Как найти интервалы вогнутости выпуклости кривой

Содержание:

• Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
• Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале выпуклым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не выше любой
своей касательной (рис. 1).

График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале вогнутым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не ниже любой
своей касательной (рис. 2).

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

Читать дальше: асимптоты графика функции.

График функции
называется выпуклым в интервале
,
если он расположен ниже касательной,
проведенной в любой точке этого интервала
(рис.3).

График функции
называется вогнутым в интервале
,
если он расположен выше касательной,
проведенной в любой точке этого интервала
(рис. 4).

Достаточное
условие выпуклости (вогнутости).Пусть
функцияимеет вторую производную на интервале.
Тогда, еслина этом интервале, то функция выпукла,
если,
то график функции вогнутый на этом
интервале.

Точка графика
непрерывной функции
,
отделяющая его части выпуклости и
вогнутости, называетсяточкой перегиба(рис. 5).

Необходимое
условие точки перегиба. Если– точка перегиба функции,
то в этой точке вторая производная
функции либо равна нулю (),
либо не существует.

Точки, в которых
вторая производная функции равна нулю
или не существует, называются критическими
точками 2 –го рода.

Точки перегиба
следует искать среди критических точек
2- го рода.

Первое достаточное
условие точки перегиба. Пусть функцияимеет первую производную в точкеи вторую производную в некоторой
окрестности этой точки (кроме, быть
может самой точки). Тогда если при
переходе через точкувторая производная меняет знак, то— точка перегиба.

Второе достаточное
условие точки перегиба.Пусть в точкефункцияимеет производные до третьего порядка
включительно. Тогда если,
а,
то– точка перегиба этой функции.

1. Асимптоты.

Прямая
линияmназываетсяасимптотойграфика функции,
если расстояниеdот
точкиM, лежащей на
этом графике, до прямойmстремится к нулю при неограниченном
удалении этой точки по графику от начала
координат в бесконечность (Рис. 6 а),
б), в)).

б

в

а

Асимптоты бывают
трех видов: вертикальные (рис.6а), наклонные
(рис.6б) и горизонтальные (рис.6в).

Прямая
называетсявертикальной асимптотойграфика функции,
если хотя бы один из односторонних
пределовиравен бесконечности.

Обычно вертикальными
асимптотами являются прямые в точках
разрыва 2-го рода. Поэтому для отыскания
вертикальных асимптот определяют точки
бесконечного

разрыва
функции. Тогда уравнение вертикальных
асимптот
.
Вертикальные асимптоты могут быть и на
границе области определения функции.
Например, как у функции.

Прямая
называется
наклонной асимптотойграфика
функции
при(при),
если(соответственно,).

Уравнение наклонной
асимптоты к графику функции
ищем
виде,
где

(*)

и
(**)

Если хотя бы один
из пределов (*) и (**) не существует или
равен бесконечности, то кривая
наклонной асимптоты не имеет. Асимптоты
графика функцииприимогут быть разными. Поэтому при нахождении
пределов (*) и (**) следует отдельно
рассматривать случай, когдаи когда.

Частным случаем
наклонной асимптоты (при
)
являетсягоризонтальная асимптота.

Прямая
является горизонтальной асимптотой
графика функциипри(при)
тогда и только тогда, когда(соответственно,).

1. Общая
   схема исследования функции и построение
   графиков функций.

При построении
графика данной функции
целесообразно пользоваться следующей
схемой:

1. найти
   область определения функции;

2. исследовать
   функцию на четность, нечетность и
   периодичность;

3. найти
   точки пересечения графика с осями
   координат (если это возможно);

4. найти
   интервалы знакопостоянства функции
   (промежутки, на которых
   и);

5. найти
   асимптоты;

6. найти
   интервалы возрастания и убывания,
   экстремумы функции;

7. найти
   интервалы выпуклости и вогнутости,
   точки перегиба;

8. построить
   график функции.

Приведенная схема
исследования не является обязательной.
В более простых случаях достаточно
выполнить лишь несколько операций,
например 1, 3, 4, 6. Иногда бывает необходимым
вычислить несколько дополнительных
точек.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Выпуклая и вогнутая функция

При исследовании заданной функции и построении ее графика встречаются понятия выпуклая и вогнутая функция.

Если функция $y=f(x)$ является дифференцируемой, тогда необходимо рассмотреть следующие определения.

Схематическое изображение графиков выпуклой вниз (вогнутая функция) и выпуклой вверх (выпуклая) функций показано на рис.

Для нахождения интервалов выпуклости/вогнутости графика заданной функции необходимо использовать следующие теоремы.

«Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба» 👇

Правило дождя

Для облегчения запоминания данных теорем можно использовать так называемое «правило дождя» (см. рис.).

«Правило дождя»:

• если $f»(x)$
• если $f»(x)>0$ (знак «+» соответствует киванию головы вверх-вниз, т.е. «да»), то лужа образуется, а значит, дождь падает во впадину (выпуклость вниз).

Отметим, что график может быть выпуклым или вогнутым на всей области определения заданной функции, а может только на отдельных промежутках. В таких случаях промежутки выпуклости и вогнутости сменяют друг друга.

В примере 1 $x=0$ является точкой перегиба, так как при переходе через эту точку меняется поведение графика функции (в частности, с выпуклости на вогнутость).

Необходимое условие точки перегиба: В точке перегиба $(x_{0} ;y_{0} )$ вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба:

• $f'(x_{0} )$ непрерывна в окрестности заданной точки;
• $f»(x_{0} )=0$ или не существует в заданной точке;
• $f»(x)$ меняет знак на противоположный при переходе через заданную точку.

Учитывая все выше сказанное, составим алгоритм исследования выпуклости и вогнутости функции:

• нахождение первой производной $f'(x)$ заданной функции;
• нахождение второй производной $f»(x)$ заданной функции;
• определение точек, в которых $f»(x)$ равна нулю или не существует;
• исследование знака $f»(x)$ с помощью числовой прямой;
• определение промежутков выпуклости и вогнутости графика заданной функции;
• нахождение интервалов выпуклости и точки перегиба функции, если они существуют.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a;
b), если он расположен ниже любой своей касательной на
этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a;
b), если он расположен выше любой своей касательной на
этом интервале.

На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).

Примеры.

1. Полуокружность выпукла на [–1; 1].
2. Парабола y = x² вогнута на интервале (-∞; +∞).
3. График функции в одних интервалах может быть
   выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на
   [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π;
   2π).

Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить,
будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a;
b). Если во всех точках интервала (a;
b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f »(x) < 0, то график функции
на этом интервале выпуклый, если же f»(x) > 0 – вогнутый.

Доказательство.
Предположим для определенности, что f»(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M₀ с абсциссой x₀ Î (a; b) и проведем через точку M₀ касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y
= f(x). Обозначим ординату касательной,
соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при
одном и том же значении x будет .

Разность f(x)
– f(x₀) преобразуем по теореме
Лагранжа , где c между x и x₀.

Таким образом,

.

К выражению, стоящему в квадратных скобках
снова применим теорему Лагранжа: , где c₁ между c₀ и x₀. По условию теоремы f »(x) < 0. Определим знак
произведения второго и третьего сомножителей.

1. Предположим, что x>x₀. Тогда x₀<c₁<c<x,
   следовательно, (x – x₀)
   > 0 и (c – x₀) > 0. Поэтому .
2. Пусть x<x₀, следовательно, x < c
   < c₁ < x₀ и (x – x₀)
   < 0, (c – x₀) < 0. Поэтому вновь .

Таким образом, любая
точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x₀ Î
(a; b), а это значит, что кривая
выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Примеры.

1. Установить интервалы
   выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x².

   Найдем y » и определим, где вторая
   производная положительна и где отрицательна. y‘ = –2x, y» = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду
   выпукла.

2. y = e^x. Так как y» = e^x
   > 0 при любых x, то кривая всюду вогнута.

   

   

   

3. y = x³. Так как y» = 6x, то y» < 0 при x
   < 0 и y» > 0 при x
   > 0. Следовательно, при x < 0 кривая выпукла, а
   при x > 0 вогнута.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной
стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Определим достаточные
условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется
уравнением y = f(x). Если f »(x₀) = 0 или f »(x₀) не существует и при переходе
через значение x = x₀ производная f »(x) меняет знак, то точка
графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть
f »(x) < 0 при x
< x₀ и f
»(x) > 0 при x
> x₀. Тогда при x < x₀ кривая выпукла, а при x > x₀ – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с
абсциссой x₀ есть точка перегиба. Аналогично можно
рассматривать второй случай, когда f
»(x) > 0 при x
< x₀ и f
»(x) < 0 при x
> x₀.

Таким образом, точки перегиба следует искать только
среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы
выпуклости и вогнутости кривых.

1. 

   Найдем производные
   заданной функции до второго порядка.

   .

   . Вторая производная не существует при x =
   1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.

   Итак, точка
   перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞;
   1).

   

2. 

   Возможные точки
   перегиба найдем, решив уравнение 2x² – 1 = 0. Отсюда .

   Точки перегиба . Функция выпукла на и вогнута на .

   

3. y = ln (1 – x²). Область определения функции D(y) = (-1; 1).

   .

   при всех x из
   (–1; 1).

   Следовательно,
   f(x) выпуклая на (–1; 1).

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

При исследовании функции
важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от
начала координат.

Особый интерес
представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в
бесконечность неограниченно приближается к некоторой
прямой.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от
переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в
бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении
в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от
нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и
переходя с одной ее стороны на другую.

Если обозначим
через d расстояние от точки M
кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при
удалении точки M в бесконечность.

Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ

Пусть при x→ x₀ с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной
величине, т.е. или или . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x₀ является асимптотой. Очевидно и обратное,
если прямая x = x₀ является асимптотой, т. о. .

Таким образом, вертикальной
асимптотой графика функции y = f(x)
называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→
x₀ – 0 или x → x₀ + 0, x = x₀

Следовательно,
для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x₀, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный
разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x₀.

Примеры.

1. Найти вертикальные асимптоты графика функции .

   Так как , то прямая x =
   2 является вертикальной асимптотой.

2. .

   Прямая x = 0 – вертикальная асимптота.

НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ

Поскольку
асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту,
то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти
коэффициенты k и b.

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной
асимптотой при x → +∞
для графика функции y
= f(x) тогда и только тогда,
когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Доказательство. Пусть MP –
длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к
оси Ox. Тогда из ΔMNP
следует, что . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то , но

MN = MK – NK = y — y_ас = f(x) — (kx+b).

Следовательно, мы можем
записать следующее равенство .

Так как x → +∞, то должно
выполняться равенство . Но при постоянных k и b и . Следовательно, , т.е. .

Если число k
уже известно, то , поэтому .

Для
доказательства в случае x → –∞  все рассуждения аналогичны.

Докажем обратное
утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b.
Тогда несложно заметить, что выполняется равенство . Действительно

Следовательно,
прямая y = kx + b
есть асимптота. Теорема полностью доказана.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Теорема
показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела.
Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность,
то кривая асимптот не имеет.

Замечание 2. В случае,
когда k = 0 асимптота y = b
называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты
означает, что существуют пределы

.

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут
быть различны при x
→ +∞ и x
→ – ∞  и, следовательно, график функции может иметь две различные
асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

Примеры. Найти асимптоты кривых.

1. .
   1. Вертикальные:

      

      x = 0 – вертикальная асимптота.

   2. Наклонные:

      .

      При x → — ∞  получим те
      же значения k и b. Следовательно, прямая
      y = x + 2 является наклонной асимптотой.

2. y = e^–x sin x + x.
   1. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, следовательно,
      вертикальных асимптот нет.
   2.  

      а) .

      Итак, при x
      → +∞ наклонная асимптота у=
      х.

      б) , т. к.

      , поэтому при x
      → — ∞  наклонных асимптот нет.

3. y = x – 2arctg x.
   1. Вертикальных асимптот нет.
   2.  

      а) .

      . Наклонная асимптота y = x – π
      при .

      б) при .