Как найти интерполированное значение - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Линейная интерполяция (или просто интерполяция)^[1]
— процесс нахождения промежуточных значений величины по ее известным значениям. Многие люди могут провести интерполяцию, полагаясь исключительно на интуицию, но в этой статье описан формализованный математический подход к проведению интерполяции.

Шаги

1
Определите величину, для которой вы хотите найти соответствующее значение. Интерполяция может быть проведена для вычисления логарифмов или тригонометрических функций или для вычисления соответствующего объема или давления газа при данной температуре.^[2] Научные калькуляторы в значительной степени заменили логарифмические и тригонометрические таблицы; поэтому в качестве примера проведения интерполяции мы вычислим давление газа при температуре, значение которой не указано в справочных таблицах (или на графиках).
- В уравнении, которое мы выведем, «x» будет обозначать известную величину, а «у» — неизвестную величину (интерполированное значение). При построении графика эти значения откладываются соответственно их обозначениям — величина «x» — по оси X, величина «у» — по оси Y.
- В нашем примере под «x» будет подразумеваться температура газа, равная 37 °С.
2
В таблице или на графике найдите ближайшие значения, расположенные ниже и выше значения «x». В нашей справочной таблице не приведено давление газа при 37 °С, но приведены значения давления при 30 °С и при 40 °С. Давление газа при температуре 30 °С = 3 кПа, а давление газа при 40 °С = 5 кПа.
- Так как мы обозначили температуру в 37 °С как «x», то теперь обозначим температуру в 30 °С как x₁, а температуру в 40 °С как x₂.
- Так как мы обозначили неизвестное (интерполированное) давление газа как «у», то теперь обозначим давление в 3 кПа (при 30 °С) как у₁, а давление в 5 кПа (при 40 °С) как у₂.
3
Найдем интерполированное значение. Уравнение для нахождения интерполированного значения можно записать в виде y = y₁ + ((x — x₁)/(x₂ — x₁) * (y₂ — y₁))^[3]
- Подставим значения x, x₁, x₂ и получим: (37 — 30)/(40 — 30) = 7/10 = 0,7.
- Подставим значения у₁, у₂ и получим: (5 — 3) = 2.
- Умножив 0,7 на 2, получим 1,4. Сложим 1,4 и у₁: 1,4 + 3 = 4,4 кПа. Проверим ответ: найденное значение 4,4 кПа лежит между 3 кПа (при 30 °С) и 5 кПа (при 40 °С), а так как 37 °С ближе к 40 °С, чем к 30 °С, то и окончательный результат (4,4 кПа) должен быть ближе к 5 кПа, чем к 3 кПа.
Реклама

Советы

Если вы умеете работать с графиками, вы можете сделать грубую интерполяцию, отложив известное значение по оси X и найдя соответствующее значение на оси Y.^[4] В приведенном выше примере можно построить график, на котором по оси X откладывается температура (в десятках градусов), а по оси Y — давление (в единицах кПа). На этом графике вы можете нанести точку 37 градусов, а затем найти точку на оси Y, соответствующую этой точке (она будет лежать между точками 4 и 5 кПа). Приведенное выше уравнение просто формализует процесс мышления и обеспечивает получение точного значения.
В отличие от интерполяции, экстраполяция позволяет вычислить приблизительные значения величины вне диапазона значений, приведенных в таблицах или отображенных на графиках.^[5]

Об этой статье

Эту страницу просматривали 98 219 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Download Article

Linear interpolation, also called simply interpolation or “lerping,”^[1] is the ability to deduce a value between two values explicitly stated in a table or on a line graph. While many people can interpolate on an intuitive basis, the article below shows the formalized mathematical approach behind the intuition.

Steps

1
Identify the value for which you want to find a corresponding value. Interpolation can be used for such things as finding a logarithm or trigonometric function value or for the corresponding gas pressure or volume for a given temperature in chemistry.^[2] Because scientific calculators have largely replaced logarithmic and trigonometric tables, we’ll use as our example for finding an interpolated value that of finding the pressure of a gas for a temperature whose value isn’t listed in the reference table or as a graph point.
- For the equation we’ll derive, we’ll represent the value that we want to find a corresponding value for as ‘’x’’ and the interpolated value we want to find as ‘’y’’. (We’ll use these labels, because on a graph, the value we know would be plotted on the horizontal, or x-axis, and the value we’re trying to find would be plotted on the vertical, or y-axis.)
- Our ‘’x’’ value will be the temperature of the gas, which for this example will be 37 °C (99 °F).
2
Find the closest values below and above the value of x in the table or on the graph. Our reference table doesn’t give a gas pressure for 37 °C (99 °F), but it does list values for 30 °C (86 °F) and 40 °C (104 °F). The gas pressure at 30 °C (86 °F) is 3 kilopascals (kPa) and the pressure at 40 °C (104 °F) is 5 kPa.
- Because we’re representing the temperature of 37 °C (99 °F) with ‘’x’’, we’ll represent the temperature of 30 degrees as ‘’x₁’’ and the value of 40 degrees as ‘’x₂’’.
- Because we’re representing the pressure were trying to find with ‘’y’’, we’ll represent the pressure of 3 kPa at 30 °C (86 °F) as ‘’y₁’’ and the pressure of 5 kPa at 40 °C (104 °F) as ‘’y₂’’.
Advertisement
3
Find the interpolated value mathematically. The equation for finding the interpolated value can be written as y = y₁ + ((x – x₁)/(x₂ — x₁) * (y₂ — y₁))^[3]
- Plugging in the values for x, x₁, and x_/2 in their places gives (37 – 30)/(40 -30), which reduces to 7/10 or 0.7.
- Plugging in the values for y₁ and y₂ at the end of the equation gives (5 – 3) or 2.
- Multiplying 0.7 by 2 gives a product of 1.4. Adding 1.4 to the value of y₁, or 3, gives a value of 4.4 kPa. Checking this against our original values, 4.4 falls between 3 kPa at 30 °C (86 °F) and 5 kPa at 40 °C (104 °F), and because 37 is closer to 40 than it is to 30, the result should be closer to 5 kPa than it is to 3 kPa.

Add New Question

Question

What is the interpolation of 27.5?

When you are doing a linear interpolation, you are approximating the function between points as a line. From there, you can find the estimated value at any point between them. Therefore, you cannot ask the interpolation of a single number — rather, you need multiple numbers to determine your line, and from there you can ask what value you would expect at a point.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

If you’re good at estimating distances on graphs, you can do a rough interpolation by eyeballing the position of a point against the x-axis to determine the corresponding y-value.^[4] If the example above had been plotted on a graph where the x-axis was marked in units of 10 °C (50 °F) and the y-axis in units of 1 kPa, you could approximate the position of 37 °C (99 °F) and then look at the y-axis to find a point not quite halfway between 4 and 5 kPa. The equation above simply formalizes the thinking process and provides a more precise value.
Related to interpolation is extrapolation, which is finding a corresponding value for a given value outside of the range of values listed in a table or concretely plotted on a graph.^[5]

Thanks for submitting a tip for review!

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 306,520 times.

Did this article help you?

Источник

Инструкция для онлайн калькулятора для нахождения линейной интерполяци

Укажите «х1» и «у1»
Укажите «х2» и «у2»
Укажите «х» при котором хотите найти «у»

Ответом будет посчитанный «у», который Вы сможете увидеть напротив вводимого значения «х», на графике или в разделе «Решение».
На графике искомые значения будут показаны красным цветом.
В разделе решение, в зависимости от заданных х1, у1, х2, у2 и х, будет определен метод расчета (интерполяция или экстраполяция).

Формула линейной интерполяции

 y = y1 + ((x – x1)/(x2 - x1) * (y2 - y1))

где:

y — искомое;
x — показатель для которого определяется значение (искомое);
x1 — наименьший показатель;
x2 — наибольший показатель;
y1 — значение наименьшего показателя;
y2 — значение наибольшего показателя.

Что такое интерполяция

Интерполяция — это способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Интерполяция использует значения некоторой функции, заданные в ряде точек, чтобы предсказать значения функции между ними. Перечисленные ниже методы предназначены для создания ряда с более высокой частотой наблюдений на основе ряда с низкой частотой. Например, вычислить ряд с квартальной динамикой на основе ряда годовых данных.

Предположим, что есть система несовпадающих точек x_i(i ϵ 0, 1, …, N) из некоторой области G. Значения функции f известны только в этих точках: y_i = f(x_i), i = 1, …, N.

Процесс интерполяции состоит в поиске такой функции f из заданного класса функций, что F(x_i) = y_i, i = 1, …, N.

Точки x_i являются узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.

Пары (x_i, y_i) являются точками данных (базовыми точками).

Разность между «соседними» значениями ∆x_i = x_i —x_i_— 1 — называют шагом интерполяционной сетки. Шаг может быть переменным или постоянным.

Функцию F(x) — интерполирующей функцией (интерполянтой).

Линейная интерполяция

При линейной интерполяции существующие точки данных М(x_i, y_i) (i = 0, 1, …, n) соединяются прямыми линиями и функция f(x) приближается к ломаной с вершинами в данных точках.

Уравнения каждого отрезка ломаной линии в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (x_i, x_i+1), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного полинома используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x_i, y_i) и (x_i+1, y_i+1), в виде:

Отсюда:

Геометрическая интерполяция

При геометрической интерполяции значения результирующей динамики пропорциональны значению инкремента и обратно пропорциональны фактору, вычисленному на основе инкремента. Инкремент экспоненциально зависит от логарифма относительного прироста исходной динамики, умноженного на длину периода результирующей динамики.

Рассмотрим принцип геометрического метода на примере вычисления квартальных данных на основе годовых.

X[t] – исходные данные по годам;
Inc[t] = exp(log(X[t+1] / X[t]) / 4) – значение инкремента;
Factor[t] = (1 + Inc[t] + Inc[t]^2 + Inc[t]^3) / 4 – значение фактора;
X[t,1], X[t,2], X[t,3], X[t,4] – квартальные данные в год t.

Из этого следует:

X[t,1] = X[t] / Factor[t];
X[t,2] = X[t] * Inc[t] / Factor[t];
X[t,3] = (X[t] * Inc[t]^2) / Factor[t];
X[t,4] = (X[t] * Inc[t]^3) / Factor[t].

Интерполяция для других динамик осуществляется аналогичным образом.

Интерполяция многочленом Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа — это многочлен минимальной степени, который принимает данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел (x₀, y₀), (x₁, y₁), …, (x_n, y_n), где все x_i различны (i = 0, 1, …, n), существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(x_i) = y_i.

В самом простом случае (n = 1) — это линейный многочлен и его график — прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил методику вычисления подобных многочленов:

Где базисные полиномы определяются по следующей формуле:

l_j(x) обладают свойствами:

являются многочленами степени n;
l_j(x_j)= 1;
l_j(x_i) = 0 при i ≠ j.

Из этого следует, что L(x), как линейная комбинация l_j(x), может иметь степень не больше n, и L(x_j) = y_j.

Источник

Интерполяция, интерполирование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Проще говоря: способ приближенного вычисления значения величины, находящегося между двумя известными значениями.

Примечание! Для удобства можно воспользоваться другими удобными формами для рассчета:

— Линейная интерполяция по графику

— Двойная интерполяция

Источник

Сервис интерполяции и экстраполяции онлайн (линейная интерполяция/экстраполяция) поможет вам вычислить значение линейной функции, имея в распоряжении f(x) в двух различных точках, а также рассчитает уравнение прямой.
Данный сервис автоматически определит нужный способ расчета — вам лишь надо ввести значения в двух произвольных точках, и указать необходимую точку, в которой нужно рассчитать значение.
Если установить «галку» внутри кнопки «Рассчитать», калькулятор будет рассчитывать значение автоматически при любом изменении входных данных. Пример расчета интерполяции

Интерполяция — (от латинского interpolatio изменение, переделка), в математике и статике это способ вычислить промежуточное значение функции по нескольким уже известным ее значениям.
Например.: Имеется функция f(x), известны результаты значения
f(x) в точке x₀ и точке x₂,
интерполяця помогает найти значение f(x₁) при условии что x₁ принадлежит
интервалу от x₀ до x₂. Если x₁ лежит
вне интервала (x₀, x₂), интерполяция не поможет, для этого нужно использовать «экстраполяцию».
Этот метод часто называют «линейная интерполяция«, он дает 100% верный результат для уравнения прямой.
Для вычесления резултата функций с двумя переменными существует «Билинейная интерполяция (Двойная интерполяция)».
Также для рассчета интерполяции можно воспользоваться сервисом Интерполяция — полином Ньютона и Интерполяция — полином Лагранжа

Экстраполяция — в математике и статике это способ вычислить значение функции по нескольким уже известным ее значениям. Например.: Имеется функция f(x),
известны результаты значения f(x) в точке x₁ и точке x₂, экстраполяция помогает найти
значение f(x₀) либо f(x₃) при условии что x₀ либо x₃ меньше либо
больше интервала x₁ до x₂. Если x_n лежит в
интервале (x₁, x₂), экстраполяция не поможет, для того вам нужно
использовать «интерполяцию» — для функций с одной переменной, и «двойная интерполяция» — для функций с двумя переменными.

Этот метод часто называют «линейная экстраполяция«, он дает 100% верный результат для уравнения прямой.

Как для интерполяции так и для экстраполяции в основе их
рассчета лежит пропорция (y1 — y0)/(y2 — y0) = (x1 — x0)/(x2 — x0), прирощение значения в первой точке к прирощению значения во второй точке относится также как прирощение переменной в первой точке к прирощению
переменной во второй точке (все относительно нулевой точки отсчета), из этой пропорции легко получить формулу рассчета любого значения

Источник