Как найти истинное значение интервал

Пусть
производится п
независимых
равноточных измерений некоторой
физической величины, истинное значение
а
которой неизвестно. Будем рассматривать
результаты
отдельных измерений как случайные
величины X_l,
Х₂
,…
, Х_n.
Эти
величины независимы (измерения
независимы),
имеют одно и то же математическое
ожидание
а
(истинное
значение измеряемой величины), одинаковые
дисперсии σ²
(измерения равноточны) и распределены
нормально (такое допущение подтверждается
опытом).
Таким образом, все предположения, которые
были сделаны
при выводе доверительных интервалов в
двух предыдущих
параграфах, выполняются, и, следовательно,
мы
вправе использовать полученные в них
формулы. Другими
словами, истинное значение измеряемой
величины
можно оценивать по среднему арифметическому
результатов
отдельных измерений при помощи
доверительных
интервалов. Поскольку обычно σ неизвестно,
следует пользоваться формулами,
приведенными в § 16.

Пример.
По
данным девяти независимых равноточных
измерений физической
величины найдены среднее арифметической
результатов отдельных
измерений
=42,319
и «исправленное» среднее квадратическое
отклонение s=5,0.
Требуется оценить истинное значение
измеряемой
величины с надежностью γ=0,95.

Решение.
Истинное значение измеряемой величины
равно ее математическому
ожиданию. Поэтому задача сводится к
оценке математического
ожидания (при неизвестном σ) при помощи
доверительного
интервала

,

покрывающего
а
с
заданной надежностью γ
= 0,95.

Пользуясь
таблицей приложения 3, по γ
= 0,95 и n=
9 находим t_γ
= 2,31.

Найдем точность
оценки:

.

Найдем доверительные
границы:

=
42,319 — 3,85 = 38,469;

=
42,319+3,85 = 46,169.

Итак,
с надежностью 0,95 истинное значение
измеряемой величины
заключено в доверительном интервале

38,469
< а
< 46,169.

§ 18. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения

Пусть
количественный признак X
генеральной
совокупности
распределен нормально. Требуется оценить
неизвестное
генеральное среднее квадратическое
отклонение
σ
по «исправленному» выборочному среднему
квадратическому
отклонению s.
Поставим перед собой задачу найти
доверительные интервалы, покрывающие
параметр σ
с заданной надежностью γ.

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Р(|σ-s|<δ)=
γ,
или
P(s—δ<σ<s+δ)
=
γ.

Для того
чтобы можно было пользоваться готовой
таблицей,
преобразуем двойное неравенство

s—δ<σ<s+δ

в равносильное неравенство

s(1-δ/s)<σ<s(1+δ/s).

Положив
δ/s
= q,
получим

s(1—q)<σ<s(1+q).
(*)

Остается
найти q.
С
этой целью введем в рассмотрение
случайную
величину «хи»:

где п
— объем выборки.

Как
было указано [см. § 16, пояснение, соотношение
(***)],
величина S²(n—1)/σ²
распределена
по закону χ²

с
п-1
степенями
свободы, поэтому квадратный корень из
нее обозначают через χ.

Плотность
распределения χ имеет вид (см. пояснение
в
конце параграфа)

.
(**)

Это
распределение не зависит от оцениваемого
параметра σ,
а
зависит лишь от объема выборки п.

Преобразуем неравенство
(*) так, чтобы оно приняло вид
χ₁<
χ< χ₂.
Вероятность этого неравенства (см. гл.
XI,
§
2) равна заданной вероятности γ, т.е.

.

Предполагая,
что q
<
1, перепишем неравенство (*) так:

.

Умножив
все члены неравенства на
,
получим

,
или.

Вероятность
того, что это неравенство, а следовательно,
и равносильное ему
неравенство (*) будет осуществлено, равна

.

Из этого уравнения можно
по заданным п и
γ найти
q.
Практически
для отыскания q
пользуются
таблицей приложения
4.

Вычислив
по выборке s
и найдя по таблице q,
получим
искомый доверительный интервал (*),
покрывающий σ
с заданной надежностью γ,
т. е. интервал

s(1-q)<σ<s(1+q).

Пример
1.
Количественный
признак X
генеральной
совокупности распределен нормально.
По выборке объема п
=
25 найдено «исправленное» среднее
квадратическое отклонение s
= 0,8. Найти доверительный
интервал, покрывающий генеральное
среднее квадратическое отклонение
σ с надежностью 0,95.

Решение.
По таблице приложения 4 по данным γ
= 0,95 и n
= 25 найдем q
= 0,32.

Искомый доверительный
интервал (*) таков:

0,8
(1—0,32) < σ < 0,8 (1+0,32), или 0,544 < σ
< 1,056.

Замечание.
Выше предполагалось, что q
<
1. Если q
>
1, то
неравенство (*) примет вид (учитывая, что
σ
>
0)

0
< σ<
s
(1+q),

или
(после преобразований, аналогичных
случаю q
< 1)

Следовательно,
значения q
> 1
могут быть найдены из уравнения

Практически
для отыскания значений q
> 1,
соответствующих различным
заданным n
и γ, пользуются таблицей приложения 4.

Пример
2.
Количественный признак X
генеральной
совокупности распределен
нормально. По выборке объема n=10
найдено «исправленное» среднее
квадратическое отклонение
s=0,16.
Найти доверительный
интервал, покрывающий генеральное
среднее квадратическое отклонение
σ с надежностью 0,999.

Решение.
По таблице приложения 4 по данным γ=0,999
и n
=10 найдем q=1,80
(q>1).
Искомый доверительный интервал таков:

0
< σ < 0,16(1 + 1,80), или 0 < σ < 0,448.

Пояснение.
Покажем, что плотность распределения
χ имеет вид (**).

Если
случайная величина X
распределена
по закону χ²
с k
= n—1
степенями свободы, то ее плотность
распределения
(см. гл. XII,
§ 13)

,

или
после подстановки k=
n—1

.

Воспользуемся
формулой (см. гл. XII,
§ 10)

,

чтобы
найти распределение функции
.Отсюда
обратная функция

и.

Так как χ > 0, то
,
следовательно,

.

Выполнив
элементарные преобразования и изменив
обозначения (g(χ),
заменим на R(χ,
n)),
окончательно получим

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #