Как найти индукцию магнитного поля по напряжению

Индукция магнитного поля

Способы расчёта

Существует несколько основных способов определить индуктивность катушки. Все формулы, которые будут использоваться в расчётах, легко можно найти в справочной литературе или интернете. Весь процесс вычисления довольно простой и не составит труда для людей, имеющих элементарные математические и физические знания.

Через силу тока

Этот расчёт считается самым простым способом определения индуктивности катушки. Формула через силу тока вытекает из самого термина. Какова индуктивность катушки — можно определить по формуле: L=Ф/I, где:

• L — индуктивность контура (в генри);
• Ф — величина магнитного потока, измеряемого в веберах;
• I — сила тока в катушке (в амперах).

Соленоид конечной длины

Соленоид представляет собой тонкую длинную катушку, где толщина обмотки значительно меньше диаметра. В этом случае расчёты ведутся по той же формуле, что и через силу тока, только величина магнитного потока будет определяться следующим образом: Ф=µ0NS/l, где:

• µ0 — магнитная проницаемость среды, определяющаяся по справочным таблицам (для воздуха, который принимается по умолчанию в большинстве расчётов, она равна 0,00000126 генри/метр);
• N — количество витков в катушке;
• S — площадь поперечного сечения витка, измеряемая в квадратных метрах;
• l — длина соленоида в метрах.

Коэффициент самоиндукции соленоида можно рассчитать и исходя из способа определения энергии магнитного потока поля. Это более простой вариант, но он требует наличия некоторых величин. Формула для нахождения индуктивности — L=2W/I 2 , где:

• W — энергия магнитного потока, измеряемая в джоулях;
• I — сила тока в амперах.

Катушка с тороидальным сердечником

В большинстве случаев тороидальная катушка наматывается на сердечник, изготовленный из материала, обладающего большой магнитной проницаемостью. В этом случае для расчётов индуктивности можно использовать формулу для прямого соленоида бесконечной длины. Она имеет такой вид: L=N µ0 µS/2 πr, где:

• N — число витков катушки;
• µ — относительная магнитная проницаемость;
• µ0 — магнитная постоянная;
• S — площадь сечения сердечника;
• π — математическая постоянная, равная 3,14;
• r — средний радиус тора.

Длинный проводник

Большинство таких квазилинейных проводников имеет круглое сечение. В этом случае величина коэффициента самоиндукции будет определяться по стандартной формуле для приближённых расчётов: L= µ0l (µelnl/r+ µi/4)/2 π. Здесь используются следующие обозначения:

• l — длина проводника в метрах;
• r — радиус сечения провода, измеряемый в метрах;
• µ0 — магнитная постоянная;
• µi — относительная магнитная проницаемость, характерная для материала, из которого изготовлен проводник;
• µe — относительная магнитная проницаемость внешней среды (чаще всего принимается значение для вакуума, которое равняется 1);
• π — число Пи;
• ln — обозначение логарифма.

Одновитковой контур и катушка

Индуктивность контура, представляющего виток провода, зависит от величины протекающего тока и магнитного потока, пронизывающего контур. Для индуктивности контура формула определяет параметр, соответственно, через поток и силу тока:

Ослабление магнитного потока из-за диамагнитных свойств окружающей среды снижает индуктивность.

Параметр для многовитковой катушки пропорционален квадрату количества витков, поскольку увеличивается не только магнитный поток от каждого витка, но и потокосцепление:

Для того чтобы рассчитать индуктивность катушки формула должна учитывать не только количество витков, но и тип намотки и геометрические размеры.

Что такое индуктивность

Этим термином обозначают зависимость, которая устанавливается между силой тока в проводнике (I) и созданным магнитным потоком (Ф):

С учетом базового определения несложно понять зависимость индуктивности от свойств окружающей среды, оказывающей влияние на распределение силовых линий. Определенное значение имеют размеры и конфигурация проводящего элемента.

Индуктивность подобна механической инерции. Только в данном случае речь идет о действиях с электрическими величинами. Этим коэффициентом характеризуют способность рассматриваемого компонента противодействовать изменению проходящего через него тока.

ЭДС индукции

Разберемся детально, что такое понятие ЭДС индукции. При помещении в магнитное поле проводника и его движении с пересечением силовых линий поля, в проводнике появляется электродвижущая сила под названием ЭДС индукции. Также она возникает, если проводник остается в неподвижном состоянии, а магнитное поле перемещается и пересекается с проводником силовыми линиями.

Когда проводник, где происходит возникновение ЭДС, замыкается на вешнюю цепь, благодаря наличию данной ЭДС по цепи начинает протекать индукционный ток. Электромагнитная индукция предполагает явление индуктирования ЭДС в проводнике в момент его пересечения силовыми линиями магнитного поля.

Электромагнитная индукция являет собой обратный процесс трансформации механической энергии в электроток. Данное понятие и его закономерности широко используются в электротехнике, большинство электромашин основывается на данном явлении.

Применение катушек в технике

Явление электромагнитной индукции известно уже давно и широко применяется в технике. Примеры использования:

• сглаживание пульсаций и помех, накопление энергии;
• создание магнитных полей в различных устройствах;
• фильтры цепей обратной связи;
• создание колебательных контуров;
• трансформаторы (устройство из двух катушек, связанных индуктивно);
• силовая электротехника использует для ограничения тока при к. з. на ЛЭП (катушки индуктивности, называются реакторами);
• ограничение тока в сварочных аппаратах — катушки индуктивности делают его работу стабильнее, уменьшая дугу, что позволяет получить ровный сварочный шов, имеющий наибольшую прочность;
• применение катушек в качестве электромагнитов различных исполнительных механизмов;
• обмотки электромагнитных реле;
• индукционные печи;
• установление качества железных руд, исследование горных пород при помощи определения магнитной проницаемости минералов.

Соленоид

Соленоид отличается от обычной катушки по двум признакам:

• Длина обмотки превышает диаметр в несколько раз;
• Толщина обмотки меньше диаметра катушки также в несколько раз.

Соленоидальный тип катушки

Параметры соленоида можно узнать из такого выражения:

• µ0 – магнитная постоянная;
• N – количество витков;
• S – площадь поперечного сечения обмотки;
• l – длина обмотки.

Важно! Приведенное выражение справедливо для соленоида без сердечника. В противном случае необходимо дополнительно внести множитель µ, который равен магнитной проницаемости сердечника

Чем большую магнитную проницаемость будет иметь сердечник, тем больше увеличится итоговое значение.

ÐагниÑное поле

ЭÑо ÑловоÑоÑеÑание знакомо нам Ñо ÑколÑной ÑкамÑи. Ðо многие Ñже забÑли о Ñом, ÑÑо оно ознаÑаеÑ. ХоÑÑ ÐºÐ°Ð¶Ð´Ñй из Ð½Ð°Ñ Ð¿Ð¾Ð¼Ð½Ð¸Ñ, ÑÑо магниÑное поле ÑпоÑобно воздейÑÑвоваÑÑ Ð½Ð° пÑедмеÑÑ, пÑиÑÑÐ³Ð¸Ð²Ð°Ñ Ð¸Ð»Ð¸ оÑÑÐ°Ð»ÐºÐ¸Ð²Ð°Ñ Ð¸Ñ. Ðо, помимо ÑÑого, Ñ Ð½ÐµÐ³Ð¾ еÑÑÑ Ð¸ дÑÑгие оÑобенноÑÑи: напÑимеÑ, магниÑное поле Ð¼Ð¾Ð¶ÐµÑ Ð²Ð¾Ð·Ð´ÐµÐ¹ÑÑвоваÑÑ Ð½Ð° ÑлекÑÑиÑеÑки заÑÑженнÑе обÑекÑÑ, а ÑÑо знаÑиÑ, ÑÑо ÑлекÑÑиÑеÑÑво и магнеÑизм ÑеÑно ÑвÑÐ·Ð°Ð½Ñ Ð¼ÐµÐ¶Ð´Ñ Ñобой, и одно Ñвление Ð¼Ð¾Ð¶ÐµÑ Ð¿Ð»Ð°Ð²Ð½Ð¾ пеÑеÑекаÑÑ Ð² дÑÑгое. УÑÑнÑе понÑли ÑÑо доÑÑаÑоÑно давно и поÑÑÐ¾Ð¼Ñ ÑÑали назÑваÑÑ Ð²Ñе ÑÑи пÑоÑеÑÑÑ Ð²Ð¼ÐµÑÑе одним Ñловом — «ÑлекÑÑомагниÑнÑе Ñвлениѻ. Ðа Ñамом деле ÑлекÑÑомагнеÑизм — доволÑно инÑеÑеÑÐ½Ð°Ñ Ð¸ еÑÑ Ð½Ðµ до конÑа изÑÑÐµÐ½Ð½Ð°Ñ Ð¾Ð±Ð»Ð°ÑÑÑ Ñизики. Ðна оÑÐµÐ½Ñ Ð¾Ð±ÑиÑна, и Ñе знаниÑ, ÑÑо Ð¼Ñ Ð¼Ð¾Ð¶ÐµÐ¼ здеÑÑ Ð¸Ð·Ð»Ð¾Ð¶Ð¸ÑÑ Ð²Ð°Ð¼, — ÑÑо оÑÐµÐ½Ñ Ð¼Ð°Ð»Ð°Ñ ÑаÑÑÑ Ñого, ÑÑо извеÑÑно ÑеловеÑеÑÑÐ²Ñ Ð¾ магнеÑизме ÑегоднÑ.

Ð ÑейÑÐ°Ñ Ð¿ÐµÑейдÑм непоÑÑедÑÑвенно к пÑедмеÑÑ Ð½Ð°Ñей ÑÑаÑÑи. СледÑÑÑий Ñаздел бÑÐ´ÐµÑ Ð¿Ð¾ÑвÑÑÑн ÑаÑÑмоÑÑÐµÐ½Ð¸Ñ Ð½ÐµÐ¿Ð¾ÑÑедÑÑвенно ÑÑÑÑойÑÑва каÑÑÑки индÑкÑивноÑÑи.

«Катушка ниток»

Катушка индуктивности представляет собой намотанную изолированную медную проволоку на твердое основание. Что касается изоляции, то выбор материала широк – это и лак, и проводная изоляция, и ткань. Величина магнитного потока зависит от площади цилиндра. Если увеличить ток в катушке, то магнитное поле будет становиться все больше и наоборот.

Если подать электрический ток на катушку, то в ней возникнет напряжение, противоположное напряжению тока, но оно внезапно исчезает. Такого рода напряжение называется электродвижущей силой самоиндукции. В момент включения напряжения на катушку сила тока меняет свое значение от 0 до некоего числа. Напряжение в этот момент тоже меняет значение, согласно закону Ома:

где I характеризует силу тока, U – показывает напряжение, R – сопротивление катушки.

Еще одной особенной чертой катушки является следующий факт: если разомкнуть цепь «катушка – источник тока», то ЭДС добавится к напряжению. Ток тоже вначале вырастет, а потом пойдет на спад. Отсюда вытекает первый закон коммутации, в котором говорится, что сила тока в катушке индуктивности мгновенно не меняется.

Катушку можно разделить на два вида:

1. С магнитным наконечником. В роли материала сердца выступают ферриты и железо. Сердечники служат для повышения индуктивности.
2. С немагнитным. Используются в случаях, когда индуктивность не больше пяти миллиГенри.

Устройства различаются и по внешнему виду, и внутреннему строению. В зависимости от таких параметров находится индуктивность катушки. Формула в каждом случае разная. Например, для однослойной катушки индуктивность будет равна:

А вот уже для многослойной другая формула:

Основные выводы, связанные с работой катушек:

1. На цилиндрическом феррите самая большая индуктивность возникает в середине.
2. Для получения максимальной индуктивности необходимо близко наматывать витки на катушку.
3. Индуктивность тем меньше, чем меньше количество витков.
4. В тороидальном сердечнике расстояние между витками не играет роли катушки.
5. Значение индуктивности зависит от «витков в квадрате».
6. Если последовательно соединить индуктивности, то их общее значение равно сумме индуктивностей.
7. При параллельном соединении нужно следить, чтобы индуктивности были разнесены на плате. В противном случае их показания будут неправильными за счет взаимного влияния магнитных полей.

Основные формулы для вычисления вектора МИ

Вектор магнитной индукции, формула которого B = Fm/I*∆L, можно находить, применяя другие математические вычисления.

Закон Био-Савара-Лапласа

Описывает правила нахождения B→ магнитного поля, которое создаёт постоянный электроток. Это экспериментально установленная закономерность. Био и Савар в 1820 году выявили её на практике, Лапласу удалось сформулировать. Этот закон является основополагающим в магнитостатике. При практическом опыте рассматривался неподвижный провод с малым сечением, через который пропускали электроток. Для изучения выбирался малый участок провода, который характеризовался вектором dl. Его модуль соответствовал длине рассматриваемого участка, а направление совпадало с направлением тока.

Интересно. Лаплас Пьер Симон предложил считать током даже движение одного электрона и на этом утверждении, с помощью данного закона, доказал возможность определения МП продвигающегося точечного заряда.

Согласно этому физическому правилу, каждый сегмент dl проводника, по которому протекает электрический ток I, образовывает в пространстве вокруг себя на промежутке r и под углом α магнитное поле dB

• dB – магнитная индукция, Тл;
• µ0 = 4 π*10-7 – магнитная постоянная, Гн/м;
• I – сила тока, А;
• dl – отрезок проводника, м;
• r – расстояние до точки нахождения магнитной индукции, м;
• α – угол, образованный r и вектором dl.

Важно! Согласно закону Био-Савара-Лапласа, суммируя векторы магнитных полей отдельных секторов, можно определить МП нужного тока. Оно будет равно векторной сумме

Закон Био-Савара-Лапласа

Существуют формулы, описывающие этот закон для отдельных случаев МП:

• поля прямого перемещения электронов;
• поля кругового движения заряженных частиц.

Формула для МП первого типа имеет вид:

Для кругового движения она выглядит так:

В этих формулах µ – это магнитная проницаемость среды (относительная).

Рассматриваемый закон вытекает из уравнений Максвелла. Максвелл вывел два уравнения для МП, случай, где электрическое поле постоянно, как раз рассматривают Био и Савар.

Принцип суперпозиции

Для МП существует принцип, согласно которому общий вектор магнитной индукции в определённой точке равен векторной сумме всех векторов МИ, созданных разными токами в данной точке:

Принцип суперпозиции

Теорема о циркуляции

Изначально в 1826 году Андре Ампер сформулировал данную теорему. Он разобрал случай с постоянными электрическими полями, его теорема применима к магнитостатике. Теорема гласит: циркуляция МП постоянного электричества по любому контуру соразмерна сумме сил всех токов, которые пронизывают этот контур.

Стоит знать! Тридцать пять лет спустя Д. Максвелл обобщил это утверждение, проведя параллели с гидродинамикой.

Другое название теоремы – закон Ампера, описывающий циркуляцию МП.

Математически теорема записывается следующим образом.

Математическая формула теоремы о циркуляции

• B→– вектор магнитной индукции;
• j→ – плотность движения электронов.

Это интегральная форма записи теоремы. Здесь в левой части интегрируют по некоторому замкнутому контуру, в правой части – по натянутой поверхности на полученный контур.

Магнитный поток

Одна из физических величин, характеризующих уровень МП, пересекающего любую поверхность, – магнитный поток. Обозначается буквой φ и имеет единицу измерения вебер (Вб). Эта единица характерна для системы СИ. В СГС магнитный поток измеряется в максвеллах (Мкс):

Магнитный поток φ определяет величину МП, пронизывающую определённую поверхность. Поток φ зависит от угла, под которым поле пронизывает поверхность, и силы поля.

Формула для расчёта имеет вид:

• В – скалярная величина градиента магнитной индукции;
• S – площадь пересекаемой поверхности;
• α – угол, образованный потоком Ф и перпендикуляром к поверхности (нормалью).

Внимание! Поток Ф будет наибольшим, когда B→ совпадёт с нормалью по направлению (угол α = 00). Аналогично Ф = 0, когда он проходит параллельно нормали (угол α = 900)

Магнитный поток

Вектор магнитной индукции, или магнитная индукция, указывает направление поля. Применяя простые методы: правило буравчика, свободно ориентирующуюся магнитную стрелку или контур с током в магнитном поле, можно определить направление действия этого поля.

ÐÐ¸Ð´Ñ ÐºÐ°ÑÑÑек

Ðо ÑÑнкÑионалÑноÑÑи ÑазлиÑаÑÑ ÐºÐ¾Ð½ÑÑÑнÑе каÑÑÑки, наÑодÑÑие пÑименение в ÑадиоÑизике, каÑÑÑки ÑвÑзи, иÑполÑзÑемÑе в ÑÑанÑÑоÑмаÑоÑаÑ, и ваÑиомеÑÑÑ, Ñо еÑÑÑ ÐºÐ°ÑÑÑки, показаÑели коÑоÑÑÑ Ð¼Ð¾Ð¶Ð½Ð¾ ваÑÑиÑоваÑÑ Ð¸Ð·Ð¼ÐµÐ½ÐµÐ½Ð¸ÐµÐ¼ взаимного ÑаÑÐ¿Ð¾Ð»Ð¾Ð¶ÐµÐ½Ð¸Ñ ÐºÐ°ÑÑÑек.

Также ÑÑÑеÑÑвÑÐµÑ Ñакой вид каÑÑÑек, как дÑоÑÑели. ÐнÑÑÑи ÑÑого клаÑÑа Ñакже еÑÑÑ Ð´ÐµÐ»ÐµÐ½Ð¸Ðµ на обÑÑнÑе и ÑдвоеннÑе. Ðни имеÑÑ Ð²ÑÑокое ÑопÑоÑивление пеÑÐµÐ¼ÐµÐ½Ð½Ð¾Ð¼Ñ ÑÐ¾ÐºÑ Ð¸ оÑÐµÐ½Ñ Ð½Ð¸Ð·ÐºÐ¾Ðµ — поÑÑоÑнномÑ, благодаÑÑ ÑÐµÐ¼Ñ Ð¼Ð¾Ð³ÑÑ ÑлÑжиÑÑ ÑоÑоÑим ÑилÑÑÑом, пÑопÑÑкаÑÑим поÑÑоÑннÑй Ñок и задеÑживаÑÑим пеÑеменнÑй. СдвоеннÑе дÑоÑÑели оÑлиÑаÑÑÑÑ Ð±Ð¾Ð»ÑÑей ÑÑÑекÑивноÑÑÑÑ Ð¿Ñи болÑÑÐ¸Ñ ÑÐ¾ÐºÐ°Ñ Ð¸ ÑаÑÑоÑÐ°Ñ Ð¿Ð¾ ÑÑÐ°Ð²Ð½ÐµÐ½Ð¸Ñ Ñ Ð¾Ð±ÑÑнÑми.

Основные уравнения

Поскольку вектор магнитной индукции является одной из основных фундаментальных физических величин в теории электромагнетизма, он входит в огромное множество уравнений, иногда непосредственно, иногда через связанную с ним напряжённость магнитного поля. По сути, единственная область в классической теории электромагнетизма, где он отсутствует, это пожалуй разве только чистая электростатика.

(Здесь формулы приведем в СИ, в виде для вакуума, где есть варианты для вакуума — для среды; запись в другом виде и подробности — см. по ссылкам).

В магнитостатике

В магнитостатическом пределе наиболее важными являются:

В общем случае

Основные уравнения (классической) электродинамики общего случая (то есть независимо от ограничений магнитостатики), в которых участвует вектор магнитной индукции B→<displaystyle <vec >>:

Три из четырех уравнений Максвелла (основных уравнений электродинамики)

Закон отсутствия монополя:

Закон электромагнитной индукции Фарадея:

Выражение для силы Ампера, действующей со стороны магнитного поля на ток (участок провода с током)

выражение для момента силы, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь (виток с током, катушку или постоянный магнит):

выражение для потенциальной энергии магнитного диполя в магнитном поле:

U=−m→⋅B→,<displaystyle U=-<vec >cdot <vec >,>

• а также следующих из них выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле и т. д..
• Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на точечный магнитный заряд:

F→=Kqmr→r3.<displaystyle <vec >=K<frac <vec >>>>.>

(это выражение, точно соответствующее обычному закону Кулона, широко используется для формальных вычислений, для которых ценна его простота, несмотря на то, что реальных магнитных зарядов в природе не обнаружено; также может прямо применяться к вычислению силы, действующей со стороны магнитного поля на полюс длинного тонкого магнита или соленоида).

Выражение для плотности энергии магнитного поля

Оно в свою очередь входит (вместе с энергией электрического поля) и в выражение для энергии электромагнитного поля и в лагранжиан электромагнитного поля и в его действие. Последнее же с современной точки зрения является фундаментальной основой электродинамики (как классической, так в принципе и квантовой).

Вариометр

Что такое катушка, показано выше на простых примерах. На практике для обозначения однотипных групп применяют специфическую терминологию. Вариометром, например, называют деталь с переменной индуктивностью. В типовой конструкции применяют две катушки, установленные одна внутри другой. Необходимый результат получают регулировкой взаимного положения функциональных компонентов. Для перемещения применяют ручной привод или автоматизированный механизм с внешней схемой управления.

К сведению. Не следует путать определения. Мультипликаторная катушка, например, – это приспособление для рыбной ловли. Такое устройство будет обладать индуктивностью при наматывании лески из проводящего материала. Однако в радиотехнических схемах подобные устройства не используют.

Мультипликаторные катушки

Особенности других конструкций:

• Дроссель обеспечивает высокое сопротивление цепи переменному току, поэтому такой пассивный индуктивный элемент часто применяют для создания фильтров. При подключении к сети питания 220В/ 50 Гц используют железные сердечники. При повышении частоты – ферритовые аналоги.
• Контурные катушки магнитные устанавливают в комбинации с конденсаторами для создания схем с определенной полосой пропускания.
• Электрическим реактором называют крупные конструкции, которые применяют в силовых сетях.
• Сдвоенные катушки применяют для разделения цепей по постоянной составляющей.

Токовый реактор ограничивает сильный ток, предотвращает развитие аварийной ситуации при КЗ

Выше отмечены типовые области применения элементов с индуктивными характеристиками. Они пригодны для создания фильтров, ограничения тока и разделения цепи прохождения постоянных и переменных составляющих сигнала. Магнитное поле катушки с током распространяется в пространстве. Чтобы предотвратить паразитное воздействие, отдельные компоненты размещают на достаточном расстоянии.

ÐÑÑоÑиÑ

ÐагнеÑизм наÑÐ¸Ð½Ð°ÐµÑ ÑÐ²Ð¾Ñ Ð¸ÑÑоÑÐ¸Ñ ÐµÑÑ Ñ ÐÑевнего ÐиÑÐ°Ñ Ð¸ ÐÑевней ÐÑеÑии. ÐÑкÑÑÑÑй в ÐиÑае магниÑнÑй железнÑк иÑполÑзовалÑÑ Ñогда в каÑеÑÑве ÑÑÑелки компаÑа, ÑказÑваÑÑей на ÑевеÑ. ÐÑÑÑ ÑпоминаниÑ, ÑÑо киÑайÑкий импеÑаÑÐ¾Ñ Ð¸ÑполÑзовал его во вÑÐµÐ¼Ñ Ð±Ð¸ÑвÑ.

Ðднако вплоÑÑ Ð´Ð¾ 1820 года магнеÑизм ÑаÑÑмаÑÑивалÑÑ Ð»Ð¸ÑÑ ÐºÐ°Ðº Ñвление. ÐÑÑ ÐµÐ³Ð¾ пÑакÑиÑеÑкое пÑименение бÑло заклÑÑено в Ñказании ÑÑÑелки компаÑа на ÑевеÑ. Ðднако в 1820 Ð³Ð¾Ð´Ñ Ð­ÑÑÑед пÑовÑл Ñвой опÑÑ Ñ Ð¼Ð°Ð³Ð½Ð¸Ñной ÑÑÑелкой, показÑваÑÑий влиÑние ÑлекÑÑиÑеÑкого Ð¿Ð¾Ð»Ñ Ð½Ð° магниÑ. ЭÑÐ¾Ñ Ð¾Ð¿ÑÑ Ð¿Ð¾ÑлÑжил ÑолÑком Ð´Ð»Ñ Ð½ÐµÐºÐ¾ÑоÑÑÑ ÑÑÑнÑÑ, взÑвÑиÑÑÑ Ð·Ð° ÑÑо вÑеÑÑÑз, ÑÑÐ¾Ð±Ñ ÑазÑабоÑаÑÑ ÑеоÑÐ¸Ñ Ð¼Ð°Ð³Ð½Ð¸Ñного полÑ.

СпÑÑÑÑ Ð²Ñего 11 леÑ, в 1831 годÑ, ФаÑадей оÑкÑÑл закон ÑлекÑÑомагниÑной индÑкÑии и ввÑл в обиÑод Ñизиков понÑÑие «Ð¼Ð°Ð³Ð½Ð¸Ñное поле». Ðменно ÑÑÐ¾Ñ Ð·Ð°ÐºÐ¾Ð½ поÑлÑжил оÑновой Ð´Ð»Ñ ÑÐ¾Ð·Ð´Ð°Ð½Ð¸Ñ ÐºÐ°ÑÑÑек индÑкÑивноÑÑи, о коÑоÑÑÑ ÑÐµÐ³Ð¾Ð´Ð½Ñ Ð¸ пойдÑÑ ÑеÑÑ.

РпÑежде Ñем пÑиÑÑÑпиÑÑ Ðº ÑаÑÑмоÑÑÐµÐ½Ð¸Ñ Ñамого ÑÑÑÑойÑÑва ÑÑÐ¸Ñ ÐºÐ°ÑÑÑек, оÑвежим в голове понÑÑие магниÑного полÑ.

Общие сведения

Для того чтобы понять, от чего зависит индуктивность катушки, необходимо подробно изучить всю информацию об этой физической величине. Первым делом следует рассмотреть принятое международное обозначение параметра, его назначение, характеристики и единицы измерения.

Первая буква фамилии другого знаменитого физика — Эмилия Ленца — была взята в качестве обозначения индуктивности в формулах и при проведении расчётов. В наше время символ L продолжает использоваться при упоминании этого параметра.

Выдающийся американский физик Джозеф Генри первым обнаружил явление индуктивности. В его честь физики назвали единицу измерения в международной СИ, которая чаще всего используется в расчётах. В других системах (гауссова и СГС) индуктивность измеряют в сантиметрах. Для упрощения вычислений было принято соотношение, в котором 1 см равняется 1 наногенри. Очень редко используемая система СГСЭ оставляет коэффициент самоиндукции без каких-либо единиц измерения или использует величину статгенри. Она зависит от нескольких параметров и приблизительно равняется 89875520000 генри.

Среди основных свойств индуктивности выделяются:

1. Величина параметра никогда не может быть меньше нуля.
2. Показатель зависит только от магнитных свойств сердечника катушки, а также от геометрических размеров контура.

Свойства магнетизма

Магнитное поле, как и любое другое физическое явление на Земле, имеет свои характеристики:

1. Источник возникновения – движущиеся электрические заряды.
2. Индукция магнитного поля – основная силовая его характеристика, которая существует в каждой отдельной его точке и является направленной.
3. Его влияние ограничивается магнитами, движущимися зарядами и проводниками тока.
4. Оно разделяется учеными на два типа: постоянное и переменное.
5. Человек без специальных приборов не может почувствовать воздействие магнетизма.
6. Это электродинамическое явление, ведь источник его происхождения – движущиеся частицы электрического тока. И только такие же частицы могут быть подвержены влиянию магнитного поля.
7. Траектория движения заряженных частиц может быть лишь перпендикулярной.

Линии магнитной индукции

Сама индукция магнитного поля характеризуется определенным направлением, представляющим собой линии, отображаемые графически. Эти линии, также получили название магнитных линий, или линий магнитных полей. Так же, как и магнитная индукция, ее линии имеют собственное определение. Они представляют собой линии, к которым проведены касательные во всех точках поля. Эти касательные и вектор магнитной индукции совпадают между собой.

Однородное магнитное поле отличается параллельными линиями магнитной индукции, совпадающими с направлением вектора во всех точках.

Если же магнитное поле является неоднородным, произойдет изменение вектора электромагнитной индукции в каждой пространственной точке, расположенной вокруг проводника. Касательные, проведенные к этому вектору, приведут к созданию концентрических окружностей вокруг проводника. Таким образом, в данном случае, линии индукции будут выглядеть в виде расширяющихся окружностей.

Материал сердечника

Как и в предыдущем примере, для вычисления индукции катушки с сердечником в представленные выше формулы добавляют множитель относительной магнитной проницаемости «m

L = m0 * m * N2 * (S/l) = m0 * m * n2 * V.

С помощью этого коэффициента учитывают ферромагнитные свойства определенного материала.

Если для примера взять бесконечный (очень длинный) прямой провод с круглым сечением, то он будет обладать определенной индуктивностью:

• mc – магнитная проницаемость (относительная) среды;
• r – радиус, который намного меньше длины (l) проводника.

Однако простые зависимости действуют только до определенной частоты. С определенного уровня волны малой длины начинают распространяться в поверхностной части проводников (скин-эффект). Дополнительно приходится учитывать влияние вихревых составляющих, экранирующих излучение и меняющих силовые параметры поля.

Современные магнитные материалы

Катушка будет работать в точном соответствии с расчетом, если правильно подобраны все функциональные компоненты конструкции. Как показано выше, существенное значение имеют параметры сердечника. Ниже отмечены важные особенности соответствующих материалов:

• Сталь с низким содержанием примесей стоит недорого. Ее рекомендуется применять в цепях постоянного тока, так как при повышении частоты значительно увеличиваются потери.
• В специальные сорта (трансформаторную сталь) добавляют кремний. Для уменьшения вредного влияния поверхностных эффектов сердечник собирают из пластин. Однако и такие решения не следует использовать при частоте более 1 кГц.
• Сплавы из железа с никелем отличаются увеличенной магнитной проницаемостью. Рабочий диапазон – до 80-120 кГц.
• Порошковые материалы создают со слоем диэлектрика на поверхностях отдельных микроскопических гранул. Они хорошо приспособлены для работы с высокочастотными сигналами, однако не обладают большой магнитной проницаемостью.
• Ферриты – это материалы, созданные на основе керамических компонентов. Они отличаются хорошими техническими характеристиками, малыми потерями. Следует учитывать значительную зависимость от температуры, а также ухудшение рабочих параметров при длительной эксплуатации.

Измерение индуктивности катушки, созданной из медного провода на ферритовом сердечнике

Как найти активную, реактивную и полную мощность

Активная мощность относится к энергии, которая необратимо расходуется источником за единицу времени для выполнения потребителем какой-либо полезной работы. В процессе потребления, как уже было отмечено, она преобразуется в другие виды энергии.

В цепи переменного тока значение активной мощности определяется, как средний показатель мгновенной мощности за установленный период времени. Следовательно, среднее значение за этот период будет зависеть от угла сдвига фаз между током и напряжением и не будет равной нулю, при условии присутствия на данном участке цепи активного сопротивления. Последний фактор и определяет название активной мощности. Именно через активное сопротивление электроэнергия необратимо преобразуется в другие виды энергии.

При выполнении расчетов электрических цепей широко используется понятие реактивной мощности. С ее участием происходят такие процессы, как обмен энергией между источниками и реактивными элементами цепи. Данный параметр численно будет равен амплитуде, которой обладает переменная составляющая мгновенной мощности цепи.

Существует определенная зависимость реактивной мощности от знака угла ф, отображенного на рисунке. В связи с этим, она будет иметь положительное или отрицательное значение. В отличие от активной мощности, измеряемой в ваттах, реактивная мощность измеряется в вар – вольт-амперах реактивных. Итоговое значение реактивной мощности в разветвленных электрических цепях представляет собой алгебраическую сумму таких же мощностей у каждого элемента цепи с учетом их индивидуальных характеристик.

Основной составляющей полной мощности является максимально возможная активная мощность при заранее известных токе и напряжении. При этом, cosф равен 1, когда отсутствует сдвиг фаз между током и напряжением. В состав полной мощности входит и реактивная составляющая, что хорошо видно из формулы, представленной выше. Единицей измерения данного параметра служит вольт-ампер (ВА).

Что такое активная и реактивная электроэнергия, мощность

Как найти реактивную мощность

Активное и реактивное сопротивление

Компенсация реактивной мощности в электрических сетях

Активное и индуктивное сопротивление кабелей – таблица

Онлайн калькулятор расчета тока по мощности

Источник

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
2 Магнитное поле и магнитные цепи при постоянных токах
→
2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока

2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока

Методы и примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
2 Магнитное поле и магнитные цепи при постоянных токах

Расчет магнитных цепей при постоянных токах

Основанием к расчету магнитных цепей служат: первый закон Кирхгофа для магнитных цепей и закон полного тока — второй закон Кирхгофа для магнитных цепей.
Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей гласит: алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю.

Закон полного тока применяется к замкнутому контуру, образованному средними магнитными линиями магнитной цепи и имеет вид:

∫ H → ⋅ dl → = ∑ I⋅w ,

где

∫ H → ⋅ dl → = ∑ H⋅l   — падение магнитного напряжения U_M = H·l в контуре;

F= ∑ I⋅w  — магнитодвижущая сила контура (м. д. с.).

Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей сформулируем следующим образом: алгебраическая сумма магнитных напряжений U_M = H·l в замкнутом контуре магнитной цепи  ( ∑ U M = ∑ H⋅l )  равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил F = I·w в том же контуре  ( ∑ F = ∑ I⋅w ) :

∑ U M = ∑ F

или

∑ H⋅l = ∑ I⋅w .

Задачи на расчет магнитной цепи могут быть двух видов: прямая задача на расчет магнитной цепи — когда задан поток и требуется рассчитать магнитодвижущую силу (м. д. с.) и обратная задача на расчет магнитной цепи — когда по заданной м. д. с. требуется рассчитать магнитный поток.

В обоих случаях должны быть известны геометрические размеры магнитной цепи и заданы кривые намагничивания ее материалов.

Алгоритм прямой задачи расчета неразветвленной магнитной цепи

Дана конфигурация и геометрические размеры неразветвленной магнитной цепи, кривая (или кривые) намагничивания магнитного материала и магнитный поток или индукция магнитного поля в каком-либо сечении. Требуется найти магнитодвижущую силу, ток или число витков намагничивающей обмотки.

Расчет проводим в соответствии с алгоритмом:

1. Разбиваем магнитную цепь на однородные (из одного магнитного материала) участки постоянного сечения и определяем длины l_k и площади поперечного сечения S_k участков. Длины участков (в метрах) берем по средней силовой линии.

2. Исходя из постоянства потока вдоль всей неразветвленной магнитной цепи, по заданному магнитному потоку Ф и сечениям S_k участков находим магнитные индукции на каждом участке:

B k = Ф S k .

Если задана магнитная индукция на каком-либо участке магнитной цепи, то магнитный поток вдоль всей неразветвленной цепи

Ф = B_k·S_k.

3. По найденным магнитным индукциям B_k участков цепи и кривой намагничивания материала k-го участка цепи (например, рис. 2.1, табл. 2.1) определяем напряженности поля H_k на каждом участке магнитной цепи.

Напряженность поля в воздушном зазоре находим по формуле

H возд = B возд μ 0 = B возд 4π⋅ 10 −7 .

4. Подсчитаем сумму падений магнитных напряжений U_Mk = H_k·l_k вдоль всей магнитной цепи  ∑ U Mk = ∑ H k ⋅ l k  и на основании второго закона Кирхгофа для магнитной цепи приравниваем сумме магнитодвижущих сил F_k = I_k·w_k вдоль всей магнитной цепи:

∑ H k ⋅ l k = ∑ I k ⋅ w k .

Основным допущением при расчете является то, что магнитный поток вдоль всей неразветвленной магнитной цепи полагаем неизменным. В действительности не большая часть потока всегда замыкается, минуя основной путь. Этот поток называют потоком рассеяния.

---

Единицы измерения магнитных величин

B — индукция магнитного поля, Тл (Тесла);

H — напряженность магнитного поля, А/м (Ампер/метр);

Ф — поток индукции магнитного поля, Вб (Вебер);

F = I·w — магнитодвижущая сила (м. д. с.), А (Ампер);

U_M = H·l — магнитное напряжение, А (Ампер!).

---

Константы

μ 0 =4π⋅ 10 −7 Гн/м — магнитная постоянная.

---

Рис. 2.1 Кривые намагничивания стали и чугуна

Таблица 2.1 — Данные основной кривой намагничивания листовой электротехнической стали Э11

B, Вб/м2	H, А/м
0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,4	140	143	146	149	152	155	158	161	164	167
0,5	171	175	179	183	187	191	195	199	203	207
0,6	211	216	221	226	231	236	241	246	251	256
0,7	261	266	271	276	281	287	293	299	306	312
0,8	318	324	330	337	344	352	360	369	378	387
0,9	397	407	417	427	437	447	458	469	480	491
1,0	502	514	527	541	555	570	585	600	615	631
1,1	647	664	682	701	720	739	759	779	800	821
1,2	843	866	891	918	946	976	1010	1040	1070	1100
1,3	1140	1180	1220	1260	1300	1340	1380	1430	1480	1530
1,4	1580	1640	1710	1780	1860	1950	2050	2150	2260	2380
1,5	2500	2640	2790	2950	3110	3280	3460	3660	3880	4120
1,6	4370	4630	4910	5220	5530	5880	6230	6600	6980	7370
1,7	7780	8200	8630	9070	9630	10100	10600	11100	11600	12200
1,8	12800	13400	14000	14600	15200	15900	16600	17300	18000	18800
1,9	19700	20600	21600	22 600	23600	24600	25600	26800	28200	29600
2,0	31000	32500	34300	36500	39000	42000	45500	49500	54500	59500

Примеры пользования таблицей:

1) При B = 0,80 Вб/м²: H = 318 А/м; при B = 0,85 Вб/м²: H = 352 А/м.

2) При B = 1,13 Вб/м²: H = 701 А/м.

---

Решение задач на расчет магнитных цепей при постоянных токах

---

Задача 2.1. На рис. 2.2 изображен разрез трех катушек, по которым проходят токи I₁ = 8 А, I₂=10 А и I₃ = 5 А.

Рис. 2.2

Катушки размещены на стальном сердечнике. Первая катушка (левая) w₁ имеет 8 витков, вторая (средняя) w₂ — 10 витков и третья (правая) w₃ — 6 витков. Определить полную магнитодвижущую силу (м. д. с.) по замкнутым контурам а, b, с, d, е, f, показанным на рис. 2.2. Контур е охватывает катушки w’₂ с 4 витками и w’₃ с 2 витками.

Изменится ли результат решения задачи, если при тех же данных катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала?

Решение

Воспользуемся законом полного тока. Линейный интеграл вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равен алгебраической сумме токов, проходящих сквозь поверхность, ограничиваемую контуром интегрирования,

∫ H → ⋅ dl → = ∑ I⋅w .

Пользуясь законом полного тока, найдем:

∫ a H → ⋅ dl → = w 1 ⋅ I 1 =8⋅8=64  А; ∫ b H → ⋅ dl → =− w 1 ⋅ I 1 =−8⋅8=−64  А; ∫ c H → ⋅ dl → = w 2 ⋅ I 2 − w 1 ⋅ I 1 =10⋅10−8⋅8=36  А; ∫ d H → ⋅ dl → = w 1 ⋅ I 1 − w 2 ⋅ I 2 + w 2 ⋅ I 2 + w 3 ⋅ I 3 =8⋅8+6⋅5=94  А; ∫ e H → ⋅ dl → = w ′ 2 ⋅ I 2 − w ′ 3 ⋅ I 3 =4⋅10+2⋅5=50  А; ∫ f H → ⋅ dl → =2 w 3 ⋅ I 3 =2⋅6⋅5=60  А.

В правой части последнего выражения коэффициент 2 учитывает то обстоятельство, что витки w₃ охватываются контуром интегрирования (циркуляции) дважды.

Следует заметить, что при пользовании правилом винта необходимо всегда сопоставлять направление обхода по контуру циркуляции с направлениями токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром циркуляции.

Результаты решения задачи не изменятся, если катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала, так как м. д. с. определяется только величиной полного тока и не зависит от магнитных свойств вещества.

---

Задача 2.2. Определить магнитодвижущую силу (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), необходимую для получения магнитного потока в 5,9·10^–4 Вб в кольцеобразном сердечнике, сечением S = 5 см². Длина средней линии магнитной индукции l = 25 см.

Определить Н (напряженность магнитного поля в сердечнике) и  μ r   (относительная магнитная проницаемость материала сердечника). Материал сердечника — слаболегированная электротехническая листовая сталь Э11.

Решение

Найдем магнитную индукцию

B= Ф S = 5,9⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 =1,18   Вб м 2 .

По кривой намагничивания для стали Э11 найдем, что индукции B = 1,18 Вб/м² соответствует H = 800 А/м.

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F = H·l = 800·0,25 = 200 А.

Определим абсолютную магнитную проницаемость:

μ a = B H = 1,18 800 =1475⋅ 10 −6    Гн м .

Магнитная проницаемость (относительная магнитная проницаемость)

μ r = μ a μ 0 = 1475⋅ 10 −6 4π⋅ 10 −7 =1175.

---

Задача 2.3. На рис. 2.3 изображен электромагнит, сердечник которого изготовлен из слаболегированной листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали.

Рис. 2.3

Какой ток должен быть пропущен через обмотку электромагнита (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), состоящую из w = 500 витков, для того, чтобы в якоре была создана магнитная индукция в 0,84 Вб/м². Размеры на рис. 2.3 даны в миллиметрах. Длина воздушного зазора δ  = 1 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сечения сердечника (пренебрегаем потоком рассеяния). Чему равна статическая индуктивность электромагнита?

Решение

Это пример прямой задачи на расчет магнитной цепи. На рис. 2.3 пунктиром проведена средняя линия магнитной индукции (приближенно). Длина проходящей вдоль сердечника части средней линии магнитной индукции abсd = l₁ = 0,28 м. Сечение сердечника S₁ = 2·2 = 4 см² = 4·10^–4 м².

Сечение якоря S₂ = 2·2,5 = 5 см² = 5·10^–4 м², длина проходящей через него части средней линии магнитной индукции efgh = l₂ = 0,16 м. Магнитная индукция в якоре B₂ = 0,84 Вб/м² (по условию задачи).

Из условия равенства магнитных потоков в якоре и в сердечнике (одноконтурная магнитная цепь, потоком рассеяния пренебрегаем)

Ф₁ = B₁·S₁ = B₂·S₂

найдем магнитную индукцию в сердечнике:

B 1 = B 2 ⋅ S 2 S 1 = 0,84⋅5⋅ 10 −4 4⋅ 10 −4 =1,05   Вб м 2 .

Сечение воздушного зазора, длина проходящей в нем части линии магнитной индукции и магнитная индукция равны:

S 3 =4⋅ 10 −4    м 2 ;   l 3 =2δ=2⋅ 10 −3   м;   B 3 =1,05   Вб м 2 ,

напряженность магнитного поля в воздухе:

H 3 = B 3 μ 0 = 1,05 4π⋅ 10 −7 =84⋅ 10 4    А м .

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F = H₁·l₁ + H₂·l₂ + H₃·l₃.

В целях большей наглядности расчеты удобно свести в таблицу, в которой данные для напряженности магнитного поля в отдельных элементах магнитопровода взяты по соответствующим кривым намагничивания. Так, для сердечника, изготовленного из стали Э11, находим, что индукции B₁ = 1,05 Вб/м² соответствует значение напряженности магнитного поля H₁ = 570 А/м, а для якоря, изготовленного из литой стали, имеем, что величине B₂ = 0,84 Вб/м² соответствует значение H₂ = 540 А/м.

Название участка	Материал	S, м2	l, м	B, Вб/м2	H, А/м	H·l, А
Сердечник	Сталь Э11	4·10–4	0,28	1,05	570	160
Якорь	Литая сталь	5·10–4	0,16	0,84	540	85
Воздушный зазор	Воздух	4·10–4	0,002	1,05	84·104	1680

                                                                                                                                     F= ∑ H k ⋅ l k =160+85+1680=1925  А.

Искомый ток найдем, пользуясь формулой F = I·w:

I= F w = 1925 500 =3,85  А.

Статическая индуктивность электромагнита равна отношению потокосцепления (полного магнитного потока) к току:

L ст = Ψ I = w⋅Ф I = 500⋅4,2⋅ 10 −4 3,85 =0,053  Гн=053  мГн.

---

Задача 2.4. Найти магнитную индукцию в якоре электромагнита (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изображенном на рис. 2.3, если на электромагнит намотано w = 250 витков, по которым проходит ток I = 4,4 А. Сердечник изготовлен из листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали. Размеры сердечника и якоря те же, что и в предыдущей задаче. Длина воздушного зазора 0,5 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сердечника.

Решение

Это пример обратной задачи на расчет магнитной цепи. Для ее решения надо построить кривую зависимости магнитного потока Ф в функции магнитодвижущей силы F и на кривой найти рабочую точку.

Чтобы построить кривую Ф = f (F) будем задаваться различными величинами магнитных потоков Ф, по которым вычисляем соответствующие им значения магнитной индукции B в каждом из участков магнитной цепи. Затем по кривым намагничивания находим напряженность поля H, соответствующую каждому значению индукции B, и, наконец, вычисляем магнитодвижущую силу по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F= ∑ H k ⋅ l k .

Так, например, примем Ф = 3,2·10^–4 Вб. Тогда

B серд = Ф S серд = 3,2⋅ 10 −4 4⋅ 10 −4 =0,8   Вб м 2 ; B як = Ф S як = 3,2⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 =0,64   Вб м 2 ; B заз = B серд =0,8   Вб м 2 .

По кривым намагничивания находим напряженности магнитного поля:

H серд =318   А м ; H як =330   А м ; H заз = B заз μ 0 = 0,8 4π⋅ 10 −7 =64⋅ 10 4    А м .

Магнитодвижущая сила

F= H серд ⋅ l серд + H як ⋅ l як + H заз ⋅ l заз =       =318⋅0,28+330⋅0,16+64⋅ 10 4 ⋅ 10 −3 =780  А.

Эта магнитодвижущая сила меньше заданной, которая равна

I·w = 4,4·250 = 1100 А.

Аналогично проводим расчеты для больших значений Ф, которые сведены в следующую таблицу:

Ф, Вб	Bсерд, Вб/м2	Нсерд, А/м	lсерд, м	Bяк, Вб/м2	Hяк, А/м	lяк, м	Bзаз, Вб/м2	Hзаз, А/м	lзаз, м	F, А
3,2·10–4	0,8	318	0,28	0,64	330	0,16	0,8	64·104	1·10–3	780
3,6·10–4	0,9	397	0,28	0,72	400	0,16	0,9	72·104	1·10–3	895
4,0·10–4	1,0	502	0,28 На http://www.online-invest.org проекты хайп.	0,80	490	0,16	1,0	80·104	1·10–3	1020
4,4·10–4	1,1	647	0,28	0,88	600	0,16	1,1	88·104	1·10–3	1160

Мы остановились на величине Ф = 4,4·10^–4 Вб потому, что для этого значения магнитного потока суммарная магнитодвижущая сила равна 1160 А, что больше заданных 1100 А. По данным расчетов построена кривая Ф = f (F) и на ней определена рабочая точка, которая при F = 1100 А соответствует значению магнитного потока в 4,24·10^–4 (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Следовательно, искомая индукция в якоре электромагнита

B як = Ф S як = 4,24⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 =0,848   Вб м 2 .

Обычно в технических расчетах значения магнитной индукции округляют до сотых долей Вб/м² (целые сотни гауссов); поэтому считаем B_як = 0,85 Вб/м².

Укажем, что задача могла бы быть решена и другим путем — методом проб: суть его состоит в том, что так же, как и выше, задаются некоторым значением магнитного потока Ф, для которого подсчитывают магнитодвижущую силу F. Если она окажется меньше заданной, то берут большие значения Ф до тех пор, пока не получат F больше заданной величины. После этого значения Ф, соответствующие большим и меньшим против заданного значениям F сужают до тех пор, пока для одного из сечений магнитной цепи полученные значения магнитной индукции будут различаться друг от друга не более чем на 0,1 Вб/м² (1000 Гс). Искомое значение Ф можно затем найти путем интерполирования.

Так, например, задаемся величиной Ф = 3,2·10^–4 Вб, которой соответствует магнитодвижущая сила F = 780 А, что меньше заданного значения F_зад = 1100 А. Теперь зададимся Ф’ = 4,4·10^–4 Вб, для которого найдем F’ = 1160 А; это больше заданной величины F_зад. Уменьшаем значение Ф, принимая его, например, равным 4·10^–4 Вб; ему соответствует значение F» = 1020 А, что вновь меньше заданной величины магнитодвижущей силы. Итак, при Ф» = 4·10^–4 Вб: B»_як = 0,8 Вб/м², а при Ф’ = 4,4·10^–4 Вб: B’_як = 0,88 Вб/м².

Таким образом, значения магнитной индукции B в одном из сечений (в данном случае в якоре) отличаются одно от другого менее, чем на 0,1 Вб/м² (0,88 — 0,8 = 0.08 Вб/м²).

Окончательное значение магнитного потока найдем линейным интерполированием.

Рис. 2.5

Из треугольника MNP (рис. 2.5) имеем:

ΔФ 4,4⋅ 10 −4 −4⋅ 10 −4 = 1100−1020 1160−1020 ,

отсюда

ΔФ=0,23⋅ 10 −4   Вб,  а  Ф=4⋅ 10 −4 +0,23⋅ 10 −4 =4,23⋅ 10 −4   Вб.

Искомая индукция в якоре

B як = Ф S як = 4,23⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 ≈0,85   Вб м 2 .

---

Задача 2.5. Найти магнитную индукцию в воздушном зазоре тороида (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изготовленного из литой стали (рис. 2.6), если на тороид намотано w = 400 витков, по которым проходит ток I = 4 А. Воздушный зазор = 2 мм. Размеры тороида на рисунке даны в мм.

Рис. 2.6

Решение

Задача может быть решена аналогично предыдущей. Мы здесь укажем, как быстрее всего найти первое приближенное значение магнитного потока. Для этого предполагаем, что вся заданная магнитодвижущая сила F = I·w расходуется на ту часть магнитопровода, которая предполагается имеющей наибольшее магнитное сопротивление. Получаемое при этом значение магнитного потока будет завышено по сравнению с фактическим, ибо в расчете не были учтены магнитные сопротивления других участков цепи.

Полагая в нашем случае, что вся магнитодвижущая сила падает на магнитном сопротивлении воздушного зазора, запишем по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока):

F=I⋅w= H возд ⋅δ= B μ 0 ⋅δ,

откуда

B= I⋅w⋅ μ 0 δ = 4⋅400⋅4π⋅ 10 −7 2⋅ 10 −3 =1,0   Вб м 2 .

Так как это значение индукции, как указано выше, явно завышено, проведем новый расчет для меньшего значения магнитной индукции, например, для 0,8 Вб/м². По кривой намагничивания для литой стали этой индукции соответствует величина напряженности магнитного поля H_ст = 490 А/м.

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока) при этом будет равна

F= H ст ⋅ l ст + H возд ⋅δ=490⋅0,785+ 0,8 4π⋅ 10 −7 ⋅2⋅ 10 −3 =1650  А,

что превышает заданную величину 1600 А.

Теперь проведем расчет для еще меньшей индукции B = 0,7 Вб/м². Для нее по кривой намагничивания напряженность H_ст = 380 А/м. Общая магнитодвижущая сила в этом случае будет

F= H ст ⋅ l ст + H возд ⋅δ=490⋅0,785+ 0,7 4π⋅ 10 −7 ⋅2⋅ 10 −3 =1410  А,

что меньше заданной величины 1600 А.

Таким образом, истинная величина индукции находится в пределах от 0,7 до 0,8 Вб/м². Ее мы найдем интерполированием (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Искомая индукция B=0,7+ΔB,  где  ΔB  находится из соотношения

ΔB 0,1 = 1600−1410 1650−1410 = 190 240 ,

откуда

ΔB= 190 240 ⋅0,1≈0,08   Вб м 2 .

Итак, искомая индукция равна 0,78 Вб/м² (7800 Гс).

---

Задача 2.6. Определить все магнитные потоки и ток, проходящий через катушку, расположенную на среднем стержне сердечника, если в левом стержне имеется магнитная индукция в 0,95 Вб/м². Размеры магнитопровода на рис. 2.8 даны в миллиметрах. Материал сердечника — листовая сталь Э11. Число витков катушки w = 500.

Рис. 2.8

Решение

Покажем на рисунке средние линии магнитной индукции. По данным задачи найдем их длины:

l_A = 60 см; l_B = 25 см; l_C = 70 см.

Задачи на сложную разветвленную несимметричную магнитную цепь решаются на основании первого и второго законов Кирхгофа для магнитной цепи:

для узла n

                                                Ф_B = Ф_A + Ф_C;                                       (1)

для контура npqn

                                             H_B·l_B + H_C·l_C = I·w;                               (2)

для контура npqmn

                                              H_C·l_C — H_A·l_A = 0.                                 (3)

В уравнениях (2) и (3) H_A, H_B и H_C соответственно напряженности магнитного поля в стержнях A, B и C.

Для магнитной индукции в левом стержне B_A = 0,95 Вб/м² по кривой намагничивания для листовой стали найдем H_A = 447 А/м.

Из уравнения (3) получим

H C = H A ⋅ l A l C = 447⋅60 70 =384   А м .

По кривой намагничивания находим, что H = 384 А/м соответствует индукция B_C = 0,89 Вб/м².

По уравнению (1) получим

Ф B = Ф A + Ф C = B A ⋅ S A + B C ⋅ S C =         =0,95⋅20⋅ 10 −4 +0,89⋅20⋅ 10 −4 =36,8⋅ 10 −4   Вб.

Следовательно,

B B = Ф B S B = 36,8⋅ 10 −4 40⋅ 10 −4 =0,92   Вб м 2 .

Этой индукции по кривой намагничивания соответствует H_B = 417 А/м. По уравнению (2) найдем

I·w = H_B·l_B + H_C·l_C = 417·0,25 + 384·0,7 = 373 А.

Искомый ток

I= F w = 373 500 ≈0,75  А.

---

Задача 2.7. Магнитная цепь изготовлена из листовой электротехнической стали Э11. На средний стержень сердечника намотана катушка, содержащая w = 930 витков, по которым проходит ток I = 1 А (рис. 2.8). На всем участке A сечение магнитной цепи считать S_A = 20 см², на участке B — S_B = 40 см², на участке С — S_C = 20 см². Длины средних линий магнитной индукции каждого из участков считать равными: l_A = 55 см, l_B = 25 см, l_C = 80 см.

Найти значения магнитной индукции во всех стержнях.

Решение

Выберем на рис. 2.8 пути средних линий магнитной индукции и запишем уравнения:

для узла n

                                                Ф_B = Ф_A + Ф_C;                                       (1)

для контура npqn

                                             H_B·l_B + H_C·l_C = I·w;                                (2)

для контура npqmn

                                              H_C·l_C — H_A·l_A = 0.                                     (3)

Построим кривые зависимостей

Ф_A = f₁ (H_A·l_A) = f₁ (U_Mnq);

Ф_B = f₂ (I·w — H_B·l_B) = f₂ (U_Mnq);

Ф_C = f₃ (H_C·l_C) = f₃ (U_Mnq).

Здесь U_Mnq — разность скалярных магнитных потенциалов точек n и q, или магнитодвижущая сила между теми же точками.

Для построения кривой f₁ задаемся различными величинами магнитных потоков Ф_A, по которым находим соответствующие им значения магнитной индукции B_A, для которых по кривой намагничивания определяем напряженность магнитного поля H_A. Беря произведение H_A·l_A, находим для различных потоков значения магнитных напряжений на участке A. Результаты вычислений сводим в таблицу. Таким же путем производим расчет для построения кривой на участке C. Наконец, для построения кривой f₂ (участок B) задаемся значениями Ф_B и по ним находим B_B, H_B, H_B·l_B и разность I·w — H_B·l_B. Указанные вычисления сведены в таблицу.

ФА, 10–4 Вб	BA, Вб/м2	HA, А/м	HAlA, А	ФC, 10–4 Вб	BC, Вб/м2	HC, А/м	HClC, А	ФB, 10–4 Вб	BB, Вб/м2	HB, А/м	HBlB, А	Iw–HBlB, Смотрите на сайте tłumacz Warszawa. Утепление деревянного дома снаружи. А
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	930
10	0,5	171	94	10	0,5	171	137	20	0,5	171	43	887
12	0,6	211	116	12	0,6	211	169	24	0,6	211	53	877
14	0,7	261	143	14	0,7	261	209	28	0,7	261	65	865
16	0,8	318	175	16	0,8	318	254	32	0,8	318	80	850
18	0,9	397	218	18	0,9	397	318	36	0,9	397	99	831
20	1,0	502	276	20	1,0	502	402	40	1,0	502	126	804
22	1,1	647	356	22	1,1	647	518	44	1,1	647	162	768
24	1,2	843	463	24	1,2	843	675	48	1,2	843	210	720
26	1,3	1140	626	26	1,3	1140	913	52	1,3	1140	285	645
28	1,4	1580	870	28	1,4	1580	1265	56	1,4	1580	395	535
30	1,5	2500	1375	30	1,5	2500	2000	60	1,5	2500	625	305

По этим данным построены кривые Ф_A, Ф_B, Ф_C (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Так как величины магнитных потоков должны удовлетворять уравнению (1), то проводим еще одну вспомогательную кривую Ф_B = Ф_A + Ф_C; она строится путем суммирования ординат кривых Ф_A и Ф_C для одних и тех же значений абсцисс. Точка m ее пересечения с кривой Ф_B = f₂ (I·w — H_B·l_B) определяет величину искомого потока

Ф_B = 50,4·10^–4 Вб.

Перпендикуляр mm’, опущенный из m на ось абсцисс, пересечет кривую Ф_A в точке n, а кривую Ф_C — в точке p, отрезок nm’ выражает искомый магнитный поток в стержне A:

Ф_A = 26,4·10^–4 Вб, а отрезок pm’ — поток Ф_C = 24·10^–4 Вб.

По найденным потокам находим магнитные индукции в каждом из стержней:

B A = Ф A S A = 26,4⋅ 10 −4 20⋅ 10 −4 =1,32   Вб м 2 ; B B = Ф B S B = 50,4⋅ 10 −4 40⋅ 10 −4 =1,26   Вб м 2 ; B C = Ф C S C = 24,0⋅ 10 −4 20⋅ 10 −4 =1,20   Вб м 2 .

Проверка. Можно убедиться, что при найденных значениях магнитных индукций удовлетворяются уравнения (1) — (3). Для этого по кривой намагничивания надо найти для каждого значения B соответствующее значение H и подставить в указанные уравнения.

---

Задача 2.8. Сердечник собран из листов электротехнической стали марки Э11. Форма и размеры сердечника (в мм) указаны на рис. 2.10.

Рис. 2.10

Обмотка имеет w = 400 витков, по которым проходит ток I = 3,5 А. Длина воздушного зазора составляет 1 мм. Определить магнитный поток в сердечнике. При расчете следует считать, что сечение воздушного зазора равно сечению сердечника.

Задачу решить следующими аналитическими методами: а) линейной аппроксимации, б) кусочно-линейной аппроксимации, в) дробно-линейной аппроксимации.

Результаты, полученные для каждого из случаев, сравнить с теми, какие получаются при решении задачи обычным способом.

Решение

Найдем длину средней линии магнитной индукции и сечение стального сердечника (рис. 2.10):

l₁ = 2· (90 — + 2· (46 — = 240 мм = 0,24 м;

S₁ = 8·5 = 40 мм² = 0,4·10^–4 м².

Длина средней линии магнитной индукции в воздушном зазоре и его сечение равны:

l₂ = 1 мм = 1·10^–3 м;

S₂ = 8·5 = 40 мм² = 0,4·10^–4 м².

Решая задачу способом, указанным в решении задачи 2.4, найдем магнитную индукцию B = 1,35 Вб/м² и соответствующий магнитный поток

Ф = B·S = 1,35·0,4·10^–4 = 0,54·10^–4 Вб.

а) Расчет магнитной цепи методом линейной аппроксимации кривой намагничивания

Здесь расчет магнитной цепи основан на замене рабочей части кривой намагничивания прямой линией в некоторой области изменения магнитной индукции. Примем, например, что магнитная индукция изменяется в пределах от нуля до 1,5 Вб/м². Заменим кривую намагничивания (рис. 2.11) прямой линией 0b.

Рис. 2.11

Ее уравнение B = k₁·H, здесь коэффициент k₁ равен тангенсу угла наклона прямой 0b к оси абсцисс и выражает приближенное значение абсолютной магнитной проницаемости стали в рассматриваемом интервале

μ a1 = μ r1 ⋅ μ 0 = k 1 = B H = 1,5 2500 =6⋅ 10 −4    Гн м .

Искомый магнитный поток определяем по уравнению:

Ф= I⋅w R M1 + R M2 ,

где

R M1 = l 1 μ a1 ⋅ S 1 = l 1 μ r1 μ 0 ⋅ S 1 ;   R M2 = l 2 μ 0 ⋅ S 2 — магнитные сопротивления, соответственно стальной части и воздушного зазора.

Производим вычисления:

R M1 = l 1 μ a1 ⋅ S 1 = 0,24 6⋅ 10 −4 ⋅0,4⋅ 10 −4 =1,0⋅ 10 7    1 Гн ; R M2 = l 2 μ 0 ⋅ S 2 = 1⋅ 10 −3 4π⋅ 10 −7 ⋅0,4⋅ 10 −4 =1,98⋅ 10 7    1 Гн ; Ф= I⋅w R M1 + R M2 = 3,5⋅400 1,0⋅ 10 7 +1,98⋅ 10 7 =0,47⋅ 10 −7   Вб.

Ошибка в сравнении с результатами, полученными обычным способом, составляет

0,54⋅ 10 −4 −0,47⋅ 10 −4 0,54⋅ 10 −4 ⋅100%≈13%.

б) Расчет магнитной цепи методом кусочно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Здесь расчет магнитной цепи основан на замене рабочей части кривой намагничивания отрезками прямых линий, например, из двух прямых отрезков 0a и ab (рис. 2.11).

Предполагается, что рабочий режим лежит в области индукций между B₁ и B₂, соответствующих точкам a и b.

Уравнение прямой ab, выражающей зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля в стали, имеет вид:

B ст = B 1 + k 2 ⋅ ( H ст − H 1 ),                (1)

где k₂ — тангенс угла наклона прямой ab с осью абсцисс:

k 2 = B 2 − B 1 H 2 − H 1 .                    (2)

Напряженность магнитного поля в воздухе может быть выражена следующим образом:

H в = B в μ 0 = Ф μ 0 ⋅ S 2 = B ст ⋅ S 1 μ 0 ⋅ S 2 = B ст μ ′ 0 ,     (3)

где ради краткости обозначено

μ ′ 0 = μ 0 ⋅ S 2 S 1 .                (4)

Подставляя в уравнение (3) вместо B_ст его значение из уравнения (1), получим:

H в =[ B 1 + k 2 ⋅ ( H ст − H 1 ) ]⋅ 1 μ ′ 0 .     (5)

Для определения H_ст воспользуемся уравнением второго закона Кирхгофа для магнитной цепи (законом полного тока)

H_ст·l₁ + H_в·l₂ = I·w.          (6)

Подставляя в уравнение (6) значение Н_в из уравнения (5), будем иметь:

H ст ⋅ l 1 + B 1 ⋅ l 2 μ ′ 0 + k 2 ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ ( H ст − H 1 )=I⋅w.

Решая это алгебраическое уравнение относительно H_ст, найдем:

H ст = I⋅w⋅ μ ′ 0 − B ′ ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ l 1 + k 2 ⋅ l 2 ,       (7)

где

B ′ = B 1 − k 2 ⋅ H 1 .           (8)

Величина магнитной индукции в стали находится путем подстановки найденного значения H_с в уравнение (1):

B ст = μ ′ 0 ⋅ I⋅w⋅ k 2 + B ′ ⋅ l 1 μ ′ 0 ⋅ l 1 + k 2 ⋅ l 2 ,        (9)

Для нашей задачи выберем ломаную так, что:

в точке a

B₁ = 1,2 Вб/м², соответствующее H₁ = 843 А/м,

в точке b

B₂ = 1,5 Вб/м², соответствующее H₂ = 2500 А/м.

По формулам (2), (4), (8), (7) и (1) находим:

k 2 = B 2 − B 1 H 2 − H 1 = 1,5−1,2 2500−843 =18,15⋅ 10 −5    Гн м ; μ ′ 0 = μ 0 ⋅ S 2 S 1 = μ 0 ⋅ 0,4⋅ 10 −4 0,4⋅ 10 −4 = μ 0 =4π⋅ 10 −7    Гн м ; B ′ = B 1 − k 2 ⋅ H 1 =1,2−18,15⋅ 10 −5 ⋅843=1,05   Вб м 2 ; H ст = I⋅w⋅ μ ′ 0 − B ′ ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ l 1 + k 2 ⋅ l 2 = 3,5⋅400⋅4π⋅ 10 −7 −1,05⋅1⋅ 10 −3 4π⋅ 10 −7 ⋅0,24+18,15⋅ 10 −5 ⋅1⋅ 10 −3 =1470  А м ; B ст = B 1 + k 2 ⋅ ( H ст − H 1 )=1,2+18,15⋅ 10 −5 ⋅ ( 1470−843 )=1,314   Вб м 2 .

И, наконец, искомый поток

Ф = B_ст·S₁ = 1,314·0,4·10^–4 = 0,525·10^–4 Вб.

Ошибка по сравнению с обычным способом расчета составляет

0,54⋅ 10 −4 −0,525⋅ 10 −4 0,54⋅ 10 −4 ⋅100%≈3%.

в) Расчет магнитной цепи методом дробно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Дробно-линейная аппроксимация делается посредством уравнения:

B ст = H ст α+β⋅ H ст .          (10)

Входящие сюда коэффициенты α  и  β  находятся из известных значений магнитной индукции и напряженности магнитного поля в двух выбранных точках кривой намагничивания, между которыми ожидается действительный режим работы стального участка магнитной цепи.

Для определения Н_ст поступим следующим образом: из уравнения (10) значение В_ст подставим в уравнение (3), тогда получим:

H в = B ст μ ′ 0 = H ст μ ′ 0 ⋅ ( α+β⋅ H ст ) .

Это значение Н_в подставим в уравнение (6) второго закона Кирхгофа для магнитной цепи (закона полного тока):

H ст ⋅ l 1 + H ст ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ ( α+β⋅ H ст ) =I⋅w.

Решая относительно Н_ст это квадратное уравнение, найдем:

H ст = 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q )+ 1 4 ( I⋅w l 1 − 1+p q ) 2 + I⋅w q⋅ l 1 .        (11)

Второй корень квадратного уравнения, как не имеющий физического смысла, ввиду того что Н_ст должна выражаться положительным числом, опущен.

В уравнении (11) введены ради краткости обозначения:

p= l 2 ⋅ S 1 l 1 ⋅ S 2 ⋅ μ 0 ⋅α ;   q= β α .         (12)

Проведем числовые расчеты для нашей задачи, принимая для B и H те числовые значения, какие они имеют на границах рассматриваемого интервала в указанных выше точках a и b. По уравнению (10) имеем:

1,2= 843 α+β⋅843 ;   1,5= 2500 α+β⋅2500 .

Решая эти два уравнения, найдем:

α=213   м Гн ;   β=0,581    м 2 Вб .

Далее по формулам (12), (13), (11) и (10) получим:

p= l 2 ⋅ S 1 l 1 ⋅ S 2 ⋅ μ 0 ⋅α = 1⋅ 10 −3 ⋅0,4⋅ 10 −4 0,24⋅0,4⋅ 10 −4 ⋅4π⋅ 10 −7 ⋅α 213=15,6;  q= β α = 0,581 213 =2,73⋅ 10 −3    м А ; I⋅w q⋅ l 1 = 3,5⋅400 2,73⋅ 10 −3 ⋅0,24 =2,14⋅ 10 6    А 2 м 2 ; 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q )= 1 2 ( 3,5⋅400 0,24 − 16,6 2,73⋅ 10 −3 )=−125; H ст = 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q )+ [ 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q ) ] 2 + I⋅w q⋅ l 1 =            =−125+ 125 2 +2,14⋅ 10 6 =−125+1515=1390    А м ; B ст = H ст α+β⋅ H ст = 1390 213+0,581⋅1390 =1,363   Вб м 2 .

Искомый магнитный поток равен:

Ф = B_ст·S₁ = 1,363·0,4·10^–4 = 0,545·10^–4 Вб.

Ошибка в сравнении с обычным методом расчета магнитных цепей составляет:

0,545⋅ 10 −4 −0,54⋅ 10 −4 0,545⋅ 10 −4 ⋅100%≈0,9%.

Отметим, что расчет при помощи дробно-линейной аппроксимации приводит к удовлетворительным результатам даже в тех случаях, когда велико расстояние между граничными точками.

закон полного тока,
магнитная цепь,
расчет магнитной цепи,
методы расчета магнитных цепей,
решение задач магнитные цепи

Решение:
На проводник действуют: две одинаковые силы натяжения нитей Т, сила тяжести mg и сила

со стороны магнитного поля, где α — угол между направлениями тока I и магнитной индукции (в нашем случае α = 90° и sinα = 1). Подразумевается, что направления тока и магнитной индукции таковы, что сила F направлена вниз (рис. 140). В противном случае силы натяжения нитей при пропускании тока не возрастают, а уменьшаются, и нити не оборвутся.
Если проводник находится в равновесии, то

отсюда

Для разрыва одной из нитей необходимо выполнение условия

или

6 На прямой проводник длины l=0,5 м, расположенный перпендикулярно к линиям индукции магнитного поля, действует сила F=0,15 Н. Найти ток I, протекающий в проводнике, если магнитная индукция B = 20 мТл.

Решение:
Если проводник расположен перпендикулярно к направлению магнитной индукции, то F=BIl, где I-ток в проводнике; отсюда I=F/Bl=15 А.

7 Между полюсами магнита подвешен горизонтально на двух невесомых нитях прямой проводник длины l=0,2 м и массы m=10 г. Индукция однородного магнитного поля B = 49 мТл и перпендикулярна к проводнику. На какой угол α от вертикали отклонятся нити, поддерживающие проводник, если по нему пропустить ток I=2 А?

Решение:
На проводник действуют: силы натяжения двух нитей Т, сила тяжести mg и сила F=BIl со стороны магнитного поля (рис. 371). При равновесии проводника суммы проекций сил (с учетом их знаков) на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю:

отсюда

8 Найти напряженность Н и индукцию B магнитного поля прямого тока в точке, находящейся на расстоянии r=4м от проводника, если ток I=100 А.

Решение:

9 ГОСТ 8.417—81 дает такое определение единицы силы тока — ампера: «Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожной малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длины 1 м силу взаимодействия, равную ». Исходя из этого определения, вычислить магнитную постоянную mo.

Решение:
Вокруг бесконечно длинного прямолинейного проводника, по которому течет ток I1 образуется магнитное поле, напряженность которого на расстоянии r от проводника

а индукция

При этом векторы Н и В направлены одинаково и лежат в плоскости, перпендикулярной к проводнику. На отрезок второго проводника длины l, по которому течет ток I₂, магнитное поле действует с силой

где α — угол между направлениями отрезка проводника и магнитной индукции. Так как второй проводник параллелен первому, то α = 90° и sinα = 1. Таким образом,

Подставив значения

найдем

10 Индукция однородного магнитного поля B=0,5 Тл. Найти магнитный поток через площадку S=25 см², расположенную перпендикулярно к линиям индукции. Чему будет равен магнитный поток, если площадку повернуть на угол α = 60° от первоначального положения?

Решение:
На рис. 372 показано направление магнитной индукции и положение площадки в обоих случаях. По определению магнитный поток

где α — угол между нормалью n к площадке и направлением магнитной индукции В. В первом случае

во втором случае α=φ (углы с взаимно перпендикулярными сторонами) и

11 Найти магнитную индукцию и магнитный поток через поперечное сечение никелевого сердечника соленоида (рис. 141), если напряженность однородного магнитного поля внутри соленоида H=25 кА/м. Площадь поперечного сечения сердечника S=20 см², магнитная проницаемость никеля μ = 200.

Решение:

12 Магнитный поток через поперечное сечение катушки, имеющей n=1000 витков, изменился на величину ΔФ = 2 мВб в результате изменения тока в катушке от I₁ = 4 А до I₂ = 20А. Найти индуктивность L катушки.

Решение:

13 Виток площади S = 2 см² расположен перпендикулярно к линиям индукции однородного магнитного поля. Найти индуцируемую в витке э.д.с, если за время Δt = 0,05 с магнитная индукция равномерно убывает от B₁=0,5Тл до В₂ = 0,1 Тл.

Решение:

14 Какой магнитный поток пронизывал каждый виток катушки, имеющей n =1000 витков, если при равномерном исчезновении магнитного поля в течение времени Δt = 0,1 с в катушке индуцируется э.д.с. ε = 10 В?

Решение:

15 Рамка в форме равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с напряженностью H=64кА/м. Нормаль к плоскости рамки составляет с линиями индукции магнитного поля угол α = 30°. Найти длину стороны рамки а, если в рамке при выключении поля в течение времени Δt = 0,03 с индуцируется э. д. с. ε = 10 мВ.

Решение:
Начальный магнитный поток через рамку

где
площадь рамки и B=µ₀H-магнитная индукция. Конечный магнитный поток Ф₂=0. Изменение магнитного потока

Э.д.с. индукции

отсюда


16 Квадратная рамка со стороной а=10см помещена в однородное магнитное поле. Нормаль к плоскости рамки составляет с линиями индукции магнитного поля угол α = 60°. Найти магнитную индукцию В этого поля, если в рамке при выключении поля в течение времени Δt = 0,01 с индуцируется э.д.с. ε = 50 мВ.

Решение:

17 Плоский виток площади S= 10 см² помещен в однородное магнитное поле перпендикулярно к линиям индукции. Сопротивление витка R=1 Ом. Какой ток I протечет по витку, если магнитная индукция поля будет убывать со скоростью ΔB/Δt = 0,01 Тл/с?

Решение:

18 Плоский виток площади S= 10 см² помещен в однородное магнитное поле с напряженностью H=80 кА/м, перпендикулярное к линиям индукции. Сопротивление витка R = 1 Ом. Какой заряд протечет по витку, если поле будет исчезать с постоянной скоростью?

Решение:

19 Какова индуктивность катушки с железным сердечником, если за время Δt = 0,5 с ток в цепи изменился от I₁ = 10 А до I₂ = 5 А, а возникшая при этом э.д.с. самоиндукции ε = 25 В?

Решение:
Э.д.с. самоиндукции

отсюда

20 Проводник длины l=2 м движется в однородном магнитном поле со скоростью v = 5 м/с, перпендикулярной к проводнику и линиям индукции поля. Какая э. д. с. индуцируется в проводнике, если магнитная индукция B=0,1 Тл?
Решение:
Э.д.с. индукции

магнитный поток через площадь ΔS, «заметаемую» проводником за время Δt (рис. 373). Опуская знак минус, найдем

21 Самолет летит горизонтально со скоростью v = 900 км/ч. Найти разность потенциалов, возникающую между концами крыльев самолета, если вертикальная составляющая индукции земного магнитного поля Bo = 0,5 мкТл и размах крыльев самолета l=12 м.

Решение:
Крылья самолета за время Δt «заметают» площадь

Магнитный поток через эту площадь равен

где

вертикальная составляющая индукции земного магнитного поля (α — угол между вертикалью и направлением магнитной индукции). Разность потенциалов V между концами крыльев самолета равна э.д.с. ε, индуцируемой в металлических крыльях и корпусе самолета при его движении в магнитном поле Земли:

22 С какой скоростью должен двигаться проводник длины l=10 см перпендикулярно к линиям индукции однородного магнитного поля, чтобы между концами проводника возникла разность потенциалов V=0,01 В? Скорость проводника составляет с направлением самого проводника угол α = 30°. Линии индукции перпендикулярны к проводнику, индукция B = 0,2 Тл.

Решение:
Площадь, «заметаемая» за время Δt проводником, скорость которого v направлена под углом а к самому проводнику, представляет собой площадь параллелограмма (рис.374):

Магнитный поток через эту площадь

Разность потенциалов V между концами проводника равна э.д.с. ε, индуцируемой в этом проводнике:

23 Какой ток идет через гальванометр, присоединенный к железнодорожным рельсам, при приближении к нему поезда со скоростью v = 60 км/ч? Вертикальная составляющая индукции земного магнитного поля Bо=50 мкТл. Сопротивление гальванометра R=100 Ом. Расстояние между рельсами l=1,2 м; рельсы считать изолированными друг от друга и от земли.

Решение:

24 Квадратная рамка со стороной l=2 см помещена в однородное магнитное поле с индукцией B = 100 Тл. Плоскость рамки перпендикулярна к линиям индукции поля. Сопротивление рамки R=1 Ом. Какой ток протечет по рамке, если ее выдвигать из магнитного поля со скоростью ν = 1 см/с, перпендикулярной к линиям индукции? Поле имеет резко очерченные границы, и стороны рамки параллельны этим границам.

Решение:
Пока рамка находится в области, где имеется магнитное поле, магнитный поток через поверхность, ограниченную рамкой,
при движении рамки не изменяется. Поэтому э.д.с. индукции в рамке не возникает. После того как одна из сторон рамки вышла за границу поля (рис. 375), магнитный поток через поверхность, ограниченную рамкой, будет изменяться. За время Δt рамка перемещается на расстояние νΔt и часть площади рамки, которую пересекает магнитное поле, уменьшается на величину
Магнитный поток за это время изменяется на величину

Индуцируемая в рамке э.д.с.

и по рамке протечет ток

Когда рамка выйдет из области, где имеется магнитное поле, э.д.с. индукции снова станет равной нулю.

25 Проволочный виток площади S= 1 см², имеющий сопротивление R = 1 мОм, пронизывается однородным магнитным полем, линии индукции которого перпендикулярны к плоскости витка. Магнитная индукция изменяется со скоростью ΔB/Δt = 0,01 Тл/с. Какое количество теплоты выделяется в витке за единицу времени?

Решение:

26 Прямоугольная рамка, подвижная сторона которой имеет длину l, помещена в однородное магнитное поле с индукцией B. Плоскость рамки перпендикулярна к линиям индукции магнитного поля. Подвижную сторону, которая вначале совпадает с противоположной ей неподвижной, начинают двигать равномерно со скоростью ν. Найти зависимость тока I в рамке от времени t. Сопротивление единицы длины проводника равно Rl.

Решение:


27 Два параллельных, замкнутых на одном конце провода, расстояние между которыми l=50 см, находятся в однородном магнитном поле с индукцией B = 5 мТл. Плоскость, в которой расположены провода, перпендикулярна к линиям индукции поля. На провода положен металлический мостик, который может скользить по проводам без трения. Мостик под действием силы F=0,1 мН движется со скоростью ν=10м/с. Найти сопротивление R мостика. Сопротивлением проводов пренебречь.

Решение:

28 Рамка из n = 1000 витков, имеющих площадь S = 5 см², замкнута на гальванометр с сопротивлением R=10 кОм и помещена в однородное магнитное поле с индукцией B=10мТл, причем линии индукции поля перпендикулярны к ее плоскости. Какой заряд q протечет по цепи гальванометра, если направление индукции магнитного поля плавно изменить на обратное?

Решение:
При плавном изменении магнитной индукции в рамке индуцируется э.д.с.

где ΔФ-изменение магнитного потока, Δt — время, в течение которого происходило это изменение. Ток в рамке

Заряд, протекший по цепи за время Δt,

Начальный поток магнитной индукции

При изменении направления магнитного поля на обратное магнитный поток изменяет знак. Поэтому конечный магнитный поток

Изменение магнитного потока

Таким образом,

29 Замкнутая катушка диаметра D с числом витков n помещена в однородное магнитное поле с индукцией В. Плоскость катушки перпендикулярна к линиям индукции поля. Какой заряд q протечет по цепи катушки, если ее повернуть на 180? Проволока, из которой намотана катушка, имеет площадь сечения S и удельное сопротивление ρ.

Решение:

30 В цепь включены последовательно источник тока с э.д.с. ε = 1,2 В, реостат с сопротивлением R=1 Ом и катушка с индуктивностью L=1 Гн. В цепи протекал постоянный ток I₀. С некоторого момента сопротивление реостата начинают менять так, чтобы ток уменьшался с постоянной скоростью ΔI/Δt = 0,2 А/с. Каково сопротивление R, цепи спустя время t = 2 с после начала изменения тока?

Решение:
Сумма э.д.с. источника тока и э.д.с, индуцируемой в цепи при равномерном изменении тока, равна

Ток изменяется
по закону

Сопротивление цепи в любой момент времени

В момент времени t= 2 с искомое сопротивление Rt= 1,75 0м.

31 Какой ток I покажет амперметр в схеме, изображенной на рис. 142, если индукция перпендикулярного к плоскости рисунка однородного магнитного поля меняется с течением времени по закону B = kt? Точки с и d лежат на концах диаметра проволочного кольца. Сопротивление единицы длины проволоки равно Rl; диаметр кольца равен D.

Всем доброго времени суток. В прошлой статье я рассказал о магнитном поле и немного остановился на его параметрах. Данная статья продолжает тему магнитного поля и посвящена такому параметру как магнитная индукция. Для упрощения темы я буду рассказывать о магнитном поле в вакууме, так как различные вещества имеют разные магнитные свойства, и как следствие необходимо учитывать их свойства.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Закон Био – Савара – Лапласа

В результате исследования магнитных полей создаваемых электрическим током, исследователи пришли к таким выводам:

• магнитная индукция, создаваемая электрическим током пропорциональна силе тока;
• магнитная индукция имеет зависимость от формы и размеров проводника, по которому протекает электрический ток;
• магнитная индукция в любой точке магнитного поля зависит от расположения данной точки по отношению к проводнику с током.

Французские учёные Био и Савар, которые пришли к таким выводам обратились к великому математику П. Лапласу для обобщения и вывода основного закона магнитной индукции. Он высказал гипотезу, что индукция в любой точке магнитного поля, создаваемое проводником с током можно представить в виде суммы магнитных индукций элементарных магнитных полей, которые создаются элементарным участком проводника с током. Данная гипотеза и стала законом магнитной индукции, называемого законом Био – Савара – Лапласа. Для рассмотрения данного закона изобразим проводник с током и создаваемую им магнитную индукцию

Магнитная индукция dB, создаваемая элементарным участком проводника dl.

Тогда магнитная индукция dB элементарного магнитного поля, которое создается участком проводника dl, с током I в произвольной точке Р будет определяться следующим выражением

где I – сила тока, протекающая по проводнику,

r – радиус-вектор, проведённый от элемента проводника к точке магнитного поля,

dl – минимальный элемент проводника, который создает индукцию dB,

k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы отсчёта, в СИ k = μ₀/(4π)

Так как [dl r] является векторным произведением, тогда итоговое выражение для элементарной магнитной индукции будет выглядеть следующим образом

Таким образом, данное выражение позволяет найти магнитную индукцию магнитного поля, которое создается проводником с током произвольной формы и размеров при помощи интегрирования правой части выражения

где символ l обозначает, что интегрирование происходит по всей длине проводника.

Магнитная индукция прямолинейного проводника

Как известно простейшее магнитное поле создает прямолинейный проводник, по которому протекает электрический ток. Как я уже говорил в предыдущей статье, силовые линии данного магнитного поля представляют собой концентрические окружности расположенные вокруг проводника.

Магнитная индукция магнитного поля создаваемого прямолинейным проводником с током.

Для определения магнитной индукции В прямого провода в точке Р введем некоторые обозначения. Так как точка Р находится на расстоянии b от провода, то расстояние от любой точки провода до точки Р определяется как r = b/sinα. Тогда наименьшую длину проводника dl можно вычислить из следующего выражения

В итоге закон Био – Савара – Лапласа для прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид

где I – ток, протекающий по проводу,

b – расстояние от центра провода до точки, в которой рассчитывается магнитная индукция.

Теперь просто проинтегрируем получившееся выражение по dα в пределах от 0 до π.

Таким образом, итоговое выражение для магнитной индукции прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид

где μ₀  – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м,

I – ток, протекающий по проводу,

b – расстояние от центра проводника до точки, в которой измеряется индукция.

Магнитная индукция кольца

Индукция прямого провода имеет небольшое значение и уменьшается при удалении от проводника, поэтому в практических устройствах практически не применяется. Наиболее широко используются магнитные поля созданные проводом, намотанным на какой либо каркас. Поэтому такие поля называются магнитными полями кругового тока. Простейшим таким магнитным поле обладает электрический ток, протекающий по проводнику, который имеет форму окружности радиуса R.

В данном случае практический интерес представляет два случая: магнитное поле в центре окружности и магнитное поле в точке Р, которое лежит на оси окружности. Рассмотрим первый случай.

Магнитная индукция в центре кругового тока.

В данном случае каждый элемент тока dl создаёт в центре окружности элементарную магнитную индукцию dB, которая перпендикулярна к плоскости контура, тогда закон Био-Савара-Лапласа будет иметь вид

Остается только проинтегрировать полученное выражение по всей длине окружности

где μ₀  – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м,

I – сила тока в проводнике,

R – радиус окружности, в которое свернут проводник.

Рассмотрим второй случай, когда точка, в которой вычисляется магнитная индукция, лежит на прямой х, которая перпендикулярна плоскости ограниченной круговым током.

Магнитная индукция в точке, лежащей на оси окружности.

В данном случае индукция в точке Р будет представлять собой сумму элементарных индукций dB_X, которые в свою очередь представляет собой проекцию на ось х элементарной индукции dB

Применив закон Био-Савара-Лапласа вычислим величину магнитной индукции

Теперь проинтегрируем данное выражение по всей длине окружности

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м,

I – сила тока в проводнике,

R – радиус окружности, в которое свернут проводник,

х – расстояние от точки, в которой вычисляется магнитная индукция, до центра окружности.

Как видно из формулы при х = 0, получившееся выражение переходит в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока.

Циркуляция вектора магнитной индукции

Для расчёта магнитной индукции простых магнитных полей достаточно закона Био-Савара-Лапласа. Однако при более сложных магнитных полях, например, магнитное поле соленоида или тороида, количество расчётов и громоздкость формул значительно увеличится. Для упрощения расчётов вводится понятие циркуляции вектора магнитной индукции.

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному контуру.

Представим некоторый контур l, который перпендикулярный току I. В любой точке Р данного контура, магнитная индукция В направлена по касательной к данному контуру. Тогда произведение векторов dl и В описывается следующим выражением

Так как угол dφ достаточно мал, то векторов dl_В определяется, как длина дуги

Таким образом, зная магнитную индукцию прямолинейного проводника в данной точке, можно вывести выражение для циркуляции вектора магнитной индукции

Теперь остаётся проинтегрировать получившееся выражение по всей длине контура

В нашем случае вектор магнитной индукции циркулирует вокруг одного тока, в случае же нескольких токов выражение циркуляции магнитной индукции переходит в закон полного тока, который гласит:

Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, которые охватывает данный контур.

Магнитное поле соленоида и тороида

С помощью закона полного тока и циркуляции вектора магнитной индукции достаточно легко определить магнитную индукцию таких сложных магнитных полей как у соленоида и тороида.

Соленоидом называется цилиндрическая катушка, которая состоит из множества витков проводника, намотанных виток к витку на цилиндрический каркас. Магнитное поле соленоида фактически состоит из множества магнитных полей кругового тока с общей осью, перпендикулярной к плоскости каждого кругового тока.

Магнитная индукция соленоида.

Воспользуемся циркуляцией вектора магнитной индукции и представим циркуляцию по прямоугольному контуру 1-2-3-4. Тогда циркуляция вектора магнитной индукции для данного контура будет иметь вид

Так как на участках 2-3 и 4-1 вектор магнитной индукции перпендикулярен к контуру, то циркуляция равна нулю. На участке 3-4, который значительно удалён от соленоида, то его так же можно не учитывать. Тогда с учётом закона полного тока магнитная индукция в соленоиде достаточно большой длины будет иметь вид

где n – число витков проводника соленоида, которое приходится на единицу длины,

I – ток, протекающий по соленоиду.

Тороид образуется путём намотки проводника на кольцевой каркас. Данная конструкция эквивалентна системе из множества одинаковых круговых токов, центры которых расположены на окружности.

Магнитная индукция тороида.

В качестве примера рассмотрим тороид радиуса R, на который намотано N витков провода. Вокруг каждого витка провода возьмём контур радиуса r, центр данного контура совпадает в центром тороида. Так как вектор магнитной индукции B направлен по касательной к контуру в каждой точке контура, то циркуляция вектора магнитной индукции будет иметь вид

где r – радиус контура магнитной индукции.

Контур проходя внутри тороида охватывает N витков провода с током I, тогда закон полного тока для тороида будет иметь вид

где n – число витков проводника, которое приходится на единицу длины,

r – радиус контура магнитной индукции,

R – радиус тороида.

Таким образом, используя закон полного тока и циркуляцию вектора магнитной индукции можно рассчитать сколь угодно сложное магнитное поле. Однако закон полного тока дает правильные результаты только лишь в вакууме. В случае расчёта магнитной индукции в веществе необходимо учитывать так называемые молекулярные токи. Об этом пойдёт речь в следующей статье.