Как найти инверсию матрицы

Матрица BB является обратной матрицей к квадратной матрице AA, если AB=BA=EAB = BA = E.
Из определения можно понять, что обратная матрица BB будет квадратной матрицей аналогичного порядка, какой имеет матрица AA (иначе какое-либо из произведений ABAB или BABA будет не определено).
Обратная матрица для исходной матрицы AA определяется так: A−1A^{-1}. Можно утверждать, что если A−1A^{-1} существует, то AA−1=A−1A=EAA^{-1} = A^{-1} A= E.
Также легко видеть, что (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A.

Если детерминант матрицы является нулем, то обратную к ней матрицу нельзя получить.

Онлайн-калькулятор

Квадратную матрицу AA можно назвать вырожденной матрицей тогда, когда определитель матрицы AA равен нулю, и невырожденной, если определитель не равен нулю.

Важно

В том случае, если обратная матрица может существовать, то она будет единственной.

Формула для вычисления обратной матрицы

Обратную матрицу A−1A^{-1} к матрице AA можно найти по формуле:

A−1=1det⁡A⋅A∗A^{-1}=frac{1}{det A}cdot A^*

det⁡Adet A — определитель матрицы A,A,

A∗A^* — транспонированая матрица алгебраических дополнений к матрице A.A.

Задача 1

Нужно найти обратную матрицу для следующей матрицы:

A=(1−20 342 −131)A = begin{pmatrix}
1& -2 & 0\
3 & 4 & 2\
-1& 3& 1 \
end{pmatrix}

Решение

Вычислим детерминант:

det⁡A=∣1−20342−131∣=1∣4231∣−(−2)∣32−11∣+0∣34−13∣=8det A = begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \
3 & 4 & 2 \
-1 & 3 & 1 \
end{vmatrix} = 1 begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} — (-2) begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} +0 begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 8

Так как det⁡A≠0det A neq 0, то матрица – невырожденная, и обратная для нее существует.

Посчитаем алгебраические дополнение:

A11=(−1)1+1∣4231∣=−2,A_{11} = (-1)^{1+1} begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = -2,

A12=(−1)1+2∣32−11∣=−5,A_{12} = (-1)^{1+2} begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = -5,

A13=(−1)1+3∣34−13∣=13A_{13} = (-1)^{1+3} begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 13,

A21=(−1)2+1∣−2031∣=2A_{21} = (-1)^{2+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = 2,

A22=(−1)2+2∣10−11∣=1A_{22} = (-1)^{2+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = 1,

A23=(−1)2+3∣1−2−13∣=−1A_{23} = (-1)^{2+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = -1,

A31=(−1)3+1∣−2042∣=−4A_{31} = (-1)^{3+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
4 & 2 \
end{vmatrix} = -4,

A32=(−1)3+2∣1032∣=−2A_{32} = (-1)^{3+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
3 & 2 \
end{vmatrix} = -2,

A33=(−1)3+3∣1−234∣=10.A_{33} = (-1)^{3+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
3 & 4 \
end{vmatrix} = 10.

Обратная матрица:

A−1=18(−22−4−51−213−110)A^{-1} = frac{1}{8} begin{pmatrix}
-2 & 2 & -4 \
-5 & 1 & -2 \
13 & -1 & 10 \
end{pmatrix}

Важно

Чтобы избежать ошибок, необходимо сделать проверку: для этого нужно посчитать произведение первоначальной матрицы на конечную. Если в результате получится единичная матрица, то вы нашли обратную матрицу безошибочно.

Задача 2

Найдите обратную матрицу для матрицы:

A=(13−25)A = begin{pmatrix}
1 & 3\
-2 & 5 \
end{pmatrix}

Решение

det⁡A=11≠0→A−1det A= 11 neq 0 rightarrow A^{-1} – существует.

A11=(−1)1+1⋅5=5A_{11} = (-1)^ {1+1} cdot 5 = 5,

A12=(−1)1+2⋅(−2)=2A_{12} = (-1)^ {1+2} cdot (-2) = 2,

A21=(−1)2+1⋅3=−3A_{21} = (-1)^ {2+1} cdot 3 = -3,

A22=(−1)2+2⋅1=1.A_{22} = (-1)^ {2+2} cdot 1 = 1.

Ответ:

A−1=111(5−321)A^{-1} = frac{1}{11} begin{pmatrix}
5 & -3 \
2 & 1 \
end{pmatrix}

Нами был рассмотрен способ нахождения матрицы с помощью алгебраических дополнений. Существует еще один способ, который называется методом элементарных преобразований.

Метод элементарных преобразований

Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:

1. перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
2. умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
3. прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы данным методом.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований

1. Из исходной матрицы AA и единичной матрицы EE того же порядка составить расширенную матрицу, т.е. матрицу вида (A∣E)begin{pmatrix}A|Eend{pmatrix}.
2. С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы получить единичную матрицу слева от черты: (E∣A−1)begin{pmatrix}E|A^{-1}end{pmatrix}.
3. Выписать обратную матрицу, которая находится справа от черты.

Задача 1

Найти матрицу K−1K^{-1}, если K=(1301)K=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}.

Из матрицы KK второго порядка и единичной матрицы второго порядка составим расширенную матрицу:

(1301∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -3:

(1301∣1001)∼(1001∣1−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-3\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

K−1=(1−301)K^{-1}=begin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

K⋅K−1=(1301)⋅(1−301)=(1⋅1+3⋅01⋅(−3)+3⋅10⋅1+1⋅00⋅(−3)+1⋅1)=(1001)Kcdot K^{-1}=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1cdot1+3cdot0&1cdot(-3)+3cdot1\0cdot1+1cdot0&0cdot(-3)+1cdot1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Задача 2

Найти матрицу F−1F^{-1}, если F=(110010033)F=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}.

Из матрицы FF третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка составим расширенную матрицу:

(110010033∣100010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:

(110010033∣100010001)∼(100010033∣1−10010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:

(100010033∣1−10010001)∼(100010003∣1−100100−31)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №3 на 13frac{1}{3}:

(100010003∣1−100100−31)∼(100010001∣1−100100−113)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{matrix}end{pmatrix}.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

F−1=(1−100100−113)F^{-1}=begin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

F⋅F−1=(110010033)⋅(1−100100−113)=(100010001)Fcdot F^{-1}=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Выполнение контрольных работ на заказ недорого от профильных авторов на бирже Студворк!

Понятие обратной матрицы

Матрица A⁻¹ считается обратной для матрицы A, если при умножении A⁻¹ на исходную матрицу получится новая матрица E, на главной диагонали которой расположены единицы, а вокруг них – нули. Образованная матрица E является единичной диагональной матрицей и может быть записана с помощью формулы: E=A×A⁻¹.

Инверсия матрицы существует лишь для квадратных матриц (с одинаковым количеством строк и столбцов) с детерминантом, не равном нулю. Такие матрицы называются невырожденными. 

Наиболее наглядно обратная матрица рассматривается на примере матрицы 3×3. Ее возможно обобщить с аналогичными произвольными матрицами. 

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Свойства обратных матриц

1. Обратное значение обратной матрицы A⁻¹ эквивалентно исходной матрице A: (A⁻¹)⁻¹=A.
2. Определитель исходной матрицы A соответствует обратному значению детерминанта обратной матрицы A⁻¹: |A|=1/|A⁻¹|.
3. Матрица, обратная матрице A, умноженной на коэффициент λ≠0, равна значению, полученному при умножении обратной матрицы A⁻¹ и обратного значения коэффициента λ, то есть (λ×A)⁻¹=A⁻¹/λ.
4. Обратное значение произведения обратимых матриц A и B с одинаковым числом строк и столбцов будет равно значению, полученному при умножении матриц, обратных исходным, то есть (A×B)⁻¹=B⁻¹×A⁻¹.
5. Обратная матрица транспонированной матрицы эквивалентна транспонированной обратной матрице (A⁻¹)^T=(A^T)⁻¹.

Метод Гаусса для решения

Метод Гаусса – это правило, применяющееся в решении СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). Данный метод имеет следующие плюсы:

1. Не нужно производить проверку системы уравнения на совместность.
2. Можно решать системы уравнений со следующими условиями:

• при равенстве числа определителей и неизвестных переменных;
• при несовпадении количества детерминантов и неизвестных переменных;
• при определителе, равном 0.

1. Ответ можно получить, выполнив относительно небольшое число вычислений.

Алгоритм решения

Исходная матрица имеет вид:

(A=begin{pmatrix}1&2\3&5end{pmatrix})

Нахождение обратной матрицы по правилу Гаусса необходимо выполнить в такой последовательности:

1. Записать матрицу, от которой необходимо выполнить преобразование в обратную. Рядом через вертикальную черту выполнить запись единичной диагональной матрицы аналогичного порядка:

(left(begin{array}{cc}1&2\3&5end{array}left|begin{array}{cc}1&0\0&1end{array}right.right))

2. Произвести поиск верхней треугольной матрицы по методу Гаусса. Это можно сделать двумя способами: разделить верхнюю строку на ее старший коэффициент или поменять верхнюю строку местами с той, где первый коэффициент равен 1. В данном примере поменяем верхнюю строку с нижней местами и получим:

(left(begin{array}{cc}1&2\3&5end{array}left|begin{array}{cc}0&1\1&0end{array}right.right))

3. Выполним умножение верхней строки матрицы на 3 и вычтем полученные произведения из нижней:

(left(begin{array}{cc}1&2\0&-1end{array}left|begin{array}{cc}0&1\1&-3end{array}right.right))

4. Данный шаг правила Гаусса именуют методом Жордана-Гаусса. В единичной диагонали, полученной в итоге предыдущих манипуляций, обнулим верхние правые элементы. Обнуление производится путем сложения верхней и удвоенной нижней строк:

(left(begin{array}{cc}1&0\0&-1end{array}left|begin{array}{cc}2&-5\1&-3end{array}right.right))

Теперь выполним деление нижней строки на −1:

(left(begin{array}{cc}1&0\0&1end{array}left|begin{array}{cc}2&-5\-1&3end{array}right.right))

Инверсия исходной матрицы A, будет выглядеть так:

(A^{-1}=begin{pmatrix}2&-5\-1&3end{pmatrix})

Решение задач методом Гаусса

Пример

Найти инверсию матрицы третьего порядка:

(A=begin{pmatrix}2&3&7\1&-5&2\3&-1&9end{pmatrix})

Решение:

1. Запишем справа от A единичную диагональную матрицу:

(left(begin{array}{ccc}2&3&7\1&-5&2\3&-1&9end{array}left|begin{array}{ccc}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{array}right.right))

Теперь необходимо выполнить преобразования, чтобы единичная диагональная матрица оказалась справа.

2. Первую и вторую строку поменяем местами:

(left(begin{array}{ccc}1&-5&2\2&3&7\3&-1&9end{array}left|begin{array}{ccc}0&1&0\1&0&0\0&0&1end{array}right.right))

3. Вторую строку суммируем с первой, умноженной на −2. Третью строку сложим с первой, умноженной на −3:

(left(begin{array}{ccc}1&-5&2\0&13&3\0&14&3end{array}left|begin{array}{ccc}0&1&0\1&-2&0\0&-3&1end{array}right.right))

4. Вторую сложим с третьей строкой, умноженной на −1:

(left(begin{array}{ccc}1&-5&2\0&-1&0\0&14&3end{array}left|begin{array}{ccc}0&1&0\1&1&-1\0&-3&1end{array}right.right))

5. Выполним умножение второй строки на −1:

(left(begin{array}{ccc}1&-5&2\0&1&0\0&14&3end{array}left|begin{array}{ccc}0&1&0\-1&-1&1\0&-3&1end{array}right.right))

6. Первую строку сложим с рядом чисел, полученных при умножении второй строки на 5. К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на −14:

(left(begin{array}{ccc}1&0&2\0&1&0\0&0&3end{array}left|begin{array}{ccc}-5&-4&5\-1&-1&1\14&11&-13end{array}right.right))

7. Произведем деление третьей строки на 3:

(left(begin{array}{ccc}1&0&2\0&1&0\0&0&1end{array}left|begin{array}{ccc}-5&-4&5\-1&-1&1\frac{14}3&frac{11}3&frac{-13}3end{array}right.right))

8. Сложим первую строку с умноженной на −2 третьей:

(left(begin{array}{ccc}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{array}left|begin{array}{ccc}frac{-43}3&frac{-34}3&frac{41}3\-1&-1&1\frac{14}3&frac{11}3&frac{-13}3end{array}right.right))

Значит, инверсия матрицы A равна:

(A^{-1}=begin{pmatrix}frac{-43}3&frac{-34}3&frac{41}3\-1&-1&1\frac{14}3&frac{11}3&frac{-13}3end{pmatrix})

Inverse of a Matrix is required to solve complex problems using matrix operations. For any matrix A its inverse is denoted as A^-1. Matrix is a rectangular array of numbers that is divided into rows and columns. It is a set of numbers that are organized in a defined number of rows and columns. The number of rows and columns in a matrix is referred to as its dimension or order. A matrix is illustrated by the array of numbers below. 

By convention, rows are listed first, followed by columns. Thus, the order of the matrix discussed above is 4 x 3, indicating that it contains 4 rows and 3 columns. Elements of the matrix are numbers that appear in the rows and columns of a matrix. The element in the first column of the first row in the above matrix is 1; the element in the second column of the first row is 2; and so on.

Inverse of a Matrix

The inverse of a matrix is another matrix that, when multiplied by the given matrix, yields the multiplicative identity. For matrix A and its inverse of A^-1, the identity property holds true.

A.A^-1 = A^-1A = I

where I is the identity matrix.

Term Related to Inverse of a Matrix

The terminology listed below can help you grasp the inverse of a matrix more clearly and easily.

Cofactor of a_ij = (-1)^i+j M_ij 

where M_ij is the minor of that element

• Determinant: The matrix’s determinant is equal to the sum of the product of the elements and their cofactors of a specific row or column of the matrix.
• Adjoint of Matrix: The adjoint of a matrix is the transpose of the cofactor matrix.

Inverse of a Matrix Formula

The inverse of matrix A, that is A^-1 is calculated using the inverse of matrix formula, which involves dividing the adjoint of a matrix by its determinant. 

where,

adj A = adjoint of the matrix A
|A| = determinant of the matrix A

How to Find Inverse of a Matrix?

The inverse of a matrix A can be computed by following the steps below:

Step 1: Determine the minors of all A elements.

Step 2: Next, compute the cofactors of all elements and build the cofactor matrix by substituting the elements of A with their respective cofactors.

Step 3: Take the transpose of A’s cofactor matrix to find its adjoint (written as adj A).

Step 4: Multiply adj A by the reciprocal of the determinant of A.

Now, for any non-singular matrix A,

A^-1 = 1 / |A| × Adj (A)

Example: Find the inverse of the matrix  using the formula.

We have, 

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A = 

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)

= 49

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = 

= 

Methods to Find Inverse of Matrix

The inverse of a matrix can be found using various methods. All the method yields the same result, some of the methods are discussed below in this article,

Method 1 (Determinant Method):

The most important method for finding the Inverse of the matrix is using a determinant this method is discussed below:

The inverse matrix is also found using the following equation:

A^-1= adj(A) / det(A)

where,
adj(A) is the adjoint of a matrix A, 
det(A) is the determinant of a matrix A.

For finding the adjoint of a matrix A the cofactor matrix of A is required. Then adjoint (A) is transpose of the Cofactor matrix of A i.e. 

adj (A) = [C_ij]^T

For the cofactor of a matrix, C_ij use the given formula:

Cij = (-1)^i+j det (M_ij)

where, M_ij refers to the (i, j)^th minor matrix when i^th row and j^th column is removed.

Method 2 (Elementary Transformation Method):

Inverse of any matrix can also be found using elementary operations. There are two elementary operations that are used for finding the Inverse of a Matrix. Let us take three matrices A, B, and X such as X = AB. For finding the inverse of the matrix we convert the given matrix into the Identity matrix.

For the inverse of matrix A, when A^-1 exists then for determining A^-1 using elementary operations use the following steps:

• Write the given matrix as A = IA, where I is the identity matrix of the order same as A.
• Use the sequence of either row operations or column operations till the identity matrix is achieved on the LHS also use similar elementary operations on the RHS such that we get I = BA. Thus, the matrix B on RHS is the inverse of matrix A.
• Make sure we either use Row Operation or Column Operation while performing elementary operations.

Inverse of 2 × 2 Matrix

Inverse of the 2 × 2 matrix can also be calculated using the shortcut method apart from the method discussed above. Use the steps given below to get the determinant of the 2 × 2 Matrix.

For given matrix A = 

|A| = (ad – bc)

adj A = 

then A^-1 =  (1 / |A|) × Adj A i.e.

A^-1 = 

Thus, the inverse of the 2 × 2 matrix is calculated.

Inverse of 3 × 3 Matrix

Inverse of 3 × 3 Matrix is calculated using the methods discussed above. Take any 3 × 3 Matrix A = 

Its inverse 3×3 matrix is calculated using the inverse matrix formula, 

A^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Determinant of Inverse Matrix

Determinant of the inverse of an invertible matrix is the reciprocal of the determinant of the original matrix. i.e., 

det(A^-1) = 1 / det(A)

The proof of above statement is discussed below:

det(A × B) = det (A) × det(B)  (already know)

A × A^-1 = I  (by Inverse matrix property)

det(A × A^-1) = det(I)

det(A) × det(A^-1) = det(I)     [ but, det(I) = 1]

det(A) × det(A^-1) = 1

det(A^-1) = 1 / det(A)

Proved.

Properties of Inverse of Matrix

The important properties of the Inverse of the matrix are discussed below

• For any non-singular matrix A, (A^-1)^-1 = A
• For any two non-singular matrices A and B, (AB)^-1 = B^-1A^-1
• Inverse of a non-singular matrix exists, for a singular matrix, the inverse does not exist.
• For any nonsingular A, (A^T)^-1 = (A^-1)^T

Also, Check

• How to find the Determinant of a Matrix?
• Determinant of a Matrix

Solved Example on Inverse of a Matrix

Example 1: Find the inverse of the matrix  using the formula.

Solution:

We have,

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A = 

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)

= –3

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = 

= 

Example 2: Find the inverse of the matrix A= using the formula.

Solution:

We have,

A=

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A = 

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)

= 16

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = 

= 

Example 3: Find the inverse of the matrix A= using the formula.

Solution:

We have,

A=

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A = 

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)

= 1

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = 

= 

Example 4: Find the inverse of the matrix A= using the formula.

Solution:

We have,

A=

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A = 

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)

= 20

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = 

= 

Example 5: Find the inverse of the matrix A= using the formula.

Solution:

We have,

A=

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A =

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 2(0–3) – 3(0–3) + 4(1–2)

= –1

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = 

= 

Example 6: Find the inverse of the matrix A= using the formula.

Solution:

We have,

A=

Find the adjoint of matrix A by computing the cofactors of each element and then getting the cofactor matrix’s transpose.

adj A = 

Find the value of determinant of the matrix.

|A| = 3(63–81) – 5(45–72) + 7(45–56)

= 4

So, the inverse of the matrix is,

A^–1 = 

= 

FAQs on the Inverse of a Matrix

Question 1: What is the inverse of a matrix?

Answer:

Reciprocal of a matrix is called the Inverse of a matrix. Only square matrices with non-zero determinants are invertible. Suppose for any square matrix A with inverse matrix B their product is always an identity matrix (I) of the same order.

[A]×[B] = [I]

Question 2: What is the inverse of a 3×3 matrix?

Answer:

The inverse of any square 3×3 matrix (say A) is the matrix of the same order denoted by A^-1 such that their product is an Identity matrix of order 3×3.

[A]_3×3 × [A^-1]_3×3 = [I]_3×3

Question 3: Are the adjoint of a matrix and the inverse of a matrix the same?

Answer:

No, the adjoint of a matrix and the inverse of a matrix are not the same. 

Question 4: How to use the Inverse of the Matrix?

Answer:

The inverse of a matrix is used for solving algebraic expressions in matrix form. For example, to solve AX = B, where A is the coefficient matrix, X is the variable matrix and B is the constant matrix. Here the variable matrix is found using the inverse operation as,

X = A^-1B

Question 5: What are invertible matrices?

Answer:

The matrices whose inverse exist are called invertible. Invertible matrices are matrices that have a non-zero determinant.

Как найти обратную матрицу

1. Быстрый способ для матриц $2 times 2$
   1. Пример 1
   2. Пример 2
2. Нахождение с помощью метода Гаусса
   1. Пример 3
   2. Пример 4
3. Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
   1. Пример 5

Обратная матрица обозначается $ A^{-1} $ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A neq 0 $.

Быстрый способ для матриц $2 times 2$

Пусть задана матрица $A = begin{pmatrix} a&b\c&d end{pmatrix}$. Для быстрого способа нахождения обратной матрицы необходимо поменять местами элементы стоящие на главной диагонали, а для оставшихся элементов поменять знак на противоположный. Затем каждый элемент разделить матрицы разделить на определитель исходной матрицы. Математическая формула выглядит следующим образом $$A^{-1} = frac{1}{det A} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix}.$$ 

Нахождение с помощью метода Гаусса

На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.

$$ Bigg (begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{matrix} Bigg | begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg ) $$

Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:

$$ Bigg (begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg | begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{matrix} Bigg ) $$

$$A^{-1} = begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{pmatrix}$$

Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)

Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом

$$A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T. $$

Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:

$$ A^* = begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{22}&A_{33} end{pmatrix}, text{ где } A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} $$

$M_{ij} $ называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-того столбца из матрицы.

Пример 5

Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений $$ A = begin{pmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{pmatrix} $$

Решение

Итак, пользуемся формулой $ A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T $ Первым делом вычисляем определитель матрицы $ A $, так как необходимым условием существование обратной матрицы является неравенство его к нулю: $$ |A| = begin{vmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{vmatrix} = 36 + 0 + 2 — 0 — 6 + 4 = 36 neq 0 $$ Находим алгебраические дополнения матрицы $ A $. Для этого удаляем все элементы стоящие в i-ой строке и в j-ом столбце. Оставшиеся элементы матрицы переписываем в определитель и проводим его вычисление. Вычеркиваем первую строку и первый столбец: $$ A_{11} = (-1)^{1+1} cdot begin{vmatrix} 3&-2\-1&4 end{vmatrix} = 12 — 2 = 10 $$ Убираем первую строку и второй столбец: $$ A_{12} = (-1)^{1+2} cdot begin{vmatrix} -1&-2\0&4 end{vmatrix} = -(-4 — 0) = 4 $$ Оставшиеся алгебраические дополнения находим по аналогии с предыдущими двумя. $$ A_{13} = (-1)^{1+3} cdot begin{vmatrix} -1&3\0&-1 end{vmatrix} = 1 — 0 = 1 $$ $$ A_{21} = (-1)^{2+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\-1&4 end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6 $$ $$ A_{22} = (-1)^{2+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\0&4 end{vmatrix} = 12 — 0 = 12 $$ $$ A_{23} = (-1)^{2+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\0&-1 end{vmatrix} = -(-3 — 0) = 3 $$ $$ A_{31} = (-1)^{3+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\3&-2 end{vmatrix} = -2 — 6 = -8 $$ $$ A_{32} = (-1)^{3+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\-1&-2 end{vmatrix} = -(-6 + 2) = 4 $$ $$ A_{33} = (-1)^{3+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\-1&3 end{vmatrix} = 9+1 = 10 $$ Составляем союзную (присоединенную) матрицу $ A^* $ из алгебраических дополнений: $$ A^* = begin{pmatrix} 10&4&1\-6&12&3\-8&4&10 end{pmatrix}. $$ Транспонируем её и обозначаем $ (A^*)^T $: $$ (A^*)^T = begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ В итоге находим обратную матрицу $ A^{-1} $: $$ A^{-1} = frac{1}{36} begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ Делим каждый элемент матрицы на 36 и получаем следующее: $$begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}.$$

Ответ

$$A^{-1} =begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}$$