Как найти импульс тела через кинетическую энергию

Определение

Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:

p = mv

Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).

Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости (p↑↓v), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).

Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:

10 г = 0,01 кг

Импульс равен:

p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)

Относительный импульс

Определение

Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:

p_1отн2 = m₁v_1отн2 = m₁(v₁ – v₂)

p_1отн2 — импульс первого тела относительно второго, m₁ — масса первого тела, v_1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v₁ и v₂ — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.

Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.

Сначала переведем единицы измерения в СИ:

15 т = 15000 кг

p_1отн2 = m₁(v₁ – v₂) = 15000(20 – 15) = 75000 (кг∙м/с) = 75∙10³ (кг∙м/с)

Изменение импульса тела

ОпределениеИзменение импульса тела — векторная разность между конечным и начальным импульсом тела:

∆p = p – p₀ = p + (– p₀)

∆p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p₀ — начальный импульс тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар
	Конечная скорость после удара: v = 0. Конечный импульс тела: p = 0. Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса: ∆p = p0.
Абсолютно упругий удар
	Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p.
Пуля пробила стенку
	Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов: ∆p = p0 – p = m(v0 – v)
Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов
	Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p = 2mv0
Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали
	Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Угол падения равен углу отражения: α = α’ Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:

Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.

В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.

Вычисляем:

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:

Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:

Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:

Или:

F∆t — импульс силы, ∆p — изменение импульса тела

Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?

Из формулы импульса силы выразим модуль силы:

Реактивное движение

Определение

Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.

Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

Реактивная сила:

Второй закон Ньютона для ракеты:

Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.

Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:

V = a∆t

Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:

Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:

Отсюда ускорение равно:

Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:

Суммарный импульс системы тел

Определение

Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:

Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.

Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульсаПолный импульс замкнутой системы сохраняется:

Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:

Важно!

При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Неупругое столкновение с неподвижным телом	m1v1 = (m1 + m2)v
Неупругое столкновение движущихся тел	± m1v1 ± m2v2 = ±(m1 + m2)v
В начальный момент система тел неподвижна	0 = m1v’1 – m2v’2
До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью	(m1 + m2)v = ± m1v’1 ± m2v’2

Сохранение  проекции импульса

В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.

Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.

Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:

m₂v₂ = (m₁ + m₂)v

Отсюда скорость равна:

Алиса Никитина | Просмотров: 20.2k

В этой главе…

• Измеряем количество движения
• Вычисляем импульс
• Выясняем связь между силой и изменением импульса
• Разбираемся с законом сохранения импульса
• Знакомимся с разными типами столкновений

Эта глава посвящена понятиям, которые следует учитывать при изучении движения объектов, а именно с импульсом и моментом импульса. Оба эти понятия играют большую роль в двух разделах механики: кинематике, посвященной изучению движения объектов, и динамике, посвященной изучению взаимодействия объектов. Владея этими понятиями, можно легко описывать поведение объектов при столкновениях: с какой скоростью продолжат движение сталкивающиеся объекты (не хотелось бы, чтобы на их месте были ваш автомобиль или велосипед), в каком направлении продолжит движение теннисный мячик после столкновения с ракеткой, насколько глубоко дротик для игры в дартс вонзится в мишень и т.п. Чтобы получить ответы на эти и многие другие вопросы, нужно очень хорошо представлять себе, что такое импульс и момент импульса. Описанию именно этих понятий и посвящается данная глава.

Изучаем количество движения

В физике импульсом называется количество движения, которое приобретает тело под действием заданной силы за определенное время. Играя в бильярд, нетрудно убедиться в разнообразных проявлениях импульса. Чем сильнее и быстрее удар кия по шару, тем интенсивнее движется шар. Чем больше столкновений испытает шар, тем менее интенсивным становится его движение.

В повседневных ситуациях мы привыкли говорить, что тому или иному объекту или событию придают импульс. Рассмотрим процесс передачи импульса более подробно на примере бильярдного кия и шара. Процесс передачи импульса начинается в момент ​( t_0 )​ первого соприкосновения кия с шаром и заканчивается в момент ​( t_1 )​ утраты контакта между кием и шаром. В общем зависимость силы воздействия кия на шар от времени имеет сложный характер. Однако доя простоты можно положить, что она линейно возрастает от нулевого значения в момент ( t_0 ) первого соприкосновения, достигает максимального значения в момент наибольшего контакта, а потом снижается до нуля в момент ( t_1 ) утраты контакта между кием и шаром. Эта идеализированная зависимость силы взаимодействия кия и шара от времени графически показана на рис. 9.1.

Время взаимодействия кия и шара очень мало (несколько долей секунды), и зафиксировать характер изменения силы можно только с помощью очень точного оборудования. Обычно физики используют не точные мгновенные значения, а усредненные величины. Например, в данном примере приобретенный шаром импульс ​( mathbf{p} )​ равен произведению средней силы взаимодействия ​( mathbf{overline{F}} )​ и времени взаимодействия ​( Delta{t}=t_1-t_0 )​:

Обратите внимание, что эта формула связывает векторы силы и импульса. Действительно, импульс — это вектор, обладающий некоторой величиной и направлением, совпадающим с направлением силы, например результирующей векторной суммы всех действующих на объект сил.

Из этой формулы ясно, что изменение импульса измеряется в системе СИ в ньютонах в секунду (Н·с), а в системе СГС — в динах-секундах (дин·с).

Получаем импульс

Изменение импульса (т.е. определенного количества движения) объекта означает изменение характера его движения. Причем это изменение зависит от массы и скорости объекта, поскольку импульс равен произведению скорости и массы объекта. Импульс является очень важной физической концепцией, которая используется не только в начальном курсе физики, но и в некоторых очень сложных разделах физики, например в физике элементарных частиц, где компоненты атомов носятся с огромными скоростями. Именно на основании анализа импульсов до и после столкновения элементарных частиц ученые могут делать выводы о поведении субатомного мира.

Общая идея импульса понятна даже тем, кому незнакомо это понятие. Не так уж легко остановить тележку, которая катится по склону горы. Дело в том, что тележка массивна и обладает большой скоростью. Еще труднее остановить огромный нефтяной танкер. Порой для полной остановки крупного танкера требуется около 30 км тормозного пути! И все это из-за огромного импульса, которым он обладает.

Чем больше масса движущегося объекта (представьте себе огромный танкер) и чем больше скорость объекта (представьте себе быстро плывущий танкер), тем больше импульс объекта.

Итак, импульс объекта равен:

Как видите, импульс — это вектор с определенной величиной и направлением (о векторах подробнее рассказывается в главе 4). Импульс, как и количество движения, измеряется в системе СИ в ньютонах в секунду (Н·с), а в системе СГС — в динах-секундах (дин·с).

Связываем работу силы и изменение импульса

Придать объекту импульс так же просто, как ударить клюшкой для гольфа по мячу. Достаточно применить элементарные алгебраические преобразования ко второму закону Ньютона и мы получим связь между работой силы и изменением импульса. С чего начать? Начнем со связи силы и скорости. Как известно, ускорение определяется следующей формулой:

где ​( Delta{v} )​ — это изменение скорости за промежуток времени ( Delta{t} ), ​( v_0 )​ — это начальная скорость в момент времени ( t_0 ), a ​( v_1 )​ — это конечная скорость в момент времени ( t_1 ). Теперь, если умножить обе части этой формулы на массу объекта ​( m )​, то слева получим:

Теперь, чтобы получить связь силы с импульсом объекта, умножим эту формулу на промежуток времени ( Delta{t} ) и получим:

Посмотрите повнимательнее на правую часть формулы ​( m(v_1-v_0) )​. Поскольку импульс объекта с массой ​( m )​ равен ​( p=mv )​, то эта часть формулы выражает разницу конечного ​( p_1=mv_1 )​ и начального ( p_0=mv_0 ) импульса, т.е.:

Следовательно, в итоге получим:

Итак, справа имеем силу, умноженную на промежуток времени ее действия, т.е. ​( FDelta{t} )​, а слева — изменение импульса ​( Delta{p} )​. Убирая промежуточные выкладки, получим искомую формулу связи силы и изменения импульса объекта:

Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы за то же время. (Его не следует путать с понятием импульс объекта ​( p=mv )​. Применение обоих этих понятий часто приводит к путанице, и потому понятие импульс силы используется довольно редко. — Примеч. ред.)

Пример: вычисляем импульс бильярдного шара

С помощью приведенных выше уравнений можно связать действующую на объект силу и приобретенный им импульс. Попробуем применить полученные знания при игре в бильярд. Допустим, что время контакта кия с бильярдным шаром приблизительно равно 5 мс (1 миллисекунда, или сокращенно 1 мс, равна 10^-3 с). Насколько нужно изменить импульс неподвижного бильярдного шара, чтобы загнать его в лузу с отскоком от боковой стенки?

Пусть шар имеет массу 200 г (т.е. 0,2 кг). Допустим, что путем тщательных замеров и вычислений стало известно, что для попадания в лузу с отскоком от боковой стенки шару нужно приобрести скорость 20 м/с. Какую силу нужно приложить к кию для выполнения этой задачи?

Итак, в начальный момент времени шар покоится, т.е. начальная скорость ​( v_0 )​ = 0, а его конечная скорость ( v_1 ) должна быть равна 20 м/с. Вычислим необходимое изменение импульса по уже известной нам формуле:

Подставив значения получим:

Итак, необходимо изменить импульс шара на 4 кг·м/с. Вычислим, какую силу нужно для этого приложить за промежуток времени 5 мс по известной формуле:

откуда

Подставив значения, получим:

Итак, чтобы загнать бильярдный шар в лузу с отскоком от боковой стенки нужно прилагать к кию силу 800 Н в течение 5 мс.

Пример: определяем импульс капель дождя

После триумфальной демонстрации своих физических познаний в бильярдной попробуем использовать их в более привычной ситуации. Предположим, что на обратном пути домой внезапно начался дождь. Не беда, ведь под рукой есть зонт. Допустим, что на раскрытый зонт ежесекундно со средней скоростью около 10 м/с падает приблизительно 100 г капель воды. Вопрос: с какой силой нужно удерживать зонт массой 1 кг, чтобы удержать его под таким дождем?

Чтобы удержать зонт даже в отсутствие дождя, потребуется сила, равная весу зонта, то есть:

А как же подсчитать воздействие капель дождя? Предположим, что капли после падения на зонт почти мгновенно стекают по его почти горизонтальной поверхности. Даже в этом случае нам нужно учесть не только их массу, но и уменьшение скорости из-за встречи с зонтом. Действительно, летящие капли имеют начальную скорость 10 м/с, а после падения на зонт останавливаются, т.е. приобретают нулевую конечную скорость. Итак, имеем изменение импульса капель дождя, вызванное взаимодействием с зонтом. Попробуем оценить это изменение с помощью известной формулы:

Подставляя значения, получим:

Такое изменение импульса капель происходит ежесекундно. Свяжем теперь его с известной нам формулой:

Подставив значения, получим:

Итак, помимо силы 9,8 Н для удержания сухого зонта потребуется еще дополнительная сила 1 Н для компенсации торможения капель, т.е. всего потребуется сила 10,8 Н.

Наибольшую трудность при вычислениях изменения импульса под действием силы вызывает оценка времени действия этой силы. Поэтому при решении задач, связанных с изменением импульса, при столкновениях объектов обычно стремятся использовать другие параметры процесса, например скорость до и после столкновения, избегая оценок трудновычислимых параметров.

Изучаем закон сохранения импульса

Согласно этому закону, в изолированной системе без внешних сил общий импульс всех объектов системы до столкновений между ними равен общему импульсу всех объектов системы после столкновений между ними.

Если для анализа импульсов взаимодействующих объектов использовать приведенные выше формулировки с указанием силы и времени ее действия, то на это придется затратить чрезвычайно много усилий. Закон сохранения импульса позволяет избежать этих сложностей. Дело в том, что, применяя этот закон, можно полностью исключить из рассмотрения силы и время их действия.

Допустим, что два беспечных пилота космических кораблей А и Б не смогли избежать лобового столкновения своих машин. Во время столкновения корабль Б воздействовал на корабль А со средней силой ​( F_{АБ} )​. Согласно известной формуле о связи между силой и изменением импульса, получим для корабля А:

где ​( m_{А} )​ — это масса корабля A, ( v_{А1} ) — скорость корабля А после столкновения и ( v_{А0} ) — скорость корабля А до столкновения.

Аналогично, во время столкновения корабль А воздействовал на корабль Б со средней силой ( F_{БА} ). Опять по известной формуле о связи между силой и изменением импульса, получим для корабля Б:

где ( m_{Б} ) — это масса корабля Б, ( v_{Б1} ) — скорость корабля Б после столкновения и ( v_{Б0} ) — скорость корабля Б до столкновения.

Сложим оба последних равенства и получим следующее уравнение:

Опустим промежуточные выкладки и оставим только крайние левую и правую части этого равенства. Причем в правой части соберем отдельно члены начального и конечного состояний и получим:

Сумма ​( m_Av_{A1}+m_Бv_{Б1} )​ означает суммарный конечный импульс ( p_{1}=p_{A1}+p_{Б1} ) двух кораблей после столкновения, а сумма ( m_Av_{A0}+m_Бv_{Б0} ) — суммарный начальный импульс ( p_{0}=p_{A0}+p_{Б0} ) двух кораблей до столкновения. Следовательно, последнее уравнение можно переписать в следующем виде:

Если теперь ввести обозначение ​( sum!{F} )​ для суммы этих двух сил ​( F_{АБ}+F_{БА} )​, то получим:

При работе с изолированной, или замкнутой, системой объектов внешних сил нет. Именно такая ситуация рассматривается в данном примере.

Если два космических корабля столкнутся при отсутствии внешних сил, то согласно третьему закону Ньютона, ​( F_{АБ}=-F_{БА} )​. Иначе говоря, в замкнутой системе имеем:

А это означает, что:

Это равенство означает, что в изолированной системе без внешних сил начальный импульс двух сталкивающихся объектов до их столкновения равняется конечному импульсу после столкновения, что соответствует закону сохранения импульса.

Извлекаем тепло из суммарного импульса.

Всегда ли сохраняется суммарный импульс объектов при их лобовом столкновении и сцеплении? В реальном мире далеко не всегда. Дело в том, что часто при столкновениях объектов они необратимо деформируются и часть их кинетической энергии расходуется на необратимую деформацию и рассеивается в виде тепловой энергии. Однако для точного расчета такого преобразования кинетической энергии в тепловую требуется учесть много других сложных физических процессов. Эти процессы обычно не рассматриваются в начальном курсе физики, а тем более в этом курсе.

Измеряем скорость с помощью закона сохранения импульса

Попробуем применить закон сохранения импульса для расчета некоторых параметров движения. Предположим, что при игре в хоккей игрок А с массой 100 кг решил применить силовой прием против другого неподвижного игрока Б тоже с массой 100 кг (который оказался его братом-близнецом). Для этого игрок А разогнался до скорости 11 м/с, грубо толкнул игрока Б и, схватив его руками, устроил потасовку. С какой скоростью будут двигаться оба сцепившихся руками игрока после столкновения?

Будем считать, что в данном примере мы имеем дело с замкнутой системой (см. предыдущий раздел), поскольку мы пренебрегаем всеми внешними силами, включая силу трения. Хотя в вертикальном направлении на хоккеистов со стороны ледяного катка действует нормальная сила (подробнее о ней см. в главе 6), но она равна по величине весу игроков и противоположна по направлению и в сумме дает нуль.

Итак, рассмотрим горизонтальные проекции импульсов игроков. Согласно закону сохранения импульса, имеем:

Подставим в эту формулу массу и начальную скорость игроков (на самом деле нужно подставить массу ​( m_А )​ и начальную скорость ​( v_{А0} )​ только игрока А, поскольку игрок Б имел нулевую начальную скорость):

Конечный импульс ​( p_1 )​ должен быть равен произведению общей массы ​( m_А+m_Б )​ игроков на их конечную скорость ​( v_{АБ1} )​, т.е. получаем:

Из двух последних уравнений получаем:

откуда легко можно выразить конечную скорость ( v_{АБ1} ):

Подставляя значения, получим:

Конечная скорость двух игроков равна половине начальной скорости одного игрока. Этого следовало ожидать, ведь масса движущихся объектов увеличилась вдвое, а поскольку импульс сохраняется, то скорость должна уменьшиться во столько же раз.

Измеряем начальную скорость пули с помощью закона сохранения импульса

Закон сохранения импульса очень удобно использовать для определения скорости объекта, если ее нельзя или очень трудно измерить с помощью секундомера. Предположим, что изготовитель пуль хочет знать, какой будет начальная скорость новой пули. Как ему поступить? Для решения этой задачи ему предложили использовать приспособление, показанное на рис. 9.3.

Как оно может помочь? Оказывается, что если выстрелить пулей с массой ​( m )​ в массивную деревянную мишень с массой ​( M )​ и пуля застрянет в мишени, то, как и в примере с хоккеистами, конечная скорость мишени с пулей ​( v_1 )​ будет зависеть от начальной скорости пули ( v_0 ). Как именно? Для конкретного ответа на этот вопрос попробуем использовать закон сохранения импульса.

Итак, начальный суммарный импульс пули и мишени равен:

Поскольку пуля застряла в мишени, то конечный суммарный импульс пули и мишени равен:

Если пренебречь потерями энергии на преодоление трения при попадании пули в мишень, то согласно закону сохранения импульса, эти два импульса должны быть равны:

Тогда:

и искомая начальная скорость равна:

Итак, остается только определить конечную скорость ​( v_1 )​ мишени с застрявшей в ней пулей. Для этого нужно вспомнить закон сохранения энергии, который описывается в главе 8. Ведь после попадания пули мишень отклонится и поднимется на некоторую максимальную высоту ​( h )​, на которой ее скорость станет равной нулю. В этой точке ее кинетическая энергия ​( frac{(m+M)v^2_1}{2} )​ преобразуется в потенциальную ​( (m+M)gh )​. Итак, согласно закону сохранения энергии получим:

Откуда легко вывести формулу для конечной скорости мишени с застрявшей в ней пулей ​( v_1 )​:

Подставим эту формулу в прежнее выражение для искомой начальной скорости пули:

и получим:

Пусть пуля имеет массу 50 г, деревянная мишень — 10 кг, а после попадания пули в нее мишень отклонилась и поднялась на максимальную высоту 0,5 м. Подставляя значения в приведенную выше формулу, получим:

Таким образом, мы определили начальную скорость пули. Изготовитель пуль будет просто в восторге от такого простого и удобного способа.

Упругие и неупругие столкновения

Изучение физики на примере столкновений разных тел — это очень интересное и увлекательное занятие. Во многом это объясняется тем, что многие вычисления значительно упрощаются благодаря закону сохранения импульса (более подробно он рассматривается в предыдущих разделах этой главы). Однако, как мы уже убедились в предыдущих примерах, в некоторых столкновениях одного этого закона недостаточно и нужно применять закон сохранения энергии. Это особенно полезно для анализа столкновений объектов со скоростями, векторы которых направлены не вдоль одной прямой (как в предыдущих примерах), а лежат в одной плоскости.

В реальной жизни такие ситуации происходят сплошь и рядом. Например, при изучении причин дорожно-транспортного происшествия часто требуется проанализировать начальные и конечные скорости столкнувшихся автомобилей. При сортировке вагонов нужно учитывать начальные и конечные скорости сталкивающихся вагонов и составов.

Что происходит в таких столкновениях, если столкнувшиеся объекты не “слипаются” друг с другом? Рассмотрим более общий пример: пусть два бильярдных шара сталкиваются дуг с другом с разными скоростями, направленными друг к другу под произвольным углом. Как определить их величину и направление их скоростей после столкновения? Для этого потребуется не только закон сохранения импульса, но и закон сохранения энергии.

Когда сталкивающиеся объекты отскакивают друг от друга: упругие столкновения

В реальном мире при столкновении тел всегда наблюдаются потери энергии на деформацию и рассеивание тепла. В некоторых случаях эти потери столь малы, что ими можно пренебречь, как, например, при столкновении двух бильярдных шаров. В физике такие столкновения с сохранением кинетической энергии сталкивающихся объектов называют упругими столкновениями. Итак, в упругом столкновении сохраняется общая кинетическая энергия замкнутой системы объектов, т.е. суммарная кинетическая энергия после столкновения равна суммарной кинетической энергии до столкновения.

Когда сталкивающиеся объекты не отскакивают друг от друга: неупругие столкновения

Если во время столкновения объектов какая-то часть энергии тратится на работу каких-то неконсервативных сил (например, на преодоление силы трения, деформацию и т.п.), то кинетическая энергия системы не сохраняется. Она частично преобразуется в другие формы энергии. Такие столкновения в физике называют неупругими столкновениями. Итак, в неупругом столкновении общая кинетическая энергия замкнутой системы объектов не сохраняется, т.е. суммарная кинетическая энергия после столкновения не равна суммарной кинетической энергии до столкновения. Примеры неупругих столкновений можно наблюдать в дорожно-транспортных происшествиях, когда столкнувшиеся машины деформируют друг друга или даже сцепляются и движутся как единое целое.

Совсем не обязательно, чтобы после неупругого столкновения объекты сцеплялись друг с другом. Достаточно, чтобы часть кинетической энергии “утрачивалась”, т.е. переходила в другую форму, например в тепловую энергию. Неупругое столкновение внешне может быть очень похоже на упругое столкновение, например при касательном столкновении двух машин с образованием легких повреждений. На образование этих повреждений необратимо тратится часть кинетической энергии, но машины могут независимо продолжить движение.

Упругие столкновение на прямой

Итак, мы уже выяснили, что при упругом столкновении кинетическая энергия сталкивающихся объектов сохраняется. Проще всего изучать особенности упругого столкновения, когда векторы скоростей находятся на одной прямой. Рассмотрим идеализированный пример столкновения двух машин с совершенно упругими (т.е. недеформирую- щимися) бамперами, которые движутся по прямой.

Упругое столкновение с более тяжелым объектом

Предположим, что вы решили прокатиться на автомобиле А с массой 300 кг и на скорости около 10 м/с столкнулись с внезапно остановившимся перед вами другим автомобилем Б с массой 400 кг. Какими будут скорости обоих автомобилей после их упругого столкновения?

Итак, до столкновения автомобиль А с массой ​( m_А )​ = 300 кг имел начальную скорость ​( v_{А0} )​ = 10 м/с, а автомобиль Б с массой ( m_Б ) = 400 кг — начальную скорость ( v_{Б0} ) = 0. Если считать систему двух автомобилей замкнутой, то их общий импульс должен сохраняться, то есть:

где ( v_{А1} ) — это конечная скорость автомобиля А после столкновения, a ( v_{Б1} ) — это конечная скорость автомобиля Б после столкновения.

У нас есть одно уравнение с двумя неизвестными ( v_{А1} ) и ( v_{Б1} ). Чтобы их найти, нужно иметь еще одно уравнение, связывающее эти неизвестные. Как насчет кинетической энергии? Действительно, поскольку столкновение было упругим, то кинетическая энергия объектов должна сохраняться, т.е. должно выполняться равенство:

Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестных величины. С помощью простых алгебраических операций можно легко получить выражения для неизвестных скоростей ( v_{А1} ) и ( v_{Б1} ):

и

Подставляя значения в обе эти формулы, получим:

и

Анализируя полученные значения, можно легко восстановить ход событий. Итак, автомобиль А на скорости 10 м/с столкнулся с неподвижным автомобилем Б. После столкновения автомобиль А отскочил назад (об этом свидетельствует отрицательный знак конечной скорости ( v_{А1} )) со скоростью 1,43 м/с, а автомобиль Б начал движение вперед со скоростью 8,57 м/с. Автомобиль А легче автомобиля Б, а что если бы было наоборот?

Упругое столкновение с более легким объектом

Предположим, что в предыдущем примере движущийся автомобиль А тяжелее неподвижного автомобиля Б. Пусть автомобиль А с массой 400 кг на скорости около 10 м/с сталкивается с внезапно остановившимся перед вами другим автомобилем Б с массой 300 кг. Вопрос остается прежним: какими будут скорости обоих автомобилей после их упругого столкновения?

Итак, до столкновения автомобиль А с массой ​( m_А )​ = 400 кг имеет начальную скорость ​( v_{А0} )​ = 10 м/с, а автомобиль Б с массой ( m_Б ) = 300 кг — начальную скорость ( v_{Б0} ) = 0. Используем уже известные нам формулы скоростей ( v_{А1} ) и ( v_{Б1} ):

и

Подставим в них новые значения и получим:

и

Как видите, более тяжелый движущийся автомобиль А после столкновения с более легким автомобилем Б смог продолжить движение в том же направлении, но с меньшей скоростью. Причем часть своего импульса он передал более легкому автомобилю Б.

Упругие столкновения в одной плоскости

Столкновения объектов не всегда происходят по прямой линии. Например, бильярдные шары сталкиваются так, что векторы их скоростей могут быть направлены не вдоль одной прямой, а находится в одной плоскости под произвольным углом друг к другу. В этом случае нужно учитывать не только величину, но и направление скорости. Пусть во время игры в гольф два игрока одновременно (простим им это нарушение правил) ударяют по разным мячам А и Б, мячи упруго сталкиваются и продолжают движение, как показано на рис. 9.4. Какими будут скорости мячей после столкновения?

Попробуем решить эту задачу, учитывая, что мячи имеют одинаковую массу ​( m )​ = 46 г. Мяч А имеет начальную скорость ( v_{А0} ) = 1,0 м/с, а мяч Б — начальную скорость ( v_{Б0} ) = 2,0 м/с. Кроме того, пусть нам известны направления векторов начальных скоростей обоих мячей (см. рис. 9.4).

Для решения задачи нам потребуются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Поскольку столкновение считается упругим, то кинетическая энергия системы сохраняется, т.е. согласно закону сохранения энергии, имеем:

или в более простой форме:

Если подставить вместо скоростей их компоненты по осям X и Y, то получим:

Так как трение здесь не учитывается, то в процессе столкновения внутренние силы упругого взаимодействия мячей направлены только по вертикальной оси Y. Эти силы не изменяют компоненты импульсов мячей по горизонтальной оси X:

и

Отсюда следует, что компоненты скоростей мячей по горизонтальной оси X после столкновения тоже не изменяются:

и

(То есть компоненты скоростей мячей по горизонтальной оси X в результате столкновения не изменились.)

Соотношение, полученное ранее из закона сохранения энергии:

с учетом постоянства компонент скоростей по оси X теперь будет иметь следующий вид:

или (поскольку ​( v_{Б0у} )​ = 0);

Согласно закону сохранения импульса, для компонент импульса по вертикальной оси Y имеем​( mv_{А1у}+mv_{Б1у}=mv_{А0у}+mv_{Б0у} )​ или в более простой форме (поскольку ​( v_{Б0у} )​ = 0):

Из двух последних равенств нетрудно получить выражения для компонент скоростей по вертикальной оси Y:

и

Как видите, при таком упругом столкновении у мячей остались прежними их компоненты скоростей по горизонтальной оси X, и они “обменялись” компонентами скоростей по вертикальной оси Y. Это значит, что мяч А продолжит движение с нулевой компонентой ( v_{А1у} ), т.е. по горизонтали, а мяч Б продолжит движение под углом ​( alpha )​, который легко вычислить по формуле:

где знак “минус” перед значением угла означает, что на рис. 9.4 угол откладывается в направлении против часовой стрелки.

А скорости мячей после столкновения будут равны

и:

Подставив значения, получим:

и

Связь кинетической
энергии и импульса в классической
механике Ньютона выражается формулой
,
при этомm=m₀
=const.

Найдем связь
кинетической энергии и импульса для
тела, движущегося со скоростью, близкой
к скорости света:

,

где

– энергия
покоя.

Так как полная
энергия тела равна сумме энергии покоя
и кинетической энергии, то

,

или

(7.60)

Тема 8 движение тел в неинерциальных системах отсчета

8.1. Неинерциальные системы отсчета

До сих пор мы имели
дело с инерциальными системами отсчета,
т.е. системами, в которых выполняются
законы Ньютона. Системы
отсчета, которые движутся относительно
инерциальных систем с ускорением,
называются неинерциальными.

Примером
неинерциальной системы отсчета является
геоцентрическая система отсчета (жёстко
связанная с Землёй) вследствие суточного
вращения Земли. Однако максимальное
ускорение точек поверхности Земли не
превышает 0,5 %g,
поэтому в большинстве практических
задач геоцентрическую систему отсчета
считают инерциальной.

В неинерциальных
системах отсчета законы Ньютона не
выполняются. Рассмотрим несколько
примеров движения тел относительно

неинерциальных систем отсчета (рис.
8.1 и 8.2).

Рис. 8.1	Поезд начал движение с ускорением , шарик приобрёл ускорение. В данной неинерциальной системе отсчета первый закон Ньютона нарушается: тело получает ускорение без взаимодействия с другими телами.
Рис. 8.2	Поезд движется с ускорением , шарик у стенки, на него действует сила реакции опоры, но шарик находится в покое. В данной неинерциальной системе отсчета второй закон Ньютона нарушается: при наличии взаимодействия тело не получает ускорение.

Принцип Даламбера

Имеем две системы
отсчета: инерциальную – систему К
и неинерциальную
– систему К΄(рис.
8.3).

В момент t = 0
начала координат систем К
и К′
совпадают.

Система К′
начинает двигаться относительно К
с ускорением
.

В
момент t
скорость движения системы К΄
относительно системы К:

.
(8.1)

Рис. 8.3

Если – радиус-вектор материальной точки в системе К; –радиус-вектор материальной точки в системе К’; –радиус-вектор начала координат системы К’ в системе К, то . Продифференцируем это уравнение по времени: или . (8.2)

Продифференцируем
ещё раз по времени:

,
(8.3)

т.к.
,
то

,
(8.4)

где


– ускорение материальной точки
относительно неинерциальной системы
отсчета;

– ускорение материальной точки
относительно инерциальной системы
отсчета,

– ускорение неинерциальной системы
отсчета относительно инерциальной
системы отсчета.

Умножим полученное
выражение
на массу материальной точки:.
Так как относительно инерциальной
системы отсчета законы Ньютона
выполняются, то–
векторная сумма сил взаимодействия
материальной точки с другими телами
(реальные силы), величина ()
имеет размерность силы, поэтому эта
величина носит названиесила
инерции.
Таким образом
,
отсюда

. (8.5)

Это
уравнение движения (второй закон Ньютона)
относительно неинерциальной системы
отсчета. Таким образом, произведение
массы тела на его ускорение относительно
неинерциальной системы отсчета равно
векторной сумме сил взаимодействия
сложенной с силой инерции. Данное
определение называется принцип
Даламбера (д΄ Аламбера).

Сила инерции –
фиктивная сила в том смысле, что она не
обусловлена взаимодействием с другими
телами, а
вызвана ускоренным движением неинерциальной
системы отсчета относительно инерциальной
системы отсчета, однако ей приписываются
свойства сил сообщать ускорение.

Так как сила инерции
обусловлена ускоренным движением
системы отсчёта относительно другой
системы отсчета, то она не подчиняется
третьему
закону Ньютона.

Покажем это на
примере (рис. 8.4 и 8.5). Шарик находится на
полу вагона. Если вагон не движется, то
шарик находится в состоянии покоя. Это
означает, что результирующая сила,
действующая со стороны других тел на
шарик равна нулю
.

Рис. 8.4

Если вагон начинает двигаться с ускорением , то шарик начнет двигаться с ускорением относительно вагона. Если не учитывать силы трения, то уравнение движения шарика можно записать: , т.к., тоили, т.к., то.

Рис. 8.5

Если шарик покоится в неинерциальной системе отсчета, как показано на рисунке, то на него со стороны стенки действует (реальная) сила реакции опоры, тогда уравнение движения имеет вид: , т.к. (шарик покоится), то, а .

Итак: в неинерциальных
системах отсчета законы Ньютона не
выполняются. Однако, если уравнения
движения записать в виде:

. (8.6)

где
– ускорение тела в неинерциальной
системе отсчета;– равнодействующая сил, обусловленных
воздействием тел друг на друга;–
сила инерции, то законы Ньютона будут
формально выполняться. При этом в
уравнение движения кроме реальных сил
взаимодействия входят фиктивные силы,
которые называютсясилами
инерции.
Силы инерции – это силы, действующие в
неинерциальной системе отсчета
и обусловленные ускоренным движением
этой системы.

Рассмотрим три
случая проявления сил инерции.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Кинетическая энергия и импульс

Кикоин А.К. Импульс и кинетическая энергия //Квант. — 1985. — № 5. — С. 28-29.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Одна из основных идей механики состоит в том, что сила, приложенная к телу, есть причина изменения его скорости. Второй закон Ньютона и выражает эту идею:

(~m vec a = m frac{vec upsilon_2 — vec upsilon_1}{t} = vec F) .

В механике используются еще две величины, связанные со скоростью. Это — импульс тела (другое, сейчас почти вышедшее из употребления, название этой величины — количество движения) и кинетическая энергия тела. Импульс тела (~vec p) — векторная величина, равная (по определению) произведению массы тела на его скорость:

(~vec p = m vec upsilon) .

Кинетическая энергия E_k тела — скалярная величина, равная (тоже по определению) половине произведения массы тела на квадрат его скорости:

(~E_k = frac{m upsilon^2}{2}) .

Поскольку и импульс, и кинетическая энергия непосредственно выражаются через скорость тела, а изменение скорости вызывается действующей на тело силой, очевидно, что изменения импульса и кинетической энергии тоже связаны с силой.

Для импульса тела эта связь следует непосредственно из второго закона Ньютона, записанного в виде

(~vec p_2 — vec p_1 = vec Ft) (1)

— изменение импульса тела равно произведению силы на время ее действия, то есть импульсу силы («Физика 8», § 50).

Связь кинетической энергии тела с силой выглядит так:

(~E_{k2} — E_{k1} = Fs cos alpha = A) , (2)

где s — модуль вектора перемещения тела, α — угол между векторами (~vec F) и (~vec s) , а произведение Fs cos α = A — работа действующей на тело силы. Таким образом, эта запись означает, что изменение кинетической энергии тела равно работе приложенной к телу силы («Физика 8», § 55).

Роль импульса и кинетической энергии в описании движения

Различие между величинами (~vec p) и E_k не ограничивается тем, что одна из них векторная, а другая скалярная.

Из равенства (1) видно, что если сила (~vec F) задана, изменение импульса определяется только временем действия силы и не зависит от того, к какому телу она приложена. Любое тело (тело любой массы) под действием данной силы за данное время изменит свой импульс на одну и ту же величину. Даже если бы, например, столкнулись герои басни Крылова «Слон и Моська», то импульс каждого из них изменился бы одинаково.

Равенство (2) говорит о том, что при заданной силе изменение кинетической энергии тела определяется только расстоянием, пройденным телом в направлении действия силы (произведение s cos α — это проекция перемещения на направление силы). Любое тело под действием данной силы на данном расстоянии изменит свою кинетическую энергию на одну и ту же величину.

Таким образом, изменение импульса связано с промежутком времени, необходимым для изменения скорости тела, а изменение кинетической энергии связано с расстоянием, которое тело должно пройти для изменения его скорости (разумеется, при заданной силе).

Другими словами, изменение импульса — это характеристика действия силы — во времени, а изменение кинетической энергии — характеристика действия силы в пространстве.

Еще одно различие между импульсом и кинетической энергией

Пожалуй, самое замечательное свойство импульса тела состоит в том, что общий импульс замкнутой системы тел (то есть векторная сумма импульсов всех тел системы) остается неизменным при любых взаимодействиях и любых движениях тел этой системы. Это — закон сохранения импульса («Физика 8», § 51).

Обладает ли свойством «сохраняться» кинетическая энергия? Рассмотрим простой пример, из которого сразу станет видно, что в этом импульс и кинетическая энергия отличаются друг от друга.

Пусть по гладкой (без трения) горизонтальной поверхности движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями υ два одинаковых например стальных, шарика массой m каждый (см. рисунок). В какой-то момент шарики соприкоснутся, затем какое-то время будут продолжать приближаться друг к другу, потом на мгновение остановятся и после этого начнут расходиться, пока не станут двигаться в противоположные стороны с прежними по модулю скоростями.

Посмотрим, чему равны суммарные импульсы и кинетические энергии обоих шариков до, во время и после столкновения.

До столкновения импульсы шариков равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому

(~vec p_1 + vec p_2 = (m vec upsilon) + (-m vec upsilon) = 0) ,

а кинетические энергии шариков одинаковы и равны (~frac{m upsilon^2}{2}) каждая, так что

(~E_{k1} + E_{k2} = frac{m upsilon^2}{2} + frac{m upsilon^2}{2} = m upsilon^2) .

Во время столкновения в тот момент времени, когда оба шарика покоятся, их скорости равны нулю, следовательно,

(~begin{matrix} vec p_1 + vec p_2 = 0 \ E_{k1} + E_{k2} = 0 end{matrix}) .

После столкновения шарики, как и до столкновения, движутся в противоположные стороны с одинаковыми по модулю скоростями, поэтому

(~begin{matrix} vec p_1 + vec p_2 = -m vec upsilon + m vec upsilon = 0 \ E_{k1} + E_{k2} = frac{m upsilon^2}{2} + frac{m upsilon^2}{2} = m upsilon^2 end{matrix}) .

Таким образом, суммарный импульс системы двух шариков все время оставался одним и тем же. Кинетическая же энергия до и после столкновения одинакова (именно такое столкновение и называют упругим), а во время столкновения она изменялась, так что в какой-то момент даже временно исчезла совсем. Значит, существует закон сохранения импульса, но нет закона сохранения кинетической энергии.

Заметим, что если бы шарики были не из стали, а из мягкой глины или пластилина, то при столкновении они бы слиплись, остановились и больше бы не двигались (такое столкновение называют абсолютно неупругим). Их общий импульс был бы по прежнему равен нулю, а кинетическая энергия во время столкновения исчезла бы не временно, а навсегда.

Как известно, закон сохранения существует и для энергии, но не для кинетической, а для полной, включающей в себя и другие формы энергии. Так, в нашем примере временная пропажа кинетической энергии при упругом столкновении шариков означает лишь тот факт, что в этот момент она полностью превратилась в потенциальную энергию упругой деформации шариков. В конце столкновения потенциальная энергия вновь целиком превратилась в кинетическую. При неупругом же ударе кинетическая энергия шариков переходит во внутреннюю энергию (шарики нагреваются), которая обратно в кинетическую энергию уже не превращается.