Как найти интеграл непосредственным интегрированием

В простейших примерах для применения непосредственного интегрирования достаточно разложить подынтегральную
функцию на слагаемые и постоянные величины вынести за знак интеграла.

При определенной практике интегрирования обычно эти действия проводят устно, записывая лишь результат интегрирования.

Примеры решения интегралов данным методом

В некоторых случаях выражение, стоящее под знаком интеграла, можно с помощью алгебраических
преобразований упростить так, чтобы можно было применить метод непосредственного интегрирования.

Читать дальше: интегрирование внесением под дифференциал.

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования применяется, когда в интеграле присутствуют табличные элементарные функции, либо функции, сводящиеся к таким путём элементарных преобразований. Например, вынос константы за знак интеграла, разбиение интеграла на сумму интегралов так, чтобы подынтегральное выражение содержало готовую функция для интегрирования.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования: $$ int bigg ( x^3 + frac{3}{2sqrt{x}} + frac{2}{x} bigg ) dx $$

Решение

По свойству интеграл суммы есть сумма интегралов: $$ int bigg ( x^3 + frac{3}{2sqrt{x}} + frac{2}{x} bigg ) dx = int x^3 dx + int frac{3 dx}{2sqrt{x}} + int frac{2 dx}{x} $$ Первый интеграл является табличным, поэтому используем непосредственное интегрирование: $$ int x^3 dx = frac{x^{3+1}}{3+1} = frac{x^4}{4} + C $$ Во втором интеграле есть константа, которую сразу можно вынести за знак, а далее интеграл превратится в табличный: $$ int frac{3dx}{2sqrt{x}} = 3 int frac{dx}{2sqrt{x}} = 3 sqrt{x} + C $$ В третьем интеграле выносим константу, а затем применяем метод непосредственного интегрирования: $$ int frac{2dx}{x} = 2int frac{dx}{x} = 2 ln x + C $$ Суммируем в одну запись и получаем: $$ int bigg ( x^3 + frac{3}{2sqrt{x}} + frac{2}{x} bigg ) dx = frac{x^4}{4} + 3sqrt{x} + 2ln x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ int bigg ( x^3 + frac{3}{2sqrt{x}} + frac{2}{x} bigg ) dx = frac{x^4}{4} + 3sqrt{x} + 2ln x $$

Пример 2

Вычислить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования: $$ int_0^1 (sqrt{x} + x)^2 dx $$

Решение

Преобразуем выражение под интегралом для предстоящего интегрирования по частям. Для этого воспользуемся формулой: $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ Выполняем преобразование: $$ int_0^1 (sqrt{x} + x)^2 dx = int_0^1 (x + 2xsqrt{x} + x^2) dx = $$ По свойствам степеней дополнительно преобразуем второе слагаемое в вид: $$ 2xsqrt{x} = 2x cdot x^frac{1}{2} = 2x^{1+frac{1}{2}} = 2x^{frac{3}{2}} $$ Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то: $$ int_0^1 (sqrt{x} + x)^2 dx = int_0^1 x dx + int_0^1 2x^frac{3}{2} dx + int_0^1 x^2 dx = $$ Во слагаемом выносим за знак интеграла константу, чтобы интеграл стал табличным: $$ = frac{x^2}{2} bigg |_0 ^1 + 2 frac{x^{frac{3}{2}+1}}{frac{3}{2}+1} bigg |_0 ^1 + frac{x^3}{3} bigg |_0^1 = frac{x^2}{2} bigg |_0^1 + 2cdot frac{2}{5} x^frac{5}{2} bigg |_0^1 + frac{x^3}{3} bigg |_0^1 = $$ Применяя формулу Ньютона-Лейбница подставляем пределы интегрирования: $$ = frac{1}{2} + frac{4}{5} + frac{1}{3} = frac{15+24+10}{30} = frac{49}{30} $$

Ответ

$$ int_0^1 (sqrt{x} + x)^2 dx = frac{49}{30} $$

Метод непосредственного интегрирования: примеры решения

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Метод непосредственного интегрирования заключается в применении простейших правил интегрирования, например, в применении табличных формул для раскрытия интегралов и правил, перечисленных сразу после таблицы.

Рисунок 1. Табличные интегралы для непосредственного интегрирования. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Несколько основных правил, которые нужно помнить, вычисляя интеграл:

• Множитель-константу в подынтегральном выражении можно вынести перед знаком интегрирования;
• Интеграл суммы или разности нескольких функций равен сумме (разности) интегралов этих функций.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Пример 1

Найдите первообразную от $f(x) = 8 x^2 – 5x + 7$.

Решение:

Итак, начнём. Данная функция имеет в себе суммы и разности, а значит, интеграл от неё можно разложить:

$int ( 8 x^2 – 5x + 7)dx = int 8 x^2 dx — int 5x dx + int 7dx$.

Вынесем множители за знак интеграла. После этого всё решение сводится к использованию табличных значений:

$int 8 x^2 dx — int 5x dx + 7 int 7dx = 8 cdot int x^2 dx — 5 cdot int x dx + 7 int dx = frac83 cdot x^3 — frac52 cdot x^2 + 7x + C$.

Пример 2

Вычислить первообразную от функции $y=-frac{cos x}{3}$:

Ответ: $ int -frac{cos x}{3} = -frac13 int cos x = -frac13 sin x + C$.

Пример 3

Вычислите следующее выражение: $int (2x^2 + 1)^3 dx$.

Решение:

$int (2x^2 + 1)^3 dx = int (8x^6 + 12 x^4 + 6x^2 + 1) dx = frac87 x^7 + frac{12}{5} x^5 + 2x^3 + x + C$.

Пример 4

Очередной пример на нахождение интеграла: $int frac{(x — sqrt {x})(1 + sqrt{x})}{sqrt[3]{x}} cdot dx$.

Решение:

$int frac{(x — sqrt {x})(1 + sqrt{x})}{sqrt[3]{x}} cdot dx= int frac{x sqrt{x}- sqrt{x}}{sqrt[3]{x}} dx = int x^{frac76}dx — int x^{frac16}dx = frac{6}{13} x^{frac{13}{6}} — frac67 x^{frac76} + C$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 06.05.2023

1. Основные понятия.

Для начала следует сказать, что интегралы бывают неопределённые и определённые. Нахождение простейшего интеграла сводится к нахождению общего вида первообразной. Результатом неопределённого интеграла является функция.

Вычисление простейшего определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница. Существует несколько методов нахождения интегралов:

• Непосредственное интегрирование
• Метод замены переменной
• Интегрирование почастям.

В общем виде определенный интеграл записывается так: ,где нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой , верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой . Отрезок называется отрезком интегрирования.

Ответим на следующие вопросы:

Что такое определенный интеграл?

Определенный интеграл – это число.

Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл?

Есть. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла.

Что значит решить определенный интеграл?

Решить определенный интеграл – это значит, найти число.

Как решить определенный интеграл?

С помощью знакомой уже формулы Ньютона-Лейбница:

Этапы решения определенного интеграла следующие:

• Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .

Всегда ли существует определенный интеграл?

Нет, не всегда.

Рассмотрим пример вычисления интеграла , его не существует, поскольку отрезок интегрирования не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными).

Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу?

Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл.

Рассмотрим основные свойства определённого интеграла

Теорема 1.

Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

Теорема 3. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

Теорема 4. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

то

Теорема 5. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

2. Рассмотрим примеры вычисления интегралов.

Пример 1. Вычислить определённый интеграл

Решение: Сначала найдём неопределённый интеграл, т.е. представим подынтегральную функцию в виде степени (заменив корень), получим х^1/3, а затем найдем первообразную этой функции:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной получим

Ответ: 12.

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл.

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение: Вспомним, что е^2х — функция сложная, а значит при нахождении первообразной ( интеграла) нужно умножить на обратный коэффициент который стоит перед х, т.е. на ½. Используя формулу

получим,

Пример 3. Вычислить определенный интеграл

Решение:

Объяснение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу 1/3 целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ 4²/₃

Ответ: 4²/₃

Пример 4. Вычислить определённый интеграл

Решение:

3. Далее рассмотрим еще примеры вычисления определённых интегралов, для этого посмотрите видео-урок https://videouroki.net/video/18-vychislenie-integralov.html. Если видео-урок будет пропущен, то будет намного сложнее выполнить домашнее задание.

Важно! Все интегралы, входящие в домашнюю работу, являютсяпростейшими интегралами.

Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием
понимают такой способ интегрирования,
при котором данный интеграл путем
тождественных преобразований
подынтегральной функции и применения
свойств неопределенного интеграла
приводится к одному или нескольким
табличным интегралам.

Пример 1. Найти.

 Разделив числитель на знаменатель,
получим:

=.

Отметим,
что нет надобности после каждого
слагаемого ставить произвольную
постоянную, потому что их сумма есть
также произвольная постоянная, которую
мы пишем в конце.

Пример 2.Найти.

 Преобразуем подынтегральную функцию
следующим образом:

.

Применив табличный интеграл 1, получим:

.

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Пример 5.

=

=.

В некоторых случаях нахождение интегралов
упрощается применением искусственных
приемов.

Пример 6.Найти.

 Умножив подынтегральное выражение
на
находим

=.

Пример 7.

.

Пример 8.

.

2. Интегрирование методом замены переменной

Вычислить заданный интеграл непосредственным
интегрированием удается далеко не
всегда, а иногда это связано с большими
трудностями. В этих случаях применяют
другие приемы. Одним из наиболее
эффективных является метод замены
переменной. Сущность его заключается
в том, что путем введения новой переменной
интегрирования удается свести заданный
интеграл к новому, который сравнительно
легко берется непосредственно. Существуют
два варианта этого метода.

а)
Метод подведения функции под знак
дифференциала

По определению дифференциала функции
.

Переход в этом равенстве слева направо
называют «подведением множителя
под
знак дифференциала».

Теорема об инвариантности формул
интегрирования

Всякая формула интегрирования сохраняет
свой вид при подстановке вместо
независимой переменной любой
дифференцируемой функции от нее, т.е.,
если

, то и,

где
— любая дифференцируемая функция отx.
Ее значения должны принадлежать
интервалу, в котором функцияопределена и непрерывна.

Доказательство:

Из того, что
,
следует.
Возьмем теперь функцию.
Для ее дифференциала в силу свойства
инвариантности формы первого дифференциала
функции^имеем

.

Отсюда
.

Пусть требуется вычислить интеграл
.
Предположим, что существуют дифференцируемая
функцияи функциятакие, что подынтегральное выражение
может быть записано в виде

.

(1)

Тогда

,

(2)

т.е.
вычисление интеграла
сводится к вычислению интегралаи последующей подстановке.

Пример
1. .

Пример
2..

Пример
3..

Пример
4..

Пример
5..

Пример
6..

Пример
7..

Пример
8..

Пример
9..

Пример
10..

Пример
11.

.

Приведем далее примеры вычисления
интегралов, которые нам понадобятся в
теории интегрирования рациональных
дробей.

Пример
12.НайтиI=(0).


Представим подынтегральную функцию в
виде:

.

Следовательно,

I=

=.

Таким образом,
.

Пример
12а. НайтиI=,
.

 Так как
,

следовательно
I=.


Пример 13.Найти(0).

 Для
того, чтобы свести этот интеграл к
табличному, разделим числитель и
знаменатель подынтегрального выражения
на
:

.

Мы подвели постоянный множитель
под знак дифференциала. Рассматриваякак новую переменную, получим:

.

Вычислим также интеграл, который имеет
важное значение при интегрировании
иррациональных функций.

Пример
14.НайтиI=(ха,а0).

 Имеем
.

Итак,
(ха,а0).

Представленные примеры иллюстрируют
важность умения приводить данное

дифференциальное
выражение
к виду,
гдеесть некоторая функция отxиg– функция более простая для интегрирования,
чемf.

В этих примерах были проведены
преобразования дифференциала, такие
как

гдеb– постоянная
величина

,

,

,

часто используемые
при нахождении интегралов.

В таблице основных интегралов
предполагалось, что xесть независимая
переменная. Однако, эта таблица, как
следует из изложенного выше, полностью
сохраняет свое значение, если подxпонимать любую непрерывно дифференцируемую
функцию от независимой переменной.
Обобщим ряд формул таблицы основных
интегралов.

3а..

4..

5.=.

6.=
.

7.=
.

8.
(ха,а0).

9.
(а0).

Операция подведения функции
под знак дифференциала эквивалентна
замене переменнойхна новую переменную.
Нижеследующие примеры иллюстрируют
это положение.

Пример
15.НайтиI=.


Произведем замену переменной по формуле
,
тогда,
т.е.иI=.

Заменив uего выражением,
окончательно получим

I=.

Выполненное преобразование эквивалентно
подведению под знак дифференциала
функции
.

Пример 16.Найти.

 Положим
,
тогда,
откуда.
Следовательно,

.

Пример 17.Найти.

 Пусть
,
тогда,
или.
Следовательно,

.

В заключение отметим, что разные способы
интегрирования одной и той же функции
иногда приводят к функциям, различным
по своему виду. Это кажущееся противоречие
можно устранить, если показать, что
разность между полученными функциями
есть постоянная величина (см. теорему,
доказанную на лекции 1).

Примеры:

а)
.

.

Результаты
отличаются на постоянную величину, и,
значит, оба ответа верны.

б) I=.

.

Легко убедиться, что любые из ответов
отличаются друг от друга только на
постоянную величину.

б)
Метод подстановки (метод введения новой
переменной)

Пусть интеграл
(— непрерывна) не может быть непосредственно
преобразован к виду табличного. Сделаем
подстановку,
где— функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда,и

.
(3)

Формула (3) называется формулой замены
переменной в неопределенном интеграле.

Как правильно выбрать подстановку? Это
достигается практикой в интегрировании.
Но можно установить ряд общих правил и
некоторых приемов для частных случаев
интегрирования.

Правило интегрирования способом
подстановки состоит в следующем.

1. Определяют, к какому табличному интегралу
   приводится данный интеграл (предварительно
   преобразовав подынтегральное выражение,
   если нужно).

2. Определяют, какую часть подынтегральной
   функции заменить новой переменной, и
   записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей
   записи и выражают дифференциал старой
   переменной (или выражение, содержащее
   этот дифференциал) через дифференциал
   новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. Производят обратную замену, т.е. переходят
   к старой переменной.

Проиллюстрируем правило примерами.

Пример
18.Найти.

=
.

Пример
19.Найти.

• Вычислим интеграл
  , придерживаясь следующей формы записи:

=.

Этот интеграл найдем подведением
под
знак дифференциала.

=.

Пример 20.Найти().

• Применим подстановку Эйлера:
  ,
  где—
  новая переменная.

,
т.е.,
или.
Отсюда,
т.е..

Таким образом, имеем
.
Заменяяего выражением черезx, окончательно
находим интеграл, играющий важную роль
в интегрировании иррациональных функций:().

Студенты прозвали этот интеграл «длинным
логарифмом».

Иногда вместо подстановки
лучше выполнять замену переменной вида.

Пример 21.Найти.

• Полагая t=e^x
  , получаем,и

.

Пример 22.Найти.


Воспользуемся подстановкой
.
Тогда,,.

Следовательно,
.

В ряде случаев нахождение интеграла
основывается на использовании методов
непосредственного интегрирования и
подведения функций под знак дифференциала
одновременно (см. пример 12).

Проиллюстрируем этот комбинированный
подход к вычислению интеграла, играющего
важную роль при интегрировании
тригонометрических функций.

Пример 23.Найти.

• Имеем
  

=.

Итак,

.

Другой подход к вычислению этого
интеграла:

.

Пример 24.Найти.

Заметим, что удачный выбор подстановки
обычно представляет трудности. Для их
преодоления необходимо овладеть техникой
дифференцирования и хорошо знать
табличные интегралы.

Лекция
3.

Соседние файлы в предмете Высшая математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #