Как найти интеграл от сложной функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Некоторыми сложными функциями будем считать функции вида , где и — любые действительные числа. Так, — примеры некоторых сложных функций. В аргументе этих функций переменная находится только в первой степени!

Для нахождения интеграла от некоторых сложных функций будем использовать формулу: . Ее правильность легко проверяется дифференцированием обеих частей.

Можно также применять следующий алгоритм:

Выбрать табличный интеграл, к которому сведется данный.
Вместо в табличном интеграле подставить выражение из исходного интеграла.
В правую часть добавить множитель , где — коэффициент перед .

Рассмотрим нахождение интеграла от некоторых сложных функций на примерах.

Пример №19.4.

Найдите .

Решение:

Видим, что под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .

В нашем примере в качестве аргумента выступает угол . Выделим коэффициент , стоящий перед : , следовательно, в правую часть мы должны добавить множитель , то есть . Тогда получим, что .

Пример №19.5.

Найдите .

Решение:

Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .

В примере в качестве аргумента выступает выражение . Выделим коэффициент , стоящий перед : , следовательно, в правую часть добавим множитель (-1). Тогда получим, что .

Пример №19.6.

Найдите .

Решение:

Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .

В примере в качестве аргумента выступает выражение . Выделим коэффициент , стоящий перед : , следовательно, в правую часть добавим множитель 1:0,5=2. Тогда получим, что .

Пример №19.7.

Найдите .

Решение:

Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .

В примере в качестве аргумента выступает выражение . Выделим коэффициент , стоящий перед : , следовательно, в правую часть добавим множитель (-1/3). Тогда получим, что .

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Источник

Простое объяснение принципов решения сложных интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения сложных интегралов

Сложными являются интегралы, которые нельзя вычислить, используя таблицу интегралов.

Сложные интегралы вычисляются методом введения дополнительной переменной. Этот приём позволяет преобразовать подынтегральную функцию к виду, характерному для табличных интегралов.

При вычислении сложных интегралов также применяются свойства интеграла и таблица основных интегралов.

Таблица основных интегралов

Примеры решений сложных интегралов

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{dx}{xsqrt{x^{2} - a^{2}}}]$

при помощи подстановки $x = frac{a}{t}$

Решение

Найдём dx:

$dx = -frac{a}{t^{2}}dt$

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = frac{a}{t}$ :

$frac{1}{xsqrt{x^{2} - a^{2}}} = frac{1}{frac{a}{t}sqrt{frac{a^{2}}{t^{2}} - a^{2}}} = frac{t^{2}}{a^{2}sqrt{1 - t^{2}}}$

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$[int frac{t^{2}}{a^{2}sqrt{1 - t^{2}}}(-frac{a}{t^{2}}dt) = -frac{1}{a}int frac{dt}{sqrt{1 - t^{2}}} = -frac{1}{a}arcsin{t} + C]$

Перейдём к переменной , для этого из подстановки $x = frac{a}{t}$ выразим через :

$t = frac{a}{x}$

В итоге получим:

$-frac{1}{a}arcsin{frac{a}{x}} + C$

Преобразуем полученный результат с учётом, что $frac{pi}{2} - arcsin{alpha} = arccos{alpha}$

Считая, что $C = frac{1}{a}frac{pi}{2} + C_{1}$ , получим

$-frac{1}{a}arcsin{frac{a}{x}} + C = frac{1}{a}frac{pi}{2} - frac{1}{a}arcsin{frac{a}{x}} + C_{1} = frac{1}{a}(frac{pi}{2} - arcsin{frac{a}{x}}) + C_{1}$

Индекс $C_{1}$ можно обозначить через

Окончательно, получим:

$frac{1}{a}(frac{pi}{2} - arcsin{frac{a}{x}}) + C_{1} = frac{1}{a}arccos{frac{a}{x}} + C$

Ответ

$[int frac{dx}{xsqrt{x^{2} - a^{2}}} = frac{1}{a}arccos{frac{a}{x}} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{dx}{{sqrt{2ax - x^{2}}}}]$

при помощи подстановки

Решение

Найдём dx:

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :

$sqrt{2ax - x^{2}} = sqrt{2acdot a(1 - t) - a^{2}{(1 - t)}^{2}} = sqrt{a^{2}{(1 - t)}^{2}} = |a|{(1 - t)}^{2}$

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$[int frac{-adt}{|a|sqrt{1 - t^{2}}} = -frac{a}{|a|}int frac{dt}{sqrt{1 - t^{2}}} = frac{a}{|a|}arccos{t} + C = pmarccos{t} + C]$

Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :

$t = 1 - frac{x}{a} = frac{a - x}{a}$

В итоге получим:

$[int frac{-adt}{|a|sqrt{1 - t^{2}}} = pmarccos{frac{a - x}{a}} + C]$

Ответ

$[int frac{dx}{{sqrt{2ax - x^{2}}}} = pmarccos{frac{a - x}{a}} + C]$

Задача

Вычислить интеграл от дроби:

$[int frac{dx}{2x -1}]$

Решение

$[int frac{dx}{2x -1} = frac{1}{2}intfrac{2dx}{2x - 1} = frac{1}{2}ln|2x - 1| + C]$

Ответ

$[int frac{dx}{2x -1} = frac{1}{2}ln|2x - 1| + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int sqrt{2ax - x^{2}}dx]$

при помощи тригонометрической подстановки

Решение

Найдём dx:

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :

$sqrt{a^{2} - x^{2}} = sqrt{a^{2} - a^{2}sin^{2}{t}} = sqrt{a^{2}(1 - sin^{2}{t})} = sqrt{a^{2}cos^{2}{t}} = acos{t}$

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$[int acos{t}(acos{t}dt) = a^{2}int cos^{2}{t}dt]$

Интеграл вида относится к табличным и равен:

$[int cos^{2}{t}dt = frac{1}{2}(t + sin{t}cos{t}) + C]$

Поэтому:

$[a^{2}int cos^{2}{t}dt = a^{2}frac{1}{2}(t + sin{t}cos{t}) + C]$

Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :

$t = arcsin{frac{x}{a}}, sin{t} = frac{x}{a}, cos{t} = sqrt{1 - sin^{2}{t}} = sqrt{1 - frac{x^{2}}{a^{2}}} = frac{sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}$

В итоге получим:

$[a^{2}frac{1}{2}(t + sin{t}cos{t}) + C = a^{2}frac{1}{2}(arcsinfrac{x}{a} + frac{x}{a}frac{sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}) + C]$

$[a^{2}frac{1}{2}(t + sin{t}cos{t}) + C = frac{x}{2}sqrt{a^{2} - x^{2}} + frac{a^{2}}{2}arcsin{frac{x}{a}} + C]$

Ответ

$[int sqrt{2ax - x^{2}}dx = frac{x}{2}sqrt{a^{2} - x^{2}} + frac{a^{2}}{2}arcsin{frac{x}{a}} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{x^{2}}{sqrt{a^{2} - x^{2}}}dx]$

при помощи тригонометрической подстановки

Решение

Найдём dx:

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :

$frac{x^{2}}{sqrt{a^{2} - x^{2}}} = frac{a^{2}sin^{2}t}{sqrt{a^{2} - a^{2}sin^{2}{t}}} = frac{a^{2}sin^{2}t}{sqrt{a^{2}(1 - sin^{2}{t})}} = frac{a^{2}sin^{2}t}{sqrt{a^{2}cos^{2}{t}}} = frac{a^{2}sin^{2}t}{acos{t}}$

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$[int frac{a^{2}sin^{2}t}{acos{t}}acos{t}dt = a^{2}int sin^{2}{t}dt]$

Интеграл вида относится к табличным и равен:

$[int sin^{2}{t}dt = frac{1}{2}(t - sin{t}cos{t}) + C]$

Поэтому:

$[a^{2}int sin^{2}{t}dt = a^{2}frac{1}{2}(t - sin{t}cos{t}) + C]$

Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :

$t = arcsin{frac{x}{a}}, sin{t} = frac{x}{a}, cos{t} = sqrt{1 - sin^{2}{t}} = sqrt{1 - frac{x^{2}}{a^{2}}} = frac{sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}$

В итоге получим:

$[a^{2}frac{1}{2}(t - sin{t}cos{t}) + C = frac{a^{2}}{2}(arcsinfrac{x}{a} - frac{x}{a}frac{sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}) + C]$

$[a^{2}frac{1}{2}(t - sin{t}cos{t}) + C = frac{a^{2}}{2}arcsinfrac{x}{a} - frac{x}{2}sqrt{a^{2} - x^{2}} + C]$

Ответ

$[int frac{x^{2}}{sqrt{2ax - x^{2}}}dx = frac{a^{2}}{2}arcsinfrac{x}{a} - frac{x}{2}sqrt{a^{2} - x^{2}} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int sqrt{frac{1 - x}{1 + x}}dx]$

при помощи подстановки

Решение

Найдём dx:

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :

$sqrt{frac{1 - x}{1 + x}} = sqrt{frac{1 - sin{t}}{1 + sin{t}}} = sqrt{frac{{(1 - sin{t})}^{2}}{(1 + sin{t})(1 - sin{t})}} = frac{sqrt{{(1 - sin{t})}^2}}{sqrt{1 - sin^2{t}}} = frac{1 - sin{t}}{cos{t}}$

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$[int sqrt{frac{1 - x}{1 + x}}dx = int frac{1 - sin{t}}{cos{t}}cos{t}dt = int (1 - sin{t})dt]$

$[int sqrt{frac{1 - x}{1 + x}}dx = t + cos{t} + C]$

Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :

В итоге получим:

Т.к. $cos{(arcsin{x})} = sqrt{1 - x^{2}}$ , то

$arcsin{x} + cos{(arcsin{x})} + C = arcsin{x} + sqrt{1 - x^{2}} + C$

Ответ

$[int sqrt{frac{1 - x}{1 + x}}dx = arcsin{x} + sqrt{1 - x^{2}} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{dx}{sqrt{1 + x^{2}}}]$

при помощи подстановки

Решение

Найдём dx:

$dx = -frac{1}{sin^2{t}}dt$

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :

$sqrt{1 + x^{2}} = sqrt{1 + ctg^{2}{t}} = sqrt{1 + frac{cos^{2}{t}}{sin^{2}{t}}} = sqrt{frac{sin^{2}{t} + cos^{2}{t}}{sin^{2}{t}}}$ = $frac{1}{sin{t}}$

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$[int frac{dx}{sqrt{1 + x^{2}}} = -int frac{dt}{sin{t}} = -ln tg{frac{t}{2}} + C]$

$-ln tg{frac{t}{2}} + C = ln {left(tg{frac{t}{2}}right)}^{-1} + C$

$-ln tg{frac{t}{2}} + C = ln {ctg{frac{t}{2}}} + C$

$ctg{frac{t}{2}} = frac{cos{frac{t}{2}}}{sin{frac{t}{2}}} = frac{2cos^{2}{frac{t}{2}}}{2sin{frac{t}{2}}cos{frac{t}{2}}} = frac{1 - cos{t}}{sin{t}}$ = $frac{1}{sin{t}} + ctg{t}$

Перейдём к от к переменной :

$frac{1}{sin{t}} = sqrt{1 + x^{2}}, ctg{t} = x$

$ln {ctg{frac{t}{2}}} + C = ln (frac{1}{sin{t}} + ctg{t}) + C = ln(x + sqrt{1 + x^{2}}) + C$

Ответ

$[int frac{dx}{sqrt{1 + x^{2}}} = ln(x + sqrt{1 + x^{2}}) + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{dx}{xsqrt{x^{2} - a^{2}}}]$

при помощи подстановки $z = sqrt{x^{2} - a^{2}}$

Решение

Выразим подынтегральную функцию через переменную :

$x^{2} - a^{2} = z^{2}, x^{2} = a^{2} + z^{2}, 2xdx = 2zdz, xdx = zdz$

Разделим обе части равенства на $x^{2}$ :

$frac{xdx}{x^{2}} = frac{zdz}{x^{2}}$

В правой части равенства заменим $a^{2} + z^{2}$ на $x^{2}$ :

$frac{xdx}{x} = frac{zdz}{a^{2} + z^{2}}$

$frac{dx}{xsqrt{x^{2} - a^{2}}} = frac{zdz}{(a^{2} + z^{2})z} = frac{dz}{a^{2} + z^{2}}$

$[intfrac{dz}{a^{2} + z^{2}} = frac{1}{a} arctgfrac{z}{a} + C]$

Переходя к переменной , получаем:

$frac{1}{a} arctgfrac{z}{a} + C = frac{1}{a} arctgfrac{sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a} + C$

Ответ

$int frac{dx}{xsqrt{x^{2} - a^{2}}} = frac{1}{a} arctgfrac{sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a} + C$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{dx}{sqrt{x + 2} + 3}]$

при помощи подстановки

Решение

Выразим подынтегральную функцию через переменную :

$x + 2 = t^{2}, x = t^{2} - 2, dx = 2tdt$

$frac{dx}{sqrt{x + 2} + 3} = frac{2tdt}{t + 3}$

$[intfrac{2tdt}{t + 3} = 2intfrac{t + 3 - 3}{t + 3}dt]$

$[2intfrac{t + 3 - 3}{t + 3}dt = 2intleft(1 - frac{t}{t + 3}right)dt]$

$[2intleft(1 - frac{t}{t + 3}right)dt = 2[t - 3ln(t + 3)] + C]$

Переходя к переменной , и учитывая, что получаем:

Ответ

$[int frac{dx}{sqrt{x + 2} + 3} = 2[sqrt{x + 2} - 3ln||sqrt{x + 2} + 3] + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{dx}{sqrt{a^{2} - x^{2}}}]$

при помощи подстановки $t(a - x) = sqrt{a^{2} - x^{2}}$

Решение

Выразим подынтегральную функцию через переменную :

$a^{2} - x^{2} = t^{2}{(a - x)}^{2}, a + x = t^{2}(a - x)$

$x = afrac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}, dx = frac{4atdt}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

$sqrt{a^{2} - x^{2}} = frac{2at}{t^{2} + 1}$

$[2intfrac{frac{4atdt}{{(t^{2} + 1)}^{2}}}{frac{2at}{t^{2} + 1}} = intfrac{2dt}{t^{2} + 1}]$

$[intfrac{2dt}{t^{2} + 1} = 2 arctg{t} + C]$

Переходя к переменной , и учитывая, что $t = frac{sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a - x}$ получаем:

$2 arctg{t} + C = 2 arctg{frac{sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a - x}} + C = 2 arctg{sqrt{frac{a + x}{a - x}}} + C$

Ответ

$[int frac{dx}{sqrt{a^{2} - x^{2}}} = 2 arctg{sqrt{frac{a + x}{a - x}}} + C]$

Источник

Вычислить первообразную сложной функции

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Теоретическая часть

Понятие первообразной функции актуально в механике. Проблема нахождения функции по некоторой определённой производной этой же функции является задачей первообразной. Поэтому будем считать, что задачи по нахождению производных функций уже известны. Обычно понятие первообразной разбирают в рамках вопроса нахождения определённого интеграла.

Определение 1

Первообразная функция $F(x)$ или просто первообразная является таковой, если в любой точке $x$ из некоторого замкнутого интервала $X=(a,b)$ на числовом множестве (или на бесконечной прямой) $F(x)$ дифференцируема и $F'(x)=f(x)$.

Если известны основные элементарные производные, то задача нахождения первообразной разрешима.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Если $C$ — любая постоянная величина (константа), то $F(x)+C$ — тоже первообразная для $f(x)$. Это означает, что у функции имеется бесконечное множество первообразных, которые отличны друг от друга на постоянную величину, потому что производная от $C$ равна нулю. Графически первообразные одной функции будут представлять собой одинаковую кривую с параллельным сдвигом относительно друг друга в направлении оси ординат.

Две любые первообразные одной функции могут отличаться только на постоянное слагаемое. То есть $F_1(x)-F_2(x)=C$.

Неопределённый интеграл от какой-либо функции представляет общий вид (выражение) всех её первообразных. Заметим, что первообразная и неопределённый интеграл существуют только для непрерывных функций на заданном промежутке.

Найти общее выражение первообразных представляется возможным, если решить неопределённый интеграл от заданной функции.

Практическая часть

«Вычислить первообразную сложной функции» 👇

Для интегрирования сложных функций существует специальный способ — способ замены переменных.

Рассмотрим примеры. Будем пользоваться таблицей неопределённых интегралов.

Рисунок 1. Таблица неопределённых интегралов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 1

Имеется функция

Рисунок 2. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Введём замену. Пусть $t=ax$. Тогда:

Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 2

Дана функция

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Произведём замену $t=x^2+a^2$. Тогда

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Имеется

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сделаем замену $t=sin x$.

Рисунок 7. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 4

Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Замена $t=x^2$.

Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 13.05.2023

Источник

Приемы взятия сложных интегралов

Время на прочтение
3 мин

Количество просмотров 38K

Интeгpaлы, чтo мoжeт быть вeceлee? Hу, вoзмoжнo нe для вcex, нo вce жe, я ужe дaвнo ничeгo нe пocтил тaкoгo cугубo мaтeмaтичecкoгo, тaк чтo пoпpoбую. Этoт пocт – пpo тo кaк бpaть «cлoжныe» интeгpaлы. Этoт пocт пoдpaзумeвaeт чтo читaтeль училcя тaки в шкoлe и знaeт тpивиaльныe пoдxoды (нaпpимep, интегрирование по частям). B пocтe мы будeм oбcуждaть тoлькo интeгpaлы Pимaнa, a нe интeгpaлы Лeбeгa-Cтилтьeca, Итo, Cкopoxoдa и тaк дaлee (xoтя я бы c удoвoльcтвиeм, чeccлoвo).

Becь этoт пocт — мaлeнькaя выбopкa peцeптoв или «пaттepнoв» кoтopыe мoжнo взять в кoпилку и пoтoм пpимeнять. Пocт peкoмeндуeтcя читaть нa high-DРI диcплee дaбы пpeдoтвpaтить глaзнoe кpoвoтeчeниe. Я пpeдупpeдил.

Пepexoд к пoляpным кoopдинaтaм

Haчнeм c нeмнoгo избитoгo мeтoдa — пepexoдa к пoляpным кoopдинaтaм. Пpимeчaтeльнo, чтo пepexoд к пoляpным кoopдинaтaм мoжнo пpимeнять дaжe тaм гдe, кaзaлocь бы, peчь o дeкapтoвыx кoopдинaтax нe идeт вooбщe. Haпpимep, нeoпpeдeлeнный интеграл Гаусса $textstyle int e^{-x^2} {mathrm d}x$ нe имeeт aнaлитичecкoгo peшeния, a вoт oпpeдeлeнный интeгpaл $textstyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} {mathrm d}x = sqrt{pi}$ .

Дoкaзaть этo мoжнo вoт кaк: cнaчaлa, чтoбы пpимeнить пpeoбpaзoвaниe кoopдинaт, мы ввoдим двe пepeмeнныe интeгpиpoвaния и тaк чтo

$I = int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} {mathrm d}x = int_{-infty}^{infty} e^{-y^2} {mathrm d}y$

Дeкapтoвы кoopдинaты мoжнo выpaзить чepeз пoляpныe вoт тaк:

$begin{align*} x &= r cos theta \ y &= r sin theta \ r^2 &= x^2 + y^2 end{align*}$

Интeгpиpoвaниe oт дo в дeкapтoвoй cиcтeмe кoopдинaт — этo тo жe, чтo интeгpиpoвaниe oт дo и oт дo .

B peзультaтe пoлучим cлeдующee:

$begin{aligned} Icdot I &= int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} {mathrm d}x int_{-infty}^{infty} e^{-y^2} {mathrm d}y \ &= int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} e^{-x^2-y^2} ;{mathrm d}x;{mathrm d}y \ &= int_{0}^{2pi} {mathrm d}theta int_{0}^{infty} e^{-r^2} r ;{mathrm d}r \ &= 2piint_{0}^{infty} e^{-r^2} r ;{mathrm d}r \ &= piint_0^{infty} e^{-r^2} ;{mathrm d}r^2 = pi \ end{aligned}$

Этoт жe пoдxoд мoжeт пpимeнять и в 3-x измepeнияx c иcпoльзoвaним cфepичecкиx кoopдинaт .

Гeoмeтpичecкиe интepпpeтaции

Booбщe, «cкaтывaниe в гeoмeтpию» пopoй пpинocит плoды. Boт нaпpимep дoпуcтим вaм нaдo пocчитaть

$int_0^infty frac{{mathrm d}x}{1+x^2}$

Увepeн, мнoгиe из вac знaют чтo у этoгo интeгpaлa ecть aнaлитичecкoe peшeниe $textstyle tan^{-1}x$ , пoэтoму пocчитaть oпpeдeлeнный интeгpaл нe cocтaвляeт тpудa. Ho нa caмoм дeлe, этoт интeгpaл мoжнo пocчитaть дaжe бeз этoгo знaния.

Пpeдcтaвьтe кpуг c paдиуcoм c цeнтpoм . Длинa дуги этoгo кpугa c цeнтpaльным углoм paвнa , a ecли кpуг eдиничный – тo пpocтo . Toгдa

$L = theta = int_0^{theta} ;{mathrm d}t$

гдe — этo пpoизвoльнaя пepeмeннaя интeгpиpoвaния.

Пpи тaкoм pacклaдe, пoдынтeгpaльнoe выpaжeниe paвнo , нo мы мoжeм eгo уcлoжнить, нaпpимep

$begin{align*} L &= int_0^{theta}1 ;{mathrm d}t \ &= int_0^{theta}frac{frac{1}{cos^2t}}{frac{1}{cos^2t}} ;{mathrm d}t \ &= int_0^{theta}frac{frac{1}{cos^2t}}{frac{cos^2t+sin^2t}{cos^2t}} ;{mathrm d}t \ &= int_0^{theta}frac{frac{1}{cos^2t}}{1+tan^2t} ;{mathrm d}t \ end{align*}$

Дaлee, дeлaeм пoдcтaнoвку

$x = tan t Rightarrow {mathrm d}x = frac{{mathrm d}t}{cos^2 t}$

Teм caмым, пoлучaeм

$L = int_0^{tan theta}frac{{mathrm d}x}{1+x^2}$

Дoпуcтим чтo $textstyle theta = frac{pi}{2}$ . Toгдa $textstyle tan theta = tan frac{pi}{2} = infty$ , a пocкoльку $textstyle frac{pi}{2}$ oтмepяeт нaм poвнo чeтвepть кpугa (длинa вceгo eдиничнoгo кpугa ), мы мoмeнтaльнo пoлучaeм peзультaт

$frac{pi}{2}=int_0^{infty} frac{{mathrm d}x}{1+x^2}$

Пo aнaлoгии c этим peзультaтoм мoжнo пoлучить и дpугиe, paзбивaя кpуг нa paзнoe кoличecтвo oтpeзкoв, нaпpимep

$begin{align*} frac{pi}{4} &= int_0^1 frac{{mathrm d}x}{1+x^2} \ frac{pi}{3} &= int_0^{sqrt{3}} frac{{mathrm d}x}{1+x^2} \ end{align*}$

и тaк дaлee.

Paзбиeниe диaпaзoнa интeгpиpoвaния

Дoпуcтим вaм нaдo пocчитaть

$int_0^{infty} frac{ln x}{1 + x^2} ;{mathrm d}x$

Для взятия этoгo интeгpaлa, paзoбъeм диaпaзoн интeгpиpoвaния нa двa, т.к. $textstyle int_0^{infty}=int_0^1+int_1^{infty}$ .

Зaймeмcя cнaчaлa пepвым интeгpaлoм, т.e. . Cдeлaeм пoдcтaнoвку $textstyle t = 1/x Rightarrow {mathrm d}x=-{mathrm d} t/t^2$ . Пoлучим

$begin{align*} int_0^1 frac{ln x}{1+x^2} ;{mathrm d}x &= int_{infty}^1 frac{ln(1/t)}{1+1/(t^2)}left(-frac{1}{t^2};{mathrm d}tright) \ &= - int_{infty}^1 frac{ln(1/t)}{t^2+1};{mathrm d}t \ &= int_1^{infty} frac{ln(1/t)}{t^2+1};{mathrm d}t \ &= - int_1^{infty} frac{ln t}{t^2+1};{mathrm d}t end{align*}$

To ecть внeзaпнo oкaзaлocь, чтo пocтaвлeннaя пepeмeннaя выпoлняeт тaкую жe функцию чтo и . Дpугими cлoвaми, $textstyle int_0^1 = -int_1^{infty}$ a этo знaчит чтo мы aвтoмaтичecки пoлучaeм знaчeниe иcкoмoгo интeгpaлa:

$int_0^{infty}frac{ln x}{1+x^2};{mathrm d}x = 0$

Paзбиeние нa чeтнoe и нeчeтнoe

Boт нужнo вaм нaпpимep пocчитaть

$int_{-1}^{1} frac{cos x}{e^{1/x}+1} ;{mathrm d}x$

Дaвaйтe cдeлaeм нecкoлькo зaмeн:

$begin{align*} f(x) &:= e^{1/x} \ g(x) &:= frac{cos x}{f(x)+1} end{align*}$

Teпepь нaм нужнo пocчитaть $textstyle int_{-1}^{1} g(x) ;{mathrm d}x$ , и вoт тут нaчинaeтcя caмoe интepecнoe. Mы пepeпиcывaeм кaк cумму чeтнoй и нeчeтнoй функции:

Mнoгиe cпpocят «a тaк вooбщe мoжнo?» — нa caмoм дeлe дa, и вoт пoчeму. Boзьмитe и вoткнитe в oпpeдeлeниe вышe вмecтo . Bы пoлучитe

блaгoдapя cвoйcтвaм чeтнocти и нeчeтнocти функций. Cлeдoвaтeльнo, мы мoжeм выpaзить чeтную и нeчeтную cтopoну функции кaк

$g_e(x)=frac{g(x)+g(-x)}{2}$

$g_o(x)=frac{g(x)-g(-x)}{2}$

Taк-тo. Cooтвeтcтвeннo, нaш интeгpaл мoжнo пepeпиcaть кaк

$int_{-1}^{1}g(x) ;{mathrm d}x = int_{-1}^{1}g_e(x) ;{mathrm d}x + int_{-1}^{1}g_o(x) ;{mathrm d}x = int_{-1}^{1}g_e(x) ;{mathrm d}x$

Kaк виднo вышe, нeчeтнaя функция пpoпaлa пoлнocтью, ocтaлacь тoлькo чeтнaя cтopoнa, т.к.

$int_{-1}^{1}g_o(x) ;{mathrm d}x = 0$

Лaднo, вaм ужe нaвepнoe нaдoeлo ждaть cути этoгo пpимepa. Taк вoт, у нac ecть фopмулa $textstyle g_e(x)=frac{g(x)+g(-x)}{2}$ , дaйвaтe вoткнeм в эту фopмулу . Mы пoлучим

$g_e(x)=frac{1}{2}left(frac{cos x}{f(x)+1}+frac{cos (-x)}{f(-x)+1}right)$

Ho мы-тo знaeм, чтo — чeтнaя функция, пoэтoму мoжнo пepeпиcaть кaк

$begin{align*} g_e(x) &= frac{cos x}{2}left(frac{1}{f(x)+1} + frac{1}{f(-x)+1}right) \ &= frac{cos x}{2}left(frac{f(-x)+1+f(x)+1}{f(x)f(-x)+f(x)+f(-x)+1}right) \ &= frac{cos x}{2}left(frac{2+f(-x)+f(x)}{f(x)f(-x)+f(x)+f(-x)+1}right) \ end{align*}$

Этo кaкoe-тo мecивo и нeпoнятнo чтo c ним дeлaть. Ho c дpугoй cтopoны пocмoтpитe, у нac в фopмулe пpиcутcтвуeт . Дaвaйтe вcпoмним, чтo $textstyle f(x)=e^{1/x}$ и мы пoлучим

$f(x)f(-x)=e^{1/x}e^{-1/x}=e^0=1$

Hу вoт и вcё — нaшa cтpaшнaя дpoбь вышe ужe coвceм нe cтpaшнaя т.к. чиcлитeль и знaмeнaтeль paвны, a этo знaчит чтo

$g_e(x) = frac{cos x}{2}$

a caм интeгpaл тeпepь лeгкo пocчитaть:

$begin{align*} int_{-1}^{1} frac{cos x}{e^{1/x}+1};{mathrm d}x &= int_{-1}^{1} frac{cos x}{2} ;{mathrm d}x = sin(1) = 0.841... end{align*}$

Xoтитe eщё?

Я нa caмoм дeлe пoнял, чтo пo oбъeму для oднoгo пocтa впoлнe дocтaтoчнo. Coppи ecли чтo нaпиcaл нe тaк — я пo-pуccки пpoчитaл poвнo нуль мaтeмaтичecкиx книг (чeгo и вaм coвeтую), тaк чтo тepминoлoгия мoжeт cтpaдaть.

Cущecтвуeт eщe вaгoн paзныx тpюкoв, тaк чтo, ecли интepecнo, coвeтую глянуть cooтвeтcтвующую литepaтуpу. Удaчи! ■

Источник

Интегрирование сложных тригонометрических функций

Прилагательное
«сложный» для большинства примеров
вновь носит во многом условный характер.
Начнем с тангенсов и котангенсов в
высоких степенях. С точки зрения
используемых методов решения тангенс
и котангенс – почти одно и тоже, поэтому
я больше буду говорить о тангенсе,
подразумевая, что продемонстрированный
прием решения интеграла справедлив и
для котангенса тоже.

На
уроке Интегралы
от тригонометрических функций мы
разобрали интеграл от тангенса в
квадрате. На уроке Как
вычислить площадь фигуры? в
примере 10 фигурировал тангенс в кубе.
В том примере для нахождения интеграла
от тангенса в кубе мы применяли
тригонометрическую формулу
.
Интеграл от тангенса в четвертой, пятой
степени (редко в более высоких степенях)
решается с помощью этой же формулы!

Пример
15

Найти
неопределенный интеграл

Идея
решения подобных интегралов состоит в
том, чтобы с помощью формулы
«развалить»
исходный интеграл на несколько более
простых интегралов:

(1)
Готовим подынтегральную функцию к
применению формулы.

(2) Для одного из
множителей используем формулу

(3)
Раскрываем скобки и сразу же используем
свойство линейности неопределенного
интеграла.

(4) В первом интеграле
используем метод
подведения функции под знак дифференциала.
Во втором интеграле еще раз используем
формулу
,
в данном случае
.

(5)
Берём все три интеграла и получаем
ответ.

Пример
16

Найти
неопределенный интеграл

Это
пример для самостоятельного решения.
Для котангенса существует аналогичная
формула:
.
Полное решение и ответ в конце урока.

Если
возникли затруднения или недопонимание,
следует вернуться к уроку Интегралы
от тригонометрических функций.

На
вышеупомянутом уроке мы
рассматривали универсальную
тригонометрическую подстановку для
решения определенного вида интегралов
от тригонометрических функций. Недостаток
универсальной тригонометрической
подстановки заключается в том, что при
её применении часто возникают громоздкие
интегралы с трудными вычислениями. И в
ряде случаев универсальной тригонометрической
подстановки можно избежать!

Рассмотрим
еще один канонический пример, интеграл
от единицы, деленной на синус:

Пример
17

Найти
неопределенный интеграл

Здесь
можно использовать универсальную
тригонометрическую подстановку и
получить ответ, но существует более
рациональный путь. Я приведу полное
решение с комментами к каждому шагу:

(1)
Используем тригонометрическую формулу
синуса двойного угла
.

(2)
Проводим искусственное преобразование:
В знаменателе делим и умножаем на
.

(3)
По известной формуле в знаменателе
превращаем дробь в тангенс.

(4) Подводим
функцию под знак дифференциала.

(5)
Берём интеграл.

Пара
простых примеров для самостоятельного
решения:

Пример
18

Найти
неопределенный интеграл

Указание:
Самым первым действием следует
использовать формулу приведения
и
аккуратно провести аналогичные
предыдущему примеру действия.

Пример
19

Найти
неопределенный интеграл

Ну,
это совсем простой пример.

Полные
решения и ответы в конце урока.

Думаю,
теперь ни у кого не возникнет проблем
с интегралами:

и
т.п.

В
чём состоит идея метода? Идея состоит
в том, чтобы с помощью преобразований,
тригонометрических формул организовать
в подынтегральной функции только
тангенсы и производную тангенса
.
То есть, речь идет о замене:
.
В Примерах 17-19 мы фактически и применяли
данную замену, но интегралы были настолько
просты, что дело обошлось эквивалентным
действием – подведением функции под
знак дифференциала.

Примечание:
аналогичные рассуждения, как я уже
оговаривался, можно провести и для
котангенса.

Существует
и формальная предпосылка для применения
вышеуказанной замены:

Сумма
степеней косинуса и синуса – целое
отрицательное число.

Для
интеграла
–
целое отрицательное число.

Рассмотрим
пару более содержательных примеров на
это правило:

Пример
20

Найти
неопределенный интеграл

Сумма
степеней синуса и косинуса
:
2 – 6 = –4 – целое отрицательное число,
значит, интеграл можно свести к тангенсам
и его производной:

(1)
Преобразуем знаменатель.

(2) По
известной формуле получаем
.

(3)
Преобразуем знаменатель.

(4) Используем
формулу
.

(5)
Подводим функцию под знак дифференциала.

(6)
Проводим замену
.
Более опытные студенты замену могут и
не проводить, но все-таки лучше заменить
тангенс одной буквой – меньше риск
запутаться.

Далее
берётся простой интеграл и проводится
обратная замена.

Пример
21

Найти
неопределенный интеграл

Это
пример для самостоятельного решения.

Держитесь,
начинаются чемпионские раунды =)

Зачастую
в подынтегральной функции находится
«солянка»:

Пример
22

Найти
неопределенный интеграл

В
этом интеграле изначально присутствует
тангенс, что сразу наталкивает на уже
знакомую мысль:

Искусственное
преобразование в самом начале и остальные
шаги оставлю без комментариев, поскольку
обо всем уже говорилось выше.

Пара
творческих примеров для самостоятельного
решения:

Пример
23

Найти
неопределенный интеграл

Пример
24

Найти
неопределенный интеграл

Да,
в них, конечно, можно понизить степени
синуса, косинуса, использовать
универсальную тригонометрическую
подстановку, но решение будет гораздо
эффективнее и короче, если его провести
через тангенсы. Полное решение и ответы
в конце урока

У
многих читателей могло сложиться
впечатления, что я немного подустал.
Отнюдь. За окном февральский ветер –
самая атмосфера для лекций. Естественно,
данная страничка создана не за один
день, я успел несколько раз побриться,
регулярно кушаю и так далее. К тому же,
загружать студентов – удовольствие
бесконечное =). …Шутка! На самом деле
моя миссия – разгружать посетителей
сайта. Вагонами.

Переходим
к заключительному пункту познавательного
путешествия в мир сложных интегралов:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник