Как найти каноническое уравнение прямой перпендикулярной - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости

Наша цель построить уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀ и перпендикулярной к данной плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональный плоскости (1) имеет следующий вид:

Пример 1. Построить прямую, проходящую через точку M₀(5, -4, 4) и перпендикулярной плоскости

Решение.

Общее уравнение плоскости имеет вид (1), где :

Подставляя координаты точки M₀(5, -4, 4) и координаты нормального вектора плоскости (4) в (3), получим:

Ответ:

Источник

1

Simplify the equation of the line. If you are given the equation of a line and one common point and asked to find a line that runs perpendicular to it, it is important that you first convert the equation into the format. To do this, you want to get the by itself.^[3]
2

Calculate the opposite reciprocal of the slope. When a line is perpendicular to another line, the slope will be the negative opposite of the original line. This is called the opposite reciprocal. The lines cross each other at a right angle, so the slopes must be opposite. Two perpendicular slopes multiplied together will always equal .^[4]

Advertisement
3

Plug the point into the slope equation to find the y-intercept. Now that you have the slope of the perpendicular line, you can plug the value of the slope and the point you were given into a slope equation. This will give you the value of the y-intercept. Using the y-intercept, you can move on to complete the slope equation.^[5]
4

Solve the equation for the y-intercept. Once you have your values entered into the slope equation, it is time to isolate , or the y-intercept. To isolate , you must move all other numbers from one side of the equation. After you solve for the y-intercept, you will know all of the numbers needed to write the equation of the perpendicular line.^[6]
5

1

Understand the coordinates you were given. If you are given three coordinates from two perpendicular lines, they cannot all be used for the same equations. The first two coordinates will be used for one line, and the third will be used once you begin calculating the equation of the perpendicular line. The goal is finding two perpendicular equations.^[8]
2
3
4

Simplify the equation to solve for . Once you have your chosen point and slope plugged into the equation, it is time to simplify. This will give you the equation of one line. After you know the equation of this line, you will be able to figure out the equation of the line that runs perpendicular to it.^[11]
5

Find the slope of the perpendicular line using the opposite reciprocal. A line perpendicular to another line will always have an opposite slope. If the slope of the original line is a positive whole number, then the slope of the perpendicular line will be a negative fraction. Two perpendicular slopes multiplied together will always equal .^[12]
6

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 70,275 times.

Did this article help you?

Источник

Как составить уравнение прямой перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку?

Пусть y=k₁x+b₁ — данная прямая. С учётом условия перпендикулярности прямых уравнение прямой, перпендикулярной данной, имеет вид

$[y = - frac{1}{{k_1 }}x + b_2 .]$

Если эта прямая проходит через точку M(x_o; y_o), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение x_o и y_o, мы найдем b.

Примеры.

1) Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(-10;3), перпендикулярной прямой y=5x-11.

Решение:

Так как прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{5} = - 0,2.]$

Значит уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11, имеет вид

Так как прямая проходит через точку A(-10;3), то координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

откуда b=1.

Итак, уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11 и проходящей через точку A(-10;3)

Ответ: y= -0,2x+1.

2) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой x= -2, проходящей через точку M(-5;9).

Решение:

Прямая x= -2 перпендикулярна оси абсцисс. Значит, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси абсцисс, то есть ищем уравнение прямой в виде y=b.

Так как искомая прямая проходит через точку M(-5;9), то координаты M удовлетворяют уравнению прямой: y=9.

Ответ: y=9.

3) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=4, проходящей через точку F(7;-5).

Решение:

Прямая y=4 перпендикулярна оси ординат. Следовательно, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси ординат, а значит, её уравнение имеет вид x=a.

Так как эта прямая проходит через точку F(7;-5), то координаты F удовлетворяют уравнению прямой: x=7.

Ответ: x=7.

Источник

Как найти уравнение перпендикулярной прямой

В декартовой системе координат всякая прямая может быть записана в виде линейного уравнения. Различают общий, канонический и параметрический способы задания прямой, каждый из которых предполагает свои условия перпендикулярности.

Инструкция

Пусть две прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями:(x-x1)/q1 = (y-y1)/w1 = (z-z1)/e1;(x-x2)/q2 = (y-y2)/w2 = (z-z2)/e2.

Числа q, w и e, представленные в знаменателях, являются координатами направляющих векторов к этим прямым. Направляющим называют такой ненулевой вектор, который лежит на данной прямой либо параллелен ей.

Косинус угла между прямыми имеет формулу:cosλ = ± (q1·q2 + w1·w2 + e1·e2) / √ [(q1)² + (w1)² + (e1)²] · [(q2)² + (w2)² + (e2)²].

Прямые, заданные каноническими уравнениями, взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны. То есть, угол между прямыми (он же – угол между направляющими векторами) равен 90°. Косинус угла в этом случае обращается в ноль. Поскольку косинус выражен дробью, то его равенство нулю эквивалентно нулевому знаменателю. В координатах это запишется так:q1·q2 + w1·w2 + e1·e2 = 0.

Для прямых на плоскости цепочка рассуждений выглядит аналогично, но условие перпендикулярности запишется чуть более упрощенно: q1·q2 + w1·w2 = 0, т.к. третья координата отсутствует.

Пусть теперь прямые заданы общими уравнениями:J1 · x + K1 · y + L1 · z = 0;J2 · x + K2 · y + L2 · z = 0.

Здесь коэффициенты J, K, L – это координаты нормальных векторов. Нормаль – это единичный вектор, перпендикулярный к прямой.

Косинус угла между прямыми теперь запишется в таком виде:cosλ = (J1·J2 + K1·K2 + L1·L2) / √ [(J1)² + (K1)² + (L1)²] · [(J2)² + (K2)² + (L2)²].

Прямые взаимно перпендикулярны в том случае, если нормальные векторы ортогональны. В векторном виде, соответственно, это условие выглядит так:J1·J2 + K1·K2 + L1·L2 = 0.

Прямые на плоскости, заданные общими уравнениями, перпендикулярны, когда J1·J2 + K1·K2 = 0.

Полезный совет

Имея уравнение некоторой прямой, найдите уравнение прямой, которая ей перпендикулярна, используя изложенные выше свойства.

Источники:

«Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», Р.Ф. Апатенок, А.М. Маркина, Н.В. Попова, В.Б. Хейнман, 1986.
«Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 2001.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Уравнение прямой линии, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

Если прямая проходит
через точку
и имеет нормальный векторсм. Рис.3., то её уравнение может быть
записано в виде

(2)

Уравнение (2)
равносильно векторному уравнению
где

Рис.3.

Здесь входными
параметрами будут координаты нормального
вектора A иBи координаты точки прямой=
(X0,Y0). При
построении прямой линии по таким входным
параметрам, мы все равно будем
использовать функциюplot(x,y,
‘ ‘), в которой аргументyбудет вычисляться уже по формуле

Пример 2.

Построить
штрих-пунктирную прямую линию зеленого
цвета, проходящую через точку

M₀(0.6;-0.4)
перпендикулярно вектору.
Вывести квадратные маркеры в узловых
точках (х,у) линии. Отобразить координатные
оси черным цветом. Вывести обозначение
заданной точки M0, вектора и координатных
осей. Построить на координатной плоскости
вектор,
используя только функцию «line» В качестве
заголовка задать уравнение прямой,
проходящей через заданную точку
перпендикулярно заданному вектору.

Решение:

x=-2:0.5:2;
% формирование диапазона абсцисс

n=[-1;1];
% определение вектора

m=[0.6;-0.4]; %
задание точки

y = m(2)-n(1)*(x-m(1))/n(2); %
вычисление ординат

plot(x,y,’-.gs’)
% построение графика линии с квадратами
в узловых точках

% показ сетки и
включение режима добавления графиков

grid on, hold on

% вывод
координатных осей

line([-2 0; 2 0],[0 -3; 0
1],’Color’,’black’)

xlabel(‘x’),
ylabel(‘y’) %
обозначение
осей

title(‘A*(x-x_{0})+B*(y-y_{0})=0’)
% заголовок

plot(m(1),m(2),’bo’)
% визуализация заданной точки
круговым маркером

text(0.6,-0.6,’M_{0}(x_{0},y_{0})’)
% ее обозначение

% визуализация
нормального вектора

line([0,-1,-1;-1,-0.9,-0.8],
[0,1,1;1,0.8,0.9], ‘Color’, [1 0
0],’LineWidth’,2)

text(-0.2,0.4,’n’)
% обозначение вектора

Рис.4.

Комментарий.
С помощью одной функции line без функции
plot мы построили вектор с красивой
стрелочкой на конце.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Уравнение
прямой линии, проходящей через заданную
точку в заданном направлении называется
каноническим:снова см. Рис. 3.

(3)

Здесь –направляющий векторпрямой, т.е.
любой ненулевой вектор, коллинеарный
этой прямой.и– любые действительные числа, за
исключением случаяравны нулю одновременно. Отметим, что
в уравнении (3)формально допускается
0 в знаменателе.Это не означает,
конечно, что допустимо деление на 0:
формулу (3) следует считать эквивалентом
равенства,
в котором никакого деления на 0 нет.

Приведём примеры:
уравнение
определяет прямуюпараллельную осиуравнение оси(y=0) имеет вид

Упражнение 1.

Прямая Lзадана ти направляющим вектором.

1.Записать
каноническое уравнение прямой (см
формулу (3)) и сделать его заголовком
графика.

2.Теперь входными
параметрами являются координаты
направляющего вектораи координаты точки прямой=
(X0,Y0).
Выразить из канонического уравненияy, как функцию отx.
Используя функциюplot(),
построить прямуюL,
сплошную, фиолетового цвета, толщины
2. Значение абсцисс точек прямой –
массив, состоящий из двух точек -6 и 9.
Отметить на прямой точкукруговым маркером черного цвета, толщины
3. Подписать точку. Провести с помощью
функции line( ) оси координат черного
цвета.