Как найти инфимум функции

Определение. Множество $Xsubsetmathbb{R}$ называется ограниченным сверху, если существует число $b$ такое, что $$forall,xin X to xle b.$$ При этом говорят, что число $b$ ограничивает множество $X$ сверху.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb{R}$ называется ограниченным снизу, если существует число $a$ такое, что $$forall,xin X to xge a.$$ При этом говорят, что число $a$ ограничивает множество $X$ снизу.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb{R}$ называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb{R}$ называется неограниченным сверху, если оно не является ограниченным сверху.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb{R}$ называется неограниченным снизу, если оно не является ограниченным снизу.

Определение. Множество $Xsubsetmathbb{R}$ называется неограниченным, если оно не является ограниченным.

Определение. Верхней гранью непустого множества $Xsubsetmathbb{R}$ называется число $b$, удовлетворяющее условиям:

  • $forall,xin X to xle b$;
  • $forall,b'<b to exists,xin X: x > b’$ 
    ($forall,varepsilon>0 to exists,xin X: x > b — varepsilon$).

Определение. Нижней гранью непустого множества $Xsubsetmathbb{R}$ называется число $a$, удовлетворяющее условиям:

  • $forall,xin X to xge a$;
  • $forall,a’> a to exists,xin X: x < a’$ 
    ($forall,varepsilon>0 to exists,xin X: x < a + varepsilon$).

Верхняя и нижняя грани множества $X$ обозначаются символами $sup X$, $inf X$ соответственно.

Теорема (единственности). Числовое множество не может иметь больше одной верхней грани.

Доказательство. Допуская противное, предположим, что каждое из чисел $b$ и $b’$ ($bne b’$) является верхней гранью множества $X$. Пусть, для определённости, $b’ < b$. Но тогда $b’$ не является верхней гранью множества $X$.

Получили противоречие.Теорема доказана.

Замечание. Заметим, что в условиях теоремы не предполагается существование верхней грани. Теорема утверждает, что если верхняя грань существует, то она единственна. Значительно более глубокой является теорема о существовании верхней грани.

Теорема (о существовании верхней грани). Всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет верхнюю грань.

Доказательство. Пусть $A$ — непустое ограниченное сверху множество. Рассмотрим непустое множество $B$, элементами которого являются все числа $b$, ограничивающие множество $A$ сверху. Тогда $$ forall,ain A, forall,bin B to ale b. $$ Из аксиомы непрерывности следует, что для некоторого $cinmathbb{R}$ $$ forall,ain A, forall,bin B to ale cle b. $$ Покажем, что $exists,sup A = c$.

Первое условие из определения верхней грани выполнено для $c$ в силу того, что $$ forall,ain A to ale c.$$ Покажем, что выполняется и второе.

Пусть $c'<c$. Тогда $c’notin B$, так как $$forall,bin B to cle b.$$ Следовательно, $c’$ не ограничивает множество $A$ сверху, то есть $$exists,xin A: x > c’,$$так что второе условие также выполнено.

Следовательно, $c=sup A$, и теорема доказана.

Определение. Расширенным множеством действительных чисел $overline{mathbb{R}}$} называется множество $$ overline{mathbb{R}} = mathbb{R}cup{-infty}cup{+infty}. $$ То есть элементами множества $overline{mathbb{R}}$ являются все действительные числа и еще два символа: ${-infty}$, ${+infty}$.

В множестве $overline{mathbb{R}}$ не введены сложение и умножение, но имеется отношение порядка. Для двух элементов $a,binoverline{mathbb{R}}$ в случае $a,binmathbb{R}$ отношение порядка то же, что в $mathbb{R}$. В других же случаях оно определено так: $$forall,ainmathbb{R} to {-infty}<a,quad a<{+infty};qquad{-infty}<{+infty}.$$

Рассматривая множество $Xsubsetmathbb{R}$ как подмножество расширенного множества действительных чисел ($Xsubsetoverline{mathbb{R}}$), можно обобщить понятие $sup X$. Это обобщающее определение будет отличаться от приведенных выше лишь тем, что в качестве $b$ можно брать не только число, но и элемент ${+infty}$.

Тогда получим, что для непустого неограниченного сверху числовогомножества $X$ $$sup X = +infty.$$ 

Учитывая предыдущую теорему, получаем, что всякое непустое числовое множество имеет в расширенном множестве действительных чисел $overline{mathbb{R}}$ верхнюю грань.

Замечание. Все изложенные выше утверждения очевидным образом переносятся на понятие нижней грани.

Источник

A set P of real numbers (hollow and filled circles), a subset S of P (filled circles), and the infimum of S. Note that for finite or totally ordered sets, the infimum and the minimum are equal.

A set A of real numbers (blue circles), a set of upper bounds of A (red diamond and circles), and the smallest such upper bound, that is, the supremum of A (red diamond).

In mathematics, the infimum (abbreviated inf; plural infima) of a subset S of a partially ordered set P is a greatest element in P that is less than or equal to each element of S, if such an element exists.[1] Consequently, the term greatest lower bound (abbreviated as GLB) is also commonly used.[1] The supremum (abbreviated sup; plural suprema) of a subset S of a partially ordered set P is the least element in P that is greater than or equal to each element of S, if such an element exists.[1] Consequently, the supremum is also referred to as the least upper bound (or LUB).[1]

The infimum is in a precise sense dual to the concept of a supremum. Infima and suprema of real numbers are common special cases that are important in analysis, and especially in Lebesgue integration. However, the general definitions remain valid in the more abstract setting of order theory where arbitrary partially ordered sets are considered.

The concepts of infimum and supremum are close to minimum and maximum, but are more useful in analysis because they better characterize special sets which may have no minimum or maximum. For instance, the set of positive real numbers mathbb{R} ^{+} (not including {displaystyle 0}) does not have a minimum, because any given element of mathbb{R} ^{+} could simply be divided in half resulting in a smaller number that is still in {displaystyle mathbb {R} ^{+}.} There is, however, exactly one infimum of the positive real numbers relative to the real numbers: {displaystyle 0,} which is smaller than all the positive real numbers and greater than any other real number which could be used as a lower bound. An infimum of a set is always and only defined relative to a superset of the set in question. For example, there is no infimum of the positive real numbers inside the positive real numbers (as their own superset), nor any infimum of the positive real numbers inside the complex numbers with positive real part.

Formal definition[edit]

supremum = least upper bound

A lower bound of a subset S of a partially ordered set {displaystyle (P,leq )} is an element a of P such that

A lower bound a of S is called an infimum (or greatest lower bound, or meet) of S if

Similarly, an upper bound of a subset S of a partially ordered set {displaystyle (P,leq )} is an element b of P such that

An upper bound b of S is called a supremum (or least upper bound, or join) of S if

Existence and uniqueness[edit]

Infima and suprema do not necessarily exist. Existence of an infimum of a subset S of P can fail if S has no lower bound at all, or if the set of lower bounds does not contain a greatest element. However, if an infimum or supremum does exist, it is unique.

Consequently, partially ordered sets for which certain infima are known to exist become especially interesting. For instance, a lattice is a partially ordered set in which all nonempty finite subsets have both a supremum and an infimum, and a complete lattice is a partially ordered set in which all subsets have both a supremum and an infimum. More information on the various classes of partially ordered sets that arise from such considerations are found in the article on completeness properties.

If the supremum of a subset S exists, it is unique. If S contains a greatest element, then that element is the supremum; otherwise, the supremum does not belong to S (or does not exist). Likewise, if the infimum exists, it is unique. If S contains a least element, then that element is the infimum; otherwise, the infimum does not belong to S (or does not exist).

Relation to maximum and minimum elements[edit]

The infimum of a subset S of a partially ordered set P, assuming it exists, does not necessarily belong to S. If it does, it is a minimum or least element of S. Similarly, if the supremum of S belongs to S, it is a maximum or greatest element of S.

For example, consider the set of negative real numbers (excluding zero). This set has no greatest element, since for every element of the set, there is another, larger, element. For instance, for any negative real number x, there is another negative real number {displaystyle {tfrac {x}{2}},} which is greater. On the other hand, every real number greater than or equal to zero is certainly an upper bound on this set. Hence, {displaystyle 0} is the least upper bound of the negative reals, so the supremum is 0. This set has a supremum but no greatest element.

However, the definition of maximal and minimal elements is more general. In particular, a set can have many maximal and minimal elements, whereas infima and suprema are unique.

Whereas maxima and minima must be members of the subset that is under consideration, the infimum and supremum of a subset need not be members of that subset themselves.

Minimal upper bounds[edit]

Finally, a partially ordered set may have many minimal upper bounds without having a least upper bound. Minimal upper bounds are those upper bounds for which there is no strictly smaller element that also is an upper bound. This does not say that each minimal upper bound is smaller than all other upper bounds, it merely is not greater. The distinction between «minimal» and «least» is only possible when the given order is not a total one. In a totally ordered set, like the real numbers, the concepts are the same.

As an example, let S be the set of all finite subsets of natural numbers and consider the partially ordered set obtained by taking all sets from S together with the set of integers mathbb {Z} and the set of positive real numbers {displaystyle mathbb {R} ^{+},} ordered by subset inclusion as above. Then clearly both mathbb {Z} and mathbb{R} ^{+} are greater than all finite sets of natural numbers. Yet, neither is mathbb{R} ^{+} smaller than mathbb {Z} nor is the converse true: both sets are minimal upper bounds but none is a supremum.

Least-upper-bound property[edit]

The least-upper-bound property is an example of the aforementioned completeness properties which is typical for the set of real numbers. This property is sometimes called Dedekind completeness.

If an ordered set S has the property that every nonempty subset of S having an upper bound also has a least upper bound, then S is said to have the least-upper-bound property. As noted above, the set mathbb {R} of all real numbers has the least-upper-bound property. Similarly, the set mathbb {Z} of integers has the least-upper-bound property; if S is a nonempty subset of mathbb {Z} and there is some number n such that every element s of S is less than or equal to {displaystyle n,} then there is a least upper bound u for S, an integer that is an upper bound for S and is less than or equal to every other upper bound for S. A well-ordered set also has the least-upper-bound property, and the empty subset has also a least upper bound: the minimum of the whole set.

An example of a set that lacks the least-upper-bound property is {displaystyle mathbb {Q} ,} the set of rational numbers. Let S be the set of all rational numbers q such that {displaystyle q^{2}<2.} Then S has an upper bound ({displaystyle 1000,} for example, or 6) but no least upper bound in mathbb {Q} : If we suppose {displaystyle pin mathbb {Q} } is the least upper bound, a contradiction is immediately deduced because between any two reals x and y (including {sqrt {2}} and p) there exists some rational r, which itself would have to be the least upper bound (if {displaystyle p>{sqrt {2}}}) or a member of S greater than p (if {displaystyle p<{sqrt {2}}}). Another example is the hyperreals; there is no least upper bound of the set of positive infinitesimals.

There is a corresponding greatest-lower-bound property; an ordered set possesses the greatest-lower-bound property if and only if it also possesses the least-upper-bound property; the least-upper-bound of the set of lower bounds of a set is the greatest-lower-bound, and the greatest-lower-bound of the set of upper bounds of a set is the least-upper-bound of the set.

If in a partially ordered set P every bounded subset has a supremum, this applies also, for any set X, in the function space containing all functions from X to P, where {displaystyle fleq g} if and only if {displaystyle f(x)leq g(x)} for all {displaystyle xin X.} For example, it applies for real functions, and, since these can be considered special cases of functions, for real n-tuples and sequences of real numbers.

The least-upper-bound property is an indicator of the suprema.

Infima and suprema of real numbers[edit]

In analysis, infima and suprema of subsets S of the real numbers are particularly important. For instance, the negative real numbers do not have a greatest element, and their supremum is {displaystyle 0} (which is not a negative real number).[1]
The completeness of the real numbers implies (and is equivalent to) that any bounded nonempty subset S of the real numbers has an infimum and a supremum. If S is not bounded below, one often formally writes {displaystyle inf _{}S=-infty .} If S is empty, one writes {displaystyle inf _{}S=+infty .}

Properties[edit]

If A is any set of real numbers then {displaystyle Aneq varnothing } if and only if {displaystyle sup Ageq inf A,} and otherwise {displaystyle -infty =sup varnothing <inf varnothing =infty .}[2]

If Asubseteq B are sets of real numbers then {displaystyle inf Ageq inf B} (unless {displaystyle A=varnothing neq B}) and {displaystyle sup Aleq sup B.}

Identifying infima and suprema

If the infimum of A exists (that is, {displaystyle inf A} is a real number) and if p is any real number then {displaystyle p=inf A} if and only if p is a lower bound and for every epsilon >0 there is an {displaystyle a_{epsilon }in A} with {displaystyle a_{epsilon }<p+epsilon .}
Similarly, if {displaystyle sup A} is a real number and if p is any real number then {displaystyle p=sup A} if and only if p is an upper bound and if for every epsilon >0 there is an {displaystyle a_{epsilon }in A} with {displaystyle a_{epsilon }>p-epsilon .}

Relation to limits of sequences

If {displaystyle Sneq varnothing } is any non-empty set of real numbers then there always exists a non-decreasing sequence {displaystyle s_{1}leq s_{2}leq cdots } in S such that {displaystyle lim _{nto infty }s_{n}=sup S.} Similarly, there will exist a (possibly different) non-increasing sequence {displaystyle s_{1}geq s_{2}geq cdots } in S such that {displaystyle lim _{nto infty }s_{n}=inf S.}

Expressing the infimum and supremum as a limit of a such a sequence allows theorems from various branches of mathematics to be applied. Consider for example the well-known fact from topology that if f is a continuous function and {displaystyle s_{1},s_{2},ldots } is a sequence of points in its domain that converges to a point p, then {displaystyle fleft(s_{1}right),fleft(s_{2}right),ldots } necessarily converges to {displaystyle f(p).}
It implies that if {displaystyle lim _{nto infty }s_{n}=sup S} is a real number (where all {displaystyle s_{1},s_{2},ldots } are in S) and if f is a continuous function whose domain contains S and {displaystyle sup S,} then

{displaystyle f(sup S)=fleft(lim _{nto infty }s_{n}right)=lim _{nto infty }fleft(s_{n}right),}

which (for instance) guarantees[note 1] that {displaystyle f(sup S)} is an adherent point of the set {displaystyle f(S),{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}},{f(s):sin S}.}
If in addition to what has been assumed, the continuous function f is also an increasing or non-decreasing function, then it is even possible to conclude that {displaystyle sup f(S)=f(sup S).}
This may be applied, for instance, to conclude that whenever g is a real (or complex) valued function with domain {displaystyle Omega neq varnothing } whose sup norm {displaystyle |g|_{infty },{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}},sup _{xin Omega }|g(x)|} is finite, then for every non-negative real number q,

{displaystyle |g|_{infty }^{q}~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~left(sup _{xin Omega }|g(x)|right)^{q}=sup _{xin Omega }left(|g(x)|^{q}right)}

since the map {displaystyle f:[0,infty )to mathbb {R} } defined by {displaystyle f(x)=x^{q}} is a continuous non-decreasing function whose domain [0,infty ) always contains {displaystyle S:={|g(x)|:xin Omega }} and {displaystyle sup S,{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}},|g|_{infty }.}

Although this discussion focused on {displaystyle sup ,} similar conclusions can be reached for inf with appropriate changes (such as requiring that f be non-increasing rather than non-decreasing). Other norms defined in terms of sup or inf include the weak L^{{p,w}} space norms (for 1 leq p < infty), the norm on Lebesgue space {displaystyle L^{infty }(Omega ,mu ),} and operator norms. Monotone sequences in S that converge to {displaystyle sup S} (or to {displaystyle inf S}) can also be used to help prove many of the formula given below, since addition and multiplication of real numbers are continuous operations.

Arithmetic operations on sets[edit]

The following formulas depend on a notation that conveniently generalizes arithmetic operations on sets.
Throughout, {displaystyle A,Bsubseteq mathbb {R} } are sets of real numbers.

Sum of sets

The Minkowski sum of two sets A and B of real numbers is the set

{displaystyle A+B~:=~{a+b:ain A,bin B}}

consisting of all possible arithmetic sums of pairs of numbers, one from each set. The infimum and supremum of the Minkowski sum satisfies

{displaystyle inf(A+B)=(inf A)+(inf B)}

and

{displaystyle sup(A+B)=(sup A)+(sup B).}

Product of sets

The multiplication of two sets A and B of real numbers is defined similarly to their Minkowski sum:

{displaystyle Acdot B~:=~{acdot b:ain A,bin B}.}

If A and B are nonempty sets of positive real numbers then {displaystyle inf(Acdot B)=(inf A)cdot (inf B)} and similarly for suprema {displaystyle sup(Acdot B)=(sup A)cdot (sup B).}[3]

Scalar product of a set

The product of a real number r and a set B of real numbers is the set

{displaystyle rB~:=~{rcdot b:bin B}.}

If r geq 0 then

{displaystyle inf(rcdot A)=r(inf A)quad {text{ and }}quad sup(rcdot A)=r(sup A),}

while if {displaystyle rleq 0} then

{displaystyle inf(rcdot A)=r(sup A)quad {text{ and }}quad sup(rcdot A)=r(inf A).}

Using r = -1 and the notation {textstyle -A:=(-1)A={-a:ain A},} it follows that

{displaystyle inf(-A)=-sup Aquad {text{ and }}quad sup(-A)=-inf A.}

Multiplicative inverse of a set

For any set S that does not contain {displaystyle 0,} let

{displaystyle {frac {1}{S}}~:=;left{{tfrac {1}{s}}:sin Sright}.}

If {displaystyle Ssubseteq (0,infty )} is non-empty then

{displaystyle {frac {1}{sup _{}S}}~=~inf _{}{frac {1}{S}}}

where this equation also holds when {displaystyle sup _{}S=infty } if the definition {displaystyle {frac {1}{infty }}:=0} is used.[note 2]
This equality may alternatively be written as
{displaystyle {frac {1}{displaystyle sup _{sin S}s}}=inf _{sin S}{tfrac {1}{s}}.}
Moreover, {displaystyle inf _{}S=0} if and only if {displaystyle sup _{}{tfrac {1}{S}}=infty ,} where if[note 2] {displaystyle inf _{}S>0,} then {displaystyle {tfrac {1}{inf _{}S}}=sup _{}{tfrac {1}{S}}.}

Duality[edit]

If one denotes by {displaystyle P^{operatorname {op} }} the partially-ordered set P with the opposite order relation; that is, for all {displaystyle x{text{ and }}y,} declare:

{displaystyle xleq y{text{ in }}P^{operatorname {op} }quad {text{ if and only if }}quad xgeq y{text{ in }}P,}

then infimum of a subset S in P equals the supremum of S in {displaystyle P^{operatorname {op} }} and vice versa.

For subsets of the real numbers, another kind of duality holds: {displaystyle inf S=-sup(-S),} where {displaystyle -S:={-s~:~sin S}.}

Examples[edit]

Infima[edit]

Suprema[edit]

In the last example, the supremum of a set of rationals is irrational, which means that the rationals are incomplete.

One basic property of the supremum is

{displaystyle sup{f(t)+g(t):tin A}~leq ~sup{f(t):tin A}+sup{g(t):tin A}}

for any functionals f and g.

The supremum of a subset S of {displaystyle (mathbb {N} ,mid ,)} where {displaystyle ,mid ,} denotes «divides», is the lowest common multiple of the elements of S.

The supremum of a set S containing subsets of some set X is the union of the subsets when considering the partially ordered set {displaystyle (P(X),subseteq )}, where P is the power set of X and {displaystyle ,subseteq ,} is subset.

See also[edit]

  • Essential supremum and essential infimum – Infimum and supremum almost everywhere
  • Greatest element and least element – Element ≥ (or ≤) each other element
  • Maximal and minimal elements – Element that is not ≤ (or ≥) any other element
  • Limit superior and limit inferior – Bounds of a sequence (infimum limit)
  • Upper and lower bounds – Majorant and minorant in mathematics

Notes[edit]

References[edit]

  1. ^ a b c d e Rudin, Walter (1976). ««Chapter 1 The Real and Complex Number Systems»«. Principles of Mathematical Analysis (print) (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 4. ISBN 0-07-054235-X.
  2. ^ Rockafellar & Wets 2009, pp. 1–2.
  3. ^ Zakon, Elias (2004). Mathematical Analysis I. Trillia Group. pp. 39–42.
  • Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

External links[edit]

  • «Upper and lower bounds», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
  • Breitenbach, Jerome R. & Weisstein, Eric W. «Infimum and supremum». MathWorld.
Источник

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

на графике функции отмечены локальные минимумы и максимумы

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

найдите количество точек экстремумов функции

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

на графике функции отмечены локальные минимумы и максимумы         график производной и отмеченные на ней точки минимумов и максимумов функции

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

найдите количество точек экстремумов функции

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

по графику производной определить минимумы и максимумы функции

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

  1. Найдите производную функции (f'(x)). 
  2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
  3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
  4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
  5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
  6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
    — если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
    — если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
    — если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

нахождение минимума и максимума

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

схематичное изображение функции

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0)      (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0)       (x^2-4=0)
               (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

поиск минимумов и максимумов

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Если неправильно начислена зарплата как исправить
  • Как найти сериал мои восточные ночи
  • Как найти расстояние по силовой линии
  • Как исправить варенье если оно жидкое
  • Как найти силу трения скольжения бруска