Как найти интегралы от рациональных дробей

1. Интегрирование рациональных дробей.

2. Алгоритм интегрирования рациональной дроби.

3. Примеры интегрирования рациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида

– многочлены степени m и n соответственно. Рациональная дробь называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя (m<n), в противном случае дробь называется неправильной .

Простейшими элементарными дробями называются дроби следующего вида:

Пример 1

Пример 2

Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен, можно вычислить, применяя прием выделения полного квадрата разности или суммы. Рассмотрим пример такого интеграла.

Пример 3.

Алгоритм интегрирования рациональной дроби

1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:

2. Знаменатель разложим на простейшие сомножители: Q_n(x)

3. Представим дробь 

виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

1. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.
2. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x.
3. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая равным действительным корням знаменателя.
4. Подставим найденные коэффициенты A₁,A₂,…,C_s,D_s в разложение дроби.
5. Проинтегрируем простейшие дроби.

Примеры интегрирования рациональных функций

Пример 4.

Корни знаменателя: x=1, а x²+1 = 0 не имеет действительных корней.

Тогда разложение для данной дроби имеет вид:

Приводя полученные дроби к общему знаменателю, получим тождество:

Пример 5.

Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.

Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем дроби.

Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Первая часть.

Материал, изложенный в этой теме, опирается на сведения, представленные в теме «Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на элементарные (простейшие) дроби». Очень советую хотя бы бегло просмотреть эту тему перед тем, как переходить к чтению данного материала. Кроме того, нам будет нужна таблица неопределенных интегралов.

Напомню пару терминов. О их шла речь в соответствующей теме, посему тут ограничусь краткой формулировкой.

Отношение двух многочленов $frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ называется рациональной функцией или рациональной дробью.
Рациональная дробь называется правильной, если $n < m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильной.

Элементарными (простейшими) рациональными дробями именуют рациональные дроби четырёх типов:

1. $frac{A}{x-a}$;
2. $frac{A}{(x-a)^n}$ ($n=2,3,4, ldots$);
3. $frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ ($p^2-4q < 0$);
4. $frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,ldots$).

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показатьскрыть

Примеры рациональных дробей (правильных и неправильных), а также примеры разложения рациональной дроби на элементарные можно найти тут. Здесь нас будут интересовать лишь вопросы их интегрирования. Начнём с интегрирования элементарных дробей. Итак, каждый из четырёх типов указанных выше элементарных дробей несложно проинтегрировать, используя формулы, указанные ниже. Напомню, что при интегрировании дробей типа (2) и (4) предполагается $n=2,3,4,ldots$. Формулы (3) и (4) требуют выполнение условия $p^2-4q < 0$.

$$
begin{equation}
int frac{A}{x-a} dx=Acdot ln |x-a|+C
end{equation}
$$

$$
begin{equation}
intfrac{A}{(x-a)^n}dx=-frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C
end{equation}
$$

$$
begin{equation}
intfrac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= frac{M}{2}cdot ln (x^2+px+q)+frac{2N-Mp}{sqrt{4q-p^2}}arctgfrac{2x+p}{sqrt{4q-p^2}}+C
end{equation}
$$

Для $intfrac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx$ делается замена $t=x+frac{p}{2}$, после полученный интерал разбивается на два. Первый будет вычисляться с помощью внесения под знак дифференциала, а второй будет иметь вид $I_n=intfrac{dt}{(t^2+a^2)^n}$. Этот интеграл берётся с помощью рекуррентного соотношения

$$
begin{equation}
I_{n+1}=frac{1}{2na^2}frac{t}{(t^2+a^2)^n}+frac{2n-1}{2na^2}I_n, ; nin N
end{equation}
$$

Вычисление такого интеграла разобрано в примере №7 (см. третью часть).

Схема вычисления интегралов от рациональных функций (рациональных дробей):

1. Если подынтегральная дробь является элементарной, то применить формулы (1)-(4).
2. Если подынтегральная дробь не является элементарной, то представить её в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать, используя формулы (1)-(4).

Указанный выше алгоритм интегрирования рациональных дробей имеет неоспоримое достоинство – он универсален. Т.е. пользуясь этим алгоритмом можно проинтегрировать любую рациональную дробь. Именно поэтому почти все замены переменных в неопределённом интеграле (подстановки Эйлера, Чебышева, универсальная тригонометрическая подстановка) делаются с таким расчётом, чтобы после оной замены получить под интералом рациональную дробь. А к ней уже применить алгоритм. Непосредственное применение этого алгоритма разберём на примерах, предварительно сделав небольшое примечание.

Примечание

Формулы (1)-(4) предполагают, что коэффициент перед $x$ (в формулах (1) и (2)) и коэффициент перед $x^2$ (в формулах (3) и (4)) равен единице. Но как быть, если этот коэффициент не равен единице? В этом случае достаточно просто вынести его за скобки:

$$frac{3x+7}{5x^2+10x+9}=frac{3x+7}{5left(x^2+2x+frac{9}{5}right)}=frac{frac{3}{5}x+frac{7}{5}}{x^2+2x+frac{9}{5}}.$$

Кстати сказать, это касается не только элементарных дробей. Например, если требуется разложить дробь $frac{4x^2+6x+7}{(2x+9)(3x^2+5x+18)}$, то её представим в такой форме:

$$
frac{4x^2+6x+7}{(2x+9)(3x^2+5x+18)}=frac{4x^2+6x+7}{2cdotleft(x+frac{9}{2}right)cdot 3 cdot left(x^2+frac{5}{3}x+6right)}=
frac{4x^2+6x+7}{6cdotleft(x+frac{9}{2}right)left(x^2+frac{5}{3}x+6right)}=\
=frac{frac{4}{6}x^2+frac{6}{6}x+frac{7}{6}}{left(x+frac{9}{2}right)left(x^2+frac{5}{3}x+6right)}
=frac{frac{2}{3}x^2+x+frac{7}{6}}{left(x+frac{9}{2}right)left(x^2+frac{5}{3}x+6right)}.
$$

В дальнейших примерах я затрону случай, когда коэффициент перед старшим членом многочлена в знаменателе не равен $1$. Но каждый раз этот случай будет разрешён по стандартной схеме: вынести «мешающий» коэффициент за скобки и перенести его в числитель (или вообще вынести за знак интеграла).

Перейдём к примерам. Первый пример – тренировочный, на использование формул интегрирования элементарных дробей (пока что без использования формулы №4, она будет рассмотрена отдельно).

Пример №1

Найти интегралы:

1. $intfrac{7dx}{x+9}$;
2. $intfrac{11dx}{(4x+19)^8}$;
3. $intfrac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$.

Решение

1) Для нахождения интеграла $intfrac{7dx}{x+9}$ можно сразу применить формулу (1):

$$
intfrac{7dx}{x+9}=7ln|x+9|+C.
$$

В принципе, этот интеграл несложно получить без механического применения формулы (1). Если вынести константу $7$ за знак интеграла и учесть, что $dx=d(x+9)$, то получим:

$$
intfrac{7dx}{x+9}=7cdot intfrac{dx}{x+9}=7cdot intfrac{d(x+9)}{x+9}=|u=x+9|=7cdotintfrac{du}{u}=7ln|u|+C=7ln|x+9|+C.
$$

Для детальной информации рекомедую посмотреть тему «Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала)». Там подробно поясняется, как решаются подобные интегралы. Кстати, формула (1) доказывается теми же преобразованиями, что были применены в этом пункте при решении «вручную».

2) Вновь есть два пути: применить готовую формулу или обойтись без неё. Если применять формулу (2), то следует учесть, что коэффициент перед $x$ (число 4) придется убрать. Для этого оную четвёрку просто вынесем за скобки:

$$
intfrac{11dx}{(4x+19)^8}=intfrac{11dx}{left(4left(x+frac{19}{4}right)right)^8}=
intfrac{11dx}{4^8left(x+frac{19}{4}right)^8}=intfrac{frac{11}{4^8}dx}{left(x+frac{19}{4}right)^8}.
$$

Теперь настал черёд и для применения формулы (2):

$$
intfrac{frac{11}{4^8}dx}{left(x+frac{19}{4}right)^8}=-frac{frac{11}{4^8}}{(8-1)left(x+frac{19}{4} right)^{8-1}}+C=
-frac{frac{11}{4^8}}{7left(x+frac{19}{4} right)^7}+C=-frac{11}{7cdot 4^8 left(x+frac{19}{4} right)^7}+C.
$$

Можно обойтись и без применения формулы (2). И даже без вынесения константы $4$ за скобки. Если учесть, что $dx=frac{1}{4}d(4x+19)$, то получим:

$$
intfrac{11dx}{(4x+19)^8}=11intfrac{dx}{(4x+19)^8}=frac{11}{4}intfrac{d(4x+19)}{(4x+19)^8}=|u=4x+19|=\
=frac{11}{4}intfrac{du}{u^8}=frac{11}{4}int u^{-8};du=frac{11}{4}cdotfrac{u^{-8+1}}{-8+1}+C=\
=frac{11}{4}cdotfrac{u^{-7}}{-7}+C=-frac{11}{28}cdotfrac{1}{u^7}+C=-frac{11}{28(4x+19)^7}+C.
$$

Подробные пояснения по нахождению подобных интегралов даны в теме «Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала)».

3) Нам нужно проинтегрировать дробь $frac{4x+7}{x^2+10x+34}$. Эта дробь имеет структуру $frac{Mx+N}{x^2+px+q}$, где $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Однако чтобы убедиться, что это действительно элементарная дробь третьего типа, нужно проверить выполнение условия $p^2-4q < 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $intfrac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь – банально использовать формулу (3). Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$
intfrac{4x+7}{x^2+10x+34}dx = frac{4}{2}cdot ln (x^2+10x+34)+frac{2cdot 7-4cdot 10}{sqrt{4cdot 34-10^2}} arctgfrac{2x+10}{sqrt{4cdot 34-10^2}}+C=\
=2cdot ln (x^2+10x+34)+frac{-26}{sqrt{36}} arctgfrac{2x+10}{sqrt{36}}+C
=2cdot ln (x^2+10x+34)+frac{-26}{6} arctgfrac{2x+10}{6}+C=\
=2cdot ln (x^2+10x+34)-frac{13}{3} arctgfrac{x+5}{3}+C.
$$

Решим этот же пример, но без использования готовой формулы. Попробуем выделить в числителе производную знаменателя. Что это означает? Мы знаем, что $(x^2+10x+34)’=2x+10$. Именно выражение $2x+10$ нам и предстоит вычленить в числителе. Пока что числитель содержит лишь $4x+7$, но это ненадолго. Применим к числителю такое преобразование:

$$
4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10)-13.
$$

Теперь в числителе появилось требуемое выражение $2x+10$. И наш интеграл можно переписать в таком виде:

$$
intfrac{4x+7}{x^2+10x+34} dx= intfrac{2cdot(2x+10)-13}{x^2+10x+34}dx.
$$

Разобьём подынтегральную дробь на две. Ну и, соответственно, сам интеграл тоже «раздвоим»:

$$
intfrac{2cdot(2x+10)-13}{x^2+10x+34}dx=int left( frac{2cdot(2x+10)}{x^2+10x+34}-frac{13}{x^2+10x+34} right); dx=\

=int frac{2cdot(2x+10)}{x^2+10x+34}dx-intfrac{13dx}{x^2+10x+34}=2cdotint frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}-13cdotintfrac{dx}{x^2+10x+34}.
$$

Поговорим сперва про первый интеграл, т.е. про $int frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}$. Так как

$$d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)’dx=(2x+10)dx,$$

то в числителе подынтегральной дроби расположен дифференциал знаменателя. Короче говоря, вместо выражения $(2x+10)dx$ запишем $d(x^2+10x+34)$.

Теперь скажем пару слов и о втором интеграле. Выделим в знаменателе полный квадрат: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Кроме того, учтём $dx=d(x+5)$. Теперь полученную нами ранее сумму интегралов можно переписать в несколько ином виде:

$$
2cdotint frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}-13cdotintfrac{dx}{x^2+10x+34}
=2cdotint frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}-13cdotintfrac{d(x+5)}{(x+5)^2+9}.
$$

Если в первом интеграле сделать замену $u=x^2+10x+34$, то он примет вид $intfrac{du}{u}$ и возьмётся простым применением второй формулы из таблицы неопределенных интегралов. Что же касается второго интеграла, то для него осуществима замена $u=x+5$, после которой он примет вид $intfrac{du}{u^2+9}$. Это чистейшей воды одиннадцатая формула из таблицы неопределенных интегралов. Итак, возвращаясь к сумме интегралов, будем иметь:

$$
2cdotint frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}-13cdotintfrac{d(x+5)}{(x+5)^2+9}
=2cdotln(x^2+10x+34)-frac{13}{3}arctgfrac{x+5}{3}+C.
$$

Мы получили тот же ответ, что и при применении формулы (3), что, собственно говоря, неудивительно. Вообще, формула (3) доказывается теми же методами, кои мы применяли для нахождения данного интеграла. Полагаю, что у внимательного читателя тут может возникнуть один вопрос, посему сформулирую его:

Вопрос №1

Если к интегралу $int frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}$ применять вторую формулу из таблицы неопределенных интегралов, то мы получим следующее:

$$
int frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}=|u=x^2+10x+34|=intfrac{du}{u}=ln|u|+C=ln|x^2+10x+34|+C.
$$

Почему же в решении отсутствовал модуль?

Ответ на вопрос №1

Вопрос совершенно закономерный. Модуль отсутствовал лишь потому, что выражение $x^2+10x+34$ при любом $xin R$ больше нуля. Это совершенно несложно показать несколькими путями. Например, так как $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ и $(x+5)^2 ≥ 0$, то $(x+5)^2+9 > 0$. Можно рассудить и по-иному, не привлекая выделение полного квадрата. Так как $10^2-4cdot 34=-16 < 0$, то $x^2+10x+34 > 0$ при любом $xin R$ (если эта логическая цепочка вызывает удивление, советую посмотреть графический метод решения квадратных неравенств). В любом случае, так как $x^2+10x+34 > 0$, то $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, т.е. вместо модуля можно использовать обычные скобки.

Все пункты примера №1 решены, осталось лишь записать ответ.

Ответ:

Пример №2

Найти интеграл $intfrac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx$.

Решение

На первый взгляд подынтегральая дробь $frac{7x+12}{3x^2-5x-2}$ очень похожа на элементарную дробь третьего типа, т.е. на $frac{Mx+N}{x^2+px+q}$. Кажется, что единcтвенное отличие – это коэффициент $3$ перед $x^2$, но ведь коэффициент и убрать недолго (за скобки вынести). Однако это сходство кажущееся. Для дроби $frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ обязательным является условие $p^2-4q < 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

У нас коэффициент перед $x^2$ не равен единице, посему проверить условие $p^2-4q < 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4cdot 3cdot(-2)=49$. Итак, $D > 0$, посему выражение $3x^2-5x-2$ можно разложить на множители. А это означает, что дробь $frac{7x+12}{3x^2-5x-2}$ не является элементаной дробью третьего типа, и применять к интегралу $intfrac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx$ формулу (3) нельзя.

Ну что же, если заданная рациональная дробь не является элементарной, то её нужно представить в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать. Короче говоря, след воспользоваться схемой интегрирования рациональных дробей. Как разложить рациональную дробь на элементарные подробно написано тут. Начнём с того, что разложим на множители знаменатель:

$$
3x^2-5x-2=0;\
begin{aligned}
& D=(-5)^2-4cdot 3cdot(-2)=49;\
& x_1=frac{-(-5)-sqrt{49}}{2cdot 3}=frac{5-7}{6}=frac{-2}{6}=-frac{1}{3};\
& x_2=frac{-(-5)+sqrt{49}}{2cdot 3}=frac{5+7}{6}=frac{12}{6}=2.\
end{aligned}\
3x^2-5x-2=3cdotleft(x-left(-frac{1}{3}right)right)cdot (x-2)=3cdotleft(x+frac{1}{3}right)(x-2).
$$

Подынтеральную дробь представим в таком виде:

$$
frac{7x+12}{3x^2-5x-2}=frac{7x+12}{3cdotleft(x+frac{1}{3}right)(x-2)}=frac{frac{7}{3}x+4}{left(x+frac{1}{3}right)(x-2)}.
$$

Теперь разложим дробь $frac{frac{7}{3}x+4}{left(x+frac{1}{3}right)(x-2)}$ на элементарные:

$$
frac{frac{7}{3}x+4}{left(x+frac{1}{3}right)(x-2)}
=frac{A}{x+frac{1}{3}}+frac{B}{x-2}=frac{A(x-2)+Bleft( x+frac{1}{3}right)}{left(x+frac{1}{3}right)(x-2)};\
frac{7}{3}x+4=A(x-2)+Bleft( x+frac{1}{3}right).
$$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$ есть два стандартных пути: метод неопределённых коэффициентов и метод подстановки частных значений. Применим метод подстановки частных значений, подставляя $x=2$, а затем $x=-frac{1}{3}$:

$$
frac{7}{3}x+4=A(x-2)+Bleft( x+frac{1}{3}right).\

x=2;; frac{7}{3}cdot 2+4=A(2-2)+Bleft( 2+frac{1}{3}right); ; frac{26}{3}=frac{7}{3}B;; B=frac{26}{7}.\
x=-frac{1}{3};; frac{7}{3}cdot left(-frac{1}{3} right)+4=Aleft(-frac{1}{3}-2right)+Bleft( -frac{1}{3}+frac{1}{3}right); ;
frac{29}{9}=-frac{7}{3}A;; A=-frac{29cdot 3}{9cdot 7}=-frac{29}{21}.\
$$

Так как коэффициенты найдены, осталось лишь записать готовое разложение:

$$
frac{frac{7}{3}x+4}{left(x+frac{1}{3}right)(x-2)}=frac{-frac{29}{21}}{x+frac{1}{3}}+frac{frac{26}{7}}{x-2}.
$$

В принципе, можно такую запись оставить, но мне по душе более аккуратный вариант:

$$
frac{frac{7}{3}x+4}{left(x+frac{1}{3}right)(x-2)}=-frac{29}{21}cdotfrac{1}{x+frac{1}{3}}+frac{26}{7}cdotfrac{1}{x-2}.
$$

Возвращаясь к исходному интегралу, подставим в него полученное разложение. Затем разобьём интеграл на два, и к каждому применим формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

$$
intfrac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx
=intleft(-frac{29}{21}cdotfrac{1}{x+frac{1}{3}}+frac{26}{7}cdotfrac{1}{x-2}right)dx=\
=intleft(-frac{29}{21}cdotfrac{1}{x+frac{1}{3}}right)dx+intleft(frac{26}{7}cdotfrac{1}{x-2}right)dx
=-frac{29}{21}cdotintfrac{dx}{x+frac{1}{3}}+frac{26}{7}cdotintfrac{dx}{x-2}dx=\
=-frac{29}{21}cdotlnleft|x+frac{1}{3}right|+frac{26}{7}cdotln|x-2|+C.
$$

Ответ: $intfrac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx=-frac{29}{21}cdotlnleft|x+frac{1}{3}right|+frac{26}{7}cdotln|x-2|+C$.

Пример №3

Найти интеграл $intfrac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx$.

Решение

Нам нужно проинтегрировать дробь $frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}$. В числителе расположен многочлен второй степени, а в знаменателе – многочлен третьей степени. Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. $2 < 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$
frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}=-frac{3}{x-1}+frac{5}{x+4}-frac{1}{x-9}.
$$

Нам останется только разбить заданный интеграл на три, и к каждому применить формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

$$
intfrac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx=intleft(-frac{3}{x-1}+frac{5}{x+4}-frac{1}{x-9} right)dx=\=-3cdotintfrac{dx}{x-1}+
5cdotintfrac{dx}{x+4}-intfrac{dx}{x-9}=-3ln|x-1|+5ln|x+4|-ln|x-9|+C.
$$

Ответ: $intfrac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx=-3ln|x-1|+5ln|x+4|-ln|x-9|+C$.

Продолжение разбора примеров этой темы расположено во второй части.

Рассмотрим нахождение интеграла от рациональной дроби $frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} $, т.е.

Алгоритм нахождения интеграла от рациональной дроби следующий:

• Если дробь, стоящая в подынтегральном выражении, является неправильной, то необходимо преобразовать эту дробь в правильную дробь, выделив путем деления многочленов целое выражение.
• Знаменатель полученной дроби необходимо разложить на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений.
• Полученную рациональную дробь необходимо разложить на простейшие дроби, методом неопределенных коэффициентов.
• Вычислить интегралы от полученных простейших дробей.

«Интегрирование рациональных дробей» 👇

Возможны несколько случаев (1 и 2 самые простые — распишем подробно):

1 случай:

Корни знаменателя дроби являются действительными и все различны. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I типа.

Так как $Q_{n} (x)=(x-a)(x-b)…(x-d)$, то

Искомый интеграл

2 случай:

Корни знаменателя дроби являются действительными, причем некоторые из них являются кратными корнями. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I, II типов.

Так как $Q_{n} (x)=(x-a)^{alpha } (x-b)^{beta } …(x-d)^{delta } $, то

Искомый интеграл

$begin{array}{l} {int frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} dx=int left(frac{A_{1} }{x-a} +…+frac{A_{alpha } }{(x-a)^{alpha } } +frac{B_{1} }{x-b} +…+frac{B_{beta } }{(x-b)^{beta } } +…+frac{D_{1} }{x-d} +…+frac{D_{delta } }{(x-d)^{delta } } right)dx =} \ {=int frac{A}{x-a} dx +…+int frac{A_{alpha } }{(x-a)^{alpha } } dx +int frac{B}{x-b} dx +…+int frac{B_{beta } }{(x-b)^{beta } } dx +…+int frac{D}{x-d} dx +…+int frac{D_{delta } }{(x-d)^{delta } } dx =} \ {=A_{1} ln |x-a|+…+frac{A_{alpha } }{(1-alpha )(x-a)^{alpha -1} } +B_{1} ln |x-b|+…+frac{B_{beta } }{(1-beta )(x-b)^{beta -1} } +…+D_{1} ln |x-d|+…+} \ {+frac{D_{delta } }{(1-delta )(x-d)^{delta -1} } +C} end{array}$

3 случай:

Среди корней знаменателя дроби имеются комплексные корни и все из них различны. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I, II, III типов.

4 случай:

Среди корней знаменателя дроби имеются комплексные корни, причем некоторые из них являются кратными корнями. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I, II, III и IV типов.

Таким образом, интеграл от рациональной дроби может быть выражен через:

• логарифмы (интегрирование простейших рациональных дробей I типа);
• рациональные функции (интегрирование простейших рациональных дробей II типа);
• логарифмы и арктангенсы (интегрирование простейших рациональных дробей III типа);
• рациональные функции и арктангенсы (интегрирование простейших рациональных дробей IV типа).

Для выполнения интегрирования рациональных дробей вида $frac{1}{x^{2} +px+q} $ можно применять метод, при котором в знаменателе выделяют полный квадрат, после чего интеграл приводится к табличному:

Интегрирование дробно-рациональных выражений

Выражение
вида

называется дробно-рациональной
функцией
или рациональной
дробью,

— многочлен степени m,

— многочлен степени n.
Рациональная дробь называется правильной,
если m
< n,
неправильной
– если
.
Если под интегралом находится неправильная
рациональная дробь, то нужно выделить
целую часть и найти остаток от деления.

Например,
если требуется найти интеграл от дроби
,
которая является неправильной (степень
многочлена в числителе больше степени
многочлена в знаменателе), то нужно
осуществить деление «уголком».

— целая часть,

— остаток от деления.

Дробь
раскладывается следующим образом:
.

В
дальнейшем находят интеграл от целой
и дробной части. Для нахождения интеграла
правильной дроби используется метод
неопределённых коэффициентов.

Метод неопределённых коэффициентов

Рассмотрим
правильную дробь
.
Всякий многочлен

имеет точно n
действительных или комплексно-сопряжённых
корней с учётом их кратности, и при этом
многочлен

может быть представлен в виде сомножителей,
содержащих корни этого многочлена.

Например,
,
где

— действительный корень кратности 1,

— действительный корень кратности 5,
многочлен

имеет два комплексно-сопряжённых корня,

— содержит 2 комплексно-сопряжённых
корня кратности 3.

Всякая правильная
рациональная дробь может быть представлена
в виде суммы четырёх типов простейших
дробей.

1.

2.
,
k
– кратность корня
.

3.

4.

— k
– кратность пары комплексно-сопряжённых
корней.

а)
Если в знаменателе

корень

— корень кратности 1, то ему соответствует
одна простейшая дробь 1-го типа.

б)
Если корень

имеет кратность k,
то ему соответствует сумма дробей 1-го
и 2-го типа до степени k
включительно, т.е.
.

Например,
для дроби
.

в)
Если многочлену

соответствует пара простых
комплексно-сопряжённых корней, то в
разложении

ему соответствует одна дробь 3-го типа.

г)
Если многочлену

соответствуют комплексные корни
кратности k,
то в разложении для

ему соответствует сумма дробей 3-го и
4-го типа до степени k
включительно, т.е.
.

Например, для дроби

Неизвестные
коэффициенты

необходимо определить так, чтобы левая
и правая части равенства (*) были равны
друг другу при любом х.
Определение этих коэффициентов проводится
методом неопределённых коэффициентов.

Правая часть (*)
приводится к общему знаменателю,
знаменатели отбрасываются и приравниваются
числители левой и правой частей (*).

Далее возможны
два пути:

1)
В правой части (*) группируются слагаемые
с одинаковой степенью х,
затем приравниваются коэффициенты при
одинаковых степенях х
в правой и левой части, из полученной
системы линейных алгебраических
уравнений находятся неизвестные
коэффициенты.

2)
В соответствии неизвестных коэффициентов
выбираются значения х
(лучше брать корни) и подставляются в
числители левой и правой части (*); также
получается система уравнений для
нахождения неизвестных коэффициентов.

Часто используются
комбинированно оба способа.

Таким образом,
интегрирование рациональных дробей
сводится к интегрированию четырёх типов
простейших дробей.

Интегрирование
дробей 1-го, 2-го и 3-го типов:

1.

2.

3.

.

Пример
1.

Решение.
Запишем
рациональную дробь без интеграла:
.
Она является правильной (степень
числителя меньше степени знаменателя).
В знаменателе находится квадратный
трёхчлен, корни которого равны
:

Значит, дробь можно
разложить на сумму двух дробей 1-го типа:

.

Приводим дроби к
общему знаменателю и записываем только
числители:

.

Подставляем
по очереди корни знаменателя вместо х
и решаем
уравнение относительно неопределённых
коэффициентов:

Подставляем
найденные коэффициенты

в разложение первоначального интеграла
и находим интеграл:

.

Пример
2.

Решение.
Дробь правильная. Знаменатель имеет
один действительный корень

и два комплексных
,
следовательно, дробь будет раскладываться
на сумму дробей 1-го и 3-го типа:

.

(*)

Подставляем
корень

в полученное равенство (*):

Для
того чтобы найти коэффициенты M
и N,
раскроем скобки в равенстве (*):

.

Вынесем
в правой части этого равенства

и

за скобки:

Таким
образом, коэффициенты в правой части
равенства сгруппированы по степеням
х.

Приравниваем
коэффициенты при соответствующих
степенях х
в левой и правой части равенства:

Коэффициент
А был
найден ранее, подставляем его значение
в систему и находим коэффициенты M
и N:

Подставляем
найденные коэффициенты A,
M,
N
в разложение первоначального интеграла
и находим интеграл:

Пример
3.

Решение.
Дробь неправильная, т.к. степень числителя
(4) больше степени знаменателя (3). Выделим
целую часть с помощью деления уголком:

Запишем отдельно
правильную дробь и её разложение на 3
дроби 1-го типа:

Пример
4.

Решение.
Дробь правильная. Знаменатель имеет
один действительный корень

кратности 1 и 1 действительный корень

кратности 3 (т.к. выражение (х
– 3) имеет степень 3), следовательно,
дробь будет раскладываться на сумму
дробей 1-го и 2-го типа:

.

Коэффициенты
А и

были найдены ранее, подставляем их
значения в систему и находим коэффициенты

и
:.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #