Как найти интеграл xdy

В настоящей статье научимся вычислять криволинейный интеграл от полного дифференциала.
Схема решения:

  • сначала нужно убедиться, что подынтегральная функция является полным дифференциалом
  • дальше найти интеграл между заданными точками.

Формула Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала
Формула Ньютона-Лейбница
Криволинейный интеграл имеет одно полезное для вычислений свойство, он не зависит от формы кривой, по которой интегрируем.
Поэтому вместо интегрировать по прямой между двумя точками строят ломаную параллельно осям координат и интегрируют по ней.
За счет этого один из дифференциалов в интеграле превращается в нуль, таким образом упрощаются вычисления.
Детальнее алгоритм проверки подынтегрального выражения на полный дифференциал и вычисление криволинейных интегралов приведены в следующих 6 примерах.

Пример 1 Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл int[(x+y)dx+(x-y)dy]

Решение: Подынтегральные функции являются первобытными для полного дифференциала
(x+y)dx+(x-y)dy.
Выпишем P=P(x, y)=x+y, Q=Q(x, y)=x-y.
но найдем частичные производные первого порядка функций P(x, y) и Q(x, y):

Сравнением убеждаемся, что частичные производные равны

поэтому подынтегральное выражение (x+y)dx+(x-y)dy является полным дифференциалом.
Криволинейный интеграл от точки (0,1) к точке (2,3) будем вычислять вдоль прямых y=1 и x=2.
контур интегрирования

Так верно выполнять, поскольку на каждом интервале один из дифференциалов равен нулю, следовательно, интеграл упрощается.
контур
Вычислим заданный криволинейный интеграл:

Пример 2 Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл

Решение: Имеем подынтегральное выражение:
xdy+ydx.
Выпишем значение при дифференциалах
P=P(x, y)=y, Q=Q(x, y)=x.
Найдем частичные производные первого порядка функций P, Q:

Сравнением значений убеждаемся, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом.
Заданный криволинейный интеграл от точки (- 1,2) к точке (2,3) будем вычислять вдоль прямых y=2 и x=2.
На графике направление и контур интегрирования имеют вид

Выпишем как буду изменяться координаты и дифференциалы на каждом интервале
пределы интегрирования

Найдем криволинейный интеграл через сумму двух:
криволинейный интеграл полного дифференциала

Пример 3 Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл

где f(u) непрерывная функция.

Решение: Выписываем подынтегральное выражение:
f(x+y)(dx+dy)=f(x+y)dx+f(x+y)dy.
Отсюда P=P(x, y)=f(x+y), Q=Q(x, y)=f(x+y).
Поскольку P, Q симметрично содержат переменные, то их частичные производные

равны, а это значит что подынтегральное выражение является полным дифференциалом.
Криволинейный интеграл от точки (0,0) к точке (a, b) будем вычислять вдоль прямых y=0 и x=a.

Выпишем пределы интеграла и дифференциалы

Криволинейный интеграл упрощаем с помощью замены переменных:
интегрирование полного дифференциала
здесь f(u) заданная непрерывная функция.

Пример 4 Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл

Пример 5 Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл

вдоль путей, которые не пересекают ось Oy.
Решение: Имеем подынтегральное выражение:

Отсюда P=P(x, y)=y/x2, Q=Q(x, y)=-1/x.
Вычислим частичные производные функций P(x, y), Q(x, y):

они равны между собой, поэтому подынтегральное выражение является полным дифференциалом.
Криволинейный интеграл от точки (2,1) к точке (1,2) будем вычислять вдоль прямых x=2 и y=2.

Запишем диапазон изменения пределов интеграла и дифференциалы

Вычислим заданный криволинейный интеграл:
криволинейный интеграл

Пример 6 Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл

вдоль кривых, что не проходят через начала координат.

Решение: Подынтегральное выражение разобьем на сумму двух:

Выписываем производные при дифференциалах

Найдем частичные производные первого порядка функций P, Q:

Сравнением значений делаем вывод что имеем полный дифференциал под интегралом.
Заданный криволинейный интеграл от точки (1,0) к точке (6,8) будем вычислять вдоль прямых y=0 и x=6, то есть на двух интервалах

В декартовой плоскости контур интегрирования имеет вид

Криволинейный интеграл равен 9
вычисление криволинейного интеграла

Приведенных примеров на вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала вполне достаточно, чтобы выучить алгоритм проверки подынтегральной функции на полный дифференциал.
Разбивать участок между точками на промежутки параллельные осям тоже не трудно.
Интегрировать Вы должны уметь хорошо прежде чем браться за подобные примеры.
Если имеете трудности в интегрировании обращайтесь к нам за помощью, думаю, договоримся!

Обобщением определенного интеграла на случай, когда область интегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криволинейный интеграл.

Криволинейный интеграл I рода

Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) длины l. Рассмотрим непрерывную функцию f(x; у), определенную в точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками Криволинейный интегрална п произвольных дуг Криволинейный интеграл с длинами Криволинейный интеграл(см. рис. 233). Выберем на каждой дуге Криволинейный интегралпроизвольную точку Криволинейный интеграл и составим сумму

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Ее называют интегральной суммой для функции f(x;y) по кривой АВ.

Пусть Криволинейный интеграл— наибольшая из длин дуг деления. Если при Криволинейный интеграл существует конечный предел интегральных сумм (55.1), то его называют криволинейным интегралом от функции f(х; у) по длине кривой АВ (или I рода) и обозначают

Криволинейный интеграл

Таким образом, по определению,

Криволинейный интеграл

Условие существования криволинейного интеграла I рода (существования предела интегральной суммы (55.1) при Криволинейный интегралпредставляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без доказательства.

Теорема 55.1. Если функция f(х; у) непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке Криволинейный интеграл существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.
Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интеграла от функции f(х; у; z) по пространственной кривой L.

Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги (I рода).

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

если путь интегрирования L разбит на части Криволинейный интегралтакие, что Криволинейный интеграл имеют единственную общую точку.

5. Если для точек кривой L выполнено неравенство

Криволинейный интеграл

6. Криволинейный интеграл — длина кривой AB

7. Если функция f(x; у) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой найдется точка Криволинейный интеграл такая, что Криволинейный интеграл (теорема о среднем).

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства правила вычисления криволинейного интеграла I рода в случаях, если кривая L задана параметрическим, полярным и явным образом.

Параметрическое представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = y(t), Криволинейный интеграл — непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует Криволинейный интеграл, точке В — значениеКриволинейный интеграл, то

Криволинейный интеграл

Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла от функции f(x;y;z) по пространственной кривой АВ, задаваемой уравнениями

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Явное представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана уравнением Криволинейный интеграл — непрерывно дифференцируемая функция, то

Криволинейный интеграл

Подынтегральное выражение в правой части формулы (55.5) получается заменой в левой части Криволинейный интеграл(дифференциал дуги кривой — см. п. 41.3).

Пример 55.1. ВычислитьКриволинейный интеграл — отрезок прямой между точками O(0; 0) и A(4;3).

Решение: Уравнение прямой OA есть Криволинейный интегралСогласно формуле (55.5), имеем:

Полярное представление кривой интегрирования

Если плоская кривая L задана уравнением Криволинейный интеграл в полярных координатах, то Криволинейный интеграл и

Криволинейный интеграл

Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла в формулах (55.3)-(55.6) должен быть меньше верхнего.

Пример 55.2. Вычислить Криволинейный интеграллепесток лемнискаты Криволинейный интеграл расположенной в I координатном углу.

Решение: Кривая интегрирования изображена на рисунке 234. Воспользуемся формулой (55.6).

Криволинейный интеграл

Так как

Криволинейный интеграл

то, заметив, что Криволинейный интеграл получаем:

Криволинейный интеграл

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения в математике и механике.

Длина кривой

Длина I кривой АВ плоской или пространственной линии вычисляется по формулеКриволинейный интеграл

Плоиодь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая АВ, лежащая в плоскости Оху, а образующая параллельна оси Oz (см. рис. 235), то площадь поверхности, задаваемой функцией z = f(x; у), находится по формуле Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Масса кривой

Масса материальной кривой АВ (провод, цепь, трос,…) определяется формулой Криволинейный интеграл— плотность кривой в точке М.

Разобьем кривую АВ на п элементарных дуг Криволинейный интеграл.

ПустьКриволинейный интеграл — произвольная точка дуги Криволинейный интеграл. Считая приближенно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке Криволинейный интеграл, найдем приближенное значение массы Криволинейный интеграл дуги Криволинейный интеграл:

Криволинейный интеграл

Суммируя, находим приближенное значение массы m:

Криволинейный интеграл

За массу кривой АВ примем предел суммы (55.7) при условии, чтоКриволинейный интеграл т. е.

Криволинейный интеграл

или, согласно формуле (55.2),

Криволинейный интеграл

(Заметим, что предел существует, если кривая АВ гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке АВ функцией.)

Статические моменты, центр тяжести

Статические моменты относительно осей Ох и Оу и координаты центра тяжести материальной кривой АВ определяются по формулам

Криволинейный интеграл

Моменты инерции

Для материальной кривой АВ моменты Криволинейный интеграл инерции относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно равны:

Криволинейный интеграл

Пример 55.3. Найти центр тяжести полуокружности Криволинейный интеграл, лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице в каждой точке кривой Криволинейный интеграл

Решение: Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести находится на оси Оу (см. рис. 236). Поэтому Криволинейный интеграл. Ордината центра тяжести

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Знаменатель дроби — длина полуокружности. ПоэтомуКриволинейный интеграл

Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями окружности Криволинейный интеграл Имеем:

Криволинейный интеграл

Следовательно,

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл второго рода

Решение задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит к понятию криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл II рода определяется почти так же, как и интеграл I рода

Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) и функция Р(х;у), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую АВ точками Криволинейный интеграл в направлении от точки А к точке В на п дуг Криволинейный интеграл, с длинами Криволинейный интеграл

На каждой «элементарной дуге» Криволинейный интеграл возьмем точку Криволинейный интеграл и составим сумму вида

Криволинейный интеграл

где Криволинейный интеграл— проекция дуги Криволинейный интеграл на ось Ох (см. рис. 237).

Криволинейный интеграл

Сумму (56.1) называют интегральной суммой для функции Р(х;у) по переменной х. Таких сумм можно составить бесчисленное множество. (Отличие сумм (55.1) и (56.1) очевидно.)

Если при Криволинейный интеграл интегральная сумма (56.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек Криволинейный интеграл, то его называют криволинейным интегралом по координате х (или II рода) от функции Р(х; у) по кривой АВ и обозначают Криволинейный интеграл

Итак,

Криволинейный интеграл

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(x;y) по координате у:

Криволинейный интеграл

где Криволинейный интеграл — проекция дуги Криволинейный интеграл на ось Оу.

Криволинейный интеграл II рода общего вида

Криволинейный интеграл

определяется равенством

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

по пространственной кривой L определяется аналогично.
Теорема 56.1. Если кривая АВ гладкая, а функции Р(х; у) и Q(x; y) непрерывные на кривой АВ, то криволинейный интеграл II рода существует.

Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла II рода.

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т. е.

Криволинейный интеграл

(проекция дуги Криволинейный интеграл на оси Ох и Оу меняют знаки с изменением направления).

2.Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е.

Криволинейный интеграл

3.Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ох, то

Криволинейный интеграл

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Оу :

Криволинейный интеграл

4.Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается Криволинейный интегралне зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

Действительно,

Криволинейный интеграл

(см. рис. 238). С другой стороны,

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Таким образом,

Криволинейный интеграл

Вычисление криволинейного интеграла II рода

Вычисление криволинейного интеграла II рода, как и I рода, может быть сведено к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое представление кривой интегрирования

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t) и у = y (t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими производными x'(t) и y'(t) на отрезке Криволинейный интеграл, причем начальной точке А кривой соответствует значение параметра Криволинейный интеграл, а конечной точке В — значение Криволинейный интеграл. И пусть функция Р(х; у) непрерывна на кривой АВ. Тогда, по определению,

Криволинейный интеграл

Преобразуем интегральную сумму к переменной t. Так как

Криволинейный интеграл

то по формуле Лагранжа (см. (25.2)) имеем:

Криволинейный интеграл

Выберем точку Криволинейный интеграл так, чтобы Криволинейный интеграл Тогда преобразованная интегральная сумма Криволинейный интеграл будет интегральной суммой для функции одной переменной Криволинейный интегрална промежутке Криволинейный интеграл. Поэтому

Криволинейный интеграл

Аналогично получаем:

Криволинейный интеграл

Складывая почленно полученные равенства (56.2) и (56.3), получаем:

Криволинейный интеграл

Явное представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана уравнением Криволинейный интеграл где функция Криволинейный интеграли ее производная Криволинейный интеграл непрерывны на отрезке [а; b], то из формулы (56.4), приняв х за параметр, имеем параметрические уравнения кривой Криволинейный интегралоткуда получим:

Криволинейный интеграл

В частности,

Криволинейный интеграл

Если АВ — гладкая пространственная кривая, которая описывается непрерывными на отрезке Криволинейный интеграл функциями х =x(t), у = y(t) и z = z(t), то криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

вычисляется по формуле

Криволинейный интеграл

Замечание. Криволинейные интегралы I и II рода связаны соотношением

Криволинейный интеграл

— углы, образованные касательной к кривой АВ в точке М(х, у) с осями Ох и Оу соответственно.

Пример 56.1. Вычислить

Криволинейный интеграл

— ломаная ОАВ, где O(0; 0), A(2;0), В(4; 2).

Решение: Так как L = ОАВ = OA + АВ (см. рис. 239), то

Криволинейный интеграл

Уравнение отрезка OA есть у = 0, Криволинейный интеграл уравнение отрезкаКриволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Согласно формуле (56.5), имеем:

Криволинейный интеграл

Пример 56.2. Вычислить

Криволинейный интеграл

— отрезок прямой в пространстве от точки А(1;0;2) до точки В(3;1;4).

Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и В: Криволинейный интегралили в параметрической форме: х = 2t + 1, у = t, z = 2t + 2. При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется от 0 до 1. По формуле (56.7) находим, что

Криволинейный интеграл

Формула Остроградского-Грина

Связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского-Грина, которая широко применяется в математическом анализе.

Пусть на плоскости Оху задана область D, ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям не более чем в двух точках, т. е. область D — правильная.

Теорема 56.2. Если функции Р(х; у) и Q(x;y) непрерывны вместе со своими частными производными Криволинейный интегралв области D, то имеет место формула

Криволинейный интеграл

где L — гранив области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (при движении вдоль кривой, область D остается слева).

Формула (56.8) называется формулой Остроградского-Грина.

Пусть Криволинейный интеграл— уравнение дуги Криволинейный интеграл— уравнение дуги Криволинейный интеграл (см. рис. 240). Найдем сначала Криволинейный интеграл По правилу вычисления двойного интеграла, имеем:

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Или, согласно формуле (56.6),

Криволинейный интеграл

Аналогично доказывается, что

Криволинейный интеграл

Если из равенства (56.10) вычесть равенство (56.9), то получим формулу (56.8).

Замечание. Формула (56.8) справедлива и для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей.

Пример 56.3. С помощью формулы Остроградского-Грина вылить

Криволинейный интеграл

где L — контур прямоугольника с вершинами А(3;2), B(6; 2), С(6;4), D( 3;4).

Решение: На рисунке 241 изображен контур интегрирования. Поскольку

Криволинейный интеграл

по формуле (56.8) имеем:

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Пусть Криволинейный интеграл— две произвольные точки односвязной области D плоскости Оху (область D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями (на рис. 242 это Криволинейный интеграл). По каждой из этих кривых интеграл

Криволинейный интеграл

имеет, вообще говоря, свое значение.

Если же его значения по всевозможным кривым АВ одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования. В этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную точку Криволинейный интеграл и его конечную точку Криволинейный интеграл пути.

Записывают:

Криволинейный интеграл

Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависел от вида пути интегрирования?

Теорема 56.3. Для того чтобы криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в которой функции Криволинейный интеграл непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие

Криволинейный интеграл

Докажем достаточность условия (56.12). Рассмотрим произвольный замкнутый контур Криволинейный интеграл(или L) в области D (см. рис. 243). Для него имеет место формула Остроградского-Грина (56.8). В силу условия (56.12) имеем:

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Учитывая свойства криволинейного интеграла, имеем:

Криволинейный интеграл

т. e.

Криволинейный интеграл

Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется условие Криволинейный интегралто интеграл по замкнутому контуру равен нулю:

Криволинейный интеграл

Верно и обратное утверждение.

Следствие 56.1. Если выполнено условие (56.12), то подынтегральное выражение Криволинейный интеграл является полным дифференциалом некоторой функции и = и(х;у) (см. (44.5)), т. е.

Криволинейный интеграл

Тогда (см. (56.11)):

Криволинейный интеграл

т. e.

Криволинейный интеграл

Формула (56.14) называется обобщенной формулой Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Следствие 56.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то

Криволинейный интеграл

Замечания.

  1. Чтобы не спутать переменную интегрирования х с верхним пределом х, переменную интегрирования обозначают другой буквой (например, Криволинейный интеграл и т.д.).
  2. Функцию U = U(x; у), удовлетворяющую условию (56.12), можно найти, используя формулу

Криволинейный интеграл

В качестве начальной точкиКриволинейный интеграл обычно берут точку (0; 0) — начало координат (см. пример 56.5).

3. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного интеграла

Криволинейный интеграл

по пространственной кривой. Условие (56.12), равенство (56.13), формулы (56.14) и (56.15) имеют соответственно вид:

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

(см. пример 73.1).

Пример 56.4. Найти

Криволинейный интеграл

Решение: Здесь Криволинейный интеграл Согласно вышеприведенной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В качестве пути интегрирования можно взять отрезок прямой у = х, дугу параболы Криволинейный интеграл и т. д. или воспользоваться формулой (56.14). Так как ydx + xdy = d(xy), то

Криволинейный интеграл

Пример 56.5. Убедиться, что выражение Криволинейный интеграл собой полный дифференциал некоторой функции U(x;y) и найти ее.

Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным дифференциалом, необходимо выполнение условий (56.12):

Криволинейный интеграл

— условия выполнены, следовательно,

Криволинейный интеграл

А так как полный дифференциал имеет вид

Криволинейный интеграл

(см. п. 44.3), то верны соотношения

Криволинейный интеграл

Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом вместо постоянной интегрирования следует поставить Криволинейный интеграл — неизвестную функцию, зависящую только от у:

Криволинейный интеграл

Подставляя полученное выражение во второе из уравнений (56.16), найдем Криволинейный интеграл:

Криволинейный интеграл

Таким образом, Криволинейный интеграл

Отметим, что функцию U проще найти, используя формулу (56.15):

Криволинейный интеграл

Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода

Площадь плоской фигуры

Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле

Криволинейный интеграл

при этом кривая L обходится против часовой стрелки.

Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина (56.8) Р(х; у) = 0, Q(x; у) = х, получим:

Криволинейный интеграл

или

Криволинейный интеграл

Аналогично, полагая P = -у, Q = 0, найдем еще одну формулу для вычисления площади фигуры с помощью криволинейного интеграла:

Криволинейный интеграл

Сложив почленно равенства (56.18) и (56.19) и разделив на два, получим:

Криволинейный интеграл

Формула (56.17) используется чаще, чем формулы (56.18) и (56.19).

Работа переменной силы

Переменная сила Криволинейный интеграл на криволинейном участке АВ производит работу, которая находится по формуле

Криволинейный интеграл

Разобьем кривую АВ точками Криволинейный интеграл на п «элементарных» дуг Криволинейный интеграл длины Криволинейный интеграл и в каждой из них возьмем произвольную точку Криволинейный интеграл (см. рис. 244). Заменим каждую дугу Криволинейный интеграл вектopoм Криволинейный интеграла силуКриволинейный интеграл будем считать постоянной на векторе перемещения Криволинейный интеграл и равной заданной силе в точке Криволинейный интегралдуги Криволинейный интеграл:

Криволинейный интеграл

Тогда скалярное произведение Криволинейный интегралможно рассматривать как приближенное значение работыКриволинейный интеграл вдоль дуги Криволинейный интеграл:

Криволинейный интеграл

Приближенное значение работы А силы Криволинейный интеграл на всей кривой составит величину

Криволинейный интеграл

За точное значение работы А примем предел полученной суммы при

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Замечание. В случае пространственной кривой АВ имеем:

Криволинейный интеграл

Пример 56.6. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой

Криволинейный интеграл

Решение: При обхождении астроиды в положительном направлении параметр t изменяется от 0 до Криволинейный интеграл(см. рис. 245). Применяя формулы (56.17) и (56.4), получим:

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Пример 56.7. Найти работу силы Криволинейный интеграл вдоль кривойКриволинейный интеграл от точки О(0; 0) до точки В( 1; 1).

Решение: По формуле (56.20) находим:

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Пусть функция Криволинейный интеграл непрерывна в каждой точке Криволинейный интеграл дуги Криволинейный интеграл. Если разбить эту дугу произвольным способом на Криволинейный интеграл частичных дуг длиною Криволинейный интеграл Криволинейный интеграл выбрать на каждой из них по одной произвольной точке Криволинейный интеграл Криволинейный интеграл вычислить значения функции в этих точках и составить сумму

Криволинейный интеграл

то она называется интегральной суммой функции Криволинейный интеграл по дуге Криволинейный интеграл.

Криволинейным интегралом первого рода Криволинейный интеграл от функции Криволинейный интеграл, взятым по плоской кривой Криволинейный интеграл, называется предел интегральной суммы Криволинейный интеграл при стремлении к нулю наибольшей по длине элементарной ячейки Криволинейный интеграл если этот предел существует и не зависит от способа дробления кривой Криволинейный интеграл на элементарные ячейки Криволинейный интеграл и выбора точек Криволинейный интеграл в них.

В прямоугольных координатах элемент дуги Криволинейный интеграл.

Если кривая Криволинейный интеграл задана параметрическими уравнениями Криволинейный интеграл, то

Криволинейный интеграл

Если кривая Криволинейный интеграл задана уравнением Криволинейный интеграл, то

Криволинейный интеграл

Если кривая Криволинейный интеграл задана уравнением Криволинейный интеграл, то

Криволинейный интеграл

Физический смысл криволинейного интеграла первого рода. Масса Криволинейный интеграл линии Криволинейный интеграл с линейной плотностью Криволинейный интеграл определяется по формуле Криволинейный интеграл.

Свойства криволинейного интеграла первого рода

  1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл первого рода не изменяет своего знака, т. е. Криволинейный интеграл, где Криволинейный интеграл — кривая Криволинейный интеграл, пробегаемая в заданном направлении, Криволинейный интеграл — кривая Криволинейный интеграл, пробегаемая в противоположном направлении.
  2. Если кривая Криволинейный интеграл с помощью некоторой точки разбита на части: Криволинейный интеграл, то
Криволинейный интеграл

Криволинейным интегралом второго рода от пары функций Криволинейный интеграл и Криволинейный интеграл, взятым по кривой Криволинейный интеграл, понимается интеграл Криволинейный интеграл. Если кривая Криволинейный интеграл задана параметрическими уравнениями Криволинейный интеграл, то

Криволинейный интеграл

Если кривая Криволинейный интеграл задана уравнением Криволинейный интеграл, то

Криволинейный интеграл

Свойства криволинейного интеграла второго рода

  1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет свой знак, т. е. Криволинейный интеграл.
  2. Если кривая Криволинейный интеграл с помощью некоторой точки разбита на части: Криволинейный интеграл, то Криволинейный интеграл.

Циркуляцией называется криволинейный интеграл по замкнутой плоской линии Криволинейный интеграл. При положительном направлении ее обхода (против движения часовой стрелки) обозначается Криволинейный интеграл, а при отрицательном направлении обхода обозначается Криволинейный интеграл.

Обычно криволинейный интеграл Криволинейный интеграл зависит от линии интегрирования. Взятый вдоль разных линий, соединяющих точки Криволинейный интеграл и Криволинейный интеграл, он будет иметь различные значения. Если же в некоторой области Криволинейный интеграл выражение Криволинейный интеграл является полным дифференциалом некоторой функции Криволинейный интеграл, то криволинейный интеграл Криволинейный интеграл не зависит от линии интегрирования, соединяющей точки Криволинейный интеграл и Криволинейный интеграл, а взятый по любой замкнутой линии, пролегающей в области Криволинейный интеграл, равен нулю.

Выражение Криволинейный интеграл будет полным дифференциалом функции Криволинейный интеграл в некоторой области Криволинейный интеграл, если Криволинейный интеграл и если Криволинейный интеграл непрерывны в этой области.

Полный дифференциал некоторой функции Криволинейный интеграл с помощью криволинейного интеграла вдоль ломаной Криволинейный интеграл находят по формуле

Криволинейный интеграл

Полный дифференциал некоторой функции Криволинейный интеграл с помощью криволинейного интеграла вдоль ломаной Криволинейный интеграл Криволинейный интеграл находят по формуле

Криволинейный интеграл

С помощью криволинейных интегралов вычисляются следующие величины:

1) Длина дуги Криволинейный интеграл плоской или пространственной линии Криволинейный интеграл.

2) Площадь фигуры, расположенной в плоскости Криволинейный интеграл и ограниченной замкнутой линией Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

3) Масса Криволинейный интеграл материальной дуги Криволинейный интеграл с линейной плотностью Криволинейный интеграл вещества в точке Криволинейный интеграл дуги Криволинейный интеграл.

4) Координаты центра тяжести Криволинейный интеграл дуги Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

5) Работа Криволинейный интеграл, совершаемая силой Криволинейный интеграл, действующей на точку при перемещении ее по дуге Криволинейный интеграл,

Криволинейный интеграл

Формула Грина Криволинейный интеграл. Устанавливает связь между двойным интегралом по некоторой плоской области Криволинейный интеграл и криволинейным интегралом по границе Криволинейный интеграл этой области.

Пример №1

Вычислить криволинейный интеграл, сделать чертеж:

а) Криволинейный интеграл вдоль дуги параболы Криволинейный интеграл от точки Криволинейный интеграл до точки Криволинейный интеграл.

б) Криволинейный интеграл по дуге Криволинейный интеграл эллипса Криволинейный интеграл обходя ее против хода часовой стрелки от точки Криволинейный интеграл до точки Криволинейный интеграл.

Решение:

а) Преобразуем криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной Криволинейный интеграл: Криволинейный интеграл. Пределы интегрирования определяем из рис. 10: Криволинейный интеграл. Вычислим интеграл Криволинейный интеграл:

Криволинейный интеграл

Ответ: Криволинейный интеграл.

Криволинейный интеграл

б) Найдем значение параметра Криволинейный интеграл в точках Криволинейный интеграл и Криволинейный интеграл (рис. 11):

Криволинейный интеграл

Преобразуем криволинейный интеграл в определенный с переменной Криволинейный интеграл, затем вычислим его: Криволинейный интеграл;

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Ответ: Криволинейный интеграл.

Пример №2

Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом некоторой функции Криволинейный интеграл, в случае положительного ответа найти Криволинейный интеграл с помощью криволинейного интеграла.

Решение:

Обозначим коэффициенты при дифференциалах Криволинейный интеграл, Криволинейный интеграл и найдем Криволинейный интеграл и Криволинейный интеграл. Так как Криволинейный интеграл и Криволинейный интеграл, Криволинейный интеграл непрерывны во всей области, за исключением Криволинейный интеграл и Криволинейный интеграл, то заданное выражение является полным дифференциалом некоторой функции Криволинейный интеграл.

Найдем эту функцию:

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл

где Криволинейный интеграл

Область определения функции Криволинейный интеграл совпадает с Криволинейный интеграл и Криволинейный интеграл.

Ответ: Криволинейный интеграл.

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Аналогично проектируя дугу AkAk–1 на ось Oy, получаем интеграл f (x; y)dy по координате y.

AB

Если на кривой определены две функции Р(x; y) и Q(x; y), тогда полный криволинейный интеграл 2-го рода записывается следующим образом:

P (x; y)dx +Q(x; y)dy.

AB

Для случая пространственной кривой L формула криволинейного интеграла 2-го рода выглядит следующим образом:

P (x; y;z)dx +Q(x; y;z)dy +R(x; y;z)dz.

AB

Криволинейные интегралы 2-го рода обладают свойствами линейности и аддитивности, однако теорема об оценке модуля интеграла и среднего значения неверны.

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода производится с помощью опреденного интеграла.

Если кривая L задана параметрическими уравнениями x = φ(t) и y = ψ(t), где α ≤ t ≤ β, а функции φ(t) и ψ(t) имеют непрерывные производные. Пусть вдоль кривой L заданы кусочно-непрерывные функции Р(x; y) и Q(x; y). Тогда дифференциалы текущих координат x и y имеют вид: dx = φ'(t)dt, dy = ψ'(t)dt, а криволинейный интеграл выражается обыкновенным определенным интегралом по следующей формуле:

β

P (x; y)dx +Q(x; y)dy = (P (ϕ(t );ψ(t ))ϕ'(t ) +Q(ϕ(t );ψ(t ))ψ'(t ))dt.

Lα

Если кривая L имеет явное задание y = y(x), где a x b, тогда криволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по следующей формуле:

b

P (x; y)dx +Q(x; y)dy = (P (x; y(x)) +Q(x; y(x))y x ))dx.

Если кривая L имеет явное задание x = x(y), где c y d, тогда криволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по следующей формуле:

31

d

P (x; y)dx +Q(x; y)dy = (P (x( y); y)x y +Q(x( y); y))dy.

Для случая пространственной кривой L, заданной уравнениями: x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), где α ≤ t ≤ β, на которой определены три ку- сочно-непрерывные функции:

P (x; y;z)dx +Q(x; y;z)dy + R(x; y;z)dz =

L

β

= α (P (ϕ(t );ψ(t );χ(t ))ϕ'(t ) +Q(ϕ(t );ψ(t );χ(t ))ψ'(t ) +R(ϕ(t );ψ(t );χ(t ))χ'(t ))dt.

Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода

Pdx +Qdy = (P cos α+Q cosβ)dl,

AB AB

где α, β – углы, образованные касательной к кривой L с осями координат.

В случае пространственного задания кривой L:

Pdx +Qdy +Rdz = (P cos α+Q cosβ+R cos γ)dl.

AB AB

Формула Остроградского-Грина

Пусть функции Р(x; y) и Q(x; y) и их частные производные P

Q y

и x непрерывны в простой области G. Тогда справедливо равенство

vPdx +Qdy = ∫∫(

Q

P )dxdy,

L

G

x

y

где криволинейный интеграл берется по границе L области G в положительном направлении.

Эта формула называется формулой Остроградского-Грина, она связывает криволинейный интеграл по границе с двойным интегралом

по самой области. Знак v– означает интегрирование по замкнуто-

L

му контуру, в данном случае по границе области.

Обыкновенный (прямолинейный) определенный интеграл является частным случаем криволинейного интеграла, у которого линией интегрирования служит прямолинейный отрезок оси координат.

32

Обычно криволинейный интеграл зависит от линии интегрирования. Но если в некоторой односвязной области D выражение P(x; y)dx + Q(x; y)dy является полным дифференциалом, то криволинейный интеграл P (x; y)dx +Q(x; y)dy не зависит от ли-

AB

нии интегрирования, соединяющей точки А и В, а взятый по любой замкнутой линии, пролегающей в области D, равен нулю.

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала производится по следующей формуле:

Pdx +Qdy = F (xB ; yB ) −F (xA ; yA ) .

AB

Примеры

1. Найти значение криволинейного интеграла 2-го рода ydx xdy вдоль указанных путей интегрирования: L

а) L – прямая между точками O(0; 0), A(1; 2);

б) L – парабола y = kx2 между точками O(0; 0), A(1; 2);

в) L – ломаная ОВА, где O(0; 0), A(1; 2) B(1; 0).

Решение (а). С учетом координат точек, запишем уравнение прямой ОА: y = 2x, где 0 ≤ x ≤ 1 (рис. 18), найдем dy = 2dx. Подставим

винтеграл и получим

ydx xdy = 1 (2xdx x2dx )= 0.

Решение (б). Так как парабола проходит через точку A(1; 2), то k = 2. Найдем dy = 4xdx.

Подставим в интеграл и получим

ydx xdy = 2

(2x2dx x4xdx) = −

2

.

L

0

3

Решение: (в). По свойству аддитивности криволинейного интеграла для участков ОВ и ВА (рис. 18) имеем:

ydx xdy = ydx xdy + ydx xdy.

Найдем уравнения линии для участка ОВ: y = 0, 0 ≤ x ≤ 1 , dy = 0; для участка ВА: x =1, 0 ≤ y ≤ 2, dx = 0.

33

y

2 А

y =2x

Рис. 18

Тогда интеграл будет равен

ydx xdy = (0 − x 0)dx +( y 0 −1)dy = −2.

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить интеграл (4x + y)dx +(x +4 y)dy , где кривая АВ за-

AB

дана уравнением: y = x 4. Координаты точек A(1; 1), B(–1; 1). (Ответ: (–2).)

2. Вычислить криволинейный интеграл v2xdx −(x +2y)dy , где L

L

контур периметра треугольника с вершинами А(–1; 0), В(0; 2), С(2; 0), пробегаемый по ходу часовой стрелки. (Ответ: 3.)

3. Даны точки О(0; 0; 0), А(3;–6;0), В(–2; 4; 5). Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода xy2dx + yz2dy zx2dz :

L

а) по прямолинейному отрезку ОВ

(Ответ: 91.);

б) по дуге АВ окружности, заданной уравнениями x 2 + y 2 +z 2 =45, 2x + y = 0 (при решении перейти к параметрическому виду уравнений,

полагая x = t).

−271

1

(Ответ:

.)

4

34

2.3.Физические и геометрические приложения криволинейных интегралов

Пусть L – материальная плоская кривая с линейной плотностью γ(x; y).

Тогда справедливы следующие формулы: Масса кривой: m = γ(x; y)dl.

L

Статические моменты кривой относительно осей Ox и Oy:

Mx = yγ(x; y)dl и My = xγ(x; y)dl .

L L

Координаты центра тяжести пространственной дуги АВ :

x0 =

xρdl

, y =

yρdl

, z =

zρdl

.

AB

AB

AB

m

0

m

0

m

Момент инерции кривой относительно начала координат:

I0 = (x2 + y2 )γ(x; y)dl.

L

Моменты инерции кривой относительно осей Ox и Oy:

I x = y2 γ(x; y)dl и I y = x2 γ(x; y)dl .

L L

G G G

Работа переменной силы F (x; y) = P (x; y)i +Q(x; y) j при перемещении материальной точки единичной массы из точки А в точку В вдоль кривой АВ вычисляется по формуле:

A = P (x; y)dx +Q(x; y)dy.

AB

Вычисление площади S плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой L:

S= 1 vxdy ydx. 2 L

Примеры

1. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом x = a cos t, y = b sin t (рис. 19, а).

35

a

y

б

y

b

4

В

a

0

a x

1

А

b

0

1

4

x

Рис. 19

Решение. Используем формулу S = 1 vxdy ydx. Преобразуем

2 L

криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной t, для этого найдем дифференциалы dx = –a sin tdt, dy = b cos tdt. Тогда

1

1

2 π

2 π

S =

vxdy ydx =

ab cos2 tdt +ab sin2 tdt =

ab

dt = πab.

2

2

2

L

0

0

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x, y = 1 x ,

4

xy = 4 (рис. 19, б).

Решение. Решая совместно уравнения линий, найдем точки их пересечения A(4; 1), B(1; 4). Граница искомой площади состоит из двух прямых линий и одной гиперболы (рис. 19, б). Тогда искомая площадь равна

S =

1

xdy ydx +

1

xdy ydx +

1

xdy ydx =

2

2

2

OA

AB

BO

1

4

1

x

1

1

4

1

0

=

x

dx +

x

x dx

+

(x 4 −4x )dx =

2

4

2

x

2

2

0

4

4

1

1

4

1

dx

0

x

2

4

1

0

=

xdx −4

+2xdx =

−4 ln x

+ x 2

= 4 ln 4.

8

x

0

4

1

16

0

4

1

3.Найти массу дуги АВ кривой y = lnx, где A(1; 0) и B(3; ln3), если

вкаждой ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки.

36

Решение. Используем формулу m = γ(x; y)dl . Преобразуем дан-

AB

ный криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной x. Най-

дем производную y ′=

1

, тогда dl =

1 +( y‘)2 dx =

1 +

1

dx , γ = kx 2.

x

Получаем

x2

3

2 x2

+1

k

3

2

1

2

k

m =

γdl = kx

(x

dx =

+1)2 d(x

+1)

=

(10 10

−2 2).

x

2

2

3

AB

1

1

4. Найти массу отрезка прямой АВ: A(1; 4; 3), B(1; 0; 6), если в каждой ее точке линейная плотность равна γ = x 2 + y 2.

Решение. Составим каноническое уравнение прямой, проходя-

x −1

y −4

z −3

щей через точки А и В:

=

=

. Перейдем к параметри-

1 −1

0 −4

6 −3

ческому виду прямой:

x −1

y −4

z −3

x =1,

=

=

=t

y = −4t +4 ,

0

−4

−3

z =3t +3 .

Найдем интервал изменения параметра t

y = 4 t1 = 0 ,

y = 0 t2 =1.

Элемент дуги dl =

(xt′)2 +( yt′)2 +(zt′)2 dt = 12 +(−4)2 +32 dt =5dt .

Тогда масса отрезка

1

1

95

m = γdl =5(x 2 + y 2 ) dt =5(12 +(−4t +4)2 ) dt =

.

3

L

0

0

5.Найти координаты центра тяжести дуги АВ винтовой линии x = a cos t, y = a sin t , z = bt, если в каждой ее точке линейная плотность

равна аппликате этой точки, а параметр изменяется от tA = 0 до tB = π (рис. 20).

37

z

bπ

С

–а

0

а

y

а

x

Рис. 20

Решение. Используем формулы

x =

1

xγdl,

y =

1

yγdl,

z =

1

zγdl.

c

m

c

m

c

m

AB

AB

AB

Найдем производные

x= –asint, y= acost, z‘ = b.

Тогда элемент дуги

dl = (x ′)2 +( y ′)2 +(z ′)2 dt = a2 +b2 dt

t

t

t

так как плотность γ = bt, то масса дуги

m = γdl = π bt a2 +b2 dt = bπ2

a2 +b2 .

AB

0

2

Статические моменты равны

Syz

= xγdl = π acost bt

a2 +b2 dt = −2ab

a2 +b2 ,

AB

0

Sxz

= yγdl = π asint bt

a2 +b2 dt = abπ

a2 +b2 ,

AB

0

38

π

b

2

π

3

S xy = z γdl = bt bt a2 +b2 dt =

a2 +b2 .

3

AB

0

Следовательно: x

=

Syz

= −

4a

,

y =

Sxz

=

2a

, z =

Sxy

=

2bπ

.

m

π2

m

π

m

3

c

c

c

6. Вычислить работу, совершаемую силой тяжести при перемещении точки массы m по дуге АВ, если А(хА; уА; zA) и B(хB; уB; zB).

Решение. Выберем прямоугольную систему координат так,GчтобыG направление оси Oz совпало с направлением силы тяжести F = mg (рис. 21). Тогда проекции этой силы на оси координат будут следующие: Fx = 0, Fy = 0, Fz = mg.

х

m

F =mg

В

zВ

z

Рис. 21

Работа переменной силы при перемещении точки по пространственной кривой вычисляется по следующей формуле:

A = P (x, y,z)dx +Q(x, y,z)dy +R(x, y,z)dz,

AB

где P, Q, R – проекции силы на оси координат Ох, Оу, Oz соответственно.

Получаем

zB

A = P (x, y,z)dx +Q(x, y,z)dy +R(x, y,z)dz =mg dz =mg(zB zA ).

39

Задания для самостоятельной работы

1. Найти площадь, ограниченную астроидой x = acos3t, y = asin3t

(Ответ: a2 ).

8

2. Найти площадь, ограниченную лемнискатой Бернулли (x 2 + y 2)2 = = 2a2(x2 y2). (При расчете положить y = xtgt).

(Ответ: 2a 2).

3. В каждой точке плоскости наGматериальную точку действует сила, имеющая постоянную величину F и направление положительной оси Ох. Найти работу, совершаемую этой силой при движении точки поGдуге окружности x2 + y2 = R2, лежащей в первом четверти. (Ответ: FR ).

40

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Solving integrals/
xdy

Limits of integration:

from

to

The graph:

from
to

Enter:

{ piecewise-defined function here

The solution

You have entered
[src]

  1       
  /       
 |        
 |  x*1 dy
 |        
/         
0         

$$intlimits_{0}^{1} x 1, dy$$

Simplify

Detail solution

  1. The integral of a constant is the constant times the variable of integration:

  2. Add the constant of integration:


The answer is:

The answer (Indefinite)
[src]

  /                
 |                 
 | x*1 dy = C + x*y
 |                 
/                  

$$x,y$$

Simplify

The graph

Plot the graph f(x)

The answer
[src]

x

$$x$$

=

=

x

$$x$$

Simplify

The graph

Integral of xdy dx

    Use the examples entering the upper and lower limits of integration.

    $begingroup$

    I know this is a very simple question but why is this wrong?$$int(xdy+ydx)=int xdy+int ydx=xint dy+yint dx=2xy$$

    I saw a similar question on Stack Exchange, but it was too complicated for me to understand. I am in 11th Grade and I have just done basic differentiation and integration for physics. Any help would be appreciated!

    J.G.'s user avatar

    J.G.

    114k7 gold badges74 silver badges135 bronze badges

    asked Jul 7, 2020 at 6:02

    Niescte's user avatar

    $endgroup$

    8

    $begingroup$

    Since $x,,y$ are in general not independent, you can’t treat $x$ as a constant as in $int xdy=xint dy$. Your original problem would make this clearer if you wrote $x(y)dy+y(x)dx$. In fact,$$int(xdy+ydx)=int d(xy)=xy+C.$$

    answered Jul 7, 2020 at 6:05

    J.G.'s user avatar

    J.G.J.G.

    114k7 gold badges74 silver badges135 bronze badges

    $endgroup$

    3

    You must log in to answer this question.

    Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged

    .

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти хорошего юриста по гражданским делам
  • Как ворлд оф танк блиц найти друга
  • Как рассчитать сколько отзывов требуется добавить чтобы исправить рейтинг
  • Как найти амплитуду колебаний по рисунку
  • Почему тесто не поднимается на сухих дрожжах как исправить