ограничимся рассмотрением лишь положительных чисел). Всякая цифра в десятичном изображении числа, отличная от нуля, и нуль, если он не служит для обозначения десятичного разряда или не замещает неизвестную или отброшенную цифру, называется значащей цифрой этого числа. Например, число 0,0507 имеет три значащие цифры: 5, 0 и 7. Запись числа 27 600 не позволяет судить о числе значащих цифр его; так, если это число имеет четыре значащие цифры, то его следует записать, например, в виде 2,760 • 104. Значащие цифры приближенного числа разделяются на верные и неверные.

Определение: Говорят, что приближенное число имеет п верных значащих цифр (знаков, считая слева направо), если абсолютная погрешность этого числа не превышает 1/2 единицы его Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения-го разряда.

Например, если число х = 2,356 имеет три верных знака 2, 3, 5, то для абсолютной погрешности этого числа имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Математические таблицы составляются таким образом, что все помещенные в них знаки являются верными. Например, для четырехзначной таблицы логарифмов гарантируется, что абсолютная погрешность мантиссы каждого числа удовлетворяет неравенству Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

В некоторых случаях абсолютная погрешность приближенного числа может достигать единицы его п-го разряда, тогда будем говорить, что данное число имеет п верных знаков в широком смысле. Если абсолютная погрешность приближенного числа может достигать двух единиц его л-го разряда, то говорят, что первые п — 1 значащих цифр числа верные, а п-я цифра его сомнительная.

Понятие верных цифр не всегда можно понимать буквально, т. е. в том смысле, что если приближенное число имеет п верных знаков, то п первых цифр приближенного числа и п первых цифр точного числа совпадают между собой. Например, если а = 1 есть точное число и х = 0,999 — приближенное число, то все знаки последнего, очевидно, верны в широком смысле, хотя ни одна цифра точного числа не совпадает с соответствующей цифрой данного приближенного числа. Однако в большинстве случаев буквальное понимание будет верным.

Количество верных знаков приближенного числа характеризует точность измерения и позволяет найти предельную относительную погрешность этого числа.

Пример:

Приближенное число х = 8,3047 имеет два верных знака. Какова предельная относительная погрешность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения этого числа?

Решение:

Здесь для абсолютной погрешности имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

По формуле (4′) имеем оценку относительной погрешности

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, приближенно можно принять Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 0,6 %.

Обратно, зная предельную относительную погрешность приближенного числа, можно определить количество его верных знаков.

Пример:

Предельная относительная погрешность приближенного числа х = 623,809 равна Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 0,2%. Сколько верных цифр имеет это число?

Решение:

Используя формулу (5′), находим оценку абсолютной погрешности нашего приближенного числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Не совсем строго можно считать, что число х имеет три верные цифры в широком смысле.

В окончательной записи приближенного числа, вообще говоря, нет смысла сохранять неверные цифры; в крайнем случае можно удержать одну запасную цифру. Поэтому цифры приближенного числа, не являющиеся верными, обычно откидывают, или, как говорят, приближенное число округляют. Также часто приходится округлять громоздкие точные числа.

Правила округления:

1)если первая отброшенная цифра числа (считая слева направо) меньше 5, то оставшиеся цифры его оставляют без изменения;

2)если же первая из отброшенных цифр больше или равна 5, то первую из оставшихся цифр увеличивают на единицу.

Например, округляя число п = 3,141592… до пяти, четырех, трех значащих цифр, соответственно получим приближенные числа 3,1416, 3,142 и 3,14.

Специально выделяется частный случай, когда округляется на одну цифру число, имеющее последнюю цифру 5. Тогда последняя сохраненная цифра оставляется без изменения, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры).

При округлении приближенного числа мы, вообще говоря, увеличиваем его погрешность, добавляя к абсолютной погрешности числа погрешность округления.

При пользовании правилом округления погрешность округления, очевидно, не превышает 1/2 единицы последнего сохраненного десятичного разряда.

Отсюда следует, что:

1)если точное число округлить до п значащих цифр, то полученное приближенное число будет иметь п верных десятичных знаков;

2)если же приближенное число с п верными десятичными знаками округлить до п значащих цифр, то полученное новое приближенное число будет иметь п верных десятичных знаков в широком смысле.

Предел функции

В математическом анализе, как правило, рассматриваются безразмерные величины, т.е. величины, лишенные физического содержания. Совокупности значений таких величин представляют собой некоторые числовые множества. Исходя из этого и используя логические символы V («для любого») и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(«существует», «найдется»), можно формализовать определение функции.

Определение: Пусть X u Y — данные числовые множества. Если в силу некоторого соответствия /, сопоставляющего элементам множества X элементы множества Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (единственный), то у называется однозначной функцией от х, определенной на множестве X.

Этот факт коротко обозначается следующим образом:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Множество значений функции (1), по смыслу определения, содержится в У, т. е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Можно сказать, что функция / осуществляет отображение множества X в множество У (рис. 83).

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, т. е. любой элемент Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является значением функции, то говорят, что функция f отображает множество X на множество У.

Строго говоря, под функцией (1) следует понимать само соответствие Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, в силу которого для каждогоПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения подыскивается его партнер у € У. При этом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения представляет собой значение функции f в точке х. Однако на практике символ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(х), где х принимает все возможные значения, также называют функцией.

Пример:

Функция f(x) = sinx Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения отображает интервал X = (0, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) на отрезок У = [ -1, 1].

Пусть между элементами множеств X и У функция у = f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие, т. е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует один и только один его образ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, и, обратно, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения найдется единственный прообраз Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения такой, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Тогда функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, устанавливающая соответствие между элементами множеств У и X, называется обратной для функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Иными словами, обратная функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является отображением множества У на множество X. Очевидно, функции у = f(x) и х =Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения взаимно обратны.

Определение: Под окрестностью Ua точки а (а — действительное число) будем понимать любой интервал Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, окружающий эту точку Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, из которого удалена точка а (рис. 84).

Под окрестностью Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения символа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения понимается внешность любого отрезка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (рис. 85), т. е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Естественно, что символ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не содержится в своей окрестности.

Замечание. Общепринято под окрестностью точки а понимать любой интервал Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, содержащий точку а, т. е. если fa есть окрестность точки а, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. При нашем определении окрестности Ua точки а для удобства дальнейших рассуждений мы исключаем из нее саму точку а, т. е. полагаем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Такое множество точек обычно называется проколотой (или пунктированной) окрестностью точки а.

Допуска я вольность речи, множество точек Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения мы называем просто окрестностью точки а (в нашем смысле). Такое определение окрестности согласуется с обыденным ее пониманием. Например, естественно предполагать, что в окрестность города Москва не входит сам город Москва! Тем более, что при определении односторонних окрестностей точки a: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (левая окрестность) и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (правая окрестность) — точка а всегда исключается!.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Итак, в дальнейшем, если явно не оговорено противное, под окрестностью точки а мы будем понимать любой интервал, окружающий эту точку, из которого выкинута сама точка а.

В тех случаях, когда удобно будет считать, что окрестность точки а содержит саму точку а, мы будем называть ее «полной окрестностью точки а».

Как нетрудно убедиться: 1) сумма (объединение) любого числа окрестностей точки а и 2) произведение (пересечение) конечного числа окрестностей точки а есть также окрестности этой точки.

Для положительного числа 8 окрестность Ua некоторой конечной точки а назовем ее Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения-окрестностью, если Ua = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения U Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, т.е. если

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (рис.86).

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пусть функция f(x) задана на множестве X. Точка а (а конечно) называется предельной точкой (точкой накопления) этого множества, если в любой ее 8-окрестности Ua содержится

бесконечно много элементов Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, т. е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. В простейшем случае можно предполагать, что функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, причем в самой точке а функция f(x) не обязательно имеет смысл.

Итак, пусть а — предельная точка множества X — области определения функции f(x).

Определение: Число А называется пределом функции f(x) при х Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения а (а — число), т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

если для любого Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует такая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения-окрестность Ua = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения зависит от Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Для простоты здесь используется 5-окрестность точки а, т. е. ее симметричная окрестность. Однако определение остается в силе для любой окрестности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, так как она, очевидно, содержит 5-окрестность точки а, где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Конечно, неравенство (2) должно выполняться для всех тех х, для которых определена функция f(x), т. е. для Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения; согласно определению предельной точки, в каждой окрестности Ua множество таких значений не пусто.

Замечание 1. По смыслу определения предела функции, числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения можно полагать достаточно малыми.

Определение: Утверждение

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

эквивалентно следующему:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения зависит от Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Множество всех точек х, для которых Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, очевидно, является симметричной окрестностью Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения символа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения; при этом предполагается, что для любой такой окрестности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения; условно можно сказать, что есть предельная точка множества X — области определения функции f(x).

Объединяя определения 2 и 3, получим общее определение предела функции при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, которое годится как для конечного а, так и для а =Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Общее определение предела функции. Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х, а — предельная точка этого множества. Число А является пределом функции f(x) при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа тогда и только тогда, когда для любого Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует такая окрестность Ua точки а, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Этот факт коротко записывают следующим образом:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Показать, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Для удобства рассуждений мы будем предполагать, что 1 < х < 3, т. е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения > 0 — произвольное число. Имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, равенство (6) доказано. Заметим, что здесь Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения-окрестность точки х = 2 — полная, т. е. содержит точку 2.

Пример:

Показать, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

если только

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

что эквивалентно утверждению (7).

Замечание 2. Не следует думать, что функция f(x) постоянно остается меньше своего предела.

Возможны три случая: 1)функция не превышает своего предела,

например Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

2)функция не меньше своего предела, например Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

3)функция колеблется вокруг своего предела, принимая значения то меньше, то больше его; например,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание 3. При рассмотрении предела функции f(x) при х Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения а, для простоты, можно было бы предполагать, что функцияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения определена в некоторой окрестности точки а.

Однако, как показывают самые простые примеры, это неудобно для приложений.

Пример:

Пусть

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Эта функция определена на множестве Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения которое не является окрестностью бесконечно удаленной точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Тем не менее, с нашей точки зрения, имеем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отметим одно простое предложение.

Теорема: Если функция f(x) = с постоянна в некоторой окрестности точки а, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

причем с является единственным пределом этой функции при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

(Доказательство этой теоремы предоставляем читателю.) Функцию, имеющую предел, не следует путать с ограниченной функцией.

Определение: Функция f(x) называется ограни ченной на данном множестве X, если существует такое положительное число М, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если такого числа М нет, то функция f(x) называется неограниченной.

ЛЕММА. Функция /(л:), имеющая предел А при х а, ограничена в некоторой окрестности точки а.

Действительно, выбирая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, имеем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения где Uа — соответствующая окрестность точки а.

Отсюда для всех допустимых значений аргумента х получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

если только Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание 4. Обратное утверждение неверно: ограниченная функция может не иметь предела.

Например, функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ограничена при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и не имеет предела при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0.

Отметим еще одну теорему, устанавливающую связь между границами функции и ее пределом.

Теорема: Пусть существует Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

в некоторой окрестности Ua точки а. Тогда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Действительно, пусть А < М. Полагая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения,в некоторой окрестности Va точки а будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда, выбирая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, получаем f(x) < М, что противоречит левому неравенству (8).

Аналогично опровергается предположение А > N.

Замечание 5. Теорема остается верной, если в (8) одно или оба неравенства нестрогие.

Следствие. Положительная функция не может иметь отрицательного предела.

Замечание 6. Понятие предела функции одной переменной естественно переносится на функции нескольких переменных.

Рассмотрим, например, функцию двух переменных f(x, у), заданную на некотором множестве X плоскости Оху.

Под окрестностью Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (а и b конечны) будем понимать внутренность любого прямоугольника Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения построенного вокруг точки М0 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения из которого удалена сама точка М0.

В таком случае утверждение

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

означает, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения такая, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения справедливо неравенство

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Конечно, при этом предполагается, что в любой окрестности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения найдутся точки М(х, у), в которых функция f(x, у) имеет смысл (предельная точка).

Это определение легко обобщается на тот случай, когда а или b или оба вместе — символы Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Односторонние пределы функции

В приложениях встречаются так называемые односторонние пределы функции.

Введем понятия левой и правой окрестностей точки а (а — число).

Определение: 1) Любой интервал Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, правым концом которого является точка а, называется ее левой окрестностью.

2) Аналогично, любой интервал Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

Символическая запись хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа — 0 обозначает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности точки а, т. е. х а, х < а.

Аналогично, запись хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа + 0 обозначает, что хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, х > а.

Определение: 1) Формула

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где функция f(x) определена на множестве X и а — предельная точка этого множества (а — конечное), а А — число, обозначает, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения такая, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

(предел функции слева).

2) Аналогично, формула

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

(В — число) имеет следующий смысл:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения произвольно и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения зависит от Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (предел функции справа).

Для чисел А и В употребляется символическая запись (рис. 87)

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если функция /(х) определена в точке а, то ее значение в этой точке обозначается через f(a); конечно, оно может не совпадать с числами f(a — 0) и f(a + 0).

Можно, конечно, ограничиться рассмотрением левых Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения-окружностей точки a: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Обычно полагают Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Под окрестностью символа — Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения понимается любой интервал Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, а под окрестностью символа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения понимается любой интервалПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Формулы

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

расшифровываются так:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения произвольно, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Для существования предела функции f(x) при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа (а — число) необходимо и достаточно выполнение равенства

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел последовательности

Под последовательностью

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

понимается функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, заданная на множестве натуральных чисел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

По аналогии с пределом функции в бесконечно удаленной точке вводится понятие предела последовательности. А именно, число а есть предел последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Строго говоря, нужно писать Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Но так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — натуральное, то по смыслу Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения— одно и то же.

если для любого Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует такое число N, зависящее от Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, что для всех натуральных Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполнено неравенство

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения > 0 — произвольное число. Тогда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Бесконечно малые

Определение: Функция а(х) называется бесконечно малой при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа (а — вещественное число или символ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения), если для любого Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения > 0 существует такая окрестность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения точки а, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Условие (1) эквивалентно следующему:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

т. е. предел бесконечно малой а(х) равен нулю и обратно. Иными словами,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично определяется бесконечно малая функция при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, а также при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Замечание 1. Если

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

то в силу определения предела функции получаем, что разность f(x) — А есть бесконечно малая. Таким образом, из формулы (4)

Как обычно, неравенство (1) должно выполняться для тех х, для которых функция a(x) определена, причем предполагается, что множество таких значений не пусто в любой окрестности Ua точки а.

получаем представление функции /(х), имеющей при х а предел А, в виде

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Обратно, если для функции f(x) справедлива формула (5), то число А является пределом функции при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа. Из формулы (5) вытекает важная лемма о сохранении знака функции.

ЛЕММА. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то в некоторой окрестности Ua точки а знак функции f(x) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения совпадает со знаком числа А.

Действительно, пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Выбирая окрестность Ua так, чтобы Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, в силу равенства (5) будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Точка М движется по оси Ох, причем закон движения ее

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, точка М совершает затухающие колебания вокруг начала координат.

Замечание 2. Функция f(x) = 0 в некоторой окрестности Ua, по смыслу определения (1), является бесконечно малой при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

Заметим, что никакая постоянная функция f(x) = сПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0, где число с сколь угодно мало по абсолютной величине, не может быть названа бесконечно малой. Поэтому так называемые физические бесконечно малые (например, масса молекулы, размер атома, заряд электрона и т. п.), с математической точки зрения, не являются бесконечно малыми.

Бесконечно большие

Определение: Функция f{х) называется бесконечно большой при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа (а — число или символ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения)

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Запись sgnx читается: «знак х Функция sgnх определяется следующим образом: sgn х = +1, если х > 0; sgn 0 = 0; sgn х = -1, если х < 0 (ср. рис. 88).

если для любого Е > 0 существует такая окрестность Ua точки а, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

для всех допустимых значений аргумента х.

Если функция f(x) — бесконечно большая при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, то условно пишут

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Например, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияпри Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Записи

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

соответственно обозначают: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (Е > 0 произвольно и окрестность Ua зависит от Е).

Легко доказывается следующее утверждение.

ЛЕММА. 1) Если f(x) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа; 2) если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения для Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Замечание. Неограниченная функция может не быть бесконечно большой.

Например, функция

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

не ограничена в любой окрестности точки х = 0, однако она не является бесконечно большой при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0.

Основные теоремы о бесконечно малых

Теорема: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа функций есть функция бесконечно малая при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

Доказательство: Для простоты ограничимся тремя функциями: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Здесь и далее в этом параграфе мы будем предполагать, что все рассматриваемые функции заведомо определены на некотором общем множестве X, для которого а является предельной точкой. Рассматриваемые значения х таковы, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Рассмотрим их алгебраическую сумму

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — произвольное положительное число. Тогда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения также будет некоторым положительным числом.

В силу определения бесконечно малой существуют три характеризуемые числом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения окрестности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения такие, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пересечение Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения представляет собой окрестность точки а, в которой одновременно будут выполнены неравенства (1), (2) и (3). Таким образом,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. А это и значит, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Теорема доказана.

В частности, разность двух бесконечно малых при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа функций есть функция бесконечно малая при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

Определение: Говорят, что функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ограничена при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, если она ограничена в некоторой окрестности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения точки а.

Теорема: Произведение ограниченной при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа функции на бесконечно малую при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа функцию есть функция бесконечно малая при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

Доказательство: Пусть

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Va — некоторая окрестность точки а и

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Тогда для произвольного Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует такая окрестность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Теорема: Произведение конечного числа бесконечно малых при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа функций есть функция бесконечно малая при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

Доказательство. 1) Рассмотрим сначала две функции a(x)Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияО и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0 при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

Полагая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и рассуждая так же, как в теореме 1, убеждаемся, что существует такая окрестность Ua, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0 при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0.

2) Если мы имеем, например, три функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0 при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, то, используя первую часть доказательства, получаем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0 при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

Следствие. Целая положительная степень [а(х)]Л бесконечно малой функции а(х)Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0 при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа есть бесконечно малая функция при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

Замечание, Что касается отношения двух бесконечно малых Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0 и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0 при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, то оно может быть функцией произвольного поведения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

Пример:

Пусть а(х) — х, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Здесь при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0 имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

С помощью действия деления можно сравнить между собой бесконечно малые.

Определение: Две бесконечно малые оПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа имеют одинаковый порядок при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Говорят, что при х а порядок бесконечно малой Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выше порядка бесконечно малой а(х) (или, что то же самое, порядок бесконечно малой а(х) ниже порядка бесконечно малой Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, если отношение Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения есть бесконечно малая функция при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа> т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

В этом случае пишут

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Говорят, что бесконечно малая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет порядок Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число) относительно бесконечно малой Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, если

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если же Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа (т.е. k = 0), то порядок Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выше Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения по сравнению с Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Основные теоремы о пределах

Здесь мы также будем предполагать, что функции, рассматриваемые в каждой из следующих теорем, определены на некотором общем множестве X, для которого точка а является предельной точкой (точкой накопления).

Теорема: Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций имеет предел при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, то предел этой алгебраической суммы при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.

Доказательство: Пусть, например, имеем алгебраическую сумму трех функций Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, где

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так как функции отличаются от своих пределов на бесконечно малые, то получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Из равенств (1), используя теорему об алгебраической сумме бесконечно малых, будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Из равенства (2) вытекает, что сумма Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения отличается от числа А + В — С на бесконечно малую и, следовательно, это число является пределом данной суммы. Таким образом, имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

что и требовалось доказать.

Следствие. Функция может иметь только один предел при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

Действительно, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, то на основании теоремы 1 получим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так как предел постоянной функции равен самой функции и единствен, то отсюда имеем А — А’ = 0, т. е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. В условии теоремы предполагалось, что каждая из функций имеет предел, и доказывалось, что и их сумма также имеет предел. Обратное, вообще говоря, не верно: из существования предела суммы не следует существования пределов слагаемых. Например, имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

тогда как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не существуют, и поэтому здесь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, формулировка * предел суммы равен сумме пределов слагаемых» является нестрогой.

Аналогичное замечание следует иметь в виду для предела произведения и предела частного.

Теорема: Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, то предел произведения при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа равен произведению пределов сомножителей.

Доказательство: 1) Рассмотрим сначала произведение двух сомножителей f(x)g(x), и пусть

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Отсюда получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Из основных теорем о бесконечно малых следует, что у(*)Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0 при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа. Поэтому на основании равенства (5) будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

2) Рассмотрим теперь, например, произведение трех функций f(x) g(x) h(x), имеющих конечные пределы при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа. Используя первую часть доказательства, находим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Действительно, если с есть постоянная функция, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 2. Если функция f(x) имеет предел при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, то предел при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа целой положительной степени ее равен такой же степени предела этой функции, т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения— натуральное число).

Пример:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

ЛЕММА. Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при xПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа. Тогда обратная no величине функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ограничена в некоторой окрестности Ua точки а.

Действительно, положим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. На основании определения предела функции имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

для всех допустимых значений х. Отсюда получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, что и требовалось доказать.

Теорема: Если функция f(x) имеет предел при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа, отличный от нуля, то предел при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа обратной ей по величине функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равен обратной величине предела данной функции, т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Действительно, пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Тогда на основании леммы, учитывая, что произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая, будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Теорема: Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного (дроби) при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа равен частному пределов делимого (числителя дроби) и делителя (знаменателя дроби), т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Тогда, используя теорему о пределе произведения и теорему о пределе обратной величины функции, получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Без доказательства приведем еще одну теорему.

Теорема: Если функция f{x) имеет предел при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — натуральное) существует в точке айв некоторой ее окрестности Ua, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Некоторые признаки существования предела функции

Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, sinx при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения предела не имеет, хотя |sinx| < 1.

Укажем два признака существования предела функции.

Теорема о промежуточной функции. Пусть в некоторой окрестности Ua точки а функция f(x) заключена между двумя функциями Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, имеющими одинаковый предел А при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа (рис. 89), т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Тогда функция f(x) имеет тот же предел:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Из неравенства (1) имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

На основании условия (2) для любого Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует такая окрестность Ua, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому из неравенства (4) получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

т. е. справедливо равенство (3).

Определение: 1) Функция f(x) называется возрастающей (не убывающей) на данном множестве X, если из неравенства Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения вытекает неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (соответственно Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения).

2) Функция f(x) называется убывающей (не возрастающей) на X, если из неравенства Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения следует неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (соответственно Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения).

Возрастающая (не убывающая) или убывающая (не возрастающая) функция называется монотонной на данном множестве X.

Теорема: Пусть функция f(x) монотонна и ограничена при х < а или при х > а. Тогда существует соответственно левый предел

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

или правый предел

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Несмотря на наглядность этой теоремы, доказательство ее не может быть здесь приведено.

Замечание. Аналогичное утверждение верно для а =Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения или для а = +оо.

Следствие. Ограниченная монотонно возрастающая или монотонно убывающая последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет предел.

Пример:

Рассмотрим последовательность периметров Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения правильных n-угольников Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, вписанных в окружность радиуса R и получаемых в результате удвоения числа их сторон.

Легко убедиться, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

т. е. периметр Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения монотонно возрастает вместе с п. В то же время величина Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ограничена, так как периметр каждого вписанного правильного л-угольника никогда не превышает периметра любого описанного многоугольника, в частности, например, периметра описанного квадрата, т. е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения < 8R. Следовательно, существует

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

который принимается за длину окружности.

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге

Теорема: Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: 1) Пусть сначала х > 0; причем так как дуга х стремится к нулю, то можно считать, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

В тригонометрическом круге радиуса R = 1 построим угол Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (рис. 90), и пусть DB — длина перпендикуляра, опущенного из точки В на радиус OA, и АС — отрезок касательной к окружности, проведенной в точке А до точки пересечения ее с продолженным радиусом АВ. Очевидно, имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так как DB = sin х и АС = tg х, то на основании формул элементарной геометрии получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Разделив все члены последнего двойного неравенства на положительную величину sinx, будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения; тогда из наглядных соображений получаем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, из неравенства (4) следует, что функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения заключена между двумя функциями, имеющими общий предел, равный 1. На основании теоремы о промежуточной функции получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

2) Пусть теперь Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения; имеемПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Из формул (5) и (5′) очевидно вытекает равенство (1).

Замечание. Из формул (2) вытекает, что если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда, так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не превосходит 1, при любом х справедливо неравенство

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

причем равенство имеет место лишь при х = 0. Неравенство (6) часто используется для оценки синусов малых дуг.

Действительно, так как в силу (2) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то синус бесконечно малой дуги есть бесконечно малая. Отсюда 1 — cos х =Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Число е

Рассмотрим выражение

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число.

Будем давать п неограниченно возрастающие значения и вычислять соответствующие значения степени Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Получим следующую таблицу;

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Мы видим, что с возрастанием Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения степень Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения изменяется все медленнее и медленнее и, по-видимому, стремится к некоторому пределу, приближенно равному 2,718. Докажем, что это действительно так.

Теорема: Последовательность

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

стремится к конечному пределу, заключенному между 2 и 3.

Доказательство: Пользуясь биномом Ньютона, будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

При Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения > 1 все слагаемые в формуле (1) положительны, причем с возрастанием показателя п увеличивается число слагаемых и каждое соответствующее слагаемое становится больше.

Следовательно, последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения начиная с наименьшего значения, равного 2, растет вместе с показателем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

С другой стороны, очевидно, что каждое слагаемое в правой части формулы (1) увеличится, если все множители знаменателей заменить на двойки, а каждую из скобок заменить единицей. Поэтому

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

В силу известной формулы для суммы геометрической прогрессии имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, члены последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при неограниченном возрастании п постоянно возрастают, оставаясь больше 2, но меньше 3.

Следовательно, на основании следствия к теореме из существует конечный предел этой последовательности, очевидно, принадлежащий отрезку [2, 3]. Этот предел является иррациональным числом и обозначается буквой е. Итак,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Приближенное значение этого числа есть е = 2,7182818284.

Можно доказать, что функция

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Обозначением числа е и его широким применением во многих вопросах математики мы обязаны петербургскому академику JI. Эйлеру.

при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к числу е:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Дадим другое выражение для числа е. Полагая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

С помощью числа е удобно выражать многие пределы.

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Полагая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Показательная функция вида

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где е = 2,71828…, называется экспоненциальной; употребляется также обозначение

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

График функции (2) изображен на рис. 91. Экспоненциальная функция играет важную роль в математическом анализе и его приложениях.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть некоторая химическая реакция протекает так, что в каждый момент времени t скорость образования вещества пропорциональна количеству этого вещества, имеющемуся в наличности в данный момент времени.

Обозначим через Q0 начальное количество этого вещества (т. е. количество вещества в момент времени t = 0). Промежуток времени (0, t) разобьем на п мелких промежутков:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если в течение каждого из этих весьма малых промежутков скорость реакции считать постоянной, то количества вещества в моменты времени

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

соответственно будут равны

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где k — данный коэффициент пропорциональности (закон сложных процентов). Но согласно условию задачи прирост количества вещества происходит непрерывно Поэтому, чтобы получить точную формулу, нужно предположить, что число наших промежутков неограниченно возрастает, а каждый из них стремится к нулю.

Отсюда, считая, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, для количества вещества Q в момент времени t будем иметь такую формулу:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Этот предел легко выразить через число е. В самом деле, введя обозначение Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, получим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Это и есть закон, по которому происходит рост вещества в наших условиях.

Формула вида (3) встречается при изучении многих процессов, как-то: распада радия (здесь k < 0), размножения бактерий и т. п. Отсюда ясно, какую важную роль играет число е в математическом анализе и его приложениях.

Понятие о натуральных логарифмах

Если основание логарифмов равно числу е, то логарифмы называются натуральными или неперовыми и обозначаются так:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

В высшей математике употребляются почти исключительно натуральные логарифмы, так как многие формулы для них, как мы увидим ниже, оказываются более простыми, чем для логарифмов других систем.

Выведем соотношения между натуральным логарифмом числа и логарифмом этого числа при основании Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Пусть мы имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

отсюда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Логарифмируя это равенство при основании е, находим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Эта формула выражает логарифм числа х при основании а через натуральный логарифм этого числа.

Заметим, что, полагая х = е в формуле (1), имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Полагая в формуле (1) а = 10, получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где М =Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения= 0,43429 — модуль перехода (от натуральных логарифмов к десятичным).

По имени шотландского математика Непера — изобретателя логарифмов. Кроме того, в приложениях часто встречаются показательные закономерности вида (3) из предыдущего параграфа; в связи с этим более удобно пользоваться логарифмами при основании е.

Обратно, из формулы (2) находим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Понятие об асимптотических формулах

Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — функции, определенные в окрестности точки а.

Обобщая определение, будем говорить, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

если

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в некоторой окрестности точки а, то из (2) имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Если при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа справедливо равенство

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

по Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называют асимптотическим членом (или асимптотическим выражением) для функции f(x) при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа.

Употребляется запись: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияа. Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то из формулы (4) получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Выясним условия существования для функции /(jc) ненулевого линейного асимптотического члена:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пусть

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — бесконечно малая при х Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, т. е. а(х) = о(1) при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, причем, очевидно, также Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Из (7) будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Переходя к пределу при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в равенстве (8) и учитывая, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Из формулы (7) находим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Обратно, если существуют пределы (9) и (10), из которых хотя бы один ненулевой, то справедливо асимптотическое разложение (7). Действительно, из формулы (10), где k определяется равенством (9), имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда непосредственно вытекает формула (7).

График линейного асимптотического члена у = kx + b называется асимптотой кривой У — f(x) (рис. 92); причем случай k = 0, b = 0 не исключается.

Здесь для точек М(х, у) на кривой и М'(х, Y) на асимптоте Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Построить при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения линейную асимптотическую формулу для функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Используя формулы (9) и (10), имеем:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Таким образом,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если пределы (9) и (10) существуют при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения или при хПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то асимптотическая формула (7) верна при соответствующих условиях. В этом случае график функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет левую асимптоту или соответственно правую асимптоту.

Теория пределов

Предел последовательности

Определение: Если область определения функции представляет собой ряд натуральных чисел, то область Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется естественной.

Определение: Область значений функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения расположенная в порядке возрастания номера Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется последовательностью и обозначается Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Различные последовательности и их развернутое представление: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Число А называется пределом последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если для любого сколь угодно малого положительного числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует такой номер N, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет место неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения или в другой форме записи Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Приведенное в определении неравенство с модулем можно преобразовать к виду Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Выясним геометрический смысл предела А . Если А — предел последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то существует такое число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения начиная с которого все последующие значения последовательности попадают в полосу, ограниченную прямыми Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения каким бы малым не было бы число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Отметим, что уменьшение числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения до значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения приводит к более узкой полосе, внутрь которой попадают члены последовательности, начиная с номера Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (Рис. 55).

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Рис.55. Предел последовательности.

Пример:

Дана последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Доказать, что пределом этой последовательности является число А = 1/2.

Решение:

Возьмем произвольное положительное число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Найдем такое номер Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения чтобы Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполнялось неравенствоПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения или Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то знак модуля можно снять Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Если положить Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения т.е. начиная с номера Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения все члены данной последовательности будут попадать в полосу Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения или окончательно Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел функции

Определение: Окрестностью точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется любой интервал, содержащий эту точку.

Определение: Интервал, симметричный относительно точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется ее Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения-окрестностью.

Определение: Если областью определения функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения есть множество Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то точка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется точкой сгущения, если для любого числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Отметим, что точка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения может и не принадлежать области Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Если функция у = f(x) определена на множестве D(y) с точкой сгущения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то число А называется пределом функции у = f(х) при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если для любого Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения из выполнения неравенства Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения следует выполнение неравенства Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениядля любого положительного числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Обозначение: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: В качестве точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения может выступать и бесконечно удаленная точка.

Пример:

Найти предел функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Перепишем функцию в виде Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и построим ее график при х>0 (Рис. 56) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 56. График функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Из рисунка видно, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенствоПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Следовательно Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения отсюда получаем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Итак, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Из рисунка видно, начиная с некоторого значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения все значения функции f(х) лежат в интервале Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: График функции f(х) может приближаться к своему предельному значению сверху, снизу или колеблясь возле прямой у = A приближаясь к своему предельному значению.

Определение: Функция f(х) называется ограниченной снизу, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Функция f(х) называется ограниченной сверху, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Функция f(х) называется ограниченной, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения такие, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Ограничена ли функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то эта функция ограниченная, причем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти предельное значение функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияроим график заданной функции (Рис. 57):

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Рис. 57. График функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Из рисунка видно, что при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения отношение ограниченной функции (sinx) к возрастающей по модулю функции х стремится к нулю, следовательно, предельное значение заданной функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Односторонние пределы

Определение: Число В_ называется левосторонним пределом функции f(х) при стремлении Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если для любого сколь угодно малого положительного числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует такое Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется правосторонним пределом функции f(х) при стремлении Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если для любого сколь угодно малого положительного числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует такое Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенствоПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти лево- и правосторонние пределы функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

С учетом определения модуля данную функцию можно записать в видеПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Построим график этой функции (Рис. 58):

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 58. График функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Из рисунка видно, что левосторонний предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения а правосторонний предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Вычислить односторонние пределы функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (слева) знаменатель дроби стремится к малой отрицательной величине, следовательно, сама дробь стремится к —Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения При Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (справа) знаменатель дроби стремится к малой положительной величине, следовательно, сама дробь стремится к Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, левосторонний предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения а правосторонний предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти лево- и правосторонние пределы Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (слева) знаменатель дроби, стоящей в показателе степени экспоненты, стремится к малой отрицательной величине, следовательно, сама дробь стремится к — Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Если аргумент показательной функции с основанием большим единицы стремится к Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то сама функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. При Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (справа) знаменатель дроби, стоящей в показателе степени экспоненты, стремится к малой положительной величине, следовательно, сама дробь стремится к Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Если аргумент показательной функции (основание больше единицы) стремится к Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то сама функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Таким образом, левосторонний предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения а правосторонний предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (Рис. 59).

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 59. График функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Единственность предела

Докажем единственность предела для последовательности (аналогичная теорема имеет место и для предела функции).

Теорема: Если последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет предел А , то он единственный.

Доказательство: Предположим, что последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет два предела А и В, причем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения По определению предела существует такое Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенствоПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Кроме того, существует такое Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Другими словами, выполняются неравенства Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Вычтем из второго неравенства первое, получим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Полученное неравенство перепишем в виде Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения В силу того, что разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения может быть сделана сколь угодно малой, то выполняется равенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения что свидетельствует о единственности предела последовательности.

Пределы

Эту главу мы начнем с примеров, показывающих, в каком смысле будут употребляться слова «стремится», «приближается», «равно», «сделался равным» и какая разница в понятиях, выражаемых этими словами.

Пример:

Поезд идет из Голицина в Москву. В этом случае говорят, что поезд приближается к Москве, или что расстояние поезда от Москвы стремится к нулю, или что расстояние приближается к нулю. Если поезд придет в Москву, то расстояние между поездом и Москвой станет равным нулю.

Пример:

Если химически чистая вода нагревается при нормальном атмосферном давлении, то ее температура повышается и по мере нагревания доходит до 100° С. Вода закипает. После этого температура воды при дальнейшем нагревании не меняется. В этом случае мы будем говорить, что по мере нагревания температура воды увеличивается и приближается к 100°. При достижении этой температуры и во время кипения, несмотря на подачу тепла, температура остается постоянной.

Пример:

Возьмем отрезок, лежащий на оси Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и имеющий начало в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(0), а конец в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(1). Пусть точка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выходит из точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и движется все время по направлению к точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и, наконец, приходит в нее. Абсцисса точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при этом все время изменяется. Можно сказать, что абсцисса приближается или стремится к единице, до тех пор пока точка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не придет в точку Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. В тот момент, когда, точка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения придет в точку Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, скажем, что абсцисса Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения сделалась равной единице или абсцисса достигла значения единицы.

Пример:

Резиновый стержень растягивается при помощи приложенной к нему силы. Пока сила не очень велика, стержень, сохраняя целость, будет увеличиваться в длине. Если же сила увеличится до определенной величины, то стержень разорвется. Здесь будем говорить так: под влиянием растягивающей силы длина стержня увеличивается, стремясь к определенной величине, но эта длина не достигается, так как в тот момент, когда эта длина должна быть достигнута, стержень разорвется, т. е. перестанет существовать.

Пример:

Рассмотрим функцию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Будем давать независимому переменному Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения различные значения, например: 10, 100, 1000, 10 000 и т. д., т. е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения—любое целое положительное число. Тогда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения будет принимать следующие значения: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д. Здесь по мере увеличения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения значение Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения будет увеличиваться и при п достаточно большом х может сделаться больше любого числа.

Этот факт будем выражать словами так:

Независимое переменное х неограниченно возрастает.

Так как значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равны Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то при увеличении Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения приближается к нулю, или Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю. В этом случае мы имеем:

При неограниченном возрастании независимого переменного функция стремится к нулю.

Конечно, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения может принимать при возрастании и другие значения, кроме указанных, например: 1, 2, 3, 4, 5, … или 2, 4, 8, 16, 32, …; но функция у при этом все же приближается к нулю.

Пример:

Рассмотрим функцию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю, т. е. значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения могут быть выбраны по абсолютной величине как угодно малыми, тогда и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения будет уменьшаться и приближаться к нулю. Поэтому Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения будет приближаться, или стремиться, к единице.

Все рассмотренные примеры были очень просты, и для их понимания не требовалось почти никаких знаний. Теперь приведем более сложный пример.

Исследование функции sin x/x при значениях независимого переменного, как угодно малых по абсолютной величине

Исследование функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при значениях независимого переменного, как угодно малых по абсолютной величине

Прежде всего напомним некоторые сведения из арифметики:

  • а) Числом, обратным данному, называется число, полученное делением единицы на данное число. Например, число, обратное трем, есть одна треть, число, обратное Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения есть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, число, обратное Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, есть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения .
  • б) Если числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют неравенству Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то числа, им обратные, удовлетворяют неравенству Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.
  • в) При неизменном уменьшаемом та разность больше, в которой вычитаемое меньше.

Теперь перейдем к исследованию функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения . Возьмем окружность единичного радиуса и на ней дугу Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, радианная мера которой равна Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (рис. 42).

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Проведем линию синусовПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, линию тангенсов Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и касательную Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. При этом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения общий и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Из равенства треугольников следует, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, т. е. отрезок Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равен линии тангенсов. Повернем чертеж вокруг линии Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения на 180°, тогда будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

и, следовательно, численно будут выполнены равенства

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так как длина хорды меньше, чем длина дуги, стягиваемой этой хордой, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку длина ломаной линии, описанной около дуги окружности, больше, чем длина этой дуги, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Из неравенства (2) получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, можно сказать, что синус положительного угла всегда меньше своего аргумента. Из неравенства (3) получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Объединяя неравенства (4) и (5), будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

или, деля на Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Вспомнив замечание б), сделанное в начале параграфа, получим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Вычтем из единицы величины 1, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и, вспомнив замечание в), будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Преобразуем это неравенство, введя синус половинного угла:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Применяя неравенство (4), можно записать Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, и, следовательно, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения . Поэтому из неравенства (9) получим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

При помощи полученного неравенства (10) можно сделать следующие выводы: Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения достаточно мало, то иПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения тоже мало. Поэтому при небольших значениях независимого переменного Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения величина разности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, заключенная между нулем и малой величиной Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, сама также мала.

Этому выводу можно придать и такую форму:

Будем говорить еще так: функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю при условии, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю.

Слово «стремится» будем обозначать знаком Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому предыдущее заключение можно записать следующим образом: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при условии, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Надо обратить внимание на то, что при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, равном нулю , дробь Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения теряет смысл, так как деление на нуль невозможно.

Если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к единице, следовательно, вывод из всего сказанного в этом параграфе такой:

Функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к единице при условии, что независимое переменное стремится к нулю:

Определения предела

Определение 1. Число I называется пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, стремящемся к Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, если разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения по абсолютной величине может быть сделана как угодно малой для всех значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, достаточно мало отличающихся от Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Замечание. Часто вместо «предел функции» говорят «предельное значение функции».

Поясним это определение на примере, разобранном в § 2. Здесь функцияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, поэтому Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения; с другой стороны, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения меньше, чем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, которое может быть сделано как угодно малым, если выбрать Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения достаточно малым, т. е. достаточно близким к нулю.

Итак, используя определение, можно сказать, что функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет пределом единицу при условии, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю. Предел обозначается знаком Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, так что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Например,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Это можно сформулировать так:

  • Предел отношения синуса к его аргументу при условии, что аргумент стремится к нулю, равен единице.

Пример:

Покажем, что функцияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет предел, равный 5, при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, стремящемся к 2.

Решение:

Для доказательства рассмотрим разность между числом 5 и выражением Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Преобразуя эту разность, получим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то, взяв Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения достаточно близким к 2, получим, что абсолютная величина разности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения мала, а поэтому и произведение Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениятоже мало.

Таким образом, абсолютная величина разности может быть сделана как угодно малой для всех значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, близких к 2, а это и значит, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Этот пример отличается от разобранного в § 2 следующим. Если вычислим значение функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то получим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, т. е. значение функцииПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равно пределу этой функции при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, стремящемся к 2. В примере было иначе. Там значения функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не существовало, а предел этой функции при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, стремящемся к 0, был равен 1. Это различие выражают словами так: функция может достигать своего предельного значения, и функция может не достигать своего предела.

В случае неограниченного возрастания независимого переменного дается другое определение предела.

Определение 2. Число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при неограниченном возрастании независимого переменного, если разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения может быть сделана как угодно малой, по абсолютной величине для всех достаточно больших значений независимого переменного.

Пример:

Покажем, что предел функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при неограниченном возрастании Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равен 4.

Решение:

Рассмотрим разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и ее абсолютную величину

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если х велико по абсолютной величине, то и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения тоже велико, следовательно, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениямало, поэтому разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения больших будет мала, а это и значит, что предел функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при неограниченном возрастании Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равен 4. Условие «неограниченно возрастает» записывают так: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Результат примера 2 может быть записан следующим образом:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Будем говорить, что независимое переменное неограниченно убывает, если оно, оставаясь отрицательным, неограниченно возрастает по абсолютной величине.

Пример:

Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения принимает значения —10, —100, —1000, —10 000, …, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, …, то оно неограниченно убывает.

Предел функции при неограниченном убывании независимого переменного определяется аналогично определению 2, только вместо слов «для всех достаточно больших значений» ставятся слова «для всех достаточно малых».

При этом слова «достаточно малых» означают, что число отрицательно, а его абсолютная величина велика.

Предел при этом условии записывают так:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Покажем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Рассмотрим разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения , она равна Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, поэтому

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Но если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения отрицательно и велико по абсолютной величине, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения мала по абсолютной величине, а это значит, что 2 есть предел функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, неограниченно убывающем.

Применяя указанные обозначения, свойства показательной функции, можно записать так:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Во всех определениях предела употреблялась абсолютная величина. Это объясняется тем, что функция может приближаться к пределу, оставаясь меньше его, больше его, и, наконец, колеблясь, т. е. становясь то больше, то меньше предела. Чтобы иметь возможность говорить о всех этих случаях сразу и употребляют абсолютную величину.

Свойства пределов

Во всех примерах, которые были приведены выше, мы не находили пределов, а доказывали, что такое-то число является пределом заданной функции при указанных условиях. Естественно возникает вопрос, как найти то число, относительно которого дальше будем доказывать, что оно является пределом заданной функции. Эта задача почти всегда является очень трудной, особенно если исходить из определения предела. Для облегчения этой задачи обычно используют некоторые свойства пределов, к изложению которых мы и переходим. Приводимые свойства будут поясняться на примерах, а доказательства даваться не будет. Доказательства можно найти в более полных курсах, например: Пискунов Н. С., «Дифференциальное и интегральное исчисление» или Тарасов Н. П., «Курс высшей математики».

Свойство 1. Предел суммы определенного числа функций равен сумме пределов каждой из этих функций, т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

В формулировке этого свойства, так же как и в следующих, предполагается, что все пределы вычисляются при одних и тех же условиях.

Пример:

Найдём Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, зная, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то, применяя указанное свойство, получим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. В формулировке свойства 1 говорится о сумме, но поскольку разность всегда можно записать в виде суммы, то свойство 1 распространяется и на разности.

Пример:

Найдем предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то, применяя свойство 1, получим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Свойство 2. Предел функции, сохраняющей, одно и то же значение, равен этому значению.

Это свойство формулируют и иначе: предел постоянного равен этому постоянному.

Пример:

Найдем предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при любых значениях Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равно 1, то здесь имеет место случай, когда функция сохраняет постоянное значение, поэтомуПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найдем предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как 7,5 постоянно и не зависит от Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Свойство 3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.

Пример:

Найдем предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

В примере 1 было показано, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Применяя свойство 3, получаем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Хотя в формулировке свойства 3 говорится только о двух функциях, но этим же свойством можно пользоваться и при большем числе сомножителей.

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Это выражение можно представить как произведение двух сомножителей: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Применяя свойство 3, получим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Применим это же свойство к первому сомножителю, получим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Свойство 4. Предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя при условии, что предел делителя не равен нулю.

Пример:

Найдем предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то по свойству имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если же предел делителя равен нулю, то предел частного может равняться любому числу в зависимости от делимого. Приведем примеры.

Пример:

Рассмотрим пределПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения—целое число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

В этом примере предел делителя равен нулю, так какПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Разберем возможные частные случаи. ЕслиПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что отыскание предела частного двух функций в случае, когда пределы и делителя и делимого одновременно равны нулю, является задачей, наиболее часто встречающейся и теоретически одной из важнейших. Но именно в этом случае свойство 4 не приносит пользы.

Свойство 5 (важное свойство предела). Если точка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения двигается как угодно по оси Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, приближаясь к точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения как к своему пределу и точка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не совпадает с началом координат, то возможны только два случая:

  1. если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет положительную абсциссу, то точка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения с некоторых пор имеет также положительную абсциссу’;
  2. если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет отрицательную абсциссу, то и точка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения с некоторого момента имеет отрицательную абсциссу.

Отсюда:

Если предел не равен нулю, то с некоторых пор знаки предела и допредельной величины совпадают.

Предел lim (1+x) 1/x

Предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим функцию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю, то содержимое скобки приближается к единице. Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не равно нулю, то и скобка не будет равна единице; при этом, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения больше нуля, то скобка больше единицы, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения меньше нуля, то скобка меньше единицы. 1

Рассмотрим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Неясно, чему он будет равняться, так как при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения число, большее единицы, возводится в положительную степень, а при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения число, меньшее единицы, возводится в отрицательную степень. Однако можно показать, что этот предел существует. Это доказывается в подробных курсах. Число, равное этому пределу, обозначается буквой Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, числом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является иррациональным числом, его приближенное значение равно (с точностью до одной тысячной) 2,718. Оно встречается в математике столь же часто, как и число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Оказалось очень удобным взять число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения за основание логарифмов. Логарифмы с основанием е называются натуральными логарифмами. Они обозначаются знаком Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Этими логарифмами пользуются преимущественно в теоретических вопросах.

Пример:

Найдем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

ОбозначивПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, будем иметь, что при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Найдем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Для этого преобразуем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения• Обозначив Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, будем иметь: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Замечание. Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (см. конец § 3).

Непрерывные функции

Как уже отмечалось, при нахождении пределов могут встретиться две возможности:

1) Предел функции равен значению функции при предельном значении независимого переменного, т.е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

2) Предельное значение функции не равнялось значению функции при предельном значении независимого переменного, т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так было в примере, разобранном в § 2, где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не существовало. В связи с этим особо выделяется класс непрерывных функций.

Определение: Функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется непрерывной. во всей области ее существования, если для любого а из области существования имеет место равенство

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Те точки, в которых это условие не выполняется, называются точками разрыва функции.

Для доказательства непрерывности функции нужно показать справедливость равенства Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при любом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения из области существования функции.

Докажем непрерывность некоторых функций. Так, функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения непрерывна, поскольку Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим степенную функцию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения—целое положительное число. Применяя свойство, будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

А это и значит, что степенная функция (с целым и положительным показателем) всюду непрерывна.

Так же легко доказать непрерывность многочлена (применяя свойства 1 и 3 § 5). Конечно, существует бесчисленное множество и других непрерывных функций. Приведем некоторые наиболее часто встречающиеся функции, непрерывные всюду в области своего существования:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Основное свойство непрерывной функции

Пусть функция непрерывна, т. е.Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при любом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения из области существования. По определению предела разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения может быть сделана сколь угодно малой для всех значений Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, достаточно мало отличающихся от Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Иными словами, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю, то и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю. Но Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — приращение независимого переменного,Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — приращение функции. Поэтому сказанное ранее можно сформулировать так: для непрерывной функции приращение независимого переменного и приращение функции одновременно стремятся к нулю. В точках разрыва это не выполняется. На рис. 43 в точке А приращения функции и независимого переменного одновременно стремятся к нулю, в то время как в точке В приращение функции не может сделаться меньше ВС (еслиПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения), хотя приращение независимого переменного может стремиться к нулю.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Во всех последующих главах, если не указано противное, предполагается, что рассматриваемые функции непрерывны. Каждый раз, когда будут встречаться не непрерывные функции, это будет указано. В некоторых случаях, однако, непрерывность функции будет оговариваться специально. Итак, каждый раз, когда встречается слово «функция» без оговорок, ее следует считать непрерывной.

Решение задач на нахождение пределов

При решении задач на отыскание пределов следует помнить некоторые пределы, чтобы каждый раз не вычислять их заново. Комбинируя эти известные пределы, будем находить при помощи свойств, указанных в § 4, новые пределы.

Для удобства приведем наиболее часто встречающиеся пределы:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если известно, что функция непрерывна, то вместо нахождения предела вычисляем значение функции.

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Так как многочлен—функция непрерывная, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Сначала находим предел знаменателя: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения; он не равен нулю, значит, можно применить свойство 4 § 4, тогда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Предел знаменателя равен нулю, поэтому свойство применить нельзя. Так как числитель—постоянное число, а знаменатель Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то вся дробь неограниченно возрастает по абсолютной величине, т. е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Предел знаменателя равен нулю: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, поэтому свойство 4 неприменимо. Но предел числителя тоже равен нулю: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Итак, пределы числителя и знаменателя одновременно равны нулю.

Однако число 2 является корнем и числителя и знаменателя, поэтому дробь можно сократить на разность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (по теореме Безу). В самом деле,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

следовательно,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения целое, положительное).

Решение:

Имеем

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так как каждый множитель неограниченно растет, то и произведение также неограниченно растет, т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения целое, положительное).

Решение:

Имеем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Так как каждый множитель растет по абсолютной величине, оставаясь отрицательным, то в случае четной степени произведение будет неограниченно расти, оставаясь положительным, т. е.Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения четном).

В случае нечетной степени абсолютная величина произведения растет, но оно остается отрицательным, т. е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения нечетном).

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то можно написать: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пришли к примеру 6. Если же Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Здесь числитель остается постоянным, а знаменатель растет по абсолютной величине, поэтому

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Результат этого примера рекомендуется запомнить в следующем виде: Степенная функция растет тем быстрее, чем больше показатель степени.

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

В этом примере и числитель и знаменатель неограниченно возрастают. Разделим и числитель и знаменатель на старшую степень Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, т. е. на Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, тогда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

и

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Совершая преобразования, получим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то предел знаменателя paвен нулю, в то время как предел числителя равен 1. Следовательно, вся дробь неограниченно возрастает, т. е.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Вычислим предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения —функция непрерывная: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Тогда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Положим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Тогда

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно,

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Здесь имеет место отношение синуса к его аргументу при условии, что аргумент стремится к нулю. Обозначив Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениячерез Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, получим

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Введя половинный угол и вспомнив предыдущие примеры, будем иметь

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

НайтиПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Преобразуем это выражение:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найдем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Положим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения; так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения всегда неотрицательно и неограниченно растет вместе с Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения новое переменное Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому получаем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения .

Аналогично Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения неограниченно убывает при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения .

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если для любого сколь угодно малого положительного числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует номер N, что все значения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения которых Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют неравенству Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Записывают это следующим образом: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения которое означает, что точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения т.е. попадают в какую угодно малуюПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть а — предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от а. Точка а может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если для всякой последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения значений аргумента, стремящейся к Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, соответствующие им последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей».

Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если, задав произвольное как угодно малое положительное число Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения можно найти такое Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (зависящее от Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения), что для всех х, лежащих в Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения т.е. для х, удовлетворяющих неравенству 0Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениязначения функции f(x) будут лежать в Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения т.е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Это определение называют определением предела функции по Коши, или Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет предел, равный А, это записывается в виде Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

В том случае, если последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения х к своему пределу а, то будем говорить, что функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет бесконечный предел, и записывать это в виде: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существуют пределы Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Выражения вида Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, кПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 3.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

Используются на практике и следствия формулы (6.11): Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

в частности, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и при этом х > а, то пишут Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Если, в частности, а = 0, то вместо символа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и при этом х<а, то пишут Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Числа Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения необходимо и достаточно, чтобы Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Функция f(x) называется непрерывной в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Условие (6.15) можно переписать в виде: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Областью определения этой функции является множество R, кроме х = 0. Точка х = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не определено, поэтому в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

и непрерывной слева в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Непрерывность функции в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения а во-вторых, чтобы этот предел был равен Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

  1. Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует и не равен Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то говорят, что функция f(x) в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет разрыв первого рода, или скачок.
  2. Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равен Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения или не существует, то говорят, что в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет предел, равный Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения значит, в точке х=0 она имеет разрыв второго рода. Функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (целая часть от х) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется непрерывной в Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа е в задаче о сложных процентах. Число е есть предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма.

Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100% годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден. ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 1,5 = 150, а еще через полгода — в 150 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (ден. ед.).

Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет предел, равный 1.

Решение:

Нам надо доказать, что, какое бы Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Возьмем любое Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то для отыскания N достаточно решить неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и, следовательно, зa N можно принять целую часть от Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения lПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Мы тем самым доказали, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти предел последовательности, заданной общим членом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Преобразуем формулу общего члена: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Дана функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Доказать, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не существует.

Решение:

Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения сходящуюся к 0, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Покажем, что величина Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Выберем теперь в качестве Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения последовательность с общим членом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения также стремящуюся к нулю. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПоэтому Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не существует.

Пример:

Доказать, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не существует.

Решение:

Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — последовательность, для которой Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияКак ведет себя последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при различных Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при всех Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияЕсли же Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения для всех n и следовательно Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не существует.

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Обозначим t = 5х. При Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеем: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Применяя формулу (3.10), получим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Вычислить Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обозначим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияИмеем: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обозначим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Тогда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на х-2, получим при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равенство:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то, по теореме о пределе частного, найдем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

3. Числитель и знаменатель при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и к полученной функции применим теорему о пределе частного: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решеният.е. имеем неопределенность вида Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения получим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Применение пределов в экономических расчетах

Сложные проценты

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время — дискретная переменная. В некоторых случаях — в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Здесь Р — первоначальная сумма, i — ставка процентов (в виде десятичной дроби), S — сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S — Р называются дисконтом. Величину Р, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной, величиной S. Имеем: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь m — число периодов начисления в году, i — годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеем: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки — силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того, чтобы отличить ставки непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, обозначим первую через Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Сила роста Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения представляет собой номинальную ставку процентов при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияМножитель наращения рассчитывается с помощью ЭВМ или по таблицам функции.

Потоки платежей. Финансовая рента

Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом, называется потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой.

Ренты делятся на годовые и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения характеризует число выплат на протяжении года. Это дискретные ренты. В финансово-экономической практике встречаются и с последовательностями платежей, которые производятся так часто, что практически их можно рассматривать как непрерывные. Такие платежи описываются непрерывными рентами.

Пример:

Пусть в конце каждого года в течение четырех лет в банк вносится по 1 млн. рублей, проценты начисляются в конце года, ставка — 5% годовых. В этом случае первый взнос обратится к концу срока ренты в величину Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения так как соответствующая сумма была на счете в течение 3 лет, второй взнос увеличится до Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения так как был на счете 2 года. Последний взнос процентов не приносит. Таким образом, в конце срока ренты взносы с начисленными на них процентами представляют ряд чисел: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Наращенная к концу срока ренты величина будет равна сумме членов этого ряда. Обобщим сказанное, выведем соответствующую формулу для наращенной суммы годовой ренты. Обозначим: S — наращенная сумма ренты, R — размер члена ренты, i — ставка процентов (десятичная дробь), n — срок ренты (число лет). Члены ренты будут приносить проценты в течение n — 1, n — 2,…, 2, 1 и 0 лет, а наращенная величина членов ренты составит Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и первым членом R. Найдем сумму членов прогрессии. Получим: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Обозначим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и будем называть его коэффициентом наращения ренты. Если же проценты начисляются m раз в году, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения где i — номинальная ставка процентов.

ВеличинаПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется коэффициентом приведения ренты. Коэффициент приведения ренты при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее члена: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено — она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией — на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам. Исходя из сущности вечной ренты можно полагать, что ее наращенная сумма равна бесконечно большой величине, что легко доказать по формуле: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Коэффициент приведения для вечной ренты Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения т. е. современная величина зависит только от величины члена ренты и принятой ставки процентов.

Производная, правила и формулы дифференцирования

Пусть функция у = f(x) определена в промежутке X. Производной функции у = f(x) в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то при условии, что функция в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения бесконечную производную.

Производная обозначается символами Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в данной точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения физический смысл — в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если с — постоянное число, и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций <Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения или Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 6) если для функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения существует обратная дифференцируемая функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения причем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим производную степенно-показательного выражения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения суть функции от х, имеющие в данной точке производные Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Прологарифмировав равенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения получим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Итак, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Например, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке х, т.е. имеет в этой точке конечную производную Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения где Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения отсюда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Главная часть приращения функции, линейная относительно Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется дифференциалом функции и обозначается Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Если положить в этой формуле у=х, то получим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения поэтому Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения т. е. символ для обозначения производной Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения можно рассматривать как дробь.

Приращение функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения есть приращение ординаты кривой, а дифференциал Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения есть приращение ординаты касательной.

Пусть мы нашли для функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ее производную Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка — Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения производная четвертого порядка — Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и вообще производная n-го порядка — Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Вычислить производную функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По правилу 3, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти производную сложной функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По правилу дифференцирования сложной функции, получим: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти производную функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Представим функцию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в виде суперпозиции двух функций: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Подставляя Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения вместо Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения получим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти производную функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обозначим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения тогда производная сложной функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и вычисляется по формуле Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти производную функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Вычислить производную Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Дифференцируя обе части последнего равенства, получим: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Предельный анализ в экономике. Эластичность функции

В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называют предельным продуктом; если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения есть функция издержек, т. е. функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выражает зависимость общих затрат от объема продукции х, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называют предельными издержками.

Предельный анализ в экономике — совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений. Например, при выяснении издержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, что издержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, от предполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработку худших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем.

Если зависимость между двумя показателями Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения задана аналитически: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — то средняя величина представляет собой отношение Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения а предельная — производную Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Нахождение производительности труда. Пусть известна функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выражающая количество произведенной продукции и за время работы t.

Вычислим количество произведенной продукции за время Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Производительностью труда рабочего Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в момент Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется предел, к которому стремится Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Издержки производства К однородной продукции есть функция количества продукции х. Поэтому можно записать Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Предположим, что количество продукции увеличивается на Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Количеству продукции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения соответствуют издержки производства Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, приращению количества продукции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения соответствует приращение издержек производства продукции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Среднее приращение издержек производства есть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Это приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции. Предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется предельными издержками производства. Если обозначить через Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выручку от продажи х единиц товара, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и называется предельной выручкой.

С помощью производной можно вычислить приращение функции, соответствующее приращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластичности функции (иногда ее называют относительной производной). Итак, пусть дана функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения для которой существует производная Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Эластичностью функции у = f(x) относительно переменной х называют предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Его обозначают Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Эластичность относительно х есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности.

Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным.

Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей — тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.

Теория пределов

В этой главе изучается операция предельного перехода — основная операция математического анализа. Сначала рассмотрим предел функции натурального аргумента, поскольку все основные результаты теории пределов отчетливо видны в этой простой ситуации. Затем рассмотрим предел в точке функции действительной переменной.

Предел последовательности

Определение 2.1. Функция f :Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Значения f (n), n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое происходит отображение, снабжая символ соответствующим индексом (аргументом функции f): xn = f (n). Элемент xn называется n-м членом последовательности. В связи с этим последовательность часто обозначают символом {xn} или {xn}Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения , а также записывают в виде x1, x2, . . . , xn,…

 В дальнейшем в этой главе будем рассматривать только последовательность f : Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решениядействительных чисел.

Определение 2.2. Любой интервал, содержащий точку a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, называют окрестностью этой точки. Интервал (a — δ, a + δ), δ > 0, называют δ-окрестностью точки а и обозначают Ua(δ) или Va(δ) (или короче: Ua или Va).

Определение 2.3. Число a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называют пределом числовой последовательности {xn}, если для любой окрестности точки a существует номер N ∈ N такой, что все элементы xn последовательности, номера которых больше N, содержатся в Ua . При этом пишут
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

В логической символике определение 2.3 имеет вид: 

a ∈ R. a = lim xn ⇔ ∀Ua ∃N = N (Ua) ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∀n > N xn ∈ Ua.

Поскольку Ua(ε) = (a — ε, a + ε) = {x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : |x — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε}, то часто употребляют следующую равносильную формулировку определения 2.3

Определение 2.4. Число a называют пределом числовой последовательности {xn}, если для любого положительного числа ε найдется номер N = N (ε) такой, что все члены последовательности с номерами n > N удовлетворяют неравенству |xn — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε.

Соответственно, в логической символике это определение имеет вид:

a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, a = lim xn ⇔ ∀ε > 0 ∃N = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(ε) ∈ N : ∀n > N |xn — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε

Замечание. Первые члены последовательности не влияют на существование и величину предела в случае его существования.

Иногда полезна следующая геометрическая интерпретация определения 2.3 предела последовательности:
Число a называется пределом последовательности {xn}, если вне любой окрестности точки a находится не более конечного числа членов последовательности {xn}.
Ясно, что если вне некоторой окрестности точки a находится бесконечное число членов {xn}, то a не является пределом {xn}.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.1. Если {xn} : xn = c, то lim xn = c, так как все члены последовательности, начиная с первого, принадлежат любой окрестности точки c.

Пример 2.2. Покажем, что последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения , имеет предел и lim xn = 0.

Зафиксируем ε > 0. Так как

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения для Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то, полагая N = max{1, [1∕ε]}, получим:
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Следовательно, ∀ε > 0 ∃N = max{1, [1∕ε]} ∈ N : ∀n > N |xn| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε.

Замечание. Одновременно мы доказали, чтоПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пример 2.3. Покажем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, если q > 1.

Поскольку q > 1, то q = 1 +α, где α > 0. Поэтому ∀n > 1 по формуле бинома НьютонаПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда следует, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, ∀n > 1. Зафиксируем ε > 0, положим N = max{1, [1∕αε]} и получим, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Итак, ∀ε > 0 ∃N = max{1, [1∕εα]} ∈ N : ∀n > N |1/qn| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε.

Пример 2.4. Покажем, что последовательность {xn} : xn = (-1)n, не имеет предела.

Для любого числа a укажем такую окрестность, вне которой расположено бесконечное множество членов данной последовательности. Для этого зафиксируем точку a ∈ R и рассмотрим ee единичную окрестность Ua(1) = (a- 1, a+ 1). Поскольку x2k = 1, x2k+1 = -1, ∀k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, и хотя бы одно из чисел +1 или -1 не принадлежит Ua(1), то вне Ua(1) находится бесконечное множество членов последовательности {xn}. Следовательно, число a не является её пределом. В силу произвольности числа a заключаем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения lim xn. 

Определение 2.5. Числовая последовательность, пределом которой является число, называется сходящейся. Все остальные последовательности называются расходящимися.

В логической символике определение 2.5 имеет вид:
{xn} сходится ⇔ ∃ a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : lim xn = a.
{xn} расходится ⇔ ∀a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ∃ ε > 0 : ∀N ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ∃ n > N : |xn — a| ≥ ε.

Последовательности {c}, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, если q > 1, являются сходящимися, а последовательность {(-1)n} — расходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 2.1. Последовательность не может иметь двух разных пределов.

Пусть числовая последовательность {xn} имеет два различных предела a и b. Для определенности будем считать, что a Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения b. Положим ε =Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.
По определению 2.4 предела последовательности найдем N1 и N2 такие, что |xn-a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, ∀ n > N1 , то есть ∀n > N1
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

и |xn — b| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияε =Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, ∀n > N2 , то есть ∀n > N2
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Тогда ∀n > N = max{N1 , N2Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, чего быть не может. 

Определение 2.6. Числовая последовательность {Xn} называется ограниченной сверху (соответственно, снизу или ограниченной), если множество X = {Xn | n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения} является ограниченным сверху (снизу или ограниченным). Если X — неограниченное множество, то {Xn} называется неограниченной последовательностью.

C учетом определений 2.1 и 2.2 имеем:
{Xn} ограничена сверху ⇔ ∃ M ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Xn ≤ M,
{Xn} ограничена снизу ⇔ ∃ M ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Xn ≥ M,
{Xn} ограничена ⇔ ∃ M > 0 : ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения |Xn| ≤ M,
{Xn} не ограничена ⇔ ∀M > 0 ∃n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : |Xn| > M.

Теорема 2.2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Пусть последовательность {Xn} сходится и lim Xn = d. Полагая в определении 2.4 ε = 1, найдем номер N такой, что |Xn — d| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 1,∀n > N, то есть d- 1 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения d + 1, ∀ n > N . Введем обозначения:

a = min{х1, х2, . . . , хN, d — 1}, b = max{х1, х2, . . . , хN, d + 1}.

Тогда a ≤ Xn ≤ b, ∀ n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Замечание. Ограниченность последовательности — необходимое, но недостаточное условие сходимости (см.пример 4).

Теорема 2.3. Если последовательность {Xn} сходится и lim Xn = a, то последовательность {|Xn|} сходится и lim |Xn| = |a|.

Так как a = limхn, то ∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∀n > N |хn — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε. Отсюда следует, что ∀n > N ||хn| — |a|| ≤ |хn — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε.

Замечание 1. Из теоремы 2.3 и примера 3 следует, что при |q| > 1

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.
Замечание 2. Обратное утверждение к теореме 2.3 не имеет места.

Теорема 2.4. Если последовательности {хn} и {yn} сходятся и при этом хn ≤ yn, ∀n > n0, то lim хn ≤ lim yn.

Пусть lim xn = a, lim yn = b и a > b. По определению 2.4 предела последовательности по числу ε =Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения    найдется номер N такой, что ∀ n > N

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, ∀ n > max{n0, N} yn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения xn, что противоречит условию.

Замечание. Если последовательности {xn}, {yn} сходятся и для всех n > n0 xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения yn, то можно утверждать лишь, что lim xn ≤ lim yn . Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть последовательности xn = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и yn = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения .

Непосредственно из определения 2.4 следуют и такие результаты.

Теорема 2.5. Если последовательность {xn} сходится и lim xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения b (b ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения), то ∃ N ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения b, ∀n > N .

Следствие. Если последовательность {xn} сходится и lim xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0, то ∃ N ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : sgn xn = sgn(lim xn), ∀n > N.

Теорема 2.6. Пусть последовательности {xn}, {yn}, {zn} удовлетворяют условиям:
1)    xn ≤ yn ≤ zn , ∀n > n0 ,
2)    последовательности {xn} и {zn} сходятся и lim xn = lim zn = a.

Тогда последовательность {yn} сходится и lim yn = a.

Бесконечно малые последовательности

Определение 2.7. Числовая последовательность {xn} называется бесконечно малой (коротко б.м.), если она сходится и lim xn = 0.

Согласно определению 2.4 предела числовой последовательности, определение 2.7 эквивалентно следующему:

Определение 2.8. Числовая последовательность {xn} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε найдется номер N = N(ε) такой, что при всех n > N элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству |xn | Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε.

Итак, {xn} — б.м. ⇔ ∀ε > 0 ∃ N = N(ε) : ∀n > N |xn| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε.

Из примеров 2, 3 и замечания 1 к теореме 2.3 получаем, что последовательности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, являются бесконечно малыми.

Свойства бесконечно малых последовательностей описываются следующими теоремами.

Теорема 2.7. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 

Пусть последовательности {xn}, {yn} — бесконечно малые. Покажем, что таковой будет и {xn + yn}. Зададим ε > 0. Тогда найдется номер N1 = N1 (ε) такой, что 

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения,    (2.1) 

и найдется номер N2 = N2 (ε) такой, что 

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Обозначим через N = max{N1 , N2}. При n > N будут справедливы неравенства (2.1) и (2.2) . Поэтому при n > N

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Это означает, что последовательность {xn + yn} — бесконечно малая.
Утверждение о сумме конечного числа бесконечно малых последовательностей следует из доказанного по индукции.

Теорема 2.8. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой.

Пусть {xn} — ограниченная и {yn} — бесконечно малая последовательности. По определению 2.6 ограниченной последовательности найдется число M > 0 такое, что 

|xn| ≤ M, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.    (2.3)

Зафиксируем произвольное число ε > 0. Так как {yn} — бесконечно малая последовательность, то найдется номер N=    N(ε) такой, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Из (2.3) и (2.4) получаем, что ∀n > N

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому последовательность {xn ∙ yn} является бесконечно малой. 

Следствие 1. Произведение бесконечно малой последовательности на сходящуюся есть бесконечно малая последовательность. 

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Пользуясь бесконечно малыми последовательностями, на определение сходящейся последовательности можно посмотреть по-другому.

Лемма 2.1. Для того чтобы число a являлось пределом числовой последовательности {xn}, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление xn = a + αn, ∀ n ∈ N, в котором {αn} — бесконечно малая последовательность.

Необходимость. Пусть lim xn = a и a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Тогда

∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∀n > N |xn — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε.

Если положить αn = xn — a, n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то получим, что {αn} — бесконечно малая последовательность и xn = a + αn , ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Достаточность. Пусть последовательность {xn} такова, что существует число a, для которого xn = a + αn , n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, и lim αn = 0. Зафиксируем произвольное положительное число ε. Так как lim αn = 0, то найдется номер N = N (ε) ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения такой, что ∣αnПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε, ∀n > N. Или (в других обозначениях) ∀n > N ∣xn — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε. Это означает, что lim xn = a.

Применим лемму 2.1 к одному важному частному примеру.

Лемма 2.2. lim Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 1. 

Так как для всех n > 1 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения > 1, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 1 + αn, причем αn > 0 для всех n > 1. ПоэтомуПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.  Поскольку все слагаемые положительны, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Пусть ε > 0. Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения для всех n > 2∕ε2, то, полагая N = max{1, [2∕ε2]}, получим, что 0 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения αn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε, ∀n > N. Следовательно, последовательность {αn} является бесконечно малой и, согласно лемме 2.1, lim Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 1.

Следствие. Если а > 1, то lim Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 1.

Утверждение следует из неравенств 1 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения , ∀n > [а].

Арифметические операции с последовательностями

Пользуясь леммой 2.1 и свойствами бесконечно малых последовательностей, легко получить теоремы о пределах последовательностей, получаемых с помощью арифметических операций из сходящихся последовательностей.

Теорема 2.9. Пусть числовые последовательности {xn} и {yn} сходятся. Тогда имеют место утверждения:
1)    последовательность {xn ± yn} сходится и
lim(xn ± yn) = lim xn ± lim yn;

2)    последовательность {xn ∙ yn} сходится и
lim(xn ∙ yn) = lim хn ∙ lim yn;

3)    если lim ynПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0, то отношение xn/yn определено, начиная с некоторого номера, последовательность {xn} сходится и
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Докажем только утверждения 2) и 3). Пусть lim xn = a, lim yn = b. По лемме 2.1 xn = a + αn, yn = b + βn, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, где {αn}, {βn} — бесконечно малые. Тогда 

xn ∙ yn =  a ∙ b + (a ∙ ∕βn + b ∙ αn + αn ∙ βn) . (2.5)

По теореме 2.8 и следствию 1 последовательности {a∙βn}, {b∙αn}, {αn∙βn} являются бесконечно малыми. По теореме 2.7 последовательность {aβn+bαnnβn} бесконечно мала. Из представления (2.5) по лемме 2.1 и следует утверждение 2).

Обратимся к утверждению 3). По условию lim yn = b Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0. В силу теоремы 2.3. последовательность {|yn|} сходится и lim |yn| = |b| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0. Поэтому по числу ε = |b|/2 найдется номер N такой, что ∀n > N
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Следовательно, yn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0, и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, ∀n > N.

Таким образом, частное xn/yn определено для всех n > N, а последовательность {1/yn} ограничена. Рассмотрим для всех n > N разность
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Последовательность {αnb — aβn} — бесконечно малая, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияи Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — ограниченные. По теореме 2.8 последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — бесконечно малая.  Поэтому, в силу леммы 2.1, утверждение 3) доказано.

Следствие 1. Если последовательность {xn} сходится, то для любого числа c последовательность {c ∙ xn} сходится и lim(cxn) = c ∙ lim xn.

Следствие 2. Если a > 0, то lim Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 1.

Следствие 3. Для любого a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ∃ lim Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 1

 Так как 1 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения n + a Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 2n для n > N = [|a|] + 2, то 1 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения  Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.
Отсюда с учетом теорем 2.9 и 2.6 получаем нужное.

Бесконечно большие последовательности 

Определение 2.9. Числовая последовательность {xn} называется бесконечно большой (коротко б.б.), если для любого положительного числа ε найдется номер N = N (ε) такой, что все члены последовательности с номерами n > N удовлетворяют неравенству |xn | > ε. Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), то последовательность называется положительной (отрицательной) бесконечно большой.

Для формализации записи бесконечно большой последовательности традиционно используют одно из следующих обозначений
lim xn = ∞, lim xn = +∞, lim xn = -∞, которые в символьной записи можно представить так:
lim xn = ∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∀n > N |xn| > ε.
lim xn = +∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃ N = N (ε) ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∀n > N xn > ε.
lim xn = -∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃ N = N (ε) ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∀n > N xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения -ε.

Прежде всего, отметим связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Теорема 2.10. Если последовательность {xn} является бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера, определено отношение 1/xn и последовательность {1/xn} является бесконечно малой. Если все члены бесконечно малой последовательности {xn} отличны от нуля, то последовательность {1/xn} является бесконечно большой.

Докажем, например, первую часть утверждения. Пусть {xn} — бесконечно большая последовательность. По определению 2.9 лишь конечное число её членов может быть равно нулю. Поэтому существует n0Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения такое, что для всех n > n0 xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0 и отношение 1/xn определено. Поскольку первые члены  последовательности не влияют на существование и величину предела, будем считать, что xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Зафиксируем произвольное число ε > 0. По определению 2.9 бесконечно большой последовательности найдётся такое N = N(ε) ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, что |xn| > 1∕ε, ∀ n > N. Следовательно, |1/xn| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε, ∀n > N.

Замечание. Легко показать, что последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является бесконечно малой. Однако последовательность обратных величин в этом случае не определена.
Из теоремы 2.10, примера 3 и замечания 1 к теореме 2.3 следует

Лемма 2.3. Последовательность qn, где |q| > 1, является бесконечно большой. Если q > 1 последовательность {qn} является положительной бесконечно большой.

Выясним связь между бесконечно большими и неограниченными последовательностями. Непосредственно из определений 2.9 и 2.6 следует

Теорема 2.11. Бесконечно большая последовательность не ограничена. 

Замечание. Неограниченность последовательности — необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы она была бесконечно большой. Подтверждением этого является следующий пример.

Пример 2.5. Пусть {xn} : xn = n(-1)n . Изучим последовательности, со ставленные из элементов данной последовательности с четными и нечетными номерами, то есть {2n} и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Первая из них является бесконечно большой, а значит неограниченной вместе с рассматриваемой последовательностью.
Вторая последовательность является бесконечно малой. Поэтому для любого ε > 1 все элементы последовательности c нечетными номерами, не удовлетворяют неравенству |xn | > ε и потому исходная последовательность не является бесконечно большой. 

Теорема 2.12. Сумма бесконечно большой последовательности и ограниченной последовательности является бесконечно большой последовательностью.

Пусть {xn} — ограниченная последовательность, {yn} — бесконечно большая. Тогда ∃M > 0 : |xn| ≤ M, ∀ n > 1 и

∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∀n > N |yn| > ε+M.

Поэтому |xn + yn | ≥ |yn | — |xn | ≥ |yn | — M > (ε + M) — M = ε, ∀n > N.

Немного изменяя доказательство, теорему 2.12 можно уточнить.

Теорема 2.13. Сумма ограниченной и положительной (отрицательной) бесконечно большой и последовательностей есть положительная (отрицательная) бесконечно большая последовательность.

Теорема 2.14. Сумма двух бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая того же знака.

Пусть последовательности {xn} и {yn} — бесконечно большие одного знака. Тогда ∃n0Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∀n > n0 |xn + yn| = |xn| + |yn|. Но, в силу определения 2.9, по любому числу ε > 0 найдётся номер N > n0 такой, что

|xn| > ε и |yn| > ε, ∀r > N.

Тогда |xn + yn| = |xn| + |yn| > Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения + Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = ε, ∀n > n ,и поэтому последовательность {xn+yn} является бесконечно большой. Но при n > N0 sgn(xn+yn) = sgn(xn) = sgn(yn). Таким образом, последовательность {xn + yn} — бесконечно большая того же знака, что и последовательности {xn}, {yn}.

Замечание. Если последовательности {xn}, {yn} являются бесконечно большими разных знаков, то о поведении последовательности {xn + yn} ничего определённого сказать нельзя. Для иллюстрации последнего высказывания достаточно рассмотреть, например, последовательности
xn = n, yn = -n + (-1)n или yn = -n + a, где a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Определение 2.10. Числовая последовательность {xn} называется отграниченной от нуля, если существует число m > 0 и номер n0 такие, что |xn | ≥ m, ∀n > n0 .

В логической символике определение 2.10 записывается в виде:

{xn} отграничена от 0 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ∃ m > 0 ∃ n0Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∣xn∣ ≥ m, ∀ n > n0.

Лемма 2.4. Если числовая последовательность {xn} — сходящаяся, причём lim |xn | 6= 0, или является бесконечно большой, то она отграничена от нуля.

Пусть lim |xn| =, a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, a Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0. Тогда по числу ε = |a|/2 найдётся номер N = N(ε) ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения такой, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Выполнение левого неравенства означает нужное. Вторая часть леммы следует из определения 2.9 бесконечно большой последовательности.

Теорема 2.15. Произведение бесконечно большой последовательности и отграниченной от нуля есть бесконечно большая последовательность.

Пусть {xn} — отграниченная от нуля последовательность, а {yn} — бесконечно большая. Тогда для первой — ∃ m > 0 ∃n0Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : |xn| ≥ m, ∀n > n0, а для второй — ∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : N > n0 и ∣yn∣ > ε∕m, ∀n > N Следовательно, ∀n > N

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание 1. Не зная законов изменения бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей, ничего определенного о поведении их произведения сказать нельзя. В этом случае говорят, что имеет место неопределенность ∞ • 0.

Замечание 2. Отношение двух бесконечно малых (больших) последовательностей представляет неопределённость вида 0/0 (соответственно ∞∕∞).

Определение предела в Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определение 2.11. Пусть ε — некоторое положительное число. ε-окрестностью символа +∞ назовём интервал

(ε, +∞) = {x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения | x > ε}

и обозначим его U+∞ (ε) или U+∞. Аналогично, ε-окрестностью символа -∞ назовём интервал

(-∞, -ε) = {x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения | x Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения -ε}

и обозначим его U-∞(ε) или U-∞. Множество {x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : |x| > ε} назовём ε-окрестностью символа ∞ и обозначим его U∞.

Определение 2.12. Пусть a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Говорят, что точка а является пределом последовательности {xn}, если для любой ε-окрестности Ua точки а найдётся номер N = N (Ua) такой, что все члены xn последовательности с номерами n > N принадлежат окрестности Ua .При этом пишут lim xn = a или xn → a при n → ∞.

Лемма 2.5. Если последовательности {xn} и {yn} имеют пределы в R и xn ≤ yn, ∀n > N0, то lim xn ≤ lim yn.

Пусть lim xn = a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, lim yn = b ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Если a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и b ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, это утверждение леммы совпадает с теоремой 2.4 о переходе к пределу в неравенстве для сходящихся последовательностей.

Если a = -∞, b ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, или a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, b = +∞, неравенство a ≤ b очевидно.
Если a = +∞, то ∀ε > 0 ∃N = N (ε) > N0 : xn > ε, ∀n > N. Но xn ≤ yn, ∀ n > N0, поэтому yn ≥ xn > ε, ∀n > N . Следовательно, последовательность {yn} является положительной бесконечно большой и a = b = +∞. Аналогично показывается, что если b = -∞, то a = -∞.

Учитывая определения 2.9 и 2.12, можно сказать, что бесконечно большая последовательность имеет предел в R и он равен одному из бесконечных символов ∞, -∞, +∞.

Далее, говоря о сходящихся последовательностях, мы будем иметь в виду последовательности, имеющие конечный предел, а выражение «последовательность стремится к . . . » или «имеет предел, равный . . . » будем использовать и тогда, когда будем иметь дело и с бесконечно большими последовательностями.

Подпоследовательности и их свойства

Определение 2.13. Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения— последовательность, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения— возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется подпоследовательностью последовательности {xn}.

Из определения следует, что подпоследовательность есть суперпозиция последовательностей {xn} и {nk}.

Замечание. Если {nk} — возрастающая последовательность натуральных чисел, то она является положительной бесконечно большой. Действительно, n1 ≥ 1; n2 > n1 ≥ 1, поэтому n2 ≥ 2; n3 > n2 ≥ 2, поэтому n3 ≥ 3. Методом математической индукции можно показать, что nk ≥ k, ∀ k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда по лемме 2.5 получаем нужное.

Рассмотрим последовательности {xn}, {2k} и 4, 2, 6, 8, 10,      Последовательность {2k} — подпоследовательность последовательности {n} (здесь nk = 2k, k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения), а последовательность 4,2,8,10,. . . не является подпоследовательностью последовательности {n}, хотя последовательности {2k}Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и 4, 2, 6, 8, 10, . . . состоят из одних и тех же чисел. Последовательность {xn+n0 } является подпоследовательностью последовательности {xn}, если n0 ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Сама последовательность {xn} может рассматриваться как подпоследовательность самой себя (при этом nk = k, k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения).

Теорема 2.16. Если точка a ∈ R является пределом последовательности {xn}, то любая подпоследовательность последовательности {xn} имеем предел и он равен a.

Пусть {xnk } — подпоследовательность последовательности {xn}. Зафиксируем некоторую окрестность Ua точки a. По определению 2.12 найдётся номер N = N(Ua) такой, что xn ∈ Ua, ∀n > N. Но lim nk = +∞. Поэтому существует номер k0 такой, что nk > N, ∀ k > k0. Следовательно, xnk ∈ Ua, ∀ k > k0 и lim xnk = a. 

Следствие. Если две подпоследовательности одной последовательности {xn } имеют не совпадающие пределы, и хотя бы один из двух пределов — число, то последовательность {xn} предела не имеет.
Если бы последовательность {xn} имела предел, то тот же предел имели бы и все её подпоследовательности, но это противоречит условию теоремы.

Определение 2.14. Последовательность множеств Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется системой вложенных множеств, если Xk ⊃ Xk+1 , ∀ k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Очевидно, что последовательность отрезков Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является системой вложенных отрезков, если выполнены условия:
1)    an ≤ bm , ∀ n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, ∀ m ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.
2)    {an} — неубывающая последовательность.
3)    {bn} — невозрастающая последовательность.

Лемма 2.6 (o вложенных отрезках). Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения— система вложенных отрезков и последовательность {bn — an} длин отрезков системы является бесконечно малой, тогда существуют единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам, и lim an = lim bn = c.

Поскольку Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения— система вложенных отрезков, то для числовых множеств A = {an | n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения}, B = { bn | n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения } выполнены условия аксиомы полноты множества Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. В силу этого найдётся число c ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения такое, что ∀ an ∈ A, ∀ bm ∈ B выполнены неравенства an ≤ c ≤ bm. В частности, 

an ≤ c ≤ bn, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения,

то есть существует точка c, принадлежащая всем отрезкам системы.

Докажем её единственность. Пусть c и c1 — две точки, принадлежащие отрезкам [an, bn], ∀ n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Тогда
0 ≤ |c — c1| ≤ bn — an, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.    (2.6)

По условию леммы bn — an → 0 при n → ∞. Применяя к (2.6) теоремы 2.1, 2.6 получим, что c = c1. Аналогично, поскольку 0 ≤ c — an ≤ bn — an и 0 ≤ bn — c ≤ bn — an, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то ∃ lim an = lim bn = c.

Замечание. Доказанную лемму o вложенных отрезках (часто её называют принципом Коши-Кантора) можно взять в качестве аксиомы полноты при аксиоматическом введении множества Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения действительных чисел.

Теорема 2.17 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Пусть последовательность {xn} ограничена, то есть существует такой отрезок [a, b], что a ≤ xn ≤ b для всех n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Разделим отрезок [a, b] пополам. По крайней мере, один из получившихся отрезков содержит бесконечное множество элементов последовательности {xn}. Обозначим его через [a1 , b1] и зафиксируем произвольный элемент xn1 ∈ [a1, b1].

Разделим отрезок [a1 , b1] пополам. Снова один из получившихся отрезков содержит бесконечное множество элементов последовательности {xn}. Обозначим его через [a2, b2]. В силу того, что на отрезке [a2, b2] бесконечно много членов последовательности {xn}, фиксируем такой член xn2 , что xn2 ∈ [a2, b2] и n2 > n1 . Продолжая этот процесс, получим систему вложенных отрезков
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, длины которыхПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, образуют бесконечно малую последовательность, и такую последовательность {xnk }, что ak ≤ xnk ≤ bи nk+1 > nk, ∀ k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому {xnk} является подпоследовательностью последовательности {xn}.

Система вложенных отрезков Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяет условиям леммы 2.6.  Поэтому существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам системы, lim ak = lim bk = c, а в силу теоремы 2.6 последовательность {xnk} сходится и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = c.

Аналогом теоремы Больцано-Вейерштрасса для неограниченных последовательностей является следующее утверждение. 

Лемма 2.7. Из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность: положительную, если последовательность не ограничена сверху, отрицательную, если последовательность не ограничена снизу. 

Прежде всего заметим, что если у неограниченной сверху (снизу) последовательности отбросить конечное число первых её элементов, то получится неограниченная сверху (снизу) последовательность.

Пусть последовательность {xn} не ограничена сверху. Тогда найдётся такой элемент xn1 этой последовательности, что xn1 > 1. Учитывая, что последовательность xn1+1, xn1+2, … не ограничена сверху, в ней найдётся элемент xn2 , удовлетворяющий неравенству xn2 > 2, при этом n2 > n1 . Продолжая эти рассуждения далее, получим такую подпоследовательность {xnk } последовательности {xn}, что xnk > k, ∀k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Очевидно, что {xnk } является положительной бесконечно большой последовательностью.

Из теоремы Больцано-Вейерштрасса и леммы 2.7 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.18 (обобщённая теорема Больцано-Вейерштрасса). Из произвольной последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую предел в Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Критерий Коши 

При изучении вопроса сходимости конкретной последовательности {xn} с помощью определения сходящейся последовательности приходится изучать величину |xn — a|. В этом разделе устанавливается критерий сходимости последовательности, который позволяет сделать заключение о её сходимости по величинам |xn — xm |, n, m ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Определение 2.15. Числовая последовательность {xn} называется фундаментальной, если для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что все элементы последовательности с номерами n > N, m > N удовлетворяют условию |xn — xm | Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε.

Условие фундаментальности последовательности {xn} часто называют условием Коши.

Определение 2.15 равносильно следующему определению.

Определение 2.16. Числовая последовательность {xn} называется фундаментальной, если
∀ε > 0∃N = N(ε) : ∀n > N∀p ∈ N |xn+p — xn| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε.

Лемма 2.8. Фундаментальная последовательность ограничена.

Пусть {xn} — фундаментальная последовательность. По определению 2.16 для любого ε > 0 и, в частности, для ε = 1, найдётся номер N такой, что для всех n > N и любого p ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения |xn+p — xn| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 1. Пусть n0Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, n0 > N. Тогда для любого p ∈ N справедливы неравенства

xn0 — 1 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения xn0+pПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения xn0 + 1.

Положим M = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn0-1|, |xn0 — 1|, |xn0 + 1|}, тогда |xn| ≤ M для всех n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Замечание. Ограниченность числовой последовательности является необходимым, но не достаточным условием фундаментальности. Для подтверждения этого высказывания рассмотрим ограниченную последовательность чисел xn = (-1)n. Так как |xn+1 — xn| = 2, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то последовательность {xn} не является фундаментальной.

Теорема 2.19 (критерий Коши сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость. Пусть последовательность {xn} сходится и lim xn = a. Зафиксируем число ε > 0. По определению 2.4 предела числовой последовательности
∃N = N(ε) : |xn — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε, ∀n > N.

Поэтому для всех n > N и m > N
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

а это означает фундаментальность последовательности {xn}.

Достаточность. Пусть последовательность {xn} фундаментальна. Согласно лемме 2.8 она ограничена и по теореме 2.17 из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность {xnk }. Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = a. Покажем, что и сама последовательность сходится, причём lim xn = a.

Зададим произвольное ε > 0. По определению предела последовательности найдём такое k0 = k0(ε), что ∀k > k0 ∣xnk — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε∕2.

По условию Коши найдётся номер N = N(ε) такой, что для всех n > N и m > N выполняется неравенство |xn — xm| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε∕2.

Поскольку последовательность натуральных чисел {nk} — бесконечно большая, то существует k > k0 такое, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения > N, ∀ k > ek, поэтому ∀ n > N
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, последовательность {xn} сходится и lim xn = a.

Пример 2.6. Покажем, что последовательность xn =Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не является фундаментальной.
Отрицание утверждения о том, что последовательность {xn} фундаментальна, выглядит так:
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (2.7)
Для всех n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения |x2n-xn| =Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.  Поэтому, полагая ε0 = 1/2, p = n, получим (2.7).

Частичные пределы последовательности

Определение 2.17. Точка a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется частичным пределом последовательности {xn}, если существует такая подпоследовательность {xnk}, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = a.

Определение 2.18. Точка a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется частичным пределом последовательности {xn}, если в любой её ε—окрестности содержится бесконечное число членов последовательности {xn}.

Лемма 2.9. Определения 2.17 и 2.18 эквивалентны.

1.    Пусть существует такая подпоследовательность {xnk } последовательности {xn}, чтоПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения xnk = a. По определению предела последовательности в любой окрестности точки a находятся все члены подпоследовательности, начиная с некоторого, то есть бесконечное число членов последовательности {xn}.

2.    Пусть в любой ε-окрестности точки a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения содержится бесконечное число членов последовательности {xn}. Для определённости будем считать, что a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Рассмотрим систему ε-окрестностей точки a, для которых ε = 1/k,k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. В окрестности Ua(1) зафиксируем произвольный элемент последовательности; обозначим его через xn1 . В окрестности Ua(1/2) выберем элемент xn2 , номер которого удовлетворяет условию n2 > n1 . В окрестности Ua(1/3) выберем элемент xn3 такой, что n3 > n2 . Продолжая этот процесс, получим подпоследовательность {xnk } последовательности {xn}, которая сходится к a, поскольку |xnk — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 1/k, ∀ k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если a = +∞ или a = -∞, то следует рассмотреть систему окрестностей Ua(k), k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Лемма 2.10. Если lim xn = a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то a — единственный частичный предел последовательности {xn}.

Так как lim xn = a, то по теореме 2.16 любая её подпоследовательность {xnk } имеет предел и lim xnk = a. Следовательно, точка a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является единственным частичным пределом последовательности {xn}

Замечание. Можно доказать, что если a — единственный частичный предел последовательности {xn}, то lim xn = a.

Из обобщённой теоремы Больцано-Вейерштрасса 2.18 следует

Теорема 2.20. Любая числовая последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

Обозначим через P ({xn}) множество частичных пределов числовой последовательности {xn}.

Пример 2.7. Приведём пример последовательности {xn}, для которой 

P({xn})={1;2;3}.

Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то для последовательности {xn} :

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

P ({xn }) ⊃ {1; 2; 3}. Покажем, что других частичных пределов эта последовательность не имеет. Зафиксируем точку a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения {1; 2; 3}. По аксиоме полноты множества Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения найдётся такое ε > 0, что окрестности U1 (ε), U2(ε), U3(ε), Ua(ε) по парно не пересекаются. По определению предела числовой последовательности в множестве Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения {U1(ε) ∪ U2(ε) ∪ U3(ε)} находится не более конечного числа элементов последовательности {xn} (последовательности {x3k}, {x3k-1}, {x3k-2} «исчерпывают»последовательность {xn}). Следовательно, в окрестности Ua(ε) содержится не более конечного числа элементов xn , а поэтому точка a не является частичным пределом последовательности {xn}. Последнее означает, что P({xn}) = {1; 2; 3}.

Теорема 2.21. Для любой последовательности {xn} множество P({xn}) имеет в Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения максимальный и минимальный элементы.

По теореме 2.20 множество P({xn}) не пусто. По теореме 1.4 существования точных границ sup P({xn}) ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и inf P({xn}) ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Если множество P({xn}) состоит из конечного числа элементов, то сравнивая их найдём максимальный и минимальный элементы. В этом частном случае утверждение доказано.

Пусть множество P ({xn}) состоит из бесконечного числа элементов и, напри­мер, sup P ({xn}) = A. Докажем, что A — максимальный элемент множества P ({xn}), то есть A ∈ P ({xn}). Заметим, что A ∈ (-∞, +∞], поскольку, если A = -∞, то P ({xn}) = {-∞}, и P ({xn}) состоит из одного элемента.

Пусть A ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. По определению точной верхней границы

p ≤ A, ∀p ∈ P({xn}), и ∀ ε > 0 ∃Pε ∈ P({xn}) : Pε > A —Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

По определению 2.18 частичного предела последовательности в окрестности Upε (ε∕2) точки pε содержится бесконечное число членов последовательности {xn}. Поскольку Upε (ε∕2) ⊂ UA(ε), то ε-окрестность точки A содержит беско­нечное число членов последовательности {xn}. Поэтому A ∈ P({xn}).

Если A = +∞, то для любого числа ε > 0 найдётся такой элемент pε ∈ P({xn}), что pε > 2ε. Так как Upε (ε) ⊂ U+∞ (ε) и окрестность Upε (ε) содержит бесконечно много элементов последовательности {xn}, то +∞ ∈ P({xn}).

Верхний и нижний пределы последовательности

Определение 2.19. Наибольший частичный предел последовательности {xn}, называется верхним пределом последовательности и обозначается сим­волом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Наименьший частичный предел последовательности {xn}, называется нижним пределом последовательности {xn} и обозначается симво­лом Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Из теоремы 2.21 следует,что любая последовательность имеет верхний и нижний пределы, при этом

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 2.22. Для того, чтобы число a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения было верхним пределом последовательности {xn}, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:

  1. ∀ε > 0 ∃ N ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения a + ε, ∀ n > N,
  2. ∃{xnk } : xnk → a при n → ∞.

■ Необходимость. Пусть a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и a =Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Согласно теореме 2.21, a — частичный предел последовательности {xn}. Поэтому выполнено условие 2). Справедливость условия 1) докажем методом от противного. Предположим, что для некоторого ε0 > 0 в множестве [a + ε0 , +∞) лежит бесконечное число членов последовательности {xn}. Эти члены последовательности образуют некоторую подпоследовательность {xnk} данной последовательности. По теореме 2.20 последовательность {xnk} имеет по крайней мере один частичный предел. Пусть γ ∈ P ({xnk}). Тогда γ ≥ a + ε0 > a и γ ∈ P ({xn}), чего быть не может, так как a = sup P ({xn}). Полученное противоречие показывает, что предположение было неверным, и доказывает справедливость условия 1).

Достаточность. Пусть a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и удовлетворяет условиям 1), 2). Из условия 2) следует, что a ∈ P ({xn}). Докажем, что a — максимальный элемент множества P ({xn}). Пусть γ ∈ P {xn} и xmk → γ при k → ∞. В силу условия 1), xmk Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения a+ε для всех членов этой подпоследовательности, кроме быть может, конечного их числа. Поэтому согласно теореме 2.4 о предельном переходе в неравенстве получаем, что γ ≤ a + ε, ∀ ε > 0. Отсюда следует, что γ ≤ a. Значит, a — максимальный элемент множества P ({xn}) и a = limxn.

Замечание 1. Условие 2) теоремы 2.22 можно заменить следующим:

2/)∀ε > 0 ∃{xnk} : xnk > a — ε, ∀ k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Замечание 2. Аналогично можно доказать, что число a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является нижним пределом последовательности {xn} тогда и только тогда, когда выпол­нены следующие два условия:

  1. ∀ε > 0 ∃ N ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∀ n > N xn > a — ε,
  2. ∃ {xnk} : xnk → a при k → ∞.

Теорема 2.23. Для того чтобы символ +∞ был верхним пределом последовательности {xn}, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {xn } была неограниченной сверху.

Необходимость. Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = +∞, тогда +∞ ∈ P({xn}) и существует подпоследовательность {xnk} такая, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = +∞. Ясно, что последовательность {xn} не ограничена сверху.

Достаточность. Пусть последовательность {xn} не ограничена сверху. По лемме 2.7, найдётся такая подпоследовательность {xnk}, для которойПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = +∞. Поэтому +∞ ∈ P({xn}) является максимальным частичным пределом последовательности {xn}, то есть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = +∞. 
Аналогично доказывается следующий результат.

Теорема 2.24. Чтобы символ -∞ был нижним пределом последовательности {xn}, необходимо и достаточно, чтобы последовательности {xn} была не ограничена снизу.

Теорема 2.25. Если xn ≤ yn, ∀n > N, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Докажем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Положим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, поэтому Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Соответствующая подпоследовательность {xnk } после-n→∞ последовательности {xn} имеет, по крайней мере, один частичный предел. Пусть γ ∈ P ({xnk}) и lim xnk = γ. Поскольку xnk ≤ ynk для всех номеров j ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения,то согласно лемме 2.5 γ ≤ β. Отсюда, по определению 2.19 нижнего предела последовательности, α ≤ β.

Следствие. Пусть a,b ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Если xn ≤ a, ∀n > N1, то lim xn ≤ a. Если n→∞ xn ≥ b, ∀n > N2, тоПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ≥ b.

Теорема 2.26. Для числовых последовательностей {xn} и {yn}

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (2.8)

если слагаемые правых частей не являются одновременно бесконечными сим­волами разных знаков.

Докажем только первое неравенство. Положим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пусть a = -∞, b Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения +∞. Тогда {xn} — отрицательная бесконечно большая, а частичные пределы последовательности {yn} принадлежат [-∞, b]. По теореме 2.13 последовательность {xn+yn} является отрицательной бесконечно большой и c = -∞. Случай a = +∞, b Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения -∞ рассматривается аналогично, при этом возникает положительная бесконечно большая последовательность.

Если a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, b ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то по условию 1) теоремы 2.22

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, xn + yn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (a + b) + ε, ∀n > N. Из теоремы 2.25 тогда следует, что lim (xn + yn) ≤ (a + b) + ε, ∀ε > 0, что, в силу произвольности ε, приводит к неравенству Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (xn + yn) ≤ a + b.

Замечание 1. Можно доказать, что если последовательность {xn} сходит­ся, то для любой последовательности {yn}

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание 2. В отличии от теоремы 2.9 об арифметических операциях со сходящимися последовательностями неравенства в формулах (2.8) могут быть строгими. Для подтверждения сказанного достаточно рассмотреть, например,  последовательности {xn} : xn = (-1)n и {yn} : yn = (-1)n+1 . Для них 

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

то есть

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Для произведения последовательностей имеет место аналогичный результат.

Теорема 2.27. Если xn ≥ 0, yn ≥ 0,∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (2.9)

кроме тех случаев, когда операция произведения не определена в правых ча­стях. Если, дополнительно, последовательность {xn} сходится, то в соот­ношениях (2.9) имеют место равенства.

Теорема 2.28. Для числовой последовательности {xn}

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

1) Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = -∞, тогда ∃{xnk} : xnk → -∞ при k → +∞. Поэтому — xnk → +∞ при k → +∞ иПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (—xn) = +∞. 
2) ПустьПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = +∞. По теореме 2.24
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
3) Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. По замечанию к теореме 2.22 о характеристических свойствах конечного нижнего предела выполнены условия:

1)    ∀ε > 0 ∃ N ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : хn > a — ε, ∀ n > N,
2)    ∃ {хnk} : хnk → a при k → +∞.

Отсюда получаем:

1)    ∀ε > 0 ∃ N ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : -Xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения -a + ε, ∀ n > N,
2)    ∃ {-хnk} : -хnk → -a при k → +∞.

Выполнение последних двух условий означает, согласно теореме 2.22 о характеристических свойствах конечного нижнего предела последовательности, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Задания для самостоятельной работы

1.    Пусть {хn} числовая последовательность. Доказать, что она не имеет предела, если ∃a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, b ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения такие, что некоторые непересекающиеся окрестности их Ua , Ub содержат бесконечное множество элементов последовательности.

2 Пусть последовательность {xn} сходится, а последовательность {yn} полу­чена из {xn} перестановкой ее членов (то есть ∀k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения∃ nk : yk = xnk, причем nk1 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения nk2, если k1Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияk2; и, наоборот, ∀k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ∃mk : xk = ymk, причем mk1Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияmk2 , если k1 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения k2). Доказать, что последовательность {yn} сходится и lim xn = lim yn .

3 Пусть {xn} — сходящаяся последовательность. Доказать, что последова­тельность {yn} : Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, сходится и limyn = limxn.

4 Привести пример ограниченных (неограниченных) расходящихся последо­вательностей {xn}, {yn} таких, что {xn + yn} — бесконечно малые.

5 Привести пример такой бесконечно малой последовательности {xn}, что xn 0, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, и последовательность { Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения} расходится.

6 Пусть последовательности {xn + yn}, {xn — yn} сходящиеся. Доказать, что последовательности {xn}, {yn} сходятся.

7 Доказать, что если последовательность {xn} сходится, а {yn} расходится, то последовательность {xn + yn} расходится.

8 Показать на примерах, что если последовательность {xn} является бесконечно малой, то последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения может быть как сходящейся, так и расходящейся.

9 Доказать, что если Sn — сумма первых n членов арифметической прогрессии с разностью d, то последовательностьПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения сходится.

10.    Доказать, что если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

11 Привести пример сходящейся последовательности {xn} и бесконечно боль­шой последовательности {yn} таких, что последовательность {xn yn} явля­ется ограниченной (неограниченной) и расходящейся последовательностью.

12 Пусть {yn} — бесконечно большая последовательность и а > 0. Доказать, что { Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения} — бесконечно большая последовательность.

13 Показать, что последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является бесконечно большой, а последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения — нет.

14 Привести примеры последовательностей {xn}, {yn}, которые не являются бесконечно большими, а последовательность {xn∙yn} — бесконечно большая.

15 Пусть у последовательности {xn} её подпоследовательности {x2k}, {x2k-1} сходятся и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения x2k = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения2k-1 = a. Доказать, что последовательность {xn } сходится и lim xn = a.

16 Пусть у последовательности {xn} её подпоследовательности {x3k}, {x3k+1}, {x3k+2} сходятся. Доказать, что последовательность {xn} сходится.

17 Привести пример расходящейся последовательности {xn}, для которой

lim(xn+p — xn) = 0, ∀p ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

18 Пусть an ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения . Доказать, что последовательность деся­тичных чисел {0, a1a2 . . . an} сходится.

Предел функции

Предельная точка множества

Определение 2.20. Пусть X— непустое подмножество множества Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Точка a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется предельной точкой множества X, если в любой окрестности Ua точки a найдётся, по крайней мере, одна, не совпадающая с a, точка множества X .

Определение 2.21. Если a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Ua — некоторая окрестность точки а, то множество Ua{a} называется проколотой окрестностью точки а и обозначается Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения .

Замечание. Если a ∈  Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и ε > 0, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (ε) = {x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : 0 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения |x — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε}.

Если a = +∞, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения+∞ = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения+∞, если a = -∞, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения-∞ = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения-∞.

С учетом сказанного определение 2.20 принимает вид:

XПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, X ⊂ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, a Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения; a предельная точка Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Лемма 2.11. Для того чтобы a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения была предельной точкой непустого множества X ⊂ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, необходимо и достаточно, чтобы в каждой окрестности этой точки содержалось бесконечное подмножество множества X.

Необходимость. Предположим, что a — предельная точка множества X, но в некоторой окрестности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения точки a содержится конечное число элементов множества Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Для определенности будем считать, что a Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Обозначим элементы множества X∖{a}, находящиеся в Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, через x1,x2,… , xn0. Положим ε0 = min{|x1a|, |x2a|, . . . , |xn0a|}. Тогда ε0 > 0 и в проколотой ε0- окрестности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения точки a нет точек множества X, что противоречит определению 2.20. 

Достаточность утверждения очевидна.

Пример 2.8. Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения , то предельной точкой множества X является только точка 0.

Пример 2.9. Если X = (0, 1), то любая точка a ∈ [0, 1] является предельной точкой множества множества X.

Пример 2.10. Если X = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то предельной точкой множества X является только +∞.

Как видно из примеров, предельная точка множества может как принадле­жать, так и не принадлежать ему.

Теорема 2.29. Для того чтобы точка a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения была предельной точкой множества X ⊂ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, необходимо и достаточно, чтобы существовала последо­вательность {xn} элементов множества X, отличных от a, сходящаяся к a.

Необходимость. Пусть a — предельная точка множества X. Будем считать, что a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Тогда в окрестности Ua(1/n), n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения найдется элемент множества X {a}, который обозначим через xn. Последовательность {xn} обладает свойствами: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Из последнего получаем,что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Достаточность. Пусть последовательность {xn} такова, что xn ∈ X, xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения a, xn → a. Зафиксируем произвольную окрестность Ua точки a. По определению 2.3 предела последовательности найдётся номер N = N(Ua) такой, что xn ∈ Ua, ∀n > Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Учитывая, что xn ∈ X {a}, получим, что в Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения содержится бесконечное подмножество множества X, а значит, a — предельная точка множества X.

Теорема 2.30. Всякое бесконечное множество действительных чисел имеет по крайней мере одну предельную точку.

Пусть X — бесконечное подмножество множества Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Ясно, что существует последовательность {xn} попарно различных элементов множества X. Согласно теореме 2.20 последовательность {xn} имеет по крайней мере один частичный предел. Пусть a ∈ P ({xn}). Тогда найдется такая подпоследовательность {xnk }, что a = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Поскольку xnk ∈ X, ∀ k ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, и все они, кроме быть может одного, отличны от a, то a — предельная точка множества X.

Замечание. Любое конечное множество X ⊂ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не имеет предельных то­чек.

Определение предела функции

В этой главе будем считать, что X — некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел, a — предельная точка множества Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и вещественнозначная функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения определена на X . Поэтому всякий раз, когда в последующем будем говорить о функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения , будем подразумевать, если не оговорено нечто другое, что f : X → Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Определение 2.22. Точка A ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения: X → R в точке a (или ещё говорят, что A — предел функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при x стремящемся к a), если для любой окрестности UA точки A найдётся такая окрестность Ua точки a, что образ каждой точки x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения X при отображении Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения принадлежит окрестности UA, то есть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) ⊂ UA. При этом пишут: A = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияили A = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x), или Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) → A при x → a.

В логической символике это определение можно записать так:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Из определения 2.22 предела функции следует, что на существование и величину предела функции f в точке a не влияет значение функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке a, если a ∈ X ; более того, функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения может быть не определена в точке a.

Учитывая определение окрестности конечной точки a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и определение окрестности бесконечных символов, замечаем, что данное выше определение предела функции в точке может быть дано в терминах ”ε — δ”.

Определение 2.23 (по Коши). Будем говорить, что число A ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке a ∈Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число δ = δ(ε) > 0, что для любого x ∈ X, удовлетворяющего условиям 0 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения |x — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения δ выполняется соотношение | Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) — A| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε.

Перефразируем в терминах ,,ε — δ” тот факт, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = +∞. 

Определение 2.24. Будем говорить, что +∞ является пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) при x → -∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число δ = δ(ε) > 0, что для всех точек x ∈ X, удовлетворяющих условию x Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения -δ, выполняется неравенство f(x) > ε.

Пример 2.11. Функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = c, ∀x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (c ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения), имеет предел в каждой точке a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = с. 

Действительно, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) — c = 0 , ∀x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, поэтому |Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) — c| = 0 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε, ∀ε > 0 и ∀ x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому в каждой точке a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в определении предела функции (по Коши) в качестве δ = δ(ε) можно взять любое положительное число (для любого ε > 0).

Пример 2.12. Докажем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Предварительно покажем, что для любого  Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

sin x Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения x Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения tg x (2.10)

С этой целью в единичном круге с центром в точке O рассмотрим острый угол AOB, радианной меры x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Проведём хорду AB и касательную AC к окружности в точке A. Тогда 4AOB Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения⊂ сектор AOB ⊂ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияAOC.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Сравнивая площади этих фигур, приходим к неравенству

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

которое приводит к неравенствам (2.10). Разделим sinx на каждый из членов неравенств (2.10), получим, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда, следует, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияи, в силу (2.10) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, для любого, для любого   Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Так как функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является чётной, то для любого Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Ясно, чтоПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.  Зафиксируем произвольное число ε > 0. Положим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения |x| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения δ

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Последнее означает, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Пример 2.13. Показать, что у функции

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

нет предела в точке a = 0.
Сказанное означает, что

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что функция sgn x в точках x Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0 принимает только два значения +1 и -1. Очевидно, что для любого A ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в окрестность UA(1) = (A — 1, A + 1) не могут попасть одновременно точки -1 и +1. Но в любой проколотой окрестности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (δ) точки a = 0 есть как положительные, так и отрицательные числа x. Значит для любого δ > 0 найдется точка x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (δ) такая, что f (x) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения UA(1) и утверждение доказано. 

Пример 2.14. Покажем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Следует показать, что
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то полагая Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения , получим нужное. 

Теорема 2.31 (Гейне). Для того чтобы A ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения было пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : X → Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {xn} точек xn ∈ X {a}, сходящейся к a, последовательность образов {f(xn)} при отображении Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения сходилась к A.

Необходимость. Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Согласно определению предела функции
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Если последовательность {xn} точек множества X {a} стремится к a, то найдется номер N такой, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при n > N . Поэтому f(xn) ∈ UA при n > N. На основании определения предела последовательности в Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, заключаем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(xn) = A.

Достаточность. Пусть для любой последовательности {xn} точек из множества X {a}, которая сходится к a, последовательность образов {f(xn)} стремится к A. Для определённости считаем, что a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Предположим, что A не является пределом функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке a. Тогда найдётся такая окрестность U точки А, что при любом n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения-окрестности точки а найдётся элемент xn ∈ X {a}, для которого что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(xn) ∈/ UA. Ясно, что lim xn = a и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(xn) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения A, хотя xn ∈ X {a}, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, xn → a. Полученное противоречие завершает доказательство.

Следствие. Если существует последовательность {xn} : xn ∈ X{а}, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, xn → a и последовательность {Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (xn)} не имеет предела, то не существует предела функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке a.

Пример 2.15. Показать, что функция sinx не имеет предела при стремлении x к +∞ (или к -∞).

Для последовательностиПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и потому последовательность {sin xn} не имеет предела.

Свойства предела функции

Теорема 2.32. Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : X ⊂ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, a — предельная точка множества X, Ua — некоторая окрестность точки а, φ = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения . Для того чтобы функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имела в точке a предел, необходимо и достаточно, чтобы функция
φ имела предел в точке а. В случае существования предела Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Утверждение сразу следует из определения предела функции.

Теорема 2.33. Функция не может иметь в точке двух различных пределов. 

Предположим, что функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : X → R имеет в точке а два предела Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = A1 , Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = A2 , A1 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения A2 . По теореме Гейне для любой фиксированной последовательности {xn} : xn ∈ X {а}, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, xn → а получим, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(xn) = A1 , Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(xn) = A2 , чего быть не может.

Определение 2.25. ФункцияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : X → Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется локально ограниченной в точке а (а — предельная точка X), если существует такая окрестность Ua точки а, что множество {Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) | x ∈Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ∩X} ограничено. Учитывая определение ограниченного числового множества, заключаем, что локальная ограниченность функции f в точке а означает:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 2.34. Если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет в точке а конечный предел, то она локально ограничена в точке а.

Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения= A, A ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. По определению 2.22 предела функции найдется a такая окрестность Ua точки а, что в каждой точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство |Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) — A| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 1. Следовательно, для Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

|Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)| ≤ |Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) — A| + |A| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 1 + |A|,

что означает локальную ограниченность функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке a.

Теорема 2.35. Пусть функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет в точке a конечный, отличный от нуля предел Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Тогда существует такая окрестность Ua точки a, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

По определению предела функции в точке по числу ε = |A| > 0 найдется такая окрестность Ua точки a, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения,  то есть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Теорема 2.36. Если функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и φ, определенные на множестве X, имеют в точке а конечные пределы, то их сумма Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ± φ, произведение Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения∙ φ и, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, частное Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения∕φ имеют в точке а конечные пределы, причем 

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Проведем, например, доказательство третьего утверждения (первые два доказываются аналогично).

Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Согласно теореме 2.35 существует такая окрестность Ua точки а, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Фиксируем произвольную последовательность {xn} элементов множества X {а}, стремящуюся к а. Не нарушая общности можно считать, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. По теореме Гейне

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая произвольность последовательности {xn} : xn ∈ X {а}, xn → а, из теоремы Гейне получаем нужное.

Теорема 2.37 (о пределе суперпозиции функций). Пусть а — предельная точка множества X ⊂ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : X → Y ⊂ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, φ : Y → Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, и выполнены следующие условия:
1)   Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения;
2)    Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения;
3)   Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения,

то существует предел суперпозиции φ ◦ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке а и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения φ ◦ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = с.

Доказательство проведем с помощью теоремы Гейне. Зафиксируем после­довательность {xn} : xnX {a},nПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, xna. Будем считать, что xn ∈Ua, ∀ nПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(xn) → b. Положим Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(xn) = yn, nПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому ynY {b}, nПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, ynb. Следовательно, b — предельная точка множества Y, что объясняет возможность рассмотрения предела функции φ в точке b и, в силу условия 3) теоремы, φ(yn) → с при n → ∞. Последнее означает, что

φ ◦ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (xn) → с при n → ∞, ∀{xn} : xn ∈ X{а}, xn → а.

На основании теоремы Гейне, заключаем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения φ ◦ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = с

Теорема 2.38. Пусть функцииПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и φ определены на множестве X и имеют конечные пределы в точке а. Если существует такая окрестность Ua точки а, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 2.39. Пусть функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, φ, g определены на множестве X и удовлетворяют условиям:
1)    Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения;
2)   Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Тогда существует предел функции φ в точке а иПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = A. 

Доказательство последних утверждений можно провести по аналогии с доказательством предыдущих теорем, используя теорему Гейне. А можно повторить доказательства соответствующих теорем теории предела последовательности, заменяя слова ,,∃N ∈Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : ∀n > N” на слова ,,Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения”. Предлагаем читателю провести доказательства теорем 2.38 и 2.39 самостоятельно.

Как и для последовательности можно ввести понятия бесконечно малой и бесконечно большой в точке а функции.

Определение 2.26. Функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется бесконечно малой в точке а, если существует предел функции f в точке а и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 0. Функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется бесконечно большой в точке а, если существует предел ее в точке а и он равен одному из бесконечных символов.

Бесконечно малые и бесконечно большие в точке а функции обладают свойствами, аналогичными свойствам бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей с той лишь разницей, что требование ограниченности последовательности заменяется требованием локальной ограниченности функции в точке a, а ограниченность от нуля — локальной ограниченностью от нуля функции в точке. При этом функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется локально отграниченной от нуля в точке a, если существует окрестность Ua точки a и число m > 0 такие, что |f (x)| ≥ m, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Из понятия бесконечно малой в точке a функции и определения предела функции следует

Теорема 2.40. Для того чтобы существовал конечный предел функции f в точке a, равный A, необходимо и достаточно, чтобы функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения име­ла представление Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) = A + α(x), где α(x) — бесконечно малая в точке a функция.

Односторонние пределы функции

Будем считать, что X — непустое подмножество множества Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Определение 2.27. Точка a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется левосторонней (правосторонней) предельной точкой множества X, если X ∩(α — δ,a) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (соответственно, X ∩(α, a + δ) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения для любого числа δ > 0. Если a является только левосторонней или только правосторонней предельной точкой множества X , то ее называют односторонней предельной. Если же a является и левосторонней и правосторонней предельной точкой, то ее называют двусторонней предельной.

Пример 2.16. Если X = (a, b), где a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, b ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то каждая точка x0 ∈ X является двусторонней предельной, a — правосторонней, b — левосторонней предельной точкой множества X .

Замечание. Если a — только левосторонняя (правосторонняя) односторонняя предельная точка множества X , то существует такое δ > 0, что
(α,α + δ) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения X = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (XПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(a — δ,α) = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Определение 2.28. Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : X ⊂ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, a — левосторонняя (правосторонняя) предельная точка множества X. A ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется левым (правым) пределом функции f в точке a, если для любой окрестности UA точки A найдется такое число δ > 0, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) ∈ UA, ∀x ∈ X (a — δ, a) (соответственно, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) ∈ UA, ∀x ∈ X (a, a + δ)).
Для обозначения левого (правого) предела функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке a используют следующую символику:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

В частности, если a = 0, пишут соответственно:
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Из определения 2.28 очевидно следует

Теорема 2.41. Если a — односторонняя предельная точка множества X , то определения предела и одностороннего предела функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в этой точке равносильны.

Теорема 2.42. Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : X → Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, a — двусторонняя предельная точка множества X . Для того чтобы существовал предел функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения в точке a, равный A, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела функции f в точке a, равные A.

Необходимость — очевидное утверждение. Докажем достаточность. Пусть функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет в точке a левый и правый пределы, равные между собой и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (a — 0) = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (a + 0) = A. В силу определения 2.28 одностороннего предела функции по любой окрестности точки A найдутся число δ1 > 0:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) ∈ Ua, ∀x ∈ (a — δι, a) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияX,

и число δ2 > 0 :

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) ∈ UA, ∀ x ∈ (a, a + δ2) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения X.

Полагая δ = min{δ1, δ2}, получим, что ∀x ∈Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (δ) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения X Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) ∈ UA, а значит ∃ limПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = A. 

Замечание. Определение одностороннего предела функции может быть дано и в терминах последовательностей. Например,
A = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (a — 0) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (∀{xn} : хn ∈ X, хn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения a, хn → a ⇒ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (xn) → A).

Пример 2.17. Найдем односторонние пределы функции [x] в целочисленной точке a = n0 .

Областью определения функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(х) = [х] является множество Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, поэтому n0 — двусторонняя предельная точка множества D(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения). Так как на интервале (n0 — 1, n0) функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения равна n0 — 1, а на интервале (n0, n0 + 1) равна n0, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(n0 -0) = n0 — 1; Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(n0+0) = n0. Следовательно, в силу теоремы 2.42 функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не имеет предела в точке n0 .

Теорема о пределе монотонной функции

Теорема 2.43. Пусть функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не убывает на множестве X ⊂ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, a — правосторонняя предельная точка множества X, b — левосторонняя предельная точка множества X . Тогда существуют
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(a + 0) = inf{Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(X) : X ∈ X Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(a, +∞)},
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (b — 0) = sup{Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) : x ∈ X Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(-∞, b)}.

Докажем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(b — 0) = sup{Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) | x ∈ X Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (-∞, b)}. Пусть
Y = {Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) | x ∈ X Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(-∞, b)} и M = sup Y.

Рассмотрим два случая.
1)    Y — ограниченное сверху множество. Тогда M ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) ≤ M, для всех x из X Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(-∞, b), и для любого ε > 0 найдется xε ∈ X Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(-∞, b) такая, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(xε) > M — ε. Учитывая характер монотонности функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, замечаем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) ≥Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(xε), ∀x ∈ XПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (xε , b). Если положить δ = b — xε > 0, то получим: 

∀ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : M — ε Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) ≤ M + ε, ∀x ∈ XПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(b — δ,b).

Последнее означает, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (b — 0) = M.

2)    Y — неограниченное сверху множество. Тогда M = +∞ и

∀ ε> 0 ∃ xε ∈ X Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(-∞, b) : Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (xε) > ε.

Поскольку Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не убывает на X, то ∀ x ∈ (xε, b) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияX Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) ≥ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(xε). Отсюда, считая δ = b — xε > 0, получим:
∀ ε> 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) > ε для ∀ x ∈ X Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(b — δ, b).

Поэтому Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(b — 0) = +∞ = M.

Теорема 2.44. Пусть функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не убывает на множестве X, для которого +∞ (-∞) является предельной точкой. Тогда существует предел

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = sup{f (x) | x ∈ X} ( Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = inf {Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) | x ∈ X}). 

Доказательство этого утверждения при x → +∞ дословно повторяет доказательство теоремы 2.43 с той лишь разницей, что в нем следует положить δ = xε (всегда можно считать, что xε > 0), а при рассмотрении функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияпри x → -∞ можно считать xε Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0 и δ = -xε.

Из теорем 2.43 и 2.44 вытекают следующие предложения.

Следствие 1. Если последовательность {xn} не убывает, то она имеет предел в Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и lim xn = sup{xn | n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения}.

Следствие 2. Если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не убывает на интервале (a, b), где a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, b ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то существуют пределы

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 3. Если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не убывает на отрезке [a, b], где a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, b ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, и c ∈ (a, b), то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(a)≤Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(a+0)≤Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(c-0)≤Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(c)≤Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(c+0)≤Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(b-0)≤Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(b).

Для функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения : X → Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, которая не возрастает на множестве X справедливы следующие утверждения.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияТеорема 2.45. Если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не возрастает на множестве X, для которого a — правосторонняя, а b — левосторонняя предельная точки, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(a + 0) = sup{Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) | x ∈ XПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(a, +∞)}

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(b-0) = inf {Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) |x ∈ XПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (-∞, b)}.

Если же +∞ или -∞ является предельной точкой множества X, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 1. Если последовательность {xn} не возрастает, то она имеет предел и он равен inf{xn | n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения}.

Следствие 2. Для того чтобы монотонная последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Следствие 3. Если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения не возрастает на [a, b] и c ∈ (a, b), то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(a) ≥Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(a+0)≥Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(c-0)≥Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(c) ≥Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(c+0) ≥Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(b)

Пример 2.18. Доказать, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 0, ∀a > 0.
Прежде всего покажем, что последовательностьПределы в математике - определение и вычисление с примерами решениямонотонна. Так как xn > 0 и
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (2.11)
а последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является бесконечно малой, то
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Следовательно, последовательность {xn+n0 } убывает и ограничена снизу нулем. По следствию 1 теоремы 2.45 она сходится. Пусть lim xn = c. Из равенства a (2.11) следует, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, ∀n ∈ N. Отсюда, в силу свойств сходящихся последовательностей, получаем, что с = 0 • с, то есть с = 0. 

Следствие. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.
Замечание. Аналогично доказывается, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.
 

Число e

Применим следствие 2 теоремы 2.45 для доказательства сходимости последовательности {xn}, члены которой определяются законом
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Прежде всего докажем, что последовательность возрастает. Применяя формулу бинома Ньютона, получим для xn следующее представление:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Поэтому для всех п ≥ 1 xn+1 =

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Сравним выражения для xn и xn+1 . В представлении xn правая часть содержит п положительных слагаемых, а правая часть представления xn+1 — (n + 1) слагаемое. Так как для любого k = 2, 3, . . . , п справедливо неравенство

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения,

то xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения xn+1 , ∀ n ≥ 2. Следовательно, последовательность {xn} возрастает. Докажем теперь, что последовательность {xn} ограничена сверху. Поскольку Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения≤ 1, ∀ i = 1, 2,…, n — 1, то для , n ≥ 2Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Но k! ≥ 2k-1,∀k ≥ 2, поэтому Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.
А значит, рассматриваемая последовательность имеет конечный предел, который, следуя Л.Эйлеру, обозначают через e.

Из предыдущего ясно, что 2 ≤ xn ≤ 3, поэтому 2 ≤ e ≤ 3. Можно показать, что e является иррациональным числом и e ≈ 2, 718281828.

Теперь докажем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Заметим, что областью определения этой функции является множество (∞, —1) U (0, +∞). Зафиксируем последовательность {xn} : xn > 0, lim xn = +∞. Положим kn = [xn], n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. По определению функции целой части, kn ≤ xn Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения kn + 1. Учитывая определение и свойства бесконечно большой последовательности, замечаем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения kn = +∞. 

Поскольку Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениядля всех n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Последовательность Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияявляется суперпозицией последовательностей Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияи  {kn}, для которых выполняются условия 1) — 3) теоремы 2.37 о пределе суперпозиции функций. Поскольку Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Аналогично можно показать, что существует

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, по теореме 2.6 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Поскольку {xn} — произвольная бесконечно большая положительная последовательность, то по теореме Гейне ∃ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Изучим функциюПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при x → -∞. Пусть x = — t. Для x Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения —1

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Ясно, что t → +∞ тогда и только тогда, когда x→ -∞. Так как
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при t → +∞,
то по теореме 2.37 о пределе суперпозиции функций, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Остаётся доказать, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Для доказательства последнего зафиксируем ε > 0. Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то найдется δ1 > 0 такое, что при x > δ1 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения . Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то найдется δ2> такое, что при x Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения2 выполняется неравенствоПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.  Положим δ = max {δ1, δ2}. Тогда для всех x таких, что |x|> δ выполняется неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Это означает, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Критерий Коши для функции

Теорема 2.46. Для того чтобы функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения: X ⊂ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имела конечный предел в точке a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε > 0 существовала такая окрестность Ua точки a, что для любых точек Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения выполнялось неравенство
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Последнее условие называют условием Коши.

Необходимость. ПустьПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому для любого ε > 0 найдется такая окрестность Ua точки a, что в любой точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения справедливо неравенство Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, для любых точек Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеем:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Это означает, что функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяет в точке a условию Коши.

Достаточность. Пусть функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяет условию Коши в точке a. Докажем, что функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеет в точке a конечный предел.

Пусть последовательность {хn} такова, что хn ∈ X {a}, ∀n ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, и lim хn = a. Покажем, что последовательность значений функции {Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения( хn)} фундаментальна. Зафиксируем число ε > 0 и, согласно условию Коши, найдем соответствующую ему окрестность Ua точки a. Поскольку lim хn = a и хnПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения a, то найдется номер N такой, что Xn ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, ∀n > N. Следовательно, ∀n > N, ∀p ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ε, что означает фундаментальность последовательности {Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения( хn)}. Пусть A = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, тогда A ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Докажем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Зафиксируем ε > 0 и найдем по условию Коши окрестность Ua,    такую, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Так как lim Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (xn) = A и xn → а, то найдем точку xn0 ∈Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, для которой Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Тогда ∀ x ∈ X Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения имеем
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = A.

Замечание 1. Достаточность условия Коши для существования конечного предела функции можно было доказать иначе, показав, что для любых последовательностей {x/n}, {x//n} таких, что
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

последовательности значений функции {Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x/n)}, {Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x//n)} сходятся к одному и тому же числу.

Замечание 2. Если предельная точка a ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, то условие Коши существования конечного предела функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияв точке a имеет вид

∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) : ∀x/, x// ∈ X, 0 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения |x/ — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения δ, 0 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения |x// — a| Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения δ

|f(x/)-f(x//)|Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияε.

Замечание 3. Аналогично формулируется и доказывается критерий Коши для случая одностороннего предела функции в точке.

Определение 2.29. Колебанием функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения: X → Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения на множестве X ⊂ R называется точная верхняя граница модуля разности значений функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения на всевозможных точках x/ , x//∈ X , то есть

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Колебание функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения на множестве X обычно обозначают через ωПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(X) или ω(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, X). Поэтому, используя определение 2.29, критерий Коши существования предела функции, можно сформулировать следующим образом:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Сравнение функции

Когда возникает задача описания поведения функции вблизи некоторой точки из Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, в которой, как правило, функция не определена, говорят, что интересуются асимптотическим поведением или асимптотикой функции в окрестности этой точки. Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции. Так, говоря о функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) = x2 + 2x + sin(1/x) при x → ∞, можно сказать, что она ведет себя как функция x2, а при x → 0 — как sin(1/x).

Определение 2.30. Пусть функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияи Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения определены на множестве X ⊂ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, a — предельная точка множества X. Говорят, что функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) является бесконечно малой по сравнению с функцией Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) при x → a, и пишут Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) при x → a (читается: «»Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) есть о малое от Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) при x → a»), если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = α(x) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x), где α(x) — бесконечно малая в точке a функция.

Запись Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = o(1) при x → a означает, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является бесконечно малой при x → a.

Если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) 6 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения0 в некоторой проколотой окрестности точки a, то условие Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) при x → a можно переписать в виде

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

В случае, если функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является бесконечно малой в точке a, функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) при x → a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Например, x3 = o(sin x2) при x → 0, так как

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Аналогично, x = o(x2) при x → ∞ так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 0.

Определение 2.31. Пусть функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения определены на множестве X, a — предельная точка X. Говорят, что функция Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения является ограниченной по сравнению с функцией Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) при x → a и пишут: Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = O(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) при x → a, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = α(x) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x), где α(x) — локально ограниченная в точке a функция.

Запись Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = O(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) при x → a читается: «Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) есть O большое от Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) при x → a».

В определениях 2.30 и 2.31 значок x → a указывает на то, что рассматриваемое свойство имеет место в некоторой проколотой окрестности точки a.

Если в некоторой проколотой окрестности точки a Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0 и

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Например, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения  x = O(x) при x → 0, так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения   для x 6Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0,
и 2x2 + 3x = O(x2) при x → +∞, так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 2.

При использовании равенств с символами O и o следует иметь в виду, что они
не являются равенствами в обычном смысле. Так, если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) = o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) при x → a и g(x) = o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) при x → a, то отсюда нельзя сделать вывод, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) = g(x) в некоторой проколотой окрестности точки a.

Например, x2 + 3x + 1 = o(x3) при x → ∞, x + 5 = o(x3) при x → ∞, но x2 + 3x + 1 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения x + 5 ни в какой
окрестности U∞.

Аналогично, из равенства Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) +o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) = g(x) +o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) при x → a нельзя сделать вывод, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) = g(x) в Ua.
Дело в том, что один и тот же символ O(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) или o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) может обозначать разные функции. По существу определениями 2.30 и 2.31 введены классы функций, обладающих некоторыми свойствами (указанными в этих определениях) в некоторой проколотой окрестности точки a. Более того, равенства Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) = o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) или Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = O(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) при x → a читается только слева направо.

Определение 2.32. Если функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения таковы, что при x → a

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = O(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = O(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x)),

то они называются функциями одного порядка при x → a.

Например, функции x и (3 + sin x) x являются функциями одного порядка при x → 0 и при x → ∞.

Определение 2.33. Функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, заданные на множестве X, называются эквивалентными при x → a, если найдется такая окрестность Ua , точки а, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, причем Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

В силу теоремы 2.35 (локального свойства функции, имеющей в точке a отличный от нуля предел), существует такая окрестность Ua точки a, что на множестве Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения можно определить функцию γ(x) = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, а поэтому

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, условие эквивалентности функций f и ϕ симметрично.

Часто эквивалентные при x → a функцииПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) называют асимптотически равными при x → a. Эквивалентность функций Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) при x → a обозначают, используя символ ∼ , следующим образом:

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) ∼ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) при x → a.

Из сказанного следует, что если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) ∼ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) при x → a, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) ∼ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) при x → a.

Лемма 2.12. Для того чтобы функции Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, определенные на множестве X , были эквивалентными при x → a, необходимо и достаточно, чтобы Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) + o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) при x → a или Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) + o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x)) при x → a.

Необходимость. Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при x → a. Тогда Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) = α(x)Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x), при всех x ∈ X Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения=    1. По теореме 2.40,    α(x)  = 1 +  γ(x), где γ(x) — бесконечно малая в точке a функция.

Поэтому для всех Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) + γ(x)Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) + o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) при x → a.

Аналогично доказывается, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) + o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x)) при x → a.

Достаточность. Пусть ∃Ua : Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)+o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) при x → a. По определению 2.30 o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)) = α(x)Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x), ∀x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = 0. Поэтому ∀x ∈ XПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x)(1 + α(x)) = γ(x)Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x), где γ(x) = 1 + α(x), ∀x ∈Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения γ(x) = 1. Следовательно, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ∼ ϕ при x → a. x→a

Аналогично доказывается достаточность условия Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x) = Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) + o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x)) при x → a.

Так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = 1, то sin x ∼ x при x → 0 и arcsin x ∼ x при x → 0. 

Учитывая теорему о пределе суперпозиции функций, пока можно сказать, что если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения u(x) = 0 и в некоторой проколотой окрестности Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения точки a, u(x) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0, то sin u(x) ∼ u(x) при x → a и arcsin u(x) ∼ u(x) при x → a. Несколько позже требование u(x) Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0, ∀ x ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, будет снято.

Отметим два легко доказываемых свойства эквивалентных функций:

1)    Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияпри x → a и Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ∼ g при x → a, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения ∼ g при x → a.
2)    Если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения1 при x → a и существует один из пределов Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x)Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x), Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения1(x)Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(x), то существует второй и они равны.

Замечание. Нельзя свойство 2) распространять на сумму (разность) функций. В самом деле,Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияпри x → +∞, но

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

так как Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.

Наконец, отметим еще несколько часто употребимых правил обращения с
символами O и o.
1)    o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) + cПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения = O(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) при x → a, c ∈ Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения.
2)    o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) + o(f) = o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) при x → a.
3)    o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) = O(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) при x → a.
4)    o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) + O(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) = O(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) при x → a.
5)    o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) · O(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) = o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения2) при x → a.
6)    o(c · Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) = o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) при x → a, ∀c Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 0.
7)   Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения · o(f) = o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения2) при x → a.

Объясним, например, свойство 3). Символ o(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) означает некоторую функцию вида α(x)Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x), где α(x) — бесконечно малая в точке a функция. Поскольку бесконечно малая в точке a функция является локально ограниченной в ней, то α(x)Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения (x) = O(Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения) при x → a.

Как отмечалось выше, равенства, отмеченные в свойствах 1)–6), читаются слева направо, хотя могут оказаться верными и при чтении справа налево (например, 7), 6)).

————

Пределы функций

Определение 3.1. Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения -окрестностью точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется множество
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, рис. 3.1.
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Выколотой Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения -окрестностью точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется множество
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения рис 3.2.
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Левой выколотой Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения -окрестностью точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется множество
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениярис. 3.3.
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Правой выколотой Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения-окрестностью точки Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения называется множество
 Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениярис. 3.4.

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Окрестности точек необходимы для того, чтобы строго определить понятие близости точек и понятие предела функции.
Определение 3.2. Число А называется пределом функцииПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения при
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияеслиПределы в математике - определение и вычисление с примерами решениятакое, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
С учетом определения 3.1 вместо (3.1) можно записать Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

П р и м е р 3.1
Рассмотрим функцию Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения рис.3.5.
Докажем, что Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определение 3.6. Функция y=f(x) называется бесконечно малой
в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Пусть f(x) и g(x) – две бесконечномалые функции в точке Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Тогда называется Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решениянеопределенностью типаПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Нахождение таких пределов называется раскрытием неопределенности. Аналогично раскрываются неопределенности типаПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
П р и м е р 3.5
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
П р и м е р 3.6
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
П р и м е р 3.7
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Рассмотрим дробно-рациональную функцию
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
П р и м е р 3.8

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

П р и м е р 3.9

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

П р и м е р 3.10

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

П р и м е р 3.11
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Определение 3.7. Функция y=f(x) имеет предел при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, если
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Легко видеть, что А в определении 3.7 единственно, поэтому определения 3.2 и 3.7 эквивалентны.
Из определения 3.7 следует, что функция y=f(x) не имеет предела приПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, если
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияудовлетворяющий условиюПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, для которого выполнено условиеПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения 

Теорема 3.5. (критерий Коши). Для того чтобы y=f(x) имела предел приПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения необходимо и достаточно, чтобыПределы в математике - определение и вычисление с примерами решениятакое что
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Из теоремы следует, что функция y=f(x) не имеет предела при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения еслиПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Теоремы о пределах

Теорема 4.1.
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения– первый замечательный предел. (4.1)
Доказательство
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияРассмотрим круг единичного радиуса и центральный угол в х радиан, рис. 4.1.
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
ТогдаПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Так как радиус круга равен 1, то Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияпоэтомуПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решенияАналогично Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
П р и м е р 4.1

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
П р и м е р 4.2
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
П р и м е р 4.3

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

П р и м е р 4.4
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Теорема 4.2.
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Формула (4.2) аналогична формуле (2.2). Верны также формулы
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
Формулы (4.4) и (4.5) следуют из (4.3).
Докажем, например, (4.4):
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
П р и м е р 4.5

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

П р и м е р 4.6

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

П р и м е р 4.7

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

П р и м е р 4.8

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Определение 4.1. Пусть f(x ) и g( x) – бесконечно малые функции при
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения. Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, тогда f( x) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем g( x) при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения При этом пишут Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения(о – «о – малое»).
ПустьПределы в математике - определение и вычисление с примерами решения, тогда f(x ) и g( x) – бесконечно малые одного порядка малости при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения А если Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения то f(x ) и g( x) – эквивалентные бесконечно малые при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения  При этом пишут Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения
П р и м е р 4.9

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Все равенства при Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 4.3. Пусть Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения – произвольная функция и пусть
Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения и эти пределы равны.
Действительно, Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

П р и м е р 4.10

Пределы в математике - определение и вычисление с примерами решения

  • Функции многих переменных
  • Уравнения прямых и кривых на плоскости
  • Плоскость и прямая в пространстве
  • Определитель матрицы
  • Квадратичная функция
  • Тригонометрические функции
  • Производные тригонометрических функции
  • Производная сложной функции

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти работу силы трения по модулю
  • Как найти суммарную работу всех сил
  • Холодец помутнел при варке как исправить
  • Как найти сумму в рублях в экселе
  • Как составить реестр документов для налоговой по требованию образец