Как найти изображение по оригиналу по таблице

Рассмотрим
простейшие приемы нахождения оригинала
по известному изображению. Один из них
основан на использовании таблицы
изображений, которая в этом случае
рассматривается в обратном порядке, и
правил операционного исчисления. В
первую очередь это относится к теореме
смещения, интегрированию и дифференцированию
изображения и изображению свертки
функций.

Пример
12.
Найти оригинал f(t),
если
.

Решение.
Исходным можно взять соответствие

.

Операции
смещения на а
в области изображений соответствует
операция домножения на

в области оригиналов. Поэтому при а=1
имеем

.

Операции
домножения на

в области изображений соответствует
запаздывание на =2
в области оригиналов. Следовательно,

Пример
13.
Найти оригинал изображения
.

Решение.
Выделим в знаменателе полный квадрат

.

Воспользуемся
равенством
,
а также теоремой смещения. В результате
получим
.

Пример
14.
Найти оригинал, соответствующий
изображению
.

Решение.
Можно поступить так: за исходное взять
соотношение
.

Затем
воспользуемся тем, что делению на р
в области изображений соответствует
операция интегрирования в области
оригиналов:

.

Это же свойство
применим повторно:

.

Заметим,
что оригинал указанного изображения
проще можно было бы найти, если разложить
его на простейшие дроби:

.

Согласно
свойству линейности имеем

.

Пример
15.
Найти оригинал изображения

.

Решение.
Представим изображение в виде

.

Произведению
изображений

и

соответствует свертка их оригиналов

и
.
Поэтому

.

Для
этого изображения оригинал можно найти
проще, если воспользоваться тем, что
операции дифференцирования в области
изображений соответствует операция
домножения на (-t)

в области оригиналов. Поэтому

.

Очень
часто при решении практических задач
возникает необходимость нахождения
оригиналов изображений, которые
представляются в виде дробно рациональной
функции

,

в
которой старшая степень числителя
меньше старшей степени знаменателя
переменной р.

При
нахождении оригинала такой дроби
разлагают ее на сумму простых дробей с
помощью метода неопределенных
коэффициентов, известного из интегрального
исчисления. Затем находят оригиналы
для каждой простой дроби.

Пример
16
.
Найти оригинал, соответствующий
изображению

.

Решение.
Разложим данную дробь на сумму простейших
дробей. Для этого, прежде всего, найдем
корни знаменателя, решив уравнение
.
Проверкой убеждаемся, что

один из его корней. Разделим кубический
многочлен

на двучлен р+1.
В частном получим
.
Дискриминант этого трехчлена —
отрицательный, на действительные
множители он не разлагается. Разложение
данного изображения на простейшие дроби
имеет вид:

.

Отсюда

.

Полагая
в этом равенстве
,
находим
.
Затем приравниваем коэффициенты при
одинаковых степенях р:

,
.

Таким
образом,
.

В
знаменателе второй дроби выделим полный
квадрат, а в числителе — двучлен
:

.

Используя
свойство линейности , переходим в область
оригиналов. Получим

.

Заметим,
что в данном случае, прежде чем приступать
к разложению изображения на простейшие
дроби, было бы полезно воспользоваться
теоремой смещения. Для этого в исходном
изображении выделим двучлен
:

.

Тогда

.

Разложение
полученного изображения на простейшие
дроби проще, чем исходного:

;
; ; .

Оригиналом
будет функция

или
.

Задача
нахождения оригиналов, соответствующих
дробно-рациональным изображениям
упрощается, если воспользоваться
следующей краткой таблицей (табл. 3).

Таблица 3 –
Изображение – оригинал

Изображение

Оригинал

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

11

0

Продолжение табл.
3

1

2

3

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.

Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.

  1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям — их изображениям.
  2. Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.
  3. Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.

В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа

Оригиналы и их изображения:

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) — действительная функция действительного переменного t (под t будем понимать время или координату).

Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

  1. Операционное исчисление
  2. f(t) — кусочно-непрерывная при Операционное исчисление т. е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.
  3. Существуют такие числа Операционное исчисление что для всех t выполняется неравенство Операционное исчисление, т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число Операционное исчисление называется показателем роста f(t).

Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в момент t = 0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить Операционное исчисление), степенные Операционное исчисление и другие (для функций вида Операционное исчисление( условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функция Операционное исчисление(не удовлетворяет второму условию).

Замечание:

Функция f(t) может быть и комплексной функцией действительно переменного, т. е. иметь вид Операционное исчисление она считается оригиналом, если действительные функции Операционное исчислениеявляются оригиналами.

Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного Операционное исчисление, определяемая интегралом

Операционное исчисление

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде Операционное исчисление или Операционное исчисление(принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения — соответствующими большими буквами).

Теорема:

Существование изображения. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) существует (определено) в полуплоскости Операционное исчисление— показатель роста функции f(t) , причем функция F(p) является аналитической в этой полуплоскости Операционное исчисление.

Докажем первую часть теоремы. Пусть Операционное исчисление произвольная точка полуплоскости Операционное исчисление (см. рис. 302).

Операционное исчисление

Учитывая, что Операционное исчисление находим:

Операционное исчисление

так как

Операционное исчисление

Таким образом,

Операционное исчисление

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изображение F(p) существует и однозначно в полуплоскости Операционное исчисление

Следствие:

Необходимый признак существования изображения. Если функция F(p) является изображением функции f(t) , то

Операционное исчисление

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2), когдаОперационное исчисление

Так как F(p) — аналитическая функция в полуплоскости

Операционное исчисление

по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции Операционное исчисление не могут быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямой Операционное исчисление или на самой этой прямой. Функция F(p) , не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции f(t). Не является изображением, например, функция Операционное исчисление (ее особые точки расположены на всей оси s).

Теорема:

О единственности оригинала. Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов Операционное исчисление, то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.
(Примем без доказательства.)

Пример:

Найти изображение единичной функции Хевисайда

Операционное исчисление

(см. рис. 303).

Операционное исчисление

Решение:

По формуле (78.1) при Операционное исчисление находим:

Операционное исчисление

т. e. Операционное исчисление, или, в символической записи, Операционное исчисление

Замечание:

В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записывать в виде f(t) , подразумевал, что

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображение функции Операционное исчисление — любое число.

Решение:

Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1) имеем

Операционное исчисление

если Re(p — a) > 0. Таким образом,

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображение функции f(t) = t.

Решение:

В этом случае преобразование Лапласа имеет вид

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Замечание:

Функция Операционное исчисление является аналитической не только в полуплоскости Rep > Re а, где интеграл (78.1) сходится, а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особенность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным, как правило, само изображение функции, а не область, в которой оно выражается интегралом (78.1).

Свойства преобразования Лапласа

Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если

Операционное исчисление

— постоянные числа, то

Операционное исчисление

Используя свойства интеграла, находим

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображения функций Операционное исчисление — любое число), с (const), Операционное исчисление

Решение:

Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), находим:

Операционное исчисление

т. е.

Операционное исчисление

Аналогично получаем формулу

Операционное исчисление

Далее, Операционное исчислениет. е.

Операционное исчисление

Наконец,

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Аналогично получаем формулу

Операционное исчисление

Подобие

Если

Операционное исчисление

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число Операционное исчисление приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

По формуле (78.1) имеем

Операционное исчисление

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).
Например, пусть Операционное исчисление. Тогда

Операционное исчисление

Смещение (затухание)

Если

Операционное исчисление

т. е. умножение оригинала на функциюОперационное исчисление влечет за собой смещение переменной р.

В силу формулы (78.1) имеем

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Пример:

Найти оригинал по его изображению

Операционное исчисление

Решение:

Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:

Операционное исчисление

(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.)

Запаздывание

Если

Операционное исчисление

т. е. запаздывание оригинала на положительную величину Операционное исчислениеприводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на Операционное исчисление.

Положив Операционное исчисление, получим

Операционное исчисление

Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и Операционное исчислениеимеют одинаковый вид, но график функции Операционное исчисление сдвинут на Операционное исчисление единиц

Рис. 304
Рис. 305
вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции f(t) и Операционное исчисление описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией Операционное исчисление, начинается с опозданием на время Операционное исчисление.

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.

Функция

Операционное исчисление

называется обобщенной единично ной функцией (см. рис 305).

Так как

Операционное исчисление

Запаздывающую функцию

Операционное исчисление

можно записать так:

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображение f(t) = t — 1.

Решение:

Для того чтобы быть оригиналом, функция f(t) должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию f(t) как

Операционное исчисление

т. е. Операционное исчисление (см. рис. 306, а), то, зная, что Операционное исчисление(см. формулу (78.4)), Операционное исчисление и, используя свойство линейности, находим

Операционное исчисление

Если же понимать функцию f(t) как

Операционное исчисление

т. е. Операционное исчисление (см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображение функции

Операционное исчисление

Решение:

Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 307), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции Операционное исчисление и обобщенной единичной функции Операционное исчисление. Поэтому

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображение функции

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Решение:

Функция-оригинал изображена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда Операционное исчисление:

Операционное исчисление

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Операционное исчисление

Изображение функции f(t) будет равно

Операционное исчисление

Замечания:

1.Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т,

есть Операционное исчисление

2.Свойство опережения

Операционное исчисление

применяется значительно реже.

Дифференцирование оригинала

Если Операционное исчисление и функции Операционное исчисление являются оригиналами, то

Операционное исчисление

По определению изображения находим

Операционное исчисление

Итак,Операционное исчисление Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной f»(t):

Операционное исчисление

Аналогично найдем изображение третьей производной f»‘(t):

Операционное исчисление

Применяя формулу (78.11) (п — 1) раз, получим формулу (78.14).

Замечание. Формулы (78.11)-(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если

Операционное исчисление

т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на р.

Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.

Пример:

Найти изображение выражения

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Решение:

Пусть Операционное исчисление Тогда, согласно формулам (78.11)—(78.13), имеем

Операционное исчисление

Следовательно,

Операционное исчисление

Дифференцирование изображения

Если Операционное исчисление то

Операционное исчисление

т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (-t).

Согласно теореме 78.1 существования изображения, F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Операционное исчислениеСледовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операции опустим), получим

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображения функций Операционное исчисление

Операционное исчисление

Решение:

Так как Операционное исчисление, то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем Операционное исчисление т. е.

Операционное исчисление

Далее находим

Операционное исчисление

Продолжая дифференцирование, получим

Операционное исчисление

С учетом свойства смещения получаем

Операционное исчисление

Согласно формуле (78.5), Операционное исчисление Следовательно,

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим

Операционное исчисление

С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем

Операционное исчисление

Интегрирование оригинала

Если

Операционное исчисление

т. е. интегрированию оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на р.

Функция Операционное исчисление является оригиналом (можно проверить).

Пусть Операционное исчисление Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем

Операционное исчисление

(так как Операционное исчисление). А так как

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Интегрирование изображения

Если Операционное исчисление и интеграл Операционное исчисление сходится, то Операционное исчислениет. е. интегрированию изображения от p до Операционное исчисление соответствует деление его оригинала на t.

Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (обоснование законности этой операции опускаем), получаем

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображение функции Операционное исчисление найти изображение интегрального синуса Операционное исчисление

Решение:

Так как

Операционное исчисление

т. е. Операционное исчисление Применяя свойство интегрирования t оригинала, получаем

Операционное исчисление

Умножение изображений

Если Операционное исчислението

Операционное исчисление

Можно показать, что функция Операционное исчислениеявляется оригиналом.

Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать

Операционное исчисление

Область D интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями Операционное исчисление (см. рис. 309).

Операционное исчисление

Изменяя порядок интегрирования и полагая Операционное исчисление, получим

Операционное исчисление

Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой функции Операционное исчисление и обозначается символом Операционное исчисление, т. е.

Операционное исчисление

Можно убедиться (положив Операционное исчисление), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е. Операционное исчисление

Умножение изображений соответствует свертыванию их оригиналов, т. е.

Операционное исчисление

Пример:

Найти оригинал функций

Операционное исчисление

Решение:

Так как

Операционное исчисление

то

Операционное исчисление

Операционное исчисление

т. e.

Операционное исчисление

Аналогично получаем

Операционное исчисление

Следствие:

Если Операционное исчисление также является оригиналом, то

Операционное исчисление

Запишем произведение Операционное исчисление в виде

Операционное исчисление

или

Операционное исчисление

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам Операционное исчисление Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать Операционное исчисление или

Операционное исчисление

Формула (78.18) называется формулой Дюамеля. На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

Операционное исчисление

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример:

Найти оригинал, соответствующий изображению

Операционное исчисление

Решение:

Так как

Операционное исчисление

то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем

Операционное исчисление

Умножение оригиналов

Операционное исчисление

где путь интегрирования — вертикальная прямая Операционное исчисление (см. рис. 310) (примем без доказательства).

Операционное исчисление

Резюме

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства.

Операционное исчисление

Операционное исчисление

6. Дифференцирование изображения

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Таблица оригиналов и изображений

Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов).

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Обратное преобразование Лапласа

Теоремы разложения:

Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствующий ему оригинал f(t).

Теорема:

Если функция F(p) в окрестности точки Операционное исчисление может быть представлена в виде ряда Лорана

Операционное исчисление

то функция

Операционное исчисление

является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.

Операционное исчисление

Примем эту теорему без доказательства.

Пример:

Найти оригинал f(t), если

Операционное исчисление

Решение:

Имеем

Операционное исчисление

Следовательно, на основании теоремы 79.1

Операционное исчисление

Запишем лорановское разложение функции Операционное исчисление в окрестности точкиОперационное исчисление:

Операционное исчисление

где Операционное исчислениеСледовательно,

Операционное исчисление

Теорема:

Если Операционное исчислениеправильная рациональная дробь, знаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни (нули)Операционное исчисление то функция

Операционное исчисление

является оригиналом, имеющим изображение F(p).

Отметим, что дробь Операционное исчисление должна быть правильной (степень многочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)) в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения

Операционное исчисление

не может быть изображением.

Разложим правильную рациональную дробь Операционное исчисление на простейшие:

Операционное исчисление

где Операционное исчисление— неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента Операционное исчисление этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на Операционное исчисление:

Операционное исчисление

Переходя в этом равенстве к пределу при Операционное исчисление, получаем

Операционное исчисление

Итак, Операционное исчислениеАналогичным путем (умножая обе части равенства (79.2) на Операционное исчисление найдем Операционное исчисление

Подставляя найденные значения Операционное исчисление в равенство (79.2), получим

Операционное исчисление

Так как по формуле (78.3)

Операционное исчисление

то на основании свойства линейности имеем

Операционное исчисление

Замечание:

Легко заметить, что коэффициенты Операционное исчислениеопределяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых полюсах (формула (77.4)):

Операционное исчисление

Можно показать, что если Операционное исчисление правильная дробь, но корни (нули)Операционное исчисление знаменателя В(р) имеют кратности Операционное исчисление соответственно, то в этом случае оригинал изображения F(p) определяется формулой

Операционное исчисление

Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом:
Теорема:

Если изображение Операционное исчислениеявляется дробно-рациональной функцией от Операционное исчисление — простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображению F(p), определяется формулой

Операционное исчисление

Формула Римана-Меллина

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид

Операционное исчисление

где интеграл берется вдоль любой прямой Операционное исчисление.

При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по формуле

Операционное исчисление

Замечание:

На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения F(p) соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p) стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Пример:

Найти оригинал по его изображению

Операционное исчисление

Решение:

Проще всего поступить так:

Операционное исчисление

(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).

Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:

Операционное исчисление

корни знаменателяОперационное исчисление и, согласно формуле (79.1),

Операционное исчисление

Пример:

Найти функцию-оригинал, если ее изображение
задано как Операционное исчисление

Решение:

Здесь

Операционное исчисление

— простой корень знаменателя, Операционное исчисление — 3-кратный корень (m = 3). Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем:

Операционное исчисление

Приведем другой способ нахождения f(t). Разобьем дробь Операционное исчисление

на сумму простейших дробей:

Операционное исчисление

Следовательно,

Операционное исчисление

Приведем третий способ нахождения f(t). Представим F(p) как
произведение Операционное исчислениеи так как Операционное исчислениепользуясь свойством умножения изображений, имеем:

Операционное исчисление

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Операционное исчисление

удовлетворяющее начальным условиям

Операционное исчисление

где Операционное исчисление — заданные числа.

Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматриваемыми производными и функция f(t) являются оригиналами.

Пусть Операционное исчислениеПользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении(80.1) от оригиналов к изображениям:

Операционное исчисление

Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно Y:

Операционное исчисление

— алгебраические многочлены от p степени п и п-1 соответственно. Из последнего уравнения находим

Операционное исчисление

Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все начальные условия равны нулю, т. е.Операционное исчисление

В этом случае Операционное исчисление

Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению (80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения (80.1).

Замечание:

Полученное решение y(t) во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях t (а не только при Операционное исчисление).

Пример:

Решить операционным методом дифференциальное уравнение Операционное исчисление при условиях Операционное исчисление

Решение:

Пусть Операционное исчисление Тогда

Операционное исчисление

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

Операционное исчисление

Отсюда Операционное исчисление Находим y(t). Можно разбить дробь на сумму простейших Операционное исчисление но так как корни знаменателя Операционное исчисление простые, то удобно воспользоваться второй теоремой разложения (формула (79.1)), в которой

Операционное исчисление

Получаем:

Операционное исчисление

Пример:

Найти решение уравнения

Операционное исчисление

при условии Операционное исчисление

Решение:

График данной функции имеет вид, изображенный на рисунке 311.

Операционное исчисление

С помощью единичной функции правую часть данного дифференциального уравнения можно записать одним аналитическим выражением:

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Таким образом, имеем

Операционное исчисление

Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет вид

Операционное исчисление

Отсюда

Операционное исчисление

Так как

Операционное исчисление

то по теореме запаздывания находим:

Операционное исчисление

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Покажем это на конкретном примере.

Пример:

Решить систему дифференциальных уравнений

Операционное исчисление

Решение:

Пусть

Операционное исчисление

Находим, что

Операционное исчисление

Система операторных уравнений принимает вид

Операционное исчисление

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:

Операционное исчисление

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Операционное исчисление

С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Прямая линия
  109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  110. Кривые второго порядка
  111. Кривые и поверхности второго порядка
  112. Числовые ряды
  113. Степенные ряды
  114. Ряды Фурье
  115. Преобразование Фурье
  116. Функциональные ряды
  117. Функции многих переменных
  118. Метод координат
  119. Гармонический анализ
  120. Вещественные числа
  121. Предел последовательности
  122. Аналитическая геометрия
  123. Аналитическая геометрия на плоскости
  124. Аналитическая геометрия в пространстве
  125. Функции одной переменной
  126. Высшая алгебра
  127. Векторная алгебра
  128. Векторный анализ
  129. Векторы
  130. Скалярное произведение векторов
  131. Векторное произведение векторов
  132. Смешанное произведение векторов
  133. Операции над векторами
  134. Непрерывность функций
  135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  136. Предел и непрерывность функции одной переменной
  137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  140. Матрицы
  141. Линейные и евклидовы пространства
  142. Линейные отображения
  143. Дифференциальные теоремы о среднем
  144. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  145. Функции комплексного переменного
  146. Преобразование Лапласа
  147. Теории поля
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в
некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.

Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:

$$F(p) = int_0^infty f(t) e^{-pt}dt$$

Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Как найти изображение функции

Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению

$$f(t)=frac{e^{2t}-e^{-3t}}{t}.$$

Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.

Задача 3. Найти изображение функции: $int_0^t cos tau cdot e^{-3tau}dtau. $

Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = int_0^infty f(x) e^{-px}dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).

Как найти оригинал функции

Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где

$$F(p)=frac{2p-1}{(p^2-4p+13)^2}.$$

Задача 6. Найти оригинал изображения

$$F(p)=frac{15p^2+3p+34}{(p^2+4p+8)(p^2-6p+5)}.$$

Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов

$$F^*(p)=frac{1}{e^{4p}-625}.$$

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

$$x’+x=4e^t, x(0)=2.$$

Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления

$$x»+2x’+2x=te^{-t}, quad x(0)=0, x'(0)=0.$$

Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

$$x’=x-y,\
y’=x+y,\
x(0)=2, y(0)=1.$$

Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка

$$x»’+x»-2x’-5x=5e^t, quad x(0)=0, x'(0)=1, x»(0)=2.$$

Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

$$frac{dx}{dt}=x-2y,\
frac{dy}{dt}=x+3y,\
x(0)=0, y(0)=1. $$

Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения

$$x»’+x’=tg t, quad x(0)=x'(0)=x»(0)=0.$$

Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа

$$
x’=-y+z,\
y’=z, quad x(0)=1, \
z’=-x+z;\
y(0)=z(0)=1/2.
$$

Как решить интегральное уравнение

Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения

$$ y(t)=cos t +int_0^t (t-tau)^2 y(tau)d tau. $$

Задача 16. Решить интегральное уравнение

$$ int_0^t ch (tau) x(t-tau)d tau = t. $$

Как найти свертку функций

Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $phi(t)=sin 5t$.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Подробнее о решении заданий с преобразованием Лапласа

Дополнительная информация

  • Онлайн-помощь по математическому анализу
  • Дифференциальные уравнения — задачи с решениями
  • Как решать ДУ с помощью операционного исчисления

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Фото наполовину серые как исправить
  • Как составить таблицу пифагора по дате рождения
  • Как правильно составить апелляционную жалобу по административному делу
  • Как составить смету на работу по строительным работам
  • Как найти памятник по коду