Обратная решетка и ее свойства
Обратная решетка. Понятия «обратная решетка» и «обратное пространство» занимают особое место в физике дифракции, в кристаллографин и вообще в физике конденсированного состояния. Эти понятия в физике были введены американским физиком и математиком Джо- зайей Уиллардом Гиббсом*. Рассмотрим вначале определение обратной решетки.
Выберем три базисных вектора а, Ь, с, определяющие элементарную ячейку решетки в обычном пространстве кристалла (в прямом пространстве). Тогда вектор трансляции будет иметь вид (1.2)
Здесь т, п, р — целые числа.
Введем новое пространство, в котором определим также три базисных вектора а*, Ь*, с* и вектор трансляции, размножающий решетку:
Здесь h, к, I пока просто целые числа.
Если введенные в (1.4) векторы удовлетворяют тождествам
то векторы а, Ь, с называются векторами прямой решетки, а векторы а*, Ь*, с* — векторами обратной решетки в обратном пространстве. Тогда целые числа h, k, I являются индексами Миллера плоскостей в прямой решетке.
Свойства обратной решетки. Векторы обратной решетки имеют два важных свойства (рис. 1.8).
- 1. Вектор обратной решетки Ншвсегда перпендикулярен плоскости прямой решетки с индексами (hkl).
- 2. Модуль вектора обратной решетки Нш всегда равен обратной величине межплоскостного расстояния для плоскостей в прямой решетке с индексами (hkl), т. е.
Первое свойство обратной решетки доказывается так. Если две любые прямые линии, лежащие в плоскости, перпендикулярны какому- либо вектору, не лежащему в этой плоскости, то этот вектор обязательно перпендикулярен выбранной плоскости.
Выберем три вектора АВ, СВ, СА, лежащих в плоскости АВС, и определим их величины:
Рис. 1.8. Два свойства обратной решетки:
а — вектор обратной решетки с индексами hkl перпендикулярен плоскостям прямой решетки с индексами Миллера (hkl); б — расстояния между плоскостями прямой решетки с индексами Миллера (.hkl) равны модулю вектора обратной
Из векторной алгебры известно, что два вектора перпендикулярны друг другу, если их скалярное произведение равно нулю. Воспользовавшись определением векторов обратной решетки, можно записать
Отсюда следует, что вектор Н перпендикулярен плоскости прямой решетки с индексами (hkl). Рассмотренные свойства векторов обратной решетки делают понятным построение стереографической проекции, когда плоскости заменяются нормалями к плоскостям, т. е. векторами обратной решетки.
Второе свойство обратной решетки также легко доказывается. Выберем в пространстве кристалла любую плоскость АВС с индексами Миллера (hkl) (см. рис. 1.9) Пусть вектор п — единичный вектор нормали к этой плоскости, а вектор R — текущий радиус-вектор точки, лежащей на плоскости АВС. Пусть также а — кратчайшее расстояние от начала координат до плоскости ЛВС.
Тогда уравнение такой плоскости можно записать в виде
Здесь n — единичный вектор нормали к плоскости;
о — кратчайшее расстояние от начала координат до плоскости;
где 5 — целое число (например, для плоскости, проходящей через начало координат, 5 = 0); d — межплоскостное расстояние для этой системы плоскостей.
Рис. 1.9. К выводу второго свойства вектора обратной решетки Н:
А, В, С — точки пересечения плоскости с осями координат; R — текущий радиус-вектор любой точки на плоскости; а — расстояние от начала координат
С учетом сделанных пояснений уравнение плоскости (1.6) представимо как
Запишем текущий радиус-вектор любой точки плоскости АВС:
Тогда уравнение плоскости (1.7) можно переписать в виде
В уравнении плоскости (1.8) выражение есть уравнение плоскости АВС. Следовательно,
что и требовалось доказать.
Для кубической сингонии величина межплоскостного расстояния определяется соотношением
где а — параметр решетки.
Для других сингоний формулы для межплоскостных расстояний приведены в прил. 9 (табл. П.9.10).
Обратное пространство является более общим понятием (в физике конденсированного состояния используются эквивалентные термины: «векторное пространство», «/с-пространство», «пространство дисперсии»). В обратном пространстве разыгрываются все дифракционные явления. Математическим аппаратом, описывающим связь прямого и обратного пространства, является преобразование Фурье (рис. 1.10) — гармонический ряд или интегралы Фурье (более подробно об этом см. в главе 3):
Puc. 1.10. Схематическое изображение связи прямого и обратного пространства
Понятие обратной решетки, введенное выше, — это частный случай обратного пространства. При первом знакомстве эта модель кажется очень абстрактной и сильно усложненным понятием. Однако это не просто удобный способ описания дифракционных явлений: именно в узлах обратной решетки располагаются дифракционные максимумы. Без такого понятия многие дифракционные явления довольно сложно описать. Понятия «обратная решетка», «обратное пространство» проходят красной нитью через всю физику твердого тела (зонная структура вещества, зоны Бриллюэна, Фурье-образ, ^-пространство, дисперсионные зависимости и др.).
Обратная решетка
В физике твердого тела при анализе многих явлений (дифракция, движение электронов в потенциальном поле, рассеяние фотонов), связанных с периодическим расположением частиц, важную и полезную роль играет обратная решетка.
Обратная решетка представляет собой удобную абстракцию, позволяющую математически просто описать условия протекания того или иного явления в твердом кристаллическом теле.
Между векторами элементарных трансляций и периодами обратной решетки существует вполне определенная связь.
Пусть в кристаллической решетке элементарная ячейка определяется тремя элементарными трансляциями
с (рис. 1.14) [75]. Простейшими плоскими сетками являются сами координатные плоскости. Семейство плоскостей, параллельных векторам Ъ и
с (или, другими словами, плоскости семейства (100)), можно изобразить точкой на конце некоторого вектора а*, перпендикулярного к этим плоскостям. За длину этого вектора примем величину, обратную соответствующему межплоскостному расстоянию d 0Q = |Оа 11. Здесь Оп — проекция вектора а на нормаль к плоскости (100). Длину вектора а* можно определить из условия
Рис. 1.14. К выводу связи между параметрами прямой и обратной решеток
Кроме того, вектор а* откладывается вдоль нормали к плоскости так, чтобы для наблюдателя, смотрящего вдоль направления а*, вращение от b к
F совершалось по часовой стрелке. В векторном виде эти условия записываются тремя скалярными произведениями:
Два других вектора Ь* и с* определяют, исходя из сеток на других координатных плоскостях:
Проведем три вектора а*, Ь* и с* из какой-либо произвольной точки, кото рую назовем началом координат обратного пространства. Точечная решетка, построенная на этих векторах, является обратной решеткой для исходной (прямой) решетки кристалла.
Пусть объем элементарной ячейки прямой решетки Уяч, тогда
откуда в соответствии с соотношениями (1.1)—(1.3)
Углы между каждой парой векторов а*, 6*, с* обозначим о*, /3*, 7*. Они равны по величине двугранным углам триэдра, построенного на векторах 7Г, 6 , с, и могут быть вычислены из углов Q, /3, 7 между векторами прямой решетки по формулам:
Если в кристаллической решетке все углы прямые, то векторы элементарных трансляций а*, Ь*, с* обратной решетки параллельны векторам а , b ,
с прямой решетки и обратны им по величине. К этому результату можно прийти из формулы (1.5). Действительно, в этом случае объем элементарной ячейки Уяч = аЬс, а векторное произведение [6 с ] = be. Поэтому а* = 1/а.
Объем элементарной ячейки обратной решетки равен:
откуда
Таким образом, объем элементарной ячейки обратной решетки V* есть величина, обратная объему элементарной ячейки кристалла. Это соотношение является общим и применимо ко всем кристаллическим решеткам, в том числе и к непрямоугольным.
Любой вектор обратной решетки г* hkl = На* + Kb* + Lc* перпендикулярен плоскости (HKL) прямой кристаллической решетки, а длина его является величиной, обратной межплоскостному расстоянию:
Итак, прямая и обратная ячейки взаимно сопряжены. Если для описания кристаллической решетки вместо принятой вначале выбрать другую элементарную ячейку, то для элементарной ячейки обратной решетки получится также другая группа из трех векторов, но в целом решетка, построенная таким образом, будет идентична первой. Это следует из прямой связи между любым вектором одной решетки с одним только семейством плоскостей другой вне зависимости от координатных осей. Соответствие между двумя решетками, их взаимосвязь не зависят от выбора элементарной ячейки.
Решетка, обратная обратной решетке, является исходной (прямой) решеткой.
Каждый узел [[HKL]]* обратной решетки соответствуют семейству параллельных плоскостей (HKL) прямой решетки.
Обратная решетка сама является (по отношению к конкретной решетке Бравэ) решеткой Бравэ. Так, для примитивной кубической ячейки Бравэ со стороной а обратной является примитивная кубическая ячейка Бравэ со стороной 1 /а. Обратная к гранецентрированной есть объемноцентрированная решетка, а прямой объемноцентрированной соответствуют обратная гранецентрированная. Это утверждение будет доказано в одной из задач, приведенных в конце этой главы.
Как найти вектор обратной решетки
Зонные структуры Si и Ge, изображенные на рис. 31, вычерчены в обратном пространстве кристалла. Кое-что о k-пространстве было сказано, но этого явно недостаточно для отчетливого понимания закона дисперсии E(k). Существует несколько десятков пространственных конфигураций атомов: как выглядят их решетки, как найти обратные им, как применить теорию групп для их расчета, как учесть структурный фактор в гамильтониане? Ведь мы не касались вопросов составления ЛКАО-матрицы и не знаем, почему, собственно, ряд матричных элементов в ней равны нулю; есть параметры Exx и Exy, но почему-то отсутствуют Ezz, Eyy, Exz и Eyz. Видимо, это как-то связано с симметрией электронных оболочек и устройством кристаллической решетки, но как?
Не все мы сможем рассказать, поскольку наша цель состоит не в том, чтобы всесторонне осветить задачи физики полупроводников, а в том, чтобы в выгодном свете представить теорию групп, обслуживающую эту самую физику полупроводников. Конечно, мы постараемся приложить максимум усилий для того, чтобы физическая сторона рассматриваемых явлений была понятна читателю, однако главная задача состоит в том, чтобы убедительно продемонстрировать эффективность конструктивной математики, к которой, в частности, принадлежит и теория групп. Будущие специалисты по материалам полупроводниковой техники для уяснения каких-то непонятных им вопросов материаловедения должны будут, очевидно, обратиться все же к литературе, ограниченный список которой приведен и в конце нашего учебника. Итак, обратное пространство кристалла, что это такое и как его найти.
Если узлы прямой решетки определить равенством
то узлы обратной решетки определятся равенством
причем базисные векторы обоих пространств ортогональны и нормированы. Последнее означает, что выполняется условие:
Из последних равенств немедленно вытекает связь между базисными векторами прямого и обратного пространства:
, , .
На рис. 32 показаны 14 пространственных решеток Браве; кубические — простая (P), объемоцентрированная (I) и гранецентрированная (F) для специалистов по материалам полупроводниковой техники являются особенно важными. Прямыми вычислениями можно убедиться, что обратная решетка для простой кубической (ПК) есть также ПК решетка; объемоцентрированной кубической решетке (ОЦК) отвечает гранецентрированная решетка (ГЦК), и наоборот; наконец, для гексагональной плотноупакованной решетки (ГПУ) обратной является опять же ГПУ.
К примеру, ГЦК — решетка определяется следующими тремя векторами:
Найдем по предыдущим формулам вектора обратной решетки, для чего сначала определим произведения векторов, стоящие в числителе и знаменателе дробей:
,
;
, ,
— три вектора определяют узлы ОЦК ячейки.
Процедуру вычисления векторов обратной решетки можно упростить, если прибегнуть к матрицам. Пусть координаты прямой ГЦК решетки ai будут записаны элементами матрицы A, тогда обратная матрица A –1 = B укажет на координаты обратной ОЦК решетки bi:
, .
К понятию обратной решетки можно прийти и другим путем. Если рассмотреть разложение какой-либо одномерной периодической функции f (r) = f (r + R), где R — пространственный период прямого пространства, в ряд Фурье:
то здесь появляется структурный фактор S(K), для которого K есть радиус-вектор, пробегающий узлы обратной решетки. Так как exp (iKR) = 1, структурный фактор найдется через интеграл:
,
где Ω — объем элементарной ячейки прямой решетки, по которой и производится интегрирование. Поскольку обратная решетка определяется через коэффициенты преобразования Фурье, то k-пространство часто называют Фурье-пространством. Если в элементарной ячейке содержится N атомов с координатами ai, то распределение атомов в ней можно описать через δ-функцию:
В пределах элементарной ячейки R = 0, следовательно, суммирование производится только по атомам с координатами ai, а структурный фактор сводится не к интегралу, а к простой сумме:
.
Для ГЦК с координатами
структурный фактор приобретает следующий конкретный вид:
=
Наиболее важные полупроводники, кремний и германий, имеют решетку алмаза, в которой присутствуют еще четыре атома с координатами:
Если начало координат выбрано не на атоме, а посередине между двумя атомами, то можно показать, что структурный фактор алмаза связан со структурным фактором ГЦК решетки по формуле:
Большая группа полупроводников, составленных из атомов III и V группы, II и VI группы Периодической таблицы Менделеева, например: GaAs, GaP, GaSb, InAs, InP и т.д., имеют решетку цинковой обманки (ZnS). Пространственная решетка ZnS, куда входят уже два рода атомов, теряет центр симметрии и структурный фактор становится антисимметричным:
На рис. 33 показаны элементарные ячейки: а) Cu, б) W, в) Mg, г) алмаза, д) NaCl, е) CsCl, ж) ZnS, з) ZnO, и) NiAs, к) CaF, л) CuAu, м) Cu3Au. Для каждой из них, в соответствии со структурным фактором, можно построить элементарные ячейки обратной решетки. Важно уметь строить одну-единственную элементарную ячейку, поскольку закон дисперсии En(k) приводится только для нее одной, и здесь на первый план выдвигается понятие зоны Бриллюэна (ЗБ). Первую ЗБ определяют как область в обратном пространстве, окружающую один из узлов обратной решетки и ограниченную набором плоскостей, проходящих через середины векторов, соединяющих в обратной решетке данную точку с ее ближайшими соседями.
На рис. 34 показана первая ЗБ для двумерной косоугольной решетки; на рис. 35 вычерчены уже десять ЗБ для двумерной квадратной решетки. Точно таким же половинным делением расстояния между двумя узлами определяется ЗБ в трехмерном пространстве. На рис. 36а приведены базисные векторы ОЦК решетки, а на рис. 36б — первая ЗБ, имеющая форму правильного ромбододекаэдра. На рис. 37 приведены первых четыре ЗБ для ГЦК решетки. На рис. 38 указаны симметричные точки (Г, L, Λ, Δ, …) первой ЗБ для ГЦК решетки, представляющая собой полуправильный многогранник Архимеда — усеченный октаэдр. Симметричные точки можно видеть на энергетических зонах, рассчитанных ЛКАО-методом (рис. 31а).
На рис. 39 вычерчены ЗБ для всех 14 решеток Браве, показанные в прямом пространстве на рис. 32. Соответствия между ЗБ и решетками Браве следующие: а) триклинная, б) моноклинная Р, в) моноклинная С, г) ромбическая Р, д) ромбическая С, е) ромбическая I, ж) ромбическая F, з) тетрагональная Р’, и) тетрагональная I, к) тригональная R, л) гексагональная Р, м) кубическая Р, н) кубическая F, о) кубическая I. Поскольку выбор ячеек может быть осуществлен несколькими способами, то существует и несколько вариантов ЗБ; поэтому для 14 решеток Браве вычерчено 22 ЗБ.
http://ozlib.com/884468/tehnika/obratnaya_reshetka
http://sceptic-ratio.narod.ru/ma/km27.htm
Период дифракционной решетки
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 171.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 171.
Для измерения длины световой волны нередко используется специальный оптический прибор, который называется дифракционной решеткой. Важнейшей характеристикой любой дифракционной решетки является ее период. Рассмотрим эту характеристику подробнее.
Дифракция на тонкой щели
Основой работы дифракционной решетки является способность световых волн к дифракции на тонких узких щелях. Дифракционная картина на одной узкой щели представляет собой чередование максимумов и минимумов освещенности, причем главный максимум имеет наибольшую интенсивность, а на остальных максимумах интенсивность освещенности быстро падает.
Если взять две тонких щели, расположенные рядом, то волны от щелей начинают интерферировать между собой, давая на дифракционной картине дополнительные минимумы, основные же максимумы становятся выражены более четко. При трех щелях дополнительных минимумов становится больше, а основные максимумы выделяют еще лучше.
Если взять большое количество периодических тонких щелей, в результате получаем дифракционную решетку.
Дифракционная решетка
Измерительная дифракционная решетка имеет, как правило, несколько тысяч штрихов на миллиметр, общее количество штрихов доходит до сотен тысяч. Дифракционная решетка может быть прозрачной или отражающей. В прозрачной решетке чередуются прозрачные и непрозрачные участки. В отражающей чередуются отражающие и неотражающие участки.
Расстояние между центрами соседних штрихов $d$ называется периодом дифракционной решетки и является важнейшей ее характеристикой. Формула периода дифракционной решетки:
$$d = S_{щели}+ S_{непрозр}$$
То есть период дифракционной решетки равен сумме ширины щели и ширине непрозрачной области между соседними щелями.
Если число щелей в решетке обозначить через $N$, то в создании интерференционной картины за решеткой участвует $N$ когерентных световых пучков. Положение главных максимумов определяется условием:
$$d sin varphi = k lambda$$
где:
- $varphi$ — угол отклонения для данного максимума;
- $lambda $ — длина волны света;
- $k$ — 0,1,2… — номер максимума.
Между главными максимумами на дифракционной картине имеется $N-1$ минимумов, максимумы же имеют интенсивность во столько же раз больше (по сравнению с дифракцией на одиночной щели).
Наиболее интенсивным остается центральный максимум ($k=0$). Кроме того, поскольку угол отклонения зависит от длины волны, дифракционная решетка разлагает белый свет в спектр.
Измерение длины волны с помощью дифракционной решетки
Дифракционная решетка позволяет очень точно определять длину волны падающего пучка. Для этого достаточно измерить угол $varphi$ отклонения, который соответствует некоторому максимуму.
При этом важным параметром является разрешающая способность дифракционной решетки $R$. Разрешающая способность прямо пропорциональна количеству штрихов и порядку максимума:
$$R=kN$$
Разрешающая способность показывает, во сколько раз длина волны больше абсолютной погрешности ее определения.
Что мы узнали?
Дифракционная решетка — это совокупность непрозрачных штрихов и прозрачных участков. Период дифракционной решетки — это сумма ширины прозрачного участка и ширины штриха. Дифракционная решетка применяется для измерения длины волны падающего света. Важнейшими параметрами дифракционной решетки является период и разрешающая способность.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка доклада
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 171.
А какая ваша оценка?
Дифракционная решетка
- Подробности
- Обновлено 20.07.2018 19:40
- Просмотров: 692
«Физика — 11 класс»
На явлении дифракции основано устройство оптического прибора — дифракционной решетки.
Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа очень узких щелей, разделенных непрозрачными промежутками. Б.
Хорошую решетку изготовляют с помощью специальной делительной машины, наносящей на стеклянную пластину параллельные штрихи.
Число штрихов доходит до нескольких тысяч на 1 мм; общее число штрихов превышает 100 000.
Просты в изготовлении желатиновые отпечатки с такой решетки, зажатые между двумя стеклянными пластинами.
Наилучшими качествами обладают так называемые отражательные решетки.
Они представляют собой чередующиеся участки, отражающие свет и рассеивающие его.
Рассеивающие свет штрихи наносятся резцом на отшлифованную металлическую пластину.
Если ширина прозрачных щелей (или отражающих свет полос) равна а, и ширина непрозрачных промежутков (или рассеивающих свет полос) равна 5, то величина d = а + b называется периодом решетки.
Обычно период дифракционной решетки порядка 10 мкм.
Рассмотрим элементарную теорию дифракционной решетки.
Пусть на решетку падает плоская монохроматическая волна длиной волны λ.
Вторичные источники, расположенные в щелях, создают световые волны, распространяющиеся по всем направлениям.
Найдем условие, при котором идущие от щелей волны усиливают друг друга.
Рассмотрим, например, волны, распространяющиеся в направлении, определяемом углом φ.
Разность хода между волнами от краев соседних щелей равна длине отрезка АС.
Если на этом отрезке укладывается целое число длин волн, то волны от всех щелей, складываясь, будут усиливать друг друга.
Из треугольника АВС можно найти длину катета АС: АС = АВ sin φ — d sin φ.
Максимумы будут наблюдаться под углом φ, в соответствии с условие
где величина k = 0, 1, 2, … определяет порядок спектра.
Нужно иметь в виду, что при выполнении условия усиливают друг друга не только волны, идущие от нижних краев щелей, но и волны, идущие от всех других точек щелей.
Каждой точке в первой щели соответствует точка во второй щели, находящаяся на расстоянии d от первой точки.
Поэтому разность хода испущенных этими точками вторичных волн равна kλ, и эти волны взаимно усиливаются.
За решеткой помещают собирающую линзу и за ней — экран на фокусном расстоянии от линзы.
Линза фокусирует лучи, идущие параллельно, в одной точке.
В этой точке происходит сложение волн и их взаимное усиление.
Углы φ, удовлетворяющие условию, определяют положение так называемых главных максимумов на экране.
Наряду с картиной, получаемой в результате дифракции света, в случае дифракционной решетки наблюдается дифракционная картина и от отдельных щелей.
Интенсивности максимумов в ней меньше интенсивности главных максимумов.
Так как положение максимумов (кроме центрального, соответствующего k = 0) зависит от длины волны, то решетка разлагает белый свет в спектр.
Чем больше λ, тем дальше от центрального максимума располагается тот или иной максимум, соответствующий данной длине волны.
Каждому значению k соответствует свой порядок спектра.
Между максимумами расположены минимумы освещенности.
Чем больше число щелей, тем более резко очерчены максимумы и тем более широкими минимумами они разделены.
Световая энергия, падающая на решетку, перераспределяется ею так, что большая ее часть приходится на максимумы, а в область минимумов попадает незначительная часть энергии.
С помощью дифракционной решетки можно проводить очень точные измерения длины волны.
Если период решетки известен, то определение длины волны сводится к измерению угла φ, соответствующего направлению на максимум.
Наши ресницы вместе с промежутками между ними представляют собой грубую дифракционную решетку.
Поэтому, если посмотреть, прищурившись, на яркий источник света, то можно обнаружить радужные цвета.
Белый свет разлагается в спектр при дифракции вокруг ресниц.
Лазерный диск с бороздками, проходящими близко друг от друга, подобен отражательной дифракционной решетке.
Если вы посмотрите на отраженный им свет от электрической лампочки, то обнаружите разложение света в спектр.
Можно наблюдать несколько спектров, соответствующих разным значениям k.
Картина будет очень четкой, если свет от лампочки падает на пластинку под большим углом.
Множество узких щелей на небольшом расстоянии друг от друга образует замечательный оптический прибор — дифракционную решетку.
Решетка разлагает свет в спектр и позволяет очень точно измерять длины световых волн.
Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин
Световые волны. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика
Оптика —
Скорость света —
Принцип Гюйгенса. Закон отражения света —
Закон преломления света —
Полное отражение —
Линза —
Построение изображения в линзе —
Формула тонкой линзы. Увеличение линзы —
Примеры решения задач. Геометрическая оптика —
Дисперсия света —
Интерференция механических волн —
Интерференция света —
Некоторые применения интерференции —
Дифракция механических волн —
Дифракция света —
Дифракционная решетка —
Поперечность световых волн. Поляризация света —
Поперечность световых волн и электромагнитная теория света —
Примеры решения задач. Волновая оптика —
Краткие итоги главы
Петрович Г.И. О порядке главных максимумов от дифракционной решётки в ЦТ
Петрович Г. И. О порядке главных максимумов от дифракционной решётки в решениях задач централизованного тестирования // Фiзiка: праблемы выкладання. – 2009. – № 3. – С. 34-40.
При перпендикулярном (нормальном) падении параллельного пучка монохроматического света на дифракционную решётку на экране в фокальной плоскости собирающей линзы, расположенной параллельно дифракционной решётке, наблюдается неоднородная картина распределения освещённости разных участков экрана (дифракционная картина).
Главные максимумы этой дифракционной картины удовлетворяют следующим условиям:
где n — порядок главного дифракционного максимума, d — постоянная (период) дифракционной решётки, λ— длина волны монохроматического света, φn — угол между нормалью к дифракционной решётке и направлением на главный дифракционный максимум n-го порядка.
Постоянная (период) дифракционной решётки длиной l
где N — количество щелей (штрихов), приходящихся на участок дифракционной решётки длиной I.
Наряду с длиной волны 
часто используется частота v волны.
Для электромагнитных волн (света) в вакууме
где с = 3 *10 8 м/с — скорость распространения света в вакууме.
Выделим из формулы (1) наиболее трудно математически определяемые формулы для порядка главных дифракционных максимумов:
где 
обозначает целую часть числа d*sin(φ/λ).
Недоопределённые аналоги формул (4, а,б) без символа [. ] в правых частях содержат в себе потенциальную опасность подмены физически обоснованной операции выделения целой части числа 
операцией округления числа d*sin(φ/λ) до целочисленного значения по формальным математическим правилам.
Подсознательная тенденция (ложный след) подмены операции выделения целой части числа d*sin(φ/λ) операцией округления
этого числа до целочисленного значения по математическим правилам ещё более усиливается, когда речь идёт о тестовых заданиях типа В на определение порядка главных дифракционных максимумов.
В любых тестовых заданиях типа В численные значения искомых физических величин по договорённости округляются до целочисленных значений. Однако в математической литературе нет единых(го) правил(а) округления чисел.
В справочной книге В. А. Гусева, А. Г. Мордковича по математике для учащихся [1] и белорусском учебном пособии Л. А. Латотина, В. Я. Чеботаревского по математике для IV класса [2] приводятся по существу одни и те же два правила округления чисел. В [1] они сформулированы так: «При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяются нулями, а если стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая следующая за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют».
В справочнике М. Я. Выгодского по элементарной математике [3], выдержавшем двадцать семь (!) изданий, написано (с. 74): «Правило 3. Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится до ближайшего чётного числа, т.е. последняя сохраняемая цифра остаётся неизменной, если она чётная, и усиливается (увеличивается на 1), если она нечётная».
Ввиду существования различных правил округления чисел следовало бы правила округления десятичных чисел явно сформулировать в «Инструкции для учащихся», прилагаемой к заданиям централизованного тестирования по физике. Это предложение приобретает дополнительную актуальность, так как в белорусские вузы поступают и проходят обязательное тестирование не только граждане Беларуси и России, но и других стран, и заведомо неизвестно, какими правилами округления чисел они пользовались при обучении в своих странах.
Во всех случаях округление десятичных чисел будем производить по правилам, приведённым в [1], [2].
После вынужденного отступления, возвратимся к обсуждению рассматриваемых физических вопросов.
С учётом нулевого (n = 0) главного максимума и симметричного расположения остальных главных максимумов относительно него общее количество наблюдаемых главных максимумов от дифракционной решётки подсчитывается по формулам:
Если расстояние от дифракционной решётки до экрана, на котором наблюдается дифракционная картина, обозначить через Н, то координата главного дифракционного максимума n-го порядка при отсчёте от нулевого максимума равна
Если 
то 
(радиан) 
и
Задачи на рассматриваемую тему часто предлагают на тестированиях по физике.
Начнём обзор с рассмотрения российских тестов, использовавшихся белорусскими вузами на начальном этапе, когда тестирование в Беларуси было необязательным и проводилось отдельными учебными заведениями на свой страх и риск как альтернатива обычной индивидуальной письменно-устной форме проведения вступительных экзаменов.
А32. Наибольший порядок спектра, который можно наблюдать при дифракции света с длиной волны λ на дифракционной решётке с периодом d=3,5λ равен
1) 4; 2) 7; 3) 2; 4) 8; 5) 3.
При освещении дифракционной решётки монохроматическим светом ни о каких спектрах не может быть и речи. В условии задачи речь должна идти о главном дифракционном максимуме наибольшего порядка при перпендикулярном падении монохроматического света на дифракционную решётку.
Из недоопределённого условия
на множестве целых чисел, после округления получаем nmах =4.
Только благодаря несовпадению целой части числа d/λ с его округлённым целочисленным значением правильное решение ( nmах =3) отличается от неправильного ( nmax =4) на тестовом уровне.
Изумительная миниатюра, несмотря на огрехи формулировки, с филигранно выверенным по всем трём версиям округления чисел ложным следом!
А18. Если постоянная дифракционной решётки d= 2 мкм, то для нормально падающего на решётку белого света 400 нм <λ < 700 нм наибольший полностью наблюдаемый порядок спектра равен
Округляя числа d/λ до целочисленных значений по правилам [1] — [3], получаем:
Благодаря тому, что целая часть числа d/λ2 отличается от его округлённого целочисленного значения, данное задание позволяет на тестовом уровне объективно отличить правильное решение (nсп= 2) от неправильного (nсп=3). Прекрасная задача с одним ложным следом!
ЦТ 2002 г. Тест № 3 [5]
В5. Найдите наибольший порядок спектра для жёлтой линии Na ( λ = 589 нм), если постоянная дифракционной решётки d = 2 мкм.
Задание сформулировано научно некорректно. Во-первых, при освещении дифракционной решётки монохроматическим светом, как уже отмечалось выше, не может быть и речи о спектре (спектрах). В условии задачи речь должна идти о наибольшем порядке главного дифракционного максимума.
Во-вторых, в условии задания должно быть указано, что свет падает нормально (перпендикулярно) на дифракционную решётку, ибо только этот частный случай рассматривается в курсе физики средних общеобразовательных учреждений. Считать это ограничение подразумевающимся по умолчанию нельзя: в тестах все ограничения должны быть указаны явно! Тестовые задания должны представлять собою самодостаточные, научно корректные задания.
С учётом вышеприведённых уточнений
Число 3,4, округлённое до целочисленного значения по правилам арифметики [1] — [3], также даёт 3. Именно поэтому данное задание следует признать простым и, по большому счёту, неудачным, так как на тестовом уровне оно не позволяет объективно различить правильное решение, определяемое по целой части числа 3,4, от неправильного решения, определяемого по округлённому целочисленному значению числа 3,4. Различие обнаруживается только при подробном описании хода решения, что и сделано в данной статье.
Дополнение 1. Решите вышеприведённую задачу, заменив в её условии d=2 мкм на d= 1,6 мкм. Ответ: nmax = 2.
ЦТ 2002 г. Тест 4 [5]
В5. На дифракционную решётку направляется свет от газоразрядной лампы. На экране получаются дифракционные спектры излучения лампы. Линия с длиной волны λ 1= 510 нм в спектре четвёртого порядка совпадает с линией длины волны λ2 в спектре третьего порядка. Чему равна λ2 (в [нм])?
В данной задаче основной интерес представляет не решение задачи, а формулировка её условия.
При освещении дифракционной решётки немонохроматическим светом( λ1 , λ2 ) вполне естественно говорить (писать) о дифракционных спектрах, которых в принципе нет при освещении дифракционной решётки монохроматическим светом.
В условии задания следовало бы указать, что свет от газоразрядной лампы падает нормально на дифракционную решётку.
Кроме того, следовало бы изменить филологический стиль третьего предложения в условии задания. Режет слух оборот «линия с длиной волны λ » , его можно было бы заменить на «линия, соответствующая излучению длиной волны λ » или на более краткий — «линия, соответствующая длине волны λ » .
Формулировки тестов должны быть научно корректными и литературно безупречными. Тесты формулируют совсем не так, как исследовательские и олимпиадные задачи! В тестах всё должно быть точно, конкретно, однозначно.
С учётом приведённого уточнения условия задания имеем:
Так как по условию задания 
то
ЦТ 2002 г. Тест № 5 [5]
В5. Найдите наибольший порядок дифракционного максимума для жёлтой линии натрия с длиной волны 5,89·10 -7 м, если период дифракционной решётки равен 5 мкм.
Решение
По сравнению с заданием В5 из теста № 3 ЦТ 2002 г. данное задание сформулировано точнее, тем не менее в условии задания речь следовало бы вести не о «дифракционном максимуме», а о «главном дифракционном максимуме«.
Наряду с главными дифракционными максимумами всегда имеются ещё и вторичные дифракционные максимумы [6, с. 617, 618]. Не объясняя этого нюанса в школьном курсе физики, тем более надо строго соблюдать сложившуюся научную терминологию и вести речь только о главных дифракционных максимумах.
Кроме того, следовало бы указать, что свет падает нормально на дифракционную решётку.
С учётом вышеприведённых уточнений
по правилам математического округления числа 8,49 до целочисленного значения опять же получаем 8. Поэтому данное задание, как и предыдущее, следует признать неудачным.
Дополнение 2. Решите вышеприведённое задание, заменив в его условии d =5 мкм на (1=А мкм. Ответ: nmax =6.)
Пособие РИКЗ 2003 г. Тест № 6 [7]
В5. Если второй дифракционный максимум находится на расстоянии 5 см от центра экрана, то при увеличении расстояния от дифракционной решётки до экрана на 20% этот дифракционный максимум будет находиться на расстоянии . см.
Условие задания сформулировано неудовлетворительно: вместо «дифракционный максимум» надо «главный дифракционный максимум», вместо «от центра экрана» — «от нулевого главного дифракционного максимума».
Как видно из приведённого рисунка,
Отсюда 
Пособие РИКЗ 2003 г. Тест № 7 [7]
В5. Определите наибольший порядок спектра в дифракционной решётке, имеющей 500 штрихов на 1 мм, при освещении её светом с длиной волны 720 нм.
Условие задания сформулировано крайне неудачно в научном отношении (см. уточнения заданий № 3 и 5 из ЦТ 2002 г.).
Есть претензии и к филологическому стилю формулировки задания. Вместо словосочетания «в дифракционной решётке» надо было бы использовать словосочетание «от дифракционной решётки», а вместо «свет с длиной волны» — «светом, длина волны которого». Длина волны — не нагрузка к волне, а её основная характеристика.
С учётом уточнений
По всем трём вышеприведённым правилам округления чисел округление числа 2,78 до целочисленного значения даёт 3.
Последний факт даже при всех недостатках формулировки условия задания делает его интересным, так как позволяет на тестовом уровне различить правильное ( nmax =2) и неправильное ( nmax =3) решения.
Много заданий на рассматриваемую тему содержится в ЦТ 2005 г. [8].
В условиях всех этих заданий (В1) надо добавить ключевое слово «главный» перед словосочетанием «дифракционный максимум» (см. комментарии к заданию В5 ЦТ 2002 г. Тест № 5).
К сожалению, во всех вариантах тестов В1 ЦТ 2005 г. численные значения d (l,N) и λ подобраны неудачно и всегда дают в дробях
число «десятых» меньше 5, что не позволяет на тестовом уровне отличить операцию выделения целой части дроби (правильное решение) от операции округления дроби до целочисленного значения (ложный след). Это обстоятельство ставит под сомнение целесообразность использования этих заданий для объективной проверки знаний абитуриентов по рассматриваемой теме.
Похоже на то, что составители тестов увлеклись, образно говоря, приготовлением различных «гарниров к блюду», не думая об улучшении качества основной компоненты «блюда» — подборе численных значений d (l,N) и λ с целью увеличения числа «десятых» в дробях d/ λ=l/(N* λ).
ЦТ 2005 г. Вариант 4 [8]
В1. На дифракционную решётку, период которой d1 =1,2 мкм, падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ =500 нм. Если её заменить на решётку, период которой d2 =2,2 мкм, то число максимумов увеличится на . .
Решение
Вместо «свет с длиной волны λ» надо «свет длиной волны λ » . Стиль, стиль и ещё раз стиль!
то с учётом того, что X — const, a d2>di,
При округлении чисел 2,4 и 4,4 до целочисленных значений тоже получаем соответственно 2 и 4. По этой причине данное задание следует признать простым и даже неудачным.
Дополнение 3. Решите вышеприведённую задачу, заменив в её условии λ =500 нм на λ =433 нм (синяя линия в спектре водорода).
ЦТ 2005 г. Вариант 6
В1. На дифракционную решётку с периодом d= 2 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ = 750 нм. Количество максимумов, которые можно наблюдать в пределах угла а=60°, биссектриса которого перпендикулярна плоскости решётки, равно . .
Решение
Словосочетание «света с длиной волны λ » уже обсуждалось выше в ЦТ 2005 г., вариант 4.
Второе предложение в условии данного задания можно было бы упростить и записать так: «Количество наблюдаемых главных максимумов в пределах угла а = 60°» и далее по тексту исходного задания.
Это задание, как и предыдущее, не позволяет на тестовом уровне объективно определить уровень понимания обсуждаемой темы абитуриентами.
Дополнение 4. Выполните вышеприведённое задание, заменив в его условии λ =750 нм на λ = 589 нм (жёлтая линия в спектре натрия). Ответ: No6щ=3.
ЦТ 2005 г. Вариант 7
В1. На дифракционную решётку, имеющую N1 — 400 штрихов на l=1 мм длины, падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ =400 нм. Если её заменить решёткой, имеющей N2 =800 штрихов на l=1 мм длины, то количество дифракционных максимумов уменьшится на . .
Опустим обсуждение неточностей формулировки задания, так как они те же, что и в предыдущих заданиях.
Из формул (4, б), (5, б) следует, что
Комментарии о качестве данного задания опустим, «рука. колоть устала»!
Дополнение 5. Решите вышеприведённую задачу, заменив в её условии λ =400 нм на λ =461 нм (голубая линия в спектре стронция). Ответ: ∆ N =6.
ЦТ 2005 г. Вариант 8
В1. На дифракционную решётку с d =1 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света. Если длина волны света λ =400 нм, то число максимумов, которые образует эта решётка, равно . .
Злополучное «с» уже перекочевало от «света с длиной волны» к «решётке с d=1 мкм». Появилось и новое жаргонное выражение — «число максимумов, которые образует эта решётка». Сама по себе «решётка» не образует дифракционной картины, поэтому следовало бы написать «количество главных максимумов, образованных освещённой решёткой, равно. «.
По формулам (5, б), (4, б)
По версии округления чисел [1], [2] целочисленное значение числа 2,5 равно 3, а по версии М. Я. Выгодского [3] — 2.
В сравнении с российским заданием А32 из № 7 Тестов по физике [4], которое рассмотрено выше, данный белорусский тест является ущербным, но на фоне белорусских тестов ЦТ 2005 г. на рассматриваемую в данной статье тему он является лучшим, несмотря на неточности его формулировки.
Итак, Nобщ. max =1+2*2=5 а по версии округления чисел [1], [2] Nобщ. max = 1+2*3 =7 (ложный след).
Благодаря этому ложному следу, данное задание в рамках версии округления чисел [1], [2] позволяет на тестовом уровне отличить правильное решение ( Nобщ. max= 5) от неправильного ( Nобщ. ma x =7).
ЦТ 2008 г. Вариант 1 [9]
В12. На дифракционную решётку нормально падает параллельный пучок монохроматического света длиной волны λ =720 нм. Если период решётки d = 5 мкм, то максимальный порядок kmax дифракционного спектра . .
Решение
Задание сформулировано научно некорректно (см. условия предыдущих заданий), но численные значения величин d и λ подобраны удачно и на тестовом уровне правильное решение, определяемое по целой части числа
, отличается от неправильного решения, определяемого по округлённому целочисленному значению числа d/λ
Задания В12 из других вариантов тестов ЦТ 2008 г. предлагаю читателям рассмотреть самостоятельно.
За многие годы проведения централизованных тестирований по физике так и не созданы качественные задания на определение порядка главных дифракционных максимумов при перпендикулярном освещении дифракционной решётки монохроматическим светом: то ли условия заданий были сформулированы некорректно, то ли численные значения величин d(l, N) и X были подобраны неудачно и не позволяли на тестовом уровне отличить правильное решение от неправильного.
Список использованной литературы
1. Математика: справочные материалы: кн. для учащихся / В. А. Гусев, А. Г. Мордкович. — Москва : Просвещение, 1988.
2. Математика: учеб. пособие для 4-го класса общеобр. школы с рус. яз. обуч. / Л. А. Лату-тин, В. Д. Чеботаревский; пер. с бел. яз. Т. В. Водневой. — 2-е изд. — Минск : Нар. асвета, 2002.
3. Справочник по элементарной математике. — 27-е изд., испр. / М. Я. Выгодский. — Москва : Наука, 1986.
4. Тесты по физике. 11 кл. / Центр тестирования Министерства образования России. — Москва : Просвещение, 2001.
5. Тесты. Физика. Русский язык: варианты и ответы централизованного тестирования: пособие для подготовки к тестированию / Респ. ин-т контроля знаний. — Минск : Асар, 2003.
6. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — 6-е изд., испр. / Б. М. Яворский, А. А. Детлаф. — Москва : Наука, 1974.
7. Тесты: Физика. Материалы для подготовки к централизованному тестированию / Респ. ин-т контроля знаний. — Мозырь : Белый Ветер, 2003.
8. Централизованное тестирование. Физика: сб. тестов / Респ. ин-т контроля знаний Мин-ва образования Респ. Беларусь. — Минск : Юнипресс, 2005.
9. Централизованное тестирование. Физика: сб. тестов / Респ. ин-т контроля знаний Мин-ва образования Респ. Беларусь. — Минск : Аверсэв, 2008.
Как найти количество максимумов дифракционной решетки
Физика
Электродинамика
Магнитное поле
Механические колебания
Электромагнитные колебания
Механические волны
Электромагнитные волны
Оптика
Геометрическая оптика
Задачи на сферическое зеркало
Линза
Волновая оптика
Основы теории относительности
Основы квантовой физики
Излучения и спектры
Световые кванты
Атомная физика
Ядерная физика
Физика элементарных частиц
Открытие позитрона. Античастицы
Современная физическая картина мира
Современная физическая картина мира
Строение Вселенной
Строение Вселенной
Звёзды и источники их энергии. Современные представления о происхождении и эволюции Солнца и звёзд
Дифракционная решетка
Рассмотрим дифракцию на одномерной дифракционной решетке, так как этот случай дифракций находит широкое применение во многих экспериментальных методах спектрального анализа.
Дифракционная решетка представляет собой систему большого числа одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей лежащих в одной плоскости и разделённых непрозрачными промежутками, равными по ширине. Дифракционная решетка изготавливается путём нанесения параллельных штрихов на поверхность стекла с помощью делительных машин. Места, прочерченные делительной машиной, рассеивают свет во все стороны и являются, таким образом, практически непрозрачными промежутками между неповрежденными частями пластинки, которые играют роль щелей. Число штрихов на 1 мм определяется областью спектра исследуемого излучения — от 300 1/мм (в инфракрасной области) до 1200 1/мм (в ультрафиолетовой).
Итак, имеется система из N параллельных щелей с шириной каждой щели а ирасстоянием между соседними щелями b (рис.8.4).Сумма а + b=d называется периодом или постоянной дифракционной решетки. На решетку нормально падает плоская монохроматическая волна. Требуется исследовать интенсивность света, распространяющегося в направлении, составляющем угол φ с нормалью к плоскости решетки. Кроме распределения интенсивности вследствие дифракции на каждой щели, нужно учесть интерференцию между N пучками(перераспределение световой энергии за счет интерференции волн от N щелей когерентных источников). Очевидно, что минимумы будут находиться на прежних местах, ибо условие минимума дифракции для всех щелей (рис.8.5) одинаково. Эти минимумы называются главными. Условие главных минимумов asinφ=±kλ совпадает с условием (8.8).
Положение главных минимумов sinφ=±λ/a, 2λ/a,… показано на рис. 8.5. Однако в случае многих щелей к главным минимумам, создаваемым каждой щелью в отдельности, добавляются минимумы возникающие в результате интерференции света, прошедшего через различные щели. Появляются добавочные минимумы в областях дифракционных максимумов. Внешне это проявляется в том, что широкие полосы, даваемые одной узкой щелью, покрываются рядом более тонких полос вызванных интерференцией лучей,исходящих от разных щелей: первой и второй, первой и третьей и т.д. Чем больше щелей, тем больше добавочных минимумов может возникнуть. Так как общий световой поток остается неизменным, происходит усиление световых потоков около направлений,удовлетворяющих условиям усиления при интерференции от разных щелей, за счет уменьшения световой энергии в других направлениях. На рис. 8.5 для, примера показано распределение интенсивности и расположение максимумов и минимумов в случае двух щелей с периодом d и шириной щели а.
В одном и том же направлении все щели излучают совершенно одинаково. Амплитуды колебаний одинаковы. И результат интерференции зависит от разности фаз Колебаний, исходящих от сходственных точек соседних щелей (например C и E,B и F),илиотоптической разности хода EDот сходственных точек двух соседних щелей до точки Сφ. Для всех сходственных точек эта разность хода одинакова. Если ЕD=±kλ или, так как ED =dsinφ,
колебания соседних щелей взаимно усиливают друг друга, и в точке Сφ фокальной плоскости линзы наблюдается максимум дифракции. Амплитуда суммарного колебания в этих точках экрана максимальна:
где Аφ— амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом; φ интенсивность
(8.9)
Поэтому формула (8.9) определяет положение главных максимумов интенсивности. Число kдает порядок главного максимума.
Положение главных максимумов (8.9) определяется соотношением
… (8.10)
Максимум нулевого порядка один и расположен в точке С0, максимумов первого, второго и т.д. порядков по два, и расположены они симметрично относительно С0, на что указывает знак ±. На рис.8.5 показано положение главных максимумов.
Кроме главных максимумов, имеется большое число более слабых побочных максимумов, разделенных добавочными минимумами. Побочные максимумы значительно слабее главных. Расчет показывает, что интенсивность побочных максимумов не превышает 1/23 интенсивности ближайшего главного максимума.
В главных максимумах амплитуда в N раз, а интенсивность в N 2 раз больше, чем дает в соответствующем, месте одна щель. Это увеличение максимумов происходит за счет того, что отдельные яркие главные максимумы разделены темными областями добавочных минимумов и очень слабых побочных максимумов (пропорционально 1/N, которые становятся более узкими (тонкими и яркими). Такие яркие линии, четко локализованные в пространстве, легко обнаруживаются и могут быть использованы в целях спектроскопических исследований.
По мере удаления от центра экрана, интенсивность дифракционных максимумов убывает (увеличивается расстояние от источников). Поэтому не удается наблюдать все возможные дифракционные максимумы. Заметим, что количество дифракционных максимумов, даваемых решеткой по одну сторону экрана, определяется условием |sinφ| ≤ 1 (φ=π/2 —максимальный угол дифракций), откуда с учетом (8.7)
(8.11)
При этом не следует забывать, что k — целое число.
Положение главных максимумов зависит от длины волны λ. Поэтому при освещении дифракционной решетки белым светом все максимумы, кроме центрального (k=0), разложатся в спектр, обращенный фиолетовым концом к центру дифракционной картины. Таким образом, дифракционная решетка может служить для исследования спектрального состава света, т.е. для определения частот (или длин волн) и интенсивности всех его монохроматических компонент. Применяемые для этого приборы называются дифракционными спектрографами, если исследуемый спектр регистрируется с помощью фотопластинки, и дифракционными спектроскопами, если спектр наблюдается визуально.
В рамках геометрической оптики, распространение луча в оптически однородной среде — прямолинейное, однако в природе существует ряд явлений, где можно наблюдать отклонение от этого условия.
Дифракция – явление огибания световыми волнами встреченных препятствий. В школьной физике изучаются две дифракционные системы (системы, при прохождении луча в которых наблюдается дифракция):
- дифракция на щели (прямоугольном отверстии)
- дифракция на решётке (набор равноотстоящих друг от друга щелей)
Дифракция на щели — дифракция на прямоугольном отверстии (рис. 1).
Рис. 1. Дифракция на щели
Пусть дана плоскость со щелью, шириной , на которую под прямым углом падает пучок света А. Большинство света проходит на экран, однако часть лучей дифрагирует на краях щели (т.е. отклоняется от своего первоначального направления). Далее эти лучи интерферируют друг с другом с образованием дифракционной картины на экране (чередование ярких и тёмных областей). Рассмотрение законов интерференции достаточно сложно, поэтому ограничимся основными выводами.
Полученная дифракционная картина на экране состоит из чередующихся областей с дифракционными максимумами (максимально светлыми областями) и дифракционными минимумами (максимально тёмными областями). Эта картина симметрична относительно центрального светового пучка. Положение максимумов и минимумов описывается углом относительно вертикали, под которым они видны, и зависит от размера щели и длины волны падающего излучения. Положение этих областей можно найти используя ряд соотношений:
- для дифракционных максимумов
(1)
- где
Нулевым максимумом дифракции называется центральная точка на экране под щелью (рис. 1).
- для дифракционных минимумов
(2)
- где
Вывод: по условиям задачи необходимо выяснить: максимум или минимум дифракции необходимо найти и использовать соответствующее соотношение (1) или (2).
Дифракция на дифракционной решётке.
Дифракционной решёткой называется система, состоящая из чередующихся щелей, равноотстоящих друг от друга (рис. 2).
Рис. 2. Дифракционная решётка (лучи)
Так же, как и для щели, на экране после дифракционной решётки будет наблюдаться дифракционная картина: чередование светлых и тёмных областей. Вся картина есть результат интерференции световых лучей друг с другом, однако на картину от одной щели будет воздействовать лучи от других щелей. Тогда дифракционная картина должна зависеть от количества щелей, их размеров и близкорасположенности.
Введём новое понятие — постоянная дифракционной решётки:
(3)
- где
Тогда положения максимумов и минимумов дифракции:
- для главных дифракционных максимумов (рис. 3)
(4)
- где
Рис. 3. Дифракционная решётка (максимумы)
- для дифракционных минимумов
(5)
- где
Отдельным вопросом задач на дифракцию является вопрос о наибольшем количестве максимумов, которые можно наблюдать в текущей системе. Наибольший угол, под которым можно наблюдать максимум — , тогда, исходя из (4):
(6)
Главное помнить, что число максимумов — число, т.е. от полученного ответа необходимо брать только целую часть.
Вывод: по условиям задачи необходимо выяснить: максимум или минимум дифракции необходимо найти и использовать соответствующее соотношение (4) или (5).
Общий вывод: задачи на дифракцию должны содержать в себе словосочетания, связанные с «дифракцией». Далее разбираемся с объектом: щель или дифракционная решётка и используем соответствующие соотношения для минимума или максимума.