Как найти границы вероятности

From Wikipedia, the free encyclopedia

Probability bounds analysis (PBA) is a collection of methods of uncertainty propagation for making qualitative and quantitative calculations in the face of uncertainties of various kinds. It is used to project partial information about random variables and other quantities through mathematical expressions. For instance, it computes sure bounds on the distribution of a sum, product, or more complex function, given only sure bounds on the distributions of the inputs. Such bounds are called probability boxes, and constrain cumulative probability distributions (rather than densities or mass functions).

This bounding approach permits analysts to make calculations without requiring overly precise assumptions about parameter values, dependence among variables, or even distribution shape. Probability bounds analysis is essentially a combination of the methods of standard interval analysis and classical probability theory. Probability bounds analysis gives the same answer as interval analysis does when only range information is available. It also gives the same answers as Monte Carlo simulation does when information is abundant enough to precisely specify input distributions and their dependencies. Thus, it is a generalization of both interval analysis and probability theory.

The diverse methods comprising probability bounds analysis provide algorithms to evaluate mathematical expressions when there is uncertainty about the input values, their dependencies, or even the form of mathematical expression itself. The calculations yield results that are guaranteed to enclose all possible distributions of the output variable if the input p-boxes were also sure to enclose their respective distributions. In some cases, a calculated p-box will also be best-possible in the sense that the bounds could be no tighter without excluding some of the possible distributions.

P-boxes are usually merely bounds on possible distributions. The bounds often also enclose distributions that are not themselves possible. For instance, the set of probability distributions that could result from adding random values without the independence assumption from two (precise) distributions is generally a proper subset of all the distributions enclosed by the p-box computed for the sum. That is, there are distributions within the output p-box that could not arise under any dependence between the two input distributions. The output p-box will, however, always contain all distributions that are possible, so long as the input p-boxes were sure to enclose their respective underlying distributions. This property often suffices for use in risk analysis and other fields requiring calculations under uncertainty.

History of bounding probability[edit]

The idea of bounding probability has a very long tradition throughout the history of probability theory. Indeed, in 1854 George Boole used the notion of interval bounds on probability in his The Laws of Thought.^[1][2] Also dating from the latter half of the 19th century, the inequality attributed to Chebyshev described bounds on a distribution when only the mean and variance of the variable are known, and the related inequality attributed to Markov found bounds on a positive variable when only the mean is known. Kyburg^[3] reviewed the history of interval probabilities and traced the development of the critical ideas through the 20th century, including the important notion of incomparable probabilities favored by Keynes.

Of particular note is Fréchet’s derivation in the 1930s of bounds on calculations involving total probabilities without dependence assumptions. Bounding probabilities has continued to the present day (e.g., Walley’s theory of imprecise probability.^[4])

The methods of probability bounds analysis that could be routinely used in
risk assessments were developed in the 1980s. Hailperin^[2] described a computational scheme for bounding logical calculations extending the ideas of Boole. Yager^[5] described the elementary procedures by which bounds on convolutions can be computed under an assumption of independence. At about the same time, Makarov,^[6] and independently, Rüschendorf^[7] solved the problem, originally posed by Kolmogorov, of how to find the upper and lower bounds for the probability distribution of a sum of random variables whose marginal distributions, but not their joint distribution, are known. Frank et al.^[8] generalized the result of Makarov and expressed it in terms of copulas. Since that time, formulas and algorithms for sums have been generalized and extended to differences, products, quotients and other binary and unary functions under various dependence assumptions.^{[9][10][11][12][13][14]}

Arithmetic expressions[edit]

Arithmetic expressions involving operations such as additions, subtractions, multiplications, divisions, minima, maxima, powers, exponentials, logarithms, square roots, absolute values, etc., are commonly used in risk analyses and uncertainty modeling. Convolution is the operation of finding the probability distribution of a sum of independent random variables specified by probability distributions. We can extend the term to finding distributions of other mathematical functions (products, differences, quotients, and more complex functions) and other assumptions about the intervariable dependencies. There are convenient algorithms for computing these generalized convolutions under a variety of assumptions about the dependencies among the inputs.^{[5][9][10][14]}

Mathematical details[edit]

Let denote the space of distribution functions on the real numbers i.e.,

A p-box is a quintuple

where are real intervals, and This quintuple denotes the set of distribution functions such that:

If a function satisfies all the conditions above it is said to be inside the p-box. In some cases, there may be no information about the moments or distribution family other than what is encoded in the two distribution functions that constitute the edges of the p-box. Then the quintuple representing the p-box can be denoted more compactly as [B₁, B₂]. This notation harkens to that of intervals on the real line, except that the endpoints are distributions rather than points.

The notation denotes the fact that is a random variable governed by the distribution function F, that is,

Let us generalize the tilde notation for use with p-boxes. We will write X ~ B to mean that X is a random variable whose distribution function is unknown except that it is inside B. Thus, X ~ F ∈ B can be contracted to X ~ B without mentioning the distribution function explicitly.

If X and Y are independent random variables with distributions F and G respectively, then X + Y = Z ~ H given by

This operation is called a convolution on F and G. The analogous operation on p-boxes is straightforward for sums. Suppose

If X and Y are stochastically independent, then the distribution of Z = X + Y is inside the p-box

Finding bounds on the distribution of sums Z = X + Y without making any assumption about the dependence between X and Y is actually easier than the problem assuming independence. Makarov^[6][8][9] showed that

These bounds are implied by the Fréchet–Hoeffding copula bounds. The problem can also be solved using the methods of mathematical programming.^[13]

The convolution under the intermediate assumption that X and Y have positive dependence is likewise easy to compute, as is the convolution under the extreme assumptions of perfect positive or perfect negative dependency between X and Y.^[14]

Generalized convolutions for other operations such as subtraction, multiplication, division, etc., can be derived using transformations. For instance, p-box subtraction A − B can be defined as A + (−B), where the negative of a p-box B = [B₁, B₂] is [B₂(−x), B₁(−x)].

Logical expressions[edit]

Logical or Boolean expressions involving conjunctions (AND operations), disjunctions (OR operations), exclusive disjunctions, equivalences, conditionals, etc. arise in the analysis of fault trees and event trees common in risk assessments. If the probabilities of events are characterized by intervals, as suggested by Boole^[1] and Keynes^[3] among others, these binary operations are straightforward to evaluate. For example, if the probability of an event A is in the interval P(A) = a = [0.2, 0.25], and the probability of the event B is in P(B) = b = [0.1, 0.3], then the probability of the conjunction is surely in the interval

  P(A & B) = a × b

= [0.2, 0.25] × [0.1, 0.3]

= [0.2 × 0.1, 0.25 × 0.3]

= [0.02, 0.075]

so long as A and B can be assumed to be independent events. If they are not independent, we can still bound the conjunction using the classical Fréchet inequality. In this case, we can infer at least that the probability of the joint event A & B is surely within the interval

  P(A & B) = env(max(0, a+b−1), min(a, b))

= env(max(0, [0.2, 0.25]+[0.1, 0.3]−1), min([0.2, 0.25], [0.1, 0.3]))

= env([max(0, 0.2+0.1–1), max(0, 0.25+0.3–1)], [min(0.2,0.1), min(0.25, 0.3)])

= env([0,0], [0.1, 0.25])

= [0, 0.25]

where env([x₁,x₂], [y₁,y₂]) is [min(x₁,y₁), max(x₂,y₂)]. Likewise, the probability of the disjunction is surely in the interval

  P(A v B) = a + b − a × b = 1 − (1 − a) × (1 − b)

= 1 − (1 − [0.2, 0.25]) × (1 − [0.1, 0.3])

= 1 − [0.75, 0.8] × [0.7, 0.9]

= 1 − [0.525, 0.72]

= [0.28, 0.475]

if A and B are independent events. If they are not independent, the Fréchet inequality bounds the disjunction

  P(A v B) = env(max(a, b), min(1, a + b))

= env(max([0.2, 0.25], [0.1, 0.3]), min(1, [0.2, 0.25] + [0.1, 0.3]))

= env([0.2, 0.3], [0.3, 0.55])

= [0.2, 0.55].

It is also possible to compute interval bounds on the conjunction or disjunction under other assumptions about the dependence between A and B. For instance, one might assume they are positively dependent, in which case the resulting interval is not as tight as the answer assuming independence but tighter than the answer given by the Fréchet inequality. Comparable calculations are used for other logical functions such as negation, exclusive disjunction, etc. When the Boolean expression to be evaluated becomes complex, it may be necessary to evaluate it using the methods of mathematical programming^[2] to get best-possible bounds on the expression. A similar problem one presents in the case of probabilistic logic (see for example Gerla 1994). If the probabilities of the events are characterized by probability distributions or p-boxes rather than intervals, then analogous calculations can be done to obtain distributional or p-box results characterizing the probability of the top event.

Magnitude comparisons[edit]

The probability that an uncertain number represented by a p-box D is less than zero is the interval Pr(D < 0) = [F(0), F̅(0)], where F̅(0) is the left bound of the probability box D and F(0) is its right bound, both evaluated at zero. Two uncertain numbers represented by probability boxes may then be compared for numerical magnitude with the following encodings:

A < B = Pr(A − B < 0),

A > B = Pr(B − A < 0),

A ≤ B = Pr(A − B ≤ 0), and

A ≥ B = Pr(B − A ≤ 0).

Thus the probability that A is less than B is the same as the probability that their difference is less than zero, and this probability can be said to be the value of the expression A < B.

Like arithmetic and logical operations, these magnitude comparisons generally depend on the stochastic dependence between A and B, and the subtraction in the encoding should reflect that dependence. If their dependence is unknown, the difference can be computed without making any assumption using the Fréchet operation.

Sampling-based computation[edit]

Some analysts^{[15][16][17][18][19][20]} use sampling-based approaches to computing probability bounds, including Monte Carlo simulation, Latin hypercube methods or importance sampling. These approaches cannot assure mathematical rigor in the result because such simulation methods are approximations, although their performance can generally be improved simply by increasing the number of replications in the simulation. Thus, unlike the analytical theorems or methods based on mathematical programming, sampling-based calculations usually cannot produce verified computations. However, sampling-based methods can be very useful in addressing a variety of problems which are computationally difficult to solve analytically or even to rigorously bound. One important example is the use of Cauchy-deviate sampling to avoid the curse of dimensionality in propagating interval uncertainty through high-dimensional problems.^[21]

Relationship to other uncertainty propagation approaches[edit]

PBA belongs to a class of methods that use imprecise probabilities to simultaneously represent aleatoric and epistemic uncertainties. PBA is a generalization of both interval analysis and probabilistic convolution such as is commonly implemented with Monte Carlo simulation. PBA is also closely related to robust Bayes analysis, which is sometimes called Bayesian sensitivity analysis. PBA is an alternative to second-order Monte Carlo simulation.

Applications[edit]

P-boxes and probability bounds analysis have been used in many applications spanning many disciplines in engineering and environmental science, including:

• Engineering design^[22]
• Expert elicitation^[23]
• Analysis of species sensitivity distributions^[24]
• Sensitivity analysis in aerospace engineering of the buckling load of the frontskirt of the Ariane 5 launcher^[25]
• ODE models of chemical reactor dynamics^[26][27]
• Pharmacokinetic variability of inhaled VOCs^[28]
• Groundwater modeling^[29]
• Bounding failure probability for series systems^[30]
• Heavy metal contamination in soil at an ironworks brownfield^[31][32]
• Uncertainty propagation for salinity risk models^[33]
• Power supply system safety assessment^[34]
• Contaminated land risk assessment^[35]
• Engineered systems for drinking water treatment^[36]
• Computing soil screening levels^[37]
• Human health and ecological risk analysis by the U.S. EPA of PCB contamination at the Housatonic River Superfund site^[38][39]
• Environmental assessment for the Calcasieu Estuary Superfund site^[40]
• Aerospace engineering for supersonic nozzle thrust^[41]
• Verification and validation in scientific computation for engineering problems^[42]
• Toxicity to small mammals of environmental mercury contamination^[43]
• Modeling travel time of pollution in groundwater^[44]
• Reliability analysis^[45]
• Endangered species assessment for reintroduction of Leadbeater’s possum^[46]
• Exposure of insectivorous birds to an agricultural pesticide^[47]
• Climate change projections^[31][48][49]
• Waiting time in queuing systems^[50]
• Extinction risk analysis for spotted owl on the Olympic Peninsula^[51]
• Biosecurity against introduction of invasive species or agricultural pests^[52]
• Finite-element structural analysis^[53][54][55]
• Cost estimates^[56]
• Nuclear stockpile certification^[57]
• Fracking risks to water pollution^[58]

See also[edit]

• Probability box
• Robust Bayes analysis
• Imprecise probability
• Second-order Monte Carlo simulation
• Monte Carlo simulation
• Interval analysis
• Probability theory
• Risk analysis

References[edit]

Further references[edit]

• Bernardini, Alberto; Tonon, Fulvio (2010). Bounding Uncertainty in Civil Engineering: Theoretical Background. Berlin: Springer. ISBN 978-3-642-11189-1.
• Ferson, Scott (2002). RAMAS Risk Calc 4.0 Software : Risk Assessment with Uncertain Numbers. Boca Raton, Florida: Lewis Publishers. ISBN 978-1-56670-576-9.
• Gerla, G. (1994). «Inferences in Probability Logic». Artificial Intelligence. 70 (1–2): 33–52. doi:10.1016/0004-3702(94)90102-3.
• Oberkampf, William L.; Roy, Christopher J. (2010). Verification and Validation in Scientific Computing. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11360-1.

External links[edit]

• Probability bounds analysis in environmental risk assessments
• Intervals and probability distributions
• Epistemic uncertainty project
• The Society for Imprecise Probability: Theories and Applications

Анализ границ вероятности (PBA ) — это набор методов распространения неопределенности для качественного и количественные расчеты с учетом различного рода неопределенностей. Он используется для проецирования частичной информации о случайных величинах и других величинах с помощью математических выражений. Например, он вычисляет надежные границы распределения суммы, произведения или более сложной функции, учитывая только надежные границы распределений входных данных. Такие границы называются ячейками вероятности и ограничивают кумулятивные распределения вероятностей (а не плотности или функции масс ).

Этот подход ограничения позволяет аналитикам производить расчеты, не требуя чрезмерно точных предположений о значениях параметров, зависимости между переменными или даже форме распределения. Анализ границ вероятности, по сути, представляет собой комбинацию методов стандартного интервального анализа и классической теории вероятностей. Анализ границ вероятности дает тот же ответ, что и интервальный анализ, когда доступна только информация о диапазоне. Он также дает те же ответы, что и моделирование Монте-Карло, когда информации достаточно, чтобы точно указать входные распределения и их зависимости. Таким образом, это обобщение как интервального анализа, так и теории вероятностей.

Разнообразные методы, включающие анализ границ вероятности, предоставляют алгоритмы для оценки математических выражений при наличии неопределенности относительно входных значений, их зависимостей или даже формы самого математического выражения. Вычисления дают результаты, которые гарантированно включают все возможные распределения выходной переменной, если входные p-блоки также обязательно включают соответствующие распределения. В некоторых случаях вычисленный p-блок также будет наилучшим из возможных в том смысле, что границы не могут быть более жесткими без исключения некоторых возможных распределений.

P-блоки обычно просто ограничивают возможные распределения. Границы часто также включают распределения, которые сами по себе невозможны. Например, набор распределений вероятностей, которые могут возникнуть в результате добавления случайных значений без предположения о независимости от двух (точных) распределений, обычно является правильным подмножеством всех распределений, заключенных в p-блок, вычисляемый для суммы. То есть внутри выходного p-блока есть распределения, которые не могут возникнуть ни при какой зависимости между двумя входными распределениями. Однако выходной p-блок всегда будет содержать все возможные распределения, при условии, что входные p-блоки обязательно включают соответствующие базовые распределения. Этого свойства часто бывает достаточно для использования в анализе риска и других областях, требующих вычислений в условиях неопределенности.

Содержание

• 1 История ограничивающей вероятности
• 2 Арифметические выражения
  • 2.1 Математические детали
• 3 Логические выражения
• 4 Сравнение величин
• 5 Вычисление на основе выборки
• 6 Связь с другие подходы к распространению неопределенности
• 7 Приложения
• 8 См. также
• 9 Ссылки
• 10 Дополнительные ссылки
• 11 Внешние ссылки

История ограниченной вероятности

Идея ограничивающей вероятности имеет очень давнюю традицию на протяжении всей истории теории вероятностей. Действительно, в 1854 году Джордж Буль использовал понятие интервальных границ вероятности в своей Законы мысли. Неравенство , также относящееся ко второй половине XIX века,, приписываемое Чебышеву, описывает границы распределения, когда известны только среднее значение и дисперсия переменной, а также связанные неравенство, приписываемое Маркову, обнаружило границы положительной переменной, когда известно только среднее значение. Кибург рассмотрел историю интервальных вероятностей и проследил развитие критических идей в течение 20-го века, включая важное понятие несравнимых вероятностей, одобренное Кейнсом. Особо следует отметить вывод Фреше в 1930-х годах ограничений на вычисления, включающие полные вероятности без предположений о зависимости. Ограничение вероятностей продолжается и по сей день (например, теория Уолли неточной вероятности.)

Методы анализа границ вероятности, которые можно было бы регулярно использовать при оценке риска, были разработаны в 1980-х годах. Хайлперин описал вычислительную схему для ограничивающих логических вычислений, расширяющую идеи Буля. Ягер описал элементарные процедуры, с помощью которых могут быть вычислены границы сверток в предположении независимости. Примерно в то же время Макаров и независимо от него Рюшендорф решили проблему, первоначально поставленную Колмогоровым, о том, как найти верхнюю и нижнюю границы для распределения вероятностей суммы случайных величин, маргинальные распределения которых но не их совместное распространение, известно. Франк и др. обобщил результат Макарова и выразил его в терминах связок. С того времени формулы и алгоритмы для сумм были обобщены и расширены на различия, произведения, частные и другие двоичные и унарные функции при различных предположениях зависимости.

Арифметические выражения

Арифметические выражения, включающие такие операции, как в качестве сложения, вычитания, умножения, деления, минимума, максимума, степени, экспоненты, логарифма, квадратного корня, абсолютного значения и т. д. обычно используются в анализе риска и моделировании неопределенности. Свертка — это операция нахождения распределения вероятностей суммы независимых случайных величин, заданных распределениями вероятностей. Мы можем расширить этот термин до нахождения распределений других математических функций (продуктов, различий, частных и более сложных функций) и других предположений о взаимозависимостях переменных. Существуют удобные алгоритмы для вычисления этих обобщенных сверток при различных предположениях о зависимостях между входными данными.

Математические детали

Пусть D { displaystyle mathbb {D}}обозначают пространство функций распределения на вещественных числах R, { displaystyle mathbb {R},}т.е.

D = { D | D: R → [0, 1], D (x) ≤ D (y) для всех x < y }. {displaystyle mathbb {D} ={D|D:mathbb {R} to [0,1],D(x)leq D(y){text{ for all }}x

p-блок — это пятерка

{F ¯, F _, m, v, F}, { displaystyle left {{ overline {F}}, { underline {F}}, m, v, mathbf {F} right },}

где F ¯, F _ ∈ D, m, v { displaystyle { overline {F}}, { underline {F}} in mathbb {D}, m, v}— действительные интервалы, а F ⊂ D. { displaystyle mathbf {F} subset mathbb {D}.}Эта пятерка обозначает набор функций распределения F ∈ F ⊂ D { displaystyle F in mathbf {F} subset mathbb {D}}такое, что:

∀ x ∈ R: F ¯ (x) ≤ F (x) ≤ F _ (x) ∫ R xd F (x) ∈ m условие ожидания ∫ R x 2 d F (x) — (∫ R xd F (x)) 2 ∈ v условие дисперсии { displaystyle { begin {align} forall x in mathbb {R}: qquad { overline {F}} (x) leq F (x) leq { underline {F}} (x) \ [6pt] int _ { mathbb {R}} xdF (x) in m { text {условие ожидания}} \ int _ { mathbb {R}} x ^ {2} dF (x) — left ( int _ { mathbb {R}} xdF (x) right) ^ {2} in v { text {условие отклонения}} end {выровнено}}}

Если функция удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям, то говорят, что она находится внутри p-блока. В некоторых случаях может отсутствовать информация о моментах или семействе распределения, кроме того, что закодировано в двух функциях распределения, которые составляют края p-блока. Тогда пятерка, представляющая p-блок {B 1, B 2, [- ∞, ∞], [0, ∞], D} { displaystyle {B_ {1}, B_ {2}, [- infty, infty], [0, infty], mathbb {D} }}можно более компактно обозначить как [B 1, B 2 ]. Эта запись похожа на обозначение интервалов на реальной прямой, за исключением того, что конечные точки — это распределения, а не точки.

Обозначение X ∼ F { displaystyle X sim F}обозначает тот факт, что X ∈ R { displaystyle X in mathbb {R}}— случайная величина, управляемая функцией распределения F, то есть

{F: R → [0, 1] x ↦ Pr (X ≤ x) { displaystyle { begin {cases} F: mathbb {R} to [0,1] \ x mapsto Pr (X leq x) end {cases}}}

Давайте обобщим обозначение тильды для использования с p-блоками. Мы будем писать X ~ B, чтобы обозначать, что X — случайная величина, функция распределения которой неизвестна, за исключением того, что она находится внутри B. Таким образом, X ~ F ∈ B можно свести к X ~ B без явного упоминания функции распределения.

Если X и Y — независимые случайные величины с распределениями F и G соответственно, то X + Y = Z ~ H задается формулой

H (z) = ∫ z = x + y F (x) G (y) dz = ∫ RF (x) G (z — x) dx = F ∗ G. { Displaystyle H (z) = int _ {z = x + y} F (x) G (y) dz = int _ { mathbb {R}} F ​​(x) G (zx) dx = F * G.}

Эта операция называется сверткой над F и G. Аналогичная операция над p-блоками проста для сумм. Предположим, что

X ∼ A = [A 1, A 2] и Y ∼ B = [B 1, B 2]. { displaystyle X sim A = [A_ {1}, A_ {2}], quad { text {and}} quad Y sim B = [B_ {1}, B_ {2}].}

Если X и Y стохастически независимы, то распределение Z = X + Y находится внутри p-блока

[A 1 ∗ B 1, A 2 ∗ B 2]. { displaystyle left [A_ {1} * B_ {1}, A_ {2} * B_ {2} right].}

Нахождение границ распределения сумм Z = X + Y без каких-либо предположений о зависимость между X и Y на самом деле проще, чем проблема, предполагающая независимость. Макаров показал, что

Z ∼ [sup z = x + y max (F (x) + G (y) — 1, 0), inf z = x + y min (F (x) + G (y), 1)] { Displaystyle Z sim влево [ sup _ {z = x + y} max (F (x) + G (y) -1,0), inf _ {z = x + y} min (F (x) + G (y), 1) right]}

Эти границы подразумеваются границами Фреше – Хоффдинга копула. Проблема также может быть решена с использованием методов математического программирования.

Свертка при промежуточном предположении, которое имеют X и Y, также легко вычисляется, как и свертка при экстремальных предположениях совершенного положительного или зависимости между X и Y.

Обобщенные свертки для других операций, таких как вычитание, умножение, деление и т. Д., Могут быть получены с использованием преобразований. Например, вычитание p-блока A — B может быть определено как A + (-B), где отрицательное значение p-блока B = [B 1, B 2 ] равно [B 2 (-x), B 1 (-x)].

Логические выражения

Логические или логические выражения, включающие союзы (AND операции), дизъюнкции (OR операций), исключительные дизъюнкции, эквивалентности, условия и т. д. возникают при анализе деревьев отказов и деревьев событий, общих для оценок риска. Если вероятности событий характеризуются интервалами, как, среди прочего, предложено Boole и Кейнсом, эти двоичные операции легко оценить. Например, если вероятность события A находится в интервале P (A) = a = [0,2, 0,25], а вероятность события B находится в P (B) = b = [0,1, 0,3], то вероятность соединения обязательно находится в интервале

P (A B) = a × b

= [0,2, 0,25] × [0,1, 0,3]

= [0,2 × 0,1, 0,25 × 0,3]

= [0,02, 0,075]

при условии, что A и B можно считать независимыми событиями. Если они не являются независимыми, мы все же можем оценить конъюнкцию, используя классическое неравенство Фреше. В этом случае мы можем сделать вывод, по крайней мере, о том, что вероятность совместного события A и B, несомненно, находится в интервале

P (A B) = env (max (0, a + b − 1), min (a, b))

= env (max (0, [0,2, 0,25] + [0,1, 0,3] -1), min ([0,2, 0,25], [0,1, 0,3]))

= env ([max (0, 0,2 + 0,1–1), max (0, 0,25 + 0,3–1)], [min (0,2,0,1), min (0,25, 0,3)])

= env ([0,0], [0.1, 0.25])

= [0, 0.25]

где env ([x 1,x2], [y 1,y2]) равно [min ( x 1,y1), max (x 2,y2)]. Точно так же вероятность дизъюнкции обязательно находится в интервале

P (A v B) = a + b — a × b = 1 — (1 — a) × (1 — b)

= 1 — (1 — [0,2, 0,25]) × (1 — [0,1, 0,3])

= 1 — [0,75, 0,8] × [0,7, 0,9]

= 1 — [0,525, 0,72]

= [0,28, 0,475]

, если A и B являются независимыми событиями. Если они не являются независимыми, неравенство Фреше ограничивает дизъюнкцию

P (A v B) = env (max (a, b), min (1, a + b))

= env (max ([0.2, 0,25], [0,1, 0,3]), мин (1, [0,2, 0,25] + [0,1, 0,3]))

= env ([0,2, 0,3], [0,3, 0,55])

= [0.2, 0.55].

Также возможно вычислить границы интервала для конъюнкции или дизъюнкции при других предположениях о зависимости между A и B. Например, можно предположить, что они положительно зависимы, в этом случае результирующий интервал будет не таким узким, как ответ, предполагающий независимость, но более узким, чем ответ, данный неравенством Фреше. Сравнимые вычисления используются для других логических функций, таких как отрицание, исключительная дизъюнкция и т. Д. Когда вычисляемое логическое выражение становится сложным, может потребоваться вычислить его с помощью методов математического программирования, чтобы получить наилучшие границы выражения. Похожая проблема возникает в случае вероятностной логики (см., Например, Gerla 1994). Если вероятности событий характеризуются распределениями вероятностей или p-блоками, а не интервалами, то аналогичные вычисления могут быть выполнены для получения результатов распределения или p-блоков, характеризующих вероятность главного события.

Сравнение величин

Вероятность того, что неопределенное число, представленное p-блоком D, меньше нуля, — это интервал Pr (D < 0) = [F(0), F̅ (0)], где F̅ (0) — левая граница вероятностного бокса D, а F (0) — его правая граница, оба оцениваются как ноль. Два неопределенных числа, представленные вероятностными квадратами, затем можно сравнить по числовой величине следующие кодировки:

A < B = Pr(A − B < 0),

A>B = Pr (B — A < 0),

A ≤ B = Pr (A — B ≤ 0) и

A ≥ B = Pr (B — A ≤ 0).

Таким образом, вероятность того, что A меньше B, равна вероятности того, что их разница меньше нуля, и эту вероятность можно назвать значением выражения A < B.

Подобно арифметическим и логическим операциям, эти сравнения величин обычно зависят от стохастической зависимости между A и B, и вычитание при кодировании должно отражать эту зависимость. Если их зависимость неизвестна, разницу можно вычислить без каких-либо предположений, используя th e Операция Фреше.

Вычисление на основе выборки

Некоторые аналитики используют подходы на основе выборки для вычисления границ вероятности, включая моделирование Монте-Карло, методы латинского гиперкуба или выборка по важности. Эти подходы не могут гарантировать математическую строгость результата, поскольку такие методы моделирования являются приближениями, хотя их производительность, как правило, можно улучшить, просто увеличив количество повторений в моделировании. Таким образом, в отличие от аналитических теорем или методов, основанных на математическом программировании, вычисления на основе выборки обычно не могут дать проверенных вычислений. Однако методы, основанные на выборке, могут быть очень полезны при решении множества задач, которые с вычислительной точки зрения трудно решить аналитически или даже строго связать. Одним из важных примеров является использование выборки с отклонением Коши, чтобы избежать проклятия размерности при распространении неопределенности интервала через проблемы большой размерности.

Связь с распространением другой неопределенности подходы

PBA принадлежит к классу методов, которые используют неточные вероятности для одновременного представления алеаторической и эпистемической неопределенности. PBA — это обобщение как интервального анализа, так и вероятностной свертки, например, что обычно реализуется с помощью моделирования Монте-Карло. PBA также тесно связан с надежным байесовским анализом, который иногда называют анализом байесовской чувствительности. PBA — альтернатива.

Приложения

P-box и анализ границ вероятности использовались во многих приложениях, охватывающих многие дисциплины в области инженерии и экологии, включая:

• Инженерное проектирование
• Экспертное заключение
• Анализ распределений чувствительности видов
• Анализ чувствительности в аэрокосмической технике изгибающей нагрузки передней юбки Ariane 5 пусковая установка
• ODE модели химического реактора динамика
• Фармакокинетика изменчивость вдыхаемых ЛОС
• Моделирование подземных вод
• Граничное нарушение вероятность для серийных систем
• Загрязнение почв тяжелыми металлами на заводе заброшенном месторождении
• Распространение неопределенности для моделей риска засоления
• Оценка безопасности системы электроснабжения
• Оценка риска загрязненных земель
• Инженерные системы для питьевой очистки воды
• Вычисление уровней скрининга почвы
• Здоровье человека и экологи анализ рисков, проведенный США. EPA загрязнения ПХБ на участке Housatonic River Superfund
• Экологическая оценка для Calcasieu Estuary Superfund сайт
• Аэрокосмическая техника для сверхзвукового сопла тяги
• Проверка и валидация в научных расчетах для инженерных задач
• Токсичность для мелких млекопитающих окружающей среды ртуть загрязнение
• Моделирование времени прохождения загрязнения в подземных водах
• Анализ надежности
• Вымирающие виды оценка повторного внедрения опоссума Ледбитера
• Воздействие насекомоядные птицы на сельскохозяйственный пестицид
• Изменение климата прогнозы
• Время ожидания в системах очередей
• исчезновение анализ риска пятнистой совы на Олимпийском полуострове
• Биозащита от интродукции инвазивных видов или сельскохозяйственных видов
• Конечный элемент структурный анализ
• Смета
• Nucl запас ушей сертификация
• гидроразрыв риски загрязнения воды

См. также

Ссылки

Дополнительные ссылки

• Бернардини, Альберто; Тонон, Фульвио (2010). Граничная неопределенность в гражданском строительстве: теоретические основы. Берлин: Springer. ISBN 978-3-642-11189-1.
• Ферсон, Скотт (2002). Программное обеспечение RAMAS Risk Calc 4.0: оценка рисков с неопределенными числами. Бока-Ратон, Флорида: Lewis Publishers. ISBN 978-1-56670-576-9.
• Герла Г. (1994). «Выводы в вероятностной логике». Искусственный интеллект. 70 (1–2): 33–52. doi : 10.1016 / 0004-3702 (94) 90102-3.
• Оберкампф, Уильям Л.; Рой, Кристофер Дж. (2010). Проверка и подтверждение в научных вычислениях. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11360-1.

Внешние ссылки

Определяя
для средней арифметической (или
относительной) величины два крайних
значения: минимально возможное и
максимально возможное, находят пределы,
в которых может быть искомая величина
генерального
параметра. Эти
пределы называют доверительными
границами.

Доверительные
границы — границы
средних (или относительных) величин,
выход за пределы которых вследствие
случайных колебаний имеет незначительную
вероятность.

Вероятность
попадания средней или относительной
величины в доверительный интервал
называется доверительной
вероятностью.

Доверительные
границы средней
арифметической генеральной совокупности
определяют по формуле:

М_ген
= М_выб
±
t
· m_M

Доверительные
границы относительной величины в
генеральной совокупности определяют
по следующей формуле:

Р_ген
= Рвыб ± t
· m_р

Где:
М_ген
и Р_ген
— значения средней и
относительной величин, полученных для
генеральной совокупности;

М_выб
и Р_выб
— значения средней и
относительной величин, полученных для
выборочной совокупности;

m_M
и m_р
— ошибки
репрезентативности выборочных величин;

t
— доверительный критерий,
который зависит от величины безошибочного
прогноза, устанавливаемого при
планировании исследования.

Произведение
t
· m
(Δ)
— предельная ошибка показателя, полученного
при данном выборочном исследовании.

Размеры
предельной ошибки зависят от коэффициента
t,
который избирает сам
исследователь, исходя из заданной
вероятности безошибочного прогноза.

Величина
критерия t
связана с вероятностью
безошибочного прогноза (Р)
и числом наблюдений в
выборочной совокупности (табл. 4.1).

Таблица
4.1

Зависимость
доверительного критерия t
от степени

вероятности
безошибочного прогноза
Р (при n
> 30)

Степень вероятности безошибочного прогноза (Р %)	Доверительный критерий t
95,0	2
99,0	2,6
99,9	3,3

Для большинства
медико-биологических и социальных
исследований достоверными считаются
доверительные границы, установленные
с вероятностью безошибочного прогноза
= 95% и более.

Чтобы
найти критерий t
при числе наблюдений
(n) < 30,
необходимо пользоваться специальной
таблицей Н.А.Плохинского (табл. 4.2), в
которой слева показано число наблюдений
— единица (n
— 1), а сверху (Р)
— степень вероятности
безошибочного прогноза.

При
определении доверительных границ
сначала надо решить вопрос о том, с какой
степенью вероятности безошибочного
прогноза необходимо представить
доверительные границы средней или
относительной величины. Избрав
определенную степень вероятности,
соответственно этому находят величину
доверительного критерия t
при данном числе
наблюдений. Таким образом, доверительный
критерий устанавливается заранее, при
планировании исследования.

Таблица 4.2

Значение
критерия t
для трех степеней
вероятности (по Н.А.Плохинскому)

Р n = n-1	95%	99%	99,9%
1	12,7	63,7	37,0
2	4,3	9,9	31,6
3	3,2	5,8	12,9
4	2,8	4,6	8,6
5	2,6	4,0	6,9
6	2,4	3,7	6,0
7	2,4	3,5	5,3
8	2,3	3,4	5,0
9	2,3	3,3	4,8
10	2,2	3,2	4,6
11	2,2	3,1	4,4
12	2,2	3,1	4,3
13	2,3	3,0	4,1
14-15	2,1	3,0	4,1
16-17	2,1	2,9	4,0
18-20	2,1	2,9	3,9
21-24	2,1	2,8	3,8
25-29	2,0	2,8	3,7

Любой параметр
(средняя или относительная величина)
может оцениваться с учетом доверительных
границ, полученных при расчете.

Например:требуется определить доверительные
границы среднего уровня пепсина у
больных гипертериозом с 95% вероятностью
безошибочного прогноза. Если известно,
что:

n
= 49;

М_выб
=1г%;

m_м
= ± 0,05г%

1.Определение
доверительных границ средней величины
в генеральной совокупности:

М_ген
= М_выб
±
t
· m_M
= 1г% ± 2 ·
0,05г%

1г%
+ 0,1г% = 1,1 г%

М_ген
=

1г%
— 0,1г% = 0,9 г%

Заключение:
установлено с вероятностью безошибочного
прогноза 95%, что средний уровень пепсина
в генеральной совокупности у больных
гипертериозом находится в пределах от
1,1 г% до 0,9 г%.

Как видно,
доверительные границы зависят от размера
доверительного интервала.

Анализ
доверительных интервалов указывает,
что при заданных степенях вероятности
и n
> 30 — t
имеет неизменную величину
и при этом доверительный интервал
зависит от величины ошибки репрезентативности.

С уменьшением
величины ошибки суживаются доверительные
границы средних и относительных величин,
полученных на выборочной совокупности,
т.е. уточняются результаты исследования,
которые приближаются к соответствующим
величинам генеральной совокупности.
Если ошибка большая, то получают для
выборочной величины большие доверительные
границы, которые могут противоречить
логической оценке искомой величины в
генеральной совокупности. В подобном
случае надо искать резервы сокращения
размаха доверительных границ в размере
величины ошибки репрезентативности.

Доверительные
границы М_выб
и Р_выб
зависят не только от
средних ошибок этих величин, но и от
избранной исследователем степени
вероятности безошибочного прогноза.
При большой степени вероятности размах
доверительных границ увеличивается.

3.
Определение достоверности разности
средних (или относительных) величин (по
критерию t
— Стъюдента).

В медицине и
здравоохранении по разности параметров
оценивают средние и относительные
величины, полученные для разных групп
населения по полу, возрасту, а также
групп больных и здоровых и т.д. Во всех
случаях при сопоставлении двух
сравниваемых величин возникает
необходимость не только определить
их разность, но и оценить ее достоверность.

Достоверность
разности величин, полученных при
выборочных исследованиях, означает,
что вывод об их различии может быть
перенесен на соответствующие генеральные
совокупности.

Достоверность
разности выборочной совокупности
измеряется доверительным критерием,
который рассчитывается по специальным
формулам для средних и относительных
величин.

Формула оценки
достоверности разности сравниваемых
средних величин:

M₁
— M₂

t
= ——————

m₁²
+ m₂²

Для относительных
величин:

Р₁
— Р₂

t
= ——————

m₁²
+ m₂²

Где:
M₁;
M₂
; Р₁;
Р₂
— параметры,
полученные при выборочных исследованиях;

m₁;
m₂
— их средние ошибки;

t
— критерий достоверности
(Стъюдента).

Разность
статистически достоверна при t
≥ 2, что соответствует
вероятности безошибочного прогноза,
равной 95% и более.

Для большинства
исследований, проводимых в медицине и
здравоохранении, такая степень вероятности
является вполне достаточной.

При
величине критерия достоверности t
< 2 степень вероятности
безошибочного прогноза составляет Р <
95%. При такой степени
вероятности нельзя утверждать, что
полученная разность показателей
достоверна с достаточной степенью
вероятности. В этом случае необходимо
получить дополнительные данные, увеличив
число наблюдений.

Иногда при увеличении
численности выборки разность продолжает
оставаться не достоверной. Если при
повторных исследованиях разность
остается недостоверной, можно считать
доказанным, что между сравниваемыми
совокупностями не обнаружено различий
по изучаемому признаку.

Например:требуется определить, достоверны ли
различия в уровне пепсина в желудочном
соке больных гипертериозом и здоровых
лиц. Обследуются на пепсин две группы:
49 больных гипертериозом и 50 здоровых
людей (контрольная группа). Результаты
представлены в таблице 4.3.

Таблица
4.3

Сравнение среднего
уровня пепсина в желудочном соке больных
гипертериозом и здоровых лиц

Сравниваемые группы	N	М (г%)	m (г%)	t	Уровень вероятности безошибочного прогноза (Р)
Больные гипертериозом	49	1,0	± 0,3	10,0	< 99,9
Здоровые (контрольная группа)	50	4,0	± 0,1

M₁
— M₂

t
= ——————

m₁²
+ m₂²

4
— 1

t
= —————- = 10,0

0,3²
+ 0,1²

Заключение:
при гипертериозе наблюдается снижение
уровня пепсина, что подтверждается с
большой степенью вероятности безошибочного
прогноза (Р > 99,9%).
Следовательно, снижение уровня пепсина
может быть использовано в качестве
одного из симптомов для подтверждения
диагностики гипертериоза.

Подобным же образом
оценивают достоверность разности
сравниваемых относительных величин.

Указанная методика
оценки достоверности и разности
результатов исследования позволяет
проводить только сравнение групп по
парам, при обязательном наличии обобщающих
параметров — средних арифметических
или относительных величин и их средних
ошибок.

Соседние файлы в папке По вопросам

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Была ли эта статья полезной?

Доверительный интервал для вероятности события:

Пусть вероятность

 

По заданному уровню надежности из таблицы функции Лапласа (см. прил., табл. П2) можно найти такое  что Правая часть равенства (3.2.1) будет равна , если 

откуда При подстановке такого в (3.2.1) получается равенство 

К сожалению, в формуле (3.2.2) доверительные границы для вероятности выражаются через саму эту неизвестную вероятность. Это затруднение можно обойти, заметив, что Тогда формулу (3.2.2) можно записать в виде 

Оценка  величиной 1/4 приемлема, если есть уверенность, что неизвестная вероятность близка к 1/2. Но при значениях p близких к 0 или 1 такая оценка слишком груба. Например, при получаем всего лишь вместо 0,25. Можно точный доверительный интервал заменить приближенным, если учесть, что при большом числе опытов Тогда из (3.2.2) следует, что 

Пример:

Для обследования большой партии изделий (несколько тысяч штук) наугад выбрано 160 изделий. Среди них оказалось 56 изделий низкого сорта. Оценить долю изделий низкого сорта в этой партии с надежностью 0,95.

Решение. Так как партия изделий крупная, то для упрощения можно считать, что по мере выбора изделий состав партии заметно не изменяется и вероятность выбрать наугад изделие низкого сорта равна доле низкосортных изделий в этой партии. Тогда задача сводится к построению доверительного интервала для вероятности выбрать из этой партии изделие низкого сорта. Частота изделий низкого сорта в выборке равна  Из таблицы функции Лапласа (см. прил., табл. П2) следует, что Поэтому
или   Итак, по данной выборке можно с вероятностью 0,95 утверждать, что во всей партии содержится от 27% до 42% изделий низкого сорта.

Ответ. От 27% до 42%.

Пример:

Было проведено 400 испытаний механизма катапультирования. В этих испытания не зарегистрировано ни одного отказа. С надежностью 0,95 оценить вероятность отказа механизма катапультирования.

Решение. В данной серии испытаний частота появления отказа Поэтому непосредственно использовать формулу (3.2.4) нельзя. Заметим, что так как Функция Лапласа строго возрастает. Поэтому меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. В расчете на худший вариант можно воспользоваться формулой (3.2.3). По таблице функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что Поэтому и

Еще раз подчеркнем, что доверительный интервал (3.2.3) построен в расчете на худший вариант, когда вероятность события близка к Но большое число опытов  и нулевая частота события в них позволяют с уверенностью утверждать, что вероятность события близка к нулю. Если несколько ухудшить статистику испытаний и посчитать что один отказ все-таки наблюдался, то Тогда по формуле (3.2.4) получаем приближенный доверительный интервал

 

или  Это приближенный доверительный интервал, но он определенно более точен, чем грубая оценка по формуле (3.2.3).

Ответ.

Пример:

При штамповке 70% деталей выходит первым сортом, 20% – вторым и 10% – третьим. Определить, сколько нужно взять деталей, чтобы с вероятностью равной 0,997 можно было утверждать, что доля первосортных среди них будет отличаться от вероятности изготовления первосортной детали не более чем на 0,05 в ту или другую сторону? Ответить на тот же вопрос, если процент первосортных деталей неизвестен.

Решение. Изготовление каждой детали можно считать независимым испытанием с вероятностью «успеха»  Нужно выбрать такое число испытаний чтобы по формуле (3.2.1):

По таблице функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что Тогда откуда Если процент первосортных деталей неизвестен, то

Учитывая, что и замену на 1/4 придется компенсировать некоторым увеличением получим или

Ответ. 741; 882.

Доверительные вероятности, доверительные интервалы

В материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим доверительные вероятности и доверительные интервалы.

При статистической обработке результатов наблюдений необходимо знать не только точечную оценку параметра , но и уметь оценить точность этой оценки. Для этого введём понятие доверительного интервала.

Доверительным интервалом для параметра называется интервал содержащий значение с заданной вероятностью .

Так как ТО
интервал содержит (накрывает) значение (рис. 1).

Интервал — это доверительный интервал для параметра .

Покажем, как найти доверительный интервал для математического ожидания с заданной доверительной вероятностью

Пусть    точечная оценка математического ожидания.

Используя центральную предельную теорему, можно считать, что случайная величина для больших п распределена по нормальному закону, а значит вероятности можно считать, используя функцию Лапласа Ф(х).

Тогда

Отсюда

Здесь находится по таблице Лапласа в обратном порядке: по
значению  функции Ф(х) находится аргумент

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидании имеет вид

 

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели доверительные вероятности и доверительные интервалы.