Как найти икс нулевое формула

Уравнения квадратичной функции

Параболу можно описать несколькими способами. Каждый из них нужно применять в конкретных случаях для удобства вычислений. Существует три формы описания кривой:

1. Каноническая.
2. Квадратичная.
3. Общая.

В первой форме она имеет следующий вид: y ² = 2px. Если поменять местами оси декартовой системы, то получится следующий вид: x ² = 2yp. Коэффициент p — фокальный параметр. Он соответствует расстоянию между фокусом и директрисой. Кроме того, его значение всегда больше нуля. Вершина лежит всегда между фокусом и директрисой кривой на расстоянии, равном p/2 (рис. 2).

Рисунок 2. Директриса и фокус.

Пусть уравнение директрисы (прямая, которая параллельна оси ОУ) имеет следующий вид: х + p/2 = 0. Координаты фокуса F — (р/2;0). Начало координат делит луч, проходящий из точки F и точки пересечения с директрисой на 2 равных отрезка. Величина FM рассчитывается таким образом: FM = [(x — p/2)^2 + y ² ]^0.5. Отрезок (луч) из точки М до директрисы равен p/2 + x. Если приравнять оба выражения, то равенство имеет такой вид: p/2 + x = [(x — p/2)^2 + y ² ]^0.5. При возведении в квадрат и приведении подобных слагаемых, получается искомое уравнение параболы (y ² = 2px).

Парабола может задаваться квадратичной функцией. Она имеет такой вид: y = ax ² + bx + c. Следует учитывать, что коэффициент «a» не должен быть равен 0. Если a=1, b = 0 и с = 0, функция принимает такой вид: y = ax ² . В этом случае формула нахождения вершины параболы выглядит таким образом:

1. Абсцисса вершины параболы: xa = -b / 2a.
2. Координата «игрек» по оси ординат: yb = — D / 2a.

В последней формуле переменная D является дискриминантом квадратного уравнения искомой функции. Он вычисляется с помощью такого соотношения: D = b ² — 4ac. При а>0 фокус лежит на оси, и находится над вершиной. Ось симметрии параллельна оси ординат. Кроме того, она проходит через вершину кривой. Расстояние до нее равно ¼ величины «а». Если а<0, то ось ее симметрии параллельна оси абсцисс. Расстояние до фокуса также равно ¼а. Уравнение y = a (x — xa)^2 + ya — функция, определяющая кривую II порядка, как параболу.

Поскольку искомую функцию можно назвать кривой второго порядка, то ее уравнение может быть записано в виде квадратного многочлена в декартовой системе координат. Вид его имеет такой вид: Ax ² + Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0. Дискриминант равен нулю (при старших членах).

В полярной системе координат с осями p и v уравнение квадратичной функции имеет такой вид: p (1 + cos (v)) = p. Расстояние от фокуса до директрисы обозначается фокальным коэффициентом p. Кроме того, p соответствует удвоенной длине отрезка, проведенного от фокуса до вершины.

Видео

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x ²+11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

Алгоритм построения

В различных задачах нужно выполнить построение графика функции. В некоторых случаях даются координаты вершины, а в других — их следует искать, используя какой-либо метод. Чтобы построить квадратичную функцию, нужно воспользоваться таким алгоритмом:

1. Если вершина не задана, то нужно найти ее любым из методов.
2. Определить точки пересечения с осями декартовой системы координат.
3. Построить таблицу зависимости ординаты от абсциссы. Для этой цели нужно выделить минимум 3 значения «х». Вершина должна находиться по центру таблицы.
4. Выполнить построение, соединив точки.

Если необходим более точный график, то необходимо брать больше точек. Значения рассчитываются при подстановке значений «х» в функцию. Когда парабола задана функцией y = x ² + c, нет смысла брать разные значения. Нужно использовать для построения искомой таблицы числа с противоположными знаками. Например, x1 = 2 и x2 = -2.

Специалисты-математики настоятельно рекомендуют не усложнять вычисления. Возможно, в школьных программах и рассматриваются различные случаи. Однако в высших учебных заведениях основной аспект изучения дисциплин с физико-математическим уклоном сводится к оптимизации процесса решения задачи.

Теги

Понимание нулевой гипотезы для логистической регрессии

Логистическая регрессия — это тип регрессионной модели, которую мы можем использовать для понимания взаимосвязи между одной или несколькими переменными-предикторами и переменной ответа, когда переменная ответа является двоичной.

Если у нас есть только одна предикторная переменная и одна переменная отклика, мы можем использовать простую логистическую регрессию , которая использует следующую формулу для оценки взаимосвязи между переменными:

log[p(X)/(1-p(X))] = β 0 + β 1 X

Формула в правой части уравнения предсказывает логарифмические шансы переменной ответа, принимающей значение 1.

Простая логистическая регрессия использует следующие нулевые и альтернативные гипотезы:

• Н 0 : β 1 = 0
• Н А : β 1 ≠ 0

Нулевая гипотеза утверждает, что коэффициент β 1 равен нулю. Другими словами, нет статистически значимой связи между предикторной переменной x и переменной ответа y.

Альтернативная гипотеза утверждает, что β 1 не равно нулю. Другими словами, существует статистически значимая связь между x и y.

Если у нас есть несколько переменных-предикторов и одна переменная ответа, мы можем использовать множественную логистическую регрессию , которая использует следующую формулу для оценки взаимосвязи между переменными:

log[p(X) / (1-p(X))] = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + … + β k x k

Множественная логистическая регрессия использует следующие нулевые и альтернативные гипотезы:

• Н 0 : β 1 = β 2 = … = β k = 0
• H А : β 1 = β 2 = … = β k ≠ 0

Нулевая гипотеза утверждает, что все коэффициенты в модели равны нулю. Другими словами, ни одна из переменных-предикторов не имеет статистически значимой связи с переменной отклика y.

Альтернативная гипотеза утверждает, что не каждый коэффициент одновременно равен нулю.

В следующих примерах показано, как принять решение об отклонении или отказе от отклонения нулевой гипотезы как в моделях простой логистической регрессии, так и в моделях множественной логистической регрессии.

Пример 1: простая логистическая регрессия

Предположим, профессор хотел бы использовать количество часов обучения, чтобы предсказать экзаменационные баллы, которые получат студенты в его классе. Он собирает данные по 20 учащимся и использует простую модель логистической регрессии.

Мы можем использовать следующий код в R, чтобы соответствовать простой модели логистической регрессии:

#create data
df <- data.frame(result=c(0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1),
 hours=c(1, 5, 5, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 4, 3))
#fit simple logistic regression model
model <- glm(result~hours, family='binomial', data=df)
#view summary of model fit
summary(model)
Call:
glm(formula = result ~ hours, family = "binomial", data = df)
Deviance Residuals: 
 Min 1Q Median 3Q Max 
-1.8244 -1.1738 0.7701 0.9460 1.2236 
Coefficients:
 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -0.4987 0.9490 -0.526 0.599
hours 0.3906 0.
 3714 1.052 0.293
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
 Null deviance: 26.920 on 19 degrees of freedom
Residual deviance: 25.712 on 18 degrees of freedom
AIC: 29.712
Number of Fisher Scoring iterations: 4
#calculate p-value of overall Chi-Square statistic
1-pchisq(26.920-25.712, 19-18)
[1] 0.2717286

Чтобы определить, существует ли статистически значимая связь между учебными часами и экзаменационным баллом, нам необходимо проанализировать общее значение хи-квадрата модели и соответствующее значение p.

Мы можем использовать следующую формулу для расчета общего значения хи-квадрата модели:

X 2 = (Нулевое отклонение – Остаточное отклонение) / (Нулевое df – Остаточное df)

Значение p оказывается равным 0,2717286 .

Поскольку это p-значение не меньше 0,05, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, не существует статистически значимой связи между количеством часов обучения и полученными экзаменационными баллами.

Пример 2: Множественная логистическая регрессия

Предположим, профессор хотел бы использовать количество часов обучения и количество сданных подготовительных экзаменов, чтобы предсказать экзаменационный балл, который студенты получат в его классе. Он собирает данные по 20 учащимся и использует модель множественной логистической регрессии.

Мы можем использовать следующий код в R, чтобы соответствовать модели множественной логистической регрессии:

#create data
df <- data.frame(result=c(0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1),
 hours=c(1, 5, 5, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 4, 3),
 exams=c(1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 4, 3, 2, 2, 4, 4, 5, 4, 4, 3, 5))
#fit simple logistic regression model
model <- glm(result~hours+exams, family='binomial', data=df)
#view summary of model fit
summary(model)
Call:
glm(formula = result ~ hours + exams, family = "binomial", data = df)
Deviance Residuals: 
 Min 1Q Median 3Q Max 
-1.
 5061 -0.6395 0.3347 0.6300 1.7014 
Coefficients:
 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) 
(Intercept) -3.4873 1.8557 -1.879 0.0602 .
hours 0.3844 0.4145 0.927 0.3538 
exams 1.1549 0.5493 2.103 0.0355 *
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
 Null deviance: 26.920 on 19 degrees of freedom
Residual deviance: 19.067 on 17 degrees of freedom
AIC: 25.067
Number of Fisher Scoring iterations: 5
#calculate p-value of overall Chi-Square statistic
1-pchisq(26.920-19.067, 19-17)
[1] 0.01971255

Значение p для общей статистики хи-квадрат модели оказывается равным 0,01971255 .

Поскольку это p-значение меньше 0,05, мы отвергаем нулевую гипотезу. Другими словами, существует статистически значимая взаимосвязь между суммой часов обучения и сданных подготовительных экзаменов и полученной итоговой оценкой экзамена.

Дополнительные ресурсы

Следующие руководства предлагают дополнительную информацию о логистической регрессии:

Введение в логистическую регрессию
Как сообщить о результатах логистической регрессии
Логистическая регрессия против линейной регрессии: ключевые отличия

Что такое «сигма»? • Физика элементарных частиц • LHC на «Элементах»

Сигмой (σ) в статистическом анализе обозначают стандартное отклонение. Опуская тонкости, которые будут обсуждены ниже, можно сказать, что стандартное отклонение — это та погрешность, то «± сколько-то», которым обязательно сопровождают измерение величины. Если вы измерили массу предмета и получили результат 100 ± 5 грамм, то величина «110 грамм» отличается от измеренного результата на два стандартных отклонения (то есть на 2 сигмы), величина «50 грамм» отличается на 10 стандартных отклонений (на 10 сигм).

Зачем всё это нужно: сигмы и вероятности

При обсуждении погрешностей мы уже говорили, что фраза «измеренная масса равна 100 ± 5 грамм» вовсе не означает, что истинная масса гарантированно лежит в интервале от 95 до 105 грамм. Она может оказаться и за пределами этого интервала «± 1σ», но, как правило, недалеко. В небольшом проценте случаев может даже случиться, что она выходит за пределы интервала «± 2σ», и уж совсем редко она оказывается за пределами «± 3σ». В общем, тенденция ясна: количество сигм связано с вероятностью того, что истинное значение будет настолько отличаться от измеренного.

Пропустим все математические подробности и покажем результат для самого простого и распространенного случая, который называется «нормальное распределение» (см. рисунок). Вероятность попасть в интервал ± 1σ — примерно 68%, в интервал ± 2σ — примерно 95%, в интервал ± 3σ — примерно 99,8%, и т. д. Итак, можно сформулировать некую договоренность:

Договоренность: выражение какого-то отличия в количестве сигм — это сообщение о том, какова вероятность, что такое или еще более сильное отличие могло произойти за счет случайного стечения обстоятельств при измерении.

Использовать эту договоренность можно разными способами. Если вы просто сообщаете результат измерения (100 ± 5 грамм) и уверены в том, что нормальное распределение применимо, то вы можете сказать, что истинное значение массы с вероятностью 68% лежит в этом интервале, с вероятностью 95% лежит в интервале от 90 до 110 грамм, и т. д.

Вы можете также сравнивать результат вашего измерения с чужим измерением той же самой величины или с теоретическими расчетами. Вы видите, что числа отличаются, и хотите понять, имеете ли вы право утверждать, что между двумя результатами есть статистически значимое расхождение — то есть несогласие, которое нельзя списать на случайную статистическую флуктуацию в данных. Тогда утверждения звучат так:

• Если отличие составляет меньше 1σ, то вероятность того, что два числа согласуются друг с другом, больше 32%. В таком случае просто говорят, что два результата совпадают в пределах погрешностей.
• Если отличие составляет меньше 3σ, то вероятность того, что два числа согласуются друг с другом, больше 0,2%. В физике элементарных частиц такой вероятности недостаточно для каких-либо серьезных выводов, и принято говорить: различие между двумя результатами не является статистически значимым.
• Если отличие от 3σ до 5σ, то это повод подозревать что-то серьезное. Впрочем, даже в этом случае физики говорят осторожно: данные указывают на существование различия между двумя результатами.
• И только если два результата отличаются на 5σ или больше, физики четко заявляют: два результата отличаются друг от друга.

Эти выражения особенно стандартны, когда речь идет о поиске новой частицы. Вы сравниваете экспериментальные данные с теоретическим предсказанием, сделанным без новой частицы, и, если видите отличие от 3 до 5 сигм, вы говорите: получено указание на существование новой частицы (по-английски, evidence). Если же отличие превышает 5 сигм, вы говорите: мы открыли новую частицу (discovery).

«Уверенность» против «статистической значимости»

Заметьте, что в приведенных выше примерах нас интересовали вопросы, на которые можно ответить «да» или «нет». Проступает ли в полученных данных какая-то новая частица? Согласуется ли распределение по импульсу с теоретическими расчетами? Зависит ли сечение процесса от энергии столкновений? Совпадает ли масса у частицы и ее античастицы? Попытка ответить на эти вопросы с помощью данных называется на научном языке проверкой гипотез. Вопросы, которые требуют развернутого ответа (подсчитать что-то, объяснить что-то и т. п.), гипотезами не называются.

В простейшем приближении результат экспериментальной проверки гипотезы выглядит так: ответ «да» с вероятностью p и ответ «нет» с вероятностью 1 – p. Эти вероятности очень важны для сообщения результата; физики обычно избегают абсолютных утверждений («мы открыли» или «мы опровергли») без указания вероятностей.

Но тут сразу же надо сделать важное уточнение. Если его четко осознать, то станет понятным, почему такие стандартные для научно-популярных новостей фразы, как «Ученые на 99% уверены, что открыли что-то новое», — обманчивы.

Точная формулировка, которую обычно используют ученые, такова:

При проверке гипотезы получен ответ «да» на уровне статистической значимости p.

При этом величина p часто выражается в виде количества сигм. В англоязычной литературе используется словосочетание confidence level, CL (доверительный уровень). В русскоязычной еще иногда говорят «статистическая достоверность», но такое выражение может привести к путанице в понимании.

Отличие «популярной» фразы от истинного утверждения вот в чём. Во всяком измерении есть не только статистические, но и систематические погрешности. Описанные выше правила связи вероятностей и количества сигм работают только для статистических погрешностей — и то если к ним применимо нормальное распределение. Если статистические погрешности всегда можно обсчитать аккуратно, то систематические погрешности — это немножко искусство. Более того, из многолетнего опыта известно, что сильные систематические отклонения уж точно не описываются нормальным распределением, и потому для них эти правила пересчета не справедливы. Так что даже если экспериментаторы всё перепроверили много раз и указали систематическую погрешность, всегда остается риск, что они что-то упустили из виду. Корректно оценить этот риск невозможно, поэтому вы на самом деле не знаете, с какой истинной вероятностью ваш ответ верен.

Конечно, по умолчанию систематическим погрешностям стоит доверять, особенно если они исходят от опытных экспериментальных групп. Но вековой опыт изучения элементарных частиц показывает, что несмотря на все предосторожности регулярно случаются проколы. Бывает, что коллаборация получает результат, сильно противоречащий какой-то гипотезе, перепроверяет анализ много раз и никаких ошибок у себя не находит. Однако этот результат затем не подтверждается другими — порой намного более точными! — экспериментами. Почему первый эксперимент дал такой странный результат, что в нём было не то, где там ошибка или неучтенная погрешность — всё это зачастую так и остается непонятым (впрочем, иногда источник ошибки быстро вскрывается, как это случилось со «сверхсветовыми» нейтрино в эксперименте OPERA).

Физики к таким оборотам событий уже привыкли, поэтому каждый экспериментальный результат, сильно отличающийся от всей сложившейся к тому времени картины, вызывает оправданный скепсис. Физики так консервативны в своем отношении вовсе не потому, что они ретрограды и намертво уверовали в какую-то одну теорию, как это хотят представить опровергатели физики. Они просто научены всем предыдущим опытом в физике частиц и знают, чем это обычно кончается. Поэтому без независимого подтверждения другими экспериментами подобные сенсации они не поддерживают.

ФЭЧ в сравнении с другими науками

Надо сказать, что сформулированные выше жесткие критерии статистической достоверности характерны именно для физики элементарных частиц и некоторых смежных разделов. Во многих других разделах физики, а тем более в других дисциплинах (в особенности, в биомедицинских науках) критерии намного слабее.

Предположим, вы измерили некие данные и хотите узнать, какова вероятность того, что они «вписываются в норму». Вы проводите статистический тест, который дает вам вероятность того, что «нормальная ситуация» без какого-либо реального отклонения только за счет статистической флуктуации даст вот такое или еще более сильное отклонение. Эта вероятность называется p-значение. В биологии пороговое p-значение, ниже которого уже уверенно говорят про реальное отличие, составляет один или даже несколько процентов. В физике элементарных частиц такое отличие вообще не считают значимым, тут нет даже «указания на существование» какого-то отличия! Ответственное заявление об отличии звучит в ФЭЧ только для p-значений меньше одной двухмиллионной (то есть отклонение больше 5σ). Такой жесткий подход к достоверности утверждений выработался в ФЭЧ примерно полвека назад, в эпоху, когда экспериментаторы видели много отклонений со значимостью в районе 3σ и смело заявляли об открытии новых частиц, хотя потом эти «открытия» не подтверждались. Подробный рассказ об истоках этого критерия см. в постах Tommaso Dorigo (часть 1, часть 2).

Нули многочлена — формулы, уравнения, примеры, сумма и произведение

Нули многочлена — это точки, в которых многочлен в целом равен нулю. Проще говоря, можно сказать, что нули полинома — это такие значения переменной, что полином равен 0 в этой точке. Нули полинома также называют корнями уравнения и часто обозначают как α, β, γ соответственно.

Некоторые из методов, используемых для нахождения нулей многочлена, включают группировку, факторизацию и использование алгебраических выражений.

Кроме того, нули полинома помогают составить исходное полиномиальное уравнение. Здесь мы узнаем, как найти нули многочлена, сумму и произведение нулей многочлена. Мы решим несколько связанных с ним примеров для лучшего понимания концепции.

Что такое нули многочлена?

Нули многочлена f(x) — это значения x, которые удовлетворяют уравнению f(x) = 0. Здесь f(x) — функция x, а нули многочлена — это значения x для у которого значение f(x) равно нулю. Число нулей многочлена зависит от степени уравнения f(x) = 0. Все такие значения области определения функции, для которых диапазон значений равен нулю, называются нулями многочлена.

Графически нули многочлена представляют собой точки, в которых график y = f(x) пересекает ось x. Мы узнаем больше об этом в приведенном ниже содержании представления нулей многочлена на графике.

Как найти ноль многочлена?

Существует множество способов найти нули многочлена. Количество нулей многочлена зависит от степени уравнения полинома. Различные уравнения были классифицированы как линейные уравнения, квадратные уравнения, кубические уравнения и многочлены более высокой степени, и каждое из уравнений анализируется отдельно, чтобы найти нули многочлена. Различные типы уравнений и методы нахождения их нулей полинома следующие.

Линейное уравнение: Линейное уравнение имеет форму y = ax + b. Нуль этого уравнения можно вычислить, подставив y = 0, и при упрощении мы имеем ax + b = 0, или x = -b/a.

Квадратное уравнение: Существует два метода факторизации квадратного уравнения. Квадратное уравнение вида x ² + x(a + b) + ab = 0 можно разложить на множители как (x + a)(x + b) = 0, и мы имеем x = -a и x = — b как нули полинома. А для квадратного уравнения вида ах ² + bx + c = 0, которое нельзя разложить на множители, нули можно вычислить по формульному методу, и формула x = [- b ± √(b ²

— 2ac) ] / 2a.

Кубическое уравнение: Кубическое уравнение вида y = ax ³ + bx ² + cx + d можно разложить на множители, применяя теорему об остатках. В соответствии с теоремой об остатках мы можем подставлять любые меньшие значения для переменной x = α, и если значение y равно нулю, y = 0, то (x — α) является одним корнем уравнения. Кроме того, мы можем разделить кубическое уравнение с (x — α), используя длинное деление, чтобы получить квадратное уравнение. Наконец, квадратное уравнение можно решить либо с помощью факторизации, либо методом формул для получения искомых двух корней уравнения.

Полином высшей степени: Уравнение полинома высшей степени имеет вид y = ax ⁿ + bx ^{n — 1} +cx ^{n — 2} + ….. px + q. Эти многочлены более высокой степени можно разложить на множители, используя теорему об остатках, чтобы получить квадратное уравнение. И квадратное уравнение можно разложить на множители, чтобы получить последние два необходимых множителя.

Нули полиномиальной формулы

Как обсуждалось в предыдущем разделе, мы можем найти нули многочленов разных типов разными способами. Для многочленов более высоких степеней мы используем теорему об остатках и в конечном итоге приходим к квадратичному многочлену, для которого мы используем квадратичную формулу для нахождения нулей. Итак, формула, которую мы используем для нахождения нулей квадратного многочлена ах ² + bx + c = 0 равно:

x = [- b ± √(b ² — 2ac) ] / 2a

Сумма и произведение нулей многочлена

Нули многочлена можно легко вычислить с помощью:

Сумма и произведение нулей многочлена для квадратного уравнения

Сумма и произведение нулей многочлена могут быть вычислены непосредственно из переменных квадратного уравнения , и не находя нулей многочлена. Нули квадратного уравнения обозначаются символами α и β. Для квадратного уравнения вида ax ² + bx + c = 0 с коэффициентом a, b, постоянным членом c, сумма и произведение нулей полинома следующие.

Сумма нулей полинома = α + β = -b/a = — коэффициент x/коэффициент x ²

Произведение нулей полинома = αβ = c/a = постоянный член/коэффициент x ²

Сумма и произведение нулей многочлена для кубического уравнения

Кубический многочлен имеет форму ax ³ + bx ² + cx + d = 0 постоянный член, а α, β, γ — корни кубического полиномиального уравнения.

α + β + γ = -b/a = — коэффициент при x ² /коэффициент при x ³

αβ + βγ + γα = c/a = коэффициент при x/коэффициент при x ³

αβγ = -d/a = -константа/коэффициент x ³

Составление уравнения из нулей многочлена

Нули многочлена используются для формирования уравнения полинома. По заданному n-му количеству нулей полинома можно составить полиномиальное уравнение n-й степени. Есть два простых шага, чтобы составить уравнение из нулей многочлена. Сначала найдите множители от нулей многочлена. Если x = a , то (x — a) искомый фактор. Во-вторых, найдите произведение этих множителей, чтобы найти требуемое уравнение. Найдем уравнение для кубического и квадратного уравнения.

Кубическое уравнение: Возьмем корни полиномиального уравнения как α, β, γ. Множителями уравнения являются (x — α), (x — β), (x — γ), а требуемое уравнение имеет вид (x — α)(x — β)(x — γ) = 0,

Квадратное уравнение: Для квадратного уравнения, имеющего два нуля уравнения как α, β, коэффициентами являются (x — α) и (x — β). И искомое квадратное уравнение имеет вид x ² — x(α+ β) + α.β = 0,

Также мы можем найти уравнение полинома более высокой степени, составив требуемые множители и взяв произведение факторы, чтобы составить требуемое уравнение.

Представление нулей многочлена на графике

Полиномиальное выражение вида y = f(x) может быть представлено на графике по оси координат. Значение x представлено на оси x, а значение f(x) или значение y представлено на оси y. Полиномиальное выражение может быть линейным выражением, квадратичным выражением или кубическим выражением, основанным на степени полиномов. Линейное выражение представляет собой линию, квадратное уравнение представляет собой кривую, а полином более высокой степени представляет собой кривую с неровными изгибами.

Нули полинома можно найти на графике, наблюдая точки, в которых линия графика пересекает ось x. Координаты x точек, где график пересекает ось x, являются нулями многочлена.

Важные замечания по нулям полинома

• Нули полинома — это значения переменной, для которых полином равен 0.
• Мы можем найти нули многочлена, определив точки пересечения по оси x.
• Чтобы найти нули квадратного многочлена, мы используем квадратичную формулу.

☛Статьи по теме

• Полиномиальные функции
• Полиномиальные выражения
• Полиномиальные уравнения

Часто задаваемые вопросы о нулях многочлена

Что понимают под нулями многочлена?

нуля полинома относятся к значениям переменных, присутствующих в полиномиальном уравнении, для которых полином равен 0. Количество значений или нулей полинома равно степени полиномиального выражения. Для полиномиального выражения вида ax ⁿ + bx ^{n — 1} + cx ^{n — 2} +…. px + q , всего до n нулей многочлена. Нули многочлена также называют корнями уравнения.

Как найти нули многочлена?

Существует несколько способов найти нули многочлена. Метод, используемый для нахождения нулей полинома, зависит от степени уравнения. Полиномиальное выражение решается с помощью факторизации, группировки, алгебраических тождеств и получаются множители. Факторы индивидуально решаются, чтобы найти нули многочлена. Квадратное уравнение вида x ² + x(a + b) + ab = 0 имеет множители (x + a)(x + b) = 0, а нули квадратного уравнения равны -a, -b.

Как найти нули многочлена графически?

Нули многочлена можно легко найти графически, найдя точки, в которых график многочлена пересекает ось x. Для всех точек, где линия уравнения пересекает ось x, координата x точки представляет собой нули многочлена.

Как найти комплексные нули полиномиальной функции?

Комплексные нули многочленов можно вычислить по формуле комплексных чисел i ² = -1. Отрицательные корни также можно упростить, используя значение i из комплексных чисел. Для уравнения вида (x + 3) ² = -25 нахождение квадратного корня из отрицательного числа невозможно. Здесь мы используем i ² = -1, чтобы записать (x + 3) ² = 25i ² , и при упрощении имеем (x + 3) = + 5i, а нули полинома равны -3 + 5i и -3 -5i.

Что такое сумма нулей многочлена?

Сумма нулей многочлена квадратного уравнения вида ax ² + bx + c = 0, имеющего корнями α, β, равна коэффициент x ² . А сумма нулей многочлена кубического уравнения ах ³ + bx ² + cx + d = 0, имеющего корни α, β, γ, равна α + β + γ = -b/a = -коэффициенту x ² /коэффициент x ³

Что такое произведение нулей многочлена?

Произведение нулей многочлена квадратного уравнения формы ax ² + bx + c = 0, имеющего α, β в качестве корней, равно αβ = c/a = постоянный член/коэффициент при x ² . А произведение нулей многочлена для кубического уравнения ax ³ + bx ² + cx + d = 0, имеющего корни α, β, γ, равно αβγ = -d/a = -постоянный член/коэффициент x ³

Сколько нулей многочлена у = f(x)?

Количество нулей полинома зависит от степени выражения полинома y = f(x). Для линейного уравнения с одной переменной у нас есть только один корень. Для квадратичного и кубического многочлена у нас есть два и три нуля многочлена соответственно.

Какое количество нулей полинома имеет линейный многочлен?

Линейный многочлен имеет только один нуль. Линейное выражение формы ax + b = 0 имеет только одно значение x = -b/a, которое является нулем этого линейного полинома

Как найти нули квадратичной функции 4 лучших метода

Как найти найти нули квадратной функции?

В предыдущем уроке мы обсуждали, как найти нули функции. 9{2} .

Как найти нули квадратичной функции – 4 лучших метода

Существуют разные методы нахождения нулей квадратичной функции.

Мы увидим лучшие 4 метода из них

• Заполнение квадрата,
• Факторинг,
• Квадратичная формула,
• График.

Нахождение нулей квадратичной функции путем заполнения квадрата

Существуют некоторые квадратичные полиномиальные функции, нули которых можно найти, превратив их в полный квадрат. 9{2} + 1 = 0 являются x = + i, — i, и оба они комплексные (не вещественные).

Как найти нули квадратичной функции на графике

Чтобы найти ноль на графике, нам нужно посмотреть, где график функции пересекает или касается оси X, и эти точки будут ноль этой функции, так как в этих точках y равен нулю.

Здесь возникнут 3 случая:

1. Когда график пересекает ось x,
2. Когда график касается оси x, 9{2} = — 2

   или, x = pm sqrt{- 2}

   или, x = pm sqrt{2} i

   или, x = + sqrt{2} i, — sqrt{2} i

   Для лучшего понимания вы можете посмотреть это видео (продолжительность: 5 минут 29 секунд), в котором Марти Брандл объяснил процесс поиска нулей на графике

   Как найти нули квадратичной функции на график
   Источник – Youtube, видео Марти Брандла

   Часто задаваемые вопросы по нахождению нулей квадратичной функции

   1. Сколько нулей может быть у квадратичной функции?

      Квадратичная функция имеет 2 действительных или комплексных нуля. 2 – 16x – 15? 92-48 это х = +4, -4.

   2. 3x+1/x-8=0 является квадратным уравнением или нет

      Мы знаем, что степень квадратичной функции равна 2.
      Но степень функции frac{3x+1}{x-8} не равна 2.
      Следовательно, данная функция frac{3x+1} {x-8} не является квадратичной функцией.
      Следовательно, 3x+1/x-8=0 не является квадратным уравнением.

   3. Найдите квадратный многочлен, сумма корней которого равна 0, а произведение корней равно 1.

      Пусть корни квадратного многочлена равны «a» и «b». 9{2}+1, а нули квадратного многочлена равны x= +sqrt{-1}, -sqrt{-1} .

   Надеемся, вы понимаете, как находить нули квадратной функции.

   Если у вас есть какие-либо сомнения или предложения по теме, как найти нули квадратичной функции, не стесняйтесь спрашивать в разделе комментариев. Мы рады услышать от вас.

   Дополнительно можно прочитать:

   • Что такое функция? — Определение, пример и график.