Как найти искомое расстояние

Была ли эта статья полезной?

План урока:

Понятие перпендикуляра

Расстояния между плоскостями и прямыми

Теорема о трех перпендикулярах

Угол между прямой и плоскостью

Задачи на перпендикуляры, наклонные, расстояния

Понятие перпендикуляра

Пусть есть некоторая плоскость α и точка М в пространстве, не лежащая на α. Проведем через М прямую, перпендикулярную α. Она пересечет α в какой-нибудь точке К. Отрезок МК именуют перпендикуляром к плоскости α.

Если через М мы проведем ещё одну прямую, пересекающую α, то она пересечет α в какой-нибудь точке Н. В результате мы получим прямоугольный ∆МНК:

Запомним некоторые геометрические термины. В таком построении:

• отрезок МН – это наклонная;
• отрезок НК – это проекция наклонной, или просто проекция;
• К – основание перпендикуляра;
• Н – основание наклонной.

Заметим, что в ∆МНК отрезок МН – это гипотенуза, а МК – это катет. Напомним, что катет всегда меньше гипотенузы. Отсюда вытекает вывод – длина перпендикуляра всегда меньше длины наклонной (конечно, если они проведены из одной точки).

Это значит, что из всех отрезков, которыми можно соединить точку и плоскость, именно перпендикуляр будет кратчайшим. Поэтому его называют расстоянием между точкой и плоскостью.

Расстояния между плоскостями и прямыми

Докажем довольно очевидный факт:

Действительно, пусть α и β – параллельные плоскости. Выберем на α произвольные точки М и Р, а далее опустим перпендикуляры из точек М и Р на β, которые пересекут β в точках Н и К соответственно:

Так как МН и РК перпендикулярны плоскости α, то они параллельны. Но также и α||β. Тогда, по теореме 12 из этого урока, отрезки МН и РК одинаковы, ч. т. д.

Этот факт позволяет ввести понятия расстояния между параллельными плоскостями.

Уточним, что если плоскости пересекаются, то расстояние между ними не может быть определено.

Далее рассмотрим случай с плоскостью α и параллельной ей прямой m. Оказывается, и в этом случае точки прямой равноудалены от плоскости.

Действительно, отметим на m произвольную точку К. Далее через K проведем такую плоскость β, что α||β. Так как точки β равноудалены от α, то нам достаточно показать, что m будет полностью принадлежать β:

Так как m и β уже имеют общую точку K, то они m либо пересекает β, либо лежит в ней. Будем рассуждать от противного и предположим, что m и β пересекаются. Так как m||α, то в α можно построить прямую n, параллельную m. Если m пересекает β, то и nтакже должна ее пересекать (по теореме 3 из этого урока). Но если n пересекает β, то точка их пересечения будет одновременно принадлежать и β, и α. То есть у этих плоскостей будет общая точка. Но α и β параллельны и потому не могут иметь общих точек. Значит, на самом деле m и β НЕ пересекаются. Остается один вариант – m принадлежит β, ч. т. д.

Из этой теоремы вытекает понятие расстояния между прямой и плоскостью.

Уточним, что если плоскость и прямая не параллельны, то расстояние между ними определить нельзя.

Осталось понять, как определять расстояние между прямыми в пространстве. Для параллельных прямых определение расстояния известно ещё из курса планиметрии. Естественно, что для пересекающихся прямых расстояние определить невозможно. Остается только случай скрещивающихся прямых.

Пусть прямые m и n скрещиваются. Тогда через n можно построить плоскость α, параллельную m. И наоборот, через m возможно провести плоскость β, параллельную n:

Далее опустим из какой-нибудь точки m перпендикуляр на α. Обозначим этот перпендикуляр как р. Тогда через пересекающиеся прямые m и р можно провести единственную плоскость γ:

Заметим, что плоскости α и γ обязательно пересекутся по некоторой прямой m’, причем m’||m. Действительно, m’ и m не могут скрещиваться, ведь они находятся в одной плоскости γ. Не могут они и пересекаться, ведь в противном случае точка их пересечения была бы общей для m и α, а они параллельны и общих точек не имеют.

Также заметим, что прямые n и m’ пересекаются, ведь они располагаются в одной плоскости α. Параллельными они быть не могут, ведь тогда по свойству транзитивности параллельности получилось бы, что и n||m, а это не так. Обозначим точку пересечения n и m’ буквой K.

Далее через K в плоскости γ проведем прямую р’, параллельную р:

Теперь начнем рассуждения. Если р⊥α, то также р⊥m’. Так как р’||р, то и р’⊥m’, ведь прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, будет перпендикулярна и второй прямой. По этому же правилу из того факта, что m’||m и р’⊥m’ вытекает, что и m⊥р’. Наконец, если р⊥α, то р⊥n. Для ясности отметим все найденные нами прямые углы на рисунке:

В итоге получилось, что отрезок HK перпендикулярен и n, и m. По этой причине его называют общим перпендикуляром к прямым n и m. Именно он и считается расстоянием между скрещивающимися прямыми m и n.

Отдельно отметим, что HK – это ещё и общий перпендикуляр к α и β. Понятно, что так как р⊥α и р’||р, то и р’⊥α, то есть HK – перпендикуляр к α.

Теперь через точку H проведем прямую n’, параллельную n. Так как β||n, то n’ будет находиться в β (по теор. 6 в этом уроке).

Раз n||n’ и р’⊥n, то и р’⊥n’. Тогда получается, что в β есть сразу две пересекающихся прямых (это m и n’), которые перпендикулярны р’. Поэтому можно утверждать, что р’⊥β, то есть HK– перпендикуляр к β.

Отсюда сразу вытекает ещё один важный вывод – плоскости α и β параллельны, так как имеют общий перпендикуляр.

Итак, мы показали, что общий перпендикуляр можно построить для любых двух скрещивающихся прямых. Но можно построить ещё один такой перпендикуляр? Нельзя, и это можно показать.

Сначала заметим, что второй перпендикуляр нельзя провести через точку К, ведь в таком случае получалось бы, что к m проведены два различных перпендикуляра из одной и той же точки, что невозможно. Аналогично перпендикуляр не может проходить и через Н.

Предположим тогда, что второй перпендикуляр проходит через точки С и D, причем С находится на m, а D находится на n. То есть CD⊥m и СD⊥n:

Проведем через С прямую n’’, параллельную n. Раз СD⊥n и n||n’’, то и СD⊥n’’. При этом n’’ находится в β (это доказывается также, как и в случае с n’). Тогда получается, что в β есть две прямые, n’’ и m, каждая из которых перпендикулярна СD, и при этом n’’ и m пересекаются. Тогда CD⊥β. Из этого вытекает, что СD и HK параллельны, а потому через них можно провести плоскость δ. Этой плоскости будут принадлежать точки С, H, К и D. Но тогда в этой плоскости должны находиться прямые m и n, ведь они имеют с ней по две общих точки. Но m и n – скрещивающиеся прямые, то есть они никак не могут находиться в одной плоскости. Это противоречие означает, что второй общий перпендикуляр CD не существует.

Итак, из всех наших рассуждений мы можем сделать следующие выводы:

Теорема о трех перпендикулярах

Сформулируем важное утверждение, которое называют теоремой о трех перпендикулярах.

Проиллюстрируем теорему с помощью картинки:

Доказательство этой теоремы очень простое. Так как МК⊥α, то также МК⊥m. Теперь рассмотрим расположение плоскости МНК и прямой m. МК⊥m и HK⊥m. Тогда по признаку перпендикулярности можно утверждать, что m перпендикулярна всей плоскости HM, то есть каждой находящейся в ней прямой. В частности, m⊥HK, ч. т. д.

Оказывается, верно и обратное утверждение (так называемая обратная теорема о трех перпендикулярах):

Доказательство аналогично предыдущему. Так как m⊥MH и m⊥MK, то m⊥HMK. Отсюда вытекает, что и m⊥HK.

Угол между прямой и плоскостью

Проекция наклонной позволяет ввести такое понятие, как угол между прямой и плоскостью.

Пусть надо определить угол между прямой HM и плоскостью α:

Здесь надо просто построить перпендикуляр МК. В результате появится отрезок HK– проекция HM на α. Тогда угол между HM и HK, то есть ∠MHK, как раз и будет углом между HM и α.

Однако не всегда таким образом можно построить проекцию прямой. Проблемы возникнут, если прямая либо параллельна, либо перпендикулярна плоскости. В таких случаях используются такие правила:

Задачи на перпендикуляры, наклонные, расстояния

Рассмотрим несколько задач, в каждой из которых рассматривается куб АВСDEFGH. При этом предполагается, что ребро такого куба имеет длину, равную единице.

Задание. В кубе АВСDEFGH найдите расстояние между точкой А и гранью CDHG:

Решение. Ребро AD перпендикулярно грани DH (так как AD⊥DH и AD⊥CD). Поэтому как раз АD и является расстоянием между А и СDHG. Значит, оно равно единице.

Ответ: 1.

Примечание. Для решения следующих задач запомним, что ребро DH перпендикулярно грани АВСD. Вообще в кубе все ребра, пересекающиеся с гранями, перпендикулярны таким граням.

Задание. Найдите в кубе расстояние между вершиной А и плоскостью BDH:

Решение. Проведем на грани АВСD перпендикуляр АК из А к прямой BD:

Докажем, что АК – перпендикуляр в BDH. Для этого надо найти две прямые в BDH, перпендикулярные АК. Первая такая прямая – это BD (мы специально провели АК⊥BD). Вторая такая прямая – это DH. Действительно, DH перпендикулярна всей грани АВСD, а значит, и прямой АК.

Теперь найдем длину АК. Ее можно вычислить из прямоугольного ∆АКD. В нём ∠ADB =45°, ведь это угол между стороной квадрата АВСD и его диагональю.

Найти АК можно с помощью тригонометрии в ∆АКD:

Задание. Найдите расстояние от H до плоскости EDG:

Решение. Обозначим середину отрезка ЕD буквой М.Далее в ∆МНG опустим высоту из НК на сторону MG:

Попытаемся доказать, что HK – это перпендикуляр к EDG. Заметим, что ∆HDG и ∆EHG равны, ведь у них одинаковую длину имеют ребра DH, EH, ребро GH – общее, а ∠DHG и ∠EHG прямые. Тогда одинаковы отрезки EG и DG. Это означает, что ∆EGD – равнобедренный.

В ∆EGDMG– это медиана. Так как ∆EGD – равнобедренный, то MG одновременно ещё и высота, поэтому MD⊥MG.

Аналогично ∆EHD– равнобедренный (EH = HD), а потому MH в нем – и медиана, и высота. Поэтому MD⊥MH.

Получили, что MD перпендикулярен и MH, и MG, то есть двум прямым в плоскости MHG. Тогда MD перпендикулярен всей плоскости MHG, и, в частности, отрезку HK: HK⊥MD.

Но также MD⊥MG. Получается, KH перпендикулярен двум прямым в плоскости EDG, и потому он является перпендикуляром к плоскости EDG. Значит, именно его длину нам и надо найти.

Рассмотрим ∆MDH. Он прямоугольный, а ∠MDH = 45° (угол между стороной и диагональю квадрата). Тогда длину MH можно найти так:

Так как ребро GH перпендикулярно грани АЕНD, то ∆MHG – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора можно найти MG:

Далее можно найти HK разными способами, но проще воспользоваться подобием ∆MHG и ∆MKH. Они оба – прямоугольные, и у них есть общий угол ∠KMH, этого достаточно для подобия треугольников. Записываем пропорцию:

Здесь слева записано отношение сторон, лежащих против ∠KMH, а справа – отношение сторон, лежащих против прямых углов (то есть отношение гипотенуз). Используем пропорцию дальше:

Задание. Найдите расстояние между прямыми ВС и DH:

Решение. ВС и DH – скрещивающиеся. Надо найти общий перпендикуляр к ним. В данном случае он очевиден – это отрезок CD. Действительно, CD⊥ВС как стороны квадрата АВСD, но и DH⊥CD как стороны в другом квадрате, СDHG.. Длина же ребра CD равна единице, ведь у куба все ребра одинаковы.

Ответ: 1.

Задание. Каково расстояние между прямыми ВС и DG:

Решение.На грани СDHG опустим из С перпендикуляр СК на диагональ GD:

Будет ли СК являться расстоянием между ВС и DG? Ясно, что СК⊥DG. При этом ребро ВС перпендикулярно грани СGHD, так как ВС⊥СG и ВС⊥СD. Значит, также ВС⊥СК. То есть СК – общий перпендикуляр к ВС и DG, и по определению как раз и является искомым расстоянием.

Длину СК найдем из прямоугольного ∆СKG. ∠СGK составляет 45°, ведь это угол между диагональю DG и стороной квадрата СG. Тогда можно записать:

Задание. Найдите расстояние между ребрами АВ и HG:

Решение. Здесь ребра АВ и HG параллельны, так как каждая их них параллельна ребру CD. Проведем отрезок АН. Так как и АВ, и HG перпендикулярны грани АЕНD, то эти ребра одновременно перпендикулярны и АН. То есть АН – общий перпендикуляр к АВ и HG, и поэтому именно его длину и надо найти.

Сделать это можно из прямоугольного ∆АНD, в котором ∠НАD составляет 45°:

Задание. Чему равно расстояние между ребром AB и диагональю FD:

Решение. Пусть А₁, D₁, H₁ и Е₁ – середины ребер АВ, DC, HG, и EF соответственно. Проведем через А₁, D₁, H₁ плоскость. Диагональ FD пересечет ее в какой-нибудь точке К:

Сначала покажем, что плоскости α и ADH (то есть нижняя грань) параллельны.

Заметим, что в четырехугольнике АА₁D₁D стороны АА₁ и DD₁ параллельны (ведь они лежат на сторонах квадрата АВСD) и одинаковы (ведь они составляют половину от длины ребер АВ и CD, то есть имеют длину 0,5). Тогда АА₁D₁D – параллелограмм. Более того, раз у него есть прямые углы ∠А₁АDи ∠АDD₁, то можно утверждать, что АА₁D₁D – прямоугольник. Тогда АD||A₁D₁. Аналогично можно показать, что DHH₁D₁ – прямоугольник, и DH||D₁H₁.

Далее можно действовать разными способами. Первый способ – это использование признака параллельности плоскостей (теорема 9 из этого урока). Так как в α есть пересекающиеся прямые А₁D₁и D₁H₁, а в плоскости ADH находятся прямые AD и DH, и АD||A₁D₁, и DH||D₁H₁, то по этому признаку α||ADH.

Однако, если этот признак вдруг оказался «забыт», то можно использовать отрезок DD₁. Он перпендикулярен и грани ADHE, и плоскости α, ведь в каждой из них есть по две прямых, перпендикулярных ему. Это AD и DH на грани ADHE и A₁D₁и D₁H₁ в α. Тогда α и ADH перпендикулярны одной и той же прямой, а потому они параллельны. Так или иначе, мы выяснили, что α||ADH.

Отсюда вытекает, что α должна проходить через середину Е₁. Действительно, расстояние между параллельными плоскостями не зависит от выбора точек измерения. В данном случае оно равно отрезку АА₁, то есть 0,5. Но FE– это также общий перпендикуляр к α и ADH. Значит, α пересекает FE в точке, находящейся на расстоянии 0,5 от Е. А это как раз и есть середина FE, то есть точка Е₁.

Далее докажем, что точка К, в которой прямая FD пересекает α – это середина отрезка Е₁D₁. Для этого удобно отдельно показать плоскость, проходящую через параллельные ребра FE и CD, то есть четырехугольник FEDC:

Заметим, так как ребра FE и CD перпендикулярны верхней и нижней грани, то они перпендикулярны и отрезкам FC и ED, то есть FEDC прямоугольник. Тогда FC||ED, и ∠Е₁FD = ∠D₁DF (накрест лежащие углы при секущей FD). ∠FKE₁ и ∠DKD₁ одинаковы уже как вертикальные углы. Тогда ∆FKE₁ и ∆DKD₁ подобны по 2 углам. Но отрезки FE₁ и DD₁ одинаковы как половины равных ребер FE и CD. Получается, что ∆FKE₁ и ∆DKD₁ равны, и поэтому Е₁К = KD₁. Это и значит, что К – середина Е₁D₁.

Также отметим, что Е₁D₁ – диагональ в четырехугольнике А₁Е₁Н₁D₁. Докажем, что А₁Е₁Н₁D – это квадрат. Ранее мы уже показали, что АА₁D₁D и DHH₁D₁ – прямоугольники. Аналогично можно продемонстрировать, что прямоугольниками являются также АА₁Е₁Е и ЕЕ₁Н₁Н. Из этого вытекает равенство сторон:

То есть в А₁Е₁Н₁D₁ все стороны одинаковы, и эта фигура – ромб. Теперь надо показать, что и углы в этом четырехугольнике составляют 90°. Продемонстрируем это на примере ∠А₁D₁H₁. AD⊥CDHG и AD||A₁D₁, поэтому А₁D₁⊥CDHG. Значит, также А₁D перпендикулярна любой прямой на грани CDHG, в том числе и D₁H₁. То есть ∠А₁D₁H₁ = 90°. Но если в ромбе хотя бы один угол прямой, то он является квадратом.

Итак, мы выяснили, что А₁Е₁Н₁D₁ – квадрат, а К – середина его диагонали Е₁D₁. Получается, что К – точка пересечения диагоналей квадрата А₁Е₁Н₁D₁, ведь эта точка пересечения как раз делит диагонали пополам.

Теперь мы можем наконец доказать, что А₁К – это и есть искомое расстояние. Действительно, так как АВ – перпендикуляр к α, та А₁К принадлежит α, то А₁К⊥АВ. Но как же доказать, что А₁К⊥FD. Здесь поможет теорема о трех перпендикулярах. Е₁К – это проекция FK на α, и Е₁К⊥А₁К, ведь диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Раз отрезок А₁К перпендикулярен проекции, то он перпендикулярен и самой наклонной, то есть А₁К⊥FK.

Осталось лишь вычислить длину А₁К. Для этого по аналогии с предыдущими задачами используем прямоугольный∆А₁Е₁К, в котором ∠А₁Е₁К = 45°:

Отвлечемся от куба и рассмотрим другую задачу.

Задание. В ∆АВС вписана окружность. Через центр этой окружности (точку О) проведена прямая ОН, причем она перпендикулярна плоскости АВС. Верно ли, что точка Н находится на одинаковом расстоянии от прямых АВ, АС и ВС?

Решение. Пусть N, K и M – точки касания окружности и сторон АВ, АС и ВС соответственно. Тогда ОN, OK и OM– радиусы, а они должны быть перпендикулярны касательным, то есть

Заметим, что ОN, OK и OM – это также проекции прямых HN, HK и HM соответственно. Раз отрезки АВ, АС и ВС перпендикулярны этим проекциям, то они должны быть перпендикулярны и наклонным:

Это значит, что HN, HK и HM– это расстояния от H до сторон ∆АВС. Осталось показать, что они одинаковы. Это можно сделать с помощью ∆HON, ∆HOK и ∆HOM. Они все прямоугольные, причем катет OH– общий, а катеты ON, OM и OK одинаковы как радиусы одной окружности. Отсюда вытекает вывод, что эти треугольники равны, то есть одинаковы и их гипотенузы HN, HKи HM, ч. т. д.

Теперь снова вернемся к кубу, чтобы на практике научиться определять угол между прямой и плоскостью.

Задание. Найдите угол между ребром куба BD и гранью СDHG:

Решение. ВС – это перпендикуляр к грани СDHG, поэтому CD– проекция BD на грань СDHG. Тогда нам надо найти ∠BDC. Он составляет 45°, так как это угол между стороной и диагональю квадрата АВСD:

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите угол между ребром CD и плоскостью BDHF:

Решение. Нам надо из С опустить перпендикуляр на BDHF. Несложно догадаться, что для этого надо на грани ABCD опустить перпендикуляр СК на диагональ BD:

Действительно, СK⊥BD. Надо найти ещё одну прямую в BDHF, перпендикулярную СК. И такой прямой может быть BF. Так как BF перпендикулярна всей грани АВСD, то она обязательно перпендикулярна и СК. Получаем, что СК⊥BF и CK⊥BD, и тогда СK⊥BDHF.

Если СK– перпендикуляр, то KD – это проекция СD. Тогда искомый нами угол – это ∠СDK. Он равен 45°, ведь BD – диагональ квадрата АВСD, а CD – его сторона.

Ответ: 45°

Задание. Чему равен угол между прямой BD и плоскостью ABGH:

Решение. На нижней грани АЕНD опустим на АН перпендикуляр DK:

Заметим, что ребро АВ перпендикулярно грани АЕНD, поэтому KD⊥АВ. Но также KD⊥AH (мы специально построили так KD). Тогда можно утверждать, что KD – это перпендикуляр ко всей плоскости АВGH.

В таком случае BK – это проекция BD на AB. Значит, нам необходимо вычислить ∠DBK. Его можно найти из прямоугольного ∆DBK, но сперва надо вычислить длины сторон KD и BD.

ВD найдем из прямоугольного ∆ABD:

Теперь мы можем найти ∠DBK, а точнее его синус, из ∆DBK:

По таблице синусов легко определить, что ∠DBK = 30°.

Ответ: 30°.

В ходе сегодняшнего урока мы узнали о перпендикуляре к плоскости. Перпендикуляры используются для определения расстояний в стереометрии, а также угла между прямой и плоскостью.

Расстояние от точки до прямой в
пространстве

Расстояние от точки до плоскости в
пространстве – это длина перпендикуляра,
опущенного из этой точки на плоскость.

Алгоритм нахождения расстояния от точки до
плоскости:

1. Через точку проводим плоскость
   перпендикулярную данной плоскости. Для этого, на
   данной плоскости выбираем прямую. К этой прямой
   проводим две перпендикулярные прямые,
   образующие плоскость, проходящую через данную
   точку. Построенная плоскость и данная
   перпендикулярны по признаку перпендикулярности
   плоскостей.
2. В этой плоскости из данной точки опускаем
   перпендикуляр на линию пересечения плоскостей.
3. Длина перпендикуляра является искомым
   расстоянием от точки до плоскости.

1.	В кубе , ребра которого равны , найдите расстояние от точки B до плоскости . На данной плоскости выбираем прямую , перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямые АС и АВ. Прямые АС , АВ и данная точка В лежат в одной плоскости . Плоскости и перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей (). Из точки В опускаем перпендикуляр ВО на линию пересечения этих плоскостей – АС. ВО -искомое расстояние. Ответ: ВО=1.
2.	В кубе , ребра которого равны , найдите расстояние от точки B до плоскости . На данной плоскости выбираем прямую CD, перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямые и. Прямые, и точка В лежат в плоскости . Плоскости и перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей (). Из точки В опускаем перпендикуляр ВО на линию пересечения этих плоскостей – . ВО – искомое расстояние. Ответ: ВО=1.
3.	В единичном кубе найдите расстояние от точки В до плоскости . На данной плоскости выбираем прямую АС , перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямые и . Прямые , и точка B лежат в одной плоскости . Плоскости иперпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей (). Из точки В опускаем перпендикуляр ВК на линию пересечения этих плоскостей – . ВК – искомое расстояние. Ответ: .
4.	В единичном кубе найти расстояние от точки В до. На данной плоскостивыбираем прямую АС, перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямые ВD и D1O. Прямые BD, D1O и точка B лежат в одной плоскости . Плоскости и перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей () . Из точки B опускаем перпендикуляр ВК на линию пересечения этих плоскостей – . ВК – искомое расстояние. :; . Ответ:.
5.	В единичном кубе найти расстояние от точки В до плоскости. На данной плоскостивыбираем прямую , перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямыеи . Прямые , и точка В лежат в одной плоскости . Плоскости и перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей (). Из точки В опускаем перпендикуляр ВК на линию пересечения этих плоскостей – . Длина ВК – это искомое расстояние. : Ответ: .
6.	В единичном кубе найти расстояние от точки В до плоскости. Это тот случай, когда нужно сместить точку В по прямой DB параллельной (по признаку параллельности прямой и плоскости. BD параллельно ). На данной плоскости выбираем прямую ,перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямые и. Прямые ,и точка О лежат в одной плоскости. Плоскости и перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей (). Из точки О опускаем перпендикуляр ОК на линию пересечения этих плоскостей – . Длина ОК и есть искомое расстояние. Ответ: .
7.	В единичном тетраэдре DABC найдите расстояние от точки C до плоскости ADB. Проведем плоскость, проходящую через данную точку С и перпендикулярную плоскости ADB . Для этого в плоскоcти ADB выберем прямую АВ и к ней проведем две перпендикулярные прямые, образующие плоскость проходящую через точку С и перпендикулярную плоскости ADB по признаку перпендикулярности плоскостей. Одна прямая СК – высота треугольника АВС, вторая – DК, перпендикулярная АВ по теореме о трех перпендикулярах. В треугольнике DКС опустим перпендикуляр СТ на линию пересечения этих плоскостей DК . Длина СТ искомое расстояние. Ответ:
8.	В единичном тетраэдре DABC точка Е-середина DC. Найдите расстояние от точки D до плоскости АВЕ. Треугольники ADC и BDC равносторонние, поэтому высоты этих треугольников AЕ и BЕ, опущенные на общую сторону DC имеют общее основание Е. DE перпендикулярна AЕ и BЕ, поэтому DE перпендикулярна плоскости ABE по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. DE является расстоянием от точки D до плоскости ABE. Ответ: DE =0,5.
9.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равнынайдите расстояние от точки B до плоскости SDC. Для определения искомого расстояния нужно через точку В провести плоскость перпендикулярную плоскости SDC. В данной задаче удобнее определить искомое расстояние от точки К, лежащей на прямой АВ параллельной плоскости SDC и являющейся серединой ребра АВ. Через точку К проводим плоскость перпендикулярную плоскости SDC . Для этого проведем прямую КМ перпендикулярную DC и прямую SM перпендикулярную DM . SM перпендикулярна DM по теореме о трех перпендикулярах. Получили плоскость KSM перпендикулярную плоскости SDC . Из точки К опускаем перпендикуляр КТ на линию пересечения плоскостей SM. Длина КТ есть искомое расстояние. Ответ:
10.	В правильной четырехугольной пирамиде найти расстояние от точки D до плоскости SKM, где К и М – середины ребер АВ и ВС соответственно. Необходимо через точку D провести плоскость перпендикулярную данной SKM. Для этого на плоскости KMS выбираем прямую КМ, перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямые BD и SN. Прямые BD, SN и данная точка D лежат в одной плоскости SND. Плоскость SND перпендикулярна данной SKM по признаку перпендикулярности плоскостей (). Из точки А в плоскости SND опускаем перпендикуляр DP на линию пересечения плоскостей SN. Длина DP – искомое расстояние. Ответ:
11.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка К – середина ребра SA. Найти расстояние от точки C до плоскости KDB. Необходимо провести плоскость перпендикулярную DKB и проходящую через точку С. Для этого на плоскости DKB выбираем прямую DB и перпендикулярно ей проводим две пересекающиеся прямые АС и КО. следовательно. Из точки С опускаем перпендикуляр CN на линию пересечения плоскостей DBK и SCA KO. Длина CN – искомое расстояние. Ответ:

Решение задач по теме «Расстояние от
точки до прямой в пространстве» читайте здесь

На первый взгляд может показаться, что математика сложна и коварна, но это далеко не так. Если приложить усилия к её изучению, то можно удивиться тому, насколько быстро вы измените своё мнение о ней. Давайте же разберём одну из тем, которая поможет находить расстояние от точки до точки при различных условиях. После того как вы изучите данную статью, вы можете решить предоставленные задания, чтобы лучше закрепить пройденный материал.

Математические термины

 Для начала введём некоторые определения.

Как определить расстояние между точками, находящимися на координатной прямой

Действительные числа

Рассмотрим этот способ на примере:

Здесь мы имеем координатную прямую OX, на которой отмечена точка A. Она произвольная, поэтому мы можем задать ей любое действительное число, пусть это будет 3.

Отрезок – это единица длины, поэтому все отрезки, что мы отложили от точки O нужно сложить, вследствие чего полученное количество единичных отрезков будет равняться длине отрезка OA. В данном случае здесь три отрезка, поэтому и ответ таков.

Ещё один пример, где точку отсчёта O и произвольную точку A соединяют 2 отрезка. Это значит, что расстояние длин всех единичных отрезков OA равно 2. Если же точка A будет иметь другое число, например: 6, то мы откладываем от точки O именно 6 единичных отрезков и получаем искомое расстояние.

Рациональные числа

С действительным числами всё понятно, а что делать с рациональными? Представим, что координаты точки A равны 5,5. Из этого следует, что нам нужно отложить из точки O сначала 5 единичных отрезков, то есть, целое число, а после прибавить 0,5. Иногда это кажется невозможным, ведь некоторые числа трудно представить в виде отрезка, из-за чего приходится искать самое приближенное значение числа.

Иррациональные числа

Иррациональным числам данный метод не подходит, потому как такие числа нельзя поставить на координатной прямой OX. Для примера приведём числа √5, √8, √17. Здесь можно перейти к отвлечённому представлению и посмотреть на эти числа таким образом:

• 0>A – если 0 больше A, то A имеет отрицательное значение координат: |OA| = (–A).
• 0<A – если 0 меньше A, то A имеет положительное значение координат: |OA| = (A).

Также можно сказать, что это подходит и к действительным числами. Если точка A будет находиться на начальной точке O, то и расстояние между ними будет равно 0. Здесь нужно уметь хорошо работать с рисунком, тогда всё будет понятно.

• Модуль

Важно помнить, что расстояние между точками не может быть отрицательным.

В данном случае у нас есть модуль числа A, что является расстоянием OA и это число 3.

Если на координатной прямой будут точки A и B, то их расстояние нужно определить по модулю разности этих координат. Получается, чтобы найти длину отрезка AB, необходимо из числа точки B отнять число точки A:

4-2=2.

Как определить расстояние между двумя точками на плоскости

Представим прямоугольную систему координат и плоскость на ней, с находящимися там точками A и B. Далее проведём прямые от этих точек к осям Ox и Oy, как на изображении. В следствие этого образовались точки Ax и Ay, а также Bx и By.

Из этого можно вывести несколько вариантов:

• Ось Ox

В случае расположения точек A и B на прямой, которая в свою очередь перпендикулярна оси Ox – точки A и B совпадают, а модуль AB равен модулю AyBy. Как говорилось ранее, для нахождения длины промежутка (расстояния) между двумя точками, нужно найти разность модуля заданных координат, поэтому можно сказать, что:

|AB| = |AyBy| = |yB – yA|.

При этом совпадении их расстояние равняется 0.

• Ось Oy

Теперь рассмотрим тот случай, когда прямая перпендикулярна оси Oy. Находится расстояние таким же образом, но уже с участием xB и xA: |AB| = |AxBx| = |xB – xA|.

• Точки не лежат на прямой, которая перпендикулярна оси Ox и Oy

Теперь поговорим о прямоугольном треугольнике ABC. Чтобы найти расстояние на плоскости между точкой A и точкой B, необходимо воспользоваться формулой:

|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².

 Эта формула доказывает правильность ранее написанных утверждений к тем заданиям, на графиках которых точки лежат на прямой, перпендикулярной Ox и Oy.

Если точки совпадают, к ним справедливо равенство:

|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)² = √0² + 0² = 0.

По рисунку видно, что:

|AC| = |AxBx|, а также |BC|=|AyBy|. Далее вспомним теорему Пифагора и с её помощью запишем равенство:

|AB|² = |AC|² + |BC|²

|AB|² = |AxBx|² + |AyBy|²

√|AxBx|² + |AyBy|²

√|xB – xA|² + |yB – yA|²

√(xB – xA)² + (yB – yA)²

Пример

Найдите расстояние между двумя точками на плоскости, если известно, что они находятся на прямоугольной системе координат со значениями: A (3, –1), а также B (X + 3, 7). Также надо найти значение действительного числа X, зная, что при них расстояние между точками будет равно 10.

Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать формулу:

|AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².

После этого действия подставляем вышеприведённые числа:

√(X + 3 – 3)² + (7 – ( – 1))² = √X² + 64.

Далее обратим внимание на то, что |AB| = 10 и составим равенство:

√X² + 64 = 10

X² + 64 = 100

X = ± 6

Ответ: |AB| = 10, при X = ±6.

Как определить расстояние между точками в пространстве

Более сложным заданием на нахождение расстояния является то, где точки расположены в пространстве, а не на плоскости.

Возьмём точки, имеющие свои координаты: A (xA, yA, zA), B (xB, yB, zB). Они размещены на прямоугольной системе координат Oxyz. Имея эти данные, мы можем приступить к поиску расстояния между этими точками.  

Итак, проведём плоскости через наши точки A и B, которые должны быть перпендикулярными осям с заданными координатами. Таким образом мы получаем точки точки проекции: Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz. Так и получился параллелепипед, диагональ которого равна расстоянию точек.

После чего выполним такие действия:

|AxBx| = |xB – xA|

|AyBy| = |yB – yA|

|AzBz| = |zB – zA|

Теперь выполним преобразование получившегося выражения:

|AB|² = |AxBx|² + |AyBy|² + |AzBz|² = |xB – xA|² + |yB – yA|² + |zB – zA|² = (xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².

После всех этих действий мы можем выделить основную формулу, которая применяется для нахождения расстояния точек в пространстве:

=√(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².

Её можно применять в тех случаях, когда точки располагаются на прямой, которая параллельна координатной оси или же они находятся на этой координатной оси. При совпадении точек эта формула также действительна.

Пример

Найдите расстояние между точками, которые лежат на прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве, координаты которых: A (2, 3, 4), а также B (-6, -1, 5).

Перейдём к решению, воспользовавшись формулой:

√(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².

Подставляем имеющиеся значения:

√(–6 – 2)² + (–1 – 3)² + (5 – 4)² = √64 + 16 + 1 = √81 = 9.

Ответ: расстояние |AB| равно 9.

Задачи для самостоятельного решения

1. Задача
   Найдите расстояние между точками на плоскости, если известно, что они находятся на прямоугольной системе координат со значениями: A (2, 5), а также B (6, 4).
2. Задача
   Найдите расстояние между точками на плоскости, если известно, что они находятся на прямоугольной системе координат со значениями: A (1, 6), а также B (1, 25).
3. Задача
   Найдите расстояние между точками, которые лежат на прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве, координаты которых: A (1, -3, 4), а также B (4, 1, 4).
4. Задача
   Найдите расстояние между точками, которые лежат на прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве, координаты которых: A (2, -2, 7), а также B (6, 2, 5).

Ответы с решением:

1. Решение первой задачи

   Для решения понадобится формула:
   |AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².
   Далее подставляем числа:
   |AB| = √(6 – 2)² + (4 – 5)² = √4² + (–1)² = √16 + 1 = √17.
   Ответ: |AB| равен √17.

2. Решение второй задачи

   Формула для нахождения:
   |AB| = √(xB – xA)² + (yB – yA)².
   Подставляем:
   |AB| = √(1 – 1)² + (25 – 6)² = √(0)² + (19)² = √0 + 361 = √361 = 19
   Ответ: |AB| равен 19.

3. Решение третьей задачи
   Запишем формулу:
   √(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)².
   Подставим числа:
   √(4 – 1)² + (1 – (–3))² + (4 – 4)² = √(3)² + (4)² + (0)² = √9 + 16 + 0 = √25 = 5.
   Ответ: |AB| равняется 5.
4. Решение четвертой задачи
   Записываем формулу для решения:
   √(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)²
   Заменим на координаты точек:
   √(6 – 2)² + (2 – (–2))² + (5 – 7)² = √(4)² + (4)² + (–2)² = √16 + 16 + 4= √36 = 6.
   Ответ: |AB| равняется 6.

Здесь будет калькулятор

Расстояние между двумя точками на прямой

Рассмотрим координатную прямую, на которой отмечены 2 точки: AA и BB. Чтобы найти расстояние между этими точками, нужно найти длину отрезка ABAB. Это делается при помощи следующей формулы:

Расстояние между двумя точками на прямой

AB=∣a−b∣AB=|a-b|,

где a,ba, b — координаты этих точек на прямой (координатной прямой).

Ввиду того, что в формуле присутствует модуль, при решении не принципиально, из какой координаты какую вычитать (так как берется абсолютная величина этой разности).

То есть:

∣a−b∣=∣b−a∣|a-b|=|b-a|

Разберем пример, чтобы лучше понять решение подобных задач.

Пример 1

На координатной прямой отмечены точка AA, координата которой равна 99 и точка BB с координатой −1-1. Нужно найти расстояние между этими двумя точками.

Решение

Здесь a=9,b=−1a=9, b=-1

Пользуемся формулой и подставляем значения:

AB=∣a−b∣=∣9−(−1)∣=∣10∣=10AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10

Ответ

10

Расстояние между двумя точками на плоскости

Рассмотрим две точки, заданные на плоскости. Из каждой отмеченной на плоскости точки нужно опустить по два перпендикуляра: На ось OXOX и на ось OYOY. Затем рассматривается треугольник ABCABC. Так как он является прямоугольным (BCBC перпендикулярно ACAC), то найти отрезок ABAB, он же является и расстоянием между точками, можно с помощью теоремы Пифагора. Имеем:

AB2=AC2+BC2AB^2=AC^2+BC^2

Но, исходя из того, что длина ACAC равна xB−xAx_B-x_A, а длина BCBC равна yB−yAy_B-y_A, эту формулу можно переписать в следующем виде:

Расстояние между двумя точками на плоскости

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},

где xA,yAx_A, y_A и xB,yBx_B, y_B — координаты точек AA и BB соответственно.

Пример 2

Необходимо найти расстояние между точками CC и FF, если координаты первой (8;−1)(8;-1), а второй — (4;2)(4;2).

Решение

xC=8x_C=8
yC=−1y_C=-1
xF=4x_F=4
yF=2y_F=2

CF=(xF−xC)2+(yF−yC)2=(4−8)2+(2−(−1))2=16+9=25=5CF=sqrt{(x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2}=sqrt{(4-8)^2+(2-(-1))^2}=sqrt{16+9}=sqrt{25}=5

Ответ

5

Расстояние между двумя точками в пространстве

Нахождение расстояния между двумя точками в этом случае происходит аналогично предыдущему за исключением того, что координаты точки в пространстве задаются тремя числами, соответственно, в формулу нужно добавить еще и координату оси аппликат. Формула примет такой вид:

Расстояние между двумя точками в пространстве

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB=sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Пример 3

Найти длину отрезка FKFK в пространстве, если координаты точек его концов таковы: (−1;−1;8)(-1;-1;8) и (−3;6;0)(-3;6;0). Ответ округлить до целого числа.

Решение

F=(−1;−1;8)F=(-1;-1;8)
K=(−3;6;0)K=(-3;6;0)

FK=(xK−xF)2+(yK−yF)2+(zK−zF)2=(−3−(−1))2+(6−(−1))2+(0−8)2=117≈10.8FK=sqrt{(x_K-x_F)^2+(y_K-y_F)^2+(z_K-z_F)^2}=sqrt{(-3-(-1))^2+(6-(-1))^2+(0-8)^2}=sqrt{117}approx10.8

По условию задачи нам нужно округлить ответ до целого числа.

Ответ

10