Как найти искомое сечение куба

Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости ( ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.

 Построить сечения куба
плоскостью, когда заданы три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной.

 Построение сечения
куба плоскостью, когда заданы три точки, две из которых лежат на смежных
рёбрах, а третья точка лежит на ребре не смежном с ними.

Вывод: Если секущая
плоскость задана тремя точками, две из которых лежат на смежных рёбрах, а
третья на ребре не смежном с ними, то в сечении может получиться прямоугольник,
пятиугольник, шестиугольник, трапеция.

 В сечении куба
параллелограмм и его частные случаи.

 В
сечении куба правильные многоугольники

Метод сечений многогранников в стереометрии
используется в задачах на построение. В его
основе лежит умение строить сечение
многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим
особенностями:

1. Метод сечений применяется только для
   многогранников, так как различные сложные
   (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в
   программу средней школы.
2. В задачах используются в основном простейшие
   многогранники.
3. Задачи представлены в основном без числовых
   данных, чтобы создать возможность их
   многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения
многогранника ученик должен знать:

• что значит построить сечение многогранника
  плоскостью;
• как могут располагаться относительно друг
  друга многогранник и плоскость;
• как задается плоскость;
• когда задача на построение сечения
  многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

• тремя точками;
• прямой и точкой;
• двумя параллельными прямыми;
• двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в
зависимости от задания этой плоскости. Поэтому
все способы построения сечений многогранников
можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения
сечений многогранников:

1. Метод следов.
2. Метод вспомогательных сечений.
3. Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического
метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы
построения сечений многогранников:

• построение сечения многогранника плоскостью,
  проходящей через заданную точку параллельно
  заданной плоскости;
• построение сечения, проходящего через заданную
  прямую параллельно другой заданной прямой;
• построение сечения, проходящего через заданную
  точку параллельно двум заданным скрещивающимся
  прямым;
• построение сечения многогранника плоскостью,
  проходящей через заданную прямую
  перпендикулярно заданной плоскости;
• построение сечения многогранника плоскостью,
  проходящей через заданную точку перпендикулярно
  заданной прямой.

В федеральный перечень учебников по геометрии
для 10-11 класов входят учебники авторов:

• Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др
  (Геометрия, 10-11);
• Погорелова А.В. (Геометрия, 7-11);
• Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжик В.И.
  (Геометрия, 10-11);
• Смирновой И.М. (Геометрия, 10-11);
• Шарыгина И.Ф. (Геометрия, 10-11).

Рассмотрим подробнее учебники Л.С, Атанасяна и
Погорелова А.В.

В учебнике Л.С. Атанасяна на тему “Построение
сечений многогранников” выделено два часа. В 10
классе в теме “Параллельность прямых и
плоскостей” после изучения тетраэдра и
параллелепипеда отводится один час на изложение
параграфа “Задачи на построение сечений”.
Рассматриваются сечения тетраэдра и
параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых
и плоскостей” завершается решением задач на
одном или двух часах (всего задач на построение
сечений в учебнике восемь).

В учебнике Погорелова А.В. на построение
сечений отводится около трех часов в главе
“Многогранники”: один – на изучение темы
“Изображение призмы и построение ее сечений”,
второй – на изучение темы “Построение пирамиды
и ее плоских сечений” и третий – на решение
задач. В списке задач, приведенных после темы,
задач на сечение насчитывается всего около
десяти.

Мы предлагаем систему уроков по теме
“Построение сечений многогранников” для
учебника Погорелова А.В.

Материал предлагается расположить в той
последовательности, в какой он может применяться
для обучения учащихся. Из изложения темы
“Многогранники” предлагается исключить
следующие параграфы: “Построение сечений
призмы” и “Построение сечений пирамиды” с тем,
чтобы систематизировать данный материал в конце
этой темы “Многогранники”. Классифицировать
его по тематике задач с примерным соблюдением
принципа “от простого к сложному” можно весьма
условно следующим образом:

1. Определение сечения многогранников.
2. Построение сечений призмы, параллелепипеда,
   пирамиды методом следов. (Как правило в школьном
   курсе стереометрии используются задачи на
   построение сечений многогранников, решаемые
   основными методами. Остальные методы, в связи с
   их более высоким уровнем сложности, учитель
   может оставить для рассмотрения на
   факультативных занятиях или на самостоятельное
   изучение. В задачах на построение основными
   методами требуется построить плоскость сечения,
   проходящую через три точки).
3. Нахождение площади сечений в многогранниках
   (без использования теоремы о площади
   ортогональной проекции многоугольника).
4. Нахождение площади сечений в многогранниках (с
   применением теоремы о площади ортогональной
   проекции многоугольника).

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ И МЕТОДИКА ИХ
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ В 10-11 КЛАССАХ.

(система уроков и факультативных
занятий по теме “Построение сечений
многогранников”)

УРОК 1.

Тема урока: “Построение сечений
многогранников”.

Цель урока: ознакомление с методами
построений сечений многогранников.

Этапы урока:

1. Актуализация опорных знаний.
2. Постановка задачи.
3. Изучение нового материала:

А) Определение сечения.

Б) Методы построений сечений:

а) метод следов;

б) метод вспомогательных сечений;

в) комбинированный метод.

1. Закрепление материала.

Примеры построений сечений методом следов.

1. Подведение итогов урока.

Тест.

Ход урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомним:
— пересечение прямой с плоскостью;
— пересечение плоскостей;
— свойства параллельных плоскостей.

2. Постановка задачи.

Вопросы к классу:
— Что значит построить сечение многогранника
плоскостью?
— Как могут располагаться относительно друг
друга многогранник и плоскость?
— Как задается плоскость?
— Когда задача на построение сечения
многогранника плоскостью считается решенной?

3. Изучение нового материала.

А) Итак, задача состоит в построении
пересечения двух фигур: многогранника и
плоскости ( рис.1). Это могут быть: пустая фигура
(а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если
пересечение многогранника и плоскости есть
многоугольник, то этот многоугольник называется сечением
многогранника плоскостью.

Рис. 1

Будем рассматривать только случай, когда
плоскость пересекает многогранник по его
внутренности. При этом пересечением данной
плоскости с каждой гранью многогранника будет
некоторый отрезок. Таким образом, задача
считается решенной, если найдены все отрезки, по
которым плоскость пересекает грани
многогранника.

Исследуйте сечения куба (рис.2) и ответьте на
следующие вопросы:

Рис. 2

— какие многоугольники получаются в сечении
куба плоскостью? (Важно число сторон
многоугольника);

[ Предполагаемые ответы: треугольник,
четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.]

— может ли в сечении куба плоскостью получиться
семиугольник? А восьмиугольник и т.д.? Почему?

Давайте рассмотрим призму и ее возможные
сечения плоскостью ( на модели). Какие
многоугольники получаются?

Какой можно сделать вывод? Чему равно
наибольшее число сторон многоугольника,
полученного сечением многогранника с
плоскостью?

[ Наибольшее число сторон многоугольника,
полученного в сечении многогранника плоскостью,
равно числу граней многогранника.]

Б) а) Метод следов заключается в построении
следов секущей плоскости на плоскость каждой
грани многогранника. Построение сечения
многогранника методом следов обычно начинают с
построения так называемого основного следа
секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости
на плоскости основания многогранника.

б) Метод вспомогательных сечений
построения сечений многогранников является в
достаточной мере универсальным. В тех случаях,
когда нужный след (или следы) секущей плоскости
оказывается за пределами чертежа, этот метод
имеет даже определенные преимущества. Вместе с
тем следует иметь ввиду, что построения,
выполняемые при использовании этого метода,
зачастую получаются “скученными”. Тем не менее
в некоторых случаях метод вспомогательных
сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений
являются разновидностями аксиоматического
метода построения сечений многогранников
плоскостью.

в) Суть комбинированного метода построения
сечений многогранников состоит в применении
теорем о параллельности прямых и плоскостей в
пространстве в сочетании с аксиоматическим
методом.

А теперь на примере решения задач рассмотрим метод
следов.

4. Закрепление материала.

Задача 1.

Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁
плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки
указаны на чертеже (рис.3)).

Решение.

Рис. 3

1. Построим след секущей плоскости на плоскость
   нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА₁В₁В.
   В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем
   прямую PQ.
2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит
   сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим
   точку S₁, принадлежащую следу.
3. Аналогично получаем точку S₂ пересечением
   прямых QR и BC.
4. Прямая S₁S₂ — след секущей плоскости
   на плоскость нижнего основания призмы.
5. Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в
   точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U,
   так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D.
   Аналогично получаем TU и RT.
6. PQRTU – искомое сечение.

Задача 2.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁
плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки
указаны на чертеже (рис.4)).

Решение.

Рис. 4

1. Точки N и P лежат в плоскости сечения и в
   плоскости нижнего основания параллелепипеда.
   Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта
   прямая является следом секущей плоскости на
   плоскость основания параллелепипеда.
2. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB
   параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в
   некоторой точке S. Эта точка принадлежит
   плоскости сечения.
3. Так как точка M также принадлежит плоскости
   сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой
   точке Х.
4. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D,
   соединим их и получим прямую XN.
5. Так как плоскости граней параллелепипеда
   параллельны, то через точку M можно провести
   прямую в грани A₁B₁C₁D₁,
   параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет
   сторону В₁С₁ в точке Y.
6. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно
   прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое
   сечение – MYZPNX.

Задача 3 ( для самостоятельного
решения).

Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью,
проходящей через точки M, N, P (точки указаны на
чертеже (рис.5)).

Рис. 5

5. Подведение итогов урока.

Ответьте на вопрос: являются ли закрашенные
фигуры сечениями изображенных многогранников
плоскостью PQR? И выполните правильное построение
(рис. 6).

Вариант 1.

а)

б)

в)

г)

д)

Вариант 2.

УРОК 2.

Тема урока: НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ.

Цель урока: познакомить со способами
нахождения площади сечения многогранника.

Этапы урока:

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомнить теорему о площади ортогональной
проекции многоугольника.




2. Решение задач на нахождение площади сечения:

— без использования теоремы о площади
ортогональной проекции многоугольника;

— с использованием теоремы о площади
ортогональной проекции многоугольника.

3. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомним теорему о площади ортогональной
проекции многоугольника: площадь
ортогональной проекции многоугольника на
плоскость равна произведению его площади на
косинус угла между плоскостью многоугольника и
плоскостью проекции.

2. Решение задач.

Задача 1.

ABCD – правильная треугольная пирамида со
стороной основания AB равной а и высотой DH
равной h. Постройте сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М –
середина стороны АВ, и найдите его площадь (рис.7).

Решение.

Сечением пирамиды является треугольник MCD.
Найдем его площадь.

1. Так как основание пирамиды – равносторонний
   треугольник и точка М – середина стороны, то СМ
   является высотой и тогда, СМ = .




2. Площадь треугольника можно найти:

S = 1/2 · DH · CM = 1/2 · =

Рис.7

Задача 2.

Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁
с ребром а плоскостью, проходящей через
вершину D и точки Е и F на ребрах А₁D₁ и C₁D₁
соответственно, если A₁E = k · D₁E и C₁F
= k · D₁F.

Решение.

Построение сечения:

1. Поскольку точки Е и F принадлежат плоскости
   сечения и плоскости грани A₁B₁C₁D₁,
   а две плоскости пересекаются по прямой, то прямая
   EF будет являться следом секущей плоскости на
   плоскость грани A₁B₁C₁D₁
   (рис.8).
2. Аналогично получаются прямые ED и FD.
3. EDF – искомое сечение.

Рис.8.

Задача 3 (для самостоятельного решения).

Построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁
со стороной а плоскостью, проходящей через
точки B, M и N, где Ь – середина ребра АА₁, а N –
середина ребра СС₁.

Решение.

Сечение строим методом следов.

Площадь сечения находим с помощью теоремы о
площади ортогональной проекции многоугольника.
Ответ: S = 1/2 · a².

Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости (ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.

Цели урока

• Формирование у учащихся навыков решения задач
  на построение сечений.
• Формирование и развитие у учащихся
  пространственного воображения.
• Развитие графической культуры и математической
  речи.
• Формирование умения работать индивидуально
  и в коллективе.

Тип урока:
урок формирования и
совершенствования знаний.

Формы организации учебной деятельности:
групповая,
индивидуальная, коллективная.

Техническое обеспечение урока:
компьютер,
мультимедийный проектор, экран, набор
геометрических тел (куб, параллелепипед,
тетраэдр).

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Класс разбивается на 3 группы по 5-6 человек.
На каждом столе – индивидуальные и групповые
задания по построению сечения, набор тел.
Знакомство учащихся с темой и целями урока.

2. Актуализация опорных знаний

Опрос теории:

– Аксиомы стереометрии.
– Понятие параллельных прямых в пространстве.
– Теорема о параллельных прямых.
– Параллельность трех прямых.
– Взаимное расположение прямой и плоскости в
пространстве.
– Признак параллельности прямой и плоскости.
– Определение параллельности плоскостей.
– Признак параллельности двух плоскостей.
– Свойства параллельных плоскостей.
– Тетраэдр. Параллелепипед. Свойства
параллелепипеда.

3. Изучение нового материала

Слово учителя:
При решении многих
стереометрических задач используется сечение
многогранника плоскостью. Назовем секущей
плоскостью многогранника любую плоскость, по обе
стороны от которой имеются точки данного
многогранника.
Секущая плоскость пересекает грани по
отрезкам. Многоугольник, сторонами которого
являются эти отрезки, называется сечением
многогранника.
С помощью рисунков 38-39 давайте выясним: Какое
количество сторон может иметь сечение тетраэдра
и параллелепипеда?

Учащиеся
анализируют рисунки и делают
выводы. Учитель
корректирует ответы
учащихся, указывая на тот факт, что если секущая
плоскость пересекает две противоположные грани
параллелепипеда по каким-то отрезкам, то эти
отрезки параллельны.

Анализ
решения задач 1, 2, 3, приведенных
в учебнике (устная коллективная работа).

4. Закрепление изученного материала
(по
группам)

1 группе:
объясните, как построить
сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через
данные точки М, N, К и в задачах 1-3 найти
периметр сечения, если М, N, К – середины ребер и
каждое ребро тетраэдра равно а
.

2 группе:
объясните, как построить
сечение куба плоскостью, проходящей через три
данные точки, являющиеся либо вершинами куба,
либо серединами его ребер (три данные точки на
рисунках выделены), в задачах 1-4 и 6 найдите
периметр сечения, если ребро куба равно а.
в
задаче 5докажите, что АЕ = а
/3

3 группе:
построить сечение
параллелепипеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1
плоскостью, проходящей через точки:

Все выполненные задания группа защищает у
доски, с использованием слайдов.

5. Самостоятельная работа № 85, № 105.

6. Подведение итогов урока

Оценка работы учащихся на уроке.

7. Домашнее задание:
индивидуальные
карточки.

Тип урока: Комбинированный урок.

Цели и задачи:

• образовательная
  –
  формирование и
  развитие у учащихся пространственных
  представлений; выработка навыков решения задач
  на построение сечений простейших
  многогранников;
• воспитательная
  —
  воспитывать волю и
  настойчивость для достижения конечных
  результатов при построении сечений простейших
  многогранников; воспитывать любовь и интерес к
  изучению математики.
• развивающая
  –
  развитие у учащихся
  логического мышления, пространственных
  представлений, развитие навыков самоконтроля.

Оборудование: компьютеры со специально
разработанной программой, раздаточный материал
в виде готовых чертежей с задачами, тела
многогранников, индивидуальные карточки с
домашним заданием.

Структура урока:

1. Сообщение темы и цели урока (2 мин).
2. Инструктирование по выполнению заданий на
   компьютере (2 мин).
3. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (4
   мин).
4. Тестирование с самопроверкой (3 мин).
5. Решение задач с объяснением хода решения
   учителем (15 мин).
6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин).
7. Постановка домашнего задания (2 мин).
8. Подведение итогов (2 мин).

Ход урока

1. Сообщение темы и цели урока

После проверки готовности класса к уроку
учитель сообщает, что сегодня проводится урок по
теме “Построение сечений многогранников”,
будут рассмотрены задачи на построение сечений
некоторых простейших многогранников
плоскостями, проходящими через три точки,
принадлежащие ребрам многогранников. Урок будет
проходить с использованием компьютерной
презентации, выполненной в Power Point.

2. Инструктирование по технике безопасности при
работе в компьютерном классе

Учитель. Обращаю ваше внимание на то, что вы
приступаете к работе в компьютерном классе, и вам
необходимо соблюдать правила поведения и работы
за компьютером. Зафиксируйте выдвижные
столешницы и следите за правильной посадкой.

3. Актуализация опорных знаний и умений
учащихся

Учитель. Для решения многих геометрических
задач связанных с многогранниками, полезно уметь
строить на рисунке их сечения различными
плоскостями, находить точку пересечения данной
прямой с данной плоскостью, находить линию
пересечения двух данных плоскостей. На
предыдущих уроках мы рассматривали сечения
многогранников плоскостями, параллельными
ребрам и граням многогранников. На этом уроке мы
рассмотрим задачи на построение сечений
плоскостью, проходящей через три точки,
расположенные на ребрах многогранников. Для
этого рассмотрим простейшие многогранники. Что
это за многогранники? (Демонстрируются модели
куба, тетраэдра, правильной четырехугольной
пирамиды, прямой треугольной призмы).

Учащиеся должны определить вид
многогранника.

Учитель. Давайте посмотрим как они выглядят
на экране монитора. От изображения к изображению
переходим по нажатию левой клавиши мыши.

На экране одно за другим появляются
изображения названных многогранников.

Учитель. Вспомним, что называется сечением
многогранника.

Учащийся. Многоугольник, сторонами которого
являются отрезки, принадлежащие граням
многогранника, с концами на ребрах
многогранника, полученный в результате
пересечения многогранника произвольной секущей
плоскостью.

Учитель. Какие многоугольники могут являться
сечениями данных многогранников.

Учащийся. Сечения куба: трех — шести-
угольники. Сечения тетраэдра: треугольники,
четырехугольники. Сечения четырехугольной
пирамиды и треугольной призмы: трех — пяти-
угольники.

4. Тестирование с самопроверкой

Учитель. В соответствии с понятием сечения
многогранников, знаний аксиом стереометрии и
взаимного расположения прямых и плоскостей в
пространстве, вам предлагается ответить на
вопросы теста. Компьютер оценит вас.
Максимальная оценка 3 балла – за 3 правильных
ответа. На каждом слайде необходимо нажать
кнопку с номером правильного ответа. Вы
работаете в паре, поэтому каждый из вас получит
одинаковое, указанное компьютером количество
баллов. Нажмите указатель перехода на следующий
слайд. На выполнение задания отводится 3 минуты.

I. На каком рисунке изображено сечение
куба плоскостью ABC
?

II. На каком рисунке изображено сечение
пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ
основания BD
параллельно ребру SA
?

III. На каком рисунке изображено сечение
тетраэдра, проходящее через точку М

параллельно плоскости ABS
?

5. Решение задач с объяснением хода решения
учителем

Учитель. Перейдем непосредственно к решению
задач. Нажмите указатель перехода на следующий
слайд.

Задача 1 Данную задачу рассмотрим устно с
пошаговым показом построения на экране монитора.
Переход осуществляется по клику мыши.

Дан куб ABCDAA
1 B
1 C
1 D
1 .
На его ребре ВВ
1 дана точка М
. Найти
точку пересечения прямой C 1 M
с
плоскостью грани куба ABCD
.

Рассмотрим изображение куба ABCDAA
1 B
1 C
1 D
1
с точкой М
на ребре ВВ
1 Точки М

и С
1
принадлежат плоскости ВВ
1 С
1
Что можно сказать о прямой C 1 M
?

Учащийся. Прямая C 1 M
принадлежит
плоскости ВВ
1 С
1

Учитель. Искомая точка X
принадлежит
прямой C 1 M,
а значит и плоскости ВВ
1 С
1 .
Каково взаимное расположение плоскостей ВВ
1 С
1
и ABC
?

Учащийся. Данные плоскости пересекаются по
прямойBC
.

Учитель. Значит все общие точки плоскостей ВВ
1 С
1
и ABC
принадлежат прямой BC
. Искомая точка X

должна принадлежать одновременно плоскостям
двух граней: ABCD
и BB
1 C
1 C
;
из этого следует, что точка X должна лежать на
линии их пересечения, т. е. на прямой ВС
.
Значит, точка X должна лежать одновременно на
двух прямых: С
1 М
и ВС
и,
следовательно, является их точкой пересечения.
Построение искомой точки рассмотрим на экране
монитора. Последовательность построения вы
увидите по нажатию левой клавиши мыши:
продолжаем С
1 М
и ВС
до
пересечения в точке X
, которая и есть искомая
точка пересечения прямой С
1 М
с
плоскостью грани ABCD
.

Учитель. Для перехода к следующей задаче
воспользуйтесь указателем перехода к следующему
слайду. Эту задачу рассмотрим с краткой записью
построения.

а)
Построить сечение куба плоскостью,
проходящей через точки А
1 , М
D
1 C
1
и N
DD
1
и б)
Найти линию пересечения секущей
плоскости с плоскостью нижнего основания куба.

Решение. I. Секущая плоскость имеет с гранью A
1 B
1 C
1 D
1
две общие точки А
1 и М
и,
следовательно, пересекается с нею по прямой,
проходящей через эти точки. Соединяя точки А
1
и М
отрезком прямой, находим линию
пересечения плоскости будущего сечения и
плоскости верхней грани. Этот факт будем
записывать следующим образом: А
1 М.
Нажимаем
левую клавишу мыши, повторным нажатием будет
построена эта прямая.

Аналогично находим линии пересечения секущей
плоскости с гранями АА
1 D
1 D

и DD
1 С
1 С.
Нажимая клавишу
мыши, вы будете видеть краткую запись и ход
построения.

Таким образом, A
1 NМ
? искомое
сечение.

Перейдем ко второй части задачи. Найдем линию
пересечения секущей плоскости с плоскостью
нижнего основания куба.

II. Секущая плоскость с плоскостью основания
куба пересекается по прямой. Чтобы изобразить
эту прямую достаточно найти две точки
принадлежащие данной прямой, т.е. общие точки
секущей плоскости и плоскости грани ABCD
.
Опираясь на предыдущую задачу такими точками
будут являться: точка X
=. Нажмите клавишу, вы
будете видеть краткую запись и построение. И
точка Y
, как вы думаете, ребята, как ее
получить?

Учащийся. Y
=

Учитель. Посмотрим на экране ее построение.
Нажмите клавишу мыши. Соединяя точки X
и Y
(Запись
X
—Y
), получим искомую прямую — линию
пересечения секущей плоскости с плоскостью
нижнего основания куба. Нажмите левую клавишу
мыши – краткая запись и построение.

Задача 3
Построить сечение куба
плоскостью, проходящей через точки:

Так же, нажимая клавишу мыши, вы будете видеть
на экране монитора ход построения и краткую
запись. Опираясь на понятие сечения, нам
достаточно найти в плоскости каждой грани две
точки для построения линии пересечения секущей
плоскости и плоскости каждой грани куба. Точки M
и N
принадлежат плоскости А
1 В
1 С
1
. Соединив их, получим линию пересечения
секущей плоскости и плоскости верхней грани куба
(нажимаем клавишу мыши). Продолжим прямые MN
и D
1 C
1
до пересечения. Получим точку Х
,
принадлежащую как плоскости А
1 В
1 С
1
, так и плоскости DD
1 C
1 (клик
мыши). Точки N
и К
принадлежат плоскости
ВВ
1 С
1 . Соединив их, получим
линию пересечения секущей плоскости и грани ВВ
1 С
1 С
.
(Клик мыши). Соединяем точки Х
и К
,
и
продолжаем прямую ХК
до пересечения с прямой DC
.
Получим точку Р
и отрезок КР –
линию
пересечения секущей плоскости и грани DD
1 C
1 C
.
(Клик мыши). Продолжая прямые КР
и DD
1
до пересечения, получим точку Y
, принадлежащую
плоскости АА
1 D
1 . (Клик мыши). В
плоскости этой грани нам требуется еще одна
точка, которую получаем в результате пересечения
прямых MN
и А
1 D
1 . Это точка . (Клик
мыши). Соединяем точки Y
и Z
, получим
и . (Клик
мыши). Соединив Q
и Р
, R
и M
, получим ?
искомое сечение.

Краткая запись построения:

2) ;

6) ;

7) ;

13) ?
искомое сечение.

Тема урока: Задачи на построение сечений.

Цель урока:

Выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелограмма.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания

Ответы на вопросы 14, 15.

14.Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые?

(Ответ: нет, т. к. граней всего 4, они являются треугольниками, а треугольника с двумя прямыми углами не существует.)

15. существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань-прямоугольник;

б) только две смежные грани-ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых граней не равно числу всех тупых углов граней?

(Ответ: а)нет (противоположные грани равны); б)нет (по той же причине); в) нет (таких параллелограммов не существует); г) да (прямоугольный параллелепипед); д)нет (в каждой грани два острых и два тупых угла, либо все прямые).

III. Изучение нового материала

Теоретическая часть. Практическая часть. Теоретическая часть.

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Под сечением будем понимать любую плоскость (назовем ее секущей плоскостью), по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры (то есть тетраэдра или параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает тетраэдр (параллелепипед) по отрезкам. Многоугольник, который будет образован этими отрезками, и является сечением фигуры. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечением могут быть треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечением могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники.

При построении сечения параллелепипеда учитываем тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким –то отрезкам, то эти отрезки параллельны (свойство 1, п.11: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны).

Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащей в одной и той же грани.

Может ли в сечении тетраэдра плоскостью получиться четырехугольник, изображенный на рисунке?

https://pandia.ru/text/78/630/images/image002_130.gif» width=»626″ height=»287 src=»>

2.2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E
, F
, G
, лежащие на ребрах куба.

E
, F
, G
,

проведем прямую EF
и обозначим P
её точку пересечения с AD
.

Обозначим Q
точку пересечения прямых PG
и AB
.

Соединим точки E
и Q
, F
и G
.

Полученная трапеция EFGQ
будет искомым сечением.

https://pandia.ru/text/78/630/images/image004_91.gif» width=»624″ height=»287″>

2.4. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E
, F
, лежащие на ребрах куба и вершину B
.

Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E
, F
и вершину B
,

Соединим отрезками точки E
и B
, F
и B.

Через точки E
и F
проведем прямые, параллельные BF
и BE
, соответственно.

Полученный параллелограмм BFGE
будет искомым сечением.

2.5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E
, F
, G
, лежащие на ребрах куба.

Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E
, F
, G
,

проведем прямую EF
и обозначим P
её точку пересечения с AD
.

Обозначим Q,
R
точки пересечения прямой PG
с AB
и DC
.

Обозначим S
точку пересечения FR
c СС
1.

Соединим точки E
и Q
, G
и S
.

Полученный пятиугольник EFSGQ
будет искомым сечением.

2.6. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E
, F
, G
, лежащие на ребрах куба.

Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E
, F
, G
,

найдем точку P
пересечения прямой EF
и плоскости грани ABCD
.

Обозначим Q
, R
точки пересечения прямой PG
с AB
и CD
.

Проведем прямую RF
и обозначим S
, T
её точки пересечения с CC
1 и DD
1.

Проведем прямую TE
и обозначим U
её точку пересечения с A
1D
1.

Соединим точки E
и Q
, G
и S
, F и U
.

Полученный шестиугольник EUFSGQ
будет искомым сечением.

2.7. Построить сечение тетраэдра ABCD
AD
и проходящей через точки E
, F
.

Решение. Соединим точки E
и F. Через точку
F проведем прямую
FG, параллельную
AD.

Соединим точки G
и E
.

Полученный треугольник EFG
будет искомым сечением.

2.8. Построить сечение тетраэдра ABCD
плоскостью, параллельной ребру CD
и проходящей через точки E
, F
.

Решение. Через точки E
и F
проведем прямые EG
и FH
, параллельные CD.

Соединим точки G
и F
, E
и H
.

Полученный треугольник EFG
будет искомым сечением.

2.9. Построить сечение тетраэдра ABCD
плоскостью, проходящей через точки E
, F
, G
.

Решение. Для построения сечения тетраэдра, проходящего через точки E
, F
, G
,

проведем прямую EF
и обозначим P
её точку пересечения с BD
.

Обозначим Q
точку пересечения прямых PG
и CD
.

Соединим точки F
и Q
, E
и G
.

Полученный четырехугольник EFQG
будет искомым сечением.

IV. Итог урока.

V. Домашнее задание п.14, стр.27 № 000 –вариант1, 2.

Общеобразовательная школа І-ІІІ
ступеней №2

отдела образования администрации города Кировское

«Сечение куба плоскостью

и практическое их применение в задачах».

Подготовила учитель математики

учитель-методист

Чумакова Г.В.

2015 г.

Введение:

Задачи на построение сечений многогранников занимают значительное место как школьном курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, систематизации знаний и умений, развитию пространственного представления и конструктивных навыков. Общеизвестны трудности, возникающие при решении задач на построение сечений.

Основными действиями, составляющими метод построения сечений, являются нахождение точки пересечения прямой с плоскостью, построение линий пересечения двух плоскостей, построение прямой параллельной плоскости, построение прямой перпендикулярной плоскости.

Проиллюстрирую построение сечения на одной задаче из школьного курса математики:

№1. Постройте хотя бы два сечения куба
ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

плоскостью АМ
1
С, если точка М
1
движется по отрезку ВВ
1
от В до В
1
. Найдите границы измерения высоты сечения, проведённой из точки М
1
.

Решение: Построим два требуемых сечения, взяв точку М
1
ближе к точке В, а точку М
2
ближе к В
1
. Оба сечения показаны на рисунке.В начале движения когда точка М
1
только отошла от точки В
1
, сечение представляет собой треугольник с основанием АС и высотой М
1
О, которая чуть больше отрезка ВО, т.е.



Если точка М
1
займёт положение М
2
расположенной очень близко к точке В
1
, то
АМ
2
С почти совпадёт с
АВ
1
С, а его высота М
1
О – с отрезком В
1
О, длина которого равна
(ОВ 1 =
=
).

Отсюда по соображениям непрерывности делаем вывод:

Особо следует посмотреть, что произойдёт, если точка М 1 займёт положение вершины В.

№2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки А 1 , E
и L
, лежащие на рёбрах куба.

Плоскости граней A
1 ADD
1 и DD
1 C
1 C
пересекаются по прямой DD
1 , а плоскости граней A
1 B
1 C
1 D
1 u
DD
1 C
1 C
– по прямой D
1 C
1 . Соединив точки А и Е, получим прямую пересечения секущей плоскости с плоскостью грани AA
1 D
1 D
, а продолжив её, найдём точку N
, принадлежащую трём плоскостям: плоскости сечения и плоскостям граней AA
1 D
1 D
u
DD
1 C
1 C
.

Аналогично найдём точку М, общую трём плоскостям: плоскости сечения и плоскостям граней A
1 B
1 C
1 D
1 u
DD
1 C
1 C
. Таким образом, точки N
u
M
принадлежат секущей плоскости и плоскости DD
1 C
1 C
; прямая MN
– линия пересечения плоскости сечения с плоскостью грани DD
1 C
1 C
, а F и K – точки пересечения её с рёбрами куба CD
u
CC
1 . Последовательно соединив прямыми точки A
1 , E
, F
, K
u
L
, получаем пятиугольник A
! EFKL
, который и даст нам искомое сечение.

При построении сечения куба плоскостью Х
при произвольном расположении точек в сечении получается: треугольник, трапеция, прямоугольник, пятиугольник или шестиугольник. Естественно возник вопрос, как вид сечения зависит от вида расположения точек задающих это сечение

Я решил провести исследование, цель которого является выяснение.

Построить сечения куба плоскостью, когда заданы три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной.

Взяты три точки A
1 , D
, C
1 , которые принадлежат вершине D
1 , а сами являются вершинами куба.

В сечении получился равносторонний треугольник, так как A
1 C
1 , A
1 D
u
DC
1 – диагонали граней этого куба.

Три точки: A
1 u
C
1 – вершины куба, а точка F
принадлежит ребру куба DD
1 . Точки принадлежат прямым выходящим из вершины D
1 .

В сечении получился равнобедренный треугольник, так как F
равноудалена от точек A
1 u
C
1 .

Три точки: A
1 u
C
1 – вершины куба, а точка F
принадлежит прямой ребра куба DD
1 . Точки принадлежат прямым выходящим из одной вершины D
1 .

В сечении получается равнобедренная трапеция, так как F
равноудалена от точек A
1 u
C
1 , то есть LA
1 =KC
1 .

Три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной D
1 . Точки F
u
M
принадлежат продолжениям рёбер D
1 D
u
D
1 C
соответственно, а точка A
1 является вершиной куба.

В сечении получился пятиугольник A
1 KLNG
.

Взяты три точки F
, M
u
Q
так, что лежат на продолжении рёбер D
1 D
, D
1 C
1 , и D
1 A
1 соответственно.

В сечении получился шестиугольник KLNGJH
.

Три точки лежат на рёбрах с одной вершиной D
1 .

В сечении получился произвольный треугольник, но если точки расположить так чтобы D
1 Q
=D
1 M
=D
1 F
, то есть если они были бы равноудалены от вершины D
1 то в сечении получился бы равносторонний треугольник.

Секущая плоскость задана точками Н, Q
и M
. В сечении получается параллелограмм, так как KC
││ MP
и MK
││ PC
по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.

Если точки H
, Q
и M
, задают секущую плоскость, удаленные от D
, на расстоянии 2a
, где а – для ребра куба, то в сечении получается правильный треугольник ACB
1 .

Вывод: три задающих сечение точки принадлежат трём рёбрам куба с общей вершиной или являются их продолжением, то в сечении получается: треугольник, пятиугольник, шестиугольник трапеция, параллелограмм.

Построение сечения куба плоскостью, когда заданы три точки, две из которых лежат на смежных рёбрах, а третья точка лежит на ребре не смежном с ними.

Три точки M
, K
u
F
, взяты так что M
u
F
принадлежат рёбрам с одной вершиной A
1 , а точка K
лежит на ребре не смежным с ними.

В сечении получается прямоугольник, так как А 1 М=D
1 K
и по теореме о трёх перпендикулярах можно доказать что MKLF
– прямоугольник., а если А 1 МD
1 K
, то может получится трапеция или пятиугольник.

Взяты три точки так, что K
u
L
принадлежат рёбрам выходящим из одной вершины A
1, а точка N
принадлежит ребру CC
1 , не смежному сними. K
, L
u
N
середины рёбер A
1 A
, A
1 B
1 u
CC
1 – соответственно.

В сечении получается правильный шестиугольник KLGNHM

Взяты три точки так, что K
u
L
принадлежат рёбрам выходящим из одной вершины A
1, а точка T
принадлежит ребру DC
.

В сечении получается шестиугольник KLFRTZ
.

Три точки взяты так, что K
u
L
принадлежат рёбрам куба с одной вершины A
1 , а точка M
ребре DD
1 .

В сечении получается трапеция LKQM
.

Три точки K
u
L
которые принадлежат рёбрам с одной вершиной A
1 .и точка R
которая лежит на ребре BC
.

В сечении получается пятиугольник KLFRT
.

Вывод: Если секущая плоскость задана тремя точками, две из которых лежат на смежных рёбрах, а третья на ребре не смежном с ними, то в сечении может получиться прямоугольник, пятиугольник, шестиугольник, трапеция.

В сечении куба параллелограмм и его частные случаи.

Точки T
, H
, J
задающие сечение расположены так, что THAD
, HJAD
. В сечении получается квадрат HTKJ
.

Сечение задано точками C
, F
, L
, причём DF
=FD
1 , BL
=LB
1 . В сечении получается ромб AFCL
.

Сечение задано точками C
, G
, H
. B
1 H
=DG
. В сечении параллелограмм A
1
GCH.

Точки задающие сечение являются вершинами куба A
, D
, C
1 . В сечении получается прямоугольник

В сечении куба правильные многоугольники

Треугольник АВВ 1 равносторонний, так как его стороны это диагонали граней куба.

Треугольник КМТ равносторонний, так как КВ=МВ=ТВ.

КМТЕ – квадрат, так как сечение задано точками М, К, Е и МКAD
, EKAD
.

В сечении правильный шестиугольник КМТНЕО, так как точки Н, Е, К задающие сечение являются серединами рёбер СС 1 , DC
, АА 1 соответственно.

Куб и несколько задач по стереометрии с ЕГЭ.

В пособии “ЕГЭ 2005. Математика. Типовые тестовые задачи” (Корникова Т. А. и др.) Содержит 10 задач (С4) по стереометрии, объединенных общей идеей: дана треугольная призма АВСА
1

В

1

С

1

стороны основания АВ и ВС взаимно перпендикулярны и перпендикулярны ребру ВВ
1

, АВ=ВС=ВВ

1

, вершина А является вершиной конуса (или центром одного из оснований цилиндра, или центром сферы), основание конуса (сфера или второе основание цилиндра) проходит через середину одного ребра призмы, длина его известна. Надо найти объем или поверхность конуса (сферы, цилиндра).

Общий пример решения:

Данную призму дополнить до куба. Шестиугольник DEFKLM
– сечение куба плоскостью основания конуса, окружность которого проходит через середину А 1 В 1 , А – вершина конуса, или

DEFKLM
– сечение куба плоскостью основания цилиндра, окружность которого проходит через середину А 1 В 1 , А – центр второго основания цилиндра, или это сечение куба плоскостью большого круга сферы с центром А, сфера которого проходит через середину А 1 В 1 .

Шестиугольник

DEFKLM

– сечение куба плоскостью, проходящей через середину рёбер А
1

В

1

, ВВ

1

, ВСЖ при построении получаются точки
K

,

L

,

M

, которые являются серединами соответствующих рёбер. Стороны этого шестиугольника являются гипотенузами треугольников
DB

1

E

,

EBF

,

FCK

,

KQL

,

LRM

,

MA

1

D

, катеты которых равны половине ребра куба. Тогда центр этого шестиугольника является центром описанной около него окружности, которая пересекает рёбра куба в точках
D

,

E

,

F

,

K

,

L

и М, радиус этой окружности
, где А
1

В

1

=

а
.

AO EL,

т
.

к
.

EAL

– равнобедренный:
AL

=
AE

.

(

ABE

u

EAL

– прямоугольные,
AB

=

AQ

=

а,

BE

=

LQ

=

)

EO
=OL
как середина диагонали ЕL
шестиугольника DEFKLM
, т. е. АО – медиана,а по свойствам равнобедренного треугольника и высота. Аналогично доказывается АО DK
. Так как АО перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости шестиугольника, то АО перпендикулярна ко всей плоскости.

Если А – вершина конуса то АО – его высота, если А – центр второго основания цилиндра, то АО- высота цилиндра.

АВС: АС=
,

P

– точки пресечения диагоналей основания куба, АР=
, РР

1

=АА

1

=

а

. ОР=РР

1

= , тогда из прямоугольного

РОА АО=
. И так АО=
.

Тогда, если идёт речь о конусе:

=

(из
).

Ответ:

Если речь идёт цилиндре:

Ответ:

Если речь идёт о сфере:

Ответ:

Корникова Т. А. и др. типовые тестовые задания. ЕГЭ – 2005

Вариант 6.

Задача. Даны призма АВСА 1 В 1 С 1 и цилиндр. Стороны АВ и ВС основания призмы перпендикулярны ребру ВВ 1 и взаимно перпендикулярны. Центром основания цилиндра служит точка А 1 окружность второго основания проходит через середину ребра А 1 В 1 .

Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если ВВ 1 =АВ=ВС=10. Найдите его объём.

Решение:

.
.