Как найти интеграл с корнем в знаменателе - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

§5. Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Алгоритм решения интегрирования иррациональных функций

Примеры решений интегрирования иррациональных функций

Интегрирование иррациональных функций

Формула

Примеры решений

Интегрирование иррациональных функций.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Понятие о неберущихся интегралах

Пример 8

∫		1	dx = ∫	(lnx +1)′ dx = 2	+C .
		lnx +1

	x	lnx +1	lnx +1

I. Интегралы вида ∫	dx	или ∫	dx	берутся с помощью вы-
ax2 +bx + c
ax2 +bx + c

деления полного квадрата для квадратного трехчлена и использование табличных интегралов № 8 – 11.

Пример 9

∫	dx	= ∫	dx	= ∫	dx	= ∫	d(x +1)	=
x2 + 2x +5	x2 + 2x +1+ 4	(x +1)2 + 4	(x +1)2 + 22

= 12arctg x 2+1+C .

В случае с квадратным корнем только на последнем шаге применяется другой табличный интеграл (10-11 вместо 8-9).

Пример 10

d(x +1)

∫

= ∫

= ln(x +1+ x

+ 2x +5)+C .

+ 2x +5

(x +1)

+ 4

Замечание. Так как у нас подкоренное выражение, очевидно, положительно, то выражение под знаком логарифма тоже положительно и проще избавиться в ответе от знака модуля.

II. Интегралы вида ∫	kx + e	∫	kx + e
	dx или			dx берутся с помо-
ax2 +bx + c
ax2 +bx + c

щью выделения в числителе производной от квадратного трехчлена в знамена-

теле (ax2 +bx +c)′ = 2ax +b: kx + e = A(2ax +b)+ B, где А и B находятся мето-

дом неопределенных коэффициентов (раскрываются скобки и после приведения подобных членов приравниваются коэффициенты при x и свободные чле-

ны, что дает систему двух линейных уравнений относительно А и В, определитель которой всегда отличен от нуля); подставив полученное выражение в числитель и почленно разделив, мы сводим первые слагаемые к формулам (1.6) или (1.7), а вторые будут интегралами I типа.

Пример 11

∫x24−x6−x9+5dx .

Применим, описанный выше метод:

(x2 −6x +5)′ = 2x −6, 4x −9= A(2x −6)+ B, 4x −9= 2Ax + (−6A + B),

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, выписываем систему для определения коэффициентов

2A = 4,	A = 2,

−6A + B = −9,	B = 6A −9=3,

значит,

4x −9= 2(2x −6)+3.

Отметим, что в простых случаях с целыми числами A, B можно сразу найти A и B подбором т.е. а) на что нужно умножить 2x, чтобы получить 4x, очевидно, A=2; б) подставив в первое равенство A=2, уже раскрыв скобки 4x 12 легко ответить, какое число надо добавить к 12, чтобы получить 9, это позволяет найти B=3. Тогда

4x −9

2(2x −6)+3

2x −6

∫

dx = ∫ x2 −6x +5 dx = 2∫

+3∫

x2 −6x +5

= 2∫

(x2 −6x +9)′

dx +3∫

d(x −3)

3 1

x −3− 2

x2 −6x +5

= 2ln

−6x +5

+ 2

2ln

+C =

(x −3)2 − 4

x −3+ 2

3ln

x −5

= 2ln

x2 −6x +5

+C .

x −1

Аналогичный пример с квадратным корнем отличается только применением последнего частного случая внесения под знак дифференциала и иного табличного интеграла.

Пример 12

∫

− 4x

dx = ∫

2(6− 2x)−3

dx = 2∫

(6x − x2 −5)′

dx −

− x

6x − x

−5

6x − x

−5

−3∫

d(x −3)

−3arcsin

x −3

+C .

6x − x2 −5

4−(x −3)

Проверьте, что из-за смены знака квадратного трехчлена и знака числителя по сравнению с предыдущим примером А не изменится, а B сменит знак.

Определение. Правильной рациональной дробью называется отношение двух многочленов

Qm (x)	= bm xm + +b1x +b0	,	(1.8)
Pn (x)	an xn + + a1x + a0

если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то есть при m < n . Если дробь неправильная, то разделив уголком, всегда можно выделить целую часть и добавить остаток, деленный на многочлен Pn (x)

в знаменателе.

Пример 13

∫	x5
	dx .
x2 +9
Так как степень числителя больше степени знаменателя, значит подынте-
гральная рациональная дробь неправильная: Q (x) = x5	,	P (x) = x2	+9,
5		2

m =5> 2= n. При делении уголком на каждом шаге степень многочлена понижается на n = 2, и, как только она станет меньше двух, процесс останавливаем.

−9x3

−9x3 −81x

81x

В нашем случае целая часть равна x3 −9x , а остаток 81x , поэтому

x2x+5 9 = x3 −9x + x812 +x9 .

Тогда

81x

dx =

x3 −9x +

dx =

x3dx −

∫x

∫

xdx

′

−9∫xdx + 81∫

−9

+81

∫

+9) dx

= 0,25x

− 4,5x

x2 +9

+40,5ln(x2 +9) +C .

Замечание. Первоначальный интеграл свелся к сумме трех интегралов, первые два из которых (от целой части) берутся как табличные, а последний сводится к выделению в числителе производной от знаменателя ((1.6)), но пока в сумме есть хотя бы один интеграл, произвольную постоянную С не пишут, т.к. она содержится в нем, и появляется в ответе только после взятия последнего интеграла.

Рассмотрим теперь общую схему интегрирования рациональных дробей.

1.Если дробь неправильная, то выделить целую часть (пример 13.).

2.Разложить знаменатель, если это возможно, на множители:

Pn (x) = an xn + an−1xn−1 + + a1x + a0 = an (x − x1) (x − x2)k


			2 +	p1x	+	q1)		(x2	+ p x + q )s	,	(1.9)
	(x					2	2
где x1 является простым корнем многочлена Pn (x), x2		̶корнем кратности k, а
дискриминантыD = p2	− 4q	, D = p2	− 4q	отрицательны, им у квадратных
1	1		1		2		2	2

трехчленов соответствуют пары комплексно-сопряженных корней. Отметим, что по основной теореме алгебры у каждого многочлена, в области комплексных чисел, существует хотя бы один корень, отсюда вытекает, что у многочлена нечетной степени с действительными коэффициентами точно будет хотя бы один действительный корень, но нахождение корней для многочленов старших

степеней и соответствующее разложение (1.9) на множители на практике часто затруднительно. Например, чтобы разложить на множители многочлен четвер-

той степени P4 = x4 + 4 , у которого нет действительных корней, нужно догадаться добавить и отнять 4x2 , то есть дополнить до полного квадрата.

P4 = x4 + 4x2 + 4 − 4x2 = (x2 + 2)2 −(2x)2 = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2),

проверьте, что оба дискриминанта отрицательны.

3.Пусть по формуле (1.9) знаменатель разложен на множители. Пра-

вильную рациональную дробь	R(x)	, где	R(x) ̶остаток, полученный при деле-
P	(x)

	n

нии многочленов (или, если изначально была правильная дробь, многочлен

R(x) = Qm (x)) можно разложить на сумму простейших дробей. Кроме того,

без ограничения общности, можно считать многочлен Pn (x) приведенным, ко-

гда первый коэффициент равен единице (так как мы можем первый коэффициент an ≠ 0 перенести в числитель). Тогда разложение будет иметь вид:

R(x)

+ +

Cx + D

P (x)

x − x

(x − x

x2 + p x + q

С1x + D1

+ +

Cs x + Ds

(1.10)

x2 + p x + q

(x2

+ p x + q )s

При разложении мы руководствовались следующими правилами:

•каждому корню соответствует столько слагаемых, какова его кратность;

•для действительных корней в числителях ставятся константы;

•для квадратных трехчленов с отрицательными дискриминантами в числителях ставятся линейные выражения, то есть многочлены первой степени.

Отметим, что все коэффициенты разложения: A1, ,Ds необходимо обо-

значать разными буквами, их можно просто нумеровать A1,A2, ,An , так как их количество совпадает со степенью многочлена знаменателя Pn (x) равной n .

4. Метод неопределенных коэффициентов, который заключается в следующем:

а) привести к общему знаменателю полученное разложение. Заметим, что дополнительные множители можно выписывать по разложению на множители (1.9) (только без an );

б) раскрыть скобки и привести подобные члены в правой части;

в) приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной xk , k = 0,1,…,n −1, при этом получится система n уравнений с n неизвестными

A1,A2, ,An ;

г) решить полученную в пункте в) систему n уравнений с n неизвестными и найти её единственное решение (доказано, что основной определитель этой системы отличен от нуля);

д) подставить найденные коэффициенты A1,A2, ,An в (1.10).

5. Добавив к найденному разложению на сумму простейших дробей целую часть (если она была для первоначальной неправильной дроби), почленно проинтегрировать.

Пример 14

∫	6x3 +10x2 + 6x +15dx .
x4 + 2x3 +5x2

Решение

1) рациональная дробь правильная, поэтому начинаем с пункта 2.

2) разложим многочлен в знаменателе на множители: x4 + 2x3 +5x2 = x2(x2 + 2x +5), так как D = 4− 20= −16< 0, то квадратный мно-

гочлен на линейные множители в области действительных чисел разложить нельзя.

3) разложимисходную правильную рациональную дробьна суммупростейших:

6x3 +10x2 + 6x +15	=	A	+	A	+	A x + A	.
x2(x2	+ 2x +5)	1	2	3	4
x	x2	x2 + 2x +5

4) приведем дроби, стоящие в правой части к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены, тогда

6x3 +10x2 + 6x +15= A x3	+ 2A x2	+5A x + A x2	+ 2A x +5A + A x3	+ A x2	,
1	1	1	2		2	2	3	4
6x3 +10x2 + 6x +15= (A + A )x3	+ (2A + A + A )x2	+ (5A + 2A )x +5A ,
1	3	1	2	4	1		2	2

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему

	A	+ A	= 6,	A = 6− A ,	A = 6,
	1	3		3	1	3
2A1 + A2	+ A4 =10,	A4	=10− 2A1 − A2,	A4	= 7,
		+ 2A2	= 6,	5A1 = 6− 2A2,	A1 = 0,
5A1
		5A2	=15.	A2	=3,	A2	=3.

В данном примере система, также, как и приведение её методом Гаусса к треугольному виду ( если расположить неопределенные коэффициенты в по-

∫

6x3 +10x2 +6x +15

6x +7

dx =

+ 2x +5)

2x +5

∫ x

dx 3(2x + 2)+1

−2

′

=3∫x2 + ∫ x2 + 2x +5 dx = 3∫x

dx + 3∫

dx + ∫

x2 + 2x +5

(x +1)2 + 4

= −

+3ln(x2 + 2x +5)+

1arctg

x +1

. (пример 9).

Решим пример 11 ∫

4x −9

dx по общей схеме.

x2 −6x +5

Решение. 1) дробь правильная;

2)x2 −6x +5= 0, по теореме Виета x =1,

= 5 и x2 −6x +5= (x −1)(x −5);

4x −9

;

(x −1)(x −5)

x −1

x −5

4) 4x −9= A1(x −5)+ A2(x −1).

Если все корни многочлена в знаменателе действительны и различны, то можно сразу найти неопределенные коэффициенты, полагая по очереди x равным найденным в пункте 2 корням. В нашем случае

Поэтому, минуя остальные подпункты 4), сразу получим

4x −9	5	11
4	4
	=		+	.
(x −1)(x −5)	x −1	x −5
	16

4x −9

dx =

dx = 5 d(x −1)

+11 d(x −5) =

∫x

−6x +9

∫

x −5

4∫ x −1

4 ∫ x −5

x −1

5ln

x −1

+ 11ln

x −5

+С .

Замечание 1. Сравним данный ответ с ответом на с. 10, полученного с помощью выделения в числителе производной от знаменателя, но упростив тот первоначальный ответ с помощью свойств логарифма, можно свести его к новому ответу. Такая ситуация при взятии интеграла разными методами типична: ответы получаются часто совершенно на первый взгляд разные, но отличаются друг от друга на константу (см. лемму о первообразных).

Замечание 2. Отметим, что чем больше степень многочлена в знаменателе, тем выгоднее применение предложенного метода нахождения неопределенных коэффициентов (в случае разложения этого многочлена только на различные линейные множители). В качестве упражнения, возьмите с помощью этого ме-

тода ∫ 2x3 −3x2 +7x +5 dx (полагая по очереди x = 0, x =1, x = −1, x = 2). x(x −1)(x +1)(x − 2)

Приведем еще один метод интегрирования выражений, содержащих ко-

рень из квадратного трехчлена, а именно,

метод неопределенных коэффициен-

тов

для

нахождения

интегралов

вида

∫

Pn (x)

или

+bx + c

∫Pn (x)

ax2 +bx + cdx , где Pn (x)

многочлен степени n.

Отметим, что второй

интеграл сводится к первому умножением и делением на ax2 +bx +c , а потому остановимся на первом интеграле. Докажем, что имеет место его представление в виде

Pn (x)

dx = Qn−1

(x)

+bx + c + L

∫

ax2

+bx + c

ax2

+bx + c

где Qn−1(x) ̶некоторый многочлен, степени на единицу меньшей степени многочлена Pn (x), L ̶некоторая константа.

Продифференцировав обе части записанного равенства, получим

Pn (x)

ax +

= Qn′−1(x)

ax2 +bx + c

+Qn−1(x)

ax2 +bx + c

ax2 +bx

ax2 +bx + c

+ c

откуда при умножении правой и левой частей на ax2 +bx +c придем к равенству двух многочленов степени n

Pn (x)=Qn′−1(x)(ax2 +bx + c)+ Qn−1(x) ax + b2 + L,

которое должно выполняться тождественно. Это условие даёт возможность определения коэффициентов многочлена Qn−1(x) и константы L обычным ме-

тодом неопределенных коэффициентов. Отметим также, что система уравнений для определения этих коэффициентов будет иметь треугольный вид.

Пример 15

∫x2

dx = ∫

+ 2x + 2)

dx = ∫

+ 2x

dx.

x2 + 2x + 2

+ 2x + 2

В соответствии с рассмотренным методом запишем равенство

∫

+ 2x3 + 2x

+L∫

dx = (Ax3 + Bx2

+Cx + D) x2 + 2x + 2

x + 2x + 2

+ 2x + 2

Продифференцируем это равенство:

x4 + 2x3 + 2x2

= (3Ax2

+ 2Bx +C) x2

+ 2x + 2 + (Ax3 + Bx2 + Cx + D)

x2 + 2x + 2

x +1

x2 + 2x + 2

и, умножив обе его части на x2 + 2x + 2, придем к тождественному равенству двух многочленов четвертой степени:

x4 + 2x3 + 2x2 = (3Ax2 + 2Bx +C )(x2 + 2x + 2) +(Ax3 + Bx2 +Cx + D)(x +1)+ L.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Содержание:

Определение 1. Функция вида

Пример 1.
— рациональная функция переменных u и v, при этом:

п.1. Интегралы вида:

Пусть s – общий знаменатель дробей Тогда подстановка
делает подинтегральную функцию рациональной.

Пример 2.

Пример 3

п.2. Интегралы вида— интегралы от дифференциального бинома.
Интегралы вида (1) выражаются через элементарные функции в следующих случаях:
а) p∈Z — интегралы рассмотрены в п.1.
б) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
в) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
Во всех других случаях интегралы (1) выразить через элементарные функции нельзя (теорема Чебышева).

Пример 4.

Пример 5.

п.3. Интегралы вида Вычисление интегралов проводится аналогично интегралам выделением полного квадрата в трехчлене
(см. § 21, примеры 1, 2).

Пример 6.

п 4. Интегралы вида , где — многочлен степени n.
Для вычисления интегралов используют равенство:
многочлен степени n−1 . Коэффициенты многочлена а также число λ находятся, если продифференцировать правую и левую часть равенства (2).

Заказать решение задач по высшей математике

Пример 7.
После взятия производной:

Приравниваем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях.

Решив систему (3), получим :

(сравни с примером 5).

п.5. Интегралы вида
В данных интегралах можно избавиться от иррациональности, если применить подходящую тригонометрическую или гиперболическую подстановку.
— для первого интеграла,
— для второго,
— для третьего (см. § 23).

Пример 8.

Пример 9.

1. Интегралы вида .

Интегралы такого типа вычисляются по следующей схеме:

В результате приведенных действий данный интеграл переходит в неопределенный интеграл от рациональной функции.

Пример:

Вычислить

Решение:

В данном примере следовательно, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 6. Таким образом.

2. Интегралы вида .

Такие интегралы путем замены приводятся к одному из интегралов вида:

1. 2. 3.

Для вычисления этих интегралов применяют следующие тригонометрические замены

1. 2. 3. — которые позволяют избавиться от квадратного корня.

Пример:

Вычислить

Решение:

Данный интеграл соответствует интегралам типа 1., поэтому

Пример:

Вычислить

Решение:

Воспользуемся указанной выше заменой

(интеграл вычислен в п. 2а)

Пример:

Вычислить

Решение:

Пример:

Вычислить

Решение:

Воспользуемся указанной выше заменой

Определение: Интегралы, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, называются неберущимися:

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
Линии второго порядка
Полярные координаты
Непрерывность функции
Формула Тейлора и ее применение
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование тригонометрических выражений

Источник

Простое объяснение принципов решения интегрирования иррациональных функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Интегралы, подынтегральная функция которых представляет собой иррациональное выражение, не могут быть вычислены непосредственно. С помощью тождественных преобразований подынгегральной функции такие интегралы можно свести к табличным интегралам, либо к их алгебраической сумме.

При решении задач на вычисление интегралов от иррациональных функций, применяются методы подстановки и дробно-линейной подстановки.

Отдельным методом интегрирования иррациональных функций является использование формулы:

$[intfrac{P_{n}(x)}{sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x)cdotsqrt{ax^{2} + bx + c} + lambdaintfrac{dx}{sqrt{ax^{2} + bx + c}}]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{sqrt[3]{x}}{sqrt[3]{x^{2}} - sqrt{x}}dx]$

Решение

Представим интеграл в виде:

$[int frac{sqrt[3]{x}}{sqrt[3]{x^{2}} - sqrt{x}}dx = int frac{x^{frac{1}{3}}}{x^{frac{2}{3}} - x^{frac{1}{2}}}dx]$

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $frac{1}{3}, frac{2}{3}$ и $frac{1}{2}$ является 6.

Сделаем подстановку $x = y^{6}, dx = 6y^{5}dy$

$x^{frac{1}{3}} = (y^{6})^{frac{1}{3}} = y^{2}, x^{frac{2}{3}} = (y^{6})^{frac{2}{3}} = y^{4}, x^{frac{1}{2}} = (y^{6})^{frac{1}{2}} = y^{3}$

$[int frac{y^{2}}{y^{4} - y^{3}}6y^{5}dy = 6int frac{y^{7}}{y^{3}(y - 1)}dy = 6int frac{y^{4}}{y - 1}dy]$

Выделим целую часть в $frac{y^{4}}{y - 1}$ :

$frac{y^{4}}{y - 1} = y^{3} + y^{2} + y + 1 + frac{1}{y - 1}$

$[= 6left[frac{y^{4}}{4} + frac{y^{3}}{3} + frac{y^{2}}{2} + y + ln|y - 1|right] + C]$

Сделаем обратную подстановку

$6left[frac{y^{4}}{4} + frac{y^{3}}{3} + frac{y^{2}}{2} + y + ln|y - 1|right] + C = 6left[frac{sqrt[3]{x^{2}}}{4} + frac{sqrt{x}}{3} + frac{sqrt[3]{x}}{2} + sqrt[6]{x} + ln|sqrt[6]{x} - 1|right] + C$

Ответ

$[int frac{sqrt[3]{x}}{sqrt[3]{x^{2}} - sqrt{x}}dx = 6left[frac{sqrt[3]{x^{2}}}{4} + frac{sqrt{x}}{3} + frac{sqrt[3]{x}}{2} + sqrt[6]{x} + ln|sqrt[6]{x} - 1|right] + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{sqrt{x}}{sqrt[3]{x^{2}} - sqrt{x}}dx]$

Решение

Представим интеграл в виде:

$[int frac{sqrt{x}}{sqrt[3]{x^{2}} - sqrt{x}}dx = int frac{x^{frac{1}{2}}}{x^{frac{2}{3}} - x^{frac{1}{2}}}dx]$

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $frac{1}{2}$ и $frac{2}{3}$ является 6.

Сделаем подстановку $x = y^{6}, dx = 6y^{5}dy$

$x^{frac{1}{2}} = (y^{6})^{frac{1}{2}} = y^{3}, x^{frac{2}{3}} = (y^{6})^{frac{2}{3}} = y^{4}$

$[int frac{y^{3}}{y^{4} - y^{3}}6y^{5}dy = 6int frac{y^{8}}{y^{3}(y - 1)}dy = 6int frac{y^{5}}{y - 1}dy]$

Выделим целую часть в $frac{y^{5}}{y - 1}$ :

$frac{y^{5}}{y - 1} = y^{4} + y^{3} + y^{2} + y + 1 + frac{1}{y - 1}$

$[6intfrac{y^{5}}{y - 1}dy = 6intleft[y^{4} + y^{3} + y^{2} + y + 1 + frac{1}{y - 1}right]dy =]$

$[= 6left[frac{y^{5}}{5} + frac{y^{4}}{4} + frac{y^{3}}{3} + frac{y^{2}}{2} + y + ln|y - 1|right] + C]$

Сделаем обратную подстановку

$6left[frac{y^{5}}{5} + frac{y^{4}}{4} + frac{y^{3}}{3} + frac{y^{2}}{2} + y + ln|y - 1|right] + C = 6left[frac{sqrt[6]{x^{5}}}{5} + frac{sqrt[3]{x^{2}}}{4} + frac{sqrt{x}}{3} + frac{sqrt[3]{x}}{2} + sqrt[3]{x} + ln|sqrt[6]{x} - 1|right] + C$

Ответ

$[int frac{sqrt{x}}{sqrt[3]{x^{2}} - sqrt{x}}dx = 6left[frac{sqrt[6]{x^{5}}}{5} + frac{sqrt[3]{x^{2}}}{4} + frac{sqrt{x}}{3} + frac{sqrt[3]{x}}{2} + sqrt[3]{x} + ln|sqrt[6]{x} - 1|right] + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{sqrt[3]{x}}{x(sqrt{x} + sqrt[3]{x})}dx]$

Решение

Представим интеграл в виде:

$[int frac{sqrt[3]{x}}{x(sqrt{x} + sqrt[3]{x})}dxdx = int frac{x^{frac{1}{3}}}{x(x^{frac{1}{2}} + x^{frac{1}{3}})}dx = int frac{x^{frac{1}{3}}}{x^{frac{3}{2}} + x^{frac{4}{3}}}dx]$

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $frac{1}{2}$ и $frac{2}{3}$ является 6.

Сделаем подстановку $x = y^{6}, dx = 6y^{5}dy$

$x^{frac{1}{3}} = (y^{6})^{frac{1}{3}} = y^{2}, x^{frac{3}{2}} = (y^{6})^{frac{3}{2}} = y^{9}, x^{frac{4}{3}} = (y^{6})^{frac{4}{3}} = y^{8}$

$[int frac{y^{2}}{y^{9} + y^{8}}6y^{5}dy = 6int frac{y^{7}}{y^{9} + y^{8}}dy = 6int frac{1}{y^{2} + y}dy]$

Преобразуем подынтегральную функцию:

$[6int frac{1}{y^{2} + y}dy = 6int frac{y + 1 - y}{y(y + 1)}dy]$

$[6int frac{1}{y^{2} + y}dy = 6left[intfrac{dy}{y} - intfrac{dy}{y+1}right]]$

$[6left[intfrac{dy}{y} - intfrac{dy}{y+1}right] = 6left[ln|y| - ln|y + 1|right] + C]$

Сделаем обратную подстановку

$[= 6lnfrac{sqrt[6]{x}}{sqrt[6]{x} + 1} + C]$

Ответ

$[int frac{sqrt[3]{x}}{x(sqrt{x} + sqrt[3]{x})}dx = 6lnfrac{sqrt[6]{x}}{sqrt[6]{x} + 1} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{sqrt[6]{x}}{x(sqrt[3]{x} + sqrt[4]{x})}dx]$

Решение

Представим интеграл в виде:

$[int frac{sqrt[6]{x}}{x(sqrt[3]{x} + sqrt[4]{x})}dx = int frac{x^{frac{1}{6}}}{x^{frac{4}{3}} + x^{frac{5}{4}}}dx]$

Наименьшим общим кратным знаменателей дробей $frac{1}{6}, frac{4}{3}$ и $frac{5}{4}$ является 6.

Сделаем подстановку $x = y^{12}, dx = 12y^{11}dy$

$x^{frac{1}{6}} = (y^{12})^{frac{1}{6}} = y^{2}, x^{frac{4}{3}} = (y^{12})^{frac{4}{3}} = y^{16}, x^{frac{5}{4}} = (y^{12})^{frac{5}{4}} = y^{15}$

$[int frac{y^{2}}{y^{16} + y^{15}}12y^{11}dy = 12intfrac{y^{13}}{y^{15}(y + 1)}dy = 12intfrac{1}{y^{2}(y + 1)}dy]$

Преобразуем подынтегральную функцию:

$[12intfrac{1}{y^{2}(y + 1)}dy = -12intfrac{y^{2} - 1 - y^{2}}{y^{2}(y + 1)}dy =]$

$[-12left[intfrac{y - 1}{y^{2}}dy - intfrac{1}{y + 1}dyright] =]$

$[= -12left[intfrac{1}{y}dy - intfrac{1}{y^{2}}dy - intfrac{1}{y + 1}dyright] =]$

$[= -12left[ln{y} + frac{1}{y} + ln{(y + 1)}right] + C]$

Сделаем обратную подстановку

$-12left[ln{y} + frac{1}{y} + ln{(y + 1)}right] + C =-12left[ln{sqrt[12]{x}} + frac{1}{sqrt[12]{x}} + ln{(sqrt[12]{x} + 1)}right] + C = -12left[ln({sqrt[12]{x}cdot(sqrt[12]{x} + 1)}) + frac{1}{sqrt[12]{x}}right] + C = -12left[ln({sqrt[6]{x} + sqrt[12]{x})}) + frac{1}{sqrt[12]{x}}right] + C$

Ответ

$[int frac{sqrt[6]{x}}{x(sqrt[3]{x} + sqrt[4]{x})}dx = -12left[ln({sqrt[6]{x} + sqrt[12]{x})}) + frac{1}{sqrt[12]{x}}right] + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{dx}{sqrt{4x^{2} + 2x + 1}}dx]$

Решение

Преобразуем $4x^{2} + 2x + 1$ :

$4x^{2} + 2x + 1 = 4(x^{2} + frac{1}{2}x + frac{1}{4}) = 4((x + frac{1}{4})^2 + frac{3}{16})$

$[intfrac{dx}{sqrt{4((x + frac{1}{4})^2 + frac{3}{16})}} = frac{1}{2}intfrac{dx}{sqrt{(x + frac{1}{4})^2 + frac{3}{16}}}]$

Подставим вместо $x + frac{1}{4}, t$ :

$x + frac{1}{4} = t, x = t - frac{1}{4}, dx = dt$

$[frac{1}{2}intfrac{dx}{sqrt{(x + frac{1}{4})^2 + frac{3}{16}}} = frac{1}{2}intfrac{dt}{sqrt{t^{2} + frac{3}{16}}}]$

$[frac{1}{2}intfrac{dt}{sqrt{t^{2} + frac{3}{16}}} = frac{1}{2}lnleft|t + sqrt{t^{2} + frac{3}{16}}|right| + C]$

Делаем обратную замену $t = x + frac{1}{4}$ :

$[frac{1}{2}lnleft|t + sqrt{t^{2} + frac{3}{16}}|right| + C = frac{1}{2}lnleft|x + frac{1}{4} + sqrt{(x + frac{1}{4})^{2} + frac{3}{16}}right| + C]$

Ответ

$[int frac{dx}{sqrt{4x^{2} + 2x + 1}}dx = frac{1}{2}lnleft|x + frac{1}{4} + sqrt{(x + frac{1}{4})^{2} + frac{3}{16}}right| + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{x + 4}{sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx]$

Решение

Преобразуем $6 - 2x - x^{2}$ :

$6 - 2x - x^{2} = -(x^{2} + 2x - 6) = -((x + 1)^2 - 7) = 7 - (x + 1)^2$

Подставим вместо :

$[int frac{x + 4}{sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx = intfrac{t - 1 + 4}{sqrt{7 - t^{2}}}dt]$

$[intfrac{t - 1 + 4}{sqrt{7 - t^{2}}}dt = intfrac{tdt}{sqrt{7 - t^{2}}} + 3intfrac{dt}{sqrt{7 - t^{2}}} =]$

$[= -frac{1}{2}int(7 - t^{2})^{-frac{1}{2}}d(7 - t^{2}) + 3intfrac{dt}{sqrt{{(sqrt{7})^{2}} - t^2}} =]$

$[= -sqrt{7 - t^{2}} + 3arcsin{frac{t}{sqrt{7}}} + C]$

Делаем обратную замену :

$-sqrt{7 - t^{2}} + 3arcsin{frac{t}{sqrt{7}}} + C = 3arcsin{frac{x + 1}{sqrt{7}}} - sqrt{6 - 2x - x^{2}} + C$

Ответ

$[int frac{x + 4}{sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx = 3arcsin{frac{x + 1}{sqrt{7}}} - sqrt{6 - 2x - x^{2}} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{x^{2}}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}}dx]$

Решение

Применим формулу

$[intfrac{P_{n}(x)}{sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x)cdotsqrt{ax^{2} + bx + c} + lambdaintfrac{dx}{sqrt{ax^{2} + bx + c}}]$

$[int frac{x + 4}{sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx = 3arcsin{frac{x + 1}{sqrt{7}}} - sqrt{6 - 2x - x^{2}} + C]$

$[int frac{x^{2}}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}}dx = (Ax + B)sqrt{1 - 2x - x^{2}} + lambdacdotint frac{dx}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}}]$

Дифференцируя равенство по , получаем:

$[int frac{x^{2}}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}} equiv Acdotsqrt{1 - 2x - x^{2}} + (Ax + B)cdotfrac{-2 - 2x}{2sqrt{1 - 2x - x^{2}}} + frac{lambda}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}}]$

$x^{2} equiv A(1 - 2x - x^{2}) + (Ax + B)(-1 - x) + lambda$

$x^{2} equiv A - 2Ax - Ax^{2}) - Ax - B - Ax^{2} - Bx + lambda$

Сопоставим коэффициенты слагаемых с в одинаковой степени:

– коэффициент при $x^{2}$

– коэффициент при

– коэффициент при $x^{0}$

Находим значения и :

$A = -frac{1}{2}, B = frac{3}{2}, lambda = 2$

Подставляем найденные значения в

$[int frac{x^{2}}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}} equiv Acdotsqrt{1 - 2x - x^{2}} + (Ax + B)cdotfrac{-2 - 2x}{2sqrt{1 - 2x - x^{2}}} + frac{lambda}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}}]$

Получаем

$[(-frac{1}{2}x + frac{3}{2})sqrt{1 - 2x - x^{2}} + 2intfrac{dx}{sqrt{2 - (x + 1)^{2}}} =]$

$[= (-frac{1}{2}x + frac{3}{2})sqrt{1 - 2x - x^{2}} + 2arcsin{frac{x + 1}{sqrt{2}}} + C]$

Ответ

$[int frac{x^{2}}{sqrt{1 - 2x - x^{2}}}dx = (-frac{1}{2}x + frac{3}{2})sqrt{1 - 2x - x^{2}} + 2arcsin{frac{x + 1}{sqrt{2}}} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{x^{2}}{sqrt{a^{2} - x^{2}}}dx]$

Решение

Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку

Найдём dx:

С учётом подстановки подынтегральная функция примет следующий вид:

$frac{x^{2}}{sqrt{a^{2} - x^{2}}} = frac{a^{2}sin^{2}t}{sqrt{a^{2} - a^{2}sin^{2}{t}}} = frac{a^{2}sin^{2}t}{sqrt{a^{2}(1 - sin^{2}{t})}} = frac{a^{2}sin^{2}t}{sqrt{a^{2}cos^{2}{t}}} = frac{a^{2}sin^{2}t}{acos{t}}$

В результате искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$[int frac{a^{2}sin^{2}t}{acos{t}}acos{t}dt = a^{2}int sin^{2}{t}dt]$

Данный интеграл относится к табличным и равен:

$[int sin^{2}{t}dt = frac{1}{2}(t - sin{t}cos{t}) + C]$

Поэтому:

$[a^{2}int sin^{2}{t}dt = a^{2}frac{1}{2}(t - sin{t}cos{t}) + C]$

Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :

$t = arcsin{frac{x}{a}}, sin{t} = frac{x}{a}, cos{t} = sqrt{1 - sin^{2}{t}} = sqrt{1 - frac{x^{2}}{a^{2}}} = frac{sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}$

В итоге получим:

$[a^{2}frac{1}{2}(t - sin{t}cos{t}) + C = frac{a^{2}}{2}(arcsinfrac{x}{a} - frac{x}{a}frac{sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}) + C]$

$[a^{2}frac{1}{2}(t - sin{t}cos{t}) + C = frac{a^{2}}{2}arcsinfrac{x}{a} - frac{x}{2}sqrt{a^{2} - x^{2}} + C]$

Ответ

$[int frac{x^{2}}{sqrt{2ax - x^{2}}}dx = frac{a^{2}}{2}arcsinfrac{x}{a} - frac{x}{2}sqrt{a^{2} - x^{2}} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}}dx]$

Решение

Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку $x = 2sin{t}, t = arcsinfrac{x}{2}$

Найдём dx:

С учётом подстановки подынтегральная функция примет следующий вид:

$[frac{sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}} = frac{sqrt{4 - 4sin^{2}{t}}}{4sin^{2}{t}}cdot2cos{t}dt =]$

$[= intfrac{4cos^{2}{t}}{4sin^{2}{t}}dt = intfrac{1 - sin^{2}{t}}{sin^{2}{t}}dt = intfrac{dt}{sin^{2}{t}} - int dt =]$

Делаем обратную подстановку $t = arcsinfrac{x}{2}$ и учитываем, что $ctgt = frac{sqrt{1 - sin^{2}{t}}}{sin{t}} = frac{sqrt{1 - (frac{x}{2})^{2}}}{frac{x}{2}} = frac{sqrt{4 - x^{2}}}{x}$ :

$- ctgt - t + C = -frac{sqrt{4 - x^{2}}}{x} - arcsinfrac{x}{2} + C$

Ответ

$[int frac{sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}}dx = -frac{sqrt{4 - x^{2}}}{x} - arcsinfrac{x}{2} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^{3}}dx]$

Решение

$x^{2} + 2x - 4 = (x + 1)^{2} - 5$

Сделаем подстановку :

$[int frac{sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^{3}}dx = intfrac{sqrt{t^{2} - 5}}{t^{3}}dt]$

Сделаем подстановку $t = frac{sqrt{5}}{sin{z}}, dt = frac{-sqrt{5}cdotcos{z}}{sin^{2}{z}}dz, z = arcsin{frac{sqrt{5}}{t}}$ :

$[intfrac{sqrt{t^{2} - 5}}{t^{3}}dt = intfrac{sqrt{frac{5}{sin^{2}{z}} - 5}}{frac{5sqrt{5}}{sin^{3}{z}}}cdotfrac{-sqrt{5}cos{z}}{sin^{2}{z}}dz = -frac{1}{sqrt{5}}intcos^{2}{z}dz =]$

$[= -frac{1}{sqrt{5}}cdotfrac{1}{2}int(1 + cos{2z})dz = -frac{5}{sqrt{10}}(z + frac{1}{2}sin{2z}) + C]$

Переходим к переменной через подстановку $z = arcsin{frac{sqrt{5}}{t}}$ :

$-frac{5}{sqrt{10}}(z + frac{1}{2}sin{2z}) + C = -frac{5}{sqrt{10}}(arcsin{frac{sqrt{5}}{t}} + frac{1}{2}sin{2arcsin{frac{sqrt{5}}{t}}}) + C$

Переходим к переменной через подстановку :

$-frac{5}{sqrt{10}}(arcsin{frac{sqrt{5}}{t}} + frac{1}{2}sin{2arcsin{frac{sqrt{5}}{t}}}) + C = -frac{5}{sqrt{10}}(arcsin{frac{sqrt{5}}{x + 1}} + frac{1}{2}sin{2arcsin{frac{sqrt{5}}{x + 1}}}) + C = -frac{5}{sqrt{10}}(arcsin{frac{sqrt{5}}{x + 1}} + frac{sqrt{5}cdotsqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^2} + C$

Ответ

$[int frac{sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^{3}}dx = -frac{5}{sqrt{10}}(arcsin{frac{sqrt{5}}{x + 1}} + frac{sqrt{5}cdotsqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^2} + C]$

Источник

Формула на интегрирование иррациональных функций зависит от типа предлагаемого к решению интеграла, в частности от подкоренного выражения:

Линейная функция: $$ sqrt[n]{ax+b}, (a neq 0) $$ Для решения такого интеграла удобно применить подстановку $ t = sqrt[n]{ax+b} $
Квадратный многочлен: $$ sqrt{ax^2+bx+c} $$ В этом случае необходимо дополнить многочлен до полного квадрата, а затем по одной из формул таблицы интегрирования решить полученный интеграл вида $ int frac{dx}{sqrt{alpha^2 pm x^2}} $
Разность квадратов: $$ sqrt{a^2-x^2} $$ Используем подстановку $ x = asin t $, затем по формуле $ 1-sin^2 t = cos^2 t $ продолжаем нахождение интеграла

рядке A3,A4,A1,A2 ), двигаясь снизу вверх найдем A2 , затем A1,A4 и A3 . Под-

ставив найденные коэффициенты в разложение из п. 3), получим

6x3 +10x2 + 6x +15

x2(x2 + 2x +5)

x2 + 2x +5

Пример 1

Найти интеграл иррациональной функции: $$ int frac{xdx}{sqrt[3]{x+1}} $$

Решение

Выполняем замену: $$ t = sqrt[3]{x+1} $$

Выражаем из замены $ x $: $$ x = t^3-1 $$

Находим $ dx $: $$ dx = 3t^2 dt $$

Подставляем в интеграл полученные данные:

$$ int frac{xdx}{sqrt[3]{x+1}} = int frac{(t^3-1)3t^2}{t} dt = $$

Выполняем разложение подынтегрального выражения на две дроби:

$$ = int 3t^4 dt — int 3t dt = frac{3t^5}{5} — frac{3t^2}{2} + C = $$

Возвращаем замену назад:

$$ = frac{3}{5}(sqrt[3]{x+1})^5 — frac{3}{2}(sqrt[3]{x+1})^2 + C = frac{3}{5}sqrt[3]{(x+1)^5}-frac{3}{2}sqrt[3]{(x+1)^2} + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ int frac{xdx}{sqrt[3]{x+1}} = frac{3}{5}sqrt[3]{(x+1)^5}-frac{3}{2}sqrt[3]{(x+1)^2} + C $$

Пример 2

Выполнить интегрирование иррациональных функций: $$ int frac{dx}{sqrt{x^2-6x+13}} $$

Решение

Замечаем, что под корнем находится квадратный многочлен. Это значит, что можно выделить под корнем полный квадрат, а затем решить интеграл по таблице интегрирования основных функций.

Выделяем полный квадртат:

$$ x^2-6x+13 = x^2 — 2cdot 3 + 3^2 + 4 = (x — 3)^2 + 4 $$

Подставляем полученное выражение под корень в интеграле:

$$ int frac{dx}{sqrt{x^2-6x+13}} = int frac{dx}{sqrt{(x-3)^2+4}} = $$

$$ = int frac{dx}{sqrt{x^2-6x+13}} = ln | x-3 + sqrt{x^2-6x+13}| + C $$

Ответ

$$ int frac{dx}{sqrt{x^2-6x+13}} = ln | x-3 + sqrt{x^2-6x+13}| + C $$

Пример 3

Решить интеграл с иррациональностью: $$ int sqrt{1-x^2} dx $$

Решение

Интеграл попадает под третий случай, в котором необходимо выполнить подстановку:

$$ x = sin t; dx = cos t; t = arcsin x $$

Записываем решение:

$$ int sqrt{1-x^2} dx = int sqrt{(1-(sin t)^2}) cos t dt = $$

Воспользовавшись тригонометрической формулой $ 1 — sin^2 t = cos^2 t $ получаем:

$$ = int sqrt{cos^2 t} cos t = int cos^2 t dt = $$

С учётом формулы понижения степени косинуса $ cos^2 t = frac{1+cos 2t}{2} $ имеем:

$$ = int frac{1+cos 2t}{2} dt = frac{1}{2} int (1+cos 2t) dt = $$

Воспользуемся свойством разложения интеграла:

$$ frac{1}{2} int dt + frac{1}{2} int cos 2t dt = frac{1}{2} t + frac{1}{4} sin 2t + C = $$

Выполняем обратную подстановку:

$$ = frac{1}{2} arcsin x + frac{1}{4} sin (2arcsin x) + C $$

Ответ

$$ int sqrt{1-x^2} dx = frac{1}{2} arcsin x + frac{1}{4} sin (2arcsin x) + C $$

Источник