Что такое интеграл в математике
Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, возникающее при решении задач нахождения площади под кривой, пройденного расстояния при неравномерном движении, массы неоднородного тела и т. П., А также задачи восстановления функция от своей производной (неопределенный интеграл).
Упрощенный интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых членов. В зависимости от пространства, на котором задается подынтегральное выражение, интеграл может быть — двойным, тройным, криволинейным, поверхностным и так далее.
Зачем может потребоваться вычисление интеграла
Ученые пытаются выразить все физические явления в виде математической формулы. Как только у нас есть формула, с ее помощью уже можно что угодно считать. А интеграл — один из основных инструментов для работы с функциями.
Например, если у нас есть формула круга, мы можем использовать интеграл для вычисления его площади. Если у нас есть формула шара, то мы можем вычислить его объем. Благодаря интеграции они находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.
| bold{mathrm{Basic}} | bold{alphabetagamma} | bold{mathrm{ABGamma}} | bold{sincos} | bold{gedivrightarrow} | bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} | bold{sumspaceintspaceproduct} | bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} | bold{H_{2}O} | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Подписаться
Войдите, чтобы сохранять заметки
Войти
Номер Строки
Примеры
-
int e^xcos (x)dx
-
int cos^3(x)sin (x)dx
-
int frac{2x+1}{(x+5)^3}
-
int x^2ln(5x)
-
int frac{1}{x^2}dx
-
int frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}
-
неполные:дроби:int_{0}^{1} frac{32}{x^{2}-64}dx
-
подстановка:intfrac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}dx,:u=e^{x}
- Показать больше
Описание
Поэтапное решение неопределенных интегралов
indefinite-integral-calculator
ru
Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab
High School Math Solutions – Polynomial Long Division Calculator
Polynomial long division is very similar to numerical long division where you first divide the large part of the…
Read More
Введите Задачу
Сохранить в блокнот!
Войти
Solve integrals with Wolfram|Alpha
More than just an online integral solver
Wolfram|Alpha is a great tool for calculating antiderivatives and definite integrals, double and triple integrals, and improper integrals. The Wolfram|Alpha Integral Calculator also shows plots, alternate forms and other relevant information to enhance your mathematical intuition.
Learn more about:
- Integrals »
Tips for entering queries
Use Math Input above or enter your integral calculator queries using plain English. To avoid ambiguous queries, make sure to use parentheses where necessary. Here are some examples illustrating how to ask for an integral using plain English.
- integrate x/(x-1)
- integrate x sin(x^2)
- integrate x sqrt(1-sqrt(x))
- integrate x/(x+1)^3 from 0 to infinity
- integrate 1/(cos(x)+2) from 0 to 2pi
- integrate x^2 sin y dx dy, x=0 to 1, y=0 to pi
- View more examples »
Access instant learning tools
Get immediate feedback and guidance with step-by-step solutions for integrals and Wolfram Problem Generator
Learn more about:
- Step-by-step solutions »
- Wolfram Problem Generator »
What are integrals?
Integration is an important tool in calculus that can give an antiderivative or represent area under a curve.
The indefinite integral of , denoted , is defined to be the antiderivative of . In other words, the derivative of is . Since the derivative of a constant is 0, indefinite integrals are defined only up to an arbitrary constant. For example,, since the derivative of is . The definite integral of from to , denoted , is defined to be the signed area between and the axis, from to .
Both types of integrals are tied together by the fundamental theorem of calculus. This states that if is continuous on and is its continuous indefinite integral, then . This means . Sometimes an approximation to a definite integral is desired. A common way to do so is to place thin rectangles under the curve and add the signed areas together. Wolfram|Alpha can solve a broad range of integrals
How Wolfram|Alpha calculates integrals
Wolfram|Alpha computes integrals differently than people. It calls Mathematica’s Integrate function, which represents a huge amount of mathematical and computational research. Integrate does not do integrals the way people do. Instead, it uses powerful, general algorithms that often involve very sophisticated math. There are a couple of approaches that it most commonly takes. One involves working out the general form for an integral, then differentiating this form and solving equations to match undetermined symbolic parameters. Even for quite simple integrands, the equations generated in this way can be highly complex and require Mathematica’s strong algebraic computation capabilities to solve. Another approach that Mathematica uses in working out integrals is to convert them to generalized hypergeometric functions, then use collections of relations about these highly general mathematical functions.
While these powerful algorithms give Wolfram|Alpha the ability to compute integrals very quickly and handle a wide array of special functions, understanding how a human would integrate is important too. As a result, Wolfram|Alpha also has algorithms to perform integrations step by step. These use completely different integration techniques that mimic the way humans would approach an integral. This includes integration by substitution, integration by parts, trigonometric substitution and integration by partial fractions.
Интеграл по-шагам
Примеры интегралов
- Интегралы от степенных функций
-
x^2 - 2*x + 5
-
(x - 1) / (x - 2)
- Интегралы от тригонометрических функций
-
sin(x) / x
-
cos(x) / sin(x)^2
- Интегралы от показательных функций
-
a^x * sin(x)
-
x*2^(-x + x^2)
- Интегралы от функций с логарифмами
-
x*ln(x)
-
log(x) / x
- Интегралы от рациональных дробей
-
(x - 1) / (x^3 - x^2 - 1)
-
1/((x - 1)*(x + 1))
- Интегралы от иррациональных дробей
-
1/sqrt(x^2 - x + 1)
-
(x - 1)^(1/2) / (x^3 - 1)^(1/3)
Подробнее про Интеграл
.
Указанные выше примеры содержат также:
- модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
-
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) -
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
-
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x) -
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) -
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) -
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) -
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x) -
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) -
знак числа:
sign(x) -
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x) -
Факториал от x:
x! или factorial(x) - Гамма-функция gamma(x)
- Функция Ламберта LambertW(x)
-
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)
Правила ввода
Можно делать следующие операции
- 2*x
- — умножение
- 3/x
- — деление
- x^2
- — возведение в квадрат
- x^3
- — возведение в куб
- x^5
- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
Постоянные
- pi
- — число Пи
- e
- — основание натурального логарифма
- i
- — комплексное число
- oo
- — символ бесконечности
Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.
Онлайн калькулятор. Решение интегралов.
Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам. 
Также универсальный калькулятор умеет вычислять определенные и неопределенные интегралы.
Онлайн калькулятор интегралов
Перенос?
int _{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{3}}left(sin 6xsin 7xright)dx
$$textbf{Вычисление определенного интеграла:} newline int f(x) dx = {{3^{{{3}over{2}}}}over{13}}-{{3}over{13}} =newline {{3^{{{3}over{2}}}-3}over{13}} =newline {{3left( sqrt {3}-1right)}over{13}} =newline 0.169$$
Пояснения к калькулятору
- Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
- Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
- ⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
- C — очистить поле ввода.
- При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
- Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
- Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками ab и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей →.
Решение интегралов
Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
∫ f(x) — для неопределенного интеграла;
ba∫ f(x) — для определенного интеграла.
В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.
$$int left(frac{x+arccos ^2left(3xright)}{sqrt{1-9x^2}}right)dx$$ (решить интеграл)
$$int _{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{3}}left(sin 6xsin 7xright)dx$$ (решить интеграл)
$$int _{+infty }^{-infty }left(frac{1}{left(x^2+1right)left(x^2+4right)}right)dx$$ (решить интеграл)