Как найти игрек линейная функция

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Функция	Коэффициент k	Коэффициент b
y = 2x + 8	k = 2	b = 8
y = −x + 3	k = −1	b = 3
y = 1/8x − 1	k = 1/8	b = −1
y = 0,2x	k = 0,2	b = 0

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Как найти вершину параболы: три формулы

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax 2 + bx + c, где a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x 2 –8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

подставляем значения a и b в формулу;

вычисляем значения y;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x 2 –6x+5

1) Приравниваем к нулю:

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b 2 –4 ac:

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

• 1 — первый корень;
• 5 — второй корень.

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x 2 +8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x 2 + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2) 2 и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4) 2 = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

• Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x 2 +11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

X	4	5	5,5	6	7
Y	-4	-6	-6,25	-6	-4

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

• Нужно проверять правильно ли ваше решение.
• Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Прямые на координатной плоскости

Линейная функция

Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

где k и b – произвольные (вещественные) числа.

При любых значениях k и b графиком линейной функции является прямая линия .

Число k называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число b – свободным членом .

График линейной функции

При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.

Рис.1

Рис.2

Рис.3

При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.

Рис.4

Рис.5

Рис.6

При k линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.

k y = kx + b₁ и y = kx + b₂ ,

имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены , параллельны .

имеющие разные угловые коэффициенты , пересекаются при любых значениях свободных членов.

y = kx + b₁ и

перпендикулярны при любых значениях свободных членов.

Угловой коэффициент прямой линии

равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).

Рис.10

Рис.11

Рис.12

Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b .

При прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле

Прямые, параллельные оси ординат

Прямые, параллельные оси Oy , задаются формулой

где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.

Рис.13

Рис.14

Рис.15

Замечание 1 . Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .;

Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

где p, q, r – произвольные числа.

В случае, когда уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию .

что и требовалось.

В случае, когда получаем:

откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).

В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид

и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости:

В случае, когда уравнение (5) решений вообще не имеет.

Замечание 2 . При любом значении r₁ , не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением

параллельна прямой, заданной уравнением (4) .

Замечание 3 . При любом значении r₂ прямая линия, заданная уравнением

перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4) .

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и

1. параллельной к прямой
2. перпендикулярной к прямой (8).

В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде

где r₁ – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой

В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде

где r₂ – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

источники:

http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/kak-najti-vershinu-paraboly-tri-formuly

http://www.resolventa.ru/spr/algebra/degree1.htm

Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx»
внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо
«k» и «b» стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b».

• y = 5x + 3
• y = −x + 1
• y = x − 2
• y = 0,5x

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты
«k» и
«b».

Функция	Коэффициент «k»	Коэффициент «b»
y = 5x + 3	k = 5	b = 3
y = −x + 1	k = −1	b = 1
y = 2 3 x − 2	k = 2 3	b = −2
y = 0,5x	k = 0,5	b = 0

Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x»
в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».

Рассматривая
функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента
«b» в функции нет.

Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда.
В функции «y = 0,5x»
числовый коэффициент «b» равен нулю.

Как построить график линейной функции
«y = kx + b»

Так как графиком функции «y = kx + b»
является прямая линия, функцию называют линейной функцией.

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств),
что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что
чтобы построить график функции вида
«у = kx + b» нам достаточно будет найти всего
две точки.

Для примера построим график функции «y = −2x + 1».

Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x».
Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».

x	Расчет «y = −2x + 1»
0	y(0) = −2 · 0 + 1 = 1
1	y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.

Точка	Координата по оси «Оx» (абсцисса)	Координата по оси «Оy» (ордината)
(·)A	0	1
(·)B	1	−1

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет
являться графиком функции «y = −2x + 1».

Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b»

Рассмотрим задачу.

---

Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:

1. значение «y» соответствующее значению «x» равному −1; 2; 3; 5;
2. значение «x», если значение «y» равно
   1; 4; 0; −1.

---

Вначале построим график функции «y = 2x + 3».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше.
Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа
«0» и «1».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Точка	Координата по оси «Оx»	Координата по оси «Оy»
(·)A	0	y(0) = 2 · 0 + 3 = 3
(·)B	1	y(1) = 2 ·1 + 3 = 5

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции
«y = 2x + 3».

---

Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».

Требуется найти значение «y»,
соответствующее значению «x»,
которое равно −1; 2; 3; 5.

---

Тему
«Как получить координаты точки функции» с графика функции
мы уже подробно рассматривали в уроке
«Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3»
необходимые значения функции «y» для
«x» равным −1; 2; 3; 5.

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «x»	Полученное с графика значение «y»
−1	1
2	7
3	9
5	13

---

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x»,
если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания.
Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси
«Oy».

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «y»	Полученное с графика значение «x»
−1	−2
0	−1,5
1	−1
4	0,5

---

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Не выполняя построения графика функции
«y = 2x −
», выяснить, проходит ли график
через точки с координатами (0;
− ) и (1; −2).

---

Подставим в функцию
«y = 2x −
»

координаты точки (0;
− ).

− = 2 · 0
−

   − =
−

(верно)

Это означает, что график функции «y = 2x −
» проходит через точку с координатами (0;
− ).

---

Проверим точку с координатами (1; −2).
Также подставим координаты
в функцию «y = 2x −
».

−2 = 2 · 1 −

−2 = 2 −

−2 = 1 −

        −2 = 1 (неверно)

Это означает, что график функции «y = 2x −
» не проходит через точку с координатами (1; −2).

---

Как найти точки пересечения графика с осями

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.

Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения
с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции
«y = −1,5x + 3».

Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение
«y» по формуле
функции. Например, для x = 0 и
x = 1.

Точка	Координата по оси «Оx»	Координата по оси «Оy»
(·)A	0	y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3
(·)B	1	y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую.
Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Oy».

Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

0 = −1,5x + 3        
1,5x = 3        | :(1,5)
x = 3 : 1,5           
x = 2                   

(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Ox».

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните
«правило противоположности».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Определение

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
2. Областью значений также является множество всех действительных чисел.
3. Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
4. При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
5. При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
6. При k=0 прямая параллельна оси х.
7. Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

у=2х – 1=2×0 – 1= –1;

у=2х – 1=2×3 – 1= 5.

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами      А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

Задание OM1106o

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ГРАФИКИ:

КОЭФФИЦИЕНТЫ:

1) k>0, b<0                   2) k>0, b>0                    3) k<0, b<0 

---

ассмотрим коэффициенты под №3. Если k<0, значит, график имеет тупой (>90⁰) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b<0, то это говорит, что график пересекает ось ординат (Оу) ниже нуля. Эти два условия реализованы на графике В. Итак, получаем для ответа пару: В–3.

У двух других пар коэффициентов (№№ 1 и 2) зафиксировано, что k>0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом (<90⁰). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b<0. Это означает, что соответствующий им график должен пересекать ось Оу в точке ниже начала координат. Таковым является график Б, и мы получаем пару Б–1. В паре коэффициентов №2 b>0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

Ответ: 213

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1103o

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

A) y = 3x

Б) y = -3x

В) y = (1/3)x

Графики:

---

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

y = kx + b

График данной функции зависит от k и b.

• если k < 0,  то функция убывает, то есть линия идет сверху вниз, как на третьем рисунке
• если k > 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
• коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b < 0, то прямая пересекает ось y ниже 0 в точке y = b, если  b > 0, то выше ноля в точке y = b
• если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k <1 , то положе, как на примере рисунка №1

Следовательно, графику y = 3x соответствует рисунок 2, так как прямая идет снизу вверх и она более крутая, чем кривая на рисунке 1, которому соответствует функция y = (1/3)x.

Графику 3 соответствует функция y = -3x так как k = -3 < 0, и график идет сверху вниз.

Ответ:

A) 2

Б) 3

В) 1

Ответ: 231

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 6.2k

1. Определение линейной функции
2. График линейной функции
3. Примеры

Определение линейной функции

Рассмотрим движение машины по прямой со скоростью 50 км/ч, но не из начальной точки. Допустим, что мы уже находимся на расстоянии 20 км от начала координат и будем удаляться. Тогда зависимость расстояния до начала координат от времени s = 50t+20. От прямой пропорциональности s = 50t эту формулу отличает дополнительное слагаемое, связанное с ненулевыми начальными условиями.

Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:

$${left{ begin{array}{c}- infty lt x lt + infty — аргумент, quadлюбое quad действительное quad число \ k = const quad — параметр, quad константа \ b = const quad — параметр, quad константа \ y = kx+b quad — функцияend{array} right.}$$

Функция такого вида называется линейной.

Прямая пропорциональность y = kx является частным случаем линейной функции y = kx+b, при k $neq$ 0 и b = 0.

График линейной функции

Графиком линейной функции является прямая.

Согласно аксиоме планиметрии, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Значит, положение прямой на плоскости полностью определяется двумя точками . Получаем:

Алгоритм построения графика линейной функции

• Выбрать два произвольных значения аргумента $x_1, x_2$
• Вычислить соответствующие значения функции $y_1 = kx_1+b, y_2 = kx_2+b$
• Отметить на координатной плоскости точки $(x_1,y_1 )$ и $(x_2,y_2 )$
• Провести прямую через точки $(x_1,y_1 )$ и $(x_2,y_2 )$

Эта прямая – график линейной функции y = kx+b.

Например: построим график функции y = 2x+1

$k = 2 gt 0$ – функция возрастает

b=1 – функция пресекает ось Y в точке (0;1)

Примеры

Пример 1.Постройте графики линейных функций. Укажите, возрастает или убывает функция. Найдите точку её пересечения с осью Y.

а) y = x+2

$k = 1 gt 0$ – функция возрастает

b = 2 точка пересечения с осью Y (0;2)

б) y = x-1

$k = 1 gt 0$ – функция возрастает

b = -1 точка пересечения с осью Y (0;-1)

в) $y = frac{1}{2} x+3$

$k = frac{1}{2} gt 0$ – функция возрастает

b = 3 точка пересечения с осью Y (0;3)

г) y = -x-1

$k = -1 lt 0$ – функция убывает

b = -1 точка пересечения с осью Y (0;-1)

д) y = -2x+3

$k = -2 lt 0$ – функция убывает

b = 3 точка пересечения с осью Y (0;3)

е) $y = — frac{1}{3} x$

$k = -frac{1}{3} lt 0$ – функция убывает

b = 1 точка пересечения с осью Y (0;1)

ж) y = 1

Прямая, параллельная оси Х и проходящая через точку (0;1)

k = 0 функция постоянна

b = 1 точка пересечения с осью Y (0;1)

з) y = -5

Прямая, параллельная оси Х и проходящая через точку (0;-5)

k = 0 функция постоянна

b = -5 точка пересечения с осью Y (0;-5)

Пример 2.График линейной функции y=kx-3 проходит через точку A(-1;0,5). Найдите k.

Подставляем в формулу функции координаты точки A:

$0,5 = k cdot (-1)-3$

k=-0,5-3=-3,5

Ответ:-3,5

Пример 3*.Найдите уравнение прямой, проходящей через точки A(2;4)и B(-1;1)

Угловой коэффициент:

$$k = frac{Y_B-Y_A}{X_B-X_A} = frac{-1-2}{1-4} = 1$$

Уравнение имеет вид y = x+b.

Подставляем координаты A:

$$4 = 2+b Rightarrow b = 2 $$

Искомое уравнение: y = x+2

Рейтинг пользователей

На этой странице вы узнаете:

• За что отвечают коэффициенты в записи линейной функции?
• Как пронумерованы четверти на координатной плоскости?
• Чем отличается график функции квадратного корня от графика квадратичной функции и почему?

Линейная функция

Любую функцию можно изобразить на графике (рисунке) и наглядно определить многие её свойства. Этим пользуются люди, составляя графики движения транспорта, посещения соцсетей или просмотра видеороликов на канале.  

Вспомним, что функция – это зависимость одной переменной от другой, а график функции – это представление данной зависимости на координатной плоскости. 

С помощью графика функции можно изучать поведение функции: возрастает или убывает, имеет ли нули, на каких промежутках значения положительные, а на каких отрицательные, наибольшее и наименьшее значение, является ли симметричной относительно OY.

Теперь давайте рассмотрим основные элементарные функции.

Что же такое линейная функция? 

Линейная функция – это функция вида y=kx+b, где k и b – известные числа, графиком которой является прямая.

y = kx + b, где
k – коэффициент
b – свободный член
x – переменная 

С линейной функцией мы встречаемся, когда оплачиваем проезд  в общественном транспорте.

Коэффициент и переменная определяют стоимость билета в зависимости от дальности поездки. Свободным членом может выступать доплата за комфортное место или за поезд-экспресс.

Пункт назначения	Станция 200 км	Станция 300 км	Станция 400 км
Цена поездки в обычном вагоне (kx)	500 руб.	750 руб.	1000 руб.
Цена за вагон “Люкс” (kx + b)	750 руб.	1000 руб.	1250 руб.

Рассмотрим пример такой функции и ее график:
y = 2x + 3

Составим таблицу значений.

Теперь отметим найденные точки на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Полученный нами график является графиком данной линейной функции.

Также можно составить уравнение линейной функции самостоятельно при наличии графика.

На графике найдем сначала коэффициент b , после определим координаты двух произвольных точек прямой и вычислим коэффициент k.

Подставим найденные коэффициенты в формулу линейной функции и получим
(y = frac{1}{2}x + 2)

Свойства линейной функции:

1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = (-∞; +∞)
3. Наименьшего и наибольшего значения не существует.
4. Непериодическая.
5. Возрастает при  k > 0, убывает при k < 0.

Квадратичная функция

Квадратичная функция – это функция вида y = ax², где a – известное число и a ≠ 0, графиком которой является парабола.

y = ax², где 
a – известное число 
a ≠ 0
x – переменная

Для примера построим график функции y = 2x²

Параболой можно описать полет мяча в баскетбольную корзину.

Какой вид имеет парабола в зависимости от коэффициента a ?

При a > 0 – ветви параболы вверх

При a < 0 – ветви параболы вниз

Сдвиг параболы по оси Y

y = ax² + c

При c > 0 – сдвиг параболы вверх 

При c < 0 – сдвиг параболы вниз 

Сдвиг параболы по оси X

y = a(x — n)²

При n > 0 – сдвиг параболы вправо 

При n < 0 – сдвиг параболы влево 

Свойства квадратичной функции:

1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = [0; +∞)
3. При a > 0 – наименьшее значение y = 0.
   При a < 0 – наибольшее значение y=0.
4. Непериодическая.
5. На (-∞; 0] – убывает при  a > 0 и возрастает при a < 0.
   На [0; +∞) — убывает при a < 0 и возрастает при a > 0.
6. Нуль функции x=0.
7. Четная (симметричная относительно OY).

Функция обратной пропорциональности

Функция обратной пропорциональности – это функция вида y = (frac{k}{x}), где k – известное число и k ≠ 0, графиком которой является гипербола.

(y = frac{k}{x}), где 
k – известное число 
k ≠ 0
x – переменная

Рассмотрим пример такой функции (y = frac{2}{x})

Как коэффициент k влияет на расположение гиперболы?

Гипербола при k > 0 – в первой и третьей плоскостях

Гипербола при k< 0 – во второй и четвертой плоскостях

Гипербола может также двигаться по оси X или по оси Y

Движение графика по оси Y

(y = frac{k}{x} + n) при k> 0

При n < 0, сдвиг вниз
При n > 0, сдвиг вверх

По графику выше можно сделать вывод, что n = 3.

Движение графика по оси X

(y = frac{k}{x + c}) при k> 0

При c < 0, сдвиг вправо
При c > 0, сдвиг влево

По графику выше можно сделать вывод, что c = 3.

Свойства функции обратной пропорциональности:

1. Область определения: D(y) = (-∞; 0) U (0; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = (-∞; 0) U (0; +∞)
3. Наименьшего и наибольшего значений не существует.
4. Непериодическая.
5. При k > 0 убывает на (-∞;0) и (0; +∞).
   При k < 0 возрастает на (-∞; 0) и (0; +∞).
6. Нулей нет.
7. Нечетная.

Где же в реальной жизни мы можем встретить эту функцию? 

Самый простой пример – движение автомобиля: чем выше его скорость, тем меньше времени потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние.

Функция квадратного корня

Функция квадратного корня – это функция вида (y = sqrt{x}), где x ≥ 0 .

(y = sqrt{x}), где
x – переменная
x ≥ 0

В жизни такая функция часто используется для определения стороны квадрата при известной площади. Например: при проектировании дома или разбиения участка земли на квадраты.

Рассмотрим график такой функции.

Какие бывают сдвиги функции квадратного корня?

Сдвиг по оси Y

(y = sqrt{x} + n)

При n < 0, сдвиг вниз
При n > 0, сдвиг вверх

По графику выше можно утверждать, что n = -2.

Сдвиг по оси X

(y = sqrt{x + c})

При c < 0, сдвиг вправо
При c > 0, сдвиг влево

Сделаем вывод, что для рисунка выше c = -2.

Свойства функции квадратного корня:

1. Область определения: D(y) = [0; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = [0; +∞)
3. Наименьшее значение при y = 0.
4. Непериодическая.
5. Возрастает на всей области определения.
6. Нуль функции x = 0.

Фактчек

• Линейная функции y = kx + b.
• Квадратичная функции y = ax².
• Функция обратной пропорциональности (y = frac{k}{x}).
• Функция квадратного корня (y = sqrt{x}).

Термины

Элементарная функция – это функция вида y = f(x) , где f(x) – это формула, содержащая конечное число арифметических операций. 

Парабола – это незамкнутая линия, точки на которой равноудалены от оси ординат.

Проверь себя

Задание 1.
Определите какая из функций является линейной

1. (y = 2x^2 + frac{1}{2})
2. (y = sqrt{x + 2})
3. (y = frac{1}{2}x + 3)
4. (y = frac{1}{x — 2})

Задание 2.
Определите какая из функций является квадратичной

1. y = 4(x — 1)²
2. y = 2x + 11
3. (y = frac{x}{2} + 1)
4. (y = sqrt{x} + 3)

Задание 3.
Определите какая функция является обратной пропорциональностью

1. (y = frac{x}{2} + 5)
2. (y = frac{1}{x + 2})
3. (y = sqrt{x + 1})
4. y = x²

Задание 4.
Определите какая функция является функцией квадратного корня

1. y = x²
2. (y = sqrt{x — 1} — 4)
3. (y = 6x + frac{1}{3})
4. y = 2x² + 3

Задание 5.
В какую сторону будет сдвиг у параболы y = (x + 4)²?

1. Вправо
2. Вниз
3. Вверх
4. Влево

Ответы: 1. – 3; 2. – 1; 3. – 2; 4. – 2; 5. – 4