Как найти интеграл от tgx

Интеграл тангенса и котангенса

Среди простых формул интегрирования отсутствуют готовые зависимости, позволяющих найти интеграл от тангенса (tg (x)) и котангенса (ctg (x)). Но такие примеры в задачах встречаются и нужно знать: «Как вычислить интеграл от тангенса и котангенса?«.
Начнем с тангенса, распишем его в виде частки синуса на косинус
tg(x)=sin(x)/cos(x)
и подставим в интеграл.
Сейчас Вам понятно. Далее нужно внести синус под дифференциал, чтобы свести интеграции в логарифма
В результате получимТаким образом вывели простую и нужную на практике формулу — интеграл от тангенса равен логарифму косинуса со знаком минус.
Int(tan(x),x)=-log(cos(x)).
По приведенной схеме выведем формулу для интеграла от котангенса. Записываем частку косинуса на синус в интеграл и после внесения косинуса под дифференциал сводим интеграл к логарифму
Интеграл от котангенса равный логарифму от синуса.
Int(cot(x),x)=log(sin(x)).
Простые на вид формулы интегралов от тангенса и котангенса позволяют решить немало сложных примеров, например интегрирования тангенса двойного угла или котангенса половины угла.

• Назад
• Вперёд

5.1.3.Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений

На данном уроке
мы рассмотрим интегралы от тригонометрических
функций, то есть начинкой интегралов у
нас будут  синусы, косинусы, тангенсы
и котангенсы в различных комбинациях.
Все примеры будут разобраны подробно,
доступно и понятно даже для чайника.

Для
успешного изучения интегралов от
тригонометрических функций Вы должны
хорошо ориентироваться в простейших
интегралах, а также владеть некоторыми
приемами интегрирования. Ознакомиться
с этими материалами можно на
лекциях Неопределенный
интеграл. Примеры решений и Метод
замены переменной в неопределенном
интеграле. 
А
сейчас нам потребуются: Таблица
интегралов, Таблица
производных и Справочник
тригонометрических формул.
Все методические пособия можно найти
на страницеМатематические
формулы и таблицы.
Рекомендую всё распечатать. Особо
заостряю внимание на тригонометрических
формулах, 

они
должны быть перед глазами –
без этого эффективность работы заметно
снизится.

Но
сначала о том, каких интегралов в данной
статье нет.
Здесь не найдется интегралов вида 
, 
 –
косинус, синус, умноженный на какой-нибудь
многочлен (реже что-нибудь с тангенсом
или котангенсом). Такие интегралы
интегрируются по частям, и для изучения
метода посетите урок Интегрирование
по частям. Примеры решений.Также
здесь не найдется интегралов с 
«арками» – арктангенсом, арксинусом и
др. , они тоже чаще всего интегрируются
по частям.

При нахождении
интегралов от тригонометрических
функций используется ряд методов:

Использование
тригонометрических формул

Понижение
степени подынтегральной функции

 (частный
случай п.1)

Метод
замены переменной

Универсальная
тригонометрическая подстановка (частный
случай п.3)

В рамках урока я
постараюсь подробно разобрать все
перечисленные методы и привести примеры
решения типовых интегралов. Следует
отметить, что данное разделение по
параграфам весьма условно, поскольку
очень часто вышеперечисленные правила
используются одновременно.

Пример 1

Найти
неопределенный интеграл.

Сначала
полное решение, потом комментарии.

Используем
формулу:

(1) Мы
видим, что в подынтегральном выражении
находится произведение двух функций.
К сожалению, в интегральном исчислении
нет удобной формулы для интегрирования
произведения: 
,
поэтому приходится прибегать к различным
ухищрениям. В данном случае мы прерываем
решение значком 
 и
поясняем, что используется тригонометрическая
формула. Данная формула превращает
произведение в сумму.

(2) Используем
свойства линейности неопределенного
интеграла – интеграл от суммы равен
сумме интегралов; константу можно (и
нужно) вынести за знак интеграла.

! Справка:
При работе с тригонометрическими
функциями следует помнить, что:

Косинус
– это четная функция, то есть ,
минус исчезает без всяких последствий.
В рассматриваемом примере: 

Синус
– функция нечетная:  –
здесь минус, наоборот – не пропадает,
а выносится.

(3) Под
интегралами у нас сложные функции
(косинусы не просто от 
,
а от сложного аргумента).

Это простейшие
из сложных функций, интегралы от них
удобнее найти методом подведения под
знак дифференциала. Более подробно с
данным приёмом можно ознакомиться на
уроке 

Метод
замены переменной в неопределенном
интеграле

.
(4)
Используем табличную формулу 
,
единственное отличие, вместо «икса» у
нас сложное выражение.

Готово.

 Пример
2

Найти
неопределенный интеграл.

Это пример для
самостоятельного решения, полное решение
и ответ – в конце урока.

Пример 3

Найти
неопределенный интеграл.

Классика жанра
для тех, кто тонет на зачёте. Как Вы,
наверное, заметили, в таблице интегралов
нет интеграла от тангенса и котангенса,
но, тем не менее, такие интегралы найти
можно.

(1)
Используем тригонометрическую формулу 

(2) Подводим функцию
под знак дифференциала.

(3)
Используем табличный интеграл 
.

Пример 4

Найти
неопределенный интеграл.

Это пример для
самостоятельного решения, полное решение
и ответ – в конце урока.

Пример 5

Найти
неопределенный интеграл.

Степени у нас будут
потихоньку повышаться =).
Сначала
решение:

(1)
Используем формулу 

(2)
Используем основное тригонометрическое
тождество 
,
из которого следует, что 
.

(3) Почленно делим
числитель на знаменатель.

(4) Используем
свойство линейности неопределенного
интеграла.

(5) Интегрируем с
помощью таблицы.

Пример 6

Найти
неопределенный интеграл.

Это пример для
самостоятельного решения, полное решение
и ответ – в конце урока.

Также
существуют интегралы от тангенсов и
котангенсов, которые находятся в более
высоких степенях. Интеграл от тангенса
в кубе рассмотрен на уроке Как
вычислить площадь плоской фигуры? Интегралы
от тангенса (котангенса) в четвертой и
пятой степенях можно раздобыть на
странице Сложные
интегралы.

Интегрирование тангенса x

Стандартный результат интегрирования тангенса x: ln|sec x| + C. Тригонометрическая функция tan x интегрируема, и этот стандартный результат интегрирования tan x запоминается как формула. Давайте узнаем, как решить интеграцию tan x в следующем разделе.

1.	Что такое интеграция Tan X?
2.	Как решить интеграцию Tan X?
3.	Определенная интеграция Tan X
4.	График интеграции Tan X
5.	Часто задаваемые вопросы по интеграции Tan X

Что такое интеграция Tan X?

Интегрирование tan x равно -ln|cos x| + C (или) ln|sec x| + C. Функция f(x) = tan x непрерывна во всех действительных числах, кроме x = (2n + 1)π/2. Область определения функции = область значений функции tan(x), за исключением нечетных кратных π/2. Следовательно, tan x интегрируем, за исключением этого интервала по x. Мы делаем интегрирование тангенса x интегрированием подстановкой.

Как решить интеграцию Tan X?

Чтобы найти интегрирование тангенса х по х, мы выражаем тангенс х через синус и косинус так, чтобы он стал интегрируемой функцией. В соответствии с определением тангенса x мы имеем тангенс x = sin x / cos x

∫ tan x =∫ (sin x /cos x) .dx

Это можно переписать как (int dfrac{1} { соз х} ). грех х. dx

Найдем неопределенный интеграл от tan x, используя метод подстановки интегрирования.

∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du = F(u) + C

Пусть u = cos x. Тогда du = — sin x . dx

⇒ dx = — du/ sin x

∫(sin x /cos x). dx = — ∫ du/ u

По стандартной формуле интегрирования мы знаем, что ∫ dx/x = ln x+ C

Таким образом, ∫ (sin x /cos x) . dx = — ∫ du/ u = — ln|u | + c

= -ln |(cos x)+C

= ln |(cos x) ^-1 +C

= ln (sec x) + C

∫ (sin x /cos x) . dx = ln (сек x) + C

∫ tan x = ln (сек x) + C 9{pi/2}_0)

= ln|sec π/2| — ln|сек 0|

=ln(∞)- ln(1)

= ∞

Таким образом, график интеграла от tan x расходится к бесконечности в интервале [0,π/2].

☛ Также проверьте

• Формулы интегрирования
• Производное tan x

Часто задаваемые вопросы по интеграции Tan X

Что такое интеграция Tan X?

Интегрирование тангенса x равно ln|sec x| + C (или) -ln|cos x| + С.

Является ли Tan x интегрируемым?

Да, Tan x интегрируем. Tan x — непрерывная функция в своей области определения. Интегрирование тангенса x равно -ln|cos x| + C.

Как сделать интеграцию Tan X?

Интегрирование тангенса х производится методом интегрирования подстановкой. Tan x = sin x / cos x. Принимая cos x за u, мы получаем du = -sin x dx. ∫ tan x = ∫ (sin x /cos x) .dx

=-∫ du/ u = -ln u + C

= -ln|cos x| + C.

Таким образом, ∫  tan x = = -ln|cos x| + С.

Что такое интеграция 2Tan X?

Интегрирование tan x равно -ln|cos x| + C. Таким образом, (int) 2 tan x = 2 (int) tan x

∫ 2 tan x = -2 ln|cos x| + C.

= — ln|cos ² x| + C.

Является ли дифференциация и интеграция Tan x одним и тем же?

Нет. дифференцирование и интегрирование тангенса х не одно и то же. Дифференциация тангенса х есть сек ² х, а интегрирование тангенса х есть ln|сек х| + C.

Какую технику мы используем, чтобы найти интеграцию Tan X?

интегрирование тангенса x производится методом интегрирования u-подстановкой. Запишем tan x в интегрируемой форме sin x / cos x, а затем возьмем u(x) как cos(x).

Методом подстановки мы знаем, что ∫ f(g(x)) g'(x) dx =∫  f(u) du = F(u) + C, где g(x) = f(u) . Мы применяем этот метод u-подстановки для интегрирования tan x и приходим к стандартному результату: ∫ tan x = log |sec x|

Интегральный тангенс(х)

Интегральный тангенс(х)

Дом | Учитель | Родители | Глоссарий | О нас

Отправить эту страницу другу по электронной почте