Как найти канонический вид уравнения прямой

Понятие канонического уравнения прямой

Чтобы разобраться, что такое каноническое уравнение, нужно рассмотреть следующий пример. Дана прямоугольная система координат, в которой задана некая произвольная прямая. Известны координаты произвольной точки на отрезке [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)] и координаты направляющего вектора [bar{a}=left(a_{x^{prime}} a_{y}right)]. Используя все имеющиеся данные составим и запишем уравнение, которое будет описывать данную заданную прямую.

Рассмотрим точку [mathrm{M}(x, y)]. Вектор [overline{M_{1} M}] можно отнести к направляющим  исходной линии в координатной плоскости. Координатами вектора будут точки [left(x-x_{1}, y-y_{1}right)]. Чтобы правильно определить векторные координаты, необходимо вспомнить основное правило решения векторов.

Произвольные точки [M(x, y)] будут являться основой для необходимой прямой с направляющим вектором [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)], только тогда, когда вектора [overline{M_{1} M}] и [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)] будут являться коллинеарными по отношению друг к другу.

Исходя из этого можно составить формулу коллинеарности двух векторов.

Формула

[overline{M_{1} M}=lambda cdot overline{mathrm{a}}, lambda in R]

 Где:

После преобразования данного равенства в координатную форму, можно получить следующее уравнение:

[begin{aligned} &x-x_{1}=lambda cdot a_{x} \ &y-y_{1}=lambda cdot a_{y} end{aligned}]

Однако, обязательно выполнение главных условий: [a_{x} neq 0] и [a_{y} neq 0].

При выполнении вышеперечисленных условий, получаем следующие равенства:

[begin{aligned} &x-x_{1}=lambda cdot a_{x} Rightarrow lambda=frac{x-x_{1}}{a_{x}} \ &y-y_{1}=lambda cdot a_{y} Rightarrow lambda=frac{x-x_{1}}{a_{x}} \ &Leftrightarrow frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}} end{aligned}]

Все выполненные преобразования привели к тому, что мы получили окончательную формулу канонического уравнения на плоскости [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}].

Иначе такое равенство, еще называют уравнением прямой канонического вида.

Используя данную запись [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}], можно в прямоугольной системе координат задать прямую, которой будет характерен направляющий вектор [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)]. Также данная линия будет проходить через заданную точку [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)].

Например: задано уравнение [frac{x-2}{sqrt{3}}=frac{y-3}{1}]. Задается линия, которая будет проходить через точки [M_{1}(2,3)]. Ее направляющий вектор имеет координатные точки: [bar{a}=(sqrt{3}, 1)].

Прямая канонического вида на координатной плоскости

Рисунок 1. Прямая канонического вида на координатной плоскости

Когда любая прямая в системе координат проходит через две любые точки [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)] и [M_{2}left(x_{2}, y_{2}right)] и имеет направляющий вектор [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)], множество всех векторов можно записать как [mu cdot overline{mathrm{a}}=left(mu cdot mathrm{a}{x^{prime}} mu cdot a{y}right), mu in R, mu neq 0].

Таким образом, каждое уравнение прямой канонического вида [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}], будет соответствовать заданной прямой на плоскости.

Пример 1

В системе координат задана прямая, которая проходит через точки [M_{1}(2,4)], и имеет направляющий вектор [bar{a}=(1,-3)].

Решение задачи:

Составим и запишем общий вид канонического уравнения [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}].

Далее подставим в него заданные значения [x_{1}=2, y_{1}=-4, a_{x}=1, a_{y}=-3].

Проведем необходимый расчет и получим следующую запись:

[frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}} Leftrightarrow frac{x-2}{1}=frac{y-(-4)}{-2} Leftrightarrow frac{x-2}{1}=frac{y+4}{-3}].

Ответ: [frac{x-2}{1}=frac{y+4}{-3}]

Каноническое уравнение на плоскости с точками ax и ay равными нулевому значению

При условии, что одно из значений переменной является нулю, будет использоваться первоначальный вид уравнения. Две переменные нулевыми быть не могут, так как это невозможно по определению. Направляющий вектор не может быть нулевым.    

В такой ситуации выражение [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}] считается условным, и его нужно понимать как равенство [a_{y}left(x-x_{1}right)=a_{x}left(y-y_{1}right)].

Если [frac{x-x_{1}}{0}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}] при [a_{x}=0], а заданная прямая проходит через точки [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)]. В данном случае она является параллельной относительно оси ординат.  Если [x_{1}=0], то прямая будет совпадать с осью координат.

Утверждение необходимо доказать. Для заданной прямой вектор [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)] является направляющим. Также данный вектор будет являться коллинеарным по отношению к координатному вектору [bar{j}=(0.1)].

Если второй параметр является нулевым значением, то [a_{y}=0] и мы получим равенство [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{0}]. Данное уравнение характеризует прямую, которая проходит через точку [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)] и располагается параллельно оси абсцисс. Это утверждение будет правдивым, так как [bar{a}=left(a_{x^{prime}} 0right)], и является для прямой направляющим вектором. А вектор, в свою очередь, коллинеарен по отношению к вектору координат [bar{j}=(0.1)].

Использования канонического уравнения для прямой на координатной плоскости

Рисунок 2. Два случая использования канонического уравнения для прямой на координатной плоскости

Примеры 2 — 3

На координатной плоскости задана прямая, которая расположена параллельно оси Oy. Она проходит через точку
[M_{1}left(sqrt[3]{2},-frac{1}{7}right)].

Необходимо составить каноническое уравнение для заданной прямой, используя исходные данные.

Решение:

Так как прямая по отношению к координатной оси является параллельной, можно использовать координатный вектор
[bar{j}=(0.1)]. Данный вектор будет служить, как направляющий.

Искомое уравнение будет выглядеть в следующем виде:
[frac{x-sqrt[3]{2}}{0}=frac{y-left(-frac{1}{7}right)}{1} Leftrightarrow
frac{x-sqrt[3]{2}}{0}=frac{y+frac{1}{7}}{1}].

Ответ: [frac{x-sqrt[3]{2}}{0}=frac{y+frac{1}{7}}{1}].

Согласно графику, нужно составить каноническое уравнение прямой.

Каноническое уравнение на плоскости

Решение:

Исходя из графика можно сказать, что линия параллельна оси Ox и проходит через точку [M_{1}(0,3)].
Используем координатный вектор как направляющий.

Записываем каноническое уравнение: [frac{x-0}{1}=frac{y-3}{0} Leftrightarrow
frac{x}{1}=frac{y-3}{0}].

Ответ: [frac{x}{1}=frac{y-3}{0}].

Преобразование канонического уравнения прямой в уравнение другого вида

Стандартную форму канонического уравнения [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}] можно поставить в систему параметрических уравнений для плоскости.

Для преобразования одного вида уравнения в другой необходимо одну часть уравнения приравнять к другой.

[begin{aligned} &frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}} Leftrightarrow frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}=lambda Leftrightarrow frac{x-x_{1}}{a_{y}}=lambda Rightarrow \ &frac{y-y_{1}}{a_{y}}=lambda Leftrightarrow x=x_{1}+a_{x} cdot lambda Rightarrow y=y_{1}+a_{y} cdot lambda end{aligned}]

Примеры 4 — 5

Задана прямая на плоскости в виде канонического уравнения [frac{x+2}{3}=frac{y-1}{11}].

Необходимо записать параметрическое уравнение для прямой.

Принцип решения задачи:

Нужно поставить знак равенства между отдельными частями уравнения и переменной [lambda]. Получается
следующий вид уравнения: [frac{x+2}{3}=lambda] и [frac{y-1}{11}=lambda].

Далее можно записать необходимы уравнения параметрического вида:

[frac{x+2}{3}=lambda] и [frac{y-1}{11}=lambda.].
[Leftrightarrow x+2=3 cdot lambda] и
[y-1=11 cdot lambda Leftrightarrow x=-2+3 cdot lambda] и [y=1+11 cdot lambda]

Ответ: [x=-2+3 cdot lambda] и [y=1+11 cdot lambda].

Задана на плоскости прямая при помощи канонического уравнения [frac{x-1}{2}=frac{y+4}{0}].

Необходимо составить общей вид канонического уравнения для данной прямой.

Решение:

Аналогичным образом решаем задачу, как в предыдущем примере:

[frac{x-1}{2}=lambda] и [frac{y+4}{0}=lambda].
[Leftrightarrow x-1=2 cdot lambda] и [y+4=0
cdot lambda Leftrightarrow x=-2+1 cdot lambda] и [y=-4+0 cdot lambda]
[Leftrightarrow 0
cdot(x-1)=2 cdot(y+4) Leftrightarrow y+4=0]

Ответ: [y+4=0].

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Принцип решения задач на составление канонических уравнений

Первым делом канонические уравнения применяется для тех задач, где необходимо вычислить принадлежность точки к заданному отрезку на плоскости.

Рассмотрим несколько вариантов задач, и подробно опишем их решение.

Примеры 6 — 8

Задана линия, каноническое уравнение которой выглядит следующим образом:
[frac{x-1}{2}=frac{y+frac{1}{2}}{-3}].

Нужно определить принадлежат ли две точки [M_{1}left(3,-3 frac{1}{2}right)] и [M_{2}(5,-4)]
прямой.

Решение:

Для того чтобы проверить принадлежность прямой, нужно подставить заданные координаты точек в каноническое
уравнение.

Выполнив данное действие получим верное равенство: [frac{3-1}{2}=frac{-3 frac{1}{2}+frac{1}{2}}{-2}
Leftrightarrow 1=1].

Согласно результату, можно сказать что точка [M_{1}left(3,-3 frac{1}{2}right)] принадлежит заданному
отрезку.

Аналогичным образом нужно поступить и с другой точкой.

[frac{5-1}{2}=frac{-4 frac{1}{2}+frac{1}{2}}{-3} Leftrightarrow 2=frac{7}{6}]

Полученное в ходе решения равенство не является верным, следовательно, точка [M_{2}(5,-4)] не будет ей
принадлежать.

Ответ: прямой принадлежат координаты точки [M_{1}left(3,-3 frac{1}{2}right)], координаты точки
[M_{2}(5,-4)] нет.

Заданы координаты двух точек [M_{1}(2,4)] и [M_{2}(-1,3)]. Нужно определить, будет ли заданная прямая на
плоскости с помощью уравнения [frac{x-2}{0}=frac{y-3}{2}], проходить через заданные координаты.

Решение:

Уравнение [frac{x-2}{0}=frac{y-3}{2}] можно преобразовать, и записать как [2 cdot(x-2)=0 cdot(y-3)
Leftrightarrow x-2=0].

Заданные координаты точек подставим преобразованное уравнение, и произведем проверку.

Для точки [M_{1}(2,4) 2-2=0 Leftrightarrow 0=0].

Так как равенство верное, можно сделать вывод, что точка принадлежит прямой.

Аналогичным образом проводится проверка второй точки: [M_{2}(-1,3)]
[-1-2=0 Leftrightarrow-3=0].

Равенство неверное, поэтому точка [M_{2}(-1,3)] не принадлежит прямой.

Ответ: через точку [M_{1}(2,4)] прямая будет проходить, так как равенство верное, через точку
[M_{2}(-1,3)] нет.

Задачи, в которых заданы точки с координатами, будут являться наиболее простыми по отношению нахождения
канонического уравнения прямой.
Наиболее сложнее решаются задачи, когда предварительно необходимо определить координаты точек, через которые
проходит прямая.
Наиболее распространенной является тип задач, где нужно доказать прохождение прямой, через заданные точки.

Задана прямая, которая проходит через точки [M_{1}(0,-3)] и [M_{2}(2,-2)] в прямоугольной системе координат. Согласно условию задачи, необходимо составить каноническое уравнение.

Решение:

Вычислим координаты вектора [overline{M_{1} M_{2}}=(2.1)], по уже известной методике решения, используя заданные точки. По отношению к прямой данный вектор будет направляющим.

[frac{x-0}{2}=frac{y-(-3)}{1} Leftrightarrow frac{x}{2}=frac{y+3}{1}]

Ответ: [frac{x-0}{2}=frac{y-(-3)}{1} Leftrightarrow frac{x}{2}=frac{y+3}{1}].

Источник

Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.

Прямая — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:

  • каноническое уравнение,
  • параметрическое уравнение,
  • общее уравнение прямой,
  • уравнение прямой с угловым коэффициентом,
  • уравнение прямой в полярных координатах и другие.

Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

xa и ya — координаты первой точки A,

xb и yb — координаты второй точки B

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

{begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases}}

xa, ya — координаты точки, лежащей на прямой,

{l;m} — координаты направляющего вектора прямой,

t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a} = dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}}

xa, ya и za — координаты первой точки A,

xb, yb и zb — координаты второй точки B

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a \ z=n cdot t + z_a end{cases} }

xa, ya и za — координаты точки, лежащей на прямой,

{l;m;n} — координаты направляющего вектора прямой,

t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки

Найдем уравнения прямой, проходящей через точки A(1,2) и B(3,8).

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид {dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

Подставим в формулу координаты точек A и B: {dfrac{x-1}{3-1} = dfrac{y-2}{8-2}}

Получаем каноническое уравнение прямой: {dfrac{x-1}{2} = dfrac{y-2}{4}}

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Из канонического уравнения получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: {y=3x-1}

Параметрическое уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой имеет вид:

{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases} }

где {x_a, y_b} — координаты точки, лежащей на прямой, {{l;m}} — координаты направляющего вектора прямой, t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении. В качестве координат используем координаты точки {A(x_a, y_b)}.

Найдем координаты направляющего вектора:

overline{AB} = {x_b — x_a; y_b — y_a} = {3-1; 8-2} = {2; 6}

Получаем параметрическое уравнение:

begin{cases} x=2 t + 1 \ y=6 t + 2 end{cases}

Используем калькулятор для проверки полученного ответа.

Источник
Автор статьи

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Существует несколько различных типов уравнений, описывающих кривую первого порядка, называемую прямой. Каждый из них оптимален для какой-то своей цели. Давайте познакомимся с ними поближе.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Определение 1

Канонический вид уравнения прямой в пространстве выглядит как следующее равенство:

$frac{x – x_0}{α} = frac{y – y_0}{β} = frac{z – z_0}{γ}$,

где буквы $(x_0, y_0, z_0)$ используются для обозначения координат любой точки, возлежащей на данной прямой, а $(α, β, γ)$ — координаты направляющего эту прямую вектора, как несложно догадаться, они не могут быть нулевыми.

Не во всех случаях удобно и практично пользоваться каноническим уравнением, поэтому частенько возникает надобность использовать какое-то другое, например, можно прибегнуть к параметрическому.

Для каких прямых не представляется возможным или нельзя написать каноническое уравнение?

Глядя на это уравнение, видно, что его возможно использовать только в том случае, если координаты направляющих векторов исследуемых прямых не равны нулю, для таких прямых стоит воспользоваться параметрическими уравнениями.

Определение 2

Параметрический вид уравнений прямой в пространстве такой:

$begin{cases} x = x_1 + α cdot λ \ y = y_1 + β cdot λ \ z = z_1 + γ cdot λ \ end{cases}$,

где $x_1, y_1, z_1$ — координаты некоторой точки, находящейся на описываемой прямой, $α, β, γ$ — координаты параллельного или лежащего на данной прямой вектора, $λ$ — произвольное число-коэффициент, иногда для его обозначения используют слово “параметр”.

Параметрическое уравнение как раз удобно применять если одна из координат направляющего вектора равна нулю.

Чтобы произвести переход от параметрического вида уравнения к каноническому виду уравнения прямой в пространстве, осуществите вывод канонического уравнения прямой из параметрического.

«Каноническое уравнение прямой в пространстве» 👇

Для этого следует в к каждом уравнении перенести $λ$ в левую часть, а затем приравнять уравнения. Никакой магии, а только самая что ни на есть пресловутая арифметика:

$begin{cases} λ = frac{x — x_1}{ α} \ λ = frac{y — y_1}{β} \ λ = frac{z — z_1}{γ} \ end{cases}$

$frac{x – x_0}{α} = frac{y – y_0}{β} = frac{z – z_0}{γ}$

Уравнение прямой, образуемой пересечением двух плоскостей

Связь канонического и общего уравнения прямой

Рисунок 1. Связь канонического и общего уравнения прямой

Для того чтобы составить каноническое уравнение прямой в пространстве, заданной пересечением плоскостей, необходимо познакомиться поближе с 2 исследуемыми плоскостями.

Любую плоскость, находящуюся в пространстве, можно описать с помощью равенства:

$Ax + By + Cz + D = 0$,

где $A, B, C$ и $D$ — постоянные, причём $A, B, C$ не могут быть одновременно все нулевыми.

Соответственно, не нужно быть гением, чтобы понять, что если две плоскости пересечены между собой, то на их общей части будет возлежать некая прямая. Чтобы её найти, нужно получить общее решение следующей системы уравнений:

$begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \ end{cases}$

С помощью же частного решения этой системы уравнений можно узнать, принадлежит ли какая-либо точка трёхмерной системы координат описанным уравнениями плоскостям и, конечно же, нашей прямой. Для этого нужно просто подставить её икс, игрек и зет в систему.

Приведённая система уравнений является своеобразной “формулой”, служащей для нахождения общего уравнения прямой в пространстве.

Иногда в каких-либо практических задачах требуется получить из уравнения прямой в пространстве в общем виде параметрические или канонические уравнения, тогда в первую очередь вам стоит узнать координаты её направляющего вектора и какую-либо точку, находящуюся на изучаемой прямой.

Ну что ж, давайте решать нашу задачу. На первом этапе вычислим $x, y, z$ для направляющего вектора.

Найдём нормальные вектора для плоскостей. Если кто забыл, нормальный вектор — это такой вектор, который является перпендикулярным (ортогональным) к данной плоскости или прямой.

Для этого из нашего очаровательного примера системы уравнений необходимо взять коэффициенты из уравнений. В итоге для 1-ой плоскости вектор-нормаль будет выглядеть как $(A_1; B_1; C_1)$, а для второй как $(A_2; B_2; C_2)$.

Теперь необходимо перемножить оба вектора и получить их произведение, здесь $(i, j, k)$ — координаты единичного вектора.

$overline{a} = [overline{n} cdot overline{n}] = left| begin{array}{ccc} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ A_1 & B_1 & C_1 \ A_2 & B_2 & C_2 \ end{array} right| = overline{i} cdot left| begin{array}{cc}\B_1 & C_1 \ B_2 & C_2\ end{array} right| — overline{j} cdot left| begin{array}{cc}\ A_1 & C_1 \ A_2 & C_2 \ end{array} right| + overline{k} cdot left| begin{array}{cc} \ A_1 & B_1 \ A_2 & B_2 \ end{array} right| $

$|overline{n} cdot overline{n}| = overline{i} cdot (B_1 cdot C_2 – C_1 cdot B_2) — overline{j} cdot (A_1 cdot C_2 – A_2 cdot C_1) + overline{k} cdot (A_1 cdot B_2 – A_2 cdot B_1)$

Следующим этапом выполняем поиск координат точки, возлежащей на искомой прямой.

Для выполнения этого наиболее «сложного» пункта необходимо выбрать одну наиболее нравящуюся вам координату $x, y$ или $z$ и вместо неё подставить в систему уравнений, описывающую плоскости, нулевое значение.

Пример 1

Составьте каноническое уравнение прямой, получаемой из системы уравнений, описывающей пару пересечённых плоскостей:

$begin{cases} 2x – y + 3z + 4 = 0 \ x + 5y – 3z – 7 = 0 \ end{cases}$

Найдём направляющий вектор, для этого сначала запишем вектора нормалей плоскостей:

$overline{n_1}(2;-1;3), overline{n_2}(1;-5;-3)$

Ну а сейчас пора вычислить сам направляющий вектор:

$overline{a} = left| begin{array}{ccc} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ 2 & -1 & 3 \ 1 & 5 & -3 \ end{array} right| = overline{i} cdot left| begin{array}{cc}\ -1 & 3 \ 5 & -3\ end{array} right| — overline{j} cdot left| begin{array}{cc}\ 2 & 3 \ 1 & -3 \ end{array} right| + overline{k} cdot left| begin{array}{cc} \ 2 & -1 \ 1 & 5 \ end{array} right| $

$overline{a} = (3 – 15) cdot overline{i} — (-6-3) cdot overline{j} + (10 +1) cdot overline{k} = -12 overline{i} + 9 overline{j} + 11 overline{k}$

Найдём точку, находящуюся на нашей прямой, тут всё просто, приравняем $y$ к нулю и внедрим в нашу систему уравнений:

$begin{cases} 2x + 3z + 4 = 0 \ x – 3z – 7 = 0 \ end{cases}$

Решение вышеприведённой системы уравнений будет: $x = 1, z = -2$, то есть координаты точки, возлежащей на нашей прямой, будут $(1; 0; -2)$.

Подставим все полученные нами цифры и получим следующее уравнение:

$frac{x-1}{-12} = frac{y}{9} = frac{z+2}{11}$

Составление канонического уравнения прямой по координатам двух точек

На практике это очень распространённая и любимая во многих вузах и других учебных заведениях задача — нужно найти уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 точки. Примем заранее, что эти две точки не обладают одинаковыми $x, y, z$.

Для того чтобы написать уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 точки, воспользуйтесь координатами ваших точек и внедрите их в следующее уравнение:

$frac{x – x_1}{x2 – x_1} = frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = frac{z – z_1}{z_2 – z_1}$

Это уравнение можно вывести из параметрического уравнения прямой.

Допустим, у нас есть две точки с координатами $(x_1; y_1; z_1)$, и для второй $(x_2; y_2; z_2)$.

Найти направляющий вектор для изучаемой прямой при наличии пары точек несложно, вектор с координатами $(x_2 – y_1; y_2 – y_2;z_2 – z_2)$ и будет желаемой частью результата.

Придумаем точку, находящуюся на нашей прямой, пусть она будет обладать координатами $(x_1;y_1;z_1)$.

Помещаем обнаруженные нами координаты вектора и точки в каноничное уравнение прямой в пространстве и получим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Если же необходимо выразить именно параметрические уравнения из координат двух точек, через которые проведена некая одна прямая, то тут тоже всё довольно просто и без неожиданностей:

$begin{cases} x = x_1 + (x_2 — x_1) cdot λ \ y = y_1 + (y_2 — y_1)cdot λ \ z = z_1 + (z_2 — z_1) cdot λ \ end{cases}$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Уравнения прямых в пространстве

Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей

Пусть в координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) две плоскости заданы общими уравнениями

begin{aligned}rho_{1}colon & ,A_{1}cdot x+B_{1}cdot y+C_{1}cdot z+D_{1}=0;\[2pt] rho_{2}colon & ,A_{2}cdot x+B_{2}cdot y+C_{2}cdot z+D_{2}=0,end{aligned}

в которых коэффициенты при неизвестных непропорциональны, т.е. operatorname{rang}!begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\A_{2}&B_{2}&C_{2}end{pmatrix}=2. Это условие означает, что плоскости rho_{1} и rho_{2}пересекаются (см. условие (4.25)), поскольку их нормали vec{n}_{1}=A_{1}vec{i}+B_{1}vec{j}+C_{1}vec{k} и vec{n}_{2}=A_{2}vec{i}+B_{2}vec{j}+C_{2}vec{k} неколлинеарны (рис.4.25). Тогда линия пересечения плоскостей описывается системой уравнений

begin{cases} A_{1}cdot x+D_{1}cdot y+C_{1}cdot z+D_{1}=0,\ A_{2}cdot x+D_{2}cdot y+C_{2}cdot z+D_{2}=0. end{cases}

(4.31)

Система (4.31) называется общим уравнением прямой в пространстве.

Общее уравнение прямой в пространстве как пересечение двух плоскостей

Пример 4.13. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3), B(3;0;2), C(7;4;6) треугольника (рис.4.26). Требуется составить уравнение прямой, содержащей высоту AH треугольника.

Решение. Прямая AH является линией пересечения двух плоскостей: плоскости rho_{1}, треугольника ABC и плоскости rho_{2}, проходящей через точку A перпендикулярно вектору overrightarrow{BC} (рис.4.26). По формуле (4.21) составим уравнение плоскости rho_{1}, проходящей через три точки A,,B,,C:

begin{vmatrix}x-1&y-2&z-3\3-1&0-2&2-3\7-1&4-2&6-3end{vmatrix}= begin{vmatrix} x-1&y-2&z-3\ 2&-2&-1\ 6&2&3 end{vmatrix}=0 quad Leftrightarrow quad x+3y-4z+5=0.

По формуле (4.14) составим уравнение плоскости rho_{2}, проходящей через точку A перпендикулярно вектору overrightarrow{BC}=(7-3)vec{i}+(4-0)vec{j}+(6-2)vec{k}=4vec{i}+4vec{j}+4vec{k}:

4cdot(x-1)+4cdot(y-2)+4cdot(z-3)=0 quad Leftrightarrow quad x+y+z-6=0.

Следовательно, общее уравнение (4.31) прямой AH имеет вид begin{cases}x+3y-4z+5=0,\x+y+z-6=0.end{cases}

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Напомним, что направляющий вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.

Пусть в координатном пространстве Oxyz заданы точка M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) и ненулевой вектор vec{p}= avec{i}+ bvec{j}+ cvec{k} (рис.4.27). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору vec{p} и проходящей через точку M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}).

Выберем на прямой произвольную точку M_{0}(x,y,z). Обозначим vec{r}=overrightarrow{OM}, vec{r}_{0}=overrightarrow{OM_{0}} — радиус-векторы точек M(x,y,z) и M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) (рис.4.28).

Параметрическое уравнение прямой в пространстве и направляющий вектор прямой

Точка M принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы overrightarrow{M_{0}M} и vec{p} коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: overrightarrow{M_{0}M}=tvec{p}, где t — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что overrightarrow{M_{0}M}=vec{r}-vec{r}_{0}, получим векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

vec{r}=vec{r}_{0}+tcdotvec{p}, quad tinmathbb{R},,

(4.32)

где vec{p} — направляющий вектор прямой, а vec{r}_{0} — радиус-вектор заданной точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) принадлежащей прямой.

Координатная форма записи уравнения (4.32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве

begin{cases}x=x_{0}+acdot t,\y=y_{0}+bcdot t,\z=z_{0}+ccdot t,end{cases}tinmathbb{R},,

(4.33)

где a,b,c — координаты направляющего вектора vec{p} прямой. Параметр t в уравнениях (4.32),(4.33) имеет следующий геометрический смысл: величина t пропорциональна расстоянию от заданной точки M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) до точки M(x,y,z)equiv M(x_{0}+at,y_{0}+bt,z_{0}+ct). Физический смысл параметра t в параметрических уравнениях (4.32),(4.33) — это время при равномерном и Прямолинейном движении точки M(x,y,z) по прямой. При t=0 точка M(x,y,z) совпадает с заданной точкой M_{0}. При возрастании параметра t движение происходит в направлении направляющего вектора.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Выразим параметр t из каждого уравнения системы (4.33): t=frac{x-x_{0}}{a},, t=frac{y-y_{0}}{b},, t=frac{z-z_{0}}{c}, а затем исключим этот параметр:

frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{c}, quad a^2+b^2+c^2ne0.

(4.34)

Уравнение (4.34) называется каноническим уравнением прямой в пространстве. В этом уравнении коэффициенты a,b,c не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.

Замечания 4.6.

1. Если один или два из трех знаменателей дробей в (4.34) равны нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю. Например:

а) каноническое уравнение frac{x-x_{0}}{0}=frac{y-y_{0}}{0}=frac{z-z_{0}}{c} — это уравнение begin{cases}x=x_{0},\y=y_{0}end{cases} прямой, параллельной оси аппликат (рис.4.29,а);

б) каноническое уравнение frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{0} — это уравнение begin{cases}z=z_{0},\dfrac{x-x_{0}}{a}=dfrac{y-y_{0}}{b}end{cases} прямой, параллельной координатной плоскости Oxy (рис.4.29,б).

Прямые в пространстве, параллельные координатным плоскостям

2. Направляющий вектор vec{p} прямой определяется неоднозначно. Например, любой ненулевой вектор lambdacdotvec{p}, где lambdainmathbb{R}, также является направляющим вектором для той же прямой.

Переход от общего уравнение к каноническому

3. Для перехода от общего уравнения прямой (4.31) к каноническому (4.34) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение (x_{0},y_{0},z_{0}) системы begin{cases} A_{1}cdot x+B_{1}cdot y+C_{1}cdot z+D_{1}=0,\ A_{2}cdot x+B_{2}cdot y+C_{2}cdot z+D_{2}=0, end{cases} определяя тем самым координаты точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}), принадлежащей прямой;

2) найти направляющий вектор vec{p} прямой как векторное произведение нормалей vec{n}_{1}=A_{1}vec{i}+B_{1}vec{j}+C_{1}vec{k}, vec{n}_{2}= A_{2}vec{i}+ B_{2}vec{j}+ C_{2}vec{k}, заданных плоскостей:

vec{p}= begin{bmatrix}vec{n}_{1},vec{n}_{2}end{bmatrix}= acdotvec{i}+ bcdotvec{j}+ ccdotvec{k}= begin{vmatrix} vec{i}&vec{j}&vec{k}\ A_{1}&B_{1}&C_{1}\ A_{2}&B_{2}&C_{2} end{vmatrix}.

3) записать каноническое уравнение (4.34) с учетом пунктов 1 и 2.

4. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно двойное равенство (4.34) записать в виде системы

left{!begin{aligned}frac{x-x_{0}}{a}&=frac{y-y_{0}}{b},,\frac{y-y_{0}}{b}&=frac{z-z_{0}}{c},,end{aligned}right. и привести подобные члены.

5. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому, следует приравнять каждую дробь в уравнении (4.34) параметру t и записать полученные равенства в виде системы (4.33):

frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{c}=t quad Leftrightarrow quad begin{cases}x=x_{0}+acdot t,\y=y_{0}+bcdot t,\z=z_{0}+ccdot t,end{cases} tinmathbb{R},.

6. Если в каноническом уравнении (4.34) прямой фиксировать координаты x_{0},y_{0},z_{0} точки M_{0}, а коэффициентам a,b,c придавать произвольные значения (не равные нулю одновременно), то получим уравнение связки прямых с центром в точке M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}), т.е. совокупность всех прямых, проходящих через точку M_{0}.

7. Параметрическое (4.33) и каноническое (4.34) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.

Пример 4.14. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3), B(3;0;2), C(7;4;6) треугольника (рис. 4.30). Требуется:

В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1,2,3), B(3,0,2), C(7,4,6) треугольника

а) составить каноническое уравнение прямой, содержащей высоту AH треугольника;

б) составить общее уравнение прямой, содержащей биссектрису AL треугольника.

Решение. а) Общее уравнение прямой AH получено в примере 4.13: begin{cases}x+3cdot y-4cdot z+5=0,\x+y+z-6=0.end{cases} Перейдем от общего уравнения к каноническому.

1) Найдем любое решение (x_{0},y_{0},z_{0}) системы, например, x_{0}=1, y_{0}=2, z_{0}=3 (это координаты точки A(1;2;3)).

2) Найдем направляющий вектор vec{p} прямой как векторное произведение нормалей vec{n}_{1}=vec{i}+3vec{j}-4vec{k}, vec{n}_{2}=vec{i}+vec{j}+vec{k} заданных плоскостей

vec{p}= begin{bmatrix}vec{n}_{1},vec{n}_{2}end{bmatrix}= begin{vmatrix} vec{i}&vec{j}&vec{k}\ 1&3&-4\ 1&1&1 end{vmatrix}= 7cdotvec{i}-5cdotvec{j}-2cdotvec{k},.

3) Запишем каноническое уравнение (4.34): frac{x-1}{7}=frac{y-2}{-5}=frac{z-3}{-2}.

б) Сначала составим каноническое уравнение прямой AL. Для этого нужно найти направляющий вектор vec{l} этой прямой. Учитывая, что диагональ ромба является биссектрисой, vec{l}=vec{b}+vec{c}, где vec{b} и vec{c} — единичные векторы, одинаково направленные с векторами overrightarrow{AB} и overrightarrow{AC} соответственно. Находим

begin{gathered}overrightarrow{AB}= 2cdotvec{i}-2cdotvec{j}-1cdotvec{k}, quad begin{vmatrix}overrightarrow{AB}end{vmatrix}=3, quad vec{b}= frac{overrightarrow{AB}}{begin{vmatrix} overrightarrow{AB}end{vmatrix}}= frac{2}{3}cdot vec{i}-frac{2}{3} cdotvec{j}-frac{1}{3}cdot vec{k},;\[3pt] overrightarrow{AC}= 6cdot vec{i}+ 2cdotvec{j}+3cdotvec{k}, quad begin{vmatrix} overrightarrow{AC} end{vmatrix}=7, quad vec{c}= frac{overrightarrow{AC}}{begin{vmatrix} overrightarrow{AC}end{vmatrix}}= frac{6}{7}cdotvec{i}+ frac{2}{7}cdotvec{j}+ frac{3}{7}cdotvec{k},;\[3pt] vec{l}=vec{a}+vec{c}= left(frac{2}{3}cdotvec{i}-frac{2}{3}cdotvec{j}-frac{1}{3}cdotvec{k}right)+ left(frac{6}{7}cdotvec{i}+frac{2}{7}cdotvec{j}+frac{3}{7}cdotvec{k}right)= frac{32}{21}cdotvec{i}-frac{8}{21}cdotvec{j}+frac{2}{21}cdotvec{k},. end{gathered}

Составляем каноническое уравнение прямой ALcolon,frac{x-1}{32/21}=frac{y-2}{-8/21}=frac{z-3}{2/21}.

Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой AL:

left{!begin{aligned}frac{x-1}{32/21}&=frac{y-2}{-8/21},\ frac{y-2}{-8/21}&=frac{z-3}{2/21},end{aligned}right. quad Leftrightarrow quad begin{cases}x+4cdot y-9=0,\ y+4cdot z-14=0.end{cases}

Расстояние от точки до прямой, заданной каноническим уравнением

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Найдем расстояние d от точки M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) до прямой l, заданной каноническим уравнением (рис.4.31)):

lcolon, frac{x-x_{0}}{a}= frac{y-y_{0}}{b}= frac{z-z_{0}}{c},.

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах

vec{p}=avec{i}+bvec{j}+cvec{k} и vec{m}=overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})vec{i}+(y_{1}-y_{0})vec{j}+(z_{1}-z_{0})vec{k}, то есть.

d=frac{begin{vmatrix}begin{bmatrix}vec{m},vec{p}end{bmatrix}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}vec{p}end{vmatrix}}= frac{sqrt{begin{vmatrix}x_{1}-x_{0}&y_{1}-y_{0}\a&bend{vmatrix}^2+ begin{vmatrix}y_{1}-y_{0}&z_{1}-z_{0}\b&cend{vmatrix}^2+ begin{vmatrix}x_{1}-x_{0}&z_{1}-z_{0}\a&cend{vmatrix}^2}}{sqrt{a^2+b^2+c^2}},.

(4.35)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки

Пусть в координатном пространстве Oxyz заданы две точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) и M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки.

Как показано в разд., точка M(x,y,z) принадлежит прямой M_{0}M_{1} тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор overrightarrow{OM} удовлетворяет условию (рис.4.32): overrightarrow{OM}= (1-t)cdot overrightarrow{OM_{0}}+ tcdotoverrightarrow{OM_{1}}, где t — некоторое действительное число (параметр). Это уравнение, а также его координатную форму

begin{pmatrix}x\y\zend{pmatrix}= (1-t)cdot!begin{pmatrix}x_{0}\y_{0}\z_{0}end{pmatrix}+tcdot!begin{pmatrix}x_{1}\y_{1}\z_{1}end{pmatrix}! quad Leftrightarrow quad !begin{cases} x=(1-t)cdot x_{0}+tcdot x_{1},\ y=(1-t)cdot y_{0}+tcdot y_{1},\ z=(1-t)cdot z_{0}+tcdot z_{1}.end{cases} tinmathbb{R}

(4.36)

будем называть аффинным уравнением прямой, проходящей через две точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) и M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}).

Выражая параметр t из каждого уравнения системы (4.36), получаем: frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}=t. Исключая параметр t, приходим к уравнению прямой, проходящей через две точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) и M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}):

frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}},.

(4.37)

Уравнение (4.37) можно получить из канонического уравнения (4.34), выбирая в качестве направляющего вектора vec{p}=avec{i}+bvec{j}+cvec{k} вектор overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})vec{i}+(y_{1}-y_{0})vec{j}+(z_{1}-z_{0})vec{k}, т.е. подставляя a=x_{1}-x_{0}, b=y_{1}-y_{0}, c=z_{1}-z_{0}.

Треугольник в пространстве по координатам вершин, его высота и медиана

Пример 4.15. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3), B(3;0;2), C(7;4;6) треугольника (рис.4.33). Требуется:

а) составить уравнение прямой BC;

б) составить уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника;

в) найти высоту h=|AH| треугольника, опущенную на сторону BC.

Решение. а) Записываем уравнение (4.37) прямой, проходящей через точки B(3;0;2), C(7;4;6):

frac{x-3}{7-3}=frac{y-0}{4-0}=frac{z-2}{6-2}~ Leftrightarrow~ frac{x-3}{1}=frac{y}{1}=frac{z-2}{1},.

б) Находим координаты середины M стороны BCcolon M(5;2;4). Составляем уравнение (4.37) прямой AM:

frac{x-1}{5-1}=frac{y-2}{2-2}=frac{z-3}{4-3}~ Leftrightarrow~ frac{x-1}{4}=frac{y-2}{0}=frac{z-3}{1},.

в) Искомую высоту h находим по формуле (4.35), полагая vec{m}=overrightarrow{BA}=-2vec{i}+2vec{j}+vec{k} и vec{p}=vec{i}+vec{j}+vec{k}:

h=|AH|=frac{begin{vmatrix}begin{bmatrix}vec{m},vec{p}end{bmatrix}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}vec{p}end{vmatrix}}= frac{sqrt{begin{vmatrix}-2&2\1&1end{vmatrix}^2+begin{vmatrix}2&1\1&1end{vmatrix}^2+begin{vmatrix}-2&1\1&1end{vmatrix}^2}}{sqrt{1^2+1^2+1^2}}=frac{sqrt{16+1+9}}{sqrt{3}}= sqrt{frac{26}{3}},.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Каноническое уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим каноническое уравнение прямой на плоскости. Определим понятие направляющего вектора прямой. Рассмотрим примеры построения канонического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим метод преобразования уравнения в каноническом виде в параметрический и общий виды.

Определение 1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой.

На рисунке Рис.1 представлена прямая L и векторы q1, q2, q3, q4. Из определения следует, что векторы q1, q2, q4 являются направляющими векторами прямой L, а q3 − нет.

Каноническое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

где x1, y1 координаты некоторой точки M1 на прямой L. Вектор q={m, p} является направляющим вектором прямой L.

Надо отметить, что при записи уравнения прямой в каноническом виде, допускается, чтобы один из чисел m и p была равна нулю (одновременно m и p не могут быть равным нулю, т.к. направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором). Равенство нулю одного из знаменателей означает равенство нулю соответствующего числителя. В этом можно убедится, записав уравнение (1) в следующем виде:

Пусть в (2) m=0, p≠0. Тогда мы заключаем, что x−x1=0.

Выше мы отметили, что прямая L проходит через точку M1(x1, y1). В этом можно убедится, подставив x=x1, y=y1 в уравнение (1).

Запишем каноническое уравнение прямой проходящей через две различные точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2):

Чтобы убедится, что точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2) находятся на прямой L, поочередно подставим в уравнение (3) координаты точек M1 и M2. Получим тождества, следовательно эти точки принадлежат прямой L.

Сравним уравнения (1) и (3). Тогда можно записать q={m, p}={x2−x1, y2−y1}. На рисунке Рис.2 представлен вектор q, которая является разностью векторов, соответствующих точкам M2 и M1. Этот вектор является направляющим вектором прямой L. Следовательно, для определения направляющего вектора прямой, достаточно взять две точки на данной прямой и найти разность между соответсвующими координатами этих точек.

Таким образом, прямая на плоскости определяется точкой и направляющим вектором или двумя точками.

Онлайн калькулятор, для построения прямой через две точки находится тут.

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q={−3, 5}. Построить каноническое уравнение прямой.

Решение. Для построения канонического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Ответ:

Пример 2. Прямая проходит через точку M=(2, 2) и имеет направляющий вектор q={0, 3}. Построить каноническое уравнение прямой.

Решение. Для построения канонического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Ответ:

На рисунке Рис.3 изображена прямая L, точка M=(2, 2) и направляющий вектор q={0, 3}. Прямая проходит через точку M и параллельна направляющему вектору q.

Пример 3. Прямая проходит через точки M1=(−7, 2) и M2=(−4, 4). Построить каноническое уравнение прямой. Воспользуемся формулой (3). Подставим координаты точек в уравнение (3):

Упростим полученное уравнение:

Ответ:

Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду

Для приведения канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду, обозначим каждую часть уравнения (1) переменным t:

Выразим переменные x и y через t:

где t называется параметром, а уравнение (4) называется параметрическим уравнением прямой.

Для построения уравнения прямой, представленной параметрическом виде (4), достаточно задать параметру t любые значения и вычислить из уравнений (4) соответствующие координаты x и y некоторых точек. Затем провести через эти точки прямую.

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Каноническое уравнение прямой задана следующим уравнением:

Найти параметрическое уравнение прямой.

Решение. Обозначим через t левую и правую части уравнения (5):

Выразим переменные x и y через t:

Ответ:

Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к общему виду

Пусть прямая на плоскости задана каноническим уравнением прямой (1). Преобразовав (1) получим:

Сделаем следующие обозначения:

Тогда уравнение (6) можно записать в следующем виде:

где n={A,B} − называется нормальным вектором прямой.

Нетрудно заметить, что нормальный и направляющий векторы прямой перепендикулярны, т.е. скалярное произведение этих векторов равно нулю:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 5. Каноническое уравнение прямой задана следующим уравнением:

Записать общее уравнение прямой.

Решение. Сделаем преобразования уравнения (7):

Ответ:

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как мне найти друга по интернету
  • Как найти период колебаний через силу тока
  • Как найти хороших друзей в роблоксе
  • Как найти работу на яндекс такси
  • Как составить личную характеристику на сотрудника