Как найти индуктивность катушки формула томсона - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Колебательный контур и формула Томсона

Чтобы в электрической цепи возникали периодические изменения электрического и магнитного полей, необходимо устройство, в котором происходит перекачка электрической энергии, хранимой в одном из элементов, в другой, в котором также запасается энергия магнитного поля. Простейшей системой подобного рода является колебательный контур, впервые в истории рассчитанный в 1853 году британским физиком Уильямом Томсоном.

История открытия колебательного контура

С момента открытия электрического тока ученые обнаружили, что стальную иголку можно намагнитить, поместив ее внутрь индуктора (намотанной металлическим проводником катушки) и разрядив на индуктор лейденскую банку (прототип электрического конденсатора). Неожиданностью явилось то, что игла могла намагнититься в произвольном направлении: положение на ней северного и южного магнитных полюсов оказывалось непредсказуемым, при этом полярность электрического напряжения на лейденской банке оставалась неизменной.

В 1826 году французскому физику Феликсу Савари удалось доказать, что при разряде лейденской банки на катушку (индуктивность) ток в ней протекает в направлении, определяемом полярностью напряжения на лейденской банке, лишь в первый момент времени, а затем в ней может возникнуть затухающее колебание, со сменой намагниченности иглы. Остаточная намагниченность определится направлением еще достаточно сильного тока через катушку, способного перемагнитить иглу, что непредсказуемо.

В 1842 году независимо от Савари подобный вывод сделал американский физик Джозеф Генри. В 1853 году английский физик Уильям Томсон, получивший позднее, в 1866 году, рыцарское звание по причинам политического характера, не связанным с его научными достижениями, и ставший лордом Кельвином, доказал путем математического вывода, что разряд конденсатора на индуктивность приводит при определенных условиях к возникновению электрических колебаний. Он впервые вывел формулу зависимости частоты колебаний от параметров колебательного контура. Ее радиотехники используют до сих пор под названием «формула Томсона».

Но выведя формулу, ученый не смог правильно объяснить работу колебательного контура, поскольку в то время было общепризнано, что постоянный ток не в состоянии пройти между разделенными непроводящим диэлектриком пластинами конденсатора. Объяснение было дано позже на основе открытых британским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом законов функционирования электромагнитного поля.

Спустя некоторое время были получены экспериментальные доказательства наличия в колебательном контуре электрических колебаний. Британскому ученому Оливеру Лоджу, которого англичане считают изобретателем радио, удалось получить путем электрического разряда с применением большой емкости и большой индуктивности колебания очень низкой частоты, лежащие в области звуковых (музыкальных) тонов. Немецкий физик Б. Феддерсен в 1857 году сделал фотографии электрической искры, рожденной колебательным контуром, доказав тем самым ее периодичность.

Первые передатчики радиоволн, как и приемники, подобные грозоотметчику российского ученого Александра Попова, колебательных контуров не содержали, но впоследствии, для возможности настройки передатчика и приемника на одну частоту в их схемы стали включать колебательные контуры. Впервые это сделал итальянский изобретатель и предприниматель Гульельмо Маркони в 1900 году, хотя тремя годами раньше Лодж уже запатентовал подобное решение.

Чтобы воспользоваться свойствами контура в своей конструкции 1911 года, Маркони был вынужден купить патент Лоджа.

Вывод формулы Томсона

Используя схему, показанную на рисунке ниже, предварительно нужно зарядить конденсатор от стороннего источника напряжения, после чего перекинуть ключ вправо, и конденсатор начнет разряжаться на катушку с возникновением электрических колебаний.

Вывод формулы частоты колебаний основывается на законах, описанных в 1845 году немецким физиком Густавом Робертом Кирхгофом. Если допустить, что электроэнергия в идеальном колебательном контуре, не содержащем потерь (контуре Томпсона), бесконечно перекачивается между конденсатором и катушкой, а поток электричества через катушку равен потоку через конденсатор, при этом сумма напряжений на конденсаторе и катушке равна 0, то путем решения дифференциального уравнения второго порядка

удается показать, что циклическая частота колебаний в контуре ω равна

Но увы, Томсон, выведя формулу для частоты колебательного контура, не смог правильно оценить роль индуктивности и в его первоначальном варианте наряду со «статической» емкостью конденсатора C, взамен индуктивности была подставлена некая «динамическая» емкость конденсатора A.

Воспользовавшись открытым позднее явлением резонанса в идеальном колебательном контуре, возникающем на частоте его собственных колебаний, и тем, что условием резонанса в колебательном контуре является равенство (по модулю) реактивных сопротивлений конденсатора и катушки на частоте резонанса, выведем искомую формулу, приравняв сопротивление конденсатора к сопротивлению индуктивности:

Циклическая частота ω выражается через частоту колебаний f выражением ω = 2πf, откуда:

Поскольку период колебаний равен T =1/f, то другое выражение формулы Томсона может быть записано как:

Формула демонстрирует, что период колебательного контура зависит от параметров входящих в него элементов, то есть, от индуктивности и емкости. При их уменьшении период колебаний также уменьшается, а частота увеличивается и наоборот.

Видео по теме

Источник

На прошлом уроке мы с вами познакомились с электромагнитными
колебаниями. Напомним, что так называют периодические изменения со временем
электрических и магнитных величин в электрической цепи.

Рассмотрев качественную сторону теории процессов в
колебательном контуре, перейдём к её количественной стороне. Для этого рассмотрим
идеальный колебательный контур, то есть контур, активное сопротивление
которого пренебрежимо мало.

В таком контуре, как мы показали ранее, полная
электромагнитная энергия в любой момент времени равна сумме энергий
электрического и магнитного полей, и она не меняется с течением времени:

А раз энергия контура неизменная, то производная полной
энергии по времени равна нулю:

Напомним, что в записанной формуле заряд и сила тока в цепи
являются функцией времени.

Чтобы понять физический смысл этого уравнения, перепишем его
так:

Из такой записи видно, что скорость изменения магнитного
поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля. А знак
минус в формуле показывает на то, что увеличение энергии магнитного поля
происходит за счёт убыли энергии поля электрического.

Вычислим производные в записанном уравнении, воспользовавшись
для этого формулой вычисления производной сложной функции.

А теперь вспомним, что производная заряда по времени есть
сила мгновенного тока (то есть сила тока в данный момент времени):

Поэтому предыдущее уравнение можно переписать так, как показано
на экране:

Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая
производная заряда по времени, подобно тому, как производная скорости по
времени (то есть ускорение) есть вторая производная координаты по времени:

Перепишем предыдущее равенство с учётом этой поправки:

Разделив левую и правую части этого уравнения на «Эль И» (Li),
получим основное уравнение, описывающее свободные гармонические
электрические колебания в контуре:

Данное уравнение аналогично уравнению, описывающему
гармонические механические колебания:

Отсюда видно, что величина, обратная квадратному корню из
произведения индуктивности и ёмкости, является циклической частотой свободных
электрических колебаний:

Зная циклическую частоту колебаний, нетрудно найти и их
период, то есть минимальный промежуток времени, через который процесс в
колебательном контуре полностью повторяется:

Эта формула впервые была получена английским физиком Уильямом
Томсоном 1853 году, и в настоящее время носит его имя.

Из формулы видно, что период колебательного контура
определяется параметрами составляющих его элементов: индуктивностью катушки и
ёмкостью конденсатора. Из формулы Томсона также следует, что, например, при
уменьшении ёмкости или индуктивности период колебаний должен уменьшиться, а их
частота — увеличиться и наоборот.

Но вернёмся к уравнению свободных электромагнитных колебаний
в идеальном колебательном контуре. Его решением является уравнение, выражающее
зависимость заряда конденсатора от времени:

В записанной формуле q_m — это начальное
(или амплитудное) значение заряда, сообщённому конденсатору. Из этой формулы
следует, что заряд на конденсаторе изменяется со временем по гармоническому
закону.

Если взять первую производную заряда конденсатора по времени,
то мы получим уравнение, описывающее изменение силы тока в контуре:

Величина, равная произведению максимального заряда
конденсатора и циклической частоты колебаний, является амплитудным значением
силы тока:

Перепишем уравнение для силы тока с учётом последнего
равенства, а также воспользовавшись формулой приведения:

Из такой записи хорошо видно, что сила тока в колебательном
контуре также совершает гармонические колебания с той же частотой, но по фазе
она смещена на π/2 относительно колебаний заряда.

Для закрепления материала, решим с вами такую задачу. Конденсатор
ёмкостью 2 мкФ зарядили до напряжения 100 В, а затем замкнули на катушку с
индуктивностью 5 мГн. Определите заряд конденсатора через 0,025π мс после
замыкания.

В заключение отметим, что в реальных колебательных контурах всегда
имеется активное сопротивление, поэтому часть энергии контура всегда превращается
во внутреннюю проводников, которая выделяется в виде излучения. Кроме того,
часть энергии теряется на перемагничивание сердечника и изменение поляризации
диэлектрика. Поэтому полная энергия контура с течением времени уменьшается, в
результате уменьшается и амплитуда колебаний. Следовательно, реальные
электромагнитные колебания в контуре являются затухающими.

Источник

Содержание

1 Колебательный контур
- 1.1 Энергии контура
- 1.2 Процессы в колебательном контуре
- 1.3 Свободные электромагнитные колебания
  - 1.3.1 *Вывод формулы Томсона
2 Литература

Колебательный контур

Электромагнитные колебания – это периодические изменения со временем электрических и магнитных величин в электрической цепи.

Свободными называются такие колебания, которые возникают в замкнутой системе вследствие отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия.

При колебаниях происходит непрерывный процесс превращения энергии системы из одной формы в другую. В случае колебаний электромагнитного поля обмен может идти только между электрической и магнитной составляющей этого поля. Простейшей системой, где может происходить этот процесс, является колебательный контур.

Идеальный колебательный контур (LC-контур) — электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C.

В отличие от реального колебательного контура, который обладает электрическим сопротивлением R, электрическое сопротивление идеального контура всегда равна нулю. Следовательно, идеальный колебательный контур является упрощенной моделью реального контура.

На рисунке 1 изображена схема идеального колебательного контура.

Энергии контура

Полная энергия колебательного контура

(W=W_{e} + W_{m}, ; ; ; W_{e} =dfrac{Ccdot u^{2} }{2} = dfrac{q^{2} }{2C}, ; ; ; W_{m} =dfrac{Lcdot i^{2}}{2},)

где W_e — энергия электрического поля колебательного контура в данный момент времени, С — электроемкость конденсатора, u — значение напряжения на конденсаторе в данный момент времени, q — значение заряда конденсатора в данный момент времени, W_m — энергия магнитного поля колебательного контура в данный момент времени, L — индуктивность катушки, i —значение силы тока в катушке в данный момент времени.

Процессы в колебательном контуре

Рассмотрим процессы, которые возникают в колебательном контуре.

Для выведения контура из положения равновесия зарядим конденсатор так, что на его обкладках будет заряд Q_m (рис. 2, положение 1). С учетом уравнения (U_{m}=dfrac{Q_{m}}{C}) находим значение напряжения на конденсаторе. Тока в цепи в этом момент времени нет, т.е. i = 0.

После замыкания ключа под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. Конденсатор в это время начнет разряжаться, т.к. электроны, создающие ток, (Напоминаю, что за направление тока принято направление движения положительных зарядов) уходят с отрицательной обкладки конденсатора и приходят на положительную (см. рис. 2, положение 2). Вместе с зарядом q будет уменьшаться и напряжение u (left(u = dfrac{q}{C} right).) При увеличении силы тока через катушку возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению силы тока. Вследствие этого, сила тока в колебательном контуре будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, определяемого индуктивностью катушки.

Заряд конденсатора q уменьшается и в некоторый момент времени становится равным нулю (q = 0, u = 0), сила тока в катушке достигнет некоторого значения I_m (см. рис. 2, положение 3).

Без электрического поля конденсатора (и сопротивления) электроны, создающие ток, продолжают свое движение по инерции. При этом электроны, приходящие на нейтральную обкладку конденсатора, сообщают ей отрицательный заряд, электроны, уходящие с нейтральной обкладки, сообщают ей положительный заряд. На конденсаторе начинает появляться заряд q (и напряжение u), но противоположного знака, т.е. конденсатор перезаряжается. Теперь новое электрическое поле конденсатора препятствует движению электронов, поэтому сила тока i начинает убывать (см. рис. 2, положение 4). Опять же это происходит не мгновенно, поскольку теперь ЭДС самоиндукции стремится скомпенсировать уменьшение тока и «поддерживает» его. А значение силы тока I_m (в положении 3) оказывается максимальным значением силы тока в контуре.

Далее сила тока становится равной нулю, а заряд конденсатора достигнет максимального значения Q_m (U_m) (см. рис. 2, положение 5).

И снова под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, но направленный в противоположную сторону, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. А конденсатор в это время будет разряжаться (см. рис. 2, положение 6)до нуля (см. рис. 2, положение 7). И так далее.

Так как заряд на конденсаторе q (и напряжение u) определяет его энергию электрического поля W_e (left(W_{e}=dfrac{q^{2}}{2C}=dfrac{C cdot u^{2}}{2} right),) а сила тока в катушке i — энергию магнитного поля Wm (left(W_{m}=dfrac{L cdot i^{2}}{2} right),) то вместе с изменениями заряда, напряжения и силы тока, будут изменяться и энергии.

Обозначения в таблице:

(W_{e, max } =dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =dfrac{Ccdot U_{m}^{2} }{2}, ; ; ; W_{e, 2} =dfrac{q_{2}^{2} }{2C} =dfrac{Ccdot u_{2}^{2} }{2}, ; ; ; W_{e, 4} =dfrac{q_{4}^{2} }{2C} =dfrac{Ccdot u_{4}^{2} }{2}, ; ; ; W_{e, 6} =dfrac{q_{6}^{2} }{2C} =dfrac{Ccdot u_{6}^{2} }{2},)

(W_{m; max } =dfrac{Lcdot I_{m}^{2} }{2}, ; ; ; W_{m2} =dfrac{Lcdot i_{2}^{2} }{2}, ; ; ; W_{m4} =dfrac{Lcdot i_{4}^{2} }{2}, ; ; ; W_{m6} =dfrac{Lcdot i_{6}^{2} }{2}.)

Полная энергия идеального колебательного контура сохраняется с течением времени, поскольку в нем потерь энергии (нет сопротивления). Тогда

(W=W_{e, max } = W_{m, max } = W_{e2} + W_{m2} = W_{e4} +W_{m4} = …)

Свободные электромагнитные колебания

Таким образом, в идеальном LC-контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока i, заряда q и напряжения u, причем полная энергия контура при этом будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания.

Свободные электромагнитные колебания в контуре — это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без потребления энергии от внешних источников.

Таким образом, возникновение свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора и возникновением ЭДС самоиндукции в катушке, которая «обеспечивает» эту перезарядку. Заметим, что заряд конденсатора q и сила тока в катушке i достигают своих максимальных значений Q_m и I_m в различные моменты времени.

Свободные электромагнитные колебания в контуре происходят по гармоническому закону:

(q=Q_{m} cdot cos left(omega cdot t+varphi _{1} right), ; ; ; u=U_{m} cdot cos left(omega cdot t+varphi _{1} right), ; ; ; i=I_{m} cdot cos left(omega cdot t+varphi _{2} right).)

Наименьший промежуток времени, в течение которого LC-контур возвращается в исходное состояние (к начальному значению заряда данной обкладки), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.

Период свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется по формуле Томсона:

(T=2pi cdot sqrt{Lcdot C}, ;;; omega =dfrac{1}{sqrt{Lcdot C}}.)

Сточки зрения механической аналогии, идеальному колебательному контурусоответствует пружинный маятник без трения, а реальному — с трением. Вследствиедействия сил трения колебания пружинного маятника затухают с течением времени.

*Вывод формулы Томсона

Поскольку полная энергия идеального LC-контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство

(W=dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =dfrac{Lcdot I_{m}^{2} }{2} =dfrac{q^{2} }{2C} +dfrac{Lcdot i^{2} }{2} ={rm const}.)

Получим уравнение колебаний в LC-контуре, используя закон сохранения энергии. Продифференцировав выражение для его полной энергии по времени, с учетом того, что

(W’=0, ;;; q’=i, ;;; i’=q»,)

получаем уравнение, описывающее свободные колебания в идеальном контуре:

(left(dfrac{q^{2} }{2C} +dfrac{Lcdot i^{2} }{2} right)^{{‘} } =dfrac{q}{C} cdot q’+Lcdot icdot i’ = dfrac{q}{C} cdot q’+Lcdot q’cdot q»=0,)

(dfrac{q}{C} +Lcdot q»=0,; ; ; ; q»+dfrac{1}{Lcdot C} cdot q=0.)

Переписав его в виде:

(q»+omega ^{2} cdot q=0,)

замечаем, что это — уравнение гармонических колебаний с циклической частотой

(omega =dfrac{1}{sqrt{Lcdot C} }.)

Соответственно период рассматриваемых колебаний

(T=dfrac{2pi }{omega } =2pi cdot sqrt{Lcdot C}.)

Литература

Жилко, В.В. Физика: учеб. пособие для 11 класса общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения / В.В. Жилко, Л.Г. Маркович. — Минск: Нар. Асвета, 2009. — С. 39-43.

Источник

Физика, 11 класс

Урок 7. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Колебательный контур

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1) электромагнитные колебания, колебательный контур;

2) универсальность основных закономерностей колебательных процессов для колебаний любой физической природы;

3) гармонические колебания;

4) физический смысл характеристик колебаний.

5) графики зависимости электрического заряда, силы тока и напряжения от времени при свободных электромагнитных колебаниях.

6) определение по графику характеристик колебаний;

7) аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями.

формула Томсона.

Глоссарий по теме

Электромагнитными колебаниями называют периодические изменения со временем заряда, силы тока и напряжения.

Электромагнитные колебания бывают двух видов — свободные и вынужденные.

Свободными колебаниями называют колебания, возникающие в колебательной системе за счет первоначально сообщенной этой системе энергии.

Вынужденные электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения в цепи под действием переменной электродвижущей силы от внешнего источника.

Система, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности, присоединенной к его обкладкам, называется колебательным контуром.

Период электромагнитных колебаний – промежуток времени, в течение которого ток в колебательном контуре и напряжение на пластинах конденсатора совершает одно полное колебание.

Частота колебаний – число колебаний в единицу времени.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я.,Буховцев Б.Б.,Чаругин В.М. Физика.11 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2014. – С. 74 — 82.

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс. -М.: Дрофа, 2009. – С. 126 – 128.

Основное содержание урока

Колебательным контуром называется система, состоящая из конденсатора и катушки, присоединенной к его обкладкам, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания в контуре происходят с большой частотой и определять его характеристики без осциллографа невозможно.

Развертка получаемая на экране осциллографа схожа с той, что вычерчивает маятник с песочницей над движущимся листом бумаги при колебаниях математического маятника.

Чтобы в колебательном контуре возникли колебания, необходимо сообщить колебательному контуру энергию, зарядив конденсатор от источника тока.

Энергия, полученная конденсатором заключена в электрическом поле обкладок

где — заряд конденсатора, C – его электроемкость.

Между обкладками конденсатора возникает разность потенциалов .

При разрядке конденсатора энергия электрического поля превращается в энергию магнитного поля, определяемая по формуле

где – индуктивность катушки, – сила переменного тока.

Полная энергия колебательного контура равна

Когда конденсатор разрядится полностью, вся энергия электрического поля превращается в энергию магнитного поля. Когда сила тока и созданное им магнитное поле начинает уменьшаться, возникает ЭДС самоиндукции, стремящийся поддержать ток, и начинается перезарядка конденсатора. При свободных колебаниях через промежутки времени, равные периоду колебаний, состояние системы в точности повторяется. Полная энергия такой системы любой момент времени равно максимальной энергии электрического поля или максимальной энергии магнитного поля.

q, u и i — мгновенные значения заряда, напряжения и силы тока. При отсутствии сопротивления в контуре полная энергия электромагнитного поля не изменяется. Колебания затухающие, сопротивление катушки и проводников превращают энергию электромагнитного поля во внутреннюю энергию проводника.

Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями. Характер периодического изменения различных величин одинаков. При механических колебаниях периодически изменяются координата тела x и проекция его скорости , а при электромагнитных колебаниях изменяются заряд q конденсатора и сила тока i в цепи.

Индуктивность катушки L аналогична массе тела m, при колебаниях груза на пружине, кинетическая энергия тела , аналогична энергии магнитного поля тока .

Роль потенциальной энергии выполняет энергия заряда конденсатора:

Координата тела аналогична заряду конденсатора.

Полная энергия колебательного контура, в любой момент времени, равна сумме энергий магнитного и электрического полей:

Производная полной энергии по времени равна нулю при R = 0. Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей:

то есть

Знак « — » минус в этом выражении означает, что, когда энергия магнитного поля возрастает, энергия электрического поля убывает и наоборот. Физический смысл этого выражения заключается в том, что скорость изменения энергии магнитного поля равна по модулю и противоположна по направлению скорости изменения электрического поля.

Электрический заряд и сила тока, при свободных колебаниях с течением времени изменяются по закону синуса или косинуса, то есть совершают гармонические колебания.

Циклическая частота для свободных электрических колебаний:

Период свободных колебаний в контуре равен:

Формула Томсона.

Период свободных электрических колебаний в колебательном контуре зависит от индуктивности катушки и емкости конденсатора.

Частотой колебаний называется величина, обратная периоду колебаний:

Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.

Заряд конденсатора изменяется по гармоническому закону:

где – амплитуда колебаний заряда. Сила тока также совершает гармонические колебания:

где – амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока опережают по фазе колебания заряда на .

Разбор типовых тренировочных заданий

Задача 1. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 2 мкФ и катушки индуктивности. В контуре происходят свободные электромагнитные колебания. В таблице приведена зависимость энергии W, запасённой в конденсаторе идеального колебательного контура, от времени t.

t, нс	0	125	250	375	500	625	750	875	1000
W, мкДж	0	3,66	12,5	21,34	25,0	21,34	12,5	3,66	0,00

t, нс	1125	1250	1375	1500	1625	1750	1875	2000	2125
W, мкДж	3,66	12,5	21,34	25,0	21,34	12,50	3,66	0,00	3,66

На основании анализа этой таблицы выберите два верных утверждения.

1) Период электромагнитных колебаний в контуре равен 1 мкс.

2) Период электромагнитных колебаний в контуре равен 2 мкс.

3) Индуктивность катушки равна примерно 13 нГн.

4) Максимальное напряжение на конденсаторе равно 5 В.

5) Максимальное напряжение на конденсаторе равно 50 кВ.

Решение. При электромагнитных колебаниях в контуре происходит периодическое превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно, при этом максимальная энергия, запасенная в катушке, равна максимальной энергии, запасенной в конденсаторе

Период колебаний конденсатора равен 1000 нс, но период электромагнитных колебаний в контуре в два раза больше и составляет 2000 нс = 2 мкс.

Утверждение 2 — верно, утверждение 1 — неверно.

Воспользуемся формулой Томсона и выразим индуктивность катушки:

Утверждение 3 — неверно.

Максимальное напряжение на конденсаторе равно

Значение находим из таблицы =25 мкДж

Утверждение 4 верно, 5 — неверно

2. Емкость конденсатора колебательного контура С=1мкФ, индуктивность катушки L=0,04 Гн, амплитуда колебаний напряжения U_m=100 В.

В данный момент времени напряжение на конденсаторе u=80 В. Найти:

1. амплитуду колебаний силы тока I_m;

2. полную энергию W;

3. энергию электрического поля W_эл;

4. энергию магнитного поля W_м;

5. мгновенное значение силы тока i.

Дано:

С=1 мкФ=0,000001Ф

L=0,04 Гн

U_m=100 В

u=80 В

Найти: I_m; W; W_эл; W_м; i.

Решение

Из закона сохранения энергии максимальные энергии конденсатора и катушки индуктивности равны

Откуда

Полная энергия равна

Энергия электрического поля в момент, когда напряжение на конденсаторе

Из закона сохранения энергии выразим :

Мгновенное значение силы тока выразим из формулы:

Источник

Колебательный контур. Формула Томсона

Основным устройством,
определяющим рабочую частоту любого
генератора переменного тока, является
колебательный контур. Колебательный
контур (рис.1) состоит из катушки
индуктивности L
(рассмотрим идеальный случай, когда
катушка не обладает омическим
сопротивлением) и конденсатора C
и называется замкнутым. Характеристикой
катушки является индуктивность, она
обозначается L
и измеряется в Генри (Гн), конденсатор
характеризуют емкостью C,
которую измеряют в фарадах (Ф).

Пусть в начальный
момент времени конденсатор заряжен
так (рис.1), что на одной из его обкладок
имеется заряд +Q₀,
а на другой – заряд —Q₀.
При этом между пластинами конденсатора
образуется электрическое поле, обладающее
энергией

,
(1)

где

– амплитудное
(максимальное) напряжение или разность
потенциалов на обкладках конденсатора.

После замыкания
контура конденсатор начинает разряжаться
и по цепи пойдет электрический ток
(рис.2), величина которого увеличивается
от нуля до максимального значения

.
Так как в цепи протекает переменный по
величине ток, то в катушке индуцируется
ЭДС самоиндукции, которая препятствует
разрядке конденсатора. Поэтому процесс
разрядки конденсатора происходит не
мгновенно, а постепенно. В каждый момент
времени разность потенциалов на
обкладках конденсатора

(2)

(где

– заряд конденсатора в данный момент
времени) равна разности потенциалов
на катушке, т.е. равна ЭДС самоиндукции

.
(3)


Рис.1	Рис.2

Когда конденсатор
полностью разрядится

и

,
сила тока в катушке достигнет максимального
значения

(рис.3). Индукция магнитного поля катушки
в этот момент также максимальна, а
энергия магнитного поля будет равна

.
(4)

Затем сила тока
начинает уменьшаться, а заряд будет
накапливаться на пластинах конденсатора
(рис.4). Когда сила тока уменьшится до
нуля, заряд конденсатора достигнет
максимального значения
Q₀,
но обкладка, прежде заряженная
положительно, теперь будет заряжена
отрицательно (рис.5). Затем конденсатор
вновь начинает разряжаться, причем ток
в цепи потечет в противоположном
направлении. Так процесс перетекания
заряда с одной обкладки конденсатора
на другую через катушку индуктивности
повторяется снова и снова. Говорят, что
в контуре происходят электромагнитные
колебания.
Этот процесс связан не только с
колебаниями величины заряда и напряжения
на конденсаторе, силы тока в катушке,
но и перекачкой энергии из электрического
поля в магнитное и обратно.


Рис.3	Рис.4

Перезарядка
конденсатора до максимального напряжения

произойдет только в том случае, когда
в колебательном контуре нет потерь
энергии. Такой контур называется
идеальным. В реальных контурах имеют
место следующие потери энергии: 1)
тепловые потери, т.к. R

0; 2) потери в диэлектрике конденсатора;
3) гистерезисные потери в сердечнике
катушке; 4) потери на излучение и др.
Если пренебречь этими потерями энергии,
то можно написать, что

,
т.е.

.
(5)

Колебания,
происходящие в идеальном колебательном
контуре, в котором выполняется это
условие, называются свободными,
или собственными,
колебаниями контура.

В этом случае
напряжение U
(и заряд Q)
на конденсаторе изменяется по
гармоническому закону:

,
(6)

где 
— собственная частота колебательного
контура, ₀
= 2
— собственная (круговая) частота
колебательного контура. Частота
электромагнитных колебаний в контуре
определяется как

или

.
(7)

Период
T
– время, в течение которого совершается
одно полное колебание напряжения на
конденсаторе и тока в контуре, определяется
формулой Томсона

.
(8)

Сила тока в контуре
также изменяется по гармоническому
закону, но отстает от напряжения по
фазе на

.
Поэтому зависимость силы тока в цепи
от времени будет иметь вид

.
(9)

На рис.6 представлены
графики изменения напряжения U
на конденсаторе и тока I
в катушке для идеального колебательного
контура.

В реальном контуре
энергия с каждым колебанием будет
убывать. Амплитуды напряжения на
конденсаторе и тока в контуре будут
убывать, такие колебания называются
затухающими. В задающих генераторах
их применять нельзя, т.к. прибор будет
работать в лучшем случае в импульсном
режиме.


Рис.5	Рис.6

Для получения
незатухающих колебаний необходимо
компенсировать потери энергии при
самых разнообразных рабочих частотах
приборов, в том числе и применяемых в
медицине.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник