Как найти характерную точку функции

Исследование функции и построение графика

На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.

Что будет дальше?

Общая схема исследования

Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят график онлайн для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены «горбы» выпуклости, где не определены значения и т.п.

А уже на основании этих «особенностей» и строится макет графика — картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).

Начнем, конечно же, с плана. Исследование функции — объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.

Алгоритм

1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
3. Найти точки пересечения с осями координат.
4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
10. Построить график и асимптоты.

В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.

Схема исследования в формате pdf: скачать.

Полный пример решения онлайн

Провести полное исследование и построить график функции
$$
y(x)=frac{x^2+8}{1-x}.
$$

1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя.
$$1-x=0, quad Rightarrow quad x=1.$$
Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем:
$$
D(y)=(-infty; 1) cup (1;+infty).
$$

2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ — вертикальная асимптота.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:

Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:

Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.

Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x in (-infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x in (1; +infty)$ функция $ylt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не
является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.

6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y’=0$):

Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

При $x in (-infty; -2), (4;+infty)$ производная $y’ lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.

При $x in (-2; 1), (1;4)$ производная $y’ >0$, функция возрастает на данных промежутках.

При этом $x=-2$ — точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ — точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).

Найдем значения функции в этих точках:

Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.

7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:

Приравняем вторую производную к нулю:

Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x in (-infty; 1)$ выполняется $y» gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x in (1;+infty)$ выполняется $y» lt 0$, то есть функция выпуклая.

Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.

Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:

Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.

9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.

$$
y(-5)=5.5; quad y(2)=-12; quad y(7)=-9.5.
$$

10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):

Примеры решений по исследованию функции

Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!

Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

$$y=frac{e^x}{x}.$$

Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.

$$y=-frac{1}{4}(x^3-3x^2+4).$$

Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.

$$y=ln frac{x+1}{x+2}.$$

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.

$$y=frac{x}{sqrt{x^2+x}}.$$

Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.

$$y=frac{x^3-1}{4x^2}.$$

Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.

$$y=frac{x^3}{x^2-1}.$$

Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.

$$y=frac{x^3}{2(x+5)^2}.$$

Задача 8. Построить график функции $y=y(x)$, заданной параметрически

$$x=frac{t^2}{t+1}, y=frac{1}{t}-frac{t^3}{3}.$$

Задача 9. Исследовать функцию и построить ее график $r=1+tg phi$.

Задача 10. Исследовать функцию и построить ее график $(x^2+y^2)^3=4x^2y^2$.

Задача 11. Провести полное исследование периодической функции
$y = cos 3x – 2 sin 6x$ и построить её график.

Задача 12. Провести полное исследование и построить график функции $y=f(x)$ с помощью Excel. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; -1]$.

$$y=frac{4-x^3}{x^2}.$$

Задача 13. Провести полное исследование и построить график функции.

$$f(x)=frac{x}{2}-arccosfrac{2x}{1+x^2}.$$

Еще примеры исследования функции (контрольные работы)

Как построить график онлайн?

Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки, с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).

Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?

Графический калькулятор Desmos

Desmos.com

Невероятно гибкий и функциональный графический калькулятор. Интутивно понятно вводятся формулы (прямо на ходу преобразуются), автоматически подбираются масштаб и цвета графика для максимальной наглядности. Например, для функции $y(x)=frac{x^3}{4(x-2)^2}$ буквально за минуту построены основной график и асимптоты, вот что получилось:

При этом сайт сам пометил важные точки на графике (см. серым): локальный экстремум, пересечение с осями.

Вы можете менять масштаб, цвета, вид линий; добавлять на график точки, линии, кривые, табличные данные и даже анимацию!

Посмотрите, какую красоту Desmos умеет рисовать (точнее, его пользователи):

Сайт для построения графиков y(x).ru

y(x).ru

Это уже наш продукт, возможно, не такой красивый и интерактивный, но вполне подходящий для учебных целей. Можно строить онлайн несколько графиков одновременно, при этом выбирать и обычный, и параметрический вид, и даже задание в полярных координатах. Цвет и масштаб можно менять вручную. Вот так вводятся графики:

И такой график получается в итоге:

Из минусов можно заметить, что вводить, например, горизонтальные асимптоты не так просто: если в Desmos мы просто написали $x=2$, то здесь пришлось вводить параметрическую функцию $x(t)=2, y(t)=t$. Цвета и масштаб тоже пришлось подбирать вручную (иначе все графики оказались бы красными и мелкими).

Другие сайты

Еще несколько сервисов, которые обладают меньшим удобством/функциональностью, но тоже достойны внимания:

• ru.numberempire.com Можно построить сразу несколько функций, цвета подбираются автоматически, график интерактивный (положение и масштаб меняются мышкой).
• mathsolution.ru Можно строить несколько графиков, выбирая толщину линий и цвет, скрывать/отображать сетку, менять масштаб, сохранять картинки в файл.
• easyto.me При построении нескольких графиков на одном поле предыдущие не редактируются. В остальном функции как у прежних: выбор цвета, толщины линии, масштаба чертежа.
• grafikus.ru Кроме обычных графиков можно также строить трехмерные (3d). Можно построить несколько графиков разного типа (обычный,параметрический, в полярных координатах). Цвет и толщину линии выбрать нельзя. Интерактивности нет

Больше знаний: теория и практика

Еще немного ссылок для тех, кто хочет углубиться в тему. Первая ссылка на теоретический материал, где вы найдете и подробные примеры, и отсылки к предыдущим разделам теории (а исследовать функцию не зная пределов, производных, понятия непрерывности и т.п. нельзя) с не менее подробным объяснением. Все это сдобрено порцией юмора, отчего очень «съедобно» даже для полного чайника в математике: Исследование функций от Александра Емелина.

Вторая ссылка практическая, для тех, кто хочет научиться строить красивые графики в Desmos.com (см. выше описание): Полная инструкция по работе с Desmos. Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта поменялся в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться с важными функциями сервиса.

Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos.

Решебник

Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена — около 50 рублей. Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!

Полезные видео-ролики

Вебинар по работе с Desmos.com. Это уже полноценный обзор функций сайта, на целых 36 минут. К сожалению, он на английском языке, но базовых знаний языка и внимательности достаточно, чтобы понять большую часть.

Классный старый научно-популярный фильм «Математика. Функции и графики». Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.

Содержание:

Полная схема исследования функции:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на чётность и периодичность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Найти интервалы знакопостоянства.
5. Найти первую производную, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы функции.
6. Найти вторую производную. Определить интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба.
7. Исследовать поведение функции на концах промежутков определения.
8. Найти асимптоты графика функции.
9. Построить график функции.

Пример:

Исследуйте функцию

Решение:

1)    Область определения функции: 

2)    Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодическая.

3)     — точка пересечения графика функции с осями координат.

4)    

5)    Чтобы найти производную функции, запишем её в виде

Поскольку в точке  функция производной не имеет, то найдем производную отдельно для  Имеем:

Функция имеет две критические точки:

 (производная не существует) и  (производная равна нулю).

Составим и заполним таблицу для первой производной

Из таблицы видно, что функция возрастает на промежутках  а убывает на промежутках 

Первая производная при переходе через точку  меняет знаке  а при переходе через точку поэтому  — точка максимума, а  — точка минимума.

6) Найдём вторую производную:

Функция имеет две критические точки второго рода:  (вторая производная не существует) и  (вторая производная равна нулю).

Составим и заполним таблицу для второй производной

Как видим из таблицы, кривая выпуклая на промежутке  а вогнутая на промежутках 

Вторая производная при переходе через точку  меняет знак а при переходе через точку  на  поэтому  — точки перегиба. В этих точках на графике выпуклость меняется на вогнутость и наоборот.

7) Исследуем поведение заданной функции на концах промежутков определения:

Найдём асимптоты. Функция не определена в точке 

Поскольку  то  вертикальная асимптота.

Поскольку  то  горизонтальная асимптота.

9) Используя полученные данные, построим график функции {рис. 88).

Пример:

Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривых: 

Решение:

 

1)    Область определения функции — 

2)    Найдём первую и вторую производные. Имеем: Найдём критические точки второго рода:  Других критических точек второго рода нет.

3)    Определим знак второй производной на каждом из интервалов  Для этого достаточно определить знак производной в произвольной внутренней точке каждого интервала.

Если  поэтому на интервале  кривая вогнутая.

Если  поэтому на интервале  кривая выпуклая.

Точка  является точкой перегиба, поскольку при переходе через эту точку вторая производная меняет знак.

Следовательно,  — точка перегиба.

1) Область определения функции— 

2) Найдём критические точки второго рода: 

Как видим, вторая производная существует на множестве всех действительных чисел и ни в одной точке в ноль не превращается. А потому критических точек второго рода нет. Следовательно, нет и точек перегиба. На всей области определения  поэтому на множестве действительных чисел кривая вогнутая.

Пример:

Найдите асимптоты кривой 

Решение:

Область определения функции —  поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонную асимптоту: 

Следовательно, прямая  наклонная асимптота данной кривой. Других асимптот кривая не имеет.

Исследование функций

Процесс управления требует от менеджера компактного представления разносторонних знаний из разных областей хозяйственной, управленческой, налоговой, коммерческой и других видов деятельности в виде разнообразных функциональных зависимостей.

В процессе такой деятельности перед менеджером возникают задачи тактического и стратегического планирования, оценки возможностей предприятия и конкурентов, оптимального распределения ресурсов, разумного реагирования на налоговую политику, выбора ценовой и инвестиционной политики и др.

Важную роль при этом играет исследование функций, используемых при построении математической модели рассматриваемой проблемы. Такое исследование проводится с учетом свойств конкретных функций и позволяет уточнить сформулированную математическую задачу, решая которую (с учетом выбранного метода решения), рассчитывают получить определенный результат, требующий в дальнейшем интерпретации в терминах исследуемой проблемы.

Все это связано с выявлением таких свойств функций, используемых в модели, как характер изменения (монотонность), наличие точек с особыми свойствами (стационарные точки, экстремумы), геометрические свойства (выпуклость графика функции) и другие.

Настоящий раздел посвящен исследованию функций методами дифференциального исчисления и использованию полученных навыков для решения задач.

Монотонность функции

Функция y = y (x) называется возрастающей на промежутке l, если для любых точек , из промежутка l, удовлетворяющих неравенству ,. Функция называется убывающей на l, если из условия следует .

Теорема. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b), то для того, чтобы f(x) была возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобы в каждой внутренней точке интервала (a,b).

Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке l тогда и только тогда, когда

Пример:

Найти промежутки возрастания и убывания функции

Вычислим:

Точки делят числовую прямую R натри интервала:

Производная положительна на интервалах . Следовательно, функция y(x) возрастает на каждом из этих интервалов. На интервале производная неположительна, значит, у(х) убывает на этом интервале.

Локальный экстремум

Точка называется точкой локального максимума функции у = у{х) если существует интервал , содержащий точку такой что

Точка называется точкой локального минимума функции если существует интервал содержащий точку такой что

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства . Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение:

Решения этого уравнения называют стационарными точками.

Исследование стационарных точек

I правило. Если при возрастании .v при переходе через стационарную точку х0 производная у'(х) меняет знак с + на — , то — точка локального максимума. Если меняет знак с — на + , то — точка локального минимума функции f(x). Если не меняет знак в точке , то экстремума нет.

II правило. Если вторая производная в стационарной точке положительная, то — точка локального минимума функции Если вторая производная в стационарной точке отрицательная, то — точка локального максимума функции y(x).

Точками локального экстремума функции могут быть такие точки, в которых производная не существует или обращается в бесконечность. Исследовать такие точки можно по I правилу. Экстремум в такой точке называется острым экстремумом.

Пример:

Найти экстремум функции

Функция имеет стационарную точку (в этой точке производная равна нулю). В точке производная обращается в бесконечность.

Поскольку то функция имеет в точке локальный минимум

Это будет острый минимум.

При переходе через стационарную точку производная меняет знак с — на +, значит, функция имеет локальный максимум

Глобальный экстремум

Непрерывная на отрезке [a;b] функция у = y(x) принимает свое наибольшее значение и свое наименьшее значение min y(x) в точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значений и min y(x) поступают следующим образом.

Это и будут — глобальные экстремальные значения.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ — 2; 2 ].

Вычисляем Получаем числа 7, 3, 3, -7. Следовательно,

Выпуклость и перегибы графика функции

Графиком функции у = у(х), заданной на множестве X, называют множество точек плоскости с координатами. График называют выпуклым вниз на промежутке I, если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Если на промежутке l вторая производная у'(х) положительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Если .у «(x) < 0 на промежутке l, то график является выпуклым вверх на промежутке l.

Точка М(с;у{с)) может быть точкой перегиба только в том случае, когда у'(x) = 0, либо у»(x) не существует — необходимое условие перегиба. Однако равенство нулю или не существование второй производной в точке с не означает еще, что в точке будет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.

Пример:

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции

Вычислим вторую производную .

Точки -1 и 1 разбивают числовую прямую на три промежутка: . На промежутках вторая производная положительна, на промежутке (-l;l) — отрицательна. Следовательно, график функции является выпуклым вниз на и выпуклым вверх на (-l;l).

В точках вторая производная равна нулю. Вычислим . Поскольку , то в точке и в точке график функции имеет перегиб.

Исследование функции и построение графика

График функции у = у(х)у заданной на множестве X, т.е. множество точек плоскости с координатами обычно строят с некоторой степенью приближения, так как точное построение невозможно.

Для построения графика функции у = у{х) выясняют особенности поведения функции. Существенную роль при этом играют характерные точки: концевые точки промежутков задания функции, точки разрыва, стационарные точки и точки недифференцируемости функции и се производной и т.д. По этим точкам выделяются участки однообразного поведения функции, а именно: промежутки ее непрерывности; промежутки, на которых у'(х) и y»(x) сохраняют знак, что позволяет изучить характер монотонности функции и направление ее выпуклости.

Построение графика функции может быть осуществлено по следующему плану.

Если функция задана аналитическими выражениями, то выясняют естественную область определения функции, т.е. множество значений аргумента х, при которых y(x) имеет смысл.

Если функция периодическая, то находят ее период, т.е. число такое, что (обычно рассматривают наименьший положительный период). Дальнейшее изучение функции и построение графика проводят для какого-либо отрезка длины , например, для [0;], а затем периодически продолжают.

Для четной функции:, или нечетной: . Исследование проводят на промежутке Построенный график продолжают на все множество X.

Используя симметричное отражение относительно оси Oy для четной функции и относительно точки О — для нечетной функции.

Находят точки разрыва и промежутки, на которых она непрерывна. Выясняют характер точек разрыва. Вычисляют предельные значения функции в граничных точках множества X (если таковые имеются). Находят вертикальные асимптоты (в точках бесконечного скачка). Если X ограничено, то вычисляют пределы функции при . Если , то график имеет горизонтальную левостороннюю асимптоту у = а, если , график имеет горизонтальную правостороннюю асимптоту у = b. Если пределы (или один из пределов) бесконечны, то график может иметь наклонные (левостороннюю и правостороннюю) асимптоты у = кх + b. Коэффициенты левосторонней асимптоты можно найти по формулам:

Аналогично находят коэффициенты правосторонней асимптоты (нужно вычислить пределы при ).

Вычисляют производную . Находят критические точки функции у(х)у т.е. стационарные точки и точки, в которых y(x) не существует. Выделяют промежутки, на которых y»(x) сохраняет знак. Это позволяет исследовать монотонность функции y(x).

Вычисляют вторую производную . Находят критические точки производной Выделяют промежутки, на которых y»(x) сохраняет знак, и, следовательно, график функции y(x) сохраняет направление выпуклости. Находят точки перегиба, исследуя критические точки производной /(а) (т.е. точки, в которых у»(х) равны нулю или не существуют).

Исследуя стационарные точки функции у(х), находят точки локального экстремума и локальные экстремальные значения функции. Для этого можно изучить поведение производной в окрестности стационарной точки или значение y»(x) в стационарной точке. Изучают точки недифференцируемости функции, выясняя наличие локальных экстремумов в таких точках по поведению производной в их окрестностях.

Опираясь на характерные точки функции, строят таблицу, в которую вносят все особенности функции.

На координатную плоскость в выбранном масштабе наносят характерные точки функции, асимптоты и строят график, руководствуясь п. 1-6. Если нужно, строят дополнительно несколько точек графика

Пример:

Построить график функции

I. Область определения

Функция не является периодической, четной, нечетной.

II. Поскольку — точка разрыва (точка бесконечного скачка). Прямая х = 0 является двусторонней вертикальной асимптотой.

Так как при , то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных). Учитывая, что делаем вывод, что прямая является двусторонней наклонной асимптотой.

3. Из уравнения у'(х)=0 находим стационарные точки: =-2, = 1.

IV. Точка=1 является стационарной точкой для производной у'(х), так как у»() = 0.

V. Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.

VI. На координатной плоскости отмечаем точки локального максимума перегиба (1,0), асимптоты

Строим схематично график функции с учетом выясненных ранее особенностей ее поведения.

Интерполяция и аппроксимация функций

При табличной форме задания функции часто возникает ситуация, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае приходится прибегнуть к интерполяции (или интерполированию) — приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках.

Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение д: лежит между приведенными в таблице значениями которым соответствуют значения функции и то считают, что:

Если по заданным значениям функции необходимо найти приближенное значение аргумента, то такая операция называется обратным интерполированием.

В общем виде интерполяционная задача состоит в построении обобщенного многочлена Р(х), принимающего значения исследуемой функции у = f(x) на конечном множестве (область задания функции). Указанный многочлен должен удовлетворять условиям . Точки х называются узлами интерполирования.

В частности, если A = [a,b] а множество , искомый многочлен имеет линейную структуру и может быть представлен в виде , где — коэффициенты разложения, — линейно независимые на функции.

Условия интерполирования можно представить в виде системы уравнений:

К системе можно применить векторно-матричную форму записи если ввести обозначения:

Если семейство функций составляет базис на [a,b], то условия интерполирования однозначно удовлетворяются с помощью выбора коэффициентов. Если число узлов интерполирования не соответствует размерности базиса, то решение задачи интерполирования неоднозначно. Возникающую при этом неопределенность можно устранить путем введения дополнительных условий, налагаемых на значения коэффициентов. В частности, в узлах интерполяции можно задать не только значения функции, но и значения ее производной. В противном случае, задача интерполирования не имеет решения в общем виде, т.к. система условий может оказаться несовместной. В этом случае задача интерполирования заменяется задачей общей аппроксимации, которая заключается в построении многочлена низшей степени, наименее отклоняющегося от заданной функции.

• Заказать решение задач по высшей математике

Интерполяционный полином Лагранжа

Примером наипростейшей базисной системы функций можно считать систему

Утверждение 1. Если два многочлена степени принимают одинаковые значения при n +1 различных значениях переменной, то эти многочлены равны.

Пусть многочлены P(x) и Q(x) степени n, — такие попарно различные числа, что . Рассмотрим многочлен

Очевидно, что степень не превосходит я, либо — нулевой многочлен, причем т.е. многочлен имеет n + 1 различных корней, что невозможно. Следовательно,

Это утверждение позволяет доказать следующую теорему.

Теорема. Для каждого натурального числа n существует один и только один многочлен степени , который принимает любые наперед заданные значения при n +1 значениях неизвестной.

Пусть — различные числа — произвольные числа. Построим многочлен P (x)степени такой, что . По утверждению 1, он определен однозначно:

Степень и, очевидно, Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по заданной таблице значений:

Формула Тейлора

Задача аппроксимации (приближенного вычисления) функции в окрестности данной точки, которую часто называют рабочей точкой, является одной из основных задач математического анализа. Для дифференцируемых функций эта задача решается с помощью формулы Тейлора.

Поскольку функция дифференцируема, то ее приращение представимо в виде:

т.е. существует многочлен первой степени такой, что при выполняются условия

В более общем виде задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке n производных f'(), Необходимо найти многочлен степени не выше n, такой, что: где удовлетворяет условиям:

Предположим, что искомый аппроксимационный многочлен имеет вид:

Тогда:

Тогда, с учетом условий (5), можно получить:

Таким образом, если в аппроксимационый полином подставить полученные значения коэффициентов, то полином можно записать следующим образом:

Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции f. Можно показать, что он удовлетворяет условию

Рассмотрим функцию Эта функция представляет собой погрешность при замене функции f многочленом в окрестности точки . Из приведенных выше условий следует, что:

Для того, чтобы убедиться, что ПРИ необходимо показать, что. Для раскрытия этой неопределенности нужно применить n раз правило Лопиталя:

Полученные выводы можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки и n раз дифференцируема в ней. Тогда, при имеет место формула:

Полученный многочлен называется формулой Тейлора n -го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Если = 0, то формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:

Для остаточного члена формулы Тейлора существуют и другие представления. Так, если функция f имеет производную n-го порядка в окрестности точки , то остаточный член может быть представлен в форме Лагранжа:

Основные разложения

Используя основные разложения можно получать формулы Тейлора для других функций. При этом используют то, что:

Понятие об эмпирических формулах

На практике часто возникает задача аппроксимации данных о зависимости между двумя переменными у их, полученных опытным путем и представленных в табличной форме. Это могут быть результаты опыта, наблюдений, статистической обработки результатов и т.д. При этом необходимо зависимость между этими переменными представить в виде аналитического выражения функции у = f(x) так, чтобы эта формула наилучшим образом отражала общую тенденцию зависимости у от fx, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений.

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, называются эмпирическими. Задача нахождения эмпирических формул выполняется в два этапа:

• Установление вида зависимости у = f(x);
• Определение неизвестных параметров этой функции.

При определении вида эмпирической функции у-f{x)

обычно предполагается, что это наиболее гладкая кривая, согласованная с экспериментальными данными. Кроме того, для выбора этой функции привлекаются дополнительные соображения, как правило, не математического характера (теоретические модели, опыт предшествующих исследований, и т.п.).

Эта задача может быть решена в ходе регрессионного анализа, который изучается в курсе теории вероятностей, но решить ее можно и математическими методами. Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов, в качестве неизвестных параметров функции у = f (х) выбираются такие значения, которые соответствуют минимальному значению суммы квадратов отклонений эмпирических значений у. от значений функции вычисленных по соответствующим им значениям аргументов, т.е.:

Разность называется невязкой. В качестве критерия согласия или величины отклонения можно было взять обычную сумму невязок или их абсолютных величин, но делать это нецелесообразно, поскольку в первом случае сумма невязок может быть малой или, даже, равняться нулю при значительном разбросе экспериментальных данных из-за того, что положительные отклонения будут скомпенсированы отрицательными. Сумма абсолютных величин невязок лишена этого недостатка, но она имеет другой — она не является дифференцируемой, что существенно затрудняет решение задачи.

В ходе решения задачи отыскания оптимальных параметров аппроксимационной функции y = f(x) возникает необходимость поиска экстремума функции нескольких переменных, поэтому, прежде чем решать эту задачу для конкретных эмпирический функций, необходимо рассмотреть свойства функций нескольких переменных.

п.1. Алгоритм исследования и построения графика функции

1. Найти область определения функции, классифицировать точки разрыва
2. Исследовать функцию на четность и периодичность
3. Провести анализ асимптотического поведения функции (наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот) (см. §41 данного справочника)
4. Взять первую производную. Определить критические точки, интервалы монотонности, точки экстремума
5. Взять вторую производную. Определить критические точки 2-го порядка, интервалы выпуклости и точки перегиба
6. Найти точки пересечения функции с осями координат (если уравнение (f(x)=0) не имеет аналитического решения, указать количество точек пересечения с осью OX)
7. Построить график функции

п.2. Примеры

Исследование функций и построение графиков

С
помощью дифференциального исчисления
можно установить характерные особенности
изменения функций: возрастание и
убывание, максимумы и минимумы, направление
выпуклости и вогнутости графика, наличие
асимптот. Характерные точки – точки
разрыва, экстремума, перегиба, пересечения
с осями координат – служат опорными
точками при исследовании функций и
построения их графиков.

Обычно
используют следующую схему исследования
функции.

1.
Находят область определения, интервалы
непрерывности и точки разрыва функции.

2.
Исследуют функцию на чётность или
нечётность (осевая или центральная
симметрия графика.

Функция y = f(x)
называется чётной, если

График
чётной функции симметричен относительно
оси Oy,
так как, по определению, вместе с любой
своей точкой (x; y)
он содержит и точку (-x; y).

Функция y = f(x)
называется нечётной, если

График
нечётной функции симметричен относительно
начала координат, так как, по определению,
вместе с любой своей точкой (x; y)
он содержит и точку (-x; -y).

3.
Находят асимптоты (вертикальные,
горизонтальные или наклонные).

4.
Находят интервалы монотонности функции,
точки её экстремума.

Функции,
убывающие или возрастающие на некотором
числовом промежутке, называются
монотонными функциями.

Функция
называется возрастающей на интервале
]a, b[,
принадлежащем области определения
функции, если бОльшим значениям
независимой переменной из этого интервала
соответствуют бОльшие значения функции,
т.е. если

Функция
называется убывающей на интервале
]a, b[,
если бОльшим значениям независимой
переменной из этого интервала соответствуют
меньшие значения функции, т.е. если

5.
Находят интервалы выпуклости и вогнутости
кривой, точки её перегиба.

График
дифференцируемой функции называется
выпуклым в интервале ]a, b[,
если в этом интервале он расположен
ниже любой своей касательной (рис. 15).

График
дифференцируемой функции называется
вогнутым в этом интервале он расположен
выше любой своей касательной  (рис.
16).

Теорема (достаточный
признак вогнутости или выпуклости
графика). Если для функции f(x)
во всех точках интервала ]a, b[

то
кривая y = f(x)
вогнута в этом интервале; если же

во
всех точках интервала ]a, b[,
то кривая выпукла в этом интервале.

Точка
графика непрерывной функции, в которой
изменяется выпуклость на вогнутость
или наоборот, называется точкой перегиба.

Из
определения следует, что с одной стороны
от точки перегиба кривая расположена
под касательной, с другой стороны – над
ней, или наоборот. Поэтому точку перегиба
на графике принято показывать отрезком
касательной, которая в этой точке
пересекает кривую (рис. 17).

Теорема (достаточный
признак существования точки перегиба).
Если в точке функция f(x)
имеет первую производную ,
а вторая производная в
этой точке равна нулю или не существует,
и кроме того, при переходе через меняет
знак, то

является
точкой перегиба графика функции y = f(x).

6.
Находят точки пересечения кривой с
осями координат, если они существуют.

7.
Составляют сводную таблицу исследования.

8.
Строят график функции.    

 Пример
4. Исследовать
функциюи
построить её график.

Решение.

1.
Область определения – вся числовая
прямая. Множеством значений данной
функции, как и всякой показательной
функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому
график функции расположен выше оси Ox, 
2.
Функция чётная, так как

её
график симметричен относительно оси Oy.
Поэтому исследование можно выполнять
только для ]0, +∞[.

3.
Вертикальных асимптот у графика нет,
поскольку функция непрерывна на всей
числовой прямой. Горизонтальной
асимптотой является ось Ox,
так как

Поскольку
кривая имеет двустороннюю горизонтальную
асимптоту y =
0, у неё не может быть наклонных асиптот.

4.
Находим

Из
уравненияимеем

Так
как при
переходе через значение x =
0 меняет знак с плюса на минус, то функция
в точке x =
0 переходит от возрастания к убыванию,
а (0; 1) – точка максимума. Касательная к
кривой в этой точке горизонтальна,
поскольку

5.
Находим

Из
уравненияполучаемт.е.

Учитывая
чётность функции, исследуем знаки в
окрестности только точки

Следовательно,
при x =
1 кривая меняет выпуклость на вогнутость.
Так как

то

точка
перегиба кривой. Угловой коэффициент
касательной в кривой в этой точке

поэтому
в точке перегиба касательная образует
с осью Ox тупой
угол.

6.
График не пересекает оси Ox,
поскольку он расположен выше неё. Найдём
точки пересечения кривой с осью Oy:
полагая x =
0, имеем

Тем
самым получим точку (0; 1) графика, которая
совпадает с точкой максимума.

7.
Составим сводную таблицу исследования,
куда внесём все характерные точки и
интервалы между ними. Учитывая чётность
функции, получаем следующую таблицу:

				Особенности графика
[-1, 0[	+	—	Возрастает	Выпуклый
0	0	—	1	(0; 1) – точка максимума
]0, 1[	—	—	Убывает	Выпуклый
1	—	0		— точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол
]1, +∞[	—	+	Убывает	Вогнутый
+∞	—	+		y = 0 – горизонтальная асимптота

  
8.
Используя результаты исследования,
строим график функции (рис. 18).

Асимптоты
ОЭФ

Соседние файлы в папке Bilety

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  14.03.2016489.23 Кб372.docx

• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Схема исследования функции и построение ее графика
2. Условия возрастания и убывания функции.
3. Экстремумы функции
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Условия выпуклости. Точки перегиба

Схема исследования функции и построение ее графика

График заданной функции можно строить по произвольно взятым точкам. При таком способе можно не обнаружить всех особенностей ее графика.

Проведя предварительно исследования, мы ищем характерные для данного графика точки и тем упрощаем решение задачи о построении графика.

При исследовании функции и построении ее графика целесообразно придерживаться следующей схемы:

Первый этап (использование вида заданной функции).

1) Находим область определения функции, точки разрыва.
2) Исследуем функцию на четность или нечетность, периодичность.
3) Находим асимптоты графика функции.
4) Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Второй этап (использование производной первого порядка).
5) Находим критические точки первого рода, интервалы возрастания и убывания, точки экстремумов и экстремальные значения функции.

Третий этап (использование производной второго порядка).
6) Находим критические точки второго рода, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба и значения функции в этих точках.

Четвертый этап. Составим таблицу результатов исследования.

Наносим полученные точки, асимптоты на координатную плоскость и строим график функции с учетом точек разрыва, интервалов возрастания и убывания функций, промежутков выпуклости и вогнутости графика функций.

Пример 1. Исследовать функцию y = x³ – 3x² и построить ее график.

Решение.
1) Область определения функции: вся числовая ось .
2) Функция ни четная ни нечетная, поскольку  y (-x) = -x³ — 3x², поэтому y (-x) ≠ y (x) ≠ — y (x).
Функции не периодическая.
3) Вертикальных асимптот график не имеет, потому что нет точек разрыва.

Исследуем, имеет ли график наклонные асимптоты y = kx + b:

Наклонных асимптот график также не имеет.

4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат: при x = 0, y = 0; то есть точка O (0; 0);
при y = 0:    x³ — 3x² = 0⇒  x² (x – 3) = 0⇒ x = 0 и x = 3,  то есть точка M (3; 0).

Второй этап.
5) Находим производную первого порядка:
y ‘= 3x² – 6 x = 3x (x – 2).

Находим критические точки первого рода:
3x (x – 2) = 0, x₁ = 0, x₂ = 2.

Критические точки разбивают область определения на промежутки (-∞, 0) ∪ (0,2) ∪ (2, ∞) (рис. 19).

                              

Рис. 19.                                                                                                  Рис. 20.

Находим знаки производной в этих промежутках:
y’ (3) = 3⋅ 3 (3 – 2) = 9 > 0,
y’ (1) = 3 ⋅ 1 (1 – 2) = –3 < 0,
y’ (1) = 3 (–1) (–1 – 2) = 9 > 0.

Следовательно, функция возрастает на промежутках (–∞; 0) ∪ (2; ∞), убывает на
промежутке (0; 2).

В точке x = 0 функция имеет максимум, y_max = y (0) = 0.
В точке x = 2 функция имеет минимум,

Третий этап.
6) Находим производную второго порядка:
y»= 6 x – 6 = 6 (x – 1). Находим критические точки второго рода: 6 (x — 1) = 0, x = 1 . Критическая точка x = 1 разбивает область определения на промежутки: (-∞, 1) ∪ (1, ∞) (рис. 20). Находим знаки второй производной в этих промежутках:
y» (0) = 6 (0 – 1) = –6 < 0,
y» (2) = 6 (2 – 1) = 6 > 0.

Следовательно, график функции выпуклый на промежутке (-∞, 1), вогнутый на промежутке (1; ∞). Точка x = 1 является точкой перегиба,
7) Составим таблицу, где занесем все результаты исследования.

Найдем еще дополнительно
y (-1) = (-1) ³ – 3 ⋅ (–1) ² = 4.

Наносим все характерные точки на координатную плоскость и строим график (рис.21).

Рис. 21.

Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.

Первый этап.
1) Область определения функции (; 2) ∪ (2; ). Функция имеет разрыв в точке x = 2.

2) Функция ни четная, ни нечетная, поскольку
   и   y (-x) ≠ y (x) ≠ — y (x).
Функция непериодическая.

3) Поскольку в точке разрыва x = 2,
 а   

то прямая x = 2 — вертикальная асимптота.
Исследуем, имеет ли график наклонные асимптоты y = kx + b:

Итак, y = 0 — горизонтальная асимптота.

4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат: при  x = 0, то есть точка ,   при y = 0 —   x = 3, то есть точка M₁ (3; 0).

Переходим ко второму этапу:
5) Найдем производную первого порядка:

Находим критические точки первого рода:

Учитывая точку x = 2, где производная не существует, разобьем область определения на промежутки (; 2) ∪ (2; 4) ∪ (4; ) (рис.22) и установим знаки первой производной в этих промежутках:

Следовательно, функция возрастает на промежутке (2; 4), убывает на промежутках (; 2) ∪ (4; ) .В точке x = 4 функция имеет максимум,
 Имеем точку 

         
Рис. 22.                                                                                  Рис. 23

Переходим к третьему этапу:
6) Находим вторую производную:

Найдем критические точки второго рода:
  4x – 20 = 0;    x = 5; 

Учитывая точку x = 2, где y» не существует, разбиваем область определения на промежутки: (; 2) ∪ (2, 5) ∪ (5; )  (рис. 23).

Установим знаки второй производной в этих промежутках:

Следовательно, график функции выпуклый на промежутках: (; 2) ∪ (2; 5), вогнута на промежутке (5; ). Точка x = 5 является точкой перегиба,  
Имеем точку Составим таблицу, куда занесем результаты исследования:

Строим график (рис. 24).

Рис. 24.

Условия возрастания и убывания функции.

1) Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция строго возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы производная была положительна всюду на , т. е.

, .

2) Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (не убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная была неотрицательна всюду на , т. е.

, .

3) Аналогично, достаточным условием строгого убывания дифференцируемой функции , , является условие

, ;

необходимым и достаточным условием убывания — условие

, .

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Экстремумы функции

1) Точка называется точкой локального максимума функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой верно неравенство

.

Если для всех из некоторой окрестности точки верно строгое неравенство

,

то точка называется точкой строгого локального максимума функции .

Аналогично, если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство

,

то точка называется точкой локального минимума, если для всех из некоторой окрестности точки верно строгое неравенство

,

то точка называется точкой строгого локального минимума.

Для краткости слово “локальный” часто опускают и пишут просто “точка минимума” или “точка строгого максимума”.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

2) Необходимые условия экстремума. Если точка является точкой экстремума функции, то либо , либо не существует.

Эти условия не являются достаточными.

Точки, в которых функция определена, а производная функции равна нулю или не существует, называют критическими точками функции. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

3) Достаточные условия строгого экстремума (с использованием первой производной). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , в которой, однако, функция непрерывна. Тогда точка является точкой строгого максимума, если существует окрестность точки , в которой

при и при

При выполнении условий (1) принято говорить, что производная функции при переходе через точку меняет знак плюс на знак минус.

Если же

при и при

т. е. если производная при переходе через точку меняет знак минус на плюс, то — точка строгого минимума.

4) Условия строгого экстремума (с использованием производных высших порядков). Пусть функция имеет в точке производные до порядка включительно. Тогда если

а

то при четном точка является точкой строгого экстремума, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если ; при нечетном экстремума в точке нет.

В частности, если

, a ,

то в точке имеется строгий максимум в случае и строгий минимум в случае .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Наибольшее и наименьшее значения функции

функции, непрерывной на отрезке, существуют на этом отрезке точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение (теорема Вейерштрасса).

Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет на нем локальных максимумов в точках . Тогда наибольшее значение функции на отрезке равно наибольшему из чисел

Аналогично, если функция непрерывна на отрезке и имеет на нем локальных минимумов в точках , то ее наименьшее значение на этом отрезке равно наименьшему из чисел

Условия выпуклости. Точки перегиба

1) Функция называется выпуклой вниз (или вогнутой вверх) на интервале , если для любых точек и этого интервала и любых чисел и таких, что , верно неравенство

Геометрический смысл выпуклости вниз функции на интервале заключается в том, что точки любой дуги графика функции расположены не выше хорды, стягивающей эту дугу (рис. 20.1). Если функция выпукла вниз на некотором интервале, то ее график тоже называют выпуклым вниз.

Если при тех же условиях относительно выполняется неравенство

то функция называется выпуклой вверх (или вогнутой вниз).

В том случае, когда при и , неравенство (4) или (5) является строгим, функция называется строго выпуклой вниз или соответственно строго выпуклой вверх на интервале .

Например, функция строго выпукла вниз на всей числовой оси.

Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вниз этой функции; интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх — интервалом (строгой) выпуклости вверх этой функции.

Интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз называют интервалами выпуклости.

2) Условия выпуклости функции. Для того чтобы функция , дважды дифференцируемая на интервале , была выпуклой вниз на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная была неотрицательна на , т. е.

Условие

является достаточным условием строгой выпуклости вниз функции на интервале .

Условие (7) не является необходимым для строгой выпуклости. В самом деле, функция строго выпукла вниз на всей числовой прямой, однако ее вторая производная равна нулю в точке .

Аналогично, для функции , имеющей на интервале вторую производную, необходимым и достаточным условием выпуклости вверх на этом интервале является условие

а достаточным условием строгой выпуклости вверх — условие

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Если существуют интервалы

и , ,

на одном из которых строго выпукла вниз, а на другом строго выпукла вверх, то говорят, что при переходе через точку функция меняет направление выпуклости. .

3) Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если функция при переходе через точку меняет направление выпуклости, то точка называется точкой перегиба функции . В этом случае точку называют точкой перегиба графика функции .

Если — точка перегиба графика / функции , то график функции переходит с одной стороны касательной к нему в этой точке на другую ее сторону. Заметим, что обратное утверждение неверно (см. задачу 62).

На рис. 20.2 и рис. 20.3 представлены график функции и график обратной ей функции , для которых точка является точкой перегиба. Функция в точке имеет бесконечную производную.

Функция (рис. 20.4)

при переходе через точку меняет направление выпуклости, в точке имеет бесконечную производную, однако точка не является для нее точкой перегиба, так как при функция разрывна. Для функции точка (рис. 20.5) не является точкой перегиба, поскольку при переходе через точку направление выпуклости

не меняется (это так называемая точка возврата). При переходе через точку функция

меняет направление выпуклости, но точка не является для нее точкой перегиба (рис. 20.6), так как в этой точке у функции нет ни конечной, ни бесконечной производной (это так называемая угловая точка).

4) Необходимые условия существования точки перегиба. Если точка является точкой перегиба функции , то либо , либо не существует.

Эти условия не являются достаточными. В самом деле, для функции вторая производная в точке равна пулю, а для функции

вторая производная в точке не существует, по ни для , пи для точка не является точкой перегиба.

Точки перегиба функции следует искать среди критических точек ее первой производной.

5) Достаточные условия существования точки перегиба (с использованием второй производной). Пусть функция дифференцируема в точке и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Тогда точка является точкой перегиба функции , если существует окрестность точки , в которой либо

при и при

либо

при и при

В этом случае принято говорить, что при переходе через точку вторая производная меняет знак.

6) Условия существования точки перегиба (с использованием производных высших порядков). Пусть функция имеет в точке производные до порядка включительно, и пусть

тогда если — нечетное число, то — точка перегиба; если же — четное число, то не является точкой перегиба.

В частности, если

то — точка перегиба функции .

Примеры с решением

Пример 1.

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1) ;

3)

1) Данная функция всюду дифференцируема, причем

Так как при и и при , то на интервалах и функция строго возрастает, а на интервале строго убывает.

2) Функция дифференцируема на всей числовой прямой, причем

Так как при всех , то данная функция является невозрастающей на всей числовой оси. На интервале она постоянна, на интервале строго убывает.

3) Данная функция является четной, поэтому достаточно найти интервалы монотонности при . Решая при неравенство

получаем

или ,

откуда

или .

Таким образом, на интервалах и , , функция строго возрастает. На интервалах , , очевидно, справедливо неравенство , и поэтому на этих интервалах функция строго убывает. Если , то, используя четность функции, получаем, что на интервалах , , функция строго возрастает, а на интервалах , , строго убывает.

Следует обратить внимание на то, что данная функция не является монотонной ни в какой окрестности точки . В любой окрестности этой точки содержится счетное множество интервалов возрастания и счетное множество интервалов убывания данной функции.

Пример 2.

Найти точки экстремума функции .

Функция имеет производную при всех , причем

Следовательно, у функции может быть только один экстремум в точке . Так как при и при , то точка является точкой строгого минимума.

Пример 3.

Найти экстремумы функции

Так как

то критические точки функции — и . Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на знак минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак минус па плюс, поэтому в точке у функции минимум.

Тот же результат можно получить, используя вторую производную. Так как и , а , то в точке функция имеет максимум, а в точке — минимум.

Вычислив значения функций в точках и , найдем экстремумы функции: максимум и минимум .

Пример 4.

Исследовать на экстремум функцию:

1)

2)

3)

1) Функция определена и дифференцируема при всех , кроме точки . Вычисляем ее производную:

и находим критические точки: и . Легко видеть, что существует окрестность точки , в которой , т. е. при

переходе через точку знак производной не изменяется. Следовательно, эта критическая точка не является точкой экстремума. В точке функция имеет строгий минимум, так как существуют левая окрестность этой точки, в которой , и правая окрестность этой точки, в которой . Вычисляя значение функции при , находим минимум:

2) Функция определена и непрерывна при всех . Вычисляем ее производную:

В точках , производная не существует. Таким образом, функция имеет три критические точки: , , . При переходе через точку производная не меняет знака, поэтому критическая точка не является точкой экстремума. При переходе через точку производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке функция имеет минимум. При переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, поэтому — точка максимума. Минимум функции равен , а максимум равен .

3) Функция дифференцируема при всех . Так как и уравнение имеет только одно решение, а именно , то экстремум может быть только в точке . Вычисляем вторую производную:

Поскольку , находим следующие производные в точке :

Таким образом, первой не равной нулю оказалась производная четного порядка. Следовательно, в точке функция имеет экстремум. Так как , то при у функции минимум, равный

Пример 5.

Исследовать на экстремум функцию , заданную параметрически уравнениями

Функции и дифференцируемы при всех значениях параметра , причем производная

при положительна. Поэтому при можно найти по формуле . Так как

то

Производная равна нулю только при , поскольку при всех . Следовательно, у данной функции две критические точки: (при ) и (при ). Если принадлежит левой окрестности точки , то параметр принадлежит левой окрестности точки , где .

В некоторой правой окрестности точки производная . Поэтому в точке функция имеет максимум, равный . Аналогично убеждаемся в том, что при переходе через точку , соответствующую значению , производная меняет знак минус на плюс. Таким образом, в точке у функции минимум, равный