Как найти инвариантные пространства оператора - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Помогаю со студенческими работами здесь

Понятия линейного многообразия и подпространства
Чем отличаются понятия линейных многообразия и подпространства?
По определениям из статей вики…

Выписать базис линейного подпространства
Добрый день! Дана такая задача:

Выписать базис линейного подпространства
L = left ( 3a -…

Найти все подпространства
В пространстве функций Span{sin(t),cos(t),…,sin(nt),cos(nt)}, n in N, найти все подпространства,…

Найти матрицу линейного оператора
5. Оператор Фи переводит векторы a1,a2,a3 соответственно в векторы b1,b2,b3 . Найти матрицу…

Найти матрицу линейного оператора
найти матрицу линейного оператора переводящего стандартный базис е1=(1,0,0),е2=(0,1,0).е3=(0,0,1)…

Найти матрицу линейного оператора
Может ли кто-нибудь помочь мне с этой задачей, пожалуйста.
Спасибо.

Наитй матрицу линейного…

Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Источник

Инвариантные подпространства

Определение инвариантных подпространств

Пусть mathcal{A}colon Vto V — линейное преобразование линейного пространства {V} . Линейное подпространство Ltriangleleft V называется инвариантным относительно преобразования , если образ любого вектора из принадлежит подпространству , т.е. mathcal{A}(mathbf{v})in L~ forall mathbf{v}in L . Другими словами, инвариантное подпространство включает свой образ mathcal{A}(L)colon, mathcal{A}(L)subset L . Нулевое подпространство {boldsymbol{o}} и все пространство {V} являются инвариантными подпространствами для любого линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V .

Пусть — инвариантное подпространство относительно преобразования mathcal{A}colon Vto V . Линейный оператор mathcal{A}colon Lto L , рассматриваемый как линейное преобразование пространства в себя, называется сужением (ограничением) линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V на инвариантное подпространство Ltriangleleft V и обозначается $mathcal{A}_Lcolon Lto L$ , или $Bigl.{mathcal{A}}Bigr|_{L}colon Lto L$ . Для всех векторов mathbf{v}in L выполняется равенство $mathcal{A}_L (mathbf{v})= mathcal{A}(mathbf{v})$ , т.е. forall mathbf{v}in L образы, порождаемые оператором и его сужением $mathcal{A}_L$ , совпадают.

Примеры инвариантных подпространств

Рассмотрим инвариантные подпространства линейных операторов (преобразований).

1. Для нулевого преобразования mathcal{O}colon Vto V любое подпространство Ltriangleleft V является инвариантным, так как mathcal{O}(L)= {boldsymbol{o}}subset L . Сужение нулевого преобразования $mathcal{O}_{L}colon Lto L$ является нулевым преобразованием.

2. Для тождественного преобразования mathcal{E}colon Vto V любое подпространство Ltriangleleft V является инвариантным, так как mathcal{E}(L)=L . Сужение тождественного преобразования $mathcal{E}_{L} colon Lto L$ является тождественным преобразованием.

3. Для центральной симметрии $mathcal{Z}_{boldsymbol{o}}colon Vto V$ любое подпространство Ltriangleleft V является инвариантным, так как $mathcal{Z}_{boldsymbol{o}}(L)=L$ . Сужение центральной симметрии $Bigl.{mathcal{Z}_{boldsymbol{o}}}Bigr|_{L}colon Lto L$ является центральной симметрией.

4. Для гомотетии $mathcal{H}_{lambda}colon Vto V$ любое подпространство Ltriangleleft V является инвариантным, так как $mathcal{H}_{lambda} (L)=L$ (при lambdane0 ). Сужение гомотетии $Bigl.{mathcal{H}_{lambda}}Bigr|_{L}colon Lto L$ является гомотетией.

5. Для поворота $mathcal{R}_{varphi}colon V_2to V_2$ плоскости (при varphinepi k,~ kinmathbb{Z} ) имеются два инвариантных подпространства: нулевое {vec{o}} и вся плоскость V_2 . Других инвариантных подпространств нет.

6. Для оператора дифференцирования $mathcal{D}colon P_n(mathbb{R})to P_n(mathbb{R})$ каждое из подпространств ${o(x)}triangleleft P_0(mathbb{R}) triangleleft P_1(mathbb{R})triangleleft ldotstriangleleft P_n(mathbb{R})$ является инвариантным, так как при дифференцировании степень многочлена уменьшается.

7. Рассмотрим оператор $Pi_{L_1}colon Vto V$ проектирования на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1oplus L_2, $Pi_{L_1}(mathbf{v}_1+ mathbf{v}_2)=mathbf{v}_1$ для $mathbf{v} =mathbf{v}_1+mathbf{v}_2,$ $mathbf{v}_1in L_1,~ mathbf{v}_2in L_2$ . Для этого оператора подпространства L_1 и L_2 инвариантные, так как $Pi_{L_1}(L_1)=L_1$ и $Pi_{L_1}(L_2)={boldsymbol{o}}subset L_2$ . Сужение оператора проектирования на подпространство L_1 является тождественным преобразованием $Bigl.{Pi_{L_1}}Bigr|_{L_1}=mathcal{E}$ , а сужение на подпространство L_2 — нулевым $Bigl.{Pi_{L_1}}Bigr|_{L_2}= mathcal{O}$ .

8. Рассмотрим оператор $mathcal{Z}_{L_1}colon Vto V$ отражения в подпространстве L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1oplus L_2, $mathcal{Z}_{L_1}(mathbf{v}_1+ mathbf{v}_2)=mathbf{v}_1-mathbf{v}_2$ для $mathbf{v} =mathbf{v}_1+mathbf{v}_2,$ $mathbf{v}_1in L_1,~ mathbf{v}_2in L_2$ . Для этого оператора подпространства L_1 и L_2 инвариантные, так как $mathcal{Z}_{L_1}(L_1)=L_1$ и $mathcal{Z}_{L_1}(L_2)=L_2$ . Сужение оператора отражения на подпространство L_1 является тождественным преобразованием $Bigl.{mathcal{Z}_{L_1} }Bigr|_{L_1}=mathcal{E}$ , а сужение на подпространство L_2 — центральной симметрией $Bigl.{mathcal{Z}_{L_1} }Bigr|_{L_2}=mathcal{Z}_{boldsymbol{o}}$ , так как $Bigl.{mathcal{Z}_{L_1} }Bigr|_{L_2}(mathbf{v}_2)=-mathbf{v}_2$ .

9. В пространстве V_3 радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки , рассмотрим поворот на угол varphinepi k,~ kinmathbb{Z} , вокруг оси , заданной радиус-вектором vec{l} . Подпространство L=operatorname{Lin}(vec{l}) инвариантно относительно этого преобразования, так как любой вектор, принадлежащий , не изменяется в результате поворота, т.е. отображается в себя. Подпространство $Pi=L^{perp}$ — радиус-векторов, принадлежащих плоскости, перпендикулярной оси вращения, также инвариантное, так как в результате поворота все эти радиус-векторы остаются в той же плоскости.

Свойства инвариантных подпространств

1. Если — инвариантное подпространство относительно обратимого линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V , то его сужение $mathcal{A}_Lcolon Lto L$ также обратимое линейное преобразование.

2. Для любого линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V ядро ker mathcal{A} и образ operatorname{im} mathcal{A} являются инвариантными подпространствами, так как

mathcal{A}(ker mathcal{A}) ={boldsymbol{o}}triangleleft ker mathcal{A} и mathcal{A}(operatorname{im} mathcal{A})triangleleft operatorname{im} mathcal{A}

3. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V , то — инвариантно относительно любой натуральной степени этого преобразования, причем

$mathcal{A}^m(L)triangleleft mathcal{A}^{m-1}(L)triangleleft ldotstriangleleft mathcal{A}(L)triangleleft mathcal{E}(L)=L.$

В самом деле, каждое из указанных множеств является линейным подпространством, так как это образы сужений линейных операторов, например, $mathcal{A}^m(L)=operatorname{im} (mathcal{A}_L)^m$ . Докажем, например, включение $mathcal{A}^2(L)triangleleft mathcal{A}(L)$ . Для любого $mathbf{w}in mathcal{A}^2(L)$ существует вектор mathbf{v}in mathcal{A}(L)triangleleft L , что mathbf{w}= mathcal{A}(mathbf{v}) . Следовательно, mathbf{w}in mathcal{A}(L) .

4. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V , то — инвариантно относительно любого многочлена от этого преобразования.

Теорема (9.2) о матрицах оператора и его сужения на инвариантное подпространство

Пусть mathcal{A}colon Vto V — линейное преобразование n-мерного пространства , а — подпространство, инвариантное относительно преобразования . Тогда существует базис $(mathbf{e})=(mathbf{e}_1,ldots, mathbf{e}_n)$ пространства , в котором матрица преобразования mathcal{A} имеет нулевой угол:

$A=begin{pmatrix}B!!&vline!!&C\hline O!!&vline!!& D end{pmatrix}!,$

где — матрица сужения $mathcal{A}_L$ преобразования на подпространство , — нулевая матрица размеров (n-ell)times ell,~ ell=dim{L} . И наоборот, если в некотором базисе (mathbf{e}) матрица преобразования имеет нулевой угол (нулевую матрицу размеров ), то преобразование mathcal{A} имеет ℓ-мерное инвариантное подпространство.

В самом деле, возьмем базис $mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_{ell}$ подпространства и дополним его векторами $mathbf{e}_{ell+1},ldots,mathbf{e}_n$ до базиса $mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n$ всего пространства . Раскладывая образы первых ell базисных векторов по этому базису, получаем

$mathcal{A}(mathbf{e}_i)= a_{1i}mathbf{e}_1+ldots+a_{ell i}mathbf{e}_{ell}+ 0cdot mathbf{e}_{ell+1}+ldots+0cdot mathbf{e}_{n},$

так как $mathcal{A}(mathbf{e}_i)in L,~ i=1,ldots,ell$ . Следовательно, последние (n-ell) элементов первых ell столбцов матрицы преобразования равны нулю. Обратное утверждение доказывается, проводя аналогичные рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если n-мерное пространство представлено в виде прямой суммы ненулевых инвариантных относительно преобразования mathcal{A} подпространств V=L_1oplusldotsoplus L_k , то существует базис, в котором матрица преобразования имеет блочно-диагональный вид

$A=operatorname{diag}(A_1,ldots,A_k)= begin{pmatrix}A_1&{}&O\ {}&ddots&{}\ O&{}&A_k end{pmatrix}!,$

где A_i — матрица сужения $mathcal{A}_{L_i}$ преобразования на подпространство L_i,~ i=1,ldots,k .

Например, рассмотрим операторы проектирования $Pi_{L_1}colon Vto V$ и отражения $mathcal{Z}_{L_1}colon Vto V$ . Объединяя базисы подпространств L_1 и L_2 , получаем базис пространства V=L_1oplus L_2 , в котором матрицы преобразований имеют блочно-диагональный вид

$Pi_{L_1}= begin{pmatrix}E!!&vline!!&O\hline O!!&vline!!&Oend{pmatrix}!,qquad Z_{L_1}= begin{pmatrix}E!!&vline!!&O\hline O!!&vline!!&-Eend{pmatrix}!.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Инвариантные подпространства

Пусть — линейное преобразование линейного пространства называется инвариантным относительно преобразования принадлежит подпространству , т.е. . Другими словами, инвариантное подпространство включает свой образ . Нулевое подпространство и все пространство .

Пусть — инвариантное подпространство относительно преобразования . Линейный оператор в себя, называется сужением (ограничением) линейного преобразования на инвариантное подпространство и обозначается , или . Для всех векторов выполняется равенство , т.е. образы, порождаемые оператором , совпадают.

Примеры инвариантных подпространств

Рассмотрим инвариантные подпространства линейных операторов (преобразований).

1. Для нулевого преобразования любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение нулевого преобразования является нулевым преобразованием.

2. Для тождественного преобразования является инвариантным, так как . Сужение тождественного преобразования является тождественным преобразованием.

3. Для центральной симметрии любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение центральной симметрии является центральной симметрией.

4. Для гомотетии любое подпространство является инвариантным, так как (при ). Сужение гомотетии является гомотетией.

5. Для поворота плоскости (при ) имеются два инвариантных подпространства: нулевое и вся плоскость . Других инвариантных подпространств нет.

6. Для оператора дифференцирования каждое из подпространств является инвариантным, так как при дифференцировании степень многочлена уменьшается.

7. Рассмотрим оператор проектирования на подпространство параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора подпространства и инвариантные, так как и . Сужение оператора проектирования на подпространство является тождественным преобразованием , а сужение на подпространство — нулевым .

8. Рассмотрим оператор отражения в подпространстве параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора подпространства и инвариантные, так как и . Сужение оператора отражения на подпространство является тождественным преобразованием , а сужение на подпространство — центральной симметрией , так как .

9. В пространстве радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки , вокруг оси инвариантно относительно этого преобразования, так как любой вектор, принадлежащий , не изменяется в результате поворота, т.е. отображается в себя. Подпространство

Свойства инвариантных подпространств

1. Если — инвариантное подпространство относительно обратимого линейного преобразования , то его сужение также обратимое линейное преобразование.

2. Для любого линейного преобразования ядро и

3. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования , то — инвариантно относительно любой натуральной степени этого преобразования, причем

В самом деле, каждое из указанных множеств является линейным подпространством, так как это образы сужений линейных операторов, например, . Докажем, например, включение . Для любого существует вектор , что . Следовательно, .

4. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования , то — инвариантно относительно любого многочлена от этого преобразования.

Теорема (9.2) о матрицах оператора и его сужения на инвариантное подпространство

Пусть — линейное преобразование n-мерного пространства — подпространство, инвариантное относительно преобразования пространства

где преобразования , . И наоборот, если в некотором базисе матрица ), то преобразование подпространства и дополним его векторами до базиса всего пространства базисных векторов по этому базису, получаем

так как . Следовательно, последние элементов первых столбцов матрицы Следствие. Если n-мерное пространство , то существует базис, в котором матрица преобразования имеет блочно-диагональный вид

где — матрица сужения преобразования .

Например, рассмотрим операторы проектирования и отражения . Объединяя базисы подпространств и , получаем базис пространства , в котором матрицы преобразований имеют блочно-диагональный вид

Инвариантные подпространства.

Пусть — некоторое подпространство пространства и . Вообще говоря, для произвольного вектор не обязательно принадлежит . Однако может случиться, что некоторые подпространства переходят сами в себя под действием оператора .

Определение. Линейное подпространство называется инвариантным относительно оператора , если .

Тривиальными инвариантными подпространствами является все пространство, а также подпространство, состоящее только из нуль-вектора.

Примеры. 1. Пусть в задан оператор поворота на некоторый угол вокруг оси . Инвариантными подпространствами являются, во-первых, ось вращения (одномерное инвариантное подпространство), во-вторых, плоскость , ортогональная оси вращения (двумерное инвариантное подпространство).

2. На плоскости задан оператор, растягивающий плоскость в раз вдоль оси и в раз вдоль оси :

Координатные оси в этом случае — одномерные инвариантные подпространства. В частности, при оператор есть преобразование подобия с коэффициентом , а любая прямая, проходящая через начало координат, есть инвариантное подпространство.

3. Рассмотрим в пространстве , оператор дифференцирования: . Совокупность многочленов степени образует инвариантное подпространство. Действительно, дифференцируя многочлен степени , мы получим многочлен, степень которого снова не превосходит .

4. Ядро и образ линейного оператора являются инвариантными подпространствами.

Особую роль в дальнейшем будут играть одномерные инвариантные подпространства.

Пусть — одномерное подпространство, порожденное вектором (совокупность векторов вида ). По определению, пространство инвариантно относительно оператора тогда и только тогда, если вектор , т.е. вектор кратен вектору : .

Определение. Вектор , удовлетворяющий соотношению , называется собственным вектором, а соответствующее число — собственным значением (характеристическим числом) оператора .

Итак, если — собственный вектор, то векторы образуют одномерное инвариантное подпространство. И наоборот: все ненулевые векторы одномерного инвариантного подпространства являются собственными.

Имеет место следующая

Основная теорема. В комплексном линейном пространстве каждый линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство. Пусть — комплексное -мерное линейное пространство и — произвольный базис в этом пространстве. И пусть оператор определяется в этом базисе матрицей . Тогда представляется в виде

а вектор — в виде

Пусть вектор — собственный для оператора , т.е. . В матричной записи это выглядит так:

Перепишем последнее условие в координатной форме:

Нам надо доказать, что система (1) имеет нетривиальное решение . Критерием нетривиальной совместности квадратной системы является равенство нулю ее определителя:

Получили уравнение -ой степени относительно , которое в поле комплексных чисел имеет хотя бы один корень (основная теорема алгебры). Подставляя в систему (1) этот корень, найдем ненулевое решение системы . Тогда вектор будет собственным вектором, а число — собственным значением оператора : .¨

Замечание. Доказательство теоремы остается в силе, если рассматривать оператор не во всем пространстве , а в любом его инвариантном подпространстве. Поэтому в любом инвариантном подпространстве существует хотя бы один собственный вектор оператора .

Определение. Многочлен , стоящий в левой части уравнения (2), называется характеристическим многочленом оператора , а само уравнение (2) — характеристическим (вековым) уравнением.

Следствие. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда это число – корень характеристического уравнения.

При переходе к другому базису матрица оператора (и оператора ) изменяется, но eё определитель остается неизменным. Поэтому будем обозначать характеристический многочлен = , подразумевая под матрицей матрицу линейного оператора в произвольном базисе. Теперь характеристическое уравнение кратко запишем так:

Представим характеристический многочлен в виде

Коэффициенты , построенные по матрице оператора , не зависят от выбора базиса, так как этим свойством обладает характеристический многочлен. Можно выразить явно через элементы матрицы . Очевидно, старший коэффициент . Мы обратим внимание на коэффициенты и , играющие наибольшую роль. Эти коэффициенты в силу теоремы Виета с точностью до знака совпадают: – с суммой, а – с произведением всех корней характеристического уравнения (всех собственных значений). Сумма называется следом матрицы и обозначается (от английского trace — след) или (от немецкого spur).

В заключение обратим внимание на одно важное свойство характеристического многочлена.

Теорема Гамильтона-Кэли. Если — характеристический многочлен матрицы , то . Иначе: всякая матрица обнуляет свой характеристический многочлен.

Пример. Для матрицы найдём собственные значения и собственные векторы.

Собственный вектор матрицы (оператора) определяется условием

Значит, координаты собственного вектора находятся как нетривиальное решение однородной линейной системы

Составим характеристическое уравнение :

Корни этого уравнения — собственные значения — .

Найдём собственный вектор , соответствующий собственному значению .

Поставим в систему (*) :

Отсюда находим (одна свободная неизвестная). Полагая, например, , получим . Первый собственный вектор с точностью до постоянного множителя определён: .

Найдём второй собственный вектор , соответствующий собственному значению . Поставим в систему (*) :

Отсюда находим , произвольно (свободная неизвестная). Полагая, например, , получим второй собственный вектор с точностью до постоянного множителя: .

Легко проверить, что найденные собственные векторы линейно независимы.

Убедимся, что данная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Для этого надо подставить матрицу в левую часть уравнения (**):

Источник

Def.
Подпространство WV
называется инвариантным
относительно оператора А: V®V,
если А(W)W.
Примеры. Всегда инвариантны всё
пространство V и его
нулевое подпространство. Кроме них (их
называют тривиальными)
у различных линейных операторов могут
быть, а может и не быть инвариантных
подпространств. Проверьте на наличие
нетривиальных инвариантных подпространств
следующие ЛП и их линейные операторы.

Упражнение
62.

А)
Пусть V – координатная
точечная плоскость (x,y),
f –поворот её вокруг точки
О=(0,0) на угол .

В)
E –трёхмерное координатное
(x,y,z)
пространство, f –поворот
его вокруг оси z на угол
.

С) V
– координатная точечная плоскость
(x,y), f
в стандартном базисе t₁=(1,0);
t₂=(0,1) задаётся
матрицей

.
Найдите все (нетривиальные) инвариантные
подпространства этого оператора.

Особую
роль играют одномерные инвариантные
подпространства. Одномерное ЛП V–
это множество всевозможных «кратных»
одного вектора (вспомним главные
идеалы!), порождённые вектором х и
элементами  поля К
векторы х. Чтобы
АхÎV
нужно чтобы он тоже был кратен х.

Def.
Вектор х0,
удовлетворяющий равенству Аx=aх
называется собственным
вектором (eigenvector)
оператора А, элемент поля a,
ему отвечающий – собственным
значением или характеристическим
числом (eigenvalue).

Собственное
значение, как легко проверить (проверьте!)
не зависит от выбора вектора х во
множестве коллинеарных ему векторов
одномерного ЛП V.

Упражнение
63*.

Собственные
векторы e₁,
e₂,…,e_nотвечающие попарно различным
собственным значениям линейно независимы.
(hint:
induction)

Упражнение
64.

Множество
всех собственных векторов, отвечающих
одному и тому же собственному значению,
вместе с нулевым вектором образуют
инвариантное подпространство. (Доказать).

Упражнение
65.

Пусть
линейные операторы А и В коммутируют:
АВ=ВА. Докажите, что подпространство
R(a) всех
собственных векторов A,
отвечающих собственному значению a
( плюс 0) инвариантно относительно
В.

Упражнение
66. Как выглядит матрица оператора
АL_К(V,V),
имеющего инвариантные подпространства
V₁иV₂
такие, что V=V₁V₂?

Def.
Пусть E=VÅW.
Тогда любой вектор хÎЕ
разлагается (и при том однозначно!) в
сумму векторов из V и W:
x=v+w.
Оператор р:x
v
называется проектором
или оператором проектирования
Е на V параллельно
W (или ассоциированным
с разложением E=VÅW).
Очевидны следующие два свойства этого
оператора (равно как и его линейность):
Imp=V и

(иными словами, р:E®Vсюръективно
и р(х)=х xV)

Упражнение
67.

Докажите,
что и обратно, оператор, обладающий
этими свойствами (а именно, что

на V=Imp),
является проектором. Докажите, что,
таким образом, устанавливается биекция
между дополнениями W к
подпространству V в Е и
проекторами Е на V. Докажите,
что проекторы удовлетворяют уравнению
р²=р (это означает, что р(р(х))=р(х)
xЕ)
и что это свойство проекторов является
характеристическим (то есть, его можно
принять за определение проекторов), а
именно, если некий оператор р обладает
таким свойством (р²=р), то он –
проектор.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

malykh89 писал(а):

имелось в виду последнее, но откуда взялось число $2^n-1$ ?

Такое количество инвариантных подпространств будет в случае, когда все собственные числа — ненулевые, вещественные и разные. Это число всех возможных сочетаний из $n$ собственных векторов за исключением пустого сочетания.

malykh89 писал(а):

и как доказать, что больше инвариантных подпространств нет?

Я ошибся, посчитав это число максимальным и полностью упустив из рассмотрения случай кратных собственных чисел (корней характеристического уравнения). Если у характеристического уравнения существует хотя бы один ненулевой кратный корень (неважно действительный или комплексный), то число инвариантных подпространств будет бесконечным.

Но Вам, похоже, это было всегда известно.

Добавлено спустя 40 минут 30 секунд:

Brukvalub писал(а):

Александр Т. писал(а):

Если это так, то нужно найти все собственные числа оператора k (т.е. собственные числа его матрицы).

А как это сделать, если нет алгоритма решения полиномиальных уравнений степени 5 и выше :shock:

Я думал, что речь идет о каком-то конкретном операторе, для которого эти числа можно найти, а автор темы просто обобщил вопрос. (Рядом там было написано «операторы, срочно».)

Brukvalub писал(а):

Александр Т. писал(а):

Можно, правда, предположить, что подпространство называется инвариантным относительно некоторого оператора, если любой его ненулевой элемент при действии этого оператора преобразуется в какой-либо ненулевой элемент, принадлежащий этому же подпространству.

Интересное дело — Вы беретесь разъяснять вопрос, не зная даже стандартных

определений объектов, о которых спрашивается в этом вопросе :shock:

Ну, правилами форума это, вроде бы, не запрещено. (Может быть, хотя бы для разделов типа «помогите помочь разобраться» имело бы смысл ввести такие ограничения и банить всех тех, кто их нарушает?)

Brukvalub писал(а):

Александр Т. писал(а):

Для конечномерного ( $n$ -мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее $2^n-1$ (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).

Это неверно. Рассмотрим тождественный оператор. Любое одномерное подпространство является для него собственным. Даже в двумерном пространстве можно построить континуум разных одномерных подпространств

Согласен.

Источник