Как найти изменение энтропии воздуха

Энтропия – это фундаментальная физическая величина. Введение этого понятия завершило этап становления понятийного аппарата термодинамики. Следующим этапом развития этой науки было выяснение физического смысла энтропии.

Установление принципа Больцмана (формулы Больцмана) и таким образом связи между термодинамикой и статистической физикой, позволило энтропии покинуть пределы физики и войти в другие области знаний.

Энтропия – это общезначимое понятие, применяемое во множестве наук, например, в:

• физике;
• химии;
• билогии;
• космологии;
• теории информации.

Введено это понятие было Р. Клаузиусом. Важные работы посвятил энтропии Л. Больцман, М. Планк.

Важно, что выражение (1) определяет не саму энтропию, а ее изменение, или разность энтропий. При помощи данной формулы можно вычислить, каково изменение энтропии, если термодинамическая система переходит из одного состояния в другое, но нельзя понять, какова энтропия каждого из этих состояний.

Напомним формулу Больцмана для энтропии, так как она нам поможет понять физический смысл, процессов, которые происходят с энтропией:

$S=klnW, left( 2 right)$

где ($W$) – термодинамическая вероятность (статистический вес состояния), то есть количество способов, реализации данного состояния термодинамической системы. $W$ ≥1; $k$- постоянная Больцмана.

Изменение энтропии, исходя из статистической формулы Больцмана, найдем как:

$S_{2}-S_{1}=klnfrac{W_{2}}{W_{1}}left( 2.1 right)$).

«Изменение энтропии» 👇

Вычисление изменения энтропии в изотермическом процессе

Вычислим изменение энтропии в одном моле идеального газа при изотермическом процессе ($T=const$). Оттолкнемся от первого начала термодинамики в дифференциальной форме:

$delta Q=dU+pdV, left( 3 right)$,

где $dU$ — изменение внутренней энергии идеального газа; $pdV$=$delta A$ – работа, совершаемая газом.

Найдем отношение всех слагаемых выражения (3) и температуры:

$frac{delta Q}{T}=C_{V}frac{dT}{T}+frac{p}{T}dVleft( 4 right)$.

где $C_V$ – теплоемкость газа при $V=const$.

Для идеального газа справедливо уравнение Менделеева – Клапейрона, учитывая, что у нас 1 моль газа:

$pV=RTto frac{p}{T}=frac{R}{V}left( 5 right)$.

Учтем:

$frac{dT}{T}=dleft( ln T right),, frac{dV}{V}=dleft( ln V right)left( 6 right)$.

в этом случае мы можем записать для уравнения (4):

$frac{delta Q}{T}=dleft( C_{V}lnT+RlnV right)left( 7 right)$.

По определению (1), и принимая во внимание (7), запишем:

$dS=dleft( C_{V}lnT+RlnV right)left( 8 right)$.

Формула (8) показывает нам, что в изотермическом процессе изменяется только второе слагаемое правой части:

• при увеличении объема энтропия увеличивается,
• с уменьшением объема энтропия уменьшается.

Данный результат очевиден, так как если увеличивается объем, то возрастает количество мест, которое смогут занять частицы при неизменяющемся их количестве. Следовательно, растет число разных возможностей расположения на этих местах (увеличивается количество пространственных микросостояний). Увеличение числа микросостояний означает увеличение энтропии (см формулу (2)).

Изменение энтропии в изохорическом процессе

Рассмотрим изохорный процесс в идеальном газе ($V=const$ или $dV=0$). Из формулы (7) для изохорного процесса следует:

$dS=dleft( C_{V}lnT+RlnV right)=d(C_{V}lnT)left( 9 right)$.

После интегрирования (9), получим:

$S_{2}-S_{1}=C_{V}ln left( frac{T_{2}}{T_{1}} right)left( 10 right)$.

Формула (10) показывает, что в изохорическом процессе при увеличении температуры происходит рост энтропии. Данный результат можно пояснить так:

1. при увеличении температуры растет средняя энергия частиц газа;
2. увеличивается количество возможных энергетических состояний.

Изменение энтропии в адиабатном процессе

Адиабатный процесс характеризуется тем, что он происходит без теплообмена (δQ=0). Исследуя адиабатный процесс в идеальном газе, за основу для вычисления энтропии примем выражение (8). Найдем интеграл правой и левой частей этого выражения, получим:

$S_{2}-S_{1}=C_{V}ln left( frac{T_{2}}{T_{1}} right)+Rln {left( frac{V_{2}}{V_{1}} right)left( 11 right).}$

Запишем уравнение адиабатного процесса в параметрах $T,V$:

$T_{1}V_{1}^{gamma -1}=T_{2}V_{2}^{gamma -1}left( 12 right)$.,

где $gamma =frac{C_{p}}{C_{V}}-$ показатель адиабаты. Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей выражения (12), имеем:

$ln left( frac{T_{2}}{T_{1}} right)=left( gamma -1 right)ln left( frac{V_{1}}{V_{2}} right)=-left( gamma -1 right)ln left( frac{V_{2}}{V_{1}} right)left( 13 right)$.

Преобразуем выражение (11), приняв во внимание формулу (13):

$S_{2}-S_{1}=C_{V}left[ -left( gamma -1 right)ln left(frac{V_{2}}{V_{1}} right) right]+Rln left( frac{V_{2}}{V_{1}} right)=-C_{V}left( frac{C_{p}}{C_{V}}-1 right)ln left( frac{V_{2}}{V_{1}}right)$
$+Rln {left( frac{V_{2}}{V_{1}} right)=left[ -C_{V}left(frac{C_{p}}{C_{V}}-1 right)+R right]ln {left( frac{V_{2}}{V_{1}}right)=left[ C_{V}-C_{p}+R right]ln left( frac{V_{2}}{V_{1}} right)}}left( 14 right)$.

Вспомним соотношение Майера:

$R=C_{p}-C_{V}left( 15 right)$

и сделаем вывод о том, что изменение энтропии в адиабатном процессе нет:

$S_{2}-S_{1}=0.$

Адиабатный процесс является изоэнтропийным ($S=const$).

При адиабатном расширении газа увеличение энтропии может идти только за счет увеличения объема, но при этом происходит уменьшение температуры, и энтропия уменьшается из-за уменьшения температуры. Данные тенденции взаимно компенсируют друг друга.

Рассмотрим пример. Два сосуда разного объема содержат по $nu$ молей одинакового идеального газа. Температуры газов равны $ T_1$ и $ T_2$. Сосуды соединяют, газы перемешиваются. Система приходит в состояние равновесия. Определим изменение энтропии в этом процессе.

Будем считать, что изобарное расширение каждого из газов до конечного объема является обратимым. В этом процессе температура каждой из газовых компонент изменяется до конечной температуры $frac{T_{1}+T_{2}}{2}$. Найдем изменение энтропии каждого из газов по отдельности:

$Delta S_{1}=intlimits_a^b frac{dT}{T} =nu c_{p}ln left(frac{T_{1}+T_{2}}{2T_{1}} right)left( 16 right)$,

где $a=T_{1};b=frac{T_{1}+T_{2}}{2}$ $c_p$ – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении.

Изменение энтропии второго газа запишем аналогично:

$Delta S_{2}=nu c_{p}ln left( frac{T_{1}+T_{2}}{2T_{2}} right)left( 17right)$.

Поскольку энтропия является аддитивной величиной, то полное изменение энтропии найдем как сумму:

$Delta S_{2}=Delta S_{1}+Delta S_{2}=nu c_{p}ln left( frac{T_{1}+T_{2}}{2T_{1}} right)+c_{p}ln left(frac{T_{1}+T_{2}}{2T_{2}} right)=nu c_{p}ln frac{left( T_{1}+T_{2} right)^{2}}{4T_{1}T_{2}}=2nu$ $c_{p}lnleft( frac{T_{1}+T_{2}}{2sqrt {T_{1}T_{2}} } right)$.

ЛАБОРАТОРНАЯ
РАБОТА № Т-3

ИЗМЕНЕНИЕ ЭНТРОПИИ
ВОЗДУХА ПРИ ИЗОХОРИЧЕСКОМ

ОХЛАЖДЕНИИ И ИЗОХОРИЧЕСКОМ
НАГРЕВАНИИ

Приборы
и принадлежности:
закрытый баллон с краном, манометр,

поршневой
насос.

Цель
работы:
определение изменения энтропии воздуха
при изохорическом охлаждении и
изохорическом нагревании.

Краткая теория

Круговым процессом
(циклом) называется процесс, при котором
система, пройдя через ряд состояний,
возвращается в исходное.

Если
за цикл совершается положительная
работа А=
(цикл протекает по часовой стрелке), то
он называется прямым (рис. 1.а), если за
цикл совершается отрицательная работа

(цикл протекает против часовой стрелки),
то он называется обратным (рисунок 1б).

Прямой
цикл используется в тепловом двигателе
– периодически действующем двигателе,
совершающем работу за счет полученной
извне теплоты. Обратный цикл используется
в холодильных машинах — периодически
действующих установках, в которых за
счет работы внешних сил теплота
переносится к телу с более высокой
температурой.

Термический
коэффициент полезного действия для
кругового процесса
.

Термодинамический
процесс называется обратимым, если он
может происходить как в прямом, так и в
обратном направлении, причем если такой
процесс происходит сначала в прямом, а
затем в обратном направлениях и система
возвращается в исходное состояние, то
в окружающей среде и в этой системе не
происходит никаких изменений. Всякий
процесс, не удовлетворяющий этим
условиям, является не обратимым.

Невозможность
создания теплового двигателя, работающего
с одним источником теплоты (так называемый
вечный двигатель второго рода), составляет
содержание второго начала термодинамики
в формулировке Кельвина-Планка: 1) вечный
двигатель второго рода невозможен; 2)
невозможен процесс, единственным
результатом которого является превращение
теплоты, полученной от нагревателя, в
эквивалентную ей работу.

Содержание
второго начала термодинамики в
формулировке Клаузиуса: теплота никогда
не может переходить сама собой от тел
с более низкой температурой к телам с
более высокой температурой.

Величина Q/T
называется приведенным количеством
теплоты.

Приведенное
количество теплоты, сообщаемое телу на
бесконечно малом участке процесса,
равно dQ/T. Для любого обратимого кругового
процесса сумма приведенных количеств
теплоты равна нулю:

.

(1)

Из
равенства нулю интеграла, взятого по
замкнутому контуру (1), следует, что
подынтегральное выражение dQ/T есть
полный дифференциал некоторой функции,
которая определяется только состоянием
системы и не зависит от пути, каким
система пришла в это состояние. Таким
образом,
.
(2)

Функция
состояния, дифференциалом которой
является
,
называется энтропией и обозначается
S. Если S₁
и S_2
– энтропия
начального и конечного состояния, то
для обратимых процессов S₁-S₂=∆S=0.
(3)

В
термодинамике доказывается, что энтропия
системы, совершающей необратимый цикл,
возрастает: ∆S>0.

(4)

Выражение
(3) и (4) относятся только к замкнутым
системам; если же система обменивается
теплотой с внешней средой, то её энтропия
может вести себя любым образом. Соотношение
(3) и (4) можно представить в виде неравенства
Клазиуса:

,

(5)

т.е. энтропия
замкнутой системы может либо возрастать
(в случае необратимых процессов), либо
оставаться постоянной (в случае обратимых
процессов).

Если
система совершает равновесный переход
из состояния (1) в состояние (2), то изменение
энтропии

,
(6)

т.е.
изменение энтропии ∆S(1→2) идеального
газа при переходе его из состояния 1 в
состояние 2 не зависит от вида процесса
перехода (1→2).

Т.к.
реальные процессы необратимы, то можно
утверждать, что все процессы в замкнутой
системе ведут к увеличению её энтропии
(принцип возрастания энтропии). Этот
принцип лежит в основе ещё одной
формулировки второго начала термодинамики:
возможны лишь такие процессы, происходящие
в макроскопической системе, которые
ведут к увеличению её энтропии.

Физический
смысл энтропии был выяснен Л. Больцманом,
предположившим, что энтропия связана
с термодинамической вероятностью
состояния системы. Термодинамическая
вероятность W состояния системы – это
число способов, которыми может быть
реализовано данное состояние
макроскопической системы, или число
микросостояний, осуществляющих данное
макросостояние (по определению W≥1, эта
термодинамическая вероятность не есть
вероятность в математическом смысле).

Формула
Больцмана имеет следующий вид:
,
где k- постоянная
Больцмана. Т.о., энтропия, по Больцману,
определяется логарифмом числа
микросостояний, с помощью которых может
быть реализовано данное макросостояние.
Следовательно, энтропия может
рассматриваться как мера вероятности
состояния термодинамической системы.
Формула Больцмана позволяет дать
энтропии следующее статистическое
толкование: энтропия является мерой
неупорядоченности системы.

Энтропия
и термодинамическая вероятность
состояния замкнутой системы могут либо
возрастать (в случае необратимых
процессов), либо оставаться постоянными
(в случае обратимых процессов). Исходя
из этого, можно сформулировать второе
начало термодинамики, отражая его
статистический смысл: при необратимых
процессах, происходящих в замкнутой
системе, вероятность состояния системы
возрастает, при обратимых процессах –
остается неизменной.

Энтропия
есть характеристика вероятности
макросостояния системы, она пропорциональна
натуральному логарифму числа
микроскопических способов, которыми
может быть осуществлено данное
макросостояние. Энтропия является
однозначной функцией состояния. Если
параметры состояния (например:
)
изменяются, то изменяется энтропия.
Основой для термодинамических применений
функций энтропии является соотношение
между элементарным изменением энтропии
и
количеством теплоты
сообщённым
системе (или отданным системой) при
температуре Т.
При обратимом процессе это соотношение
имеет вид:

.
(7)

В
настоящей работе определяется изменение
энтропии газа при изохорическом
нагревании и охлаждении газа. Если эти
процессы считать обратимыми, а изменение
температуры конечным, то в соответствии
с выражением (1) изменение энтропии можно
записать:

,

где

—
начальная температура газа в изохорическом
процессе,

—
конечная температура газа в изохорическом
процессе.

С
учётом первого начала термодинамики и
уравнения Клапейрона-Менделеева это
выражение примет вид:

,
(8)

где
—
число степеней свободы,

—
давление в конечном состоянии,

—
объём газа.

Последнее
соотношение лежит в основе получения
формул для экспериментального определения
изменения энтропии в данной работе.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Установка
(Рисунок 2) состоит из баллона 1, соединённого
пластиковым шлангом с манометром 2,
прикреплённым к стойке со шкалой 3.
Второй шланг соединяет баллон с
электронасосом 5. И третий шланг соединяет
баллон с краном 4, который по

зволяет
соединить баллон с атмосферой или
изолировать его от атмосферы.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Накачаем
в сосуд некоторое количество воздуха,
т.е. создадим давление

,

где
h₁—
разность уровней жидкостей в коленах
манометра, ρ
– плотность манометрической жидкости,
g – ускорение свободного падения, P₀
– атмосферное давление.

Считая
газ идеальным, изохорические процессы
равновесными (протекают достаточно
медленно) и обратимыми, используя
выражение (8), получим изменение энтропии
при изохорическом охлаждении

.
(9)

Соединим
сосуд 1 с атмосферой. При этом воздух
будет расширяться до тех пор, пока его
давление станет равным атмосферному.
Так как процесс расширения происходит
быстро, его можно считать адиабатическим.
При этом воздух совершает работу за
счёт внутренней энергии и охлаждается
до температуры
.
Газ приходит в состояние (III)
с параметрами

Сразу
после расширения воздуха быстро закроем
кран 4. Давление внутри начнёт возрастать,
так как воздух в сосуде будет нагреваться
до температуры окружающей атмосферы.
Объём воздуха при этом не меняется и
остаётся равным
,
т.е. воздух изохорически переходит в
состояние IV
с параметрами:

.

Применяя
для перехода III-IV
те же рассуждения, что и при изохорическом
охлаждении, получим для изменения
энтропии при изохорическом нагревании

,
(10)

Формулы
(9) и (10) используются в работе для
вычисления изменения энтропии.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #