Как посчитать хорду окружности
Онлайн калькулятор
Хорда круга – отрезок соединяющий две точки, лежащие на окружности.
Чтобы посчитать длину хорды вам необходимо знать, чему равен радиус (r) окружности и угол (α) между двумя радиусами, образующими вместе с хордой равнобедренный треугольник (см. рис.)
Как посчитать длину хорды (градусы)
Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а
Как посчитать длину хорды (радианы)
Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а
Теория
Чему равна длина хорды (l) окружности если известны её радиус (r) и центральный угол (α), опирающийся на данную хорду?
Формула
Пример
Если радиус круга равен 4 см, а ∠α = 90°, то длина хорды примерно равна 5.65 см.
Хорда окружности — определение, свойства, теорема
Хорда в геометрии
Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.
Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.
Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.
Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.
Свойства отрезка окружности
Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:
- Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
- Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
- Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
- Самый маленький отрезок в окружности это точка.
- Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
- При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
- Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.
Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.
Ключевая теорема
Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.
Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.
Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.
Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.
Касательная и секущая
Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.
Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.
Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.
Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.
Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.
Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.
Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.
Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.
Решение задач
При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:
- Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
- Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
- Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.
Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.
Как найти хорду в окружности решение
Учебный курс | Решаем задачи по геометрии |
Определение хорды Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой. Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда окружности. Свойства хорды к окружности
Свойства хорды и вписанного углаСвойства хорды и центрального углаФормулы нахождения хордыОбозначения в формулах: Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла. Решение задачПримечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен. Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ. Решение. Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда 2х * 3х = 5 * 12 Откуда Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника. Решение. 3,5х + 5,5х + 3х = 360 Откуда градусные величины центральных углов равны: Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. 90 / 2 = 45 Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ; источники: http://nauka.club/matematika/geometriya/khorda-okruzhnosti.html http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson318/ |
Хорда
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом. Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой. |
Определение: Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Свойства хорд
Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде. |
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности. |
Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD. |
Сообщения без ответов | Активные темы
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Заголовок сообщения: Найти длину хорды эллипса Добавлено: 10 дек 2015, 22:21 |
|||
|
Найти длину хорды Эллипса х^2/а^2+у^2/б^2=1 направленной по диагонали прямоугольника построенного на осях эллипса.
|
||
Вернуться к началу |
|
||
Anies |
Заголовок сообщения: Найти длину хорды эллипса Добавлено: 10 дек 2015, 22:25 |
Найти длину хорды Эллипса [math]frac{ x^{2} }{ a^{2} }+frac{ y^{2} }{ b^{2} }=1[/math] направленной по диагонали прямоугольника построенного на осях эллипса.
|
|
Вернуться к началу |
|
Nataly-Mak |
Заголовок сообщения: Re: Найти длину хорды эллипса Добавлено: 11 дек 2015, 00:05 |
Вернуться к началу |
|
Andy |
Заголовок сообщения: Re: Найти длину хорды эллипса Добавлено: 11 дек 2015, 06:47 |
Anies писал(а): Найти длину хорды Эллипса х^2/а^2+у^2/б^2=1 направленной по диагонали прямоугольника построенного на осях эллипса. Наверное, эту длину можно определить, если найти точки пересечения эллипса с диагональю прямоугольника. Другие способы решения этой задачи основаны на применении геометрических преобразований к окружностям, построенным на большой или малой осях эллипса как на диаметрах.
|
|
Вернуться к началу |
|
За это сообщение пользователю Andy «Спасибо» сказали: Ellipsoid |
|
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти вероятность того, что хорды не пересекаются
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
kicultanya |
8 |
1232 |
03 фев 2017, 13:09 |
Найти эксцентриситет эллипса
в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра |
Glessia |
2 |
190 |
02 дек 2021, 22:14 |
Найти уравнение эллипса
в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра |
Glessia |
1 |
159 |
02 дек 2021, 22:11 |
Найти фокус эллипса
в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра |
ivanko_krylatko |
5 |
545 |
22 окт 2014, 08:59 |
Найти уравнение эллипса
в форуме Геометрия |
luckyboyr |
4 |
199 |
12 сен 2021, 13:39 |
Хорды
в форуме Геометрия |
kolysanka |
5 |
342 |
07 апр 2016, 15:12 |
Хорды
в форуме Геометрия |
Mobile |
2 |
274 |
08 апр 2015, 13:34 |
Найти большую полуось эллипса
в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра |
ANASTASIA9999 |
1 |
503 |
24 ноя 2014, 16:12 |
Найти массу четверти эллипса
в форуме Интегральное исчисление |
nanaHIN00 |
5 |
355 |
22 апр 2019, 18:36 |
ГМТ середины хорды
в форуме Интересные задачи участников форума MHP |
ferma-T |
3 |
135 |
05 авг 2022, 06:18 |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
Формула длины хорды окружности
Хорда — отрезок соединяющий любые две точки окружности. Диаметр окружности, самая большая хорда.
L — хорда
R — радиус окружности
O — центр окружности
α — центральный угол
Формула длины хорды, (L):
Калькулятор для расчета длины хорды окружности :
Дополнительные формулы для окружности:
- Подробности
-
Автор: Administrator
-
Опубликовано: 16 октября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Как вычислить хорду
Хордой в математике, техническом черчении и некоторых других отраслях знаний принято называть отрезок прямой, который соединяет две любые точки окружности. Самая длинная хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Вам понадобится
- — радиус окружности:
- — длина дуги хорды;
- — угол дуги хорды;
- — бумага и чертежные инструменты.
Инструкция
Выполните чертеж в соответствии с условиями задачи. Начертите окружность заданного радиуса. Если вам известен угол дуги, которую стягивает хорда, постройте его. Проведите радиус, отложите с помощью транспортира нужный угол и проведите еще один. Точки пересечения радиусов с окружностью соедините прямой. Это и будет нужная вам хорда. Если же угол неизвестен, начертите произвольную хорду.
Выполните дополнительное построение. Разделите хорду пополам и проведите к этой точке перпендикуляр из центра окружности. У вас получился равнобедренный треугольник, высотой которого является перпендикуляр к середине хорды.
Обозначьте радиус как R, хорду — как h, а центральный угол — как А. Тогда h модно вычислить либо через синус А, либо через косинус. В первом случае формула будет выглядеть как h=2R*sinA/2, где R — известный радиус окружности. Во втором случае формула будет выглядеть как h=R*√(1-cosB).
Одна из самых древних геометрических задач — найти длину хорды, если известны радиус окружности и длина дуги. Вычислите длину окружность P. Она равна удвоенному радиусу, умноженному на коэффициент П Выразить ее можно формулой P=2ПR.
Вычислите отношение заданной длины дуги l к длине окружности P. Таким образом вы вычислите размер угла дуги. В данном случае неважно, будет он в градусах или радианах. Зная его размер, вычислите синус половинного угла. После этого вы можете вычислить размер хорды по уже известной вам формуле.
Нередко приходится сталкиваться и с противоположным заданием — например, найти длину дуги по радиусу окружности и длине хорды. Используя теорему синусов, вычислите размер половинного, а затем и целого центрального угла. Зная его, по соотношению длины дуги к длине окружности высчитайте неизвестную вам длину дуги.
Полезный совет
С самой длинной хордой — диаметром — обычно поступают по-другому. Конечно, можно по приведенным соотношениям высчитать и его, но угол известен заранее и составляет 180°. В этом случае sinA/2=sin90°=1. Соответственно, h=2R*sinA/2=2R.
При вычислении размеров любых прямых, так или иначе связанных с окружностью, целесообразно бывает достроить чертеж так, чтобы получились треугольники, параметры которых вам известны. В случае с хордой вы воспользовались несколькими свойствами этой прямой. Например, тем, что перпендикуляр, проведенный к хорде из центра окружности, делит эту хорду пополам.
Источники:
- как найти длину хорды через радиус
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.