Как найти характеристический многочлен матрицы онлайн

Характеристический полином
матрицы
A, вычисляется следующим образом:

| A − λ E |

где
E
— единичная матрица, размеры которой совпадают с размерами исходной матрицы
A.

Разберем подробнее приведенную выше формулу. Если матрица
A
задана в виде:

тогда выражение
A − λ E
имеет вид:

Наконец, нам нужно найти определитель:

Раскрыв этот определитель, мы получим полином
n-ой степени
(n
— порядок исходной матрицы), зависящий от
λ:

P ( λ )
=
c_n λ ⁿ
+
c_n−1 λ ⁿ⁻¹
+ … +
c_i λ ⁱ
+ … +
c₁ λ 
+
c₀

Поскольку для вычисления характеристического полинома, требуется нахождение определителя матрицы, то характеристический полином может быть найден только для квадратной матрицы.

Наш онлайн калькулятор находит
характеристический полином матрицы, причем в качестве элементов матрицы, можно вводить не только числа и дроби, но и параметры.

bold{mathrm{Basic}}	bold{alphabetagamma}	bold{mathrm{ABGamma}}	bold{sincos}	bold{gedivrightarrow}	bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}	bold{sumspaceintspaceproduct}	bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}	bold{H_{2}O}
square^{2} x^{square} sqrt{square} nthroot[msquare]{square} frac{msquare}{msquare} log_{msquare} pi theta infty int frac{d}{dx} ge le cdot div x^{circ} (square) |square| (f:circ:g) f(x) ln e^{square} left(squareright)^{‘} frac{partial}{partial x} int_{msquare}^{msquare} lim sum sin cos tan cot csc sec alpha beta gamma delta zeta eta theta iota kappa lambda mu nu xi pi rho sigma tau upsilon phi chi psi omega A B Gamma Delta E Z H Theta K Lambda M N Xi Pi P Sigma T Upsilon Phi X Psi Omega sin cos tan cot sec csc sinh cosh tanh coth sech arcsin arccos arctan arccot arcsec arccsc arcsinh arccosh arctanh arccoth arcsech begin{cases}square\squareend{cases} begin{cases}square\square\squareend{cases} = ne div cdot times < > le ge (square) [square] ▭:longdivision{▭} times twostack{▭}{▭} + twostack{▭}{▭} — twostack{▭}{▭} square! x^{circ} rightarrow lfloorsquarerfloor lceilsquarerceil overline{square} vec{square} in forall notin exist mathbb{R} mathbb{C} mathbb{N} mathbb{Z} emptyset vee wedge neg oplus cap cup square^{c} subset subsete superset supersete int intint intintint int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square} sum prod lim lim _{xto infty } lim _{xto 0+} lim _{xto 0-} frac{d}{dx} frac{d^2}{dx^2} left(squareright)^{‘} left(squareright)^{»} frac{partial}{partial x} (2times2) (2times3) (3times3) (3times2) (4times2) (4times3) (4times4) (3times4) (2times4) (5times5) (1times2) (1times3) (1times4) (1times5) (1times6) (2times1) (3times1) (4times1) (5times1) (6times1) (7times1) mathrm{Радианы} mathrm{Степени} square! ( ) % mathrm{очистить} arcsin sin sqrt{square} 7 8 9 div arccos cos ln 4 5 6 times arctan tan log 1 2 3 — pi e x^{square} 0 . bold{=} +

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Подписаться

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

• характеристический:многочлен:begin{pmatrix}1&-4\4&-7end{pmatrix}
  

• характеристический:многочлен:begin{pmatrix}1&2&1\6&-1&0\-1&-2&-1end{pmatrix}
  

• характеристический:многочлен:begin{pmatrix}a&1\0&2aend{pmatrix}
  

• характеристический:многочлен:begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}
  

• Показать больше

Описание

Пошаговый поиск характеристического полинома матрицы

matrix-characteristic-polynomial-calculator

характеристический многочлен begin{pmatrix}1&2&1\6&-1&0\-1&-2&-1end{pmatrix}

ru

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

The Matrix… Symbolab Version

Matrix, the one with numbers, arranged with rows and columns, is extremely useful in most scientific fields. There…

Read More

Введите Задачу

Сохранить в блокнот!

Войти

Характеристический многочлен онлайн

Характеристический полином матрицы A , вычисляется следующим образом:

| A − λ E |

где E — единичная матрица, размеры которой совпадают с размерами исходной матрицы A .

Разберем подробнее приведенную выше формулу. Если матрица A задана в виде:

тогда выражение A − λ E имеет вид:

Наконец, нам нужно найти определитель:

Раскрыв этот определитель, мы получим полином n -ой степени ( n — порядок исходной матрицы), зависящий от λ :

P   ( λ ) = c _n λ   n + c _{n − 1} λ   n − 1 + . + c _i λ   i + . + c ₁ λ   + c ₀

Поскольку для вычисления характеристического полинома, требуется нахождение определителя матрицы, то характеристический полином может быть найден только для квадратной матрицы.

Наш онлайн калькулятор находит характеристический полином матрицы, причем в качестве элементов матрицы, можно вводить не только числа и дроби, но и параметры.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Характеристический полином, собственные числа, собственные векторы матрицы

В настоящем разделе $ n_<> $ означает порядок квадратной матрицы $ A_<> $.

Характеристический полином

определяется для произвольной квадратной матрицы $ A_<> $ как 1) $ det (A_<>-lambda E) $, где $ E_<> $ – единичная матрица одинакового с $ A_<> $ порядка.

Пример. Для $ n=2_<> $:

Теорема 1.

Пример. Характеристический полином матрицы Фробениуса

$$ mathfrak F= left( begin 0 & 1 & 0 & 0 & dots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & dots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & dots & 0 & 0 \ vdots& &&&ddots & & vdots \ 0 & 0 & 0 & 0 & dots & 0 & 1 \ a_n & a_ & a_ & & dots & a_2 & a_1 end right)_ $$ равен $ (-1)^n(lambda^n-a_1lambda^-dots-a_) $.

Характеристический полином линейного оператора

определяется как характеристический полином матрицы этого оператора в произвольном базисе линейного пространства, в котором этот оператор задан. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Характеристический полином линейного однородного разностного уравнения

$ n_<> $-го порядка $$ x_=a_1 x_+ dots+ a_n x_K, quad a_n ne 0, $$ определяется как $$ lambda^n — a_1 lambda^ — dots — a_n . $$ Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Свойства

Теорема 2. Характеристический полином матрицы не меняется

1. при ее транспонировании: $$ det (A-lambda E) = det (A^<top>-lambda E_<>) , ;$$ 2. при переходе к подобной матрице: если $ B=C^<-1>AC^<> $ при произвольной неособенной матрице $ C_<> $, то $$ det (A-lambda E) equiv det (B-lambda E_<>) , . $$

Теорема 3. Пусть матрица $ A_<> $ имеет порядок $ mtimes n_<> $, а $ B_<> $ — порядок $ ntimes m_<> $. Тогда эти матрицы допускают умножение в любом порядке, т.е. определены $ AB_<> $ и $ BA_<> $ и оба произведения будут квадратными матрицами — порядков $ m_<> $ и $ n_<> $ соответственно. Тогда характеристические полиномы этих произведений различаются лишь на степень $ lambda_<> $:

$$ lambda^n det (AB — lambda E_)equiv lambda^m det (BA — lambda E_) . $$

Если матрицы $ A_<> $ и $ B_<> $ — квадратные одинакового порядка, то характеристические полиномы матриц $ AB_<> $ и $ BA_<> $ тождественны.

Теорема 4. Если характеристический полином матрицы $ A_<> $ равен

$$ f(lambda)=(-1)^n lambda^n+a_1lambda^+dots+a_lambda+a_n $$ и $ a_ ne 0 $, то характеристический полином матрицы $ A^<-1>_<> $ равен $$ f^<ast>(lambda)=frac<(-lambda)^n> f(1/lambda) = frac<(-1)^n> left[ (-1)^n+a_1 lambda + dots+ a_lambda^+a_nlambda^ right] . $$

Теорема Гамильтона-Кэли

Теорема 5. Результатом подстановки в характеристический полином $ det (A_<>-lambda E) $ самой матрицы $ A_<> $ будет нулевая матрица:

$$ det (A-lambda E)= (-1)^n lambda^n +a_1 lambda^+dots+a_lambda+ a_n Rightarrow $$ $$ Rightarrow (-1)^n A^n +a_1 A^+dots+a_A+ a_n E = <mathbb O>_ . $$

матрица является корнем своего характеристического полинома.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Для $ n_<>=2 $:

$$ left(begin a_ <11>& a_ <12>\ a_ <21>& a_ <22>end right)^2 — (a_<11>+a_<22>)left(begin a_ <11>& a_ <12>\ a_ <21>& a_ <22>end right) + (a_<11>a_<22>-a_<12>a_<21>) left(begin 1 & 0 \ 0 & 1 end right) = left(begin 0 & 0 \ 0 & 0 end right) . $$

Собственное число

определяется для квадратной матрицы $ A_<> $ как произвольный корень ее характеристического полинома $ det (A_<>-lambda E) $. Набор всех собственных чисел матрицы $ A_<> $ (с учетом их кратностей) называется спектром матрицы (таким образом спектр матрицы $ A_<> $ порядка $ n_<> $ всегда состоит из $ n_<> $ чисел, часть из которых могут быть одинаковыми). Максимальный из модулей собственных чисел матрицы $ A_<> $ называется ее спектральным радиусом, он иногда обозначается $ rho(A) $.

Пример. Найти спектр матрицы

$$ A= left(begin 0&1&2&3\ -1&0&4&7\ -2&-4&0&2\ -3&-7&-2&0 endright). $$ Решение. Характеристический полином $$ det (A-lambda E)=left|begin -lambda&1&2&3\ -1&-lambda&4&7\ -2&-4&-lambda&2\ -3&-7&-2&-lambda endright|=lambda^4+ 83lambda^2 $$ имеет корни $ lambda_1=0, lambda_2 = <mathbf i>sqrt<83>, lambda_3 = — <mathbf i>sqrt <83>$, причем $ lambda_ <1>$ — второй кратности.

Ответ. Спектр матрицы $ A_<> $: $ <0,0, <mathbf i>sqrt<83>,- <mathbf i>sqrt <83>> $. Спектральный радиус матрицы $ A_<> $: $ rho(A)= sqrt <83>$.

Теорема 6. Если $ <lambda_<1>,lambda_<2>,dots,lambda_ > $ — спектр матрицы $ A_<> $, то

$$ lambda_1+lambda_<2>+dots+lambda_n = operatorname(A)=a_<11>+a_<22>+dots+a_, $$ $$ lambda_1cdotlambda_<2>times dots times lambda_n = (-1)^ndet (A) . $$

Доказательство следует из представления характеристического полинома через миноры матрицы и формул Виета. ♦

Для того, чтобы матрица $ A_<> $ была неособенной необходимо и достаточно, чтобы среди ее собственных чисел не было нулевого.

Теорема 7. Пусть $ g(x)=b_<0>x^m+dots+b_m in <mathbb C>[x] $ — произвольный полином. Вычислим полином от матрицы $ A_<> $:

$$ g(A)=b_<0>A^m+dots+b_m E , . $$ Тогда если $ <lambda_<1>,dots,lambda_ > $ — спектр матрицы $ A_<> $, то $ ),dots,g(lambda_n) > $ — спектр матрицы $ g(A_<>) $.

Результат теоремы обобщается и на более широкий класс функций $ g_<>(x) $ — фактически на любую функцию, которая, вместе со своими производными, может быть определена на спектре матрицы $ A_<> $. В частности, если $ det A_<> ne 0 $, то спектр матрицы $ A^<-1>_<> $ совпадает с $ <1/lambda_j>_^n $.

Имеет место следующее равенство, связывающее степени матрицы $ A_<> $ с суммами Ньютона ее характеристического полинома:

$$ operatorname(A^k)=lambda_1^k+dots+lambda_n^k . $$ Здесь $ operatorname_<> $ обозначает след матрицы (т.е. сумму ее диагональных элементов). Утверждение остается справедливым и для отрицательных показателей $ k_<> $ при условии, что $ det A_<> ne 0 $.

Имеет место следующее равенство:

$$ det g(A) = (-1)^ <mathcal R>(f,g_<>) , $$ где $ <mathcal R>(f,g_<>) $ означает результант полиномов $ f(x) =det (A-x_<> E) $ и $ g_<>(x) $.

Теорема 8. Собственные числа вещественной симметричной матрицы $ A_<> $ все вещественны.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 9. Собственные числа вещественной кососимметричной матрицы $ A_<> $ все мнимы, за исключением, возможно, $ lambda_<> = 0 $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 10. Собственные числа вещественной ортогональной матрицы все равны $ 1_<> $ по абсолютной величине (модулю). Характеристический полином ортогональной матрицы является возвратным если $ +1 $ не является его корнем или является корнем четной кратности. Хотя бы одно собственное число ортогональной матрицы нечетного порядка равно $ +1 $ или $ (-1) $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 11. Спектр циклической матрицы

$$ left(begin a_1 & a_2 & a_3 & dots & a_n \ a_n & a_1 & a_2 & dots & a_ \ a_ & a_n & a_1 & dots & a_ \ vdots & & & & vdots \ a_2 & a_3 & a_4 & dots & a_1 end right) . $$ совпадает с набором чисел $$ ) > ,$$ при $$ f(x)=a_<1>+a_2x+a_3x^2+dots+a_nx^ $$ и $$ varepsilon_k=cos frac<2,pi k> + <mathbf i>sin frac<2,pi k> $$ — корне n-й степени из единицы.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Локализация собственных чисел

Теорема 12. [1]. Собственные числа матрицы являются непрерывными функциями ее элементов. Иначе: пусть

$$A=left[a_ right]_^n quad , quad B=left[b_ right]_^n . $$ Обозначим $$M= max_> left <|a_|, |b_ | right> quad , quad delta = frac<1>sum_^n |a_ — b_ | . $$ Тогда любому собственному числу $ lambda_<ast>^<> $ матрицы $ A_<> $ можно поставить в соответствие такое собственное число $ mu_<ast>^<> $ матрицы $ B_<> $, что $$ |lambda_<ast>-mu_ <ast>| le (n+2) M sqrt[n] <delta> . $$

Собственно факт непрерывной зависимости собственных чисел от элементов матрицы следует из представления характеристического полинома из теоремы ☞ ПУНКТА — коэффициенты этого полинома полиномиально (и, следовательно, непрерывно) зависят от элементов матрицы. Далее используем теорему о непрерывной зависимости корней полинома от его коэффициентов.

Выясним теперь на примере, насколько малым может быть возмущение элементов матрицы чтобы сохранились хотя бы количество вещественных корней ее характеристического полинома.

Пример [Уилкинсон] [2]. Найти собственные числа матрицы

$$ A= left( begin 20 & 20 & & & & \ & 19 & 20 & & & \ & & 18 & 20 & & \ & & & ddots & ddots & \ & & & & 2 & 20 \ <colorvarepsilon > & & & & & 1 \ end right)_ <20times 20>$$ при $ <colorvarepsilon >=10^ <-10>$ (все неуказанные элементы матрицы считаются равными нулю).

Решение. Характеристический полином $$ det(A-lambda E) = prod_^ <20>(j-lambda) — 20^ <19> <colorvarepsilon > = $$ $$ =lambda^<20>-<scriptstyle 210>,lambda^<19>+<scriptstyle 20615>,lambda^<18>-<scriptstyle 1256850>, lambda^ <17>+<scriptstyle 53327946>, lambda^<16>-<scriptstyle 1672280820>, lambda^<15>+ <scriptstyle 40171771630>, lambda^<14>-<scriptstyle 756111184500>, lambda^<13>+ $$ $$ +<scriptstyle 11310276995381>, lambda^ <12>- <scriptstyle 135585182899530>, lambda^ <11>+<scriptstyle 1307535010540395>, lambda^<10>-<scriptstyle 10142299865511450>, lambda^9 + $$ $$ +<scriptstyle 63030812099294896>, lambda^8 — <scriptstyle 311333643161390640>, lambda^7+<scriptstyle 1206647803780373360>, lambda^6 -<scriptstyle 3599979517947607200>, lambda^5 +<scriptstyle 8037811822645051776>, lambda^4- $$ $$ -<scriptstyle 12870931245150988800>, lambda^3 +<scriptstyle 13803759753640704000>, lambda^2 -<scriptstyle 8752948036761600000>,lambda + <scriptstyle 2432377720176640000>$$ очень похож на полином из другого ☞ ПРИМЕРА Уилкинсона. Он имеет корни $$ lambda_1=0.995754, lambda_2=2.109241, lambda_3=2.574881, $$ $$ lambda_<4,5>=3.965331pm 1.087735, mathbf i, lambda_<6,7>=5.893977pm 1.948530 , mathbf i, $$ $$ lambda_<8,9>=8.118073 pm 2.529182 , mathbf i, lambda_<10,11>=10.5pm 2.733397 , mathbf i, $$ $$ lambda_<12,13>=12.881926pm 2.529182 , mathbf i, lambda_<14,15>=15.106022 pm 1.948530 , mathbf i, $$ $$ lambda_<16,17>=17.034669pm 1.087735 , mathbf i, $$ $$ lambda_<18>=18.425118, lambda_<19>=18.890758, lambda_<20>=20.004245 . $$ Итак, нановозмущение 2) в одном-единственном элементе матрицы приводит к существенному изменению спектра: из $ 20 $ вещественных собственных чисел «остаются в живых» только $ 6_<> $; кроме того, у образовавшихся мнимых корней оказываются достаточно большими мнимые части. В данном примере допустимые возмущения для $ <colorvarepsilon > $, т.е. такие, при которых сохранится свойство вещественности всех корней характеристического полинома, находятся в пределах 3) $$ -8.636174times 10^<-14> ♦

Теорема 13 [Гершгорин]. 4) Обозначим $ mathbb D_ $ круг на комплексной плоскости $ mathbb C_<> $ с центром в точке $ a_^<> $ и радиуса

$$ r_j=sum_<ell=1 atop ellne j>^n left|a_right| .$$ Тогда спектр матрицы $ A_<> $ лежит внутри объединения этих кругов: $$ <lambda_1,dots, lambda_n >subset bigcup_^n mathbb D_j . $$ Иными словами: любое собственное число матрицы должно удовлетворять хотя бы одному из неравенств $$ |z- a_ | ☞ ЗДЕСЬ.

Согласно этой теореме, главные миноры матрицы $ A-lambda, E $ играют роль системы полиномов Штурма для характеристического полинома симметричной матрицы $ A_<> $.

Если все главные миноры $ A_1,A_2,dots,A_ $ симметричной матрицы $ A_<> $ отличны от нуля, то число положительных собственных чисел матрицы $ A_<> $ равно числу знакопостоянств, а число отрицательных собственных чисел — числу знакоперемен в ряду $ 1,A_1,dots,A_n $:

$$ operatorname < det (A-lambda E) =0 | lambda>0 > = <mathcal P>(1,A_1,dots,A_n), $$ $$ operatorname < det (A-lambda E) =0 | lambda ненулевойстолбец $$ X_<ast>= left( begin x_<1>^ <ast>\ vdots \ x_^ <ast>end right) in mathbb^n $$ такой, что $$ AX_<ast>=lambda_ <ast>X_ <ast>quad iff quad (A -lambda_<ast>E) X_ <ast>= mathbb O_ . $$ По определению собственного числа, $ det (A^<> -lambda_<ast>E) = 0 $ и, следовательно, система однородных уравнений $ (A -lambda_<ast>E) X^<> = mathbb O $ всегда имеет нетривиальное решение; более того, этих решений бесконечно много. Таким образом, одному и тому же собственному числу матрицы принадлежит бесконечное множество собственных векторов. Эту бесконечность можно описать с помощью фундаментальной системы решений (ФСР).

Пример. Найти собственные векторы матрицы

Решение. Спектр матрицы найден выше. $$(A-0 cdot E)X=mathbb O quad Longrightarrow mbox< ФСР>= left< <mathfrak X>_1=left(begin 4 \ -2 \ 1 \ 0 endright), <mathfrak X>_2=left(begin 7 \ -3 \ 0 \ 1 end right) right>.$$ Любой вектор вида $ alpha_ <1><mathfrak X>_1 + alpha_2 <mathfrak X>_2 $ будет собственным, принадлежащим $ lambda_<>=0 $. $$ begin (A- mathbf i, sqrt <83>E)X=mathbb O \ \ Downarrow \ \ <mathfrak X>_3= left(begin 1- mathbf i , sqrt <83>\ 8-2, mathbf i , sqrt <83>\ 12 \ 17+mathbf i , sqrt <83>endright) end qquad begin (A+mathbf i sqrt <83>E)X=mathbb O \ \ Downarrow \ \ <mathfrak X>_4= left(begin 1+mathbf i , sqrt <83>\ 8+2mathbf i , sqrt <83>\ 12 \ 17- mathbf i ,sqrt <83>endright) end . $$ ♦

Еще один способ нахождения собственного вектора основан на теореме Гамильтона-Кэли.

Теорема 15. Пусть $ lambda_<ast>^<> $ — собственное число матрицы $ A_<> $. Обозначим частное от деления характеристического полинома на линейный множитель $ lambda_<> — lambda_ <ast>$ через $ f_<ast>(lambda)^<> $:

$$ f_<ast>(lambda) equiv f(lambda) / (lambda-lambda_<ast>) . $$ Тогда любой ненулевой столбец матрицы $ f_<ast>(A)^<> $ является собственным вектором, принадлежащим $ lambda_<ast>^<> $.

Доказательство следует из равенства $$(A-lambda_ <ast>E)f_<ast>(A)=mathbb O_ . $$ На основании определения любой ненулевой столбец $ f_<ast>(A)^<> $ должен быть собственным вектором матрицы $ A_<> $. ♦

Пример. Найти собственные векторы матрицы

$$ A=left( begin 9 & 22 & -6 \ -1 &-4 & 1 \ 8 & 16 & -5 end right) . $$

Решение. $$ det (A-lambda E)=-lambda^3+ 7, lambda + 6 equiv -(lambda_<>-3) (lambda+2)(lambda+1) , .$$ Пренебрегая знаком – , имеем: $$ begin f_1(lambda)=lambda^2+3lambda+2 & u & f_1(A)= left( begin 40 & 80 & -20 \ 0 &0 & 0 \ 40 & 80 & -20 end right) , \ f_2(lambda)=lambda^2-2lambda-3 & u & f_2(A)= left( begin -10 & -30 & 10 \ 5 &15 & -5 \ 0 & 0 & 0 end right) , \ f_3(lambda)=lambda^2-lambda-6 & u & f_3(A)= left( begin -4 & -8 & 4 \ 4 & 8 & -4 \ 8 & 16 & -8 end right) . end $$

Если $ lambda_<ast>^<> $ является простым корнем характеристического полинома 5) , то ненулевые столбцы $ f_<ast>(A)^<> $ будут пропорциональными. Или, что то же, $ operatorname f_<ast>(A)^<> = 1 $.

Тогда очевидно, что и строки матрицы $ f_<ast>(A)^<> $ тоже должны быть пропорциональны!

Доказать, что любая ненулевая строка матрицы $ f_<ast>(A)^<> $ является собственным вектором матрицы $ A^<^<top>>_<> $, принадлежащим $ lambda_<ast>^<> $. Доказать, что собственный вектор матрицы $ A_<> $ ортогонален собственному вектору матрицы $ A^<top>_<> $, если эти векторы принадлежат различным собственным числам 6) .

На практике вычисление полинома $ f_<ast>(lambda)^<> $ может быть осуществлено с помощью схемы Хорнера.

Пример. Вычислить собственный вектор матрицы

$$ A=left( begin 23 & 75 & -92 \ 6 & 74 & 72 \ 37 & -23 & 87 end right) , $$ принадлежащий ее вещественному собственному числу.

Решение. Характеристический полином $$ f(lambda)= -lambda^3+184,lambda^2-14751,lambda+611404 $$ имеет единственное вещественное собственное число $ lambda_ <ast>approx 96.8817 $. Составляем схему Хорнера $$ begin & -1 & 184 & -14751 & 611404 \ hline 96.8817 & -1 & 87.1183 & -6310.8310 & -0.0352 end $$ За счет ошибок округления мы получили ненулевое значение для $ f(lambda_<ast>) $. В качестве частного от деления $ f(lambda) $ на $ lambda-lambda_ <ast>$ берем $$ f_<ast>(lambda)= -lambda^2 + 87.1183, lambda — 6310.8310 . $$ Подставляем в него матрицу $ A_<> $ и вычисляем первый столбец матрицы $$ -A^2+87.1183,A -6310, E = left( begin -1882.1101 & * & * \ -2723.2902 & * & * \ -708.6229 & * & * end right) .$$ Проверяем: $$ left( begin 23 & 75 & -92 \ 6 & 74 & 72 \ 37 & -23 & 87 end right) left( begin -1882.1101 \ -2723.2902 \ -708.6229 end right) — 96.8817 left( begin -1882.1101 \ -2723.2902 \ -708.6229 end right)= left( begin 0.0356 \ 0 \ -0.0002 end right) . $$ ♦

Можно развить последний метод далее: найти универсальную формулу для собственного вектора как функции ее собственного числа. Действительно, найдем частное от деления характеристического полинома $$ f(lambda) =a_0lambda^n+a_0lambda^+dots+ a_n, quad a_0=(-1)^n $$ на линейный полином $ lambda- lambda_ <ast>$, где $ lambda_ <ast>$ — произвольное число из $ mathbb C $. С помощью той же схемы Хорнера, получаем $$ q(lambda)=a_0lambda^+(a_0lambda_<ast>+a_1)lambda^+(a_0lambda_<ast>^2+a_1lambda_<ast>+a_2)lambda^+dots+ (a_0lambda_<ast>^+a_1lambda_<ast>^+dots+a_) , . $$ Если $ lambda_ <ast>$ является собственным числом матрицы $ A_<> $, то любой ненулевой столбец матрицы $$ q(A)= a_0A^+(a_0lambda_<ast>+a_1)A^+(a_0lambda_<ast>^2+a_1lambda_<ast>+a_2)A^+dots+ (a_0lambda_<ast>^+a_1lambda_<ast>^+dots+a_)E $$ будет собственным вектором, принадлежащим $ lambda_ <ast>$.

Пример. Найти представление всех собственных векторов матрицы

$$ A=left( begin 9 & 22 & -6 \ -1 &-4 & 1 \ 8 & 16 & -5 end right) $$ в виде функции ее собственных чисел.

Решение. Характеристический полином матрицы был вычислен выше: $ f(lambda)=-lambda^3+ 7, lambda + 6 $. Имеем, $$ q(lambda)=-lambda^2-lambda_<ast>lambda+(7-lambda_<ast>^2) $$ и $$ q(A)=-A^2-lambda_<ast>A+(7-lambda_<ast>^2)E= left(begin -lambda_<ast>^2-9lambda_<ast>-4 & -22lambda_<ast>-14 & 6lambda_<ast>+2 \ lambda_<ast>-3 & -lambda_<ast>^2+4lambda_<ast>-3 & -lambda_<ast>+3 \ -8lambda_<ast>-16 & -16lambda_<ast>-32 & -lambda_<ast>^2+5lambda_<ast>+14 end right) , . $$ Берем произвольный столбец этой матрицы, например, первый: $$ X_<ast>(lambda_<ast>)= left(begin -lambda_<ast>^2-9lambda_<ast>-4 \ lambda_<ast>-3 \ -8lambda_<ast>-16 end right) , . $$ Утверждается, что $ X_ <ast>(lambda_<ast>) $ — универсальное представление всех собственных векторов матрицы. Действительно, $$ X_<ast>(-1) = left(begin 4 \ -4 \ -8 end right), X_<ast>(-2) = left(begin 10 \ -5 \ 0 end right), X_<ast>(3) = left(begin -40 \ 0 \ -40 end right) , . $$ ♦

Теорема 16. Пусть $ g(x)=b_0x^m+dots+b_ in <mathbb C>[x] $ – произвольный полином. Если $ X_<ast>in mathbb C^ $ — собственный вектор матрицы $ A_<> $, соответствующий собственному числу $ lambda_<ast>^<> $, то он же будет собственным и для матрицы $ g(A)^<> $, принадлежащим собственному числу $ g(lambda_<ast>)^<> $.

Доказательство. Домножим равенство $ A<mathfrak X>_<ast>=lambda_<ast>^<><mathfrak X>_ <ast>$ слева на матрицу $ A_<> $: $$ A^2<mathfrak X>_<ast>=lambda_<ast>A<mathfrak X>_<ast>=lambda_<ast>^2<mathfrak X>_ <ast>.$$ По индукции доказывается и общее равенство: $$ A^k<mathfrak X>_<ast>=lambda_<ast>^k<mathfrak X>_ <ast>.$$ Домножим его на $ b_^<> $ и просуммируем по $ k_<> $ от $ 0_<> $ до $ m_<> $: $$ g(A)<mathfrak X>_<ast>=g(lambda_<ast>)<mathfrak X>_ <ast>,$$ что и доказывает утверждение теоремы. ♦

Если матрица $ A $ невырождена, то теорема остается справедливой и для произвольного полинома от $ A^ <-1>$. В частности, собственные векторы $ A^ <-1>$ совпадают с собственными векторами матрицы $ A $.

Теорема 17. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам матрицы $ A_<> $, линейно независимы.

Теорема 18. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам вещественной симметричной матрицы $ A_<> $, ортогональны, т.е. если $ mathfrak X_1 $ принадлежит собственному числу $ lambda_ <1>$, а $ mathfrak X_2 $ принадлежит собственному числу $ lambda_ <2>$ и $ lambda_1 ne lambda_2 $, то

$$ langle mathfrak X_1, mathfrak X_2 rangle =0 , $$ где $ langle , rangle $ означает скалярное произведение, определяемое стандартным образом: $ langle X,Y rangle =x_1y_1+dots+x_ny_n $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема Перрона-Фробениуса

Теорема 19 [Перрон, Фробениус]. Для положительной матрицы $ A_<> $ существует положительное собственное число $ lambda_ <+>$ такое, что все остальные собственные числа этой матрицы меньше $ lambda_ <+>$ по абсолютной величине (модулю). Соответствующий этому собственному числу собственный вектор может быть выбран положительным:

$$ exists mathfrak X_ <+>> mathbb O: quad A mathfrak X_ <+>= lambda_ <+>mathfrak X_ <+> . $$

Число $ lambda_ <+>$ из теоремы называется собственным числом Перрона или собственным числом Перрона-Фробениуса матрицы $ A_<> $, а соответствующий ему произвольный положительный собственный вектор — собственным вектором Перрона-Фробениуса матрицы $ A_<> $.

Спектральный радиус положительной матрицы $ A_<> $ совпадает с ее собственным числом Перрона-Фробениуса:

Пример. Найти собственное число и вектор Перрона-Фробениуса для матрицы

$$ A= left(begin 2 & 7 & 18 & 28 \ 1 & 8 & 2 & 8 \ 3 & 1 & 4 & 1 \ 5 & 9 & 26 & 5 end right) , . $$

Решение. Характеристический полином матрицы $ A_<> $ $$ det(A-lambda E)=lambda^4-19, lambda^3-175, lambda^2-285, lambda+10390 $$ имеет корнями $$ lambda_ <1,2>approx -6.260463 pm 5.452465 mathbf i, lambda_3 approx 5.878976, lambda_4 approx 25.641950 . $$ Числом Перрона-Фробениуса является $ lambda_4 $, а соответствующий ему собственный вектор Перрона-Фробениуса можно взять равным $$ left( begin 1 \ 0.365240 \ 0.184802 \ 0.634244 end right) quad mbox < или >quad left( begin 2.737922 \ 1 \ 0.505974 \ 1.736510 end right) quad mbox < или >left( begin 5.411185 \ 1.976383 \ 1 \ 3.432010 end right) quad mbox < или >quad left( begin 1.576681 \ 0.575868 \ 0.291374 \ 1 end right) quad mbox < или >quad left( begin 0.798133 \ 0.291510 \ 0.147496\ 0.506210 end right) quad mbox < или >dots $$ (напоминаю: собственный вектор определяется с точностью до ненулевого сомножителя!). Последний вектор имеет длину равную $ 1_<> $. ♦

1. Собственное число Перрона-Фробениуса всегда простое для характеристического полинома матрицы $ A_<> $. Отсюда следует, что собственный вектор Перрона-Фробениуса определяется единственным образом — с точностью до домножения на положительный скаляр.

2. Любой собственный вектор положительной матрицы $ A_<> $, не соответствующий собственному числу Перрона-Фробениуса, не может состоять исключительно только из положительных элементов. Иными словами, хотя бы одна компонента такого вектора должна быть либо отрицательной либо мнимой.

3. Для собственного числа Перрона-Фробениуса справедливо неравенство $$ min_> sum_^n a_ le lambda_ <+>le max_> sum_^n a_ . $$

4. Собственное число Перрона-Фробениуса матрицы $ A_<> $ совпадает с собственным числом Перрона-Фробениуса матрицы $ A^ <top>$.

Какие из перечисленных свойств можно распространить на случай неотрицательных матриц ? Каждую такую матрицу можно рассматривать как предел последовательности (строго) положительных матриц. Воспользовавшись теоремой о непрерывной зависимости собственных чисел матрицы от ее элементов, можем сделать вывод, о том, что для неотрицательной матрицы $ A_<> $ всегда найдется вещественное неотрицательное собственное число, которое будет являться максимальным по модулю среди всех собственных чисел матрицы. Другое дело, что в данном случае — в отличие от случая положительных матриц — такое мажорирующее собственное число может оказаться не единственным.

Пример. Спектр неотрицательной матрицы

$$ A=left( begin 0 & 1 \ 1 & 0 end right) $$ состоит из чисел $ lambda_1=+1 $ и $ lambda_1=-1 $ одинакового модуля. ♦

Однако, по-прежнему, хотя бы одно неотрицательное вещественное число $ lambda_ <+>$ со свойством $ rho(A) = lambda_ <+>$ существовать будет; более того, ему будет соответствовать неотрицательный собственный вектор $ mathfrak X ge mathbb O $. Это число (вектор) по-прежнему называются числом (вектором) Перрона-Фробениуса 7) матрицы $ A_<> $.

Частным случаем неотрицательных матриц являются стохастические матрицы, т.е. неотрицательные матрицы, в которых сумма элементов каждой строки равна $ 1_<> $: $$ P=left[p_right]_^n, \ge 0 >_^n, sum_^n p_ = 1 npu quad j in <1,2,dots,n> . $$

Теорема 20. Собственное число Перрона-Фробениуса стохастической матрицы равно $ 1_<> $. Этому собственному числу соответствует собственный вектор $ X=[1,1,dots,1]^ <top>$.

Доказательство существования собственного числа равного $ 1_<> $ и соответствующего ему собственного вектора $ X=[1,1,dots,1]^ <top>$ следует из равенства $$ P left( begin 1 \ 1 \ vdots \ 1 end right) = left( begin 1 \ 1 \ vdots \ 1 endright) . $$ Далее, из теоремы Гершгорина следует, что любое собственное число $ lambda_<>in mathbb C $ стохастической матрицы должно удовлетворять неравенству $$|lambda — p_|le sum_ |p_|=1-p_ $$ хотя бы при одном $ j_<> $. Воспользовавшись следствием к неравенству треугольника получаем: $$|lambda| — |p_|le |lambda — p_| le 1-p_ Rightarrow |lambda| le 1 . $$ ♦

Методы вычисления характеристического полинома

Вычисление коэффициентов характеристического полинома матрицы $ A_<> $ непосредственным разложением определителя $ det (A-lambda_<> E) $ на $ n!_<> $ слагаемых — крайне неэффективно. Элементами этого разложения являются выражения, полиномиально зависящие от параметра $ lambda_<> $. На каждом этапе вычислений мы получаем проблему символьных вычислений: хранения таких полиномов и действий над ними.

Основной метод вычисления числовых определителей — метод Гаусса — также неэффективен в приложении к вычислению определителя, элементы которого зависят от параметра. Источником вычислительных проблем является неудобное расположение переменной $ lambda_<> $ — на главной диагонали матрицы. Первый же шаг метода Гаусса приводит к делению на элемент $ a_ <11>- lambda $, и, в дальнейшем, элементы преобразованной матрицы будут уже не полиномами, а рациональными функциями относительно $ lambda_<> $. Следующие шаги метода приводят к возрастанию степеней знаменателей. Необходимость в организации хранения рациональных функций и программировании действий с ними кажется тем более неоправданной, если вспомнить, что окончательный ответ — выражение для $ det (A-lambda_<> E) $ — должно быть полиномом по $ lambda_<> $; т.е. знаменатели дробей в конечном ответе сократятся.

А в качестве усугубляющего положение обстоятельства «на заднем плане» маячит проблема точности вычислений коэффициентов характеристического полинома — чувствительность его корней к возмущению его коэффициентов бывает весьма высокой.

Какой выход предлагается? — Предварительно преобразовать определитель $ det (A-lambda_<> E) $ к виду, когда переменная $ lambda_<> $ оказывается «выметенной» с диагонали на крайний ряд (в столбец или в строку). При этом допускается увеличение размеров (порядка) определителя. Такое представление дает возможность разложения определителя по этому исключительному ряду, и, тем самым, позволяет свести задачу к вычислению числовых определителей — а уж для этой задачи применение метода Гаусса вполне эффективно.

Метод Леверье

Метод основан на формуле (см. следствие к теореме $ 7 $ ☞ ЗДЕСЬ ): $$ operatorname (A^k)=lambda_1^k+dots+lambda_n^k=s_k , $$ т.е. след $ k_<> $-й степени матрицы $ A_<> $ равен $ k_<> $-й сумме Ньютона ее характеристического полинома $ f(lambda)=det (A-lambda E ) $. Вычисляем последовательные степени матрицы $ A_<> $: $$s_1=operatorname (A), s_2=operatorname (A^2), dots, s_n=operatorname (A^n) .$$ Неизвестные коэффициенты $ f(lambda)=(-1)^n(lambda^n+a_1lambda^+ dots+a_n) $ находим по рекурсивным формулам Ньютона: $$ a_1=-s_1, a_2=-(s_2+a_1s_1)/2, $$ $$ a_k=-(s_+a_1s_+a_2s_+dots+a_s_1)/k npu k le n. $$ Очевидно, что не имеет смысла вычислять все элементы матрицы $ A^ $ — достаточно обойтись лишь элементами ее главной диагонали.

Пример [Леверье]. Найти характеристический полином матрицы

$$ A=left(begin -5.509882&1.870086&0.422908&0.008814 \ 0.287865&-11.811654&5.711900&0.058717 \ 0.049099&4.308033&-12.970687&0.229326 \ 0.006235&0.269851&1.397369&-17.596207 end right) . $$

Решение. $$ A^2=left(begin 30.91795128&-30.56848188&2.878480155&0.0031325713\ -4.705449283&164.6764010&-141.3504639&-0.4143169528\ 0.3341843103&-106.6094396&193.1869924& -6.756396001\ 0.0022236138&-1.904168948&-41.16923134& 309.9628536 end right), $$ $$ A^3=left(begin -179.0125092&431.2849919&-198.8601505& -0.9173897610\ 66.38829278&-2562.954533& 2771.458834& -15.49709921\ -23.08728044&2090.291485&-3124.010318& 156.9329019\ -0.649145142&-71.21907809&956.2502143& -5463.723497 end right), $$ $$ A^4=left(begin 1100.720103& ast& ast& ast \ ast& 42332.23816& ast& ast \ ast& ast& 52669.62534& ast \ ast& ast& ast& 96355.91518 end right) . $$ Вычисляем следы матриц: $$s_1=-47.888430, s_2=698.7441983, s_3=-11329.70086, s_4= 192458.4988 ,$$ и по формулам Ньютона получаем: $$a_1= 47.888430, a_2 = 797.278764_ <displaystyle 8>, a_3 = 5349.45551_<displaystyle 3>, a_4 = 12296.550_ <displaystyle 68> . $$ ♦

После нахождения коэффициентов характеристического полинома можно найти его корни каким-либо методом. Если $ lambda_<ast>^<> $ — одно из собственных чисел, то для нахождения соответствующего собственного вектора воспользуемся алгоритмом из ☞ ПУНКТА. Предположив дополнительно, что это собственное число простое 9) , обозначим $$ f_<ast>(lambda)= f(lambda)/(lambda-lambda_<ast>)=(-1)^n(lambda^ +p_1lambda^+dots+p_lambda+p_) $$ т.е. частное от деления $ f(lambda_<>) $ на $ lambda-lambda_ <ast>$. Тогда любой ненулевой столбец матрицы $ f_<ast>(A)^<> $ будет собственным вектором, принадлежащим $ lambda_<ast>^<> $. Как правило, собственным вектором можно взять комбинацию

Степени матрицы $ A_<> $ уже нами посчитаны при вычислении коэффициентов характеристического полинома.

Пример. Для приведенного выше примера находим собственные числа:

$$ lambda_1=-17.86326, lambda_2=-17.15242, lambda_3=-7.57404, lambda_4= -5.29869 . $$ Коэффициенты $ f_1(lambda) $ можно определить по схеме Хорнера: $$ begin &1 & 47.888430 & 797.2787648 & 5349.455513 & 12296.55068 \ hline -17.86326 & 1 & underbrace<30.025170>_>& underbrace<260.9313465>_> &underbrace<688.371028>_>& approx 0 \ end $$ Собственным вектором, принадлежащим $ lambda_ <1>$, будет $$left[ -0.0256_<displaystyle 67>, 0.21938_<displaystyle 0>, -0.24187_<displaystyle 1>, 1.044526 right]^<^<top>> .$$ ♦

Теорема 21. Характеристический полином явно выражается через суммы Ньютона с помощью следующего представления:

$$ f(lambda)=frac<1>left| begin s_1 &1 & & & &\ s_2&s_1& 2 & &mathbb O & \ s_3&s_2&s_1&3& & \ vdots& & & ddots &ddots & \ s_n&s_& s_ & dots &s_1&n \ lambda^n&lambda^&lambda^& dots &lambda&1 end right|_ <(n+1)times (n+1)> . $$

Биографические заметки о Леверье ☞ ЗДЕСЬ.

Метод Крылова

Рассмотрим произвольный ненулевой столбец $ Y_0=left[ y_<1>^<[0]>,dots,y_^ <[0]>right]^<^<top>> in mathbb C^n $. Cоставим итерационную векторную последовательность $$ Y_1=Acdot Y_0, Y_2=Acdot Y_1, dots, Y_=Acdot Y_ . $$

Теорема 22. Определитель

$$ det left[begin Y_0&Y_<1>&dots&Y_&Y_\ 1& lambda&dots&lambda^&lambda^n end right]_ <(n+1)times (n+1)>$$ совпадает — с точностью до постоянного множителя — с характеристическим полиномом матрицы $ A_<> $. Здесь $ |_<> $ означает конкатенацию.

Доказательство. Легко видеть, что $$ Y_K=A^KY_0 quad npu quad K in <1,dots,n> . $$ Если $$ f(lambda)=det(A-lambda E) =(-1)^n lambda^n+a_1 lambda^+a_2 lambda^+dots+a_n , $$ то по теореме Гамильтона-Кэли: $$ (-1)^n A^n+a_1A^+dots+a_nE=mathbb O_ . $$ Это равенство останется справедливым и после умножения его на произвольный вектор, в том числе на $ Y_ <0>$: $$ (-1)^n A^ncdot Y_0+a_1A^ cdot Y_0 +dots+a_ncdot Y_0=mathbb O_ iff $$ $$ iff quad (-1)^n Y_n+a_1Y_ +dots+a_nY_0=mathbb O . $$ Последнее равенство представляет линейную систему относительно неизвестных коэффициентов характеристического полинома. Можно решать ее по формулам Крамера, но мы пойдем другим путем. Дополним эту систему тождеством $ f(lambda)=(-1)^n lambda^n+a_1 lambda^+a_2 lambda^+dots+a_n $. Рассмотрим получившуюся систему как линейную однородную относительно столбца $ left[ a_n,a_,dots,a_1,1right]^ <top>$. Поскольку эта система имеет нетривиальное решение, то ее определитель должен равняться нулю: $$ 0=det left[begin Y_0&Y_<1>&dots&Y_&(-1)^nY_\ 1& lambda&dots&lambda^&(-1)^nlambda^n-f(lambda) end right]= $$ (представляем последний столбец в виде суммы двух столбцов и используем свойство 5 определителя) $$ =det left[begin Y_0&Y_<1>&dots&Y_&(-1)^nY_\ 1& lambda&dots&lambda^&(-1)^nlambda^n end right]-f(lambda) det left[begin Y_0&Y_<1>&dots&Y_ end right] . $$ Таким образом, $$ f(lambda)=(-1)^n frac<det left[begin Y_0&Y_<1>&dots&Y_&Y_\ 1& lambda&dots&lambda^&lambda^n end right]><det left[begin Y_0&Y_<1>&dots&Y_ end right]> , $$ если только знаменатель в этой дроби не обратится в нуль. ♦

Пример. Найти характеристический полином матрицы примера Леверье

$$ A=left(begin -5.509882&1.870086&0.422908&0.008814 \ 0.287865&-11.811654&5.711900&0.058717 \ 0.049099&4.308033&-12.970687&0.229326 \ 0.006235&0.269851&1.397369&-17.596207 end right) . $$

Решение. Возьмем $ Y_0=left[ 1,0,0,0 right]^ <top>$. Имеем $$ begin Y_1=A Y_0= & Y_2=AY_1= & Y_3=AY_2= & Y_4=AY_3= \ left(begin -5.509882\ 0.287865 \ 0.049099 \ 0.006235 end right), & left(begin 30.917951\ -4.705449 \ 0.334184 \ 0.002223 end right), & left(begin -179.012509\ 66.388293 \ -23.087280\ -0.649145 end right), & left(begin 1100.720101\ -967.597333\ 576.522644\ -4.040153 end right) . end $$ $$ det left[begin Y_0&Y_<1>&Y_2& Y_<3>& Y_<4>\ 1& lambda&lambda^2 &lambda^<3>&lambda^4 end right]= left| begin 1 & -5.509882 & 30.917951 & -179.012509 & 1100.720101 \ 0 & 0.287865 & -4.705449 & 66.388293 & -967.597333\ 0 & 0.049099 & 0.334184 & -23.087280 & 576.522644\ 0 & 0.006235 & 0.002223 & -0.649145 & -4.040153 \ 1 & lambda & lambda^2 & lambda^3 & lambda^4 end right|= $$ $$ =0.348621 lambda^4+16.694915lambda^3+277.948166lambda^2+1864.932835lambda+4286.836454 = $$ $$ =0.348621 left(lambda^4+47.888430lambda^3+797.27876_<displaystyle 3>lambda^2+5349.4555_<displaystyle 0>lambda+12296.550_ <displaystyle 5>right) . $$ ♦

После нахождения характеристического полинома можно найти его корни каким-либо 10) методом. Пусть $ lambda_<ast>^<> $ — одно из собственных чисел, и оно — простое; тогда для нахождения соответствующего собственного вектора можно воспользоваться тем же приемом, что был задействован в предыдущем ПУНКТЕ. Вычислим 11) частное от деления $ f(lambda_<>) $ на $ lambda-lambda_ <ast>$ $$ f_<ast>(lambda)= f(lambda)/(lambda-lambda_<ast>)=(-1)^n(lambda^ +p_1lambda^+dots+p_lambda+p_) . $$ Тогда любой ненулевой столбец матрицы $ f_<ast>(A)^<> $ будет собственным вектором, принадлежащим $ lambda_<ast>^<> $. Но тогда и произвольная комбинация столбцов этой матрицы тоже будет собственным вектором (если только не обратится в нулевой вектор). В частности, это относится и к комбинации, записываемой в матричном виде $$ (-1)^n f_<ast>(A) Y_0 = A^Y_0 +p_1A^Y_0+dots+p_Y_0=Y_+p_1Y_+dots+p_Y_0 . $$ А комбинируемые векторы уже посчитаны.

Теперь обсудим исключительные случаи. При неудачном выборе $ Y_ <0>$ определитель $$ det left[begin Y_0&Y_<1>&dots&Y_ end right] $$ может обратиться в нуль. Эта неприятность обязательно произойдет если, например, наш выбор пал на вектор $ Y_0 $, совпадающий с собственным вектором матрицы $ A_<> $. Вероятность такого события — нулевая. В общем же случае, трудно ожидать, чтобы $ n_<> $ почти произвольных столбцов $ Y_0,Y_<1>,dots,Y_ $ оказались линейно зависимыми — если только сама матрица $ A_<> $ не обладает «скрытым дефектом» — типа рассмотренного в следующем примере.

Пример. Найти характеристический полином матрицы

Решение. При любом выборе $ Y_0 $ векторы $ $ оказываются линейно зависимыми: $$ Y_0= left(begin 1\ 0\ 0 end right), Y_1= left(begin 2\ 1\ 1 end right), Y_2= left(begin 6\ 5\ 5 end right),dots ; Y_0= left(begin 1\ 1\ 1 end right), Y_1= left(begin 4\ 4\ 4 end right),dots $$ Объяснение этого феномена состоит в том, что для матрицы $ A_<> $ ее аннулирующий полином имеет степень меньшую ее порядка: $$ A^2-5 A+4 E = mathbb O . $$ Домножение этого равенства на произвольный столбец $ Y_0 $ и доказывает линейную зависимость системы $ $. ♦

Такая ситуация возможна только в случае, когда характеристический полином матрицы $ A_<> $ имеет кратные корни (в рассмотренном выше примере $ lambda_<>=1 $ являлся двойным корнем $ det (A-lambda_<> E) $); она исключительно редко встречается на практике.

Поиск всех собственных чисел

Существуют методы нахождения спектра матрицы, не требующие предварительного построения характеристического полинома.

QR-алгоритм

Этот алгоритм основан на QR-разложении матрицы $ A $.

Теорема 23. Спектр матрицы $ A $ совпадает со спектром матрицы $ P^ <top>A P $ при произвольной ортогональной матрице $ P $.

Доказательство. $$ det (P^ <top>A P-lambda E)=det (P^ <top>A P- lambda P^ <top>E P)=det P^ <top>(A -lambda E ) P = det (A -lambda E ) P P^ <top>= det (A -lambda E ) , . $$ ♦

Пусть QR-разложение матрицы $ A $ имеет вид $$ A=Q_1R_1 , , $$ где $ Q_1 $ — ортогональная, а $ R_1 $ — верхнетреугольная матрицы. Тогда матрица $$ A_2=R_1Q_1 $$ имеет тот же спектр, что и матрица $ A $. Действительно, поскольку $$ A_2=Q_1^ <top>A Q_1 , $$ то сработает предыдущая теорема. Вычислим QR-разложение матрицы $ A_2 $ $$ A_2=Q_2R_2 $$ и переставим местами матрицы этого произведения: $$ A_3=R_2Q_2 , . $$ Матрица $$ A_3= Q_2^ <top>A_2 Q_2=Q_2^ <top>Q_1^ <top>A Q_1 Q_2 $$ продолжаем иметь те же собственные числа, что и матрица $ A $. Утверждается, что бесконечная последовательность матриц $$ Q_>_^ <infty>$$ как правило, сходится к матрице $ A_ <infty>$, которая будет верхнетреугольной.

Теорема 24 [4]. Если все собственные числа матрицы $ A $ различны по модулю, то матрица $ A_ <infty>$ является верхнетреугольной и на ее главной диагонали стоят собственные числа матрицы $ A $.

Пример. Найти все собственные числа матрицы $$ A=left(begin 2 & 3 &-1\ 7 & 3 & 3 \ -1 & -2 & 4 end right) , . $$

Решение. $$ A_1=Aapprox underbrace<left(begin 0.272165 & 0.759752 & 0.590511 \ 0.952579 & -0.299517 & -0.053683 \ -0.136083& -0.577119 & 0.805242 end right)>_ underbrace<left(begin 7.348469 & 3.946400 & 2.041241\ 0 & 2.534941 & -3.966781 \ 0 & 0 & 2.469409 end right)>_ $$ Теперь переставляем матрицы произведения местами и строим QR-разложение получившейся матрицы: $$ quad Rightarrow quad A_2 = R_1Q_1approx left(begin 5.481481 & 3.222957 & 5.771191 \ 2.954542 & 1.530046 & -3.3303021 \ -0.336044 & -1.425143 & 1.988472 end right)approx $$ $$ approxunderbrace<left(begin -0.878992 & 0.022595 & 0.476300\ 0.473781 & -0.154267 & -0.867026 \ 0.053886 & -0.987771 & 0.146304 end right)>_ underbrace<left(begin -6.236096& -3.634658 & -3.387848\ 0 & 1.244502 & -1.319999\ 0 & 0 & 5.927198 end right)>_ $$ Продолжим процесс: $$ quad Rightarrow quad A_3 = R_2Q_2approx left(begin 7.020952& 3.766220 & -0.314568\ -0.660752 & 1.111870 & -1.272137\ 0.319398 & -5.854713 & 0.867177 end right) approx $$ $$ approx underbrace<left(begin -0.994581 & -0.065879 & 0.080426 \ 0.093601 & -0.230749 & 0.968501 \ -0.045246 & 0.970780 & 0.235665 end right)>_ underbrace<left(begin -7.059205 & -3.376839 & 0.154554 \ 0 & -6.188319 & 1.156106 \ 0 & 0 & -1.053002 end right)>_ $$ Замечаем тенденцию убывания элементов матриц $ $, стоящих под главной диагональю. $$ Rightarrow dots Rightarrow A_ <10>approx left(begin mathbf<6.>_ <246022>& 2.758769 & -2.160057\ -0.0467437 & mathbf<4.4>_ <09292>& -5.341014\ 0.000018 &-0.005924 & mathbf<-1.6>_ <55314>end right) approx $$ $$ underbrace<left(begin -0.999972 & -0.007483 & 0.000007 \ 0.007483 & -0.999971 & 0.001339 \ -0.000003 & 0.001339 & 0.999999 end right)>_> underbrace<left(begin -6.246197 & -2.725694 & 2.120031\ 0 & -4.429817 & 5.354807 \ 0 & 0 & -1.662479 end right)>_> , . $$ Матрица $ Q_j $ уже близка к диагональной (с элементами $ pm 1 $), верхнетреугольность матрицы $ A_j $ также заметна, но точность приближения еще не достаточна. $$ Rightarrow dots Rightarrow A_ <20>approx left(begin mathbf<6.17>_ <5608>& 2.805821 & -2.020513 \ -0.001776 & mathbf<4.48>_ <4917>& -5.388407\ 0 & 0 & -mathbf <1.660525>end right) approx $$ Точность приближения минимильного собственного числа существенно выше точностей приближения остальных чисел. $$ Rightarrow dots Rightarrow A_ <30>approx left(begin mathbf<6.172>_ <778>& 2.807524 & -2.015076\ -0.000073 & mathbf<4.487>_ <747>& -5.390442\ 0 & 0 & -mathbf <1.660525>end right) , . $$ ♦

К сожалению условие теоремы достаточно ограничительно: собственные числа вещественной матрицы $ A $ могут оказаться и мнимыми, но тогда они одинаковы по модулю.

Как это обстоятельство сказывается на структуре матрицы $ A_ <infty>$ и дальнейшее развитие метода ☞ ЗДЕСЬ

Частичная проблема собственных чисел

Задача. Найти максимальное по модулю собственное число матрицы $ A_<> $.

Предположение . Будем считать сначала, что максимальное по модулю собственное число матрицы единственно.

Излагаемый ниже метод поиска этого собственного числа называется методом степенны́х итераций 12) .

Рассмотрим произвольный ненулевой столбец $ Y_0=left[ y_<1>^<[0]>,dots,y_^ <[0]>right]^<^<top>> in mathbb C^n $. Cоставим такую же итерационную векторную последовательность, как и в методе Крылова $$ Y_1=Acdot Y_0, Y_2=Acdot Y_1, dots, Y_=Acdot Y_,dots , $$ (только теперь, в отличие от метода Крылова, считаем ее неограниченно продолжающейся) и выделим последовательность первых элементов этих векторов: $$y_<1>^<[1]>,y_<1>^<[2]>,dots,y_<1>^<[K]>,dots $$

Теорема 25. Как правило, предел

$$ lim_frac^<[K+1]>>^<[K]>> $$ существует и он равен максимальному по модулю собственному числу матрицы $ A_<> $.

Доказательство. Перенумеруем собственные числа $ lambda_<1>,dots,lambda_n $ матрицы $ A_<> $ так, чтобы $ lambda_ <1>$ обозначило максимальное по модулю: $$|lambda_1|= max_> |lambda_j| , quad |lambda_1|>|lambda_j| quad npu quad jin <2,dots,n> . $$ Очевидно, $$ Y_=A^Kcdot Y_0 ; $$ отсюда следует, что любой элемент столбца $ Y_ $ может быть линейно выражен через $ lambda_<1>^K,dots,lambda_n^K $. В частности, это справедливо и для первого элемента: $$ y_<1>^<[K]>=C_1lambda_1^K+C_2lambda_2^K+dots+C_nlambda_n^K . $$ В этом представлении $ _^n $ — будут константами из $ mathbb C_<> $ в случае если все собственные числа являются простыми, и полиномами из $ mathbb C[K] $ в случае, если имеются кратные собственные числа. Действительно, в первом случае существует базис пространства $ mathbb C^n $, состоящий из собственных векторов матрицы $ A_<> $: $$ A<mathfrak X>_j=lambda_j<mathfrak X>_j quad npu quad jin <1,dots,n>. $$ Вектор $ Y_0 $ можно разложить по этому базису: $$Y_0=alpha_1<mathfrak X>_1+dots+alpha_n<mathfrak X>_n .$$ Тогда последовательным домножением на матрицу $ A_<> $ получаем : $$begin Y_1=AY_0&=& alpha_1 lambda_1<mathfrak X>_1+dots+alpha_nlambda_n<mathfrak X>_n, \ dots & & dots \ Y_K=A^KY_0&=& alpha_1 lambda_1^K<mathfrak X>_1+dots+alpha_nlambda_n^K<mathfrak X>_n end $$ откуда и следует доказываемое равенство.

Во втором случае — когда имеются кратные собственные числа матрицы $ A_<> $ — придется применять «тяжелую артиллерию» в виде жордановой нормальной формы; см. теорему $ 5 $ ☞ ЗДЕСЬ. Для простоты рассуждений, будем в оставшейся части доказательства считать все собственные числа матрицы различными. Имеем тогда $$ lim_ frac^<[K+1]>>^<[K]>>= lim_ frac <lambda_1^left[C_1+ C_2(lambda_2/lambda_1)^+dots+ C_n(lambda_n/lambda_1)^ right]> <lambda_1^left[C_1+C_2(lambda_2/lambda_1)^+dots+ C_n(lambda_n/lambda_1)^ right]> =lambda_1 $$ поскольку $$ lim_ left| frac<lambda_j> <lambda_1>right|^K = 0 quad npu quad jin <2,dots,n> . $$ Исключительным случаем является ситуация $ C_1=0 $, в этом случае утверждение теоремы может оказаться несправедливым 13) . ♦

Как правило, вектор

$$ left[1, lim_frac^<[K]>>^<[K]>>,dots, lim_frac^<[K]>>^<[K]>>right]^<^<top>> $$ будет собственным, принадлежащим максимальному по модулю собственному числу матрицы $ A_<> $.

Пример. Для матрицы

$$ A=left(begin 2 & 3 &-1\ 7 & 3 & 3 \ -1 & -2 & -4 end right) $$ найти максимальное по модулю собственное число и принадлежащий ему собственный вектор.

Решение. Возьмем в качестве стартового столбца $ Y_0=[1,0,0]^<^<top>> $. Имеем: $$ Y_1=AY_0=left( begin 2 \ 7 \ -1 end right), Y_2=AY_1=left( begin 26 \ 32 \ -12 end right), Y_3=AY_2=left( begin 160 \ 242 \ -42 end right),dots, $$ $$ Y_<19>=left( begin <scriptstyle 4259667747238636>\ <scriptstyle 6435097324667832>\ <scriptstyle -1571397155909260>end right), Y_<20>=AY_<19>=left( begin <scriptstyle 29396024624390028>\ <scriptstyle 44408774736946168>\ <scriptstyle -10844273772937260>end right) $$ Смотрим на отношения первых элементов векторов: $$ begin K & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & dots & 15 & dots & 19 \ hline y_<1>^<[K+1]>/y_<1>^ <[K]>& 2 & 13 & 6.153846 & 6.8 & 7.180147 & dots & 6.900726 & dots & mathbf<6.90101>_ <displaystyle 3>end $$ Далее, в соответствии со следствием, собственный вектор, принадлежащий найденному числу $$ approx left[1, frac^<[20]>>^<[20]>>,frac^<[20]>>^<[20]>>right]^<^<top>> approx left[1, 1.51070_<displaystyle 6>, -0.368902 right]^<^<top>> $$ ♦

Теперь обсудим исключительные случаи алгоритма.

1. Нарушение сходимости итерационного процесса за счет неудачного выбора стартового вектора. Если в качестве $ Y_ <0>$ оказался случайно взят собственный вектор $ mathfrak X_ <ast>$ матрицы $ A_<> $, принадлежащий произвольному ее собственному числу $ lambda_ <*>$, то предел последовательности из теоремы будет равен именно этому числу; если при этом $ |lambda_ <*>| ne max_ <1le j le n>| lambda_j | $, то мы выйдем за пределы смысла выражения «как правило». Понятно, что вероятность настолько плохого выбора нулевая, но и выбор $ Y_0 $ вблизи $ mathfrak X_ <ast>$ также может существенно замедлить скорость сходимости. Поэтому если возникает ситуация медленной «стабилизации» значащих цифр в десятичном приближении собственного числа, попробуйте сменить начальный вектор.

2. Нарушение условия предположения , выдвинутого в начале пункта: максимальное по модулю собственное число неединственно.

Пример. Найти максимальное по модулю собственное число матрицы примера Леверье

$$ A=left(begin -5.509882&1.870086&0.422908&0.008814 \ 0.287865&-11.811654&5.711900&0.058717 \ 0.049099&4.308033&-12.970687&0.229326 \ 0.006235&0.269851&1.397369&-17.596207 end right) . $$

Решение. Для столбца $ Y_0=[1,0,0,0]^<^<top>> $ имеем $$y_<1>^<[100]>/y_<1>^<[99]>=-17.8_ <displaystyle 3113> ,$$ т.е. на $ 100 $-й итерации получаем лишь $ 3_<> $ истинные десятичные цифры в представлении собственного числа. При этом компонентами векторов $ Y_ $ являются числа порядка $ 10^ <123>$. Если мы посмотрим на ответ примера Леверье, то увидим, что имеются два собственных числа матрицы, близких по модулю. ♦

К сожалению, вероятность того факта, что у случайно выбранной матрицы два ее собственных числа будут иметь одинаковый модуль становится ненулевой если эта матрица выбирается из множества вещественных матриц. Дело в том, что в этом случае ее характеристический полином будет иметь вещественные коэффициенты, а мнимые корни такого полинома всегда пáрные — для любого невещественного корня $ lambda_<ast>^<> $ полинома, комплексно сопряженное к нему число $ overline<lambda_<ast>> $ также будет корнем. При этом $ |lambda_<ast>|= |overline<lambda_<ast>> | $.

Пример. Для матрицы

Предположение 2 . Пусть два максимальных по модулю собственных числа матрицы разнесены по величине, например $$ |lambda_1| > | lambda_2 | > | lambda_ j | quad npu j in <2,dots, n >. $$

Обобщение степенного метода основывается на использовании последовательностей из каких-то двух компонент векторов $ Y_=AY_K $, например, наряду с уже использованной выше последовательностью первых компонент $$y_<1>^<[1]>,y_<1>^<[2]>,dots,y_<1>^<[K]>,dots $$ возьмем еще и аналогичную для вторых: $$y_<2>^<[1]>,y_<2>^<[2]>,dots,y_<2>^<[K]>,dots $$

Теорема 26 [Эйткен]. При практически любом выборе стартового вектора $ Y_0 ne mathbb O $ для последовательности

Доказательство. Построим квадратное уравнение $$ p_0x^2+p_1x+p_2 = 0 $$ имеющее корнями $ lambda_1 $ и $ lambda_2 $. Если существует базис рпостранства $ mathbb C^n $ $$Y_0=alpha_1<mathfrak X>_1+alpha_2<mathfrak X>_2+dots+alpha_n<mathfrak X>_n .$$ Тогда последовательным домножением на матрицу $ A_<> $ получаем : $$begin Y_K=& alpha_1 lambda_1^K<mathfrak X>_1 &+alpha_2 lambda_2^K<mathfrak X>_2+dots &+alpha_nlambda_n^K<mathfrak X>_n, \ Y_=& alpha_1 lambda_1^<mathfrak X>_1 &+alpha_2 lambda_2^<mathfrak X>_2+dots &+alpha_nlambda_n^<mathfrak X>_n,\ Y_=& alpha_1 lambda_1^<mathfrak X>_1 & +alpha_2 lambda_2^<mathfrak X>_2+dots &+alpha_nlambda_n^<mathfrak X>_n. end $$ Отбрасываем из правых частей равенств слагаемые порядков возрастания ниже, чем $ lambda_2^K, lambda_2^, lambda_2^ $ соответственно, домножаем получившиеся приближенные равенства $$begin Y_K & approx alpha_1 lambda_1^K<mathfrak X>_1 &+alpha_2 lambda_2^K<mathfrak X>_2, & color times p_2 \ Y_& approx alpha_1 lambda_1^<mathfrak X>_1 &+alpha_2 lambda_2^<mathfrak X>_2, & color times p_1\ Y_ & approx alpha_1 lambda_1^<mathfrak X>_1 & +alpha_2 lambda_2^<mathfrak X>_2, & color times p_0 end $$ и складываем: $$ p_2 Y_K + p_1Y_ + p_0 Y_ approx mathbb O , . $$ В получившемся векторном равенстве выбираем первые две компоненты: $$ left< begin p_2 y_1^ <[K]>+ p_1 y_1^ <[K+1]>+ p_0 y_1^ <[K+2]>approx 0 , , \ p_2 y_2^ <[K]>+ p_1 y_2^ <[K+1]>+ p_0 y_2^ <[K+2]>approx 0 , , end right. $$ которые и позволят определить приближенное значение набора $ p_0,p_1,p_2 $. С точностью до числового сомножителя, искомый полином можно представить в виде определителя $$ p_0x^2+p_1x+p_2 approx left|begin y_1^ <[K]>& y_1^ <[K+1]>& y_1^ <[K+2]>\ y_2^ <[K]>& y_2^ <[K+1]>& y_2^ <[K+2]>\ 1 & x & x^2 end right| , . $$ Формулы Виета завершат доказательство. ♦

При выполнении условия предположения 2 имеет место равенство

Пример. Для матрицы

$$ A=left(begin 2 & 3 &-1\ 7 & 3 & 3 \ -1 & -2 & 4 end right) $$ найти первые два по порядку убывания модулей собственных числа.

Задачи

Источники

[2]. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.Наука. 1970, с.93-94

[3]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ. 1960

[4]. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.Мир.1989

Характеристический многочлен матрицы

Напомним, что характеристическим многочленом квадратной матрицы (n-го порядка) называется многочлен . Степень характеристического многочлена совпадает с порядком матрицы . Рассмотрим другие свойства характеристического многочлена.

1. Характеристический многочлен квадратной матрицы n-го по рядка может быть представлен в виде

где — корни характеристического многочлена (собственные значения матрицы ) кратности соответственно, причем и .

Действительно, указанное разложение (7.24) имеет любой многочлен степени (см. следствие основной теоремы алгебры). Старший коэффициент характеристического многочлена вычисляется, разлагая определитель .

2. Характеристический многочлен квадратной матрицы n-го по рядка может быть представлен в виде произведения инвариантных множителей характеристической матрицы

В самом деле, характеристическая матрица имеет нормальный диагональный вид (7.9): , так как . Наибольший общий делитель (старший коэффициент которого равен единице) единственного минора n-го порядка матрицы отличается от определителя только множителем , т.е. характеристический многочлен . Подставляя , получаем (7.25).

3. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

В самом деле, пусть матрицы и подобны, т.е. существует такая матрица , что . Преобразуем характеристический многочлен матрицы по теореме 2.2 (об определителе произведения матриц) с учетом свойства 4 обратной матрицы:

что и требовалось показать.

4. Характеристический многочлен матрицы n-го порядка имеет вид

Минор k-го порядка , составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении одноименных строк и столбцов, называется главным минором. В формуле (7.26) коэффициент при равен сумме главных миноров k-го порядка, в частности, след матрицы — это сумма главных миноров 1-го порядка, определитель матрицы — это главный минор n-го порядка.

Поясним формулу (7.26). Пусть — i-й столбец матрицы , — i-й столбец единичной матрицы . В этих обозначениях запишем характеристический многочлен матрицы

Представим этот определитель в виде суммы определителей, используя его линейность по каждому столбцу. Получим

Разлагая определители, стоящие в фигурных скобках, по столбцам единичной матрицы, получаем главные миноры матрицы , например:

Таким образом, коэффициент при равен сумме главных миноров к -го порядка матрицы .

5. Подобные матрицы имеют: равные определители, равные следы, равные суммы главных миноров одного и того же порядка, совпадающие спектры.

В самом деле, подобные матрицы имеют равные характеристические многочлены (по свойству 3). У равных многочленов — одинаковые корни (т.е. спектры подобных матриц совпадают), а также равные соответствующие коэффициенты в (7.26), которые по свойству 4 выражаются через главные миноры матриц.

6. Определитель матрицы равен произведению ее собственных значений (с учетом их кратности).

Действительно, характеристический многочлен можно разложить на множители (см. следствие основной теоремы алгебры):

где — корни многочлена (быть может, совпадающие). Отсюда . С другой стороны, по определению получаем

Finding of eigenvalues and eigenvectors

This calculator allows to find eigenvalues and eigenvectors using the Characteristic polynomial.

More:

• Leave extra cells empty to enter non-square matrices.

• You can use decimal fractions or mathematical expressions:

  • decimal (finite and periodic) fractions:

    1/3, 3.14, -1.3(56), or 1.2e-4

  • 2/3+3*(10-4), (1+x)/y^2, 2^0.5 (=2), 2^(1/3), 2^n, sin(phi), cos(3.142rad), a_1, or (root of x^5-x-1 near 1.2)

  • matrix literals:

    {{1,3},{4,5}}

  • operators:

    +, -, *, /, , !, ^, ^{*}, ,, ;, ≠, =, ⩾, ⩽, >, and <

  • functions:

    sqrt, cbrt, exp, log, abs, conjugate, min, max, gcd, rank, adjugate, inverse, determinant, transpose, pseudoinverse, cos, sin, tan, cot, cosh, sinh, tanh, coth, arccos, arcsin, arctan, arccot, arcosh, arsinh, artanh, and arcoth

  • units:

    rad, deg

  • special symbols:

    • pi, e, i — mathematical constants
    • k, n — integers
    • I or E — identity matrix
    • X, Y — matrix symbols
• Use ↵ Enter, Space, ←↑↓→, Backspace, and Delete to navigate between cells, Ctrl⌘ Cmd+C/Ctrl⌘ Cmd+V to copy/paste matrices.
• Drag-and-drop matrices from the results, or even from/to a text editor.
• To learn more about matrices use Wikipedia.

Examples

• Find eigenvectors of ({{-26,-33,-25},{31,42,23},{-11,-15,-4}})