Решение систем линейных уравнений
Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.
Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).
Как решать систему уравнений
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Основные понятия
Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.
Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.
Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:
Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.
Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.
Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:
Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.
Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.
Можно записать систему иначе:
Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.
Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.
Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки
Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:
Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.
Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).
Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1
Решите систему уравнений:
x − y = 4
x + 2y = 10
Выразим x из первого уравнения:
x − y = 4
x = 4 + y
Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10
Решим второе уравнение относительно переменной y:
4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2
Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6
Ответ: (6; 2).
Пример 2
Решите систему линейных уравнений:
x + 5y = 7
3x = 4 + 2y
Сначала выразим переменную x из первого уравнения:
x + 5y = 7
x = 7 − 5y
Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:
3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
Решим второе линейное уравнение в системе:
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1
Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2
Ответ: (2; 1).
Пример 3
Решите систему линейных уравнений:
x − 2y = 3
5x + y = 4
Из первого уравнения выразим x:
x − 2y = 3
x = 3 + 2y
Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:
5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1
Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:
x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1
Ответ: (1; −1).
Метод сложения
Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:
При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.
Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
Находим соответствующие значения второй переменной.
Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Система линейных уравнений с тремя переменными
Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:
Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач
Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y − 4x + 9y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
Выразить у из первого уравнения:
Подставить полученное выражение во второе уравнение:
Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
- Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
- Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
- Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
- Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений
Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.
С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: ( -2<,>34 )
Ввод: -1,15
Результат: ( -1<,>15 )
Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -frac<2> <3>$$
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5frac<8> <3>$$
Помните, что на ноль делить нельзя!
RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :
Немного теории.
Системы линейных алгебраических уравнений
Основные определения
Система (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
( left< begin a_<11>x_1 + a_<12>x_2 + cdots + a_<1n>x_n = b_1 \ a_<21>x_1 + a_<22>x_2 + cdots + a_<2n>x_n = b_2 \ cdots \ a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_m end right. tag <1>)
Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от (n) переменных ( x_1 , ldots x_n ), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.
Числа (a_ in mathbb ) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения (i) и номером неизвестного (j). Действительные числа ( b_1 , ldots b_m ) называют свободными членами уравнений.
СЛАУ называют однородной, если ( b_1 = b_2 = ldots = b_m = 0 ). Иначе её называют неоднородной.
Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных ( x_1^circ, ldots , x_n^circ ), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.
Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.
СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.
Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При (m=n), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.
Формы записи СЛАУ
Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.
Рассматривая коэффициенты (a_) СЛАУ при одном неизвестном (x_j) как элементы столбца, а (x_j) как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
( begin a_ <11>\ a_ <21>\ vdots \ a_ end x_1 + begin a_ <12>\ a_ <22>\ vdots \ a_ end x_2 + ldots + begin a_ <1n>\ a_ <2n>\ vdots \ a_ end x_n = begin b_1 \ b_2 \ vdots \ b_m end )
или, обозначая столбцы соответственно ( a_1 , ldots , a_n , b ),
( x_1 a_1 + x_2 a_2 + ldots + x_n a_n = b tag <2>)
Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца (b) в виде линейной комбинации столбцов ( a_1, ldots, a_n ). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.
Поскольку (A ;,; X) и (B) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде (AX=B) называют матричной. Если (B=0), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид (AX=0).
Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида (AX=B)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.
Критерий совместности СЛАУ
«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).
Матрицу
( A = begin a_ <11>& a_ <12>& cdots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& cdots & a_ <2n>\ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ end )
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
( (A|B) = left( begin a_ <11>& a_ <12>& cdots & a_ <1n>& b_1 \ a_ <21>& a_ <22>& cdots & a_ <2n>& b_2 \ vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ & b_m end right) )
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.
Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ (AX=B) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы (A) был равен рангу её расширенной матрицы ( (A|B) ).
Формулы Крамера
Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = frac<Delta_i> <|A|>;,quad i=overline <1,n>tag <3>$$
где (Delta_i) — определитель матрицы, получающейся из матрицы (A) заменой (i)-го столбца на столбец свободных членов.
Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.
Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.
Однородные системы
Теорема. Если столбцы ( X^<(1)>, X^<(2)>, ldots , X^ <(s)>) — решения однородной СЛАУ (AX=0), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.
Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.
Естественно попытаться найти такие решения ( X^<(1)>, ldots , X^ <(s)>) системы (AX=0), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.
Определение. Любой набор из (k=n-r) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ (AX=0), где (n) — количество неизвестных в системе, а (r) — ранг её матрицы (A), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.
При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице (A) однородной СЛАУ (AX=0) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.
Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ (AX=0) с (n) неизвестными и ( textA = r ). Тогда существует набор из (k=n-r) решений ( X^<(1)>, ldots , X^ <(k)>) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.
Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.
Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ <(1)>+ ldots + c_kX^ <(k)>$$
где постоянные ( c_i ;, quad i=overline <1,k>), принимают произвольные значения.
Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.
Неоднородные системы
Рассмотрим произвольную СЛАУ (AX=B). Заменив столбец (B) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ (AX=0), соответствующую неоднородной СЛАУ (AX=B). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.
Теорема. Пусть столбец (X^circ) — некоторое решение СЛАУ (AX=B). Произвольный столбец (X) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление (X = X^circ + Y ), где (Y) — решение соответствующей однородной СЛАУ (AY=0).
Следствие. Пусть (X’) и (X») — решения неоднородной системы (AX=B). Тогда их разность ( Y = X’ — X» ) является решением соответствующей однородной системы (AY=0).
Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.
Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение (X^circ) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.
Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть (X^circ) — частное решение СЛАУ (AX=B) и известна фундаментальная система решений ( X^<(1)>, ldots , X^ <(k)>) соответствующей однородной системы (AX=0). Тогда любое решение СЛАУ (AX=B) можно представить в виде $$ X = X^circ + c_1 X^ <(1)>+ c_2 X^ <(2)>+ ldots + c_k X^ <(k)>$$
где ( c_i in mathbb ;, quad i=overline <1,k>).
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-sistem-uravnenij
http://www.math-solution.ru/math-task/slau
Как найти икс нулевое
В качестве «икс нулевое» обозначается координата вершины параболы по оси абсцисс. В этой точке функция принимает наибольшее или наименьшее значение, поэтому x0 − точка экстремума функции.
Инструкция
Если имеется аналитическое задание функции, приведите ее к стандартному виду: A*x²+B*x+C=y(x), где A − старший коэффициент при x², B − средний коэффициент при x, C − свободный член. Обратите внимание, чтобы коэффициент при x² не равнялся нулю, иначе это будет уже не квадратичная функция.
Координата вершины параболы x0 по оси абсцисс находится по формуле: x0=-B/2A. В случае приведенного квадратного уравнения, то есть, когда A=1, формула упрощается: x0=-B/2. Если в уравнении нет «икса» в первой степени, значит, коэффициент B=0, и тогда x0 тоже обращается в нуль.
Чтобы найти координату вершины параболы по оси ординат, подставьте полученное значение для x0 в уравнение. Когда вы упростите выражение, с одной стороны у вас останется «игрек», с другой − некоторое число Q. Оно и показывает ординату вершины параболы: y0=Q.
Итак, исследование аналитически заданной функции дало вам точку на графике с координатами (x0;y0). Если старший коэффициент A > 0, то ветви параболы направлены вверх, и в вершине промежуток убывания будет сменяться промежутком возрастания. Если же A
Т.к. x0 − точка экстремума функции, то ее числовое значение можно найти и при помощи дифференцирования. Найдите первую производную функции. Приравняйте ее нулю и решите полученное уравнение. Ему будет удовлетворять единственное значение x, которое и является координатой вершины параболы.
Если необходимо отметить «икс нулевое» на графике, проведите из вершины параболы пунктирной линией перпендикуляр к оси абсцисс. Точку, в которой перпендикуляр пересечет ось x, обозначьте за x0. Чтобы увидеть на графике «игрек нулевое», проведите из вершины перпендикуляр соответственно к оси ординат.
Т.к. x0 − точка экстремума функции, то ее числовое значение можно найти и при помощи дифференцирования. Найдите первую производную функции. Приравняйте ее нулю и решите полученное уравнение. Ему будет удовлетворять единственное значение x, которое и является координатой вершины параболы.
Если необходимо отметить «икс нулевое» на графике, проведите из вершины параболы пунктирной линией перпендикуляр к оси абсцисс. Точку, в которой перпендикуляр пересечет ось x, обозначьте за x0. Чтобы увидеть на графике «игрек нулевое», проведите из вершины перпендикуляр соответственно к оси ординат.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид
aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.
Например, все уравнения:
2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.
Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.
Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.
А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.
Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида
aх + b = 0.
Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим
aх = ‒ b.
Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .
Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.
Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.
Выполним вычитание, тогда
3х = 9.
Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9 : 3.
Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.
Ответ: х = 3.
Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.
Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.
Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.
Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Приведем подобные члены:
0х = 0.
Ответ: х — любое число.
Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение 0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .
Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.
Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.
Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.
Ответ: нет решений.
На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения
Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.
Пример 4. Пусть надо решить уравнение
1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.
2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)
3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .
4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.
6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.
Как видим, корень уравнения равен семи.
Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:
а) привести уравнение к целому виду;
б) раскрыть скобки;
в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;
г) привести подобные члены;
д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.
Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2), третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.
СЛОЖНА-А-А 🙀 Ты же знаешь, что если не разобраться в теме сейчас, то потом придется исправлять оценки. Беги на бесплатное онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).
Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.
Находим неизвестное х = 1/4 : 2,
х = 1/8 .
Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.
Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.
Решение
2х + 6 = 5 – 6х
2х + 6х = 5 – 6
8х = ‒1
х = ‒1 : 8
х = ‒ 0, 125
Ответ: ‒ 0, 125
Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.
Решение
– 30 + 18х = 8х – 7
18х – 8х = – 7 +30
10х = 23
х = 23 : 10
х = 2,3
Ответ: 2,3
Пример 8. Решите уравнение
Решение:
3(3х – 4) = 4 · 7х + 24
9х – 12 = 28х + 24
9х – 28х = 24 + 12
-19х = 36
х = 36 : (-19)
х = — 36/19
Ответ: — 
.
Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 37-х
Решение
Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.
Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.
Если х = 4, тогда
f(6) = 37-4 = 33 = 27
Ответ: 27.
Молодец! Раз ты дочитал это до конца, вероятно, ты все отлично усвоил. Но если вдруг что-то еще непонятно — попробуй онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).
Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!
Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Линейные уравнения – уравнения, которые можно представить в виде (ax+b=0), где (a) и (b) – какие-либо числа.
Проще говоря, это такие уравнения, в которых переменные (обычно иксы) в первой степени. При этом не должно быть переменных в знаменателях дробей.
|
Например: |
(2x+7=0) |
Здесь (a=2, b=7) |
||
|
(5=0) |
А тут (a=0, b=5) (пояснение: данное уравнение может быть представлено в виде (0cdot x+5=0)) |
|||
|
(-7(5-3y)=91) |
Здесь (a) и (b) изначально не определены, но преобразовав уравнение, мы сможем их найти. |
|||
|
(frac{x+2}{3})(+x=1-)(frac{3}{4})(x) |
Тоже самое, (a) и (b) пока что неизвестны. |
Решение линейных уравнений
При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство.
В простых уравнениях корень очевиден сразу или легко находиться подбором. Например, понятно, что корнем уравнения (x+3=5) будет число (2), ведь именно двойка при подстановке ее вместо икса даст (5=5) – верное равенство.
Однако в более сложных случаях ответ сразу не виден. И тогда на помощь приходят равносильные преобразования.
Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду
(x=[число])
Это число и будет корнем.
То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:
1. Прибавление или вычитание из обеих частей уравнения одинакового числа или выражения.
Например: прибавим (5) к обеим частям уравнения (6x-5=1)
(6x-5=1) (|+5)
(6x-5+5=1+5)
(6x=6)
Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение.
Например: разделим уравнение (-2x=8) на минус два
(-2x=8) (|:(-2))
(x=-4)
Обычно данный шаг выполняется в самом конце, когда уравнение уже приведено к виду (ax=b), и мы делим на (a), чтобы убрать его слева.
3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д.
Например: раскроем скобки в уравнении (2(3+x)=4(3x-2)-5)
(6+2x=12x-8-5)
Чаще всего при решении линейного уравнения приходиться делать несколько разных преобразований.
Пример. Решить линейное уравнение (6(4-x)+x=3-2x)
Решение:
|
(6(4-x)+x=3-2x) |
Раскрываем скобки |
|
|
(24-6x+x=3-2x) |
Приводим подобные слагаемые |
|
|
(24-5x=3-2x) |
Прибавляем (2x) слева и справа |
|
|
(24-5x+2x=3) |
Вычитаем (24) из обеих частей уравнения |
|
|
(-5x+2x=3-24) |
Опять приводим подобные слагаемые |
|
|
(-3x=-21) |
Теперь делим уравнение на (-3), тем самым убирая коэффициент перед иксом в левой части. |
|
|
(x=7) |
Ответ: (7)
Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство — одинаковые числа слева и справа. Пробуем.
Проверка:
(6(4-7)+7=3-2cdot7)
(6cdot(-3)+7=3-14)
(-18+7=-11)
(-11=-11)
Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.
Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.
Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?
Ответ прост:
Ваша цель – привести уравнение к виду (x=[число]), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных. Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.
Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения (x+3=13-4x).
Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от (x=[число])? Что нам мешает? Что не так?
Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать — вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.
(x+3=13-4x) (|-3)
(x+3-3=13-4x-3)
(x=10-4x)
Хорошо. Теперь что мешает? (4x) справа, ведь там должны быть только числа. (4x) вычитается — убираем прибавлением.
(x=10-4x) (|+4x)
(x+4x=10-4x+4x)
Теперь приводим подобные слагаемые слева и справа.
(5x=10)
Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается на икс. Поэтому убираем ее делением.
(5x=10) (|:5)
(frac{5x}{5})(=)(frac{10}{5})
(x=2)
Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.
Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один. Однако могут встретиться два особых случая.
Особый случай 1 – в линейном уравнении нет корней.
Пример. Решить уравнение (3x-1=2(x+3)+x)
Решение:
|
(3x-1=2(x+3)+x) |
Раскроем скобки |
|
|
(3x-1=2x+6+x) |
Приведем подобные слагаемые |
|
|
(3x-1=3x+6) |
Перенесем члены с переменной влево, а просто числа — вправо, меняя при этом знаки |
|
|
(3x-3x=6+1) |
Опять приведем подобные слагаемые |
|
|
(0=7) |
Ну и при каком иксе ноль станет равен (7)? Ни при каком, тут икс вообще никак не влияет и не может «исправить» неверность получившегося равенства. Поэтому ответ – в этом линейном уравнении нет корней. |
Ответ: нет корней.
На самом деле, то, что мы придем к такому результату было видно раньше, еще когда мы получили (3x-1=3x+6). Вдумайтесь: как могут быть равны (3x) из которых вычли (1), и (3x) к которым прибавили (6)? Очевидно, что никак, ведь с одним и тем же выражением сделали разные действия! Понятно, что результаты будут отличаться.
Особый случай 2 – в линейном уравнении бесконечное количество корней.
Пример. Решить линейное уравнение (8(x+2)-4=12x-4(x-3))
Решение:
|
(8(x+2)-4=12x-4(x-3)) |
Начинаем преобразовывать – раскрываем скобки |
|
|
(8x+16-4=12x-4x+12) |
Приводим подобные слагаемые |
|
|
(8x+12=8x+12) |
Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева |
|
|
(8x-8x=12-12) |
И вновь приводим подобные |
|
|
(0=0) |
Очевидно, что тут “подойдет” любое значение для икса, ведь он никак не влияет на полученное уравнение. И значит равенство всегда будет верным. |
Ответ: любое число.
Это, кстати, было заметно еще раньше, на этапе: (8x+12=8x+12). Действительно, слева и справа – одинаковые выражения. Какой икс ни подставь – будет одно и то же число и там, и там.
Более сложные линейные уравнения.
Исходное уравнение не всегда сразу выглядит как линейное, иногда оно «маскируется» под другие, более сложные уравнения. Однако в процессе преобразований маскировка спадает.
Пример. Найдите корень уравнения (2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15)
Решение:
|
(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15) |
Казалось бы, здесь есть икс в квадрате – это не линейное уравнение! Но не спешите. Давайте применим формулы сокращенного умножения |
|
|
(2x^{2}-(x^{2}-8x+16)=9+6x+x^{2}-15) |
Почему результат раскрытия ((x-4)^{2}) стоит в скобке, а результат ((3+x)^{2}) нет? Потому что перед первым квадратом стоит минус, который изменит все знаки. И чтобы не забыть об этом – берем результат в скобки, которую теперь раскрываем. |
|
|
(2x^{2}-x^{2}+8x-16=9+6x+x^{2}-15) |
Приводим подобные слагаемые |
|
|
(x^{2}+8x-16=x^{2}+6x-6) |
Далее как обычно: «иксы – влево, числа – вправо», не забывая менять знаки. |
|
|
(x^{2}-x^{2}+8x-6x=-6+16) |
Опять приводим подобные. |
|
|
(2x=10) |
Вот так. Оказывается, исходное уравнение – вполне себе линейное, а иксы в квадрате не более чем ширма, чтоб нас запутать. |
Дорешиваем, деля уравнение на (2), и получаем ответ.
Ответ: (x=5)
Пример. Решить линейное уравнение (frac{x+2}{2}) (-) (frac{1}{3}) (=) (frac{9+7x}{6})
Решение:
|
(frac{x+2}{2}) (-) (frac{1}{3}) (=) (frac{9+7x}{6}) |
Уравнение не похоже на линейное, дроби какие-то… Однако давайте избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей – шестерку |
|
|
(6cdot)((frac{x+2}{2}) (-) (frac{1}{3})) (=) (frac{9+7x}{6})(cdot 6) |
Раскрываем скобку слева |
|
|
(6cdot)(frac{x+2}{2}) (-) (6cdot)(frac{1}{3}) (=) (frac{9+7x}{6})(cdot 6) |
Теперь сокращаем знаменатели |
|
|
(3(x+2)-2=9+7x) |
Вот теперь похоже на обычное линейное! Дорешиваем его. Раскрываем скобки |
|
|
(3x+6-2=9+7x) |
Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева |
|
|
(3x-7x=9-6+2) |
Приводим подобные слагаемые |
|
|
(-4x=5) |
Ну и поделив на (-4) правую и левую часть, получаем ответ |
Ответ: (x=-1,25)
Смотрите также:
Линейная функция
Скачать статью
В этой теме рассмотрим подробный алгоритм решения линейных уравнений с одной переменной. Что же такое решение уравнений? Уравнение считается решенным, если мы нашли корни уравнения или доказали, что их нет. Линейные уравнения – это самый простой вид уравнений в школьной программе по математике.
Формула линейного уравнения.
Принято линейное уравнение записывать так:
ax+b=0
где коэффициенты a и b произвольные числа (числа которые явно записаны),
а переменная x – это неизвестное число.
Пример линейных уравнений:
5x-6=0,
0,3-4x=0,
6x=2.
Алгоритм решения линейного уравнения.
В математике существуют различные виды уравнений. Например, квадратные уравнения, рациональные уравнения, иррациональные уравнения и т.д. И каждый вид уравнения решается определенным способом. Не существует единого алгоритма решения всех уравнений, поэтому для каждого вида уравнений свой способ решения. И каждый способ надо запоминать. Теперь вернемся к линейным уравнениям и разберем пошаговый алгоритм действий.
Как решать линейные уравнения?
Правило решения достаточно просты.
1 шаг. У всех уравнений есть две стороны левая и правая. Знак равно = эти две части разделяет. Все что написано в уравнении до знака равно находится с левой части уравнения, а все что написано после знака равно — правая часть.
Рассмотрим пример линейного уравнения:
2x+5=8
Левая часть уравнения (2x+5) = правая часть уравнения (8)
2 шаг. Необходимо перенести неизвестные (переменные или буквы) в одну сторону, а известные (цифры) в другую сторону уравнения. При переносе слева на право или наоборот справа на лево числа или переменной, нужно поменять знак. Если был знак “+” поменяется на знак минус и наоборот.
В нашем примере 2х это неизвестное, а число 5 и 8 известное.
В уравнении 2x+5=8 число 5 находится слева, необходимо, это число перенести вправо, чтобы числа посчитать с числами. У числа 5 знак + поэтому при переносе слева на право знак поменяется на минус. Получим:
2x=8-5
2x=3
3 шаг. Если перед переменной стоит число, а в нашем уравнении стоит 2 перед х, тогда все уравнение делим на это число.
2x=3 |:2
|:2 такая запись означает, что мы должны все элементы уравнения поделить на 2. Если подробно расписать, то линейное уравнение будет выглядеть так:
2x:2=3:2
2x:2 получим 1x или просто х, а 3:2=1,5
x=1,5
4 шаг. Мы нашли корень уравнения x=1,5.
Корень уравнения – это число которое превращает уравнение в верное равенство.
Чтобы проверить правильно ли решено уравнение необходимо вместо переменной х в уравнение 2x+5=8 подставить найденный корень x=1,5.
2x+5=8
2 •1,5+5=8
3+5=8
8=8
Получено верное равенство, поэтому корень найден верно.
Рассмотрим следующий пример:
2х–3,5=7х+10
Сделаем перенос неизвестных влево, а известных вправо. Неизвестные – это 2х и 7х. Необходимо 7х перенести влево и поменять знак с “+” на “–”. Перед 7х не стоит ни каких знаков поэтому считается знак плюс. Известные – это -3,5 и 10. Число -3,5 нужно перенести слева на право и поменять знак с минуса на плюс. Получим:
2х–7х=10+3,5
–5х=13,5
Так как перед переменной х стоит число -5, нужно все уравнение поделить на -5, чтобы перед переменной х стало число 1.
–5х=13,5 |:(–5)
x=13,5:( –5)
x=–2,7
Сделаем проверку. Подставим в уравнение 2х–3,5=7х+10 вместо переменной х число –2,7.
2х–3,5=7х+10
2•(–2,7)–3,5=7•(–2,7)+10
–5,4–3,5= –18,9+10
-8,9=-8,9
Линейные уравнение, которые не имеют решения.
Уравнения могут не иметь решения. Как же выглядят такие линейные равнения? Как решаются такие линейные уравнения.
Для простоты давайте рассмотрим пример:
3х-6,7=х+4+2х
Здесь мы решаем точно также, как и в предыдущих примерах. Неизвестные (3х, х и 2х) группируем с лева, а известные (-6,7 и 4) – с права. Не забываем менять знаки при переносе. Получаем:
3х-х-2х=4+6,7
0х=10,7 или 0=10,7
Всем известно, что число 0 и 10,7 не равны друг другу, следовательно, у такого уравнения нет решения, потому что при любом значении переменной х верного равенства не будет.
Линейные уравнения, у которых бесконечное количество решений.
Чаще всего у линейных уравнений один корень, но бывают случаи, когда корней бесконечное множество. Такое линейное уравнение легко распознать визуально. Левая часть и правая часть уравнения равны при любых переменных.
Рассмотрим пример:
-5+2х+1=9+2х-13
Переносим неизвестные влево, а известные вправо. Не забываем менять знак.
2х-2х=9-13+5-1
0=0
Когда левая часть и правая часть равны одинаковым выражениям, тогда такое линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.