Как найти идеал группы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Идеал — специального рода подобъект в некоторой алгебраической структуре.
Понятие идеала возникло первоначально в теории колец.
Название «идеал» ведет свое происхождение от «идеальных чисел» (дивизоров).

Определения

Для алгебры или кольца идеал
есть подалгебра или подкольцо, замкнутая относительно умножения на элементы из .
При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева
(соответственно справа) на элементы из .
Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним.
В коммутативном случае все эти три понятия совпадают.

Более точно: Идеалом кольца A называется такое подмножество I кольца A, что

для любых элементов i и j из I, их сумма i+j также лежит в I;
для любого элемента i из I его противоположный элемент -i также лежит в I;
(условие на правые идеалы) для любого элемента i из I и любого элемента a из A произведение ia также лежит в I;
(условие на левые идеалы) для любого элемента i из I и любого элемента a из A произведение ai также лежит в I.

Свойства

Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах:

Для любого подмножества можно определить идеал ${displaystyle I_{X}}$ , порождённый , как пересечение всех идеалов, содержащих множество . В этом случае множество назывется базисом идеала ${displaystyle I_{X}}$ . Разные базисы могут порождать один и тот же идеал. Идеал, порождённый одним элементом, называется главным.

Пересечение левых (двусторонних) идеалов снова будет левым (двусторонним) идеалом.
- Для колец и алгебр теоретико-множественное объединение идеалов не обязано быть идеалом.

Пусть — левые или двусторонние идеалы в кольце (или алгебре) .
Суммой идеалов и называется минимальный идеал в , содержащий и . Относительно суммы все (левые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют решётку.

Например, если есть -алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца совпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы , а множество всех идеалов алгебры совпадает с множеством всех подпространств векторного -пространства . Однако в случае, когда — алгебра с единицей, оба эти понятия совпадают.

Связанные понятия

Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их идеал или решётку идеалов.
Например:

Кольцо, не имеющее нетривиальных двусторонних идеалов, называется простым.
Кольцо без собственных односторонних идеалов является телом. См. также: кольцо главных идеалов, артиново кольцо, нётерово кольцо.

С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологическое пространство , точками которого являются все простые идеалы кольца , отличные от , а идеалы кольца определяют замкнутые подмножества пространства .

Понятие идеала тесно связано с понятием модуля. Идеал (правый или левый) можно определять как подмодуль кольца, рассмотренного как правый или левый модуль над собой.

Типы идеалов

Минимальный идеал
Максимальный идеал
Нильпотентный идеал
Радикальный идеал
Главный идеал
Конечнопорождённый идеал
Первичный идеал

Ссылки

Радикальный идеал

У этого термина существуют и другие значения, см. Идеал (значения).

ca:Ideal (matemàtiques)
cs:Ideál (algebra)
da:Ideal (ringteori)
he:אידאל (אלגברה)
lmo:Ideaal (matemàtica)
nl:Ideaal (wiskunde)
pl:Ideał (teoria pierścieni)
sk:Ideál (okruhu)
sv:Ideal (matematik)
ta:வளையத்தில் சீர்மம் (கணிதம்)

Источник

In mathematics, and more specifically in ring theory, an ideal of a ring is a special subset of its elements. Ideals generalize certain subsets of the integers, such as the even numbers or the multiples of 3. Addition and subtraction of even numbers preserves evenness, and multiplying an even number by any integer (even or odd) results in an even number; these closure and absorption properties are the defining properties of an ideal. An ideal can be used to construct a quotient ring in a way similar to how, in group theory, a normal subgroup can be used to construct a quotient group.

Among the integers, the ideals correspond one-for-one with the non-negative integers: in this ring, every ideal is a principal ideal consisting of the multiples of a single non-negative number. However, in other rings, the ideals may not correspond directly to the ring elements, and certain properties of integers, when generalized to rings, attach more naturally to the ideals than to the elements of the ring. For instance, the prime ideals of a ring are analogous to prime numbers, and the Chinese remainder theorem can be generalized to ideals. There is a version of unique prime factorization for the ideals of a Dedekind domain (a type of ring important in number theory).

The related, but distinct, concept of an ideal in order theory is derived from the notion of ideal in ring theory. A fractional ideal is a generalization of an ideal, and the usual ideals are sometimes called integral ideals for clarity.

History[edit]

Ernst Kummer invented the concept of ideal numbers to serve as the «missing» factors in number rings in which unique factorization fails; here the word «ideal» is in the sense of existing in imagination only, in analogy with «ideal» objects in geometry such as points at infinity.^[1]
In 1876, Richard Dedekind replaced Kummer’s undefined concept by concrete sets of numbers, sets that he called ideals, in the third edition of Dirichlet’s book Vorlesungen über Zahlentheorie, to which Dedekind had added many supplements.^[1]^[2]^[3]
Later the notion was extended beyond number rings to the setting of polynomial rings and other commutative rings by David Hilbert and especially Emmy Noether.

Definitions and motivation[edit]

For an arbitrary ring , let (R,+) be its additive group. A subset I is called a left ideal of if it is an additive subgroup of that «absorbs multiplication from the left by elements of «; that is, is a left ideal if it satisfies the following two conditions:

is a subgroup of
For every and every , the product is in .

A right ideal is defined with the condition replaced by . A two-sided ideal is a left ideal that is also a right ideal, and is sometimes simply called an ideal. In the language of modules, the definitions mean that a left (resp. right, two-sided) ideal of is an -submodule of when is viewed as a left (resp. right, bi-) -module. When is a commutative ring, the definitions of left, right, and two-sided ideal coincide, and the term ideal is used alone.

To understand the concept of an ideal, consider how ideals arise in the construction of rings of «elements modulo». For concreteness, let us look at the ring of integers modulo given an integer ( is a commutative ring). The key observation here is that we obtain by taking the integer line and wrapping it around itself so that various integers get identified. In doing so, we must satisfy 2 requirements:

1) must be identified with 0 since is congruent to 0 modulo .

2) the resulting structure must again be a ring.

The second requirement forces us to make additional identifications (i.e., it determines the precise way in which we must wrap around itself). The notion of an ideal arises when we ask the question:

What is the exact set of integers that we are forced to identify with 0?

The answer is, unsurprisingly, the set of all integers congruent to 0 modulo . That is, we must wrap around itself infinitely many times so that the integers will all align with 0. If we look at what properties this set must satisfy in order to ensure that is a ring, then we arrive at the definition of an ideal. Indeed, one can directly verify that is an ideal of .

Remark. Identifications with elements other than 0 also need to be made. For example, the elements in must be identified with 1, the elements in must be identified with 2, and so on. Those, however, are uniquely determined by since is an additive group.

We can make a similar construction in any commutative ring : start with an arbitrary xin R , and then identify with 0 all elements of the ideal . It turns out that the ideal is the smallest ideal that contains , called the ideal generated by . More generally, we can start with an arbitrary subset , and then identify with 0 all the elements in the ideal generated by : the smallest ideal such that . The ring that we obtain after the identification depends only on the ideal and not on the set that we started with. That is, if , then the resulting rings will be the same.

Therefore, an ideal of a commutative ring captures canonically the information needed to obtain the ring of elements of modulo a given subset . The elements of , by definition, are those that are congruent to zero, that is, identified with zero in the resulting ring. The resulting ring is called the quotient of by and is denoted R/I . Intuitively, the definition of an ideal postulates two natural conditions necessary for to contain all elements designated as «zeros» by R/I :

is an additive subgroup of : the zero 0 of is a «zero» , and if ${displaystyle x_{1}in I}$ and ${displaystyle x_{2}in I}$ are «zeros», then ${displaystyle x_{1}-x_{2}in I}$ is a «zero» too.
Any multiplied by a «zero» is a «zero» .

It turns out that the above conditions are also sufficient for to contain all the necessary «zeros»: no other elements have to be designated as «zero» in order to form R/I . (In fact, no other elements should be designated as «zero» if we want to make the fewest identifications.)

Remark. The above construction still works using two-sided ideals even if is not necessarily commutative.

Examples and properties[edit]

(For the sake of brevity, some results are stated only for left ideals but are usually also true for right ideals with appropriate notation changes.)

In a ring R, the set R itself forms a two-sided ideal of R called the unit ideal. It is often also denoted by since it is precisely the two-sided ideal generated (see below) by the unity ${displaystyle 1_{R}}$ . Also, the set ${displaystyle {0_{R}}}$ consisting of only the additive identity 0_R forms a two-sided ideal called the zero ideal and is denoted by .^{[note 1]} Every (left, right or two-sided) ideal contains the zero ideal and is contained in the unit ideal.^[4]
An (left, right or two-sided) ideal that is not the unit ideal is called a proper ideal (as it is a proper subset).^[5] Note: a left ideal is proper if and only if it does not contain a unit element, since if is a unit element, then ${displaystyle r=(ru^{-1})uin {mathfrak {a}}}$ for every . Typically there are plenty of proper ideals. In fact, if R is a skew-field, then are its only ideals and conversely: that is, a nonzero ring R is a skew-field if are the only left (or right) ideals. (Proof: if is a nonzero element, then the principal left ideal (see below) is nonzero and thus ; i.e., for some nonzero . Likewise, for some nonzero . Then .)
The even integers form an ideal in the ring of all integers, since the sum of any two even integers is even, and the product of any integer with an even integer is also even; this ideal is usually denoted by . More generally, the set of all integers divisible by a fixed integer is an ideal denoted . In fact, every non-zero ideal of the ring is generated by its smallest positive element, as a consequence of Euclidean division, so is a principal ideal domain.^[4]
The set of all polynomials with real coefficients which are divisible by the polynomial $x^{2}+1$ is an ideal in the ring of all real-coefficient polynomials .
Take a ring and positive integer . For each , the set of all matrices with entries in whose -th row is zero is a right ideal in the ring $M_{n}(R)$ of all matrices with entries in . It is not a left ideal. Similarly, for each , the set of all matrices whose -th column is zero is a left ideal but not a right ideal.
The ring of all continuous functions from to under pointwise multiplication contains the ideal of all continuous functions such that .^[6] Another ideal in is given by those functions which vanish for large enough arguments, i.e. those continuous functions for which there exists a number such that whenever .
A ring is called a simple ring if it is nonzero and has no two-sided ideals other than . Thus, a skew-field is simple and a simple commutative ring is a field. The matrix ring over a skew-field is a simple ring.
If is a ring homomorphism, then the kernel ${displaystyle ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$ is a two-sided ideal of .^[4] By definition, ${displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$ , and thus if is not the zero ring (so ${displaystyle 1_{S}neq 0_{S}}$ ), then is a proper ideal. More generally, for each left ideal I of S, the pre-image ${displaystyle f^{-1}(I)}$ is a left ideal. If I is a left ideal of R, then is a left ideal of the subring of S: unless f is surjective, need not be an ideal of S; see also #Extension and contraction of an ideal below.
Ideal correspondence: Given a surjective ring homomorphism , there is a bijective order-preserving correspondence between the left (resp. right, two-sided) ideals of containing the kernel of and the left (resp. right, two-sided) ideals of : the correspondence is given by and the pre-image ${displaystyle Jmapsto f^{-1}(J)}$ . Moreover, for commutative rings, this bijective correspondence restricts to prime ideals, maximal ideals, and radical ideals (see the Types of ideals section for the definitions of these ideals).
(For those who know modules) If M is a left R-module and a subset, then the annihilator ${displaystyle operatorname {Ann} _{R}(S)={rin Rmid rs=0,sin S}}$ of S is a left ideal. Given ideals of a commutative ring R, the R-annihilator of is an ideal of R called the ideal quotient of by and is denoted by ; it is an instance of idealizer in commutative algebra.
Let ${displaystyle {mathfrak {a}}_{i},iin S}$ be an ascending chain of left ideals in a ring R; i.e., is a totally ordered set and ${displaystyle {mathfrak {a}}_{i}subset {mathfrak {a}}_{j}}$ for each . Then the union ${displaystyle textstyle bigcup _{iin S}{mathfrak {a}}_{i}}$ is a left ideal of R. (Note: this fact remains true even if R is without the unity 1.)
The above fact together with Zorn’s lemma proves the following: if is a possibly empty subset and ${displaystyle {mathfrak {a}}_{0}subset R}$ is a left ideal that is disjoint from E, then there is an ideal that is maximal among the ideals containing ${mathfrak {a}}_{0}$ and disjoint from E. (Again this is still valid if the ring R lacks the unity 1.) When , taking ${displaystyle {mathfrak {a}}_{0}=(0)}$ and , in particular, there exists a left ideal that is maximal among proper left ideals (often simply called a maximal left ideal); see Krull’s theorem for more.
An arbitrary union of ideals need not be an ideal, but the following is still true: given a possibly empty subset X of R, there is the smallest left ideal containing X, called the left ideal generated by X and is denoted by . Such an ideal exists since it is the intersection of all left ideals containing X. Equivalently, is the set of all the (finite) left R-linear combinations of elements of X over R:

${displaystyle RX={r_{1}x_{1}+dots +r_{n}x_{n}mid nin mathbb {N} ,r_{i}in R,x_{i}in X}.}$

(since such a span is the smallest left ideal containing X.)^{[note 2]} A right (resp. two-sided) ideal generated by X is defined in the similar way. For «two-sided», one has to use linear combinations from both sides; i.e.,

${displaystyle RXR={r_{1}x_{1}s_{1}+dots +r_{n}x_{n}s_{n}mid nin mathbb {N} ,r_{i}in R,s_{i}in R,x_{i}in X}.,}$

Types of ideals[edit]

To simplify the description all rings are assumed to be commutative. The non-commutative case is discussed in detail in the respective articles.

Ideals are important because they appear as kernels of ring homomorphisms and allow one to define factor rings. Different types of ideals are studied because they can be used to construct different types of factor rings.

Two other important terms using «ideal» are not always ideals of their ring. See their respective articles for details:

Fractional ideal: This is usually defined when R is a commutative domain with quotient field K. Despite their names, fractional ideals are R submodules of K with a special property. If the fractional ideal is contained entirely in R, then it is truly an ideal of R.
Invertible ideal: Usually an invertible ideal A is defined as a fractional ideal for which there is another fractional ideal B such that AB = BA = R. Some authors may also apply «invertible ideal» to ordinary ring ideals A and B with AB = BA = R in rings other than domains.

Ideal operations[edit]

The sum and product of ideals are defined as follows. For and , left (resp. right) ideals of a ring R, their sum is

mathfrak{a}+mathfrak{b}:={a+b mid a in mathfrak{a} mbox{ and } b in mathfrak{b}}

which is a left (resp. right) ideal,
and, if are two-sided,

$mathfrak{a} mathfrak{b}:={a_1b_1+ dots + a_nb_n mid a_i in mathfrak{a} mbox{ and } b_i in mathfrak{b}, i=1, 2, dots, n; mbox{ for } n=1, 2, dots},$

i.e. the product is the ideal generated by all products of the form ab with a in and b in .

Note is the smallest left (resp. right) ideal containing both and (or the union ), while the product is contained in the intersection of and .

The distributive law holds for two-sided ideals ,

If a product is replaced by an intersection, a partial distributive law holds:

{displaystyle {mathfrak {a}}cap ({mathfrak {b}}+{mathfrak {c}})supset {mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}}+{mathfrak {a}}cap {mathfrak {c}}}

where the equality holds if contains or .

Remark: The sum and the intersection of ideals is again an ideal; with these two operations as join and meet, the set of all ideals of a given ring forms a complete modular lattice. The lattice is not, in general, a distributive lattice. The three operations of intersection, sum (or join), and product make the set of ideals of a commutative ring into a quantale.

If are ideals of a commutative ring R, then in the following two cases (at least)

(More generally, the difference between a product and an intersection of ideals is measured by the Tor functor: ${displaystyle operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{mathfrak {a}},R/{mathfrak {b}})=({mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}})/{mathfrak {a}}{mathfrak {b}}.}$ ^[10])

An integral domain is called a Dedekind domain if for each pair of ideals , there is an ideal such that .^[11] It can then be shown that every nonzero ideal of a Dedekind domain can be uniquely written as a product of maximal ideals, a generalization of the fundamental theorem of arithmetic.

Examples of ideal operations[edit]

In we have

{displaystyle (n)cap (m)=operatorname {lcm} (n,m)mathbb {Z} }

since is the set of integers which are divisible by both and .

Let and let . Then,

In the first computation, we see the general pattern for taking the sum of two finitely generated ideals, it is the ideal generated by the union of their generators. In the last three we observe that products and intersections agree whenever the two ideals intersect in the zero ideal. These computations can be checked using Macaulay2.^[12]^[13]^[14]

Radical of a ring[edit]

Ideals appear naturally in the study of modules, especially in the form of a radical.

For simplicity, we work with commutative rings but, with some changes, the results are also true for non-commutative rings.

Let R be a commutative ring. By definition, a primitive ideal of R is the annihilator of a (nonzero) simple R-module. The Jacobson radical of R is the intersection of all primitive ideals. Equivalently,

${displaystyle J=bigcap _{{mathfrak {m}}{text{ maximal ideals}}}{mathfrak {m}}.}$

Indeed, if is a simple module and x is a nonzero element in M, then and , meaning is a maximal ideal. Conversely, if is a maximal ideal, then is the annihilator of the simple R-module . There is also another characterization (the proof is not hard):

{displaystyle J={xin Rmid 1-yx,{text{ is a unit element for every }}yin R}.}

For a not-necessarily-commutative ring, it is a general fact that is a unit element if and only if is (see the link) and so this last characterization shows that the radical can be defined both in terms of left and right primitive ideals.

The following simple but important fact (Nakayama’s lemma) is built-in to the definition of a Jacobson radical: if M is a module such that , then M does not admit a maximal submodule, since if there is a maximal submodule , and so , a contradiction. Since a nonzero finitely generated module admits a maximal submodule, in particular, one has:

and M is finitely generated, then

A maximal ideal is a prime ideal and so one has

${displaystyle operatorname {nil} (R)=bigcap _{{mathfrak {p}}{text{ prime ideals }}}{mathfrak {p}}subset operatorname {Jac} (R)}$

where the intersection on the left is called the nilradical of R. As it turns out, is also the set of nilpotent elements of R.

If R is an Artinian ring, then is nilpotent and . (Proof: first note the DCC implies ${displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$ for some n. If (DCC) ${displaystyle {mathfrak {a}}supsetneq operatorname {Ann} (J^{n})}$ is an ideal properly minimal over the latter, then ${displaystyle Jcdot ({mathfrak {a}}/operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$ . That is, ${displaystyle J^{n}{mathfrak {a}}=J^{n+1}{mathfrak {a}}=0}$ , a contradiction.)

Extension and contraction of an ideal[edit]

Let A and B be two commutative rings, and let f : A → B be a ring homomorphism. If is an ideal in A, then need not be an ideal in B (e.g. take f to be the inclusion of the ring of integers Z into the field of rationals Q). The extension ${mathfrak {a}}^{e}$ of in B is defined to be the ideal in B generated by . Explicitly,

${mathfrak {a}}^{e}={Big {}sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}in {mathfrak {a}},y_{i}in B{Big }}$

If is an ideal of B, then $f^{{-1}}({mathfrak {b}})$ is always an ideal of A, called the contraction ${mathfrak {b}}^{c}$ of to A.

Assuming f : A → B is a ring homomorphism, is an ideal in A, is an ideal in B, then:

It is false, in general, that being prime (or maximal) in A implies that ${mathfrak {a}}^{e}$ is prime (or maximal) in B. Many classic examples of this stem from algebraic number theory. For example, embedding . In , the element 2 factors as where (one can show) neither of 1+i,1-i are units in B. So $(2)^{e}$ is not prime in B (and therefore not maximal, as well). Indeed, $(1pm i)^{2}=pm 2i$ shows that $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ , $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ , and therefore $(2)^{e}=(1+i)^{2}$ .

On the other hand, if f is surjective and then:

Remark: Let K be a field extension of L, and let B and A be the rings of integers of K and L, respectively. Then B is an integral extension of A, and we let f be the inclusion map from A to B. The behaviour of a prime ideal of A under extension is one of the central problems of algebraic number theory.

The following is sometimes useful:^[15] a prime ideal is a contraction of a prime ideal if and only if ${displaystyle {mathfrak {p}}={mathfrak {p}}^{ec}}$ . (Proof: Assuming the latter, note ${displaystyle {mathfrak {p}}^{e}B_{mathfrak {p}}=B_{mathfrak {p}}Rightarrow {mathfrak {p}}^{e}}$ intersects , a contradiction. Now, the prime ideals of ${displaystyle B_{mathfrak {p}}}$ correspond to those in B that are disjoint from . Hence, there is a prime ideal of B, disjoint from , such that ${displaystyle {mathfrak {q}}B_{mathfrak {p}}}$ is a maximal ideal containing ${displaystyle {mathfrak {p}}^{e}B_{mathfrak {p}}}$ . One then checks that lies over . The converse is obvious.)

Generalizations[edit]

Ideals can be generalized to any monoid object , where is the object where the monoid structure has been forgotten. A left ideal of is a subobject that «absorbs multiplication from the left by elements of «; that is, is a left ideal if it satisfies the following two conditions:

is a subobject of
For every and every , the product is in .

A right ideal is defined with the condition «» replaced by «‘«. A two-sided ideal is a left ideal that is also a right ideal, and is sometimes simply called an ideal. When is a commutative monoid object respectively, the definitions of left, right, and two-sided ideal coincide, and the term ideal is used alone.

An ideal can also be thought of as a specific type of R-module. If we consider as a left -module (by left multiplication), then a left ideal is really just a left sub-module of . In other words, is a left (right) ideal of if and only if it is a left (right) -module which is a subset of . is a two-sided ideal if it is a sub--bimodule of .

Example: If we let , an ideal of is an abelian group which is a subset of , i.e. for some . So these give all the ideals of .

Notes[edit]

^ Some authors call the zero and unit ideals of a ring R the trivial ideals of R.
^ If R does not have a unit, then the internal descriptions above must be modified slightly. In addition to the finite sums of products of things in X with things in R, we must allow the addition of n-fold sums of the form x + x + … + x, and n-fold sums of the form (−x) + (−x) + … + (−x) for every x in X and every n in the natural numbers. When R has a unit, this extra requirement becomes superfluous.

References[edit]

^ ^a ^b John Stillwell (2010). Mathematics and its history. p. 439.
^ Harold M. Edwards (1977). Fermat’s last theorem. A genetic introduction to algebraic number theory. p. 76.
^ Everest G., Ward T. (2005). An introduction to number theory. p. 83.
^ ^a ^b ^c Dummit & Foote (2004), p. 243.
^ Lang 2005, Section III.2
^ Dummit & Foote (2004), p. 244.
^ Because simple commutative rings are fields. See Lam (2001). A First Course in Noncommutative Rings. p. 39.
^ Dummit & Foote (2004), p. 255.
^ Dummit & Foote (2004), p. 251.
^ Eisenbud, Exercise A 3.17
^ Milnor (1971), p. 9.
^ «ideals». www.math.uiuc.edu. Archived from the original on 2017-01-16. Retrieved 2017-01-14.
^ «sums, products, and powers of ideals». www.math.uiuc.edu. Archived from the original on 2017-01-16. Retrieved 2017-01-14.
^ «intersection of ideals». www.math.uiuc.edu. Archived from the original on 2017-01-16. Retrieved 2017-01-14.
^ Atiyah & Macdonald (1969), Proposition 3.16.

Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969). Introduction to Commutative Algebra. Perseus Books. ISBN 0-201-00361-9.
Dummit, David Steven; Foote, Richard Martin (2004). Abstract algebra (Third ed.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 9780471433347.
Lang, Serge (2005). Undergraduate Algebra (Third ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22025-3.
Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebras, rings and modules. Vol. 1. Springer. ISBN 1-4020-2690-0.
Milnor, John Willard (1971). Introduction to algebraic K-theory. Annals of Mathematics Studies. Vol. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 9780691081014. MR 0349811. Zbl 0237.18005.

External links[edit]

Levinson, Jake (July 14, 2014). «The Geometric Interpretation for Extension of Ideals?». Stack Exchange.

Источник

Операции над идеалами

Теорема 1.
Пересечение

идеалов

кольца К является идеалом этого
кольца.

□ По доказанному
ранее пересечение

является подгруппой группы кольца К.
Далее, для любых элементов

произведение

принадлежат идеалам

,
а значит содержатся и в их пересечение

Следовательно,
пересечение

является также идеалом кольца К.
■

Легко проверит,
что операция пересечения идеалов
коммутативна и ассоциативна и теорема
1, распределяется на любое конечное или
бесконечное число идеалов.

Пусть А и В
– некоторое непустое подмножества
кольца К.

Определения
2. Множество всех элементов вида
а+b, где

,
называется суммой подмножеств А
и В и обозначается А+В.

Если подмножество
А состоит только из одного элемента
а, то А+В обозначают а+А. Т.к.
операция сложения элементов кольца К
ассоциативна и коммутативна, то операция
сложения подмножеств кольца К, как
легко проверить, также ассоциативна и
коммутативна.

Определение
3. Произведением АВ подмножеств
А и В называется множество всех
элементов вида

,
где n – некоторое
натуральное число,

.

Если А={a},
то произведение АВ обозначают аВ.
Это произведение состоит, очевидно, из
всех элементов вида

.
Легко проверить, что операция умножения
подмножеств кольца К ассоциативна,
а если кольцо – коммутативное, то
операция умножения подмножеств также
будет коммутативной.

Операция сложения
и умножения подмножеств кольца К
можно, конечно, применить к идеалам.

Пусть

– произвольные идеалы кольца К.

Теорема 2.
Сумма

идеалов

кольца К является идеалом этого
кольца.

□ Пусть

.
Тогда

.
Тогда сумма

.
Элемент

является противоположным элементу а+b.
Если а+b произвольный
элемент

+
,
то и – (а+b)

,
т.к.

.
Следовательно,

является подгруппой аддитивной группы
кольца К. Кроме того, для любых элементов
a+b

и

и

■

Теорема 3.
Произведение

идеалов

кольца К также является идеалом
кольца К.

□ Действительно,
сумма

любых элементов

множества

является, очевидно, элементом этого же
множества, а элемент

,
противоположный произвольно выбранному
элементу

,
принадлежит к

.
Кроме того, для любых

■

Т.о., в множестве
идеалов кольца К выполнимы операции
сложения и умножения. Операция сложения
при этом – ассоциативна и коммутативна,
а операция умножения – ассоциативна.
Если К – коммутативное кольцо, то
операция умножения идеалов также
коммутативна.

Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор – кольцо

Пусть К –
некоторое кольцо, а J
– произвольный идеал этого кольца. Мы
знаем, что К является аддитивной
абелевой группой, а идеал J
– подгруппа этой группы. Т.к. в абелевой
группе все ее подгруппы являются
нормальными делителями, то идеал J
является нормальным делителем группы
К. Следовательно, существует
фактор-группа K/J
группы К по нормальному делителю
J. Она состоит из
следующих смежных классов

Очевидно, что K/J
– тоже абелева группа, т.к. К –
абелева группа. Покажем, что в группе
K/J
можно так определить операцию умножения,
что она будет кольцом относительно
определенных в ней операций сложения
и умножения. Но, сначала определим
понятие сравнения по идеалу и рассмотрим
его свойства.

Определение
4. Элемент

называется сравнимым с элементом

по идеалу J (или по
модулю J), если

,
т.е. если x и y
принадлежат к одному и тому же смежному
классу аддитивной группы К по
подгруппе J.

Записывается

Следовательно,

.

Определение 4
определяется на множестве К бинарное
отношение, его называют отношением
сравнимости.

Отношение
сравнимости, как следует из его
определения, задается разбиением
аддитивной группы К на смежные
классы по подгруппе J
и, следовательно, является отношением
эквивалентности на множестве К,
т.е. рефлексивно, симметрично и транзитивно:

Классы эквивалентности
отношения сравнимости в кольце К
являются, таким образом, смежными
классами группы К по подгруппе J,
они называются классами вычетов кольца
К по идеалу J, или
по модулю J. Будем
обозначать их

Рассмотрим некоторые
свойства сравнений.

Обе части сравнения
можно умножить на любое целое число,
т.е.

□ Действительно,

.
Но тогда

.■

Рассуждая аналогично
можно доказать следующие свойства
сравнения.

К обеим частям
сравнения можно прибавить любой элемент

:

Обе части сравнения
можно умножить на любой элемент

:

Сравнение можно
почленно складывать и вычитать:

Сравнения можно
почленно перемножать:

Итак, мы видим, что
над сравнениями можно выполнить те же
операции, что и над равенствами, за
исключением сокращения обеих частей
сравнения на их общий делитель.

Рассмотрим фактор
– группу K/J.
Она состоит из классов вычетов

.
Каждый класс порождается любым из своих
элементов:

,
то

,
поэтому любой из элементов этого класса

можно считать представителем этого
класса.

Как известно,
сложение классов вычетов (смежных
классов) определяется так: если

и

,
то

– это тот класс вычетов, который содержит
элемент a+b.

Или по другому

Определим теперь
в K/J
операцию умножения. Пусть а –
любой элемент класса

,
b – класса

.
Будем считать, что

– это класс, который содержит элемент
ab, т.е.

Покажем, что
определенное так произведение классов
не зависит от выбора представителей
этих классов. Пусть а,

,
b и

.
Тогда

,

,
тогда по свойству 5

,
т.е. ab и

принадлежат к одному и тому же классу,
поэтому

,
а это значит, что произведение

не зависит от выбора представителей в
классах

Теорема 5.
Множество K/J
классов вычетов кольца К по идеалу
J с определенными в
нем операциями сложения и умножения
является кольцом. Оно называется фактор
– кольцом кольца К по идеалу J
или по модулю J.

□ Множество K/J
является аддитивной абелевой группой.
Определенная в этой группе операция
умножения является ассоциативной и
связана дистрибутивными законами с
операцией сложения.

Действительно,

Аналогично
доказывается, что

.

Следовательно,
K/J
– кольцо. ■

Пример 1.
В любом кольце К
есть единичный идеал – это К.
Фактор – кольцо К/К
является нулевым кольцом {0},
а фактор – кольцо К/{0}
совпадает с К.

Пример 2.
В кольце целых чисел Z
рассмотрим главный идеал

,
где m – некоторое
отличное от 1 натуральное число. J
состоит из всех целых чисел, кратных
числу m. Идеал

является нулевым классом вычетов:

.
Все целые числа, которые при делении на
m дают в остатке 1,
образуют класс вычетов

;
все целые числа, дающие при делении на
m остаток 2, образуют класс
вычетов

и т.д., все целые числа, которые при
делении на m дают в
остатке число (m-1)
образуют класс

.
Других классов вычетов быть не может,
поскольку каждое целое число принадлежит
к одному из перечисленных нами классов.

Следовательно,
фактор – кольцо Z(m)
состоит из классов вычетов

Операция сложения и умножения выполняются
в кольце Z/(m)
по таким правилам: чтобы сложить классы

и

,
надо найти сумму k+l
представителей этих классов и потом
найти остаток от деления k+l
на m; если этот остаток
равен r, то

.

Аналогично, чтобы
перемножить классы

и

,
надо найти произведение kl
на m; если этим
остатком является число s,
то

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

В теории чисел, группа идеальных классов (или класс группа ) поля алгебраических чисел K — фактор-группа J K/PK, где J K — группа дробных идеалов из кольцо целых чисел поля K, а P K — его подгруппа главных идеалов. Группа классов является мерой степени, в которой уникальная факторизация терпит неудачу в кольце целых чисел K. Конечный порядок группы называется номер класса из K.

Теория распространяется на дедекиндовские домены и их поле дробей, для которых мультипликативные свойства тесно связаны со структурой классная группа. Например, группа классов домена Дедекинда тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо является областью уникальной факторизации.

Содержание

1 История и происхождение идеальной группы классов
2 Определение
3 Свойства
4 Связь с группой единиц
5 Примеры групп идеальных классов
- 5.1 Номера классов квадратичных полей
  - 5.1.1 Пример нетривиальной группы классов
6 Связи с теория поля классов
7 См. также
8 Примечания
9 Ссылки

История и происхождение идеальной группы классов

Группы идеальных классов (или, скорее, то, что фактически было группами идеальных классов) были изучены задолго до того, как была сформулирована идея идеала. Эти группы появились в теории квадратичных форм : в случае двоичных целочисленных квадратичных форм, приведенных в нечто вроде окончательной формы Гауссом, закон композиции был определен на основе определенной эквивалентности классы форм. Это дало конечную абелеву группу, как было признано в то время.

Позднее Куммер работал над теорией круговых полей. Было понято (вероятно, несколькими людьми), что неспособность завершить доказательства в общем случае последней теоремы Ферма факторизацией с использованием корней из единицы была по очень веской причине: несоблюдение уникальной факторизации, т. е. фундаментальной теоремы арифметики, в кольцах, порожденных этими корнями из единицы, было серьезным препятствием. Из работ Куммера впервые вышло исследование препятствий факторизации. Теперь мы признаем это как часть идеальной группы классов: фактически Куммер выделил p- кручение в этой группе для поля p-корней из единицы для любого простого числа p как причину провал стандартного метода атаки на проблему Ферма (см. обычное простое число ).

Несколько позже снова Дедекинд сформулировал концепцию идеала, Куммер действовал иначе. На этом этапе существующие примеры могут быть унифицированы. Было показано, что хотя кольца целых алгебраических чисел не всегда имеют однозначную факторизацию в простые числа (поскольку они не обязательно должны быть областями главных идеалов ), они обладают тем свойством, что каждый собственный идеал допускает уникальная факторизация как произведение простых идеалов (то есть каждое кольцо алгебраических целых чисел является областью Дедекинда ). Размер идеальной группы классов можно рассматривать как меру отклонения кольца от главной идеальной области; кольцо является главной областью тогда и только тогда, когда оно имеет тривиальную группу классов идеалов.

Определение

Если R является областью целостности, определите отношение ~ на ненулевых дробных идеалах R на I ~ J, если существуют ненулевые элементы a и b из R такие, что (a) I = (b) J. (Здесь обозначение (a) означает главный идеал кольца R, состоящий из всех кратных a.) Легко показать, что это отношение эквивалентности. Классы эквивалентности называются классами идеалов R. Идеальные классы могут быть умножены: если [I] обозначает класс эквивалентности идеала I, то умножение [I] [J] = [IJ] равно четко определенный и коммутативный. Главные идеалы образуют идеальный класс [R], который служит элементом идентичности для этого умножения. Таким образом, класс [I] имеет обратный [J] тогда и только тогда, когда существует идеал J такой, что IJ является главным идеалом. В общем, такой J может не существовать, и, следовательно, набор идеальных классов R может быть только моноидом.

Однако, если R является кольцом целых алгебраических чисел в поле алгебраических чисел, или, в более общем смысле, область Дедекинда, определенное выше умножение превращает набор дробных идеальных классов в абелеву группу, группу идеальных классов из R. Групповое свойство существования обратных элементов легко следует из того факта, что в дедекиндовской области каждый ненулевой идеал (кроме R) является произведением простых идеалов.

Свойства

Группа классов идеалов тривиальна (т.е. имеет только один элемент) тогда и только тогда, когда все идеалы R главны. В этом смысле группа идеальных классов измеряет, насколько R далеки от главной идеальной области, и, следовательно, от удовлетворения уникальной простой факторизации (дедекиндовские домены являются уникальными областями факторизации тогда и только тогда, когда они являются главными идеальными областями).

Количество идеальных классов (номер класса R) в целом может быть бесконечным. Фактически каждая абелева группа изоморфна группе классов идеалов некоторой дедекиндовской области. Но если R — кольцо целых алгебраических чисел, то число классов всегда конечно. Это один из основных результатов классической алгебраической теории чисел.

Вычисление группы классов в общем случае затруднено; это можно сделать вручную для кольца целых чисел в поле алгебраических чисел малого дискриминанта, используя границу Минковского. Этот результат дает оценку, зависящую от кольца, такую, что каждый класс идеалов содержит идеальную норму меньше, чем граница. В целом оценка недостаточно точна, чтобы сделать вычисления практичными для полей с большим дискриминантом, но компьютеры хорошо подходят для этой задачи.

Отображение колец целых чисел R в соответствующие им группы классов является функториальным, и группа классов может быть отнесена к заголовку алгебраической K-теории, где K 0 (R) — функтор, сопоставляющий R его идеальную группу классов; более точно, K 0 (R) = Z × C (R), где C (R) — группа классов. Высшие группы K также могут использоваться и интерпретироваться арифметически в связи с кольцами целых чисел.

Связь с группой единиц

Выше было отмечено, что группа идеальных классов дает часть ответа на вопрос о том, насколько идеалы в дедекиндовской области ведут себя подобные элементы. Другая часть ответа обеспечивается мультипликативной группой из единиц области Дедекинда, поскольку переход от основных идеалов к их генераторам требует использования единиц (и это все остальное). причины введения концепции дробного идеала):

Определите отображение из R во множество всех ненулевых дробных идеалов R, отправив каждый элемент в главный (дробный) идеал, который он генерирует. Это гомоморфизм группы ; его ядро — это группа единиц R, а его коядро — идеальная группа классов R. Неспособность этих групп быть тривиальной — это мера того, что отображение не является изоморфизмом: это — это неспособность идеалов действовать как элементы кольца, то есть как числа.

Примеры групп идеальных классов

Кольца Z, Z[ω] и Z[i], где ω — кубический корень из 1, а i — четвертый корень из 1 (т.е. квадратный корень из −1), все области главных идеалов (а фактически все евклидовы области ), и поэтому имеют класс номер 1: то есть они имеют тривиальные группы классов идеалов.
Если k — поле, то кольцо полиномов k [X 1, X 2, X 3,…] является областью целостности. Он имеет счетное бесконечное множество идеальных классов.

Количество классов квадратичных полей

Если d — целое число без квадратов (произведение различных простых чисел), отличное от 1, то Q (√d) — квадратичное расширение для Q. Если d < 0, then the class number of the ring R of algebraic integers of Q (√d) равно 1 точно для следующих значений d: d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, и −163. Этот результат был впервые предположен Гауссом и доказан Куртом Хегнером, хотя доказательству Хегнера не поверили, пока Гарольд Старк не представил более позднее доказательство в 1967 году (см. Теорема Штарка-Хегнера.) Это частный случай знаменитой проблемы числа классов.

. Если, с другой стороны, d>0, то неизвестно, существует ли бесконечно много полей Q (√d) с номером класса 1. Результаты вычислений показывают, что таких полей очень много. Однако даже неизвестно, существует ли бесконечно много числовых полей с номером класса 1.

Для d < 0, the ideal class group of Q (√d) изоморфен группе классов интегральных двоичных квадратичных форм от дискриминанта, равного дискриминанту Q (√d). Для d>0 группа идеальных классов может быть вдвое меньше, поскольку группа классов целочисленных бинарных квадратичных форм изоморфна узкой группе классов из Q (√d).

Для вещественных квадратичных целочисленных колец номер класса указан в OEIS A003649 ; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924.

Пример нетривиальной группы классов

Кольцо целых квадратичных R = Z [√ − 5] — кольцо целых чисел Q (√ − 5). Он не обладает уникальной факторизацией; на самом деле группа классов R циклическая порядка 2. Действительно, идеал

J = (2, 1 + √ − 5)

не является главным, что можно доказать от противного следующим образом. R { displaystyle R}имеет функцию norm N (a + b — 5) = a 2 + 5 b 2 { displaystyle N (a + b { sqrt {-5}}) = a ^ {2} + 5b ^ {2}} $N (a + b { sqrt {-5}}) = a ^ {2} + 5b ^ {2}$ , что удовлетворяет N (uv) = N (u) N (v) { displaystyle N (uv) = N (u) N (v)}и N (u) = 1 { displaystyle N (u) = 1}если и только если u { displaystyle u}является единицей в R { displaystyle R}. Прежде всего, J ≠ R { displaystyle J neq R} J neq R , потому что кольцо частных R { displaystyle R}по модулю идеала (1 + — 5) { displaystyle (1 + { sqrt {-5}})}изоморфен Z / 6 Z { displaystyle mathbf {Z} / 6 mathbf {Z}}, так что кольцо частных из R { displaystyle R}по модулю J { displaystyle J}изоморфен Z / 2 Z { displaystyle mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}}. Если бы J был порожден элементом x из R, то x разделил бы и 2, и 1 + √ − 5. Тогда норма N (x) { displaystyle N (x)} N (x) разделит оба N (2) = 4 { displaystyle N (2) = 4}и N (1 + — 5) = 6 { displaystyle N (1 + { sqrt {-5}}) = 6}, поэтому N (x) делит 2. Если N (x) = 1 { displaystyle N (x) = 1}, то x { displaystyle x}является единицей и J = R { displaystyle J = R} J = R ; противоречие. Но N (x) { displaystyle N (x)} N (x) тоже не может быть 2, потому что R не имеет элементов нормы 2, потому что диофантово уравнение b 2 + 5 c 2 = 2 { displaystyle b ^ {2} + 5c ^ {2} = 2} $b ^ {2} + 5c ^ {2} = 2$ не имеет решений в целых числах, так как не имеет решений по модулю 5.

Также вычисляется, что J = (2), что является главным, поэтому класс J в группе классов идеалов имеет второй порядок. Чтобы показать, что других идеальных классов нет, нужно приложить больше усилий.

Тот факт, что этот J не является главным, также связан с тем фактом, что элемент 6 имеет две различные факторизации в неприводимые:

6 = 2 × 3 = (1 + √ − 5) × (1 — √ − 5).

Связь с теорией полей классов

Теория полей классов — это ветвь теории алгебраических чисел, цель которой — классифицировать все абелевы расширения данного поля алгебраических чисел, что означает расширения Галуа с абелевой группой Галуа. Особенно красивый пример можно найти в поле класса Гильберта числового поля, которое можно определить как максимальное неразветвленное абелево расширение такого поля. Поле классов Гильберта L числового поля K единственно и обладает следующими свойствами:

Каждый идеал кольца целых чисел K становится главным в L, т. Е. Если I является целым идеалом поля K, то образ I является главным идеалом в L.
L является расширением Галуа K с группой Галуа, изоморфной группе классов идеалов K.

Ни то, ни другое свойство не особенно легко доказать.

См. Также

Формула номера класса
Задача номера класса
Теорема Брауэра – Зигеля — асимптотическая формула для номера класса
Список номеров поля с классом номер один
Область главных идеалов
Алгебраическая K-теория
Теория Галуа
Последняя теорема Ферма
Узкая группа классов
Группа Пикара — обобщение группы классов в алгебраической геометрии
группа классов Аракелова

Примечания

Ссылки

Claborn, Luther (1966), «Каждая абелева группа является группой классов», Pacific Journal of Mathematics, 18 : 219–222, doi : 10.2140 / pjm.1966.18.219, заархивировано с оригинала на 2011-06-07
Фрёлих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин (1993), теория алгебраических чисел, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 27, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43834 -6 , MR 1215934
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859. Zbl 0956.11021.

Источник

Определения

Свойства

Связанные понятия

Типы идеалов

Ссылки

History[edit]

Definitions and motivation[edit]

Examples and properties[edit]

Types of ideals[edit]

Ideal operations[edit]

Examples of ideal operations[edit]

Radical of a ring[edit]

Extension and contraction of an ideal[edit]

Generalizations[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

External links[edit]

Операции над идеалами

Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор – кольцо

Содержание

История и происхождение идеальной группы классов

Определение

Свойства

Связь с группой единиц

Примеры групп идеальных классов

Количество классов квадратичных полей

Пример нетривиальной группы классов

Связь с теорией полей классов

См. Также

Примечания

Ссылки