Как найти импульс тел после столкновения - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определение

Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:

p = mv

Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).

Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости (p↑↓v), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).

Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:

10 г = 0,01 кг

Импульс равен:

p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)

Относительный импульс

Определение

Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:

p_1отн2 = m₁v_1отн2 = m₁(v₁ – v₂)

p_1отн2 — импульс первого тела относительно второго, m₁ — масса первого тела, v_1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v₁ и v₂ — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.

Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.

Сначала переведем единицы измерения в СИ:

15 т = 15000 кг

p_1отн2 = m₁(v₁ – v₂) = 15000(20 – 15) = 75000 (кг∙м/с) = 75∙10³ (кг∙м/с)

Изменение импульса тела

ОпределениеИзменение импульса тела — векторная разность между конечным и начальным импульсом тела:

∆p = p – p₀ = p + (– p₀)

∆p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p₀ — начальный импульс тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар
	Конечная скорость после удара: v = 0. Конечный импульс тела: p = 0. Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса: ∆p = p0.
Абсолютно упругий удар
	Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v₀. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p₀. Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p₀ = 2p.
Пуля пробила стенку
	Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов: ∆p = p₀ – p = m(v₀ – v)
Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов
	Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p₀ = 2p = 2mv₀
Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали
	Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v₀. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p₀. Угол падения равен углу отражения: α = α’ Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:

Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.

В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.

Вычисляем:

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:

Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:

Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:

Или:

F∆t — импульс силы, ∆p — изменение импульса тела

Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?

Из формулы импульса силы выразим модуль силы:

Реактивное движение

Определение

Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.

Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

Реактивная сила:

Второй закон Ньютона для ракеты:

Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.

Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:

V = a∆t

Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:

Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:

Отсюда ускорение равно:

Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:

Суммарный импульс системы тел

Определение

Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:

Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.

Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульсаПолный импульс замкнутой системы сохраняется:

Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:

положителен, если его направление совпадает с направлением оси ОХ;
отрицателен, если он направлен противоположно направлению оси ОХ.

Важно!

При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Неупругое столкновение с неподвижным телом	m₁v₁ = (m₁ + m₂)v
Неупругое столкновение движущихся тел	± m₁v₁ ± m₂v₂ = ±(m₁ + m₂)v
В начальный момент система тел неподвижна	0 = m₁v’₁ – m₂v’₂
До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью	(m₁ + m₂)v = ± m₁v’₁ ± m₂v’₂

Сохранение проекции импульса

В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.

Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.

Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:

m₂v₂ = (m₁+ m₂)v

Отсюда скорость равна:

Задание EF17556

Импульс частицы до столкновения равен −p₁, а после столкновения равен −p₂, причём p₁= p, p₂= 2p, −p₁⊥−p₂. Изменение импульса частицы при столкновении Δ−p равняется по модулю:

а) p

б) p√3

в) 3p

г) p√5

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Построить чертеж, обозначить векторы начального и конечного импульсов, а также вектор изменения импульса. Для отображения вектора изменения импульса использовать правило сложения векторов методом параллелограмма.

3.Записать геометрическую формулу для вычисления длины вектора изменения импульса.

4.Подставить известные значения и вычислить.

Решение

Запишем исходные данные:

• Модуль импульса частицы до столкновения равен: p₁= p.

• Модуль импульса частицы после столкновения равен: p₂= 2p.

• Угол между вектором начального и вектором конечного импульса: α = 90^о.

Построим чертеж:

Так как угол α = 90^о, вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:

Δp=√p21+p22

Подставим известные данные:

Δp=√p2+(2p)2=√5p2=p√5

Ответ: г

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17695

На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?

а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно

б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено

в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно

г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено

Алгоритм решения

1.Записать формулу, связывающую импульс тема с его кинематическими характеристиками движения.

2.Сделать вывод о том, как зависит характер движения от импульса.

3.На основании вывода и анализа графика установить характер движения тела на интервалах.

Решение

Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость:

p = mv

Следовательно, импульс и скорость тела — прямо пропорциональные величины. Если импульс с течением времени не меняется, то скорость тоже. Значит, движение равномерное. Если импульс растет линейно, то и скорость увеличивается линейно. В таком случае движение будет равноускоренным.

На участке 0–1 импульс тела не менялся. Следовательно, на этом участке тело двигалось равномерно. На участке 1–2 импульс тела увеличивался по линейной функции, следовательно, на этом участке тело двигалось равноускорено.

Верный ответ: б.

Ответ: б

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22730

Камень массой 3 кг падает под углом α = 60° к горизонту в тележку с песком общей массой 15 кг, покоящуюся на горизонтальных рельсах, и застревает в песке (см. рисунок). После падения кинетическая энергия тележки с камнем равна 2,25 Дж. Определите скорость камня перед падением в тележку.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать закон сохранения импульса применительно к задаче.

3.Записать формулу кинетической энергии тела.

4.Выполнить общее решение.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Масса камня: m₁ = 3 кг.

• Масса тележки с песком: m₂ = 15 кг.

• Кинетическая энергия тележки с камнем: E_k = 2,25 Дж.

Так как это абсолютно неупругий удар, закон сохранения импульса принимает вид:

m1v1+m2v2=(m1+m2)v

Учтем, что скорость тележки изначально была равна нулю, а к ее движению после столкновения привела только горизонтальная составляющая начальной скорости камня:

m1v1cosα=(m1+m2)v

Выразить конечную скорость системы тел после столкновения мы можем через ее кинетическую энергию:

Ek=(m1+m2)v22

Отсюда скорость равна:

v=√2Ekm1+m2

Выразим скорость камня до столкновения через закон сохранения импульса и подставим в формулу найденную скорость:

v1=(m1+m2)vm1cosα=(m1+m2)m1cosα·√2Ekm1+m2

Подставим известные данные и произведем вычисления:

v1=(3+15)3cos60o·√2·2,253+15=12·√0,25=12·0,5=6 (мс)

Ответ: 6

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22520

Снаряд, имеющий в точке О траектории импульсp₀, разорвался на два осколка. Один из осколков имеет импульс −p1
. Импульс второго осколка изображается вектором:

а) −−→AB

б) −−→BC

в) −−→CO

г) −−→OD

Алгоритм решения

1.Сформулировать закон сохранения импульса и записать его в векторной форме.

2.Применить закон сохранения импульса к задаче.

3.Выразить из закона импульс второго осколка и найти на рисунке соответствующий ему вектор.

Решение

Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы тел сохраняется. Записать его можно так:

−p1+−p2=−p′
1+−p′2

Можем условно считать осколки замкнутой системой, так как они не взаимодействуют с другими телами. Применяя к ним закон сохранения импульса, получим:

−p0=−p1+−p2

Отсюда импульс второго осколка равен векторной разности импульса снаряда и импульса первого осколка:

−p2=−p0−−p1

Известно, что разностью двух векторов является вектор, начало которого соответствует вычитаемому вектору, а конец — вектору уменьшаемому. В нашем случае вычитаемый вектор — вектор импульса первого осколка. Следовательно, начало вектора импульса второго осколка лежит в точке А. Уменьшаемый вектор — вектор импульса снаряда. Следовательно, конец вектора лежит в точке В. Следовательно, искомый вектор — −−→AB.

Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18122

Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен α = 60°. Какова масса груза?

Ответ:

а) 27 г

б) 64 г

в) 81 г

г) 100 г

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.

2.Сделать чертеж, отобразив начальное, промежуточное и конечное положение тел.

3.Записать закон сохранения импульса для момента столкновения и закон сохранения механической энергии для момента максимального отклонения нити от положения равновесия.

4.Выполнить решение задачи в общем виде.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Масса пластилиновой пули: m = 9 г.

• Скорость пластилиновой пули: v = 20 м/с.

• Максимальный угол отклонения нити: α = 60°.

Переведем единицы измерения величин в СИ:

Сделаем чертеж:

Нулевой уровень — точка А.

После неупругого столкновения пули с грузом они начинают двигаться вместе. Поэтому закон сохранения импульса для точки А выглядит так:

mv=(m+M)V

После столкновения система тел начинается двигаться по окружности. Точка В соответствует верхней точке траектории. В этот момент скорость системы на мгновение принимает нулевое значение, а потенциальная энергия — максимальное.

Закон сохранения энергии для точки В:

(m+M)V22=(m+M)gh

V22=gh

Высоту h можно определить как произведение длины нити на косинус угла максимального отклонения. Поэтому:

V=√2glcosα

Подставим это выражение в закон сохранения импульса для точки А и получим:

Выразим массу груза:

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 20.2k

Источник

Рассмотрим изменение импульсов тел при их взаимодействии друг с другом.

Если два или несколько тел взаимодействуют только между собой (то есть не подвергаются воздействию внешних сил), то эти тела образуют замкнутую систему.

Импульс, равный векторной сумме импульсов тел, входящих в замкнутую систему, называется суммарным импульсом этой системы.

Результирующая векторная величина импульса системы тел равна векторной сумме импульсов тел, её составляющих:

Закон сохранения импульса
Суммарный импульс системы тел до взаимодействия равен суммарному импульсу этой системы тел после взаимодействия.

В этом заключается закон сохранения импульса, который называют также законом сохранения количества движения.

Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом. В одном из своих писем он написал:

«Я принимаю, что во Вселенной, во всей созданной материи есть известное количество движения, которое никогда не увеличивается, не уменьшается, и, таким образом, если одно тело приводит в движение другое, то теряет столько своего движения, сколько его сообщает».

Для примера возьмем систему из двух тел: шары массами

равномерно и прямолинейно движутся со скоростями

, причем их скорости противоположно направлены, то есть шары движутся навстречу друг другу. Импульсы шаров записываются

p1→=m1v1→

p2→=m2v2→

соответственно.

Рис. (1). Направление движения шаров до соударения

Когда шары приблизятся друг к другу, произойдет столкновение. Удар не будет мгновенным, он займёт пусть малое, но вполне измеримое время (t), при этом появятся силы взаимодействия

F1→

F2→

, которые будут приложены к первому и второму шарам соответственно. Как известно, под действием силы скорость тела меняется, поэтому изменятся и скорости шаров. После столкновения модули и направления скоростей могут быть совершенно иными, поэтому обозначим скорости

v1′

v2′

соответственно. Изменятся и импульсы шаров, они станут равны

p1→′=m1v1→′

p2→′=m2v2→′

соответственно.

Рис. (2). Направление движения шаров после соударения

Тогда, согласно закону сохранения импульса, имеют место равенства:

или

m1v1→+m2v2→=m1v1→′+m2v2→′

Данные равенства являются математической записью закона сохранения импульса.

Закон сохранения импульса выполняется и в том случае, если на тела системы действуют внешние силы, векторная сумма которых равна нулю.

Таким образом, более точно закон сохранения импульса формулируется так:

векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы — величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют или же их векторная сумма равна нулю.

Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.

Пример:

при стрельбе из пушки возникает отдача: снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Почему?

Рис. (3). После выстрела пушка откатывается назад

Снаряд и пушка — замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса. В результате выстрела из пушки импульс самой пушки и импульс снаряда изменятся. Но сумма импульсов пушки и находящегося в ней снаряда до выстрела останется равной сумме импульсов откатывающейся пушки и летящего снаряда после выстрела.

Обрати внимание!

В природе замкнутых систем не существует. Но если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т. п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.

Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.

Великий учёный Исаак Ньютон изобрёл наглядную демонстрацию закона сохранения импульса — маятник, или её ещё называют «колыбель». Это устройство представляет собой конструкцию из пяти одинаковых металлических шаров, каждый из которых крепится с помощью двух тросов к каркасу, а тот в свою очередь — к прочному основанию П-образной формы.

Рис. (4). Устройство для демонстрации закона сохранения импульса, колыбель Ньютона

Маятник Ньютона устроен так, что начальный шар передаёт импульс второму шарику, а затем замирает. Нашему глазу на первый взгляд не заметно, как следующий шарик принимает импульс от предыдущего, мы не можем проследить его скорость. Но, если взглянуть пристальнее, можно заметить, как шарик немножко «вздрагивает». Это объясняется тем, что он совершает движения с посланной ему скоростью, но поскольку расстояние очень маленькое, ему некуда разогнаться, то он может на своём коротком пути передать импульс третьему шарику и в итоге остановиться.

Такое же действие совершает и следующий шарик и т. д. Последнему шарику некуда передавать свой импульс, поэтому он свободно колеблется, поднимаясь на определённую высоту, а затем возвращается, и весь процесс передачи импульсов повторяется в обратном порядке.

Самый яркий пример применения закона сохранения импульса — реактивное движение.

Рис. (4). Шаттл

Источники:

Рис. 1. Направление движения шаров до соударения. © ЯКласс.

Рис. 2. Направление движения шаров после соударения. © ЯКласс.

Рис. 3. После выстрела пушка откатывается назад. © ЯКласс. Пушка. Указание автора не требуется, 2021-08-26, Pixabay License, https://pixabay.com/images/id-159503/

Рис. 4. Устройство для демонстрации закона сохранения импульса, колыбель Ньютона.Указание автора не требуется, 2021-08-26, Pixabay License,https://pixabay.com/images/id-6076266/.

Рис. 5. Шаттл. Указание автора не требуется, 2021-08-26, Pixabay License,https://pixabay.com/images/id-992/

Источник

Начиная с определений импульса и объяснения законов сохранения, в статье показывается способ решения ряда задач, в которых важно только начальное и конечное состояние (но, например, ничего нельзя сказать про время движения), в частности, задач на столкновение тел.

Введение

С помощью законов сохранения многие механические задачи решаются намного проще, чем при использовании динамических уравнений движений. С другой стороны, законами сохранения можно пользоваться только в тех случаях, когда необходимо, зная начальное состояние тела, найти конечное. При данном описании системы невозможно узнать время движения тела и все промежуточные состояния.

Для лучшего понимания темы различных соударений давайте еще раз повторим теорию по законам сохранения в механике.

Самыми распространенными законами сохранения является закон сохранения импульса и энергии.

Импульс

Определение. Импульсом p тела (материальной точки) называется векторная физическая величина, равная произведению массы m на скорость (здесь и далее жирным шрифтом выделены векторные величины).

p = mv.

Изменение импульса можно представить через второй закон Ньютона:

Δp = mΔv = FΔt

Если рассмотреть систему материальных точек, которые движутся с разными скоростями, то импульс задается следующим выражением:

p = m₁v₁+ m₂v₂ + …

Закон сохранения импульса

При отсутствии внешних сил импульс системы материальных точек сохраняется.

Замечание 1. Отсутствие внешних сил означает, что система замкнута.

Замечание 2. Часто в задачах есть внешние силы, но при этом законом сохранения импульса в каком-то виде пользоваться можно.

Внешние силы есть, но они взаимно скомпенсированы (например сила тяжести и сила нормальной реакции опоры при движении по гладкой поверхности).
Внешние силы не имеют проекции на какую-то заданную ось (например, ось ОX), тогда импульс может сохраняться вдоль этого направления.
Если в некоторый момент времени внутренние силы много больше внешних, тогда импульс системы сохраняется (например, разрыв снаряда)

Так как задачи только на закон сохранения достаточно однообразные, то рассмотрим и закон сохранения энергии.

Работа и энергия

Любая механическая система характеризуется скалярной величиной E — энергией, которая однозначно определяет состояние системы. Зная энергию системы в двух состояниях, можно найти работу внешних сил, совершенную над системой:

ΔE = E₂ – E₁ = A.

Механическая работа

Определение. Если на тело, движущееся по прямой, действует постоянная сила F, то механической работой A этой силы на перемещение s называется скалярное произведение

A = (F, s) = |F||s| · cos(α) = Fs · cos(α),

где α — угол между векторами F и s.

Определение. Средняя мощность <P> силы F — это отношение работы А, совершенной силой F за время t, к интервалу времени t.

<P> = A / t.

Мощность также можно переписать так: <P> = Fv · cos(α).

Консервативные и диссипативные силы

Определение.Консервативные силы (потенциальные силы) —это силы, работа которых при перемещении из состояния 1 в состояние 2 не зависит от траектории, а зависит только от начального и конечного положения точек 1 и 2.

Примеры.Работа силы тяжести или электростатических сил не зависит от траектории, следовательно, это консервативные силы.

К диссипативным силам относятся различные виды силы трения.

Замечание. Работа диссипативных сил всегда отрицательна. Следовательно, они уменьшают механическую энергию тела, переводя ее в тепло.

Кинетическая и потенциальная энергия

Определение. Кинетическая энергия тела равна произведению массы тела на квадрат скорости, деленное на два:

Eкин = mv² / 2.

Так как работа консервативных сил зависит только от начального и конечного положения, то для нее можно определить потенциальную энергию.

Потенциальная энергия для силы тяжести определяется следующим выражением:

Eпот = mgh.

Замечание. Для силы тяжести можно легко вывести потенциальную энергию, зная работу силы притяжения.

Другие примеры.Зная силу растяжения или сжатия пружины, легко посчитать потенциальную энергию сжатой (растянутой) пружины:

Eпот = k(x₂ – x₁)² / 2.

Закон сохранения и изменения энергии

Формулировка. Механическая энергия в замкнутой системе сохраняется при отсутствии диссипативных сил:

ΔE = 0

Замечание 1. Механической энергией называется сумма потенциальной и кинетической энергии.

E = Eкин + Епот.

Замечание 2.При наличии консервативных сил может меняться скорость тела (системы тел) и их общая кинетическая энергия, но это будет происходить за счет перехода кинетической энергии в потенциальную.

Формулировка. Изменение механической энергии под действием внешних и внутренних неконсервативных сил равно суммарной работе этих сил А:

ΔE = A.

Теорема об изменении кинетической энергии

Формулировка. Работа всех сил (консервативных и диссипативных) равна изменению кинетической энергии системы.

∑A = ΔEкин.

Замечание. С помощью этой теоремы легко решать многие задачи. Например, рассмотрим задачу о нахождении тормозного пути автомобиля, движущегося со скоростью v = 60 км/ч по дороге с коэффициетом трения μ = 0,5.

Работа силы трения:

A = –μN = –μmgS,

где N — сила нормальной реакции, S — тормозной путь автомобиля.

Изменение кинетической энергии:

ΔE = –mv² / 2.

По теореме о изменении кинетической энергии:

–mv² / 2 = –μmgS.

S = v² / 2gμ = 29 м

Замечание.Скорость необходимо перевести в СИ.

Соударения

Определение. Центральный удар — это соударение 2 тел , при котором скорости каждого из тел направлены вдоль линии, соединяющей центры обоих тел.

Замечание. Если один из шаров покоится, то скорость второго тела должна быть направлена вдоль линии, соединяющей центры тел.

При решении задач на столкновение двух и более тел надо привыкнуть к следующим формулировкам:

Абсолютно упругий удар (упругий удар) — это тип соударения, при котором выполняется закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Часто этот тип соударения применим к железным шарикам.
Неупругий удар — это удар, при котором выполняется закон сохранения импульса и закон изменения механической энергии (так как теряется часть энергии при ударе).
Абсолютно неупругий удар — это удар, при котором два тела продолжают двигаться как единое целое. При этом столкновении выполняется закон сохранения импульса и закон изменения механической энергии.

Замечание. Как мы видим, для решения задач нужно сначала записать соответствующие законы сохранения энергии и импульса или изменения энергии. Далее необходимо решить получившуюся систему уравнений.

Задача 1

Железный шар массы m = 500 г движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с и сталкивается с неподвижным восковым шаром, имеющим массу М = 200 г, после чего оба шара движутся вместе. Найдите количество теплоты, выделившееся при ударе.

Решение. В этой задаче удар абсолютно неупругий, поэтому выполняется закон сохранения импульса (ЗСИ) и изменения энергии.

Запишем ЗСИ на ось OX:

mv = (m + M)V. (1)

Для того, чтобы найти выделившуюся энергию при соударении, необходимо записать закон изменения энергии (ЗИЭ)

ΔE = mv² / 2 — (m + M)V² / 2. (2)

Далее остается только математическая часть задачи — решить систему уравнений (1) и (2). Из (1) найдем V:

V = mv / (M + m).

Подставив в (2), получим:

Замечание. Такую задачу невозможно решить для неупругого удара, при котором тела не слипаются друг с другом, так как нам будет неизвестны скорости двух разлетевшихся тел.

Список литературы

Белолипецкий С. Н., Еркович О. С., Казаковцева В. А., Цвецинская Т. С. Задачник по физике. М., 2005.
Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. М., 2000.

Источник

Закон сохранения импульса на плоскости

Теория
Задачи
Задача 1
Задача 2.
Задача 3.
Задача 4.

Из кодификатора по физике, 2020.
«1.4.3. Закон сохранения импульса: в ИСО

Теория

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела m на его скорость :

— Обозначается буквой , измеряется в килограмм-метр в секунду (кг∙м/с).
— Импульс тела направлен в ту же сторону, что и скорость тела, и наоборот.

Изменение импульса тела

где и $overrightarrow { { p }_{ 0 } }$ — конечный и начальный импульсы тела, и $overrightarrow { { upsilon }_{ 0 } }$ — конечная и начальная скорости тела, m — масса тела.

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов тел $overrightarrow { { p }_{ 1 } } ,overrightarrow { { p }_{ 2 } } ,...,$ входящих в эту систему

где m1, m2, … — массы тел системы, $overrightarrow { { upsilon }_{ 1 } } ,overrightarrow { { upsilon }_{ 2 } } ,...$ — скорости тел системы.

Изменение импульса системы тел

где $overrightarrow { { p }_{ 1 } } ,overrightarrow { { p }_{ 2 } } ,...$ — конечный импульс системы тел, $overrightarrow { { p }_{ 01 } } ,overrightarrow { { p }_{ 02 } } ,...$ — начальный импульс системы тел, m1, m2, … — массы тел системы, $overrightarrow { { upsilon }_{ 1 } } ,overrightarrow { { upsilon }_{ 2 } } ,...$ — конечные скорости тел системы, $overrightarrow { { upsilon }_{ 01 } } ,overrightarrow { { upsilon }_{ 02 } } ,...$ — начальные скорости тел системы.

Импульс силы — векторная физическая величина, равная произведению силы на время t ее действия:

— Обозначается буквой , измеряется в Ньютон на секунду (Н∙с).
— Импульс силы направлен в ту же сторону, что и сила, и наоборот.

Закон сохранения импульса:

в инерциальной системе отсчета (ИСО) векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю.

Задачи на применение закона сохранения импульса тел (системы тел) решайте, придерживаясь следующего плана:

1. Сделайте схематический чертеж. Укажите направления осей координат ОX и ОY.

— Материальную точку изобразите в виде двух прямоугольников (или окружностей) и укажите над ними (если это известно) направления скорости или импульса до и после взаимодействия.
— Индексы скоростей, импульсов на рисунке должны соответствовать индексам скоростей, импульсов в условии.

2. Определите, векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю или нет. Если равна нулю, то запишите закон сохранения импульса тел в векторном виде и в проекциях.

Определите значения проекций всех величин.

3. Решите полученные уравнения.

к оглавлению ▴

Задачи

Задача 1

Два тела движутся по взаимно перпендикулярным пересекающимся прямым, как показано на рисунке. Модуль импульса первого тела p₁ = 4 кг⋅м/с, а второго тела p₂ = 3 кг⋅м/с . Чему равен модуль импульса системы этих тел после их абсолютно неупругого удара?

Решение. Импульс тел изменяет их столкновение. До удара двигались тела отдельно друг от друга. После неупругого удара тела двигались вместе.

Внешних сил нет, поэтому запишем закон сохранения импульса

1 способ (координатный). Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат, и тогда импульс тел (направление которого неизвестно) будет равен (рис. 2, а)

Направление осей OХ и OY показаны на рисунке условия. Запишем уравнение (1) в проекциях на оси:

После подстановки уравнений (3) и (4) в (2) получаем:

2 способ (векторный). Построим треугольник импульсов по уравнению (1) (рис. 2, б). Модуль импульса p после удара найдем по теореме Пифагора

к оглавлению ▴

Задача 2.

По гладкой горизонтальной плоскости движутся вдоль осей X и Y две шайбы с импульсами, равными по модулю p10 = 5 кг·м/с и p20 = 3 кг·м/с (рис. 3). После их соударения первая шайба продолжает двигаться по оси Y в прежнем направлении. Модуль импульса первой шайбы после удара равен p1 = 2 кг·м/с. Найдите модуль импульса второй шайбы после удара. Ответ округлите до десятых.

Решение. Импульс шайб изменяет их столкновение. До удара шайбы двигались отдельно друг от друга. После удара шайбы так же двигались отдельно.

Внешних сил нет, поэтому запишем закон сохранения импульса

1 способ (координатный). Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат, и тогда импульс вто-рой шайбы (направление которого неизвестно) будет равен

Направление осей OХ и OY показаны на рисунке 4. Запишем уравнение (1) в проекциях на оси:

После подстановки уравнений (3) и (4) в (2) получаем:

к оглавлению ▴

Задача 3.

Лодка массой 100 кг плывет без гребца вдоль пологого берега со скоростью 1 м/с. Мальчик массой 50 кг прыгает с берега в лодку со скоростью 2 м/с так, что векторы скорости лодки и мальчика составляют прямой угол. Определите значение и направление скорости лодки (в см/с) с мальчиком. Ответ округлите до целых.

Решение. Скорость лодки изменяет прыжок мальчика. До прыжка двига-лись лодка и мальчик отдельно друг от друга. После прыжка мальчик и лодка двигались вместе.

Векторная сумма внешних сил (силы тяжести и силы реакции опоры) равна нулю, поэтому запишем закон сохранения импульса

1 способ (координатный). Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат, и тогда скорость лодки с мальчиком (направление которой неизвестно) будет равна

Направим ось OХ вдоль начальной скорости лодки, ось OY — вдоль начальной скорости мальчика, т.к. векторы скорости лодки и мальчика составляют прямой угол (рис. 5, а). Запишем уравнение (1) в проекциях на оси:

После подстановки уравнений (3) и (4) в (2) получаем:

Направление скорости υ определим следующим образом (рис. 5, б):

Примечание. Угол α можно было определить и через другие формулы

2 способ (векторный). Построим треугольник импульсов по уравнению (1) (рис. 5, в). Модуль скорости υ после прыжка найдем по теореме Пифагора

Направление скорости υ определим следующим образом (см. рис. 5, в):

к оглавлению ▴

Задача 4.

Летящий снаряд разрывается на два осколка, при этом первый осколок летит со скоростью 50 м/с под углом 90° по отношению к направлению движения снаряда, а второй — со скоростью 200 м/с под углом 30°. Найдите отношение массы первого осколка к массе второго осколка.

Скорость снаряда изменяет взрыв. До взрыва двигался только снаряд. После взрыва осколки снаряда двигались отдельно друг от друга.

Внешних сил нет, поэтому запишем закон сохранения импульса

1 способ (координатный). Направим ось OХ вдоль начальной скорости снаряда, ось OY — вдоль конечной скорости первого осколка (рис. 6, а). Запишем уравнение (1) в проекции на ось:

2 способ (векторный). Построим треугольник импульсов по уравнению (1) (рис. 6, б). Тогда из прямоугольного треугольника получаем

Автор Сакович А.Л.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Закон сохранения импульса на плоскости» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Содержание:

Столкновения:

Наиболее общим явлением, наблюдаемым в природе, является взаимодействие материальных тел. Бильярдные шары, сближаясь, в момент соприкосновения взаимодействуют друг с другом. В результате этого меняются скорости шаров, их кинетические энергии. О таком взаимодействии шаров говорят как об их столкновениях.

Но понятие «столкновение» относится не только к взаимодействиям, происходящим в результате соприкосновения материальных тел. Комета, прилетевшая из отдаленных областей пространства и прошедшая в окрестности Солнца, меняет свою скорость и удаляется. Этот процесс также является столкновением. хотя непосредственного соприкосновения между кометой и Солнцем не произошло, а осуществлено оно было посредством сил тяготения.

Характерная особенность этого взаимодействия, дающая нам возможность рассматривать его как столкновение, заключается в том, что область пространства, в котором оно произошло, относительно мала. Заметное изменение скорости кометы происходит вблизи Солнца (рис. 129).

Приведенные примеры позволяют нам дать следующее определение столкновения.

Что такое столкновение

Столкновением называется взаимодействие двух и большего числа тел, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени. Вне этого промежутка времени можно говорить о начальных и конечных импульсах тел, когда тела можно считать невзаимодействующими.

Столкновение материальных тел часто называется ударом. Удар определяется как процесс, при котором изменяются импульсы соударяющихся тел без существенного изменения их положений. Это частный случай столкновения, например столкновение шаров, шайб, автомобилей и т. п.

Процессы столкновения являются чрезвычайно сложными. Например, при столкновении двух шаров в момент их соприкосновения начинается деформация шаров. В результате часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем энергия деформации снова превращается в кинетическую, однако не полностью — часть энергии превращается во внутреннюю. Кроме того, после столкновения шары будут вращаться по иному, чем до столкновения.

Главный интерес при рассмотрении столкновений заключается в знании не самого процесса, а результата. Ситуация до столкновения называется начальным состоянием, а после — конечным. Между величинами, характеризующими начальное и конечное состояния, соблюдаются определенные соотношения. независящие от детального характера взаимодействия. Такими величинами. в частности, являются импульс и энергия системы тел.

В зависимости от характера изменения кинетической энергии тел все столкновения делятся на упругие и неупругие.

Если при столкновении кинетическая энергия тел сохраняется, то столкновение называется упругим, если же не сохраняется — неупругим.

Рассмотрим вначале абсолютно неупругое столкновение (абсолютно неупругий удар). Это частный случай неупругого столкновения, при котором после столкновения тела «слипаются» и движутся вместе.

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета первое тело массой m₁движется до столкновения со скоростью υ₁, а второе тело массой m₂ — со скоростью υ₂. Следовательно, импульсы тел до столкновения равны соответственно:

Процесс столкновения обычно наглядно представляют с помощью векторной диаграммы импульсов (рис. 130). Нетрудно убедиться, что кинетическая энергия системы не сохраняется. До столкновения она составляет:

после столкновения —

Изменение кинетической энергии:
(2)

Для расчета выберем оси координат так, как показано на рисунке 130, и спроектируем на них равенство (1). B результате получим:

Рис. 130

Отсюда легко находится квадрат скорости тел после столкновения:

Подставив полученное выражение в (2), получим после несложных преобразований:

Как видно, кинетическая энергия системы уменьшилась. Часть кинетической энергии превратилась в теплоту.

Если тела при столкновении не «слипаются», то скорости тел после столкновения можно найти из закона сохранения импульса:

где штрихом отмечены импульсы тел после столкновения.

При этом кинетическая энергия может как уменьшаться, так и увеличиваться. Последнее происходит, например, при различных взрывах. В этом случае часть внутренней энергии превращается в кинетическую энергию осколков.

Как уже отмечалось, при упругом столкновении выполняется закон сохранения импульса и механической энергии.

Рассмотрим вначале лобовое столкновение, т. е. такое столкновение, при котором импульсы тел до и после столкновения параллельны некоторой прямой. Эту прямую мы примем за ось Ox (рис. 131). Закон сохранения импульса в этом случае примет вид:

а закон сохранения кинетической энергии —

Из этих уравнений найдем скорости тел после удара. Для этого перепишем (3) и (4) следующим образом:

Воспользовавшись тем, что a² — b² = (a-b)(a + b), из выражений (5) и (6) легко получить:

Выразив отсюда, например, и подставив его в (5), после несложных преобразований находим:

Аналогично:

Проекции импульсов тел после столкновения равны соответственно:

Проанализируем полученные выражения для некоторых частных случаев.
Предположим, что тело 2 до столкновения покоилось, т. е. .

Тогда

При равных массах тел m₁ = m₂получим:

Значит, первое тело остановится, а второе придет в движение с таким же импульсом.

Теперь предположим, что масса второго тела намного больше массы первого. Тогда, пренебрегая m₁ по сравнению с m₂, получим:

Значит, первое тело отскочит назад с таким же по модулю импульсом, а тело 2 получит импульс, равный удвоенному значению импульса первого тела.

Найдем кинетическую энергию тел после столкновения для случая, когда = 0:

(10)

где K₁ — кинетическая энергия первого тела до столкновения.

Из полученных выражений следует, что при m₁ = m₂ первое тело останавливается, а второе приобретает ту же энергию. Если масса второго тела m₂ намного больше массы первого m₁ то из (10) и (11) следует, что , . Значит, кинетическая энергия первого тела не изменяется, а второе тело получает импульс, но его энергия не изменяется.

Заказать решение задач по физике

Главные выводы:

Столкновением называется взаимодействие двух и большего числа тел, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени.
Удар определяется как процесс, при котором изменяются импульсы соударяющихся тел без существенного изменения их положений.
Столкновение тел называется упругим, если кинетическая энергия тел сохраняется. При неупругом столкновении кинетическая энергия тел не сохраняется.
При столкновениях тел выполняется закон сохранения импульса.

Определение столкновения

Законы сохранения энергии и импульса позволяют провести теоретическое исследование процессов столкновения тел без описания сил, действующих между ними.

Под столкновениями понимают механические процессы взаимодействия между телами, происходящие за очень короткий промежуток времени. При этом силы взаимодействия между сталкивающимися телами настолько велики, что внешними силами, действующими на систему, можно пренебречь.

Вследствие того, что длительность столкновения мала по сравнению со временем наблюдения, различают механические состояния до и после столкновения, причем тела, находящиеся на большом расстоянии друг от друга, считают свободными.

Длительность столкновения бильярдных шаров что намного меньше характерного времени движения шаров по столу
Различают упругие (абсолютно упругие) и неупругие столкновения. В первом случае не происходит выделения теплоты, и механическая энергия сохраняется. Во втором случае выделяется некоторое количество теплоты, поэтому механическая энергия после столкновения уменьшается.

Примером упругих столкновений служат столкновения металлических шаров, а примером неупругих — столкновения пластилиновых шаров, которые при этом слипаются и продолжают движение как одно целое.

Для макроскопических тел в большей степени характерными являются неупругие столкновения, в то время как для физики элементарных частиц, ядер атомов, молекул определяющую роль играет упругое взаимодействие.

Если в процессе столкновения тел на них не действуют внешние силы, то к телам применим закон сохранения импульса, а во многих случаях — и закон сохранения механической энергии. Именно эти законы позволяют, зная скорости тел до столкновения, определить их скорости после столкновения, совершенно не интересуясь тем, что происходило во время него.

При абсолютно неупругом столкновении скорости обоих взаимодействующих тел оказываются одинаковыми. Примером таких тел являются тела из различных пластичных веществ. Такое столкновение можно наблюдать, если подвесить тары из пластилина, развести их в разные стороны и отпустить. После столкновения они оба будут двигаться вместе с одинаковой скоростью.

При абсолютно упругом столкновении в обоих телах не остается никаких деформаций. Кроме того, вся кинетическая энергия, которой тела обладали до столкновения, снова превращается в кинетическую энергию. Примерами таких тел являются шары из стали или слоновой кости.
Рассмотрим простейшее столкновение — центральное, когда скорости тел находятся на линии, соединяющей их центры. Очень часто такое столкновение называют лобовым.

Скорость движения после абсолютно неупругого столкновения тел массами движущихся до столкновения со скоростями можно определить из закона сохранения импульса:

Откуда находим

Определим «потери» механической энергии, найдя кинетическую энергию
тел до столкновения:

и после столкновения:

Тогда часть механической энергии, перешедшая во внутреннюю, определяется выражением:

Следовательно, она зависит от масс сталкивающихся тел и относительной скорости их движения до столкновения.

Задача о центральном абсолютно неупругом столкновении впервые была решена Дж. Валлисом в 1669 г.
При абсолютно упругом столкновении двух тел массами на основании закона сохранения импульса и закона сохранения энергии можно записать

Здесь — скорости тел до столкновения, — после столкновения.

Преобразуем систему уравнений (3), перенеся в правую часть все величины, относящиеся к первому телу, а в левую — ко второму:

Разделив второе уравнение на первое, получим

Перепишем это уравнение в виде .

Из него следует, что при центральном абсолютно упругом столкновении тел любой массы их относительная скорость до и после столкновения не изменяется.

Теперь можно дать еще одно определение неупругого столкновения: если относительная скорость тел при центральном столкновении изменяется, то такое столкновение называется неупругим.

Меру неупругости k можно определить как отношение относительных скоростей сталкивающихся тел после и до столкновения:

Она называется коэффициентом восстановления и впервые была измерена Ньютоном в 1687 г. В частности, Ньютон получил значения коэффициента для стали k = 0,55 и стекла k = 0,94, которые приводят и современные справочники.

Абсолютно неупругим является столкновение, при котором скорости тел после столкновения равны т. е. k = 0.
Решая уравнение (4) совместно с первым уравнением системы (3), находим скорости тел после столкновения:

На самом деле при столкновении всегда происходят «потери» механической энергии, т. е. переход части ее в теплоту. Но при малых «потерях» действительный процесс достаточно хорошо описывается абсолютно упругим столкновением.

Задача о центральном абсолютно упругом столкновении впервые была решена X. Гюйгенсом и К. Реном в 1669 г.
Отметим, что осуществить центральное, или лобовое, столкновение на практике очень трудно. Подавляющее число столкновений являются нецентральными.