Как найти хорду в прямоугольном треугольнике

Определение хорды

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки заданной кривой. Хорда может быть у дуги, окружности, эллипса и т.д.
На рисунке хорда обозначена как отрезок AB красного цвета . Оба его конца находятся на окружности

Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом .

Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой — с другой стороны.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда окружности.

Свойства хорды к окружности

• Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны. Верно и обратное — если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны
• Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше. Верно и обратное
• Наибольшая возможная хорда является диаметром
• Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности

• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам
• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Верно и обратное — если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу

• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам
• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
• Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Свойства хорды и вписанного угла

Свойства хорды и центрального угла

Формулы нахождения хорды

Обозначения в формулах:
l — длина хорды
α — величина центрального угла
R — радиус окружности
d — длина перпендикуляра, проведенного от центра окружности к хорде

Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.

Решение задач

Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.

Задача.

Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ.

Решение.

Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x

Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда

2х * 3х = 5 * 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10

Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.

Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то

3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30

Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165

Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Откуда углы треугольника равны:

90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5

Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

• Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
• Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
• Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Как найти хорду в окружности

Хордой называется отрезок прямой, проведенный внутри круга и соединяющий две точки на окружности. Хорда не проходит через центр круга и этим отличается от диаметра.

Инструкция

Хорда является самым коротким расстоянием между двумя точками на линии окружности. Хорда отличается от диаметра тем, что не проходит через центр круга. Диаметрально противоположные точки окружности находятся на максимально возможном расстоянии друг от друга. Следовательно, любая хорда в окружности меньше диаметра.

Проведите в круге произвольную хорду. Соедините концы полученного отрезка, лежащие на линии окружности, с центром круга. Вы получили треугольник, одна вершина которого расположена в центре круга, а две другие — на окружности. Треугольник равнобедренный, две его стороны являются радиусами окружности, третья сторона — искомая хорда.

Проведите из вершины треугольника, совпадающей с центром круга, высоту на сторону — хорду. Поскольку треугольник равнобедренный, эта высота одновременно является медианой и биссектрисой. Рассмотрите прямоугольные треугольники, на которые высота разделила исходный треугольник. Они равны.

В каждом из двух прямоугольных треугольников гипотенузой является радиус окружности, высота исходного треугольника — общий для двух фигур катет. Второй катет равен половине длины хорды. Если обозначить хорду L, то из соотношений элементов в прямоугольном треугольнике следует:
L/2 = R*Sin (α/2)
где R — радиус окружности,
α — центральный угол между радиусами, соединяющими концы хорды с центром окружности.

Следовательно, длина хорды в окружности равна произведению диаметра окружности на синус половины центрального угла, на который данная хорда опирается:
L = 2R*Sin (α/2) = D*Sin (α/2)

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Как найти хорду окружности

Хорда – это отрезок, который соединяет две произвольные точки одной окружности. Нахождение длины данного элемента окружности – это задача, относящаяся к геометрическому разделу математики. Для ее вычисления необходимо сделать упор на величины, данные в задаче, а также свойства других элементов.

Существует несколько типов задач на нахождение хорды. В каждом из них даны различные значения, которые могут быть использованы для проведения необходимых вычислений.

1

Как найти хорду окружности – случай 1

Задается окружность, в которой есть радиус R. Если дуга φ стягивается хордой L, при этом φ задана в градусах, то значение длины хорды будет вычисляться следующим образом: L = 2*R*sin(φ/2). Для решения задачи необходимо будет просто подставить числовые значения и вычислить.

2

Как найти хорду окружности – случай 2

• Задается окружность, центр которой лежит в т. О и хордами АВ и АС, которые пересекают окружность в общей т. А. В этом случае угол, который образуют хорды (ВАС), опирается на диаметр. В данном случае рекомендуется выполнить пояснительный чертеж, чтобы было видно образование равнобедренного треугольника АВС, в котором ВС – основание и диаметр, следовательно, ВО=ОС (как радиусы). Тогда АО является медианой в треугольнике и еще одним радиусом. АВ и АС – стороны треугольника, АВ=АС (т.к. треугольник является равнобедренным). Треугольники АОС и АОВ являются прямоугольными и равнобедренными. Зная радиус, по теореме Пифагора вычисляется хорда: АС²=АО²+ОС².
• В данном случае можно воспользоваться другой формулой, если известен диаметр и центральный угол, на который опирается хорда: L = 2R*Sin (α/2) = D*Sin (α/2).

3

Как найти хорду окружности – случай 3

Когда задается окружность с диаметром и хордой и дается угол между ними (α), то необходимо провести перпендикуляр к центру с другой точки пресечения хордой окружности. Получится прямоугольный треугольник. Теорема о проекциях позволяет вывести формулу, которую можно использовать для нахождения хорды: СЕ = 2* R *cos α.

4

Как найти хорду окружности – полезные свойства

• Хорда, проходящая через центр заданной окружности, будет являться ее диаметром.
• Если в окружности проведено две хорды, которые пересекаются между собой, то срабатывает такое свойство: угол между ними будет равен ½ суммы мер двух дуг: расположенной напротив хорды и той, что находится в углу.
• В случае, когда к заданной окружности проводится касательная, которая образует с хордой угол, то он будет равен значению, полученному в результате деления величины дуги, которую стягивает данная хорда, на 2.

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Хорда — под этим понятием понимается отрезок, который соединяет 2 любые точки, отмеченные на окружности.

Если хорда проходит через её центр, то она будет диаметром.

---

Для того, чтобы найти длину хорды l, можно воспользоваться следующей формулой:

l = 2R * sin(α/2).

Здесь: R — радиус окружности и α — центральный угол.

Кстати, диаметр как частный случай хорды, имеет самую максимальную длину.

Вообще, задача нахождения длины хорды нередко возникает перед инженерами, механиками или архитекторами.

---

Пример

Радиус окружности R равен 5 см.

Угол α равен 60 градусов.

Длина хорды будет равна: l = 2*5*sin(30°) = 2*5*0,5 = 5 см.