Как найти измерение прямоугольного параллелепипеда через диагональ

Как найти длины рёбер параллелепипеда по диагонали

Параллелепипед – многогранная геометрическая фигура, обладающая несколькими интересными свойствами. Знание этих свойств помогает в решении задач. Существует, например, определенная связь между его линейными и диагональными измерениями, с помощью которой можно найти длины ребер параллелепипеда по диагонали.

Инструкция

Параллелепипед имеет одну особенность, не свойственную другим фигурам. Его грани попарно параллельны и имеют равные измерения и числовые характеристики, такие как площадь и периметр. Любую пару таких граней можно принять за основания, тогда оставшиеся будут составлять его боковую поверхность.

Можно найти длины рёбер параллелепипеда по диагонали, однако одной этой величины мало. Во-первых, обратите внимание на то, какая разновидность этой пространственной фигуры вам дана. Это может быть правильный параллелепипед, обладающий прямыми углами и равными измерениями, т.е. куб. В этом случае будет достаточно знать длину одной диагонали. Во всех остальных случаях должен быть, как минимум, еще один известный параметр.

Диагонали и длины сторон в параллелепипеде связаны определенным соотношением. Эта формула вытекает из теоремы косинусов и представляет собой равенство суммы квадратов диагоналей и суммы квадратов ребер:
d1² + d2² + d3² + d4² = 4•а² + 4•b² + 4•c², где а – длина, b – ширина и c — высота.

Для куба формула упрощается:
4•d² = 12•а²
а = d/√3.

Пример: найти длину стороны куба, если его диагональ равна 5 см.
Решение.
25 = 3•а²
а = 5/√3.

Рассмотрим прямой параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основаниям, а сами основания являются параллелограммами. Его диагонали попарно равны и связаны с длинами ребер по следующему принципу:
d1² = а² + b² + c² + 2•а•b•cos α;
d2² = а² + b² +c² – 2•а•b•cos α, где α – острый угол между сторонами основания.

Этой формулой можно воспользоваться, если известны, к примеру, одна из сторон и угол или эти величины могут быть найдены по другим условиям задачи. Решение упрощается, когда все углы в основании прямые, тогда:
d1² + d2² = 2•а² + 2•b² + 2•c².

Пример: найдите ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, если ширина b больше длины а на 1 см, высота c – в 2 раза больше, а диагональ d – в 3.
Решение.
Запишите основную формулу квадрата диагонали (в прямоугольном параллелепипеде они равны):
d² = а² + b² + c².

Выразите все измерения через заданную длину а:
b = а + 1;
c = а•2;
d = а•3.
Подставьте в формулу:
9•а² = а² + (а + 1)² + 4•а²

Решите квадратное уравнение:
3•а² – 2•а – 1 = 0
Найдите длины всех ребер:
а = 1; b = 2; c = 2.

Источники:

• формула суммы длин всех рёбер параллелепипеда

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Как найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда ? По какой формуле найти диагональ параллелепипеда ? Диагональ прямоугольного параллелепипеда — это отрезок, соединяющий его противоположные вершины . Итак, у нас есть прямоугольный параллелепипед с диагональю d и со сторонами a, b, c . Одно из свойств параллелепипеда гласит, что квадрат длины диагонали d равен сумме квадратов трёх его измерений a, b, c. Отсюда вывод, что длина диагонали может быть легко рассчитана по следующей формуле : Также : Как найти высоту параллелепипеда? модератор выбрал этот ответ лучшим Nonse­nse [63.5K] 7 лет назад  Прямоугольным параллелепипедом (ПП) является ни что иное, как призма, основанием у которой прямоугольник. У ПП все диагонали равны, значит любая его диагональ рассчитывается по формуле: где а, в — стороны основания ПП; с — его высота. Можно дать и другое определение, рассматривая декартову прямоугольную систему координат: Диагональ ПП это радиус-вектор любой точки пространства, заданной координатами x, y и z в декартовой системе координат. Этот радиус вектор к точке проводится из начала координат. А координатами точки будут проекции радиус-вектора (диагонали ПП) на координатные оси. Проекции совпадают с вершинами данного параллелепипеда. Zolot­ynka [551K] 8 лет назад  Если у прямоугольного параллелепипеда известны длина, высота и ширина (a,b,c) то формула для расчета диагонали будет выглядеть таким образом: Обычно учителя не предлагают своим ученикам «голую» формулу, а прилагают усилия, чтобы те могли самостоятельно ее вывести, задавая наводящие вопросы: что нужно узнать, какими данными мы располагаем? какие свойства имеет прямоугольный параллелепипед? применима ли здесь Теорема Пифагора? Как? достаточное ли данных для применения теоремы Пифагора, или нужны еще какие-то расчеты? Обычно после ответа на поставленные вопросы, ученики без труда самостоятельно выводят данную формулу. Лолоч­ка611 [15.4K] 8 лет назад  Прямоугольный параллелепипед это один из так званных многогранников, который состоит из 6 граней, каждая из которых является прямоугольником. А диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины параллелограмма. Если длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда принять за a, b, c соответственно, то формула его диагонали ( D ) будет выглядеть следующим образом: D^2=a^2+b^2+c^2. дольф­аника [379K] 8 лет назад  Нашлась в интернете неплохая схема-таблица с полным перечислением всего, что есть в параллепипеде. Есть формула, чтобы найти диагональ, которая обозначается d. Есть изображение грани, вершины и других важных для параллепипеде вещей. Багир­а999 [4.8K] 8 лет назад  Прямоугольный параллелепипед — это разновидность многогранника, состоящая из 6 граней, в основании которого — прямоугольник. Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины параллелограмма. Формула нахождения длины диагонали — квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений параллелограмма. Koluc­hiy [12.3K] 8 лет назад  Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Также как и диагонали его противоположных граней. Длину диагонали можно вычислить, зная длину рёбер параллелограмма, исходящих из одной вершины. Эта длина равна корню квадратному из суммы квадратов длин его рёбер. ДРЕСС­ИРОВЩ­ИК [56.5K] 9 лет назад  Квадрат диагонали, квадратного параллилепипеда (смотрите свойства квадратного параллепипеда) равна сумме квадратов трёх его разных сторон (ширине, высоте, толщине), а соответственно диагонали квадратного параллепипеда равна корню из этой суммы. haler­on [8.8K] 8 лет назад  Насколько мне известно еще со школьной программы, класс 9 если не ошибаюсь, и если не изменяет память , то диагональ прямоугольного параллелепипеда ровна корню квадратному суммы квадратов его всех трех сторон. [поль­зоват­ель забло­киров­ан] [-93] 8 лет назад  квадрат диагонали равен, сумме квадратов ширины , высоты и длинны , исходя с этой формулы получаем ответ , диагональ равно корню квадратному с суммы его трех разных измерений , буквами они позначаюnсz abc Космо­с111 [6.8K] 7 лет назад  Вспоминаю школьную программу по геометрии, можно сказать так: диагональ параллелепипеда равняется корню квадратному полученному из суммы его всех трех сторон (обозначаются они маленькими буквами a, b, c). Никол­ай Л [10K] 10 лет назад  Длина диагонали прямоугольного параллепипеда равна корню квадратному из суммы квадратов его сторон. Знаете ответ?

Материал урока.

Прежде чем
приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, какую фигуру мы
назвали параллелепипедом, основные свойства параллелепипеда.

Напомним, что параллелепипедом
мы назвали поверхность, составленную из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов ABB₁A₁, BCC1B₁,
CDD₁C₁, DAA₁D₁.

Повторим свойства
параллелепипеда. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и
равны. Например, в параллелепипеде, который
показан на рисунке грань ABCD равна и параллельна грани
A₁B₁C₁D₁, грань AA₁B₁B равна и параллельна грани DD₁C₁D, грань AA₁D₁D равна и параллельна грани BB₁C₁C.

Диагонали
параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Эти свойства мы уже
доказывали.

Когда мы изучали
тему «Параллелепипед», мы говорили, что, если все боковые ребра параллелепипеда
перпендикулярны к плоскостям его оснований, т. е. боковые грани –
прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямым. Если же и
основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то такой параллелепипед
называется прямоугольным.

Сегодня на уроке мы
познакомимся с прямоугольным параллелепипедом поближе.

Форму
прямоугольного параллелепипеда  имеют многие предметы.

 Давайте посмотрим
на рисунок.

Основаниями этого
прямоугольного параллелепипеда служат прямоугольники ABCD
и A₁B₁C₁D₁, боковые
рёбра AA₁, BB₁,
CC₁, DD₁ перпендикулярны
к основаниям. То есть можно записать, что AA₁
перпендикулярно AB, то есть боковая грань AA₁B₁B – прямоугольник. Аналогично, можно показать, что все
боковые грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Таким
образом, мы обосновали свойство прямоугольного параллелепипеда.

Сформулируем его. В
прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

Полуплоскости, в
которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы,
которые называются двугранными углами параллелепипеда.

Рассмотрим,
например, двугранный угол с ребром AB, то есть
двугранный угол между плоскостями ABB₁ и ABC.

По другому этот
угол можно записать так: угол A₁ABD.

Возьмем на ребре AB, например, точку А. AA₁
– перпендикуляр к ребру AB в плоскости ABB₁, АD– перпендикуляр к
ребру АB в плоскости ABC.
Значит, угол A₁AD – линейный угол двугранного
угла. Это прямой угол, значит, двугранный угол при ребре AB
– прямой.

Аналогично
доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда
прямые. Это утверждение является еще одним свойством прямоугольного
параллелепипеда.

Длины трех ребер,
имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Например, у параллелепипеда, который изображен на рисунке в качестве измерений
можно взять длины ребер AB, АD
и AA₁.

Понятно, что если
мы говорим, например, о размерах коробки, которая имеет форму прямоугольного
параллелепипеда, то мы вместо слова измерения используем слова: длина, ширина и
высота.

Давайте вспомним,
что в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов смежных сторон.
Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника. Тогда это
утверждение можно переформулировать так: квадрат диагонали прямоугольника равен
сумме квадратов двух его измерений.

Аналогичным
свойством обладает и прямоугольный параллелепипед.

Сформулируем теорему.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех
его измерений.

Пусть дан
прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Тогда нам надо доказать, что, например,  .

Доказательство.

Поскольку
параллелепипед прямоугольный, то ребро CC₁ перпендикулярно
к основанию ABCD. А, значит, угол ACC₁
– прямой.

Рассмотрим
треугольник ACC₁. Это прямоугольный
треугольник, значит, по теореме Пифагора можно записать, что .

AC
– диагональ прямоугольника ABCD. Значит, по свойству
диагоналей прямоугольника можно записать, что . Кроме
того, мы знаем, что ребро CC₁ равно AA₁. Тогда подставив все в выражение для , получим,
что .

Что и
требовалось доказать.

Теперь давайте
сформулируем и докажем следствие из этой теоремы.

Диагонали
прямоугольного параллелепипеда равны.

Это следствие легко
доказать, если мы посмотрим на доказательство теоремы. Мы могли взять вместо
диагонали AC₁, например, диагональ CA₁ или диагонали BD₁
или DB₁, но мы бы получили то же самое
выражение.

Если мы обозначим
измерения прямоугольного параллелепипеда буквами a, b, c, тогда можно записать, что .

Если все измерения
прямоугольного параллелепипеда равны, то такой прямоугольный параллелепипед
называется кубом.

Поскольку все
измерения куба равны, значит, все грани куба – квадраты.

Решим несколько
задач.

Задача. Измерения
прямоугольного параллелепипеда равны .
Найти длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Решение.

Воспользуемся
следствием из теоремы и запишем, что все диагонали прямоугольного
параллелепипеда равны.

Теперь применим
теорему и запишем, что диагонали равны корню квадратному из суммы квадратов измерений
прямоугольного параллелепипеда.

Поскольку мы знаем,
что все диагонали параллелепипеда равны, при решении задач мы будем изображать
только одну диагональ параллелепипеда, если условие задачи не потребует
изобразить больше диагоналей.

Ответ.

Решим еще одну
задачу.

Задача. В
прямоугольном параллелепипеде измерения равны , , . Найти
диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и
плоскостью его основания.

Решение.

Ответ. ; .

А теперь давайте решим
одну задачу, которую очень часто решают люди, которые делают ремонт.

Задача. Измерения
комнаты равны , , .
Подсчитать площадь пола, потолка, и стен комнаты.

Решение.

Каждая из граней
прямоугольного параллелепипеда – прямоугольник. Для того, чтобы найти площадь
каждой грани, достаточно перемножить соответствующие измерения каждого
прямоугольника.

Ответ. 20м²;
15 м²; 12 м²

Решим еще одну
задачу.

Задача. Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна ,
а два измерения равны соответственно  и . Найти
третье измерение прямоугольного параллелепипеда.

Решение.

Запишем формулу,
связывающую квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда и квадраты
измерений прямоугольного параллелепипеда.

(Очевидно, что
измерение прямоугольного параллелепипеда не может быть отрицательным числом).

Ответ. 4

Решим еще одну
задачу.

Задача. Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна ,
, . Найти
третье измерение прямоугольного параллелепипеда.

Решение.

Ответ. 8

Решим еще одну задачу.

Задача. Измерения
параллелепипеда равны ,
, . На ребре
 прямоугольного
параллелепипеда, изображенного на рисунке, дана точка  такая,
что отношение . На ребре
 отмечена
точка  так, что . На
отрезке  отмечена
точка , которая
является серединой отрезка . Найти
длину отрезка .

Решение.

Сначала построим
плоскость, в которой будет лежать отрезок МК. Для этого достаточно из точки Е
опустить перпендикуляр на грань ABCD. Получим точку E₁. Тогда в плоскости EE₁C и будет лежать искомый отрезок КМ.

Найдем длину
отрезка KC₁.Рассмотрим треугольник EB₁C₁.

Теперь из
треугольника MKC₁ определим МК.

Подведем итоги
урока.

Сегодня на уроке мы
повторили определение параллелепипеда, повторили основные свойства
параллелепипеда. Дали определение прямоугольному параллелепипеду, измерениям
прямоугольного параллелепипеда, рассмотрели свойства прямоугольного
параллелепипеда. Решили несколько задач.

Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.