Как найти индуктивность в физике формула

Часто бывает, что задачу не удается решить из-за того, что под рукой нет нужной формулы. Выводить формулу с  самого начала – дело не самое быстрое, а у нас на счету каждая минута.

Ниже мы собрали вместе основные формулы по теме «Электричество и Магнетизм». Теперь, решая задачи, вы сможете пользоваться этим материалом как справочником, чтобы не терять время на поиски нужной информации.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Магнетизм: определение

Магнетизм – это взаимодействие движущихся электрических зарядов, происходящее посредством магнитного поля.

Поле – особая форма материи. В рамках стандартной модели существует электрическое, магнитное, электромагнитные поля, поле ядерных сил, гравитационное поле и поле Хиггса. Возможно, есть и другие гипотетические поля, о которых мы пока что можем только догадываться или не догадываться вовсе. Сегодня нас интересует магнитное поле.

Магнитная индукция

Так же, как заряженные тела создают вокруг себя электрическое поле, движущиеся заряженные тела порождают магнитное поле. Магнитное поле не только создается движущимися зарядами (электрическим током), но еще и действует на них. По сути магнитное поле можно обнаружить только по действию на движущиеся заряды. А действует оно на них с силой, называемой силой Ампера, о которой речь пойдет позже.

Прежде чем мы начнем приводить конкретные формулы, нужно рассказать про магнитную индукцию.

Магнитная индукция – это силовая векторная характеристика магнитного поля.

Она обозначается буквой B и измеряется в Тесла (Тл). По аналогии с напряженностью для электрического поля Е магнитная индукция показывает, с какой силой магнитное поле действует на заряд.

Кстати, вы найдете много интересных фактов на эту тему в нашей статье про теорию магнитного поля и интересные факты о магнитном поле Земли.

Как определять направление вектора магнитной индукции? Здесь нас интересует практическая сторона вопроса. Самый частый случай в задачах – это магнитное поле, создаваемое проводником с током, который может быть либо прямым, либо в форме окружности или витка.

Для определения направления вектора магнитной индукции существует правило правой руки. Приготовьтесь задействовать абстрактное и пространственное мышление!

Если взять проводник в правую руку так, что большой палец будет указывать на направление тока, то загнутые вокруг проводника пальцы покажут направление силовых линий магнитного поля вокруг проводника. Вектор магнитной индукции в каждой точке будет направлен по касательной к силовым линиям.

Сила Ампера

Представим, что есть магнитное поле с индукцией B. Если мы поместим в него проводник длиной l, по которому течет ток силой I, то поле будет действовать на проводник с силой:

Это и есть сила Ампера. Угол альфа – угол между направлением вектора магнитной индукции и направлением тока в проводнике.

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы в ладонь входили линии магнитной индукции, а вытянутые пальцы указывали бы направление тока, отставленный большой палец укажет направление силы Ампера.

Сила Лоренца

Мы выяснили, что поле действует на проводник с током. Но если это так, то изначально оно действует отдельно на каждый движущийся заряд. Сила, с которой магнитное поле действует на движущийся в нем электрический заряд, называется силой Лоренца. Здесь важно отметить слово «движущийся», так на неподвижные заряды магнитное поле не действует.

Итак, частица с зарядом q движется в магнитном поле с индукцией В со скоростью v, а альфа – это угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции. Тогда сила, которая действует на частицу:

Как определить направление силы Лоренца? По правилу левой руки. Если вектор индукции входит в ладонь, а пальцы указывают на направление скорости, то отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца. Отметим, что так направление определяется для положительно заряженных частиц. Для отрицательных зарядов полученное направление нужно поменять на противоположное.

Если частица массы m влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, то она будет двигаться по окружности, а сила Лоренца будет играть роль центростремительной силы. Радиус окружности и период обращения частицы в однородном магнитном поле можно найти по формулам:

Взаимодействие токов

Рассмотрим два случая. Первый – ток течет по прямому проводу. Второй – по круговому витку. Как мы знаем, ток создает магнитное поле.

В первом случае магнитная индукция провода с током I на расстоянии R от него считается по формуле:

Мю – магнитная проницаемость вещества, мю с индексом ноль – магнитная постоянная.

Во втором случае магнитная индукция в центре кругового витка с током равна:

Также при решении задач может пригодиться формула для магнитного поля внутри соленоида. Соленоид – это катушка, то есть множество круговых витков с током.

Пусть их количество – N, а длина самого соленоилда – l. Тогда поле внутри соленоида вычисляется по формуле:

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Магнитный поток и ЭДС

Если магнитная индукция – векторная характеристика магнитного поля, то магнитный поток – скалярная величина, которая также является одной из самых важных характеристик поля. Представим, что у нас есть какая-то рамка или контур, имеющий определенную площадь. Магнитный поток показывает, какое количество силовых линий проходит через единицу площади, то есть характеризует интенсивность поля. Измеряется в Веберах (Вб) и обозначается Ф.

S – площадь контура, альфа – угол между нормалью (перпендикуляром) к плоскости контура и вектором В.

При изменении магнитного потока через контур в контуре индуцируется ЭДС, равная скорости изменения магнитного потока через контур. Кстати, подробнее о том, что такое электродвижущая сила, вы можете почитать в еще одной нашей статье.

По сути формула выше – это формула для закона электромагнитной индукции Фарадея. Напоминаем, что скорость изменения какой-либо величины есть не что иное, как ее производная по времени.

Для магнитного потока и ЭДС индукции также справедливо обратное. Изменение тока в контуре приводит к изменению магнитного поля и, соответственно, к изменению магнитного потока. При этом возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует изменению тока в контуре. Магнитный поток, который пронизывает контур с током, называется собственным магнитным потоком, пропорционален силе тока в контуре и вычисляется по формуле:

L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью, который измеряется в Генри (Гн). На индуктивность влияют форма контура и свойства среды. Для катушки с длиной l и с числом витков N индуктивность рассчитывается по формуле:

Формула для ЭДС самоиндукции:

Энергия магнитного поля

Электроэнергия, ядерная энергия, кинетическая энергия. Магнитная энергия – одна из форм энергии. В физических задачах чаще всего нужно рассчитывать энергию магнитного поля катушки. Магнитная энергия катушки с током I и индуктивностью L равна:

Объемная плотность энергии поля:

Конечно, это не все основные формулы раздела физики «электричество и магнетизм», однако они часто могут помочь при решении стандартных задач и расчетах. Если же вам попалась задача со звездочкой, и вы никак не можете подобрать к ней ключ, упростите себе жизнь и обратитесь за решением в сервис студенческой помощи.

Правило правой руки или буравчика:

Направление силовых линий магнитного поля и направление создающего его тока связаны между собой известным правилом правой руки или буравчика, которые ввел еще Д.Максвелл и иллюстрируется следующими рисунками:

Мало кто знает, что буравчик — это инструмент для бурения-сверления отверстий в дереве. Поэтому более понятно можно это правило назвать правилом винта, шурупа или штопора. Однако хвататься за провод как на рисунке иногда опасно для жизни!

Магнитная индукция B:

Магнитная индукция — является основной фундаментальной характеристикой магнитного поля, аналогичной вектору напряженности электрического поля E. Вектор магнитной индукции всегда направлен по касательной к магнитной линии и показывает ее направление и силу. За единицу магнитной индукции в B = 1Тл принимается магнитная индукция однородного поля, в котором на участок проводника длиной в l = 1 м, при силе тока в нем в I = 1 А, действует со стороны поля максимальная сила Ампера — F = 1 H. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки. В системе СГС магнитная индукция поля измеряется в гауссах (Гс), в системе СИ — в теслах (Тл).

Напряженность магнитного поля H:

Еще одной характеристикой магнитного поля является напряженность, которая является аналогом вектора электрического смещения D в электростатике. Определяется по формуле:

Напряженность магнитного поля — величина векторная, является количественной характеристикой магнитного поля и не зависит от магнитных свойств среды. В системе СГС напряженность магнитного поля измеряется в эрстедах (Э), в системе СИ — в амперах на метр (А/м).

Магнитный поток Ф:

Магнитный поток Ф — скалярная физическая величина, характеризующая число линий магнитной индукции, пронизывающих замкнутый контур. Рассмотрим частный случай. В однородном магнитном поле, модуль вектора индукции которого равен ∣В∣, помещен плоский замкнутый контур площадью S. Нормаль n к плоскости контура составляет угол α с направлением вектора магнитной индукции B. Магнитным потоком через поверхность называется величина Ф, определяемая соотношением:

В общем случае магнитный поток определяется как интеграл вектора магнитной индукции B через конечную поверхность S.

Стоит отметить, что магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю (теорема Гаусса для магнитных полей). Это означает, что силовые линии магнитного поля нигде не обрываются т.е. магнитное поле имеет вихревую природу, а также что невозможно существование магнитных зарядов, которые создавали бы магнитное поле подобно тому, как электрические заряды создают электрическое поле. В СИ единицей магнитного потока является Вебер (Вб), в системе СГС — максвелл (Мкс); 1 Вб = 10⁸ Мкс.

Определение индуктивности:

Индуктивность — коэффициент пропорциональности между электрическим током, текущим в каком-либо замкнутом контуре, и магнитным потоком, создаваемым этим током через поверхность, краем которой является этот контур.

Иначе, индуктивность — коэффициент пропорциональности в формуле самоиндукции.

В системе единиц СИ индуктивность измеряется в генри (Гн). Контур обладает индуктивностью в один генри, если при изменении тока на один ампер в секунду на выводах контура будет возникать ЭДС самоиндукции в один вольт.

Термин «индуктивность» был предложен Оливером Хевисайдом – английским ученым-самоучкой в 1886 году. Говоря просто, индуктивность это свойство проводника с током накапливать энергию в магнитном поле, эквивалентна емкости для электрического поля. Она не зависит от величины тока, а только от формы и размеров проводника с током. Для увеличения индуктивности проводник наматывают в катушки, расчету которых и посвящена программа Coil64

Ссылки по теме:

1. Wikipedia
2. Формулы по Электродинамике
3. Физика, электродинамика, основные формулы
4. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля
5. Демонстрационное видео на тему электромагнитной индукции

Индуктивность

Для катушки (и любого другого проводника) напряжение индукции определяется формулой электромагнитной индукции (1). Изменение магнитного потока Ф всегда пропорционально изменению тока I в цепи.

Коэффициент пропорциональности между напряжением индукции и изменением тока называется индуктивностью L цепи и зависит только от конфигурации цепи и материала, находящегося в магнитном поле.

Если

то напряжение индукции, обусловленное изменением тока в той же цепи, дается выражением

[ U = -L frac{ΔI}{Δt} ]

Если ток изменяется не равномерно, мгновенное напряжение определяется формулой

[ U = -L frac{dI}{dt} ]

Единица СИ индуктивности:

[ [L] = В cdot frac{с}{А} = генри enspace (Гн) ]

Индуктивность	стр. 660

Индуктивность контура — это коэффициент пропорциональности между постоянным током, текущим в заданном замкнутом контуре, и потоком вектора магнитной индукции, создаваемым этим током через поверхность, окружённой этим контуром. Обозначение — , размерность — Гн (генри). Формульно:

Ф (1)

• где

Рис. 1. Соленоид

В большинстве задач данный параметр задан в условии, однако есть одна система, в которой данный параметр является расчётным. Это соленоид (рис. 1). Соленоидом называется провод, согнутый в виде спирали (он же, в принципе, катушка индуктивности). Формульно:

(1)

• где

Немного о — относительной магнитной проницаемости среды. Чаще всего в школьных задачах соленоид пустотелый, т.е. внутри него (витков) воздух, тогда . Иногда в него помещают сердечник, т.е. болванку формой повторяющую внутреннюю геометрию соленоида, тогда  и по веществу, из которого состоит сердечник, можно в таблицах найти значение магнитной проницаемости.

Для ряда задач существует всё тот же вопрос о параллельном и последовательном соединении индуктивностей. Будем считать, что взаимной индукции нет (т.е. один контур экранирован от второго). Тогда:

• при параллельном подключении:

(2)

• где

В случае двух элементов, соединённых параллельно:

(3)

• при последовательном подключении:

(4)

• где

Индуктивность характеризует свойства элементов электрической цепи накапливать энергию магнитного поля. Также это мера связи между током и магнитным полем. Ещё её сравнивают с инерцией электричества – также, как массу с мерой инерции механических тел.

Явление самоиндукции

Если ток, идущий через проводящий контур, изменяется по величине, то возникает явление самоиндукции. В этом случае изменяется магнитный поток через контур, и на выводах рамки с током возникает ЭДС, называемая ЭДС самоиндукции. Эта ЭДС противоположна направлению тока и равна:

ε=-∆Ф/∆t=-L*(∆I/∆t)

Очевидно, что ЭДС самоиндукции равна скорости изменения магнитного потока, вызванного изменением протекающего по контуру тока, а также пропорциональна скорости изменения тока. Коэффициент пропорциональности между ЭДС самоиндукции и скоростью изменения тока называется индуктивностью и обозначается L. Эта величина всегда положительна, и имеет единицу измерения в СИ 1 Генри (1 Гн). Также используются дробные доли – миллигенри и микрогенри. Об индуктивности в 1 Генри можно говорить, если изменение тока на 1 ампер вызывает ЭДС самоиндукции в 1 Вольт. Индуктивностью обладает не только контур, но и отдельный проводник, а также катушка, которую можно представить как множество последовательно включенных контуров.

В индуктивности запасается энергия, которую можно вычислить, как W=L*I²/2, где:

• W – энергия, Дж;
• L – индуктивность, Гн;
• I – ток в катушке, А.

И здесь энергия прямо пропорциональна индуктивности катушки.

Важно! В технике индуктивностью также называется устройство, в котором происходит запасание электрического поля. Реальный элемент, наиболее близкий к такому определению – катушка индуктивности.

Общая формула для расчета индуктивности физической катушки имеет сложный вид и для практических вычислений неудобна. Полезно запомнить, что индуктивность пропорциональна количеству витков, диаметру катушки и зависит от геометрической формы. Также на индуктивность влияет магнитная проницаемость сердечника, на котором расположена обмотка, но не влияет ток, протекающий по виткам. Для вычисления индуктивности каждый раз надо обращаться к приведенным формулам для конкретной конструкции. Так, для цилиндрической катушки её основная характеристика вычисляется по формуле:

L=μ*μ₀*(N²*S/l),

где:

• μ – относительная магнитная проницаемость сердечника катушки;
• μ₀ – магнитная постоянная, 1,26*10-6 Гн/м;
• N – количество витков;
• S – площадь витка;
• l – геометрическая длина катушки.

Для вычисления индуктивности для цилиндрической катушки и катушек других форм лучше воспользоваться программами-калькуляторами, в том числе онлайн-калькуляторами.

Последовательное и параллельное соединение индуктивностей

Индуктивности можно соединять последовательно или параллельно, получая набор с новыми характеристиками.

Параллельное соединение

При параллельном соединении катушек напряжение на всех элементах равны, а токи (переменные) распределяются обратно пропорционально индуктивностям элементов.

• U=U₁=U₂=U₃;
• I=I₁+I₂+I₃.

Общая индуктивность цепи определяется, как 1/L=1/L₁+1/L₂+1/L₃. Формула справедлива для любого количества элементов, а для двух катушек упрощается до вида L=L₁*L₂/(L₁+L₂). Очевидно, что итоговая индуктивность меньше индуктивности элемента с наименьшим значен

Последовательное соединение

При таком виде соединения через цепь, составленную из катушек, течёт один и тот же ток, а напряжение (переменное!) на каждом компоненте цепи распределяется пропорционально индуктивности каждого элемента:

• U=U₁+U₂+U₃;
• I=I₁=I₂=I₃.

Суммарная индуктивность равна сумме всех индуктивностей, и будет больше индуктивности элемента с наибольшим значением. Поэтому такое соединение используют при необходимости получить увеличение индуктивности.

Важно! При соединении катушек в последовательную или параллельную батарею формулы расчёта верны только для случаев, когда исключено взаимное влияние магнитных полей элементов друг на друга (экранировкой, большим расстоянием и т.д.). Если влияние существует, то общее значение индуктивности будет зависеть от взаимного расположения катушек.

Некоторые практические вопросы и конструкции катушек индуктивности

На практике применяют различные конструкции катушек индуктивности. В зависимости от назначения и области применения устройства можно выполнить различным способом, но надо учитывать эффекты, возникающие в реальных катушках.

Добротность катушки индуктивности

У реальной катушки, кроме индуктивности, есть ещё несколько параметров, и один из самых важных – добротность. Эта величина определяет потери в катушке и зависит от:

• омических потерь в проводе обмотки (чем больше сопротивление, тем ниже добротность);
• диэлектрических потерь в изоляции провода и каркасе обмотки;
• потерь в экране;
• потерь в сердечнике.

Все эти величины определяют сопротивление потерь, а добротностью называют безразмерную величину, равную Q=ωL/Rпотерь, где:

• ω = 2*π*F – круговая частота;
• L – индуктивность;
• ωL – реактивное сопротивление катушки.

Можно приближённо говорить о том, что добротность равна отношению реактивного (индуктивного) сопротивления к активному. С одной стороны, с ростом частоты растёт числитель, но в то же время за счет скин-эффекта растёт и сопротивление потерь за счет уменьшения полезного сечения провода.

Экранный эффект

Для уменьшения влияния посторонних предметов, а также электрических и магнитных полей и взаимного влияния элементов посредством этих полей, катушки (особенно высокочастотные) часто помещают в экран. Кроме полезного эффекта, экранирование вызывает снижение добротности катушки, снижение её индуктивности и повышение паразитной ёмкости. Причём чем ближе стенки экрана к виткам катушки, тем выше вредное влияние. Поэтому экранированные катушки практически всегда выполняют с возможностью подстройки параметров.

Подстроечная индуктивность

В некоторых случаях требуется точно установить значение индуктивности на месте после подключения катушки к другим элементам цепи, компенсируя отклонение параметров при настройке. Для этого применяются разные способы (переключения отводов витков и т.п.), но наиболее точный и плавный метод – подстройка с помощью сердечника. Он выполняется в виде стержня с резьбой, который можно вворачивать и выворачивать внутри каркаса, настраивая индуктивность катушки.

Переменная индуктивность (вариометр)

Там, где требуется оперативная регулировка индуктивности или индуктивной связи, применяются катушки другой конструкции. Они содержат две обмотки – подвижную и неподвижную. Общая индуктивность равна сумме индуктивностей двух катушек и взаимной индуктивности между ними.

Изменением относительного положения одной катушки к другой, регулируется общее значение индуктивности. Такое устройство называется вариометром и часто применяется в связной аппаратуре для настройки резонансных контуров в тех случаях, когда применение конденсаторов переменной ёмкости по каким-то причинам невозможно. Конструкция вариометра довольно громоздкая, что ограничивает область его применения.

Индуктивность в виде печатной спирали

Катушки с небольшой индуктивностью можно выполнять в виде спирали из печатных проводников. Достоинством такой конструкции являются:

• технологичность производства;
• высокая повторяемость параметров.

К недостаткам относят невозможность точной подстройки при регулировке и сложность получения больших значений индуктивности – чем выше индуктивность, тем больше катушка занимает места на плате.

Катушка с секционной намоткой

Индуктивность без ёмкости бывает только на бумаге. При любой физической реализации катушки сразу же возникает паразитная межвитковая ёмкость. Это во многих случаях вредное явление. Паразитная ёмкость складывается с ёмкостью LC-контура, снижая резонансную частоту и добротность колебательной системы. Также у катушки возникает собственная резонансная частота, которая провоцирует нежелательные явления.

Для снижения паразитной ёмкости применяют различные способы, самый простой из которых – намотка индуктивности в виде нескольких последовательно включенных секций. При таком включении индуктивности складываются, а суммарная ёмкость снижается.

Катушка индуктивности на тороидальном сердечнике

Линии магнитного поля цилиндрической катушки индуктивности проводят через внутреннюю часть обмотки (если там сердечник – то через него) и замыкаются снаружи через воздух. Этот факт влечёт за собой несколько недостатков:

• снижается индуктивность;
• характеристики катушки меньше поддаются расчёту;
• любой предмет, внесенный во внешнее магнитное поле, меняет параметры катушки (индуктивность, паразитная ёмкость, потери и т.п.), поэтому во многих случаях требуется экранировка.

От этих недостатков во многом свободны катушки, намотанные на тороидальных сердечниках (в виде кольца или «бублика»). Магнитные линии проходят внутри сердечника в виде замкнутых петель. Это означает, что внешние предметы практически не оказывают влияние на параметры намотанной на таком сердечнике катушки, и экранировка для такой конструкции не нужна. Также увеличивается индуктивность при прочих равных параметрах, а характеристики проще рассчитать.

К недостаткам катушек, намотанных на торах, относят невозможность плавной подстройки индуктивности на месте. Другая проблема – высокая трудоёмкость и низкая технологичность намотки. Впрочем, это относится ко всем индуктивным элементам в целом, в большей или меньшей степени.

Также общим недостатком физической реализации индуктивности являются высокие массогабаритные показатели, относительно невысокая надежность и низкая ремонтопригодность.

Поэтому в технике от индуктивных компонентов стараются избавляться. Но это возможно далеко не всегда, поэтому намоточные компоненты будут использоваться как в обозримом будущем, так и в среднесрочной перспективе.