Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции
С помощью онлайн-калькулятора можно найти точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции с оформлением решения в Word. Является ли функция двух переменных f(x1,x2) выпуклой решается с помощью матрицы Гессе.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба
Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке (a; b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Определение: Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)
- Найти вторую производную f’’(x).
- Найти критические точки II рода функции y=f(x), т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
- Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
- Вычислить значения функции в точках перегиба.
Пример 1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x2–x3
.
Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x2, f ‘’(x) = 12 – 6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0
. x=2.
f(2) = 6*22 – 23 = 16
Ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞)
; функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2)
; точка перегиба (2;16).
Пример 2. Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x3-6x2+2x-1
Пример 3. Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x3-6x2+12x+4
Точкой перегиба
функции называется такая точка
в которой выпуклость меняется на вогнутость.
Поясним вышесказанное на примере. Рассмотрим функцию, изображенную на рисунке.
Из графика следует, что на интервале
график функции является выпуклым вверх (или вогнутым вниз). На интервале
— выпуклым вниз (или вогнутым вверх). При этом точка
является точкой перегиба функции.
Интервалы выпуклости (вогнутости) функции легко найти, используя следующую теорему:
Если на некотором промежутке вторая производная функции положительна, тогда график функции является выпуклым вниз на этом промежутке. Если отрицательна — выпуклым вверх. Т.е.:
Стоит также отметить, что в точках перегиба функции вторая производная равна нулю и при переходе через такие точки меняет свой знак.
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет найти точки перегиба функции с описанием подробного хода решения.
bold{mathrm{Basic}} | bold{alphabetagamma} | bold{mathrm{ABGamma}} | bold{sincos} | bold{gedivrightarrow} | bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} | bold{sumspaceintspaceproduct} | bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} | bold{H_{2}O} | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Подписаться
Войдите, чтобы сохранять заметки
Войти
Номер Строки
Примеры
-
точки:перегиба:y=x^{3}-x
-
точки:перегиба:f(x)=x^4-x^2
-
точки:перегиба:f(x)=sqrt[3]{x}
-
точки:перегиба:f(x)=xe^{x^{2}}
-
точки:перегиба:f(x)=sin(x)
- Показать больше
Описание
Пошаговый поиск точек перегиба функций
function-inflection-points-calculator
ru
Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab
Functions
A function basically relates an input to an output, there’s an input, a relationship and an output. For every input…
Read More
Введите Задачу
Сохранить в блокнот!
Войти
Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости онлайн.
- : x^a
модуль x: abs(x)
- : Sqrt[x]
- : x^(1/n)
- : a^x
- : Log[a, x]
- : Log[x]
- : cos[x] или Cos[x]
Исследование функции по-шагам
Примеры исследуемых функций
- График логарифмической функции
-
y = log(x)/x
- График показательной функции
-
y = 2^x - 3^x
- График степенной функции
-
f(x) = x^5 - x^4 + x^2 - x + 1
- График гиперболы
-
f(x) = (x - 1)/(x + 1)
-
y = 1/x
- График квадратичной функции
-
x^2 - x + 5
- График тригонометрической функции
-
sin(x) - 2*cos(x) + 3*sin(2*x)
- Функция Гомпертца
-
e/2*e^(-e^-x)
-
e^(-e^-x)
-
-1/2*e^(-e^-x)
-
e^(-1/4*e^(-x))
-
e^(-e^(-2*x))
- Логистическая кривая
-
1/(1 + exp(-x))
Что исследует?
- Область определения функции. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль
- Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат
- Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции, а также локальные (или относительные) и глобальные (или абсолютные) минимумы и максимумы функции
- Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости)
- Вертикальные асимптоты: область определения функции, точки, где знаменатель функции обращается в нуль
- Горизонтальные асимптоты графика функции
- Наклонные асимптоты графика функции
- Четность и нечетность функции
Подробнее про Исследование функции
.
Указанные выше примеры содержат также:
- модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
-
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) -
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
-
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x) -
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) -
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) -
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) -
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x) -
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) -
знак числа:
sign(x) -
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x) -
Факториал от x:
x! или factorial(x) - Гамма-функция gamma(x)
- Функция Ламберта LambertW(x)
-
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)
Правила ввода
Можно делать следующие операции
- 2*x
- — умножение
- 3/x
- — деление
- x^2
- — возведение в квадрат
- x^3
- — возведение в куб
- x^5
- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
Постоянные
- pi
- — число Пи
- e
- — основание натурального логарифма
- i
- — комплексное число
- oo
- — символ бесконечности