Как найти канонический вид матрицы

[math]mathop{A}limits_{(boldsymbol{s})}= begin{pmatrix}pm1&{}&{}&{}&{}&{}\ {}&ddots&{}&{}&O&{}\ {}&{}&pm1&{}&{}&{}\ {}&{}&{}&R_{varphi_1}&{}&{}\ {}&O&{}&{}&ddots&{}\ {}&{}&{}&{}&{}&R_{varphi_k} end{pmatrix}!.[/math]

(9.20)

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Содержание

Квадратичной формой над множеством $ mathbb A_{} $ называют однородный полином второй степени с коэффициентами из $ mathbb A_{} $; если переменные обозначить
$ x_1,dots,x_{n} $, то общий вид квадратичной формы от этих переменных:
$$
f(x_1,dots,x_{n} )= sum_{1le j le k le n} f_{jk}x_jx_k=
$$
$$begin{array}{llll}
displaystyle=
f_{11}x_1^2&+f_{12}x_1x_2&+ dots & +f_{1n}x_1x_n+ \
&+f_{22}x_2^2 &+ dots & +f_{2n}x_2x_n+ \
&+dots & & +dots + \
& & +f_{jk}x_jx_k & + dots+ \
& & &+f_{nn}x_n^2.
end{array}
$$

П

Пример. Функции

$$x_1^2-x_1x_2+x_3^2 , , quad sqrt{3}, x_2^2 — pi, x_3^2
, , quad -x_1x_2 , , quad mathbf i , x_1^2$$
являются квадратичными формами. Функции
$$x_1^2-3, x_1+1 , , quad 5, x_1^2x_2^2 , , quad frac{x_1x_3^2}{x_2}
, , quad sqrt{x_1x_2x_3x_4} $$
не являются квадратичными формами.

Заметим, что в выражении для квадратичной формы присутствуют как квадраты переменных $ x_1^2,dots,x_n^2 $ так и их смешанные произведения $ x_j x_k $. Говорят, что квадратичная форма $ f(x_1,dots,x_{n} ) $ имеет канонический вид если
$$f(x_1,dots,x_{n} )equiv f_{11}x_1^2+f_{22}x_2^2+dots+f_{nn}x_n^2 quad npu quad left{f_{jj}right}_{j=1}^n subset mathbb A , $$
т.е. все коэффициенты при смешанных произведениях переменных равны нулю; в этом случае говорят также, что форма является «суммой квадратов»¹⁾.

Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.

П

Пример.

$$ 2, x_1^2+4, x_1x_2 +x_2^2 equiv 2, (x_1+x_2)^2-x_2^2 equiv -2,x_1^2 + (2,x_1+x_2)^2 ; $$
$$ x_1^2+2 mathbf i x_1x_2 — x_2^2 equiv (x_1+ mathbf i x_2)^2 ; $$
$$-x_1^2+6,x_1x_2+6,x_1x_3+2,x_2^2+4,x_2x_3+2,x_3^2equiv $$
$$
equiv (x_1+x_2+x_3)^2-2,(x_1-x_2-x_3)^2+3,(x_2+x_3)^2 equiv
$$
$$equiv -(x_1+3,x_2+3,x_3)^2+11,(x_2+x_3)^2 ; $$
$$ x_1x_2 equiv frac{1}{4} (x_1+x_2)^2- frac{1}{4} (x_1-x_2)^2 . $$

А в общем случае:
$$ f(x_1,dots,x_{n} )equiv $$
$$
begin{array}{l}
equiv a_1(c_{11}x_1+c_{12}x_2+dots+c_{1n}x_n)^2 +\
+a_2(c_{21}x_1+c_{22}x_2+dots+c_{2n}x_n)^2+ \
+dots+ \
+a_n(c_{n1}x_1+c_{n2}x_2+dots+c_{nn}x_n)^2
end{array}
$$
при $ {a_j}_{j=1}^n,{c_{jk}}_{j,k=1}^n $ — константах. Такое представление оказывается достаточно удобным для анализа квадратичной формы — например, в случае вещественных форм, при проверке выполнимости неравенства вида $ f(x_1,dots,x_{n} ) ge 0 $. Приведенные выше примеры показывают неоднозначность представления в виде суммы квадратов: вид квадратов и даже их количество для одной и той же формы могут быть различными. С целью обеспечения частичной унификации установим некоторое дополнительное ограничение, а именно, потребуем, чтобы линейные однородные формы
$$ c_{11}x_1+c_{12}x_2+dots+c_{1n}x_n, c_{21}x_1+c_{22}x_2+dots+c_{2n}x_n,dots, c_{n1}x_1+c_{n2}x_2+dots+c_{nn}x_n $$
были линейно независимыми. При таком ограничении любое представление квадратичной формы в виде суммы квадратов называется каноническим видом квадратичной формы.

Задача. Для произвольной квадратичной формы $ f(x_1,dots,x_{n} ) $ построить (хотя бы один) ее канонический вид.

Существует универсальный алгоритм, приводящий произвольную квадратичную форму к каноническому виду.

Метод Лагранжа

1.

Пусть $ f_{11}ne 0 $. Выделим в $ f(x_1,dots, x_n)_{} $ все слагаемые, содержащие $ x_{1} $:
$$
f_{11}x_1^2+f_{12}x_1x_2+ dots +f_{1n}x_1x_n+ sum_{2le jle k le n} f_{jk}x_jx_k
=
$$
$$
= f_{11}left(x_1^2+frac{f_{12}}{f_{11}}x_1x_2+dots+
frac{f_{1n}}{f_{11}}x_1x_n right)+dots=
$$
$$
=f_{11}left[ left(x_1+frac{f_{12}}{2f_{11}}x_2+dots+
frac{f_{1n}}{2f_{11}}x_n right)^2-left(frac{f_{12}}{2f_{11}}x_2+dots+
frac{f_{1n}}{2f_{11}}x_n right)^2 right]+dots=
$$
$$
=f_{11} left(x_1+frac{f_{12}}{2f_{11}}x_2+dots+ frac{f_{1n}}{2f_{11}}x_n
right)^2 —
f_{11}left(frac{f_{12}}{2f_{11}}x_2+dots+
frac{f_{1n}}{2f_{11}}x_n right)^2 +dots
$$
В последнем представлении первое слагаемое представляет собой квадрат линейной формы по переменным $ x_{1},x_2,dots,x_n $; все оставшиеся слагаемые не зависят от $ x_{1} $, т.е. составляют квадратичную форму от переменных $ x_{2},dots,x_n $. Таким образом, исходная задача для формы $ n_{} $ переменных оказывается сведенной к случаю формы $ (n-1)_{} $-й переменной; последняя преобразуется по аналогичному принципу.

2.

Если $ f_{11}=0 $, но $ exists k: f_{kk}ne 0 $, т.е. при хотя бы одном квадрате переменной коэффициент отличен от нуля. Алгоритм модифицируется таким образом, что выделение полного квадрата начинается с переменной $ x_{k} $ вместо $ x_{1} $ — первая ничем не лучше (и не хуже) $ k_{} $-й!

3.

Совсем исключительный случай: квадраты переменных вообще отсутствуют, т.е. $ f_{11}=dots=f_{nn}=0 $. Выбираем один из ненулевых коэффициентов при смешанных произведениях переменных: пусть $ f_{jk}ne 0 $. Представляем $ x_k=(x_j+x_k)-x_j $ и заменяем все вхождения переменной $ x_{k} $ на $ X_k-x_j $ при вспомогательной переменной $ X_k=x_j+x_k $. В новой квадратичной форме уже присутствует квадрат переменной $ x_{j} $ с ненулевым коэффициентом. Тем самым этот случай сводится к предыдущему. После приведения новой формы к сумме квадратов возвращаемся к «старой» переменной $ x_{k} $.

П

Пример. Привести форму

$$ f=4,x_1^2+2,x_2^2+x_3^2+x_4^2-4,x_1x_2-4,x_1x_3+4,x_1x_4+4,x_2x_3-4,x_3x_4 $$
к каноническому виду.

Решение.
$$
begin{array}{ccl}
f&=&4left(x_1^2-x_1x_2-x_1x_3+x_1x_4right)+2x_2^2+x_3^2+x_4^2+4x_2x_3-4x_3x_4=\
&=&4bigg[
left(x_1-frac{1}{2}, x_2-frac{1}{2},x_3+ frac{1}{2},x_4, right)^2-
left(-frac{1}{2}, x_2-frac{1}{2}, x_3+frac{1}{2}, x_4right)^2 bigg] + \
&+&2,x_2^2+x_3^2+x_4^2+4,x_2x_3-4,x_3x_4= \
&=&4,left(x_1-frac{1}{2}, x_2-frac{1}{2},x_3+ frac{1}{2},x_4, right)^2+\
& & + Big[left(x_2+x_3+x_4, right)^2- left(x_3+x_4 right)^2Big]-2,x_3x_4 = \
&=&4,left(x_1-frac{1}{2}, x_2-frac{1}{2},x_3+ frac{1}{2},x_4, right)^2+
left(x_2+x_3+x_4, right)^2- \
&&-x_3^2-4,x_3x_4-x_4^2= \
&& 4,left(x_1-frac{1}{2}, x_2-frac{1}{2},x_3+ frac{1}{2},x_4, right)^2+
left(x_2+x_3+x_4, right)^2- \
&&-Big[
left(x_3+ 2, x_4, right)^2-4, x_4^2Big] -x_4^2 = \
&=&4,left(x_1-frac{1}{2}, x_2-frac{1}{2},x_3+ frac{1}{2},x_4, right)^2+
left(x_2+x_3+x_4, right)^2-left(x_3+ 2, x_4, right)^2+3,x_4^2
end{array}
$$

Ответ. $ fequiv 4,left(x_1-frac{1}{2}, x_2-frac{1}{2},x_3+ frac{1}{2},x_4, right)^2+
left(x_2+x_3+x_4, right)^2-left(x_3+ 2, x_4, right)^2+3,x_4^2 $.

П

Пример. Привести форму

$$ f=x_1^2+x_2^2-4,x_3^2+2,x_1x_2+6,x_1x_3+4,x_2x_3 $$
к каноническому виду.

Решение.
$$
fequiv (x_1+x_2+3,x_3)^2-(x_2+3,x_3)^2+x_2^2-4,x_3^2+4,x_2x_3 equiv
$$
$$
equiv (x_1+x_2+3,x_3)^2-2,x_2x_3 -13,x_3^2 equiv
$$
В соответствии с алгоритмом, на следующем шаге нужно выделять слагаемые, содержащие переменную $ x_{2} $, но коэффициент при $ x_2^2 $ в правой части формулы обратился в нуль. Поэтому — в соответствии с пунктом

2

метода —
приходится выделять квадрат на основе переменной $ x_{3} $:
$$ (x_1+x_2+3,x_3)^2-13, left(x_3-frac{1}{13}x_2right)^2+13cdot frac{1}{13^2}x_2^2 . $$

Ответ. $ (x_1+x_2+3,x_3)^2-13, left(x_3-frac{1}{13}x_2right)^2+ frac{1}{13}x_2^2 $.

П

Пример. Привести форму

$$ f=x_1x_2-3,x_1x_3+2,x_2x_3 $$
к каноническому виду.

Решение. Коэффициенты при квадратах переменных все равны нулю. Действуем в соответствии с пунктом

3

метода Лагранжа. Поскольку коэффициент при $ x_1x_2 $ отличен от нуля, делаем замену переменной $ x_2=X_2-x_1 $ при $ X_2=x_1+x_2 $:
$$ fequiv -x_1^2+x_1X_2-5,x_1x_3+2,X_2x_3 . $$
Дальнейший ход решения — в соответствии с пунктом

1

метода Лагранжа:
$$
-left(x_1-frac{1}{2}X_2+frac{5}{2}x_3right)^2+left(-frac{1}{2}X_2+frac{5}{2}x_3right)^2+2,X_2x_3 equiv
$$
$$
equiv -left(x_1-frac{1}{2}X_2+frac{5}{2}x_3right)^2+frac{1}{4}X_2^2-frac{1}{2}X_2x_3+frac{25}{4}x_3^2 equiv
$$
$$
equiv -left(x_1-frac{1}{2}X_2+frac{5}{2}x_3right)^2+frac{1}{4}left(X_2-x_3 right)^2+6,x_3^2
$$
Получили сумму квадратов форм от переменных $ x_1,X_2,x_3 $. Возвращаемся к переменной $ x_{2} $:

Ответ. $ -(frac{1}{2}x_1-frac{1}{2}x_2+frac{5}{2}x_3)^2+frac{1}{4}(x_1+x_2-x_3)^2+6,x_3^2 $.

Метод Лагранжа позволяет получить канонический вид квадратичной формы над тем же множеством $ mathbb A_{} $, над которым рассматривается исходная форма — например, если коэффициенты формы $ f_{} $ являются рациональными, то и коэффициенты ее канонического вида (т.е. числа $ {a_j}_{j=1}^n,{c_{jk}}_{j,k=1}^n $) будут также рациональными.

В этом и последующих пунктах существенно потребуется знание ключевых понятий ТЕОРИИ МАТРИЦ и ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.

Прежде всего, соберем все переменные в один вектор, а вернее — в два вектора:
$$
{}_{.} mbox{ столбец переменных } X=
left(begin{array}{l} x_1 \ vdots \ x_n end{array} right) quad mbox{ и строку переменных }
X^{top} = (x_1,dots,x_n) ;
$$
здесь $ {}^{top} $ означает транспонирование. Не очень принципиально, что обозначать через $ X_{} $ — столбец или строку; и хотя сокращение $ f(x_1,dots,x_n)=f(X) $ кажется не вполне корректным с точки зрения только что введенного обозначения, тем не менее не будем навешивать в правую часть дополнительные
значки…

Если определить верхнетреугольную матрицу $ mathbf F $ равенством:
$$
{mathbf F}= left(
begin{array}{cccc}
f_{11}&f_{12}&dots &f_{1n} \
&f_{22}& dots & f_{2n} \
mathbb O & &ddots & vdots \
& & & f_{nn}
end{array} right),
$$
то квадратичную форму можно записать в виде произведения трех матриц
$$ {}_{.} mbox{ строка переменных } times mbox{ матрица } times mbox{ столбец переменных } $$
$$ f(X)=X^{top} {mathbf F}X .$$
Более того, можно написать бесконечно много подобных представлений для одной и той же квадратичной формы $ f_{} $, подбирая разные матрицы

П

Пример. $ f=x_1^2+x_2^2-4,x_3^2+2,x_1x_2+6,x_1x_3+4,x_2x_3 equiv $

$$
equiv (x_1,x_2,x_3)
left(
begin{array}{rrr}
1 & 2 & 6 \
0 & 1 & 4 \
0 & 0 & -4
end{array}
right)
left(
begin{array}{l}
x_1 \ x_2 \ x_3
end{array}
right)
equiv (x_1,x_2,x_3)
left(
begin{array}{rrr}
1 & 0 & 3 \
2 & 1 & 4 \
3 & 0 & -4
end{array}
right)
left(
begin{array}{l}
x_1 \ x_2 \ x_3
end{array}
right)equiv
$$
$$
equiv (x_1,x_2,x_3)
left(
begin{array}{rrr}
1 & 1 & 3 \
1 & 1 & 2 \
3 & 2 & -4
end{array}
right)
left(
begin{array}{l}
x_1 \ x_2 \ x_3
end{array}
right)equiv dots
$$

Из всего этого бесконечного множества представлений выделим одно. Рассмотрим матрицу
$${mathbf A}=frac{{mathbf F}+{mathbf F}^{top}}{2}=
left(
begin{array}{cccc}
f_{11}& 1/2 f_{12}&dots & 1/2 f_{1n} \
1/2 f_{12} &f_{22}& dots & 1/2 f_{2n} \
dots & & & dots \
1/2 f_{1n} & 1/2 f_{2n} & dots & f_{nn}
end{array} right),
$$
которая, очевидно, симметрична: $ {mathbf A}^{top}={mathbf A} $. Тогда
$$
f(X)=sum_{1le j,k le n} a_{jk}x_jx_k=X^{top}{mathbf A}X .
$$
Это представление называют правильной записью квадратичной формы; матрицу $ {mathbf A} $ называют матрицей квадратичной формы $ f_{} $, а $ det mathbf A $ — дискриминантом квадратичной формы:
$$ det A = {mathcal D} (f) . $$
В случае, когда дискриминант равен нулю квадратичная форма называется вырожденной, в противном случае — невырожденной.

П

Пример. Для приведенной выше квадратичной формы

$$ f=x_1^2+x_2^2-4,x_3^2+2,x_1x_2+6,x_1x_3+4,x_2x_3 $$
ее правильной записью будет именно последняя:

$$
fequiv
(x_1,x_2,x_3)
left(
begin{array}{rrr}
1 & 1 & 3 \
1 & 1 & 2 \
3 & 2 & -4
end{array}
right)
left(
begin{array}{l}
x_1 \ x_2 \ x_3
end{array}
right)
$$
Правило формирования матрицы довольно просты: на диагонали ставятся коэффициенты при квадратах, а внедиагональные элементы получаются располовиниванием коэффициентов при смешанных произведениях переменных.

П

Пример. Для

$$ f(x_1,x_2)=a_{11}x_1^2+2, a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2 $$
имеем:
$$ {mathbf A} =
left(
begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \
a_{12} & a_{22}
end{array}
right) ; {mathcal D} (f)=a_{11}a_{22}-a_{12}^2 ; $$
последнее выражение вполне напоминает дискриминант квадратного трехчлена $ a_{11}x^2+2, a_{12}x+a_{22} $ и это обстоятельство оправдывает использование слова дискриминант для нового объекта…

Матрица квадратичной формы совпадает с половиной матрицы Гессе этой формы: $ mathbf A = 1/2 H(f) $.

Причина, по которой из бесконечного многообразия матричных представлений квадратичной формы выделяется именно то, что использует симметричную матрицу, остается пока непонятной. Отложив ненадолго обсуждение этой причины, попробуем переписать в матричных терминах приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Рассмотрим замены переменных в квадратичной форме, т.е. переход от переменных $ x_{1},dots,x_{n} $ к новым переменным $ y_{1},dots,y_{n} $. Ограничимся только линейными заменами вида
$$
left{ begin{array}{ccc}
x_1&=&c_{11}y_1+c_{12}y_2+dots+c_{1n}y_n, \
x_2&=&c_{21}y_1+c_{22}y_2+dots+c_{2n}y_n, \
dots & & dots \
x_n&=&c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+dots+c_{nn}y_n.
end{array}
right.
$$
Результатом такой замены переменных будет новая квадратичная форма относительно новых переменных. Установим по какому закону формируются ее коэффициенты. С этой целью введем в рассмотрение матрицу замены переменных
$$
C=
left( begin{array}{llcl}
c_{11} & c_{12} & dots & c_{1n} \
c_{21} & c_{22} & dots & c_{2n} \
dots & & & dots \
c_{n1} & c_{n2} & dots & c_{nn} \
end{array}
right) ;
$$
которая позволяет переписать саму замену переменных в матричном виде
$$
left(begin{array}{l} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n end{array} right)=
left( begin{array}{llcl}
c_{11} & c_{12} & dots & c_{1n} \
c_{21} & c_{22} & dots & c_{2n} \
dots & & & dots \
c_{n1} & c_{n2} & dots & c_{nn} \
end{array}
right)
left(begin{array}{l} y_1 \ y_2 \ vdots \ y_n end{array} right) qquad iff qquad
X=CY .
$$
Тогда формальная подстановка последнего варианта в правильную запись квадратичной формы приведет к следующей цепочке
$$
f(X)=X^{top}{mathbf A}X= (CY)^{top}{mathbf A} (CY)=Y^{top} C^{top}{mathbf A}C Y=tilde f (Y) ,
$$
(здесь использовались некоторые свойства операции транспонирования ) и, если обозначить матрицу
$$
mathbf B =C^{top}{mathbf A}C ,
$$
то мы получаем правило формирования матрицы квадратичной формы, получившейся в результате замены переменных, с помощью операции произведения матриц. Обратим внимание на еще один факт — матрица $ mathbf B $ является симметричной:
$$
mathbf B^{top} =(C^{top}{mathbf A}C)^{top}= C^{top}{mathbf A}^{top}left(C^{top} right)^{top} =
C^{top}{mathbf A}C= mathbf B ,
$$
т.е. выбор в качестве матричной записи квадратичной формы именно того варианта, что основан на симметричной матрице, позволяет сохранить это свойство при любой линейной замене переменных.

Задача о нахождении канонического вида квадратичной формы $ X^{top}{mathbf A}X $ может быть также переформулирована в терминах замены переменных: требуется найти такую матрицу $ C_{} $, чтобы матрица
$ mathbf B= C^{top}{mathbf A}C $ оказалась диагональной:
$$
mathbf B=
left(
begin{array}{cccc}
a_{1} & & & \
& a_{2} & & {mathbb O} \
{mathbb O} & & ddots & \
& & & a_{n}
end{array}
right) ;
$$
при этом дополнительным условием ставится невырожденность (неособенность) матрицы $ C_{} $:
$$ det C ne 0 . $$

Пока не вполне понятна существенность последнего условия: почему оно накладывается? С одной стороны, оно обеспечивает обратимость замены переменных $ (x_1,dots,x_n) leftrightarrow
(y_1,dots,y_n) $ — не происходит «потери информации». В самом деле, наличие какого-то ограничения на все возможные замены переменных, довольно очевидно: если бы разрешалось использовать, например, нулевую матрицу $ C = {mathbb O}_{n} $, то канонический вид у любой квадратичной формы был бы нулевым.. . Геометрический смысл условия $ det C ne 0 $ обсудим

☟

НИЖЕ.

Т

Теорема. Для любой квадратичной формы над $ mathbb A $ существует невырожденная линейная замена
переменных $ X=CY $ такая, что преобразованная квадратичная форма $ widetilde f(Y) $ имеет канонический вид.

Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.

П

Пример. Для формы

$$ f(x_1,x_2,x_3,x_4)= $$
$$=4,x_1^2+2,x_2^2+x_3^2+x_4^2-4,x_1x_2-4,x_1x_3+4,x_1x_4+4,x_2x_3-4,x_3x_4 $$
замена переменных осуществляется формулами

$$
begin{array}{crrrr}
y_1=& x_1 &-frac{1}{2}, x_2&-frac{1}{2},x_3&+ frac{1}{2},x_4, \
y_2=& & x_2&+x_3&+x_4, \
y_3=& & & x_3 &+ 2, x_4,\
y_4=& &&& x_4,
end{array}
$$
т.е. матрица замены переменных
$$
C=
left(
begin{array}{cccc}
1 & -frac{1}{2} & -frac{1}{2} & frac{1}{2} \
0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1 & 2 \
0 & 0 & 0 & 1
end{array}
right)
$$
имеет верхнетреугольный вид. Канонический вид в новых переменных записывается
$$ f(x_1,x_2,x_3,x_4) equiv 4,y_1^2+y_2^2-y_3^2+3,y_4^2 . $$

Для формы
$$ f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2-4,x_3^2+2,x_1x_2+6,x_1x_3+4,x_2x_3 $$
замена переменных уже не имеет треугольного вида:
$$
begin{array}{crrr}
y_1=& x_1 &+ x_2&+3,x_3 \
y_2=& & -frac{1}{13}x_2&+x_3 \
y_3=& & frac{1}{13}x_2 &
end{array}
qquad iff qquad
C=
left(
begin{array}{rrr}
1 & 1 & 3 \
0 & -frac{1}{13} & 1 \
0 & frac{1}{13} & 0
end{array}
right) .
$$
Для формы
$$ f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2-3,x_1x_3+2,x_2x_3 $$
получили:
$$
begin{array}{crrr}
y_1=& frac{1}{2}x_1 &-frac{1}{2}x_2&+frac{5}{2}x_3 \
y_2=& x_1&+x_2&-x_3 \
y_3=& & & x_3
end{array}
qquad iff qquad
C=
left(
begin{array}{rrr}
frac{1}{2} & -frac{1}{2} & frac{5}{2} \
1 & 1 & -1 \
0 & 1 & 1
end{array}
right) ,
$$
т.е. замена переменных также не имеет треугольного вида.

♦

Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.

В этом и последующих пунктах существенно потребуется знание МЕТОДА ГАУССА преобразования систем линейных уравнений.

П

Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы

$$ f(x_1,x_2,x_3,x_4)=$$
$$ =4,x_1^2+2,x_2^2+x_3^2+x_4^2-4,x_1x_2-4,x_1x_3+4,x_1x_4+4,x_2x_3-4,x_3x_4 $$

из предыдущих пунктов, и, временно выходя из
круга поставленных в настоящем разделе задач, попробуем применить к ней метод Гаусса
приведения к треугольному виду:
$$
left(
begin{array}{rrrr}
4 & -2 & -2 & 2 \
-2 & 2 & 2 & 0 \
-2 & 2 & 1 & -2 \
2 & 0 & -2 & 1
end{array}
right)
rightarrow
left(
begin{array}{rrrr}
4 & -2 & -2 & 2 \
0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 0 & -1 \
0 & 1 & -1 & 0
end{array}
right)
rightarrow
$$
$$
rightarrow
left(
begin{array}{rrrr}
4 & -2 & -2 & 2 \
0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & -1 & -2 \
0 & 0 & -2 & -1
end{array}
right)
rightarrow
left(
begin{array}{rrrr}
4 & -2 & -2 & 2 \
0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & -1 & -2 \
0 & 0 & 0 & 3
end{array}
right) .
$$
Обратим внимание на два обстоятельства: диагональные элементы последней матрицы
совпадают с коэффициентами канонического вида квадратичной формы, а коэффициенты
замены переменных, приводящей к этому каноническому виду, совпадают с
элементами строк этой матрицы, если их разделить на соответствующие диагональные
элементы. Возникает подозрение , что метод Лагранжа является «замаскированной»
версией метода Гаусса.

♦

Для того, чтобы выяснить аналитический смысл преобразований по методу Лагранжа найдем
правило формирования коэффициентов в первом шаге приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Пусть исходная квадратичная форма записана в виде
$$
f(x_1,dots,x_{n} )=sum_{1le j,k le n} a_{jk}x_jx_k=
$$
$$
begin{array}{llll}
=
a_{11}x_1^2&+2a_{12}x_1x_2&+ dots & +2a_{1n}x_1x_n+ \
&+a_{22}x_2^2 &+ dots & +2a_{2n}x_2x_n+ \
& & +dots & + \
& & &+a_{nn}x_n^2,
end{array}
$$
т.е. коэффициенты при смешанных произведениях переменных записаны с выделением множителя $ 2_{} $.
После выделения полного квадрата, содержащего переменные $ x_1,x_2,dots,x_n $:
$$ f(x_1,x_2,dots,x_n)equiv a_{11}
left(x_1+frac{a_{12}}{a_{11}}x_2+dots+ frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n
right)^2 + f_2(x_2,dots,x_n)
$$
в правой части тождества образовалась квадратичная форма $ f_{2} $, не содержащая $ x_{1} $. Она равна
$$
f_2 =sum_{2le j,k le n} a_{jk}x_jx_k-
a_{11}left(frac{a_{12}}{a_{11}}x_2+dots+
frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n right)^2=
$$
$$
=sum_{2le j,k le n} a_{jk}x_jx_k-a_{11}sum_{2le j,k le n}
frac{a_{1j}a_{1k}}{a_{11}^2}x_jx_k=
sum_{2le j,k le n}left( a_{jk}-frac{a_{1j}}{a_{11}}a_{1k} right)
x_jx_k .
$$
Если теперь выписать матрицу этой квадратичной формы (она имеет порядок $ n_{}-1 $), то ее элементы образуются по точно такому же правилу, как и коэффициенты матрицы, получающейся из матрицы $ mathbf A_{} $ в результате первого шага метода Гаусса.

Т

Теорема. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы $ X^{top}{mathbf A}X $ к каноническому виду эквивалентен методу Гаусса приведения матрицы $ {mathbf A} $ к треугольному виду.

Доказательство. Действительно, первый шаг прямого хода метода исключения переменных
Гаусса преобразует матрицу $ mathbf A $ следующим образом:
$$
left( begin{array}{ccccc}
a_{11}& a_{12}& a_{13}& dots & a_{1n} \
a_{12}& a_{22}& a_{23}& dots & a_{2n} \
& dots & & dots & \
a_{1n}& a_{2n}& a_{3n}& dots & a_{nn}
end{array}
right)
rightarrow
left(begin{array}{llll}
a_{11}&a_{12}&dots&a_{1n}\
0&a_{22}^{[1]}& dots &a_{2n}^{[1]}\
&dots & & dots \
0&a_{n2}^{[1]}&dots &a_{nn}^{[1]}
end{array} right) ;
$$
здесь
$$a_{jk}^{[1]} = a_{jk} — frac{a_{j1}a_{1k}}{a_{11}} ,$$
и предполагается, что $ a_{11}ne 0 $. Видим, что формула формирования
элементов матрицы
$$
left(begin{array}{llll}
a_{22}^{[1]}& dots&a_{2n}^{[1]}\
dots & & dots & \
a_{n2}^{[1]}&dots &a_{nn}^{[1]}
end{array} right)_{(n-1)times (n-1)}
$$
точно такая же, как и матрицы квадратичной формы $ f_2 $. Более того,
поскольку матрица $ {mathbf A} $ симметрична ($ a_{jk}=a_{kj} $), то
и только что полученная матрица оказывается симметричной.
Если $ a_{22}^{[1]} ne 0 $, то к этой новой матрице можно снова применить
ту же процедуру, и т.д., и в конце концов придем к матрице первого порядка.
Собирая все промежуточные результаты в одну матрицу, получим ее в треугольном
виде
$$
left(begin{array}{lllll}
a_{11}&a_{12}&dots&a_{1,n-1} &a_{1n}\
0&a_{22}^{[1]}& dots&a_{2,n-1}^{[1]} &a_{2n}^{[1]}\
& & ddots & & dots \
0 &0 & &a_{n-1,n-1}^{[n-2]}&a_{n-1,n}^{[n-2]} \
0 &0 &dots & 0 &a_{nn}^{[n-1]}
end{array} right)
$$
при условии, что ни одно из чисел на диагонали не обратилось в нуль:
$$a_{11} ne 0, a_{22}^{[1]} ne 0, dots, a_{n-1,n-1}^{[n-2]} ne 0, a_{nn}^{[n-1]} ne 0
.$$
Если теперь обратиться к методу Лагранжа, то увидим, что полученная матрица как раз и определяет
замену переменных
$$
left{begin{array}{lrrrrr}
y_1=&displaystyle x_1+&frac{a_{12}}{a_{11}}x_2+&dots+&frac{a_{1,n-1}}{a_{11}}x_{n-1}+&
frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n \
y_2=&displaystyle &x_2+&dots + &frac{a_{2,n-1}^{[1]}}{a_{22}^{[1]}}x_{n-1}+&
frac{a_{2n}^{[1]}}{a_{22}^{[1]}}x_{n} \
vdots & & & ddots & dots & \
y_{n-1}=&displaystyle & & &x_{n-1}+ &frac{a_{n-1,n}^{[n-2]}}{a_{n-1,n-1}^{[n-2]}}x_n \
y_n=&&&&&x_n
end{array} right. ,
$$
приводящую квадратичную форму к каноническому виду:
$$
a_{11}y_1^2 + a_{22}^{[1]} y_2^2 + dots +a_{n-1,n-1}^{[n-2]} y_{n-1}^2 +
a_{nn}^{[n-1]} y_n^2 .
$$

♦

Именно выбор представления квадратичной формы посредством симметричной матрицы позволил установить взаимосвязь между двумя такими разными задачами как решение системы линейных уравнений и представление квадратичной формы в каноническом виде. Фактически весь дальнейший анализ квадратичной формы сведется к исследованию свойств ее матрицы $ mathbf A $. В теории линейных пространств для подобных соответствий, устанавливаемых между объектами разной природы, вводится понятие изоморфизма.

Явное выражение коэффициентов из последних формул, а также необходимые и достаточные условия существования такой
замены — в терминах миноров матрицы $ mathbf A $ — даются в следующем

☟

ПУНКТЕ

Т

Теорема [Якоби]. Квадратичная форма $ f(X)=X^{top}{mathbf A}X $ с симметричной матрицей $ {mathbf A} $, ранг которой равен $ mathfrak r_{} $, а главные миноры $ {det mathbf A_j }_{j=1}^{mathfrak r} $ отличны от нуля, приводится к следующему каноническому виду (формула Якоби³⁾):

$$
frac{z_1^2}{1 cdot det mathbf A_1} +frac{z_2^2}{det mathbf A_1 cdot det mathbf A_2}
+frac{z_3^2}{det mathbf A_2 cdot det mathbf A_3} +dots+frac{z_{mathfrak r}^2}{det mathbf A_{{mathfrak r}-1} cdot det mathbf A_{mathfrak r}}
$$
Здесь
$$
z_1 =frac{1}{2} partial f / partial x_1, z_2=
frac{1}{2}
left|
begin{array}{ll}
a_{11} & partial f / partial x_1 \
a_{12} & partial f / partial x_2
end{array}
right|,
z_3=
frac{1}{2}
left|
begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & partial f / partial x_1 \
a_{12} & a_{22} & partial f / partial x_2 \
a_{13} & a_{23} & partial f / partial x_3
end{array}
right|, dots ,
$$
$$
qquad qquad
z_{mathfrak r}=
frac{1}{2}
left|
begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & dots & a_{1,mathfrak r-1} & partial f / partial x_1 \
a_{12} & a_{22} & dots & a_{2,mathfrak r-1} & partial f / partial x_2 \
dots & & & dots & dots \
a_{1,mathfrak r } & a_{2,mathfrak r } & dots & a_{mathfrak r-1,mathfrak r } & partial f / partial x_{mathfrak r}
end{array}
right|
$$

Доказательство

☞

ЗДЕСЬ.

П

Пример. Для квадратичной формы
$$ f(x_1,x_2,x_3,x_4)=
$$

$$
=4,x_1^2+2,x_2^2+x_3^2+x_4^2-4,x_1x_2-4,x_1x_3+4,x_1x_4+4,x_2x_3-4,x_3x_4
$$
имеем:
$$
mathbf A=
left(
begin{array}{rrrr}
4 & -2 & -2 & 2 \
-2 & 2 & 2 & 0 \
-2 & 2 & 1 & -2 \
2 & 0 & -2 & 1
end{array}
right) quad , left{det mathbf A_jright}_{j=1}^4=left{4,4,-4,-12right}
$$
и
$$z_1=frac{1}{2} (8,x_1-4,x_2-4,x_3+4,x_4)=4,x_1-2,x_2-2,x_3+2,x_4 ; $$
$$z_2=frac{1}{2}
left|
begin{array}{rl}
4 & 8,x_1-4,x_2-4,x_3+4,x_4 \
-2 & -4,x_1+4,x_2+4,x_3
end{array}
right|=4,x_2+4,x_3+4,x_4 ;
$$
$$
z_3=
frac{1}{2} left|
begin{array}{rrl}
4 & -2 & 8,x_1-4,x_2-4,x_3+4,x_4 \
-2 & 2 & -4,x_1+4,x_2+4,x_3
\
-2 & 2 & -4,x_1+4,x_2+2,x_3-4,x_4
end{array}
right|=-4,x_3-8,x_4 ;
$$
$$
z_4=
frac{1}{2}
left|
begin{array}{rrrl}
4 & -2 & -2 & 8,x_1-4,x_2-4,x_3+4,x_4 \
-2 & 2 & 2 & -4,x_1+4,x_2+4,x_3 \
-2 & 2 & 1 & -4,x_1+4,x_2+2,x_3-4,x_4
\
2 & 0 & -2 & 4,x_1-4,x_3+2,x_4
end{array}
right|= -12,x_4 .
$$
$$ fequiv frac{(4,x_1-2,x_2-2,x_3+2,x_4)^2 }{1cdot 4}+frac{(4,x_2+4,x_3+4,x_4)^2 }{4cdot 4}+frac{(-4,x_3-8,x_4)^2 }{4cdot (-4)}+
$$
$$
+frac{(-12,x_4 )^2 }{(-4)cdot (-12)} .
$$
Обратим внимание, что замена переменных в настоящем примере имеет треугольный вид:
$$
left(
begin{array}{l}
z_1 \ z_2 \ z_3 \ z_4
end{array}
right)
=
left(begin{array}{rrrr}
4 & -2 & -2 & 2 \
& 4 & 4 & 4 \
& & -4 & -8 \
& & & -12
end{array}
right)
left(
begin{array}{l}
x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4
end{array}
right) , .
$$

♦

Легко убедиться, что это — проявление общего правила. Выражение для
$$
z_{k}=
frac{1}{2}
left|
begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & dots & a_{1,k-1} & partial f / partial x_1 \
a_{12} & a_{22} & dots & a_{2,k-1} & partial f / partial x_2 \
dots & & & dots & dots \
a_{k1 } & a_{k2 } & dots & a_{k,k-1 } & partial f / partial x_{k}
end{array}
right|
$$
при $ k in {1,dots, mathfrak r} $ преобразуем следующим образом: из последнего столбца определителя
$$
=
left|
begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & dots & a_{1,k-1} & a_{11}x_1+a_{12}x_2+dots+ a_{1,k-1} x_{k-1}+a_{1k}x_k+dots+a_{1n}x_n \
a_{12} & a_{22} & dots & a_{2,k-1} & a_{21}x_1+a_{22}x_2+dots+ a_{2,k-1} x_{k-1}+a_{2k}x_k+dots+a_{2n}x_n \
dots & & & dots & dots \
a_{k1 } & a_{k2 } & dots & a_{k,k-1 } & a_{k1}x_1+a_{k2}x_2+dots+ a_{k,k-1} x_{k-1}+a_{kk}x_k+dots+a_{kn}x_n
end{array}
right|
$$
вычтем первый, домноженный на $ x_1 $, второй, домноженный на $ x_2 $, и т.д., $ (k-1) $-й, домноженный на $ x_{k-1} $. В результате получим линейную форму
$$
z_k=
left|
begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & dots & a_{1,k-1} & a_{1k} \
a_{12} & a_{22} & dots & a_{2,k-1} & a_{2k} \
dots & & & dots & dots \
a_{k1 } & a_{k2 } & dots & a_{k,k-1 } & a_{kk}
end{array}
right|x_k + dots +
left|
begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & dots & a_{1,k-1} & a_{1n} \
a_{12} & a_{22} & dots & a_{2,k-1} & a_{2n} \
dots & & & dots & dots \
a_{k1 } & a_{k2 } & dots & a_{k,k-1 } & a_{kn}
end{array}
right|x_n , ,
$$
не зависящую от $ x_1,dots, x_{k-1} $. Коэффициент же при $ x_k $ равен $ det mathbf A_k $ и отличен от нуля по условию теоремы. Если его вынести за пределы формы, то получим еще альтернативный вариант формулы Якоби.

=>

Квадратичная форма $ f(X)=X^{top}{mathbf A}X $ с симметричной матрицей $ {mathbf A} $, ранг которой равен $ mathfrak r_{} $, а главные миноры $ {det mathbf A_j }_{j=1}^{mathfrak r} $ отличны от нуля, приводится к следующему каноническому виду:

$$
y_1^2 det mathbf A_1 + y_2^2frac{det mathbf A_2}{ det mathbf A_1}
+y_3^2frac{det mathbf A_3}{det mathbf A_2} +dots+y_{mathfrak r}^2 frac{det mathbf A_{mathfrak r}}{det mathbf A_{mathfrak r-1}} ;
$$
при этом линейные относительно переменных $ x_1,dots,x_n $ формы $ {y_j }_{j=1}^{mathfrak r} $ выражаются по формулам
$$
left{
begin{array}{lrrrrrr}
y_1=&displaystyle x_1+&tilde c_{12}x_2& &+dots+&tilde c_{1,n-1}x_{n-1}+&tilde c_{1n}x_n \
y_2=&displaystyle &x_2+& & dots + &tilde c_{2,n-1}x_{n-1}+&tilde c_{2n}x_{n} \
vdots & & & ddots & & dots & \
y_{mathfrak r}=&displaystyle & & &x_{mathfrak r}+ & dots + & tilde c_{mathfrak r n}x_n
end{array}
right.
$$
Здесь
$$
tilde c_{1j}=a_{1j}/a_{11}, tilde c_{kj}=left|
begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & dots & a_{1,k-1} & a_{1j} \
a_{12} & a_{22} & dots & a_{2,k-1} & a_{2j} \
dots & & & dots & dots \
a_{k1 } & a_{k2 } & dots & a_{k,k-1 } & a_{kj}
end{array}
right| Bigg/ det mathbf A_j , .
$$

При $ mathfrak r = n $ матрица $ tilde C_{} $ из предыдущей формулы становится верхнетреугольной:
$$
Y=tilde C X , ;
$$
при этом на главной диагонали будут стоять $ 1 $. Обратная к матрице такого вида имеет ту же структуру — и матрица $ C=tilde C^{-1} $ является матрицей, которая встретилась нам в предыдущем ПУНКТЕ.

T

Теорема. Квадратичная форма $ f(X)=X^{top}{mathbf A}X $ при симметричной неособенной матрице $ {mathbf A} $ приводится к каноническому виду заменой переменных, задаваемой верхней унитреугольной матрицей

$$
X=CY quad npu C=
left(
begin{array}{llll}
1& c_{12}& dots & c_{1n} \
& 1& dots & c_{2n} \
mathbb O & & ddots & vdots \
& & & 1
end{array}
right)
$$
тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы $ {mathbf A} $ отличны от нуля. Этот канонический вид представлен формулой Якоби
$$
y_1^2 det mathbf A_1 + y_2^2frac{det mathbf A_2}{ det mathbf A_1}
+dots+y_{n}^2 frac{det mathbf A_{n}}{det mathbf A_{n-1}} .
$$

Доказательство достаточности условия теоремы уже произведено, необходимость доказывается в пункте

☞

LDU-разложение матрицы.

Предположим, что с помощью какой-либо невырожденной замены переменных мы привели квадратичную форму к каноническому виду:
$$widetilde f(Y)=alpha_1y_1^2+dots+alpha_n y_n^2 .$$
Может так случиться, что часть коэффициентов $ {alpha_j }_{j=1}^n $ обратится в нуль.

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы:
$$operatorname{rank} ( f ) = operatorname{rank} ( {mathbf A} ) .$$

Т

Теорема. Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных заменах переменных:

$$ operatorname{rank} (f) = operatorname{rank}( C^{top}{mathbf A}C ) quad npu quad forall C,
det C ne 0 .$$

Доказательство основано на следствии к теореме $ 2 $, приведенной

☞

ЗДЕСЬ: ранг матрицы не меняется при домножении ее на произвольную неособенную.

=>

Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.

Начиная с этого момента рассматриваем только вещественные квадратичные формы.

Число положительных (или отрицательных) коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы $ f_{}(X) $ называется ее положительным (соответственно, отрицательным) индексом инерции. Буду обозначать эти индексы⁴⁾
$$n_{+}(f) quad mbox{ и } quad n_{-}(f) . $$
Разность⁵⁾
$$sigma (f) = n_{+}(f)-n_{-}(f)$$
называется сигнатурой квадратичной формы (а также сигнатурой соответствующей ей симметричной матрицы).

Т

Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Эта теорема часто формулируется в виде: «ранг и сигнатура квадратичной формы не зависят…». Эквивалентность этой формулировки исходной очевидно следует из формул
$$ operatorname{rank} (f) = n_{+}(f)+n_{-}(f), sigma (f) = n_{+}(f)-n_{-}(f) . $$

Доказательство

☞

ЗДЕСЬ.

П

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы $ f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2-x_2x_3 $.

Решение. Приводим квадратичную форму к каноническому виду по методу Лагранжа:
$$f=frac{1}{4} ,(x_1+x_2-x_3)^2 — frac{1}{4} ,(x_1-x_2-x_3)^2 .$$

Ответ. $ operatorname{rank} (f) = 2,, sigma (f)=0 $.

=>

В предположении, что ранг матрицы $ mathbf A_{} $ равен $ mathfrak r_{} $, а ее главные миноры $ { det {mathbf A}_j }_{j=1}^{mathfrak r} $ отличны от нуля, имеем:

$$
n_{+}(f)={mathcal P}(1,det {mathbf A}_1,dots, det {mathbf A}_{mathfrak r}),
n_{-}(f)={mathcal V}(1,det {mathbf A}_1,dots, det {mathbf A}_{mathfrak r}) .
$$
Здесь $ {mathcal P}_{} $ — число знакопостоянств, а $ {mathcal V}_{} $ — число число знакоперемен в последовательности.
Для сигнатуры квадратичой формы также справедлива и формула
$$ sigma (f)= sum_{j=1}^{mathfrak r} operatorname{sign} (det (mathbf A_{j-1}) cdot det (mathbf A_{j}) ) quad npu quad det (mathbf A_{0})=1 $$
и операции $ operatorname{sign} $ определения знака, введенной

☞

ЗДЕСЬ.

Доказательство следует из формулы Якоби.

§

Правило вычисления сигнатуры из предыдущей теоремы остается справедливым и в случае, если в последовательности главных миноров $ { det {mathbf A}_j }_{j=1}^{mathfrak r} $ имеются нулевые, но не подряд идущие, и $ det {mathbf A}_{mathfrak r} ne 0 $. Если, например,

$$ det (mathbf A_{j}) = 0, det (mathbf A_{j-1}) ne 0, det (mathbf A_{j+1}) ne 0 quad npu quad jin{1,dots, {mathfrak r}-1} ,$$
то сумма
$$ operatorname{sign} (det (mathbf A_{j-1}) cdot det (mathbf A_{j}) )+ operatorname{sign} (det (mathbf A_{j}) cdot det (mathbf A_{j+1}) ) $$
считается равной нулю. (Можно также доказать, что в этом случае главные миноры $ det (mathbf A_{j-1}) $ и $ det (mathbf A_{j+1}) $ имеют противоположные знаки.)

П

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы

$$f_{{color{Red} alpha }}(x_1,x_2,x_3)=3,x_1^2 -4,x_1x_2-2,x_1x_3 + {color{Red} alpha } , x_2^2 +6, x_2x_3 $$
в зависимости от значений параметра $ {color{Red} alpha } $.

Решение. Сначала пробуем применить формулу из последнего следствия:
$$det {mathbf A}_1=3, det {mathbf A}_2=3, {color{Red} alpha } -4, det {mathbf A}_3=
det {mathbf A}=- {color{Red} alpha } -15 .$$
При $ {color{Red} alpha } notin {4/3,, -15 } $ формула применима при
$ {mathfrak r}=3 $:
$$n_{+}(f)=left{ begin{array}{llr}
2 & npu & {color{Red} alpha } >4/3 ;\
2 & npu & -15<{color{Red} alpha } <4/3 ;\
1 & npu & {color{Red} alpha } < -15 .
end{array} right.
$$
При $ {color{Red} alpha }=4/3 $, по-прежнему, $ {mathfrak r}=3 $, но формула следствия к закону инерции
неприменима. В этом случае приходится действовать по методу Лагранжа:
$$f_{4/3}(x_1,x_2,x_3)=3, left(x_1-frac{2}{3}, x_2 -frac{1}{3}, x_3right)^2-
frac{1}{3}, (x_3-7, x_2)^2+frac{49}{3}x_2^2 .$$
Следовательно, $ n_{+}(f)=2 $. Осталось рассмотреть случай $ {color{Red} alpha } =-15 $,
когда $ {mathfrak r}=2 $. Поскольку условия следствия выполняются, то формула из него применима: $ n_{+}(f)=1 $.

Во всех случаях отрицательный индекс инерции вычисляется по формуле $ n_{-}(f)={mathfrak r}-n_{+}(f) $.

Ответ.
$$
begin{array}{c|c|c}
{color{Red} alpha } & operatorname{rank} (f) & sigma (f) \
hline
< -15 & 3 & -1 \
hline
=-15 & 2 & 0 \
hline
> -15 & 3 & 1
end{array}
$$

Рассмотренный только что пример относится к общей задаче оценки влияния параметров на характеристики квадратичной формы:

Как меняются ранг и сигнатура при непрерывном изменении параметров?

Пусть квадратичная форма зависит от параметров $ alpha, beta, dots $, причем эта зависимость — полиномиальная. Пусть при некотором наборе вещественных значений параметров все главные миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля. Тогда ранг и сигнатура квадратичной формы могут быть вполне определены знаками этих миноров посредством формулы из следствия к закону инерции. Поскольку элементы миноров полиномиально зависят от параметров, то мы получаем систему неравенств, которую (при необходимости домножением некоторых неравенств на $ (-1) $) можно переписать в виде
$$ G_1(alpha,beta,dots) > 0, dots, G_n(alpha,beta,dots) > 0 . $$
Здесь $ G_1,dots, G_n $ — полиномы от $ alpha,beta,dots $. Если при некотором наборе значений $ alpha=alpha_0, beta=beta_0, dots $ эта система удовлетворена, при непрерывной вариации этих параметров $ alpha_0+delta_{alpha}, beta_0 + delta_{beta},dots $ какое из неравенств системы нарушится в первую очередь, т.е. раньше остальных? Иными словами: какое из неравенств системы самое важное? — Оказывается, последнее.

Т

Теорема[2]. Пусть $ f_{{color{Red} alpha }}(x_1,dots,x_n) $ — квадратичная форма, зависящая от параметра $ {color{Red} alpha } $ линейным образом:

$$ f_{{color{Red} alpha }}(x_1,dots,x_n) equiv (1-{color{Red} alpha }) f_{0}(x_1,dots,x_n)+ {color{Red} alpha } f_{1}(x_1,dots,x_n) . $$
Если $ operatorname{rank} (f_{{color{Red} alpha }})=n $ при $ 0 le {color{Red} alpha } le 1 $, то $ n_{+} (f_{0})= n_{+} (f_{1}) $.

Справедливо и более общее утверждение.

Т

Теорема[1,5]. Если при непрерывном изменении коэффициентов формы $ f_{} $ ее ранг $ {mathfrak r}_{} $ остается неизменным, то не изменяется и ее сигнатура $ sigma_{}(f) $.

В случае, когда главные миноры матрицы $ mathbf A $ обращаются в нуль, к анализу канонического вида квадратичной формы приходится привлекать «тяжелую артиллерию» в виде ведущих миноров. Но, по крайней мере, один теоретический результат можно сформулировать немедленно.

Т

Теорема. В произвольной квадратичной форме $ f(X) $ ранга $ mathfrak rge 1 $ можно так перенумеровать переменные, чтобы в матрице получившейся квадратичной формы $ tilde f(Y) $ в последовательности главных миноров

$$ det widetilde{mathbf A}_1, dots, det widetilde{mathbf A}_{ mathfrak r} $$
не было двух подряд идущих нулевых и $ det widetilde{mathbf A}_{ mathfrak r} ne 0 $.

Матрицы $ {mathbf A} $ и $ {mathbf B} $, связанные соотношением
$ {mathbf B}=C^{top}{mathbf A}C $ при некоторой неособенной матрице $ C $, называются
конгруэнтными: $ {mathbf A} cong {mathbf B} $. Если, вдобавок, матрицы
$ {mathbf A} $ и $ {mathbf B} $ симметричны, то конгруэнтными называются
и соответствующие им квадратичные формы $ X^{top}{mathbf A}X $ и $ X^{top}{mathbf B}X $.

Т

Теорема. Квадратичные формы $ X^{top}{mathbf A}X $ и $ X^{top}{mathbf B}X $
конгруэнтны тогда и только тогда, когда совпадают их индексы инерции, или, что то же, равны их ранги и сигнатуры.

Из всего разнообразия канонических видов квадратичной формы
выберем самый простой, именно тот, коэффициенты которого равны $ +1 $ или $ (-1) $. Например, если квадратичная форма $ f(X) $ уже приведена к каноническому виду
$$widetilde f(Y)=alpha_1y_1^2+dots+alpha_{mathfrak r} y_{mathfrak r}^2 .$$
то преобразование
$$y_j=frac{z_j}{sqrt{alpha_j}} npu jin {1,dots, {mathfrak r}} ,
y_j=z_j npu jin {{mathfrak r}+1,dots, n }
$$
приводит эту форму к виду
$$
z_1^2+dots + z_{n_{+}(A)}^2 -z_{n_{+}(A)+1}^2 — dots — z_{{mathfrak r}}^2
,
$$
который называется нормальным видом квадратичной формы.

Множество всех квадратичных форм с вещественными коэффициентами можно разбить на классы эквивалентности,
в каждом из которых будут находиться только конгруэнтные между собой формы.
Каждый из классов полностью описывается каким-то из своих представителей. Таким
представителем можно взять нормальный вид.

Какое преобразование квадратичной формы оставляет ее инвариантной?

Т

Теорема [Эрмит]. Квадратичная форма $ X^{top}{mathbf A}X $ переходит в себя при преобразовании

$$ X= ({mathbf A}+S)^{-1}({mathbf A}-S) Y $$
где $ S $ означает произвольную кососимметричную матрицу порядка $ n $.

Доказательство. Обозначим
$$ R=({mathbf A}+S)^{-1}({mathbf A}-S) $$
и докажем, что $ R^{top}{mathbf A}R= {mathbf A} $. Используя равенства $ {mathbf A}^{top}={mathbf A} $ ,
$ S^{top}=-S $, получим:
$$ R^{top}{mathbf A}R=({mathbf A}-S)^{top} left(({mathbf A}+S)^{-1}right)^{top}{mathbf A} ({mathbf A}+S)^{-1}({mathbf A}-S)=
$$
$$
=({mathbf A}+S)left(({mathbf A}+S)^{top}right)^{-1} {mathbf A}
({mathbf A}+S)^{-1}({mathbf A}-S)=
$$
$$
=({mathbf A}+S)({mathbf A}-S)^{-1}left[frac{1}{2}({mathbf A}-S)+ frac{1}{2}({mathbf A}+S)right]({mathbf A}+S)^{-1}({mathbf A}-S)=
$$
$$
=frac{1}{2}({mathbf A}+S)({mathbf A}-S)^{-1}({mathbf A}-S)({mathbf A}+S)^{-1}({mathbf A}-S)+frac{1}{2}({mathbf A}+S)({mathbf A}-S)^{-1}({mathbf A}+S)({mathbf A}+S)^{-1}({mathbf A}-S)=
$$
$$
=frac{1}{2}({mathbf A}-S)+
frac{1}{2}({mathbf A}+S)={mathbf A} , .
$$

♦

Здесь рассматриваются только вещественные квадратичные формы.

Квадратичная форма $ f_{}(X) $ называется

а) неотрицательной если $ f(X)ge 0 $ для любого $ Xin mathbb R^n $;

б) положительно определенной, если она неотрицательна и $ f(X)= 0 $ только при $ X=mathbb O_{} $;

в) неопределенной или знакопеременной, если существуют $ {X_1,X_2} subset mathbb R^n $ такие что числа $ f(X_1) $ и $ f(X_2) $ имеют разные знаки: $ f(X_1)f(X_2)<0 $.

По аналогии с пунктами а) и б) определяются неположительные и отрицательно определенные квадратичные формы. Иногда неотрицательные или неположительные формы называют полуопределенными.

П

Пример. При $ n_{}=3 $ квадратичная форма

а) $ x_1^2+3x_2^2+4x_3^2 $ является положительно определенной;

б) $ x_1^2+x_3^{2} $ (или $ (x_1+{sqrt 2} x_2-x_3)^{2} $) является неотрицательной, но не положительно определенной;

в) $ -x_1^2 $ является неположительной, но не отрицательно определенной;

г) $ -x_1^2-2,x_2^2-4,x_3^{2} $ является отрицательно определенной;

д) $ x_1x_{2}+x_2x_3 $ является неопределенной.

Какой смысл имеет свойство неотрицательности и положительной определенности с точки зрения математического анализа? — Неотрицательность формы $ f_{}(X) $ означает, что в точке $ X=mathbb O $ эта функция достигает своего минимального значения: $ f(X)ge 0 = f(mathbb O) $; подчеркнем, что этот минимум будет глобальным. В случае положительной определенности точка $ X=mathbb O $ будет единственной точкой пространства $ mathbb R^{n} $, в которой $ f_{}(X) $ достигает своего минимального значения. Однако если свойство положительной определенности будет нарушено: $ f(X_1) =0 $ при $ X_1 ne mathbb O $, то вследствие однородности формы $ f_{}(X) $ будет выполнено
$$ f(tX_1)=t^2f(X_1)= 0 quad npu quad forall t in mathbb R . $$
Иными словами, свое минимальное значение $ 0_{} $ неотрицательная, но не положительно определенная, форма $ f_{} (X) $ будет принимать на всей прямой, проходящей через точки $ mathbb O $ и $ mathbb X_1 $. Точка $ X=mathbb O $ перестает быть изолированной точкой минимума: в любой ее окрестности находятся другие точки минимума. С точки зрения здравого смысла, подобная ситуация может считаться исключительным, вырожденным случаем. Интуиция подтверждается аналитикой: как увидим впоследствии вероятность того, что случайным образом выбранная квадратичная форма, обладающая свойством неотрицательности, не будет, вдобавок, положительно определенной, равна $ 0_{} $.
Событие теоретически возможно, но практически немыслимо.

§

Задача об условных экстремумах квадратичной формы $ f_{}(X) $ на сфере $ x_1^2+dots+x_n^2 =1 $ решается

☞

ЗДЕСЬ.

П

Пример. В произвольном евклидовом пространстве $ mathbb E $ квадратичная форма с матрицей Грама произвольной системы векторов $ {X_1,dots,X_m} subset mathbb E $

$$ G(X_1,dots,X_m)=
left(
begin{array}{cccc}
langle X_1,X_1 rangle & langle X_1,X_2 rangle & dots & langle X_1,X_m rangle \
langle X_2,X_1 rangle & langle X_2,X_2 rangle & dots & langle X_2,X_m rangle \
dots & & & dots \
langle X_m,X_1 rangle & langle X_m,X_2 rangle & dots & langle X_m,X_m rangle
end{array}
right)
$$
будет неотрицательной; эта квадратичная форма будет положительно определенной тогда и только тогда, когда система $ {X_1,dots,X_m} $ линейно независима.

Задача.

Найти условия неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы в терминах ее коэффициентов.

Очевидны необходимые условия неотрицательности квадратичной формы
$$ f(X)=displaystyle sum_{1le j le k le n} f_{jk}x_jx_k : $$
все коэффициенты при квадратах переменных должны быть неотрицательными:
$$ f_{11}ge 0, dots , f_{nn}ge 0 . $$
Также очевидно, что эти условия будут и достаточными, если все остальные коэффициенты $ f_{jk}^{} $ при $ jne k $
равны нулю. Если же последнее условие не выполняется, то имеет смысл предварительно преобразовать квадратичную форму к сумме квадратов, т.е.
исследовать ее канонический вид.

Т

Теорема. Ненулевая квадратичная форма, представленная в правильном виде

$$ f(X)=X^{top}{mathbf A}X , , $$
будет неотрицательной тогда и только тогда, когда ее отрицательный индекс инерции равен нулю:
$$ n_{-} ({mathbf A})=0 qquad iff qquad qquad sigma (
{mathbf A})=operatorname{rank} {mathbf A} .$$
Если это условие выполнено, то для положительной определенности формы необходимо и достаточно чтобы она была невырождена: $ det {mathbf A} ne 0 $.

Доказательство

☞

ЗДЕСЬ.

К счастью, явное представление канонического вида квадратичной формы уже имеется — как правило, он задается формулой Якоби. Индексы инерции
вычисляются через знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Т

Теорема [Сильвестр]. Квадратичная форма

$$
f(X)=X^{top}{mathbf A}X
$$
будет положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры ее матрицы положительны:
$$
a_{11}>0, left| begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \
a_{12} & a_{22}
end{array} right| >0, left| begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{12} & a_{22} & a_{23} \
a_{13} & a_{23} & a_{33}
end{array} right| >0, dots, det {mathbf A} >0 .
$$

Доказательство

☞

ЗДЕСЬ.

=>

Квадратичная форма будет отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы будут чередоваться следующим образом:

$$
a_{11}<0, left| begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \
a_{12} & a_{22}
end{array} right| >0, left| begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{12} & a_{22} & a_{23} \
a_{13} & a_{23} & a_{33}
end{array} right| <0, dots, (-1)^ndet {mathbf A} >0 .
$$

В настоящем ресурсе я буду часто говорить об определенности или неопределенности вещественной симметричной матрицы, имея в виду соответствующее свойство порождаемой ею квадратичной формы. Имеется одна особенность в определении симметричной матрицы, задающей неотрицательную квадратичную форму, не являющуюся положительно определенной. Такую матрицу НЕ называют неотрицательной (этот термин закреплен за другим понятием теории матриц); такую матрицу называют положительно полуопределенной⁶⁾.

П

Пример. Найти все значения параметра $ {color{Red} alpha } $, при которых
квадратичная форма

$$2, x_1^2+2, x_2^2+x_3^2+ 2, {color{Red}{ alpha} } , x_1x_2+6, x_1x_3 +2,x_2x_3 $$
будет положительно определенной.

Решение. Значения главных миноров:
$$det {mathbf A}_1=2, det {mathbf A}_2=4- {color{Red} alpha }^2, det {mathbf A}_3=-{color{Red} alpha }^2+
6, {color{Red} alpha } -16 . $$
Последнее выражение будет отрицательно при любых $ {color{Red} alpha } in mathbb R $.

Ответ. Таких значений нет: $ {color{Red} alpha } in varnothing $.

Можно ли получить условия неотрицательности квадратичной формы:
$$ f(X) ge 0 npu forall X in {mathbb R}^n $$
превращением всех неравенств из критерия Сильвестра в нестрогие: $ > to {color{Red}{ to} } ge $

?

— Вообще говоря, нет.

П

Пример.
Квадратичная форма

$$f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+2x_1x_3+2x_2x_4+x_4^2=
X^{top} left(
begin{array}{cccc}
1&0&1 &0 \
0&0&0&1 \
1&0&0&0 \
0&1&0&1
end{array} right)X
$$
— неопределенная, т.к. $ f(1,0,-1,0)=-1_{}<0 $, а $ f(1,0,0,0)=1_{}>0 $. Тем не менее, все главные миноры ее матрицы неотрицательны.

♦

Имеются ли конструктивные необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы?

Т

Теорема. Для неотрицательности квадратичной формы $ X^{top} mathbf A X $ необходимо и достаточно, чтобы все ведущие миноры матрицы $ mathbf A $, т.е. миноры, стоящие на пересечении строк и столбцов матрицы с одинаковыми номерами

$$
Aleft(
begin{array}{lll}
j_1 & dots & j_k \
j_1 & dots & j_k
end{array}
right) , j_1<j_2<dots < j_k
$$
были неотрицательны.

П

Пример. При любой матрице $ A in mathbb R^{mtimes n} $ матрицы

$$ A^{top} A quad mbox{ и } quad A A^{top} $$
являются положительно полуопределенными.

Будем говорить, что квадратичная форма $ f(X) $ положительно определена на подпространстве $ mathbb V_1 $ пространства $ mathbb R^{n} $ если $ f(X)>0 $ при всех $ Xin mathbb V_1, X ne mathbb O $.

Т

Теорема. Пусть линейное подпространство задано системой линейных однородных уравнений

$$
left{ begin{array}{cccc}
h_{11}x_1 & + dots & + h_{1n}x_n&=0, \
dots & & & dots \
h_{k1}x_1 & + dots & + h_{kn}x_n&=0, \
end{array}
right. qquad iff qquad
underbrace{left(
begin{array}{lll}
h_{11} & dots & h_{1n} \
dots & & dots \
h_{k1} & dots & h_{kn}
end{array}
right)}_{=H}X=mathbb O
$$
Здесь $ k<n $ и предполагается, что минор, образованный первыми $ k_{} $ столбцами матрицы $ H_{} $ отличен от нуля, (т.е. $ operatorname{rank} (H)=k $). Тогда необходимым и достаточным условием положительной определенности квадратичной формы $ X^{top} mathbf A X $ на этом подпространстве является то, что все главные миноры матрицы
$$
(-1)^k
left( begin{array}{cc}
mathbb O_{ktimes k} & H \
H^{top} & mathbf A
end{array}
right)_{(n+k)times (n+k)}
$$
порядков $ 2k+1, 2k+2, dots, n+k $ положительны.

Результат приведен в [3] со ссылкой на статью [4], однако у меня есть основания считать, что он был известен еще Борхардту.

В этом пункте рассматриваются только вещественные квадратичные формы.
Существенно используются материалы из раздела СИММЕТРИЧНАЯ МАТРИЦА и начальный пункт раздела ОРТОГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА.

Т

Теорема. Cуществует замена переменных

$$ X=PY , $$
c ортогональной матрицей $ P_{} $, приводящая квадратичную форму $ f(X)=X^{top} mathbf A X $ к каноническому виду
$$ lambda_1 y_1^2 + lambda_2 y_2^2+ dots + lambda_n y_n^2 ; $$
при этом коэффициентами канонического вида являются собственные числа матрицы $ mathbf A $ (более точно: набор $ { lambda_1,dots, lambda_n } $ составляет спектр матрицы $ mathbf A $).

Доказательство

☞

ЗДЕСЬ.

П

Пример. Найти ортогональную замену переменных, приводящую квадратичную форму

$$ X^{top} mathbf A X quad
npu quad
{mathbf A}=left(begin{array}{rrr}
2 & 2 & -1 \
2 & -1 & 2 \
-1& 2 & 2
end{array}
right)
$$
к каноническому виду.

Решение. Характеристический полином $ det (mathbf A- lambda E)=-(lambda-3)^2(lambda+3) $.
Простому собственному числу $ lambda=-3 $ соответствует собственный вектор
$ {mathfrak X}_1=[1,-2,1]^{^{top}} $, а собственному числу $ lambda=3 $ второй кратности соответствуют
два линейно-независимых собственных вектора $ {mathfrak X}_2=[2,1,0]^{^{top}} $ и
$ {mathfrak X}_3=[-1,0,1]^{^{top}} $. Очевидно, что
$ langle {mathfrak X}_1, {mathfrak X}_2rangle=0 , langle {mathfrak X}_1, {mathfrak X}_3 rangle =0 $, но
$ langle {mathfrak X}_2, {mathfrak X}_3 rangle ne 0 $. Ортогонализуем систему
векторов $ left{{mathfrak X}_2,{mathfrak X}_3right} $:
$${mathfrak Y}_2={mathfrak X}_2, {mathfrak Y}_3={mathfrak X}_3+ {color{Red} alpha } {mathfrak Y}_2
quad mbox{ и } langle {mathfrak Y}_2,{mathfrak Y}_3rangle =0
Longrightarrow {color{Red} alpha }=-frac{langle {mathfrak X}_2,{mathfrak X}_3rangle}
{langle {mathfrak X}_2,{mathfrak X}_2rangle}=frac{2}{5}
$$
и $ {mathfrak Y}_3=left[-1/5, 2/5, 1 right]^{^{top}} $.
После нормирования, получаем ортогональную матрицу
$$
P=left(begin{array}{rrr}
1/sqrt{6} & 2/sqrt{5} & -1/sqrt{30} \
-2/sqrt{6} & 1/sqrt{5} & 2/sqrt{30} \
1/sqrt{6} & 0 & 5/sqrt{30}
end{array}
right) .
$$
Замена переменных $ X=PY $ приводит квадратичную форму $ X^{top} mathbf A X $ к каноническому виду
$$
(y_1,y_2,y_3)
left(begin{array}{rrr}
-3 & 0 & 0 \
0 & 3 & 0 \
0& 0 & 3
end{array}
right)
left(
begin{array}{c}
y_1 \ y_2 \ y_3
end{array}
right)=-3,y_1^2+3,y_2^2+3,y_3^2 .
$$

Поскольку фундаментальную систему решений системы уравнений $ (mathbf A — lambda_j E)X= mathbb O $ для кратного собственного числа $ lambda_j $ можно строить разными способами, то у последней задачи имеется бесконечное
множество ответов. Так, например, в качестве еще одной ортогональной
матрицы можно взять
$$P=left(begin{array}{rrr}
1/sqrt{6} & -1/sqrt{2} & 1/sqrt{3} \
-2/sqrt{6} & 0 & 1/sqrt{3} \
1/sqrt{6}& 1/{sqrt 2} & 1/sqrt{3}
end{array}
right).
$$

Т

Теорема. Если известны коэффициенты характеристического полинома матрицы квадратичной формы $ f(X)=X^{top}mathbf A X $:

$$ det (mathbf A- lambda E) equiv (-1)^n left(lambda^n+a_{1}lambda^{n-1}+ dots + a_n right) , ,$$
то
$$ operatorname{rank} (f(X))={mathfrak r} iff
a_{n}=a_{n-1}=dots=a_{{mathfrak r}+1}=0,a_{{mathfrak r}}ne 0 , . $$
В этом случае будет также выполнено
$$ n_{+} (f(X))={mathcal V}(1,a_1,dots,a_{{mathfrak r}}),quad
n_{-} (f(X))={mathcal P}(1,a_1,dots,a_{mathfrak r}) , , $$
$$ sigma(f(X))=sum_{j=1}^{mathfrak r} operatorname{sign} (a_{j-1}a_j) quad npu quad a_0=1 , . $$

Доказательство основано на правиле знаков Декарта.

В предыдущих пунктах мы рассмотрели два подхода к построению канонического вида квадратичной формы. Очевидно, что подход, основанный на ортогональной замене переменных более дорогостоящий в построении по сравнению с методом Лагранжа. В самом деле, он требует нахождения собственных чисел симметричной матрицы, т.е. решения алгебраического уравнения $ det (mathbf A — lambda E)=0 $. В случае матриц порядка $ n> 4 $ корни этого уравнения, как правило, на находятся в виде «хорошей» комбинации коэффициентов, и могут быть определены разве лишь приближенно. Метод же Лагранжа принципиально безошибочен: коэффициенты канонического вида определяются в виде рациональных функций от коэффициентов квадратичной формы.

П

Пример. Уравнение $ 1/3x_1^2-x_1x_2+x_2^2=1 $ задает на плоскости эллипс:

Преобразование
$$
y_1=x_1-3/2x_2, y_2=x_2
$$
приводит уравнение к виду
$$ 1/3 y_1^2+1/4 y_2^2=1 ; $$
в новых координатах кривая имеет вид на рисунке слева. С другой стороны, преобразование
$$
begin{array}{ll}
z_1&= sqrt{1/2+1/sqrt{13}},x_1+sqrt{1/2-1/sqrt{13}},x_2,\
z_2&= sqrt{-1/2-1/sqrt{13}},x_1+sqrt{1/2+1/sqrt{13}}x_2
end{array}
$$
приводит уравнение к виду
$$frac{4-sqrt{13}}{6}z_1^2+frac{4+sqrt{13}}{6}z_2^2=1 . $$
В этих координатах кривая имеет вид на рисунке справа.

Оба преобразования координат не изменяют типа кривой: эллипс остается эллипсом. Но второе преобразование дает нечто большее: оно сохраняет размеры. Фактически, оно сводится к повороту исходного эллипса.

Вывод. Метод Лагранжа «дешевле» метода ортогональных преобразований при решении задачи классификации алгебраических многообразий, заданных уравнением вида $ X^{top} mathbf A X=1 $. Иными словами, он позволяет «дешевле» определить тип поверхности с точностью до ее формы: например, в $ mathbb R^3 $ является ли эта поверхность эллипсоидом или гиперболоидом (и каким именно — однополостным или двуполостным)? Но если нас интересуют истинные размеры этой поверхности: например, размеры посылочного ящика, в который эллипсоид, заданный уравнением $ X^{top} mathbf A X=1 $, можно было бы поместить — то здесь без собственных векторов и чисел матрицы $ mathbf A $ не обойтись!

Здесь уместно вспомнить замечание о невырожденности замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду.
В чем заключается его геометрический смыcл? Для ответа на вопрос обратимся к приведенному выше примеру.
Сделаем в квадратичной форме замену переменных зависящей от параметра:
$$ x_1=t_1+alpha t_2, x_2=t_1+t_2 , . $$

На рисунке изображены получаемые в результате такой замены кривые при различных значениях параметра. И если при значениях $ alpha=0.4 $ и $ alpha=0.7 $ мы еще можем визуально распознать эллипс, то значение $ alpha=0.9 $ заставляет подозревать, что соответствующая кривая при сильном растяжении разрывается на два куска, близкие к прямым. Именно это и происходит при $ alpha=1 $. Вместо двух существенных переменных $ x_1 $ и $ x_2 $, у нас остается, фактически, одна, а именно $ t_1 + t_2 $, а нелинейная кривая выродилась в две прямые линии.

[1]. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.Наука. 1988.

[2]. Knuth D.E. A permanent inequality. American Math. Monthly, v. 88, N 10, 1981, p.731–740

[3]. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.Наука.1969, с.243

[4]. Шостак Р.Я. О признаке условной определённости квадратичной формы n переменных, подчинённых линейным связям, и о достаточном признаке условного экстремума функций n переменных, УМН, 9:2(60) (1954), 199–206

[5]. Иохвидов И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. М. Наука. 1974.

[6]. Turnbull H.W. The Theory of Determinants, Matrices and Invariants. Blackie & Sons Ltd. 1929.