Как найти индукцию поля внутри соленоида

Магнитное поле соленоида

Соленоидом
называется совокупность N
одинаковых витков изолированного
проводящего провода, равномерно
намотанных на общий каркас или сердечник.
По виткам проходит одинаковый ток.
Магнитные поля, созданные каждым витком
в отдельности, складываются по принципу
суперпозиции. Индукция магнитного поля
внутри соленоида велика, а вне его —
мала. Для бесконечно длинного соленоида
индукция магнитного поля вне соленоида
стремится к нулю. Если длина соленоида
во много раз больше диаметра его витков,
то соленоид можно практически считать
бесконечно
длинным.
Магнитное
поле такого соленоида целиком сосредоточено
внутри него и является однородным
(рис.6).

Величину
индукции магнитного поля внутри
бесконечно длинного соленоида можно
определить, используя теорему
о циркуляции вектора
:циркуляция
вектора
по произвольному замкнутому контуру
равна алгебраической сумме токов,
охватываемых контуром, умноженной на
магнитную постоянную μ_о:

,
(20)

где
μ₀ =
4π 10^-7
Гн/м.

Рис.6.
Магнитное поле соленоида

Для
определения величины магнитной индукции
В внутри соленоида выберем замкнутый
контур ABCD
прямоугольной формы, где
— элемент длины контура, задающий
направление обхода (рис.6). При этом длиныAB
и CD
будем считать бесконечно малыми.

Тогда
циркуляция вектора
по замкнутому контуруABCD,
охватывающему N
витков, равна:

(21)

На
участках AB
и CD
произведение
,
так как вектораивзаимно перпендикулярны. Поэтому

.
(22)

На
участке DA
вне соленоида интеграл,
так как магнитное поле вне контура
равно нулю.

Тогда формула (21)
примет вид:

,
(23)

где
l
– длина участка BC.
Сумма токов, охватываемых контуром,
равна

,
(24)

где
I_c
– сила
тока соленоида; N – число
витков, охватываемых контуром ABCD.

Подставив (23) и
(24) в (20), получим:

. (25)

Из
(25) получим выражение для индукции
магнитного поля бесконечно длинного
соленоида:

.
(26)

Так
как число витков на единицу длину
соленоида n
равно:

(27)

то
окончательно получим:

.
(28)

Если внутрь
соленоида помещен сердечник, то формула
(28) для В примет вид:

.
(29),

где

— магнитная проницаемость материала
сердечника.

Таким
образом, индукция
В магнитного поля соленоида определяется
током соленоида I_c,
числом витком n
на единицу длины соленоида и магнитной
проницаемостью материала сердечника.

Цилиндрический магнетрон

Магнетроном
называется двухэлектродная электронная
лампа (диод), содержащая накаливаемый
катод и холодный анод и помещенная во
внешнее магнитное поле.

Анод
диода имеет форму цилиндра радиусом
.
Катод представляет собой полый цилиндр
радиусом,
вдоль оси которого расположена нить
накала, как правило, изготавливаемая
из вольфрама (рис.7).

Раскалённый
катод в результате явления термоэлектронной
эмиссии испускает термоэлектроны,
которые образуют вокруг катода электронное
облако. При подаче анодного напряжения
(рис.8),
электроны начинают перемещаться от
катода к аноду вдоль радиусов, что
приводит к возникновению анодного тока.
Анодный ток регистрируется миллиамперметром.

Рис.7.
Схема диода

Рис.8.
Электрическая схема цепи

Величина
анодного напряжения регулируется
потенциометром R_A.
Чем больше анодное напряжение, тем
большее количество электронов за единицу
времени достигает анода, следовательно,
тем больше анодный ток.

Напряжённость
электрического поля Е между катодом и
анодом такая же, как и в цилиндрическом
конденсаторе:

,
(30)

где
r
– расстояние от оси катода до данной
точки пространства между катодом и
анодом.

Из
формулы (30) следует, что напряжённость
поля Е обратно пропорциональна расстоянию
r
до оси катода. Следовательно, напряженность
поля максимальна у катода.

Так как

r_к <<r_a,

(31)

то
значение логарифма ln
стремится к большой величине. Тогда с
увеличением расстояния r
напряженность электрического поля
между катодом и анодом снижается до
нуля. Поэтому, можно считать, что электроны
приобретают скорость под действием
поля только вблизи катода, и дальнейшее
их движение к аноду происходит с
постоянной по величине скоростью.

Внешнее
магнитное поле, в которое помещён диод,
создаётся соленоидом (рис.8). Длина
соленоида l
много больше диаметра его витков, поэтому
поле внутри соленоида можно считать
однородным. Ток в цепи соленоида
изменяется с помощью потенциометра R_C
(рис.8) и регистрируется амперметром.

Характер
движения электронов в зависимости от
величины поля соленоида показан на
рис.9. Если ток в цепи соленоида отсутствует,
то индукция магнитного поля В = 0.
Тогда электроны движутся от катода к
аноду практически по радиусам.

Увеличение
тока в цепи соленоида приводит к
возрастанию величины В. При этом,
траектории движения электронов начинают
искривляться, однако все электроны
достигают анода. В анодной цепи будет
течь ток такой же, как и в отсутствии
магнитного поля.

Рис.9.
Зависимость анодного тока I_A
от величины тока соленоида I_c
в идеальном (1) и реальном (2) случаях, а
также характер движения электронов в
зависимости от величины поля соленоида.

При
некотором значении тока в соленоиде
радиус окружности, по которой движется
электрон, становится равным половине
расстояния между катодом и анодом:

..
(32)

Электроны
в этом случае касаются анода и уходят
к катоду (рис.9). Такой режим работы диода
называется критическим.
При этом по соленоиду течёт критический
ток I_кр,
которому соответствует критическое
значение индукции магнитного поля В =
В_кр.

При
В = В_кр
анодный ток в идеальном случае должен
скачком уменьшиться до нуля. При В > В_кр
электроны не попадают на анод (рис.9), и
анодный ток также будет равен нулю
(рис.9, кривая 1).

Однако
на практике, вследствие некоторого
разброса скоростей электронов и нарушения
соосности катода и соленоида, анодный
ток уменьшается не скачком, а плавно
(рис.9, кривая 2). При этом значение силы
тока соленоида, соответствующее точке
перегиба на кривой 2, считается критическим
I_кр.
Критическому значению тока соленоида
соответствует анодный ток, равный:

,
(33)

где
– максимальное значение анодного тока
при В = 0.

Зависимость
анодного тока I_A
от величины индукции магнитного поля
В (или от тока в соленоиде) при постоянном
анодном напряжении и постоянном накале
называется сбросовой
характеристикой магнетрона.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Вывод формул индукции поля соленоида, созданного переменным током

Решение.
Если соленоид бесконечно длинный, то индукция магнитного поля на оси соленоида определяется по формуле:
[ B = {mu _0}cdot mu cdot I cdot n, ] где μ₀=4π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная; μ-магнитная проницаемость среды, внутри соленоида; I— сила тока в соленоиде; n – плотность намотки соленоида (число витков на единицу длины).
Так как в условии задачи не сказано, какая среда внутри соленоида, то будем считать, что он находится в вакууме (μ=1).
[ n = frac{2N}{l}, ] где N – число витков, 2N, т.к. катушка двухслойная; l – длина соленоида.
Так как витки плотно прилегают друг к другу, то Связь между N и l имеет вид: [ l = N cdot d, ] где d – диаметр провода.
[ B = {mu _0}cdot I cdot n = frac{{{mu _0} cdot{I}cdot{N}}}{l} = frac{{{mu _0}cdot{I}cdot{2N}}}{{{N}cdot{d}}} = frac{{{2 mu _0}cdot{I}}}{d}. ]
Ответ: В = 6,28 мТл.