Как найти касательное напряжение в точке

Напряжение – мера распределения
внутренних сил по сечению.

,
где— внутренняя сила, выявленная на площадке.

Полное напряжение
.

Нормальное напряжение – проекция
вектора полного напряжения на нормаль
обозначается через σ.
,
где Е – модуль упругости I рода, ε –
линейная деформация. Нормальное
напряжения вызывается только изменением
длин волокон, направлением их действий,
а угол поперечных и продольных волокон
не искажается.

Касательное напряжение – составляющие
напряжения в плоскости сечения.
,
где(для изотропного материала) – модуль
сдвига (модуль упругости II рода), μ –
коэффициент Пуассона (=0,3), γ – угол
сдвига.

7. Закон Гука для одноосного напряжённого
состояния в точке и закон Гука для
чистого сдвига. Модули упругости первого
и второго рода, их физический смысл,
математический смысл и графическая
интерпретация. Коэффициент Пуассона.

— закон Гука для одноосного напряжённого
состояния в точке.

Е – коэффициент пропорциональности
(модуль упругости I рода). Модуль упругости
является физической константой материала
и определяется экспериментально.
Величина Е измеряется в тех же единицах,
что и σ, т.е. в кГ/см2.

— закон Гука для сдвига.

G– модуль сдвига (модуль
упругости II рода). Размерность модуляGтакая же, как и у модуля
Е, т.е. кГ/см2..

μ – коэффициент Пуассона (коэффициент
пропорциональности).
.
Безразмерная величина, характеризующая
свойства материала и определяющаяся
экспериментально и лежит в интервале
от 0,25 до 0,35 и не могут превышают 0,5 (для
изотропного материала).

8. Центральное растяжение (сжатие)
прямого бруса. Определение внутренних
продольных сил методом сечений. Правило
знаков для внутренних продольных сил.
Привести примеры расчёта внутренних
продольных сил.

Брус испытывает состояние центрального
растяжения (сжатия) в том случае, если
в его поперечных сечениях возникают
центральные продольные силы Nz(т.е. внутренняя сила, линия действия
которой направлена по осиz),
а остальные 5 силовых факторов равны
нулю (Qx=Qy=Mx=My=Mz=0).

Правило знаков для Nz:
истинная растягивающая сила – «+»,
истинная сжимающая сила – «-».

9. Центральное растяжение (сжатие)
прямого бруса. Постановка и решение
задачи об определении напряжений в
поперечных сечениях бруса. Три стороны
задачи.

Центральное напряжение (сж.) прямого
бруса см. в вопросе 8.

Постановка: Прямой брус из однородного
материала, растянутый (сжатый) центральными
продольными силами N.
Определить напряжение, возникающее в
поперечных сечениях бруса, деформации
и перемещения поперечных сечений бруса
в зависимости от координатzэтих сечений.

10. Центральное растяжение (сжатие)
прямого бруса. Определение деформаций
и перемещений. Жёсткость бруса при
растяжении (сжатии). Привести примеры
соответствующих расчётов.

Центральное напряжение (сж.) прямого
бруса см. в вопросе 8.

.

При центральном растяжении (сж.) бруса
в поперечном направлении в сечении
возникает только нормальное напряжение
σz, постоянное во
всех точках поперечного сечения и равноеNz/F.,
гдеEF– жёсткость бруса
при растяжении (сжатии). Чем больше
жёсткость бруса, тем меньше деформируется
бус при одной и той же силе. 1/(EF)
– податливость бруса при растяжении
(сжатии).

11. Центральное растяжение (сжатие)
прямого бруса. Статически неопределимые
системы. Раскрытие статической
неопределимости. Влияние температурного
и монтажного факторов. Привести примеры
соответствующих расчётов.

Центральное напряжение (сж.) прямого
бруса см. в вопросе 8.

Если число линейно-независимых уравнений
статики меньше числа неизвестных,
входящих в систему этих уравнений, то
задача по определению этих неизвестных
становится статически неопределимой.
(На сколько удлинится одна часть, на
столько сожмётся вторая).

Нормальные условия — 20º С.
.f(σ,ε,tº,t)=0
– функциональная зависимость между 4
параметрами.

12. Опытное изучение механических
свойств материалов при растяжении
(сжатии). Принцип Сен-Венана. Диаграмма
растяжения образца. Разгрузка и повторное
нагружение. Наклёп. Основные механические,
прочностные и деформационные характеристики
материала.

Механические свойства материалов
вычисляют с помощью испытательных
машин, которые бывают рычажными и
гидравлическими. В рычажной машине
усилие создаётся при помощи груза,
действующего на образец через систему
рычагов, а в гидравлической – с помощью
гидравлического давления.

Принцип Сен-Венана: Характер распределения
напряжения в поперечных сечениях
достаточно удалённых (практически на
расстояния, равные характерному
поперечному размеру стержня) от места
приложения нагрузок, продольных сил не
зависит от способа приложения этих сил,
если они имеют один и тот же статический
эквивалент. Однако в зоне приложения
нагрузок закон распределения напряжения
может заметно отличаться от закона
распределения в достаточно удалённых
сечениях.

Если испытуемый образец, не доводя до
разрушения, разгрузить, то в процессе
разгрузки зависимость между силой Р и
удлинением Δlобразец
получит остаточное удлинение.

Если образец был нагружен на участке,
на котором соблюдается закон Гука, а
затем разгружен, то удлинение будет
чисто упругим. При повторном нагружении
пропадёт промежуточная разгрузка.

Наклёп (нагартовка) – явление повышения
упругих свойств материала в результате
предварительного пластического
деформирования.

Предел пропорциональности – наибольшее
напряжение, до которого материал следует
закону Гука.

Предел упругости – наибольшее напряжение,
до которого материал не получает
остаточных деформаций.

Предел текучести – напряжение, при
котором происходит рост деформации без
заметного увеличения нагрузки.

Предел прочности – максимальное
напряжение, которое может выдержать
образец, не разрушаясь.

13. Физический и условный пределы
текучести материалов при испытании
образцов на растяжение, предел прочности.
Допускаемые напряжения при расчёте на
прочность центрально растянутого
(сжатого) бруса. Нормативный и фактический
коэффициенты запаса прочности. Привести
числовые примеры.

В тех случаях, когда на диаграмме
отсутствует явно выраженная площадка
текучести, за предел текучести принимается
условно величина напряжения, при котором
остаточная деформация εост=0,002
или 0,2%. В некоторых случаях устанавливается
предел εост=0,5%.

max|σz|=[σ].,n>1(!) – нормативный
коэффициент запаса прочности.

— фактический коэффициент запаса
прочности.n>1(!).

max|σz|растяж≤[σ]растяж;max|σz|сжатия≤[σ]сжатия.

14. Центральное растяжение (сжатие)
прямого бруса. Расчёты на прочность и
жёсткость. Условие прочности. Условие
жёсткости. Три типа задач при расчёте
на прочность.

Центральное напряжение (сж.) прямого
бруса см. в вопросе 8.

max|σz|растяж≤[σ]растяж;max|σz|сжатия≤[σ]сжатия.

15.Обобщённый закон Гука для трёхосного
напряжённого состояния в точке.
Относительная объёмная деформация.
Коэффициент Пуассона и его предельные
значения для однородного изотропного
материала.

,,.
Сложив эти уравнения, получим выражение
объёмной деформации:.
Это выражение позволяет определить
предельное значение коэффициента
Пуассона для любого изотропного
материала. Рассмотрим случай, когда
σxyz=р.
В этом случае:.
При положительном р величина θ должна
быть также положительной, при отрицательном
р изменение объёма будет отрицательным.
Это возможно только в том случае, когда
μ≤1/2. Следовательно, значение коэффициента
Пуассона для изотропного материала не
может превышать 0,5.

16. Соотношение между тремя упругими
постоянными для изотропного материала
(без вывода формулы).

,,.

17. Исследование напряжённо-деформированного
состояния в точках центрально-растянутого
(сжатого) прямого бруса. Закон парности
касательных напряжений.

,.

— закон парности касательных напряжений.

18. Центральное растяжение (сжатие)
бруса из линейно-упругого материала.
Потенциальная энергия упругой деформации
бруса и её связь с работой внешних
продольных сил, приложенных к брусу.

А=U+K. (В
результате работы накапливается
потенциальная энергия деформированного
телаU, кроме того, работа
идёт на совершение скорости массе тела,
т.е. преобразуется в кинетическую
энергию).

Если центральное растяжение (сжатие)
бруса из линейно-упругого материала
производится очень медленно, то скорость
перемещения центра масс тела будет
весьма малой. Такой процесс нагружения
называется статическим. Тело в любой
момент находится в состоянии равновесия.
В этом случае А=U, и работа
внешних сил целиком преобразуется в
потенциальную энергию деформации.,,.

В прошлой части мы выяснили, какие нормальные напряжения будут возникать при изгибе. Однако это не все воздействия, которые есть в сечении. Также необходимо учесть и касательные напряжения. Последние обычно возникают либо если сечение скручивают, либо если в нем возникают поперечные силы. О скручивании будет написано в других частях, а сегодня мы обсудим влияние поперечной силы на изгибающийся стержень. Для вычисления изменения поперечной силы и момента нам потребуется теорема Журавского, а для нахождения касательных напряжений формула Журавского

Какие силы действуют в изгибаемом стержне

В случае если на конструкцию давит сила или по ней распределена нагрузка, в ней возникают поперечные силы. Как мы уже говорили, момент – это произведение силы на плечо. И вполне естественно, что действующие в конструкциях поперечные силы будут приводить и к возникновению момента.

Для того, чтобы выяснить, как именно этот момент возникает, проведем мысленный эксперимент:
Жестко (чтобы не менял угол наклона в месте закрепления, противодействовал моменту) закрепим некоторый стержень на стене и надавим на его конец: 

балка жесткая заделка сила

На балку с жесткой заделкой воздействует сила P

Теперь разделим стержень на бесконечное количество пластинок с практически нулевой шириной dx:

балка разделенная на пластины сопромат математический анализ

Балку можно разделить на бесконечно большое количество маленьких пластин с шириной dx.

Сила P будет пытаться сдвинуть самую крайнюю пластинку вниз. В компенсацию этой силе в стержне возникает поперечная сила сопротивления материала Qy, направленная в противоположную приложенной сторону по плоскости сечения. По закону Ньютона, где действие, там противодействие. И по этому закону в компенсацию поперечной силы сопротивления возникает ей противоположная сила, которая будет воздействовать на следующую пластинку:

балка разделенная на пластины сопромат математический анализ жесткая заделка сила

На каждую следующую пластину будет передаваться поперечная сила P

В итоге получаем достаточно прозаичную формулу распределения поперечной силы:

Qy=P

балка жесткая заделка сила поперечная сила Q

В стержне будет возникать поперечная сила сопротивления равная силе P. Она будет действовать в противоположном направлении.

Не менее прозаично будет выглядеть и эпюра продольных сил:

Численно она будет равна приложенной к концу стержня силе. При этом, так как между центрами пластинок будет некоторое расстояние dx, на следующий элемент будет передаваться момент равный произведению силы на dx:

балка разделенная на пластины сопромат математический анализ жесткая заделка сила момент

На каждую следующую пластину будет передаваться момент с предыдущей. К этому моменту будет добавляться момент равный произведению силы P на плечо dx.

Итого, на первой пластинке, так как сила будет приложена к ее центру, момента m1 не будет. Момент m2 на второй пластинке будет равен произведению силы на расстояние между центрами пластинок:

m2=P*dx=P*dx

Момент третьей пластинки будет складываться из момента, который перейдет со второй пластинки и момента возникающего под действием силы:

m3=m2+P*dx=2*P*dx

В конечном счете, каждый раз, когда мы будем смещаться в сторону от места приложения силы на одну пластинку, будет меняться лишь множитель. Общая формула для момента m n-ной пластинки будет выглядеть так:

mn=n*P*dx

Ну если мы умножаем количество пластинок n на их ширину dx, то получаем расстояние от места приложения силы c. В итоге, эпюра момента под действием силы P будет выглядеть вот так:

балка жесткая заделка сила поперечная сила Q и момент M

Момент M будет возрастать по мере удаления от места приложения силы P (так как момент равен произведению силы на плечо).

Впрочем, помимо сил нам может попасться и распределенная нагрузка. Как в таком случае будет изменяться момент?

балка жесткая заделка распределенная нагрузка

На балку с жесткой заделкой под воздействием распределенной нагрузки q

Рассуждения нашим будут абсолютно аналогичны. Разделим стержень на много тоненьких пластинок. 

балка разделенная на пластины сопромат математический анализ

Делим стержень на бесконечное количество пластинок с бесконечно малой шириной dx

На каждую пластинку ширины dx будет действовать небольшая сила q и поперечная сила от соседней пластинки:

балка разделенная на пластины сопромат математический анализ жесткая заделка распределенная нагрузка

На каждую следующую пластину будет передаваться поперечная сила с предыдущей пластинки. Она будет суммироваться с воздействием на эту пластинку распределенной нагрузки q

Сила взаимодействия между пластинками в таком случае будет накапливаться.

Найти ее можно просто перемножив расстояние от начала действия распределенной нагрузки до интересующей нас точки на величину распределенной нагрузки:

Qy=q*n*dx=q*l

балка разделенная на пластины сопромат математический анализ жесткая заделка распределенная нагрузка момент

На каждую следующую пластину будет передаваться момент с предыдущей. К этому моменту будет добавляться момент равный произведению реакции от поперечной силы Qy (т.е. — Qy=q*n), которая будет увеличиваться от пластинки к пластинке на величину q, на плечо dx. Таким образом момент будет возрастать от пластинки к пластинке.

Теперь разберемся с моментом. На первой пластинке момента не будет, по допущению, что сила q действует по ее середине. 

На вторую пластинку же по касательной будет действовать сила q. Так как между центрами пластинок есть расстояние dx, в ней возникнет момент равный произведению q на dx:

m2=q*dx.

На третью пластинку будет действовать по касательной уже вдвое большая сила. Как следствие, для этой пластинки момент увеличится уже на 2q*dx:

dm2-3=2q*dx

Суммарный момент третьей пластинки будет складываться из момента передавшегося со второй пластинки и момента возникающего под действием нагрузки:

m3=m2+2q*dx=(2+1)dx*q

Если мы будем продолжать данную операцию и дальше, то получим общую формулу для момента m n-ной пластинки:

mn=(n+…+2+1)dx*q

Многочлен Sn=(n+…+2+1)dx- это сумма арифметической прогрессии. Ее находят как полусумму первого и последнего элемента умноженную на количество элементов:

S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n

Примечание: желающие могут взглянуть на вывод этой формулы в числах (в общем виде вывод практически аналогичен, но на числах он нагляднее), с сайта umath.ru[7]:

математический анализ сумма первых n членов, арифметическая прогрессия, сумма арифметической прогрессии, формула Карла Гаусса

По легенде эту формулу вывел Карл Гаусс, когда школьный учитель математики решил подшутить над учениками, заставив посчитать сумму чисел от 1 до 100.

Подставляем нашу последовательность x1=ndx+…+2dx+dx и получаем:
xn=ndx+…+2dx+dx=(dx+ndx)*ndx/2=(n+n2)dx2/2

Так как число пластинок мы сделали ну очень большим (практически бесконечным), по сравнению с n2 обычное n будет пренебрежительно мало. Например, если мы разделим стержень на 1000 пластинок, n2 от n2+n будет отличаться на одну тысячную.

В итоге, получившуюся формулу можно представить как простейшее n2/2.

Подставляем все в исходную формулу: 

mn=(n+…+2+1)*q*dx=n2*dx2*q/2=ql2/2

А эпюра момента под равномерно-распределенной нагрузкой будет выглядеть как полупарабола:

балка жесткая заделка распределенная нагрузка эпюра поперечной силы эпюра момента в балке с жесткой заделкой

Момент M будет возрастать по параболе.

Теорема Журавского

Обобщает и упрощает расчет интегрирование. А метод нахождения поперечных сил и моментов известен как теорема Журавского. Для того, чтобы найти момент в определенной точке, необходимо взять интеграл от поперечной силы по длине:

Поперечная сила не всегда постоянна на всем протяжении участка, как это, например, бывает при распределенной нагрузке. Чтобы найти поперечную силу, если балка находится под воздействием распределенной нагрузки, необходимо последнюю проинтегрировать:

Ну а для нахождения момента при распределенной нагрузке, нужно эту нагрузку дважды проинтегрировать:

M_z=int_{0}^{x}int_{0}^{x}q_y dx

Если обобщить, то для нахождения момента в сечении надо дважды проинтегрировать распределенную нагрузку, сложить это с интегралом силы по расстоянию до опоры и с моментами, которые мы приложили к этом сечении.

Теорема Журавского в дифференциальной форме выглядит так:

q=frac{dQ_y}{dx}=frac{d^2M_z}{dx^2}

Теорема Журавского позволяет вычислять попереченые силы и моменты. Отрезок балки под воздействием сложной системы сил:

эпюра поперечной силы и моменты для сложной балки. Теорема Журавского

Так будут выглядеть эпюры поперечной силы и момента в сложно нагруженной балке. Позволяет вычислить изменение попереченой силы и момента теорема Журавского.
Изображение расчета балки взято из онлайн-калькулятора.

Подробнее почитать о построении эпюр можно в соответствующей статье.

Выражены формулы взаимосвязи распределенной нагрузки, поперечных напряжений и моментов были Дмитрием Ивановичем Журавским и обобщаются как теорема Журавского.

Формула Журавского

В процессе проектирования железнодорожных мостов деревянные балки часто давали скол. На тот момент не было теоретического аппарата для выяснения точных значений касательных напряжений в сечении.  Их либо не учитывали, либо, по аналогии с нормальными напряжениями при растяжении/сжатии, считали равномерно-распределенными по всему сечению (т.е. τ=Qy/F). 

Однако реальность упорно не хотела следовать расчетам: конструкции разрушались, хотя не должны были. 

При этом нормальных напряжений явно было недостаточно для скола. Журавский данную проблему решил за счет добавления в уравнение касательных напряжений и нашёл закон их распределения по сечению. Попробуем и сами вывести закон распределения касательных напряжений (более известный как формула Журавского).

У нас есть балка произвольного сечения под нагрузкой:

сечение изгибаемого стержня под распределенной нагрузкой элемент изгибаемого стержня под распределенной нагрузкой

В этом стержне, под действием распределенной нагрузки изменяются момент и нормальные напряжения:

сечение изгибаемого стержня элемент изгибаемого стержня изменение момента дифференциальное уравнение изменения момента сечение изгибаемого стержня элемент изгибаемого стержня изменение нормальных напряжений дифференциальное уравнение изменения нормальных напряжений вывод формулы журавского вывод формулы касательных напряжений

Если мы отсечем верхнюю или нижнюю часть стержня (так, чтобы линия среза была параллельна нейтральной линии), на данном участке возникнет нескомпенсированная продольная сила:

сечение изгибаемого стержня элемент изгибаемого стержня изменение нормальных напряжений дифференциальное уравнение изменения нормальных напряжений отсеченная часть изгибаемого стержня под нагрузкой вывод формулы журавского вывод формулы касательных напряжений

Журавский предположил, что ключом к ответу на вопрос, как именно распределяются по сечению касательные напряжения, может стать решение проблемы этой нескомпенсированной силы.

Разберемся в том, как касательные напряжения вообще могут распространяться в материале. 

Для этого вырежем из какой-то не разрушившейся конструкции куб с пренебрежительно малыми сторонами. Затем приложим к одной из его граней силу по касательной. Для того, чтобы куб уравновесить, необходимо приложить к поверхности этой грани касательную силу, но в другом направлении:

Касательные напряжения в элементарной объеме.

От касательных сил возникнет момент. А так как мы вырезаем куб из целой, не разрушенной конструкции, все силы и моменты должны быть скомпенсированы. Поэтому на соседних гранях возникнут такие же касательные напряжения с противоположным моментом:

Касательные напряжения в элементарной объеме.

Иными словами, если конструкция сохраняет свою форму, каждое касательное напряжение по оси x на одной из сторон куба будет уравновешено точно таким же, но в обратном направлении на противоположной стороне куба. А получившийся момент будет скомпенсирован касательными напряжениями по оси y.

Так как касательные напряжения по y приведут к возникновению точно таких же касательных напряжений по x, разумно предположить, что приращение нормальных напряжений можно скомпенсировать касательными напряжениями.

Возвращаемся к нашему стержню. Мы вырезали некоторую его часть и хотим компенсировать избыток продольной силы, за счет касательных напряжений приложенных к поверхности горизонтального сечения:

Касательные и нормальные напряжения в сегменте изгибаемого стержня вывод формулы журавского

Для того, чтобы система оставалась неподвижной, необходимо, чтобы продольные и касательные силы в сумме давали ноль:

-N+(N+dN)-τ*b(y)=0

dN-τ*b(y)=0

dN=τ*b(y)

Остается дело за малым: выяснить чему будет равно изменение продольной силы на отсеченной нами части. Для этого нам нужно просуммировать все напряжения в ней возникающие:

dN=∑dσ=∫dσdF

Подставляем формулу из прошлой части для нахождения нормальных напряжений при изгибе и изменения момента под действием поперечной силы из этой:

dσ=ydMz/Jz, dMz=Qy

Примечание: дальше мы будем использовать такие понятия как момент инерции I и статический момент S. Если вы хотите поподробнее узнать про то, откуда появились данные величины, каков их физический смысл и как их находить, то вы можете это сделать прочитав наши статьи:

  1. Статический момент
  2. Момент инерции
  3. Момент сопротивления изгибу

В итоге избыток продольной силы будет равен:

dN=frac{Q_ycdot dx}{I_z} int y dF

Fотс.∫ydF — это статический момент инерции отсеченной фигуры Sотс. Таким образом формулу можно записать чуть элегантнее:

dN=frac{Q_ycdot S_{отс.}cdot dx}{I_z} 

Как мы уже говорили, чтобы тело находилось в равновесии необходимо, чтобы избыточная продольная сила компенсировалась касательной:

dN-τcdot bcdot dx=dx(frac{Q_ycdot S_{отс.}}{I_z}-τcdot b)=0; 

Или:

 τcdot b=frac{Q_ycdot S_{отс.}}{I_z}

Теперь мы можем сказать, по какому закону будут распределяться касательные напряжения при изгибе:

 τ=frac{Q_ycdot S_{отс.}}{I_zcdot b}

Вычисление касательных напряжений по формуле Журавского

Разберем распределение касательных нагрузок на простейшем примере. На прямоугольном брусе.

Нам нужно выяснить, какие касательные напряжения будут в каждой точке сечения. Величина Qy нам задана. Ширина b тоже. Момент инерции Iz мы тоже для всего сечения мы тоже знаем:

 I_z=frac{bcdot h^3}{12}

Остаётся найти момент отсеченной части. В данном случае мы отсекаем все, что снизу:

Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения вывод формулы журавского

Статический момент (посмотреть как вычисляется можно по ссылке) равен произведению площади на центр масс:

Sотс=F*l

Где l расстояние до центра масс (в данном случае до середины) отсеченной фигуры, а F площадь, которую можно найти перемножив высоту отсекаемого прямоугольника (h/2-y) на его ширину b. Расстояние до центра масс же можно найти сложив верхнюю (h/2) и нижнюю (y) границу и поделив это выражение на два (потому-что нам интересно найти середину):

 I_z=frac{frac{h}{2}+y}{2}
S_{отс.}=Fcdot l=frac{b(frac{h}{2}+y)(frac{h}{2}-y)}{2}

Получаем напряжение в середине:

τ=frac{Q_ycdot S_{отс.}}{bcdot I_z}=frac{12cdot Q_y cdot bcdot(frac{h^2}{4}-y^2)}{2cdot b^3cdot h^3}=frac{6cdot Q_y cdot (frac{h^2}{4}-y^2)}{b^2cdot h^3}

Теперь остается только подставить в уравнение получившуюся для этого сечения поперечную силу Qy и можно посчитать, какие касательные напряжения будут возникать на каждом расстоянии y от нейтральной линии.

Так как в уравнении меняться будет только y, выражение можно представить в виде:

τ=C-B*y^2

Где B и C константы, а при y=h/2 τ=0.

Ну и, очевидно, что когда y=0 (т.е. посередине сечения), напряжение максимально. 

Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения вывод формулы журавского

Т.е. изменяться касательные напряжения будут по параболе, где максимум будет на средней линии, а ноль на верхней и нижней грани сечения. 

Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения вывод формулы журавского

Если сечение не прямоугольное, ширину b надо будет представить как некую функцию b(y).

τ=frac{Q_y cdot S_{отс.}(y)}{b(y)cdot I_z}

Форма эпюры напряжений могут меняться, но характер будет будет остаться прежним: по мере движения к центру напряжения будут расти. 

Касательные напряжения при изгибе балки круглого сечения вывод формулы журавского

Ещё в прошлой части мы вывели закон распределения нормальных напряжений при изгибе: напряжения изменяются по линейному закону от своего минимального (максимальное сжатие) до максимального (максимальное растяжение) значения. 

Касательные и нормальные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения

А сейчас мы выяснили, как распределяются по сечению касательные напряжения. Если стержень имеет одинаковую ширину на всей высоте сечения, то напряжения меняются по параболе. Но в прошлой части мы также говорили, что для экономии материала гораздо целесообразнее использовать сечения сложной формы (для нахождения моментов инерции гуглить “сортамент, прокатные профили”).

Теорема Журавского. Распределение касательных напряжений при изгибе

Например двутавр, у которого максимальная ширина по краям, где нормальные напряжения максимальны. Как мы уже выяснили, касательные напряжения сильно зависят от ширины сечения. Есть точки, где ширина уменьшается и происходит увеличение касательных напряжений, но нормальные напряжения все ещё велики. Их следует проверить, точно ли они выдержат нагрузки. И необходим математический аппарат для предсказания прочности, учитывающий эти два вида нагрузок.

И на него нет однозначного, исчерпывающего ответа. Но есть ответы практические, каждый справедливый для своих границ применимости. И эти ответы называются теориями прочности. И о них мы расскажем в будущем.

В рамках темы изгиба наибольшую применимость имеет теория «Наибольших касательных напряжений» (Третья теория прочности). Чаще всего её используют для металлов или материалов, плохо сопротивляющихся сдвигу.

Для того, чтобы понять, выдержит ли материал, в рамках теории наибольших касательных напряжений, нормальные и касательные напряжения приводят к эквивалентным напряжениям, которые должны быть меньше предельных напряжений при растяжении/сжатии по определенной формуле. Ее вывод мы сейчас производить не будем, предлагаем просто поверить на слово, что эквивалентные напряжения должны быть меньше опасных и рассчитываются так:
σэкв.=√(σ2+4τ2)<[σ]

Возвращаемся к двутавру. Какие у него будут самые опасные точки, которые надо проверить? Такие, где возникают максимальные напряжения и где высокие и нормальные и касательные напряжения:

Теорема Журавского. Распределение касательных напряжений при изгибе

Из прошлой части мы знаем, что наибольшие нормальные напряжения находятся на самых удаленных от нейтральной линии участках сечения. Так как там отсутствуют касательные напряжения, достаточно чтобы нормальные напряжения были меньше опасных:

134МПа<[σ]

Максимальные касательные напряжения возникают в середине сечения. Так как нормальные напряжения будут равны нулю, формула σэкв.=√(σ2+4τ2) превращается в простейшее σэкв.=√(4τ2)=σэкв.=2τ

Подставляем значение и оказывается, что материал должен выдерживать аж 182 МПа:

2τ=91*2=182МПа<[σ]

Если данный материал такие напряжения выдерживать не способен, придется выбирать другой прокатный профиль (например, с большей шириной промежуточной полки). Ну а если способен, надо рассчитать третью точку. Она будет находиться на месте, где промежуточная узкая полка переходит в широкую. Подставляем в формулу значения нормальных и касательных напряжений:

σэкв.=√(σ2+4τ2)=√(1342+4*642)=√(19.000+4*4.100)=√35400=188,2 МПа<[σ]

Если допускаемые напряжения меньше, значит сечение подходит. Если нет, значит придется искать сечение с лучшей способностью сопротивления касательным и нормальным напряжениям. Например, следующий номер двутавра.

Для того, чтобы выяснить, выдержит ли деталь нагрузку, необходимо проверять эквивалентные напряжения (с чем поможет формула Журавского и третья теория прочности) в максимумах моментов и поперечных сил (с чем поможет теорема Журавского), а также на местах, где совпадают большие моменты и поперечные силы:

эпюра поперечной силы и моменты для сложной балки. Теорема Журавского. Расчет эквивалентных напряжений. Подбор сечения. Опасные сечения. Максимальные касательные напряжения. Максимальные нормальные напряжения. Максимальные эквивалентные напряжения

Чтобы убедиться, что эта балка устоит, необходимо посчитать эквивалентные напряжения для трех точек. В первой (I) момент сопротивления сечения достигает максимума. А значит, максимальны и нормальные напряжения. Во второй (II) точке максимальна поперечная сила и угрозу представляют касательные напряжения. А в третьей (III) совпадают достаточно большой момент и продольная сила. Расчет сделан на СопроматГуру.

Вот мы и разобрались с ещё одним источником опасности для прочности конструкции: с касательными напряжениями от поперечных сил. Главный инструмент в поиске поперечных сил, моментов — теорема Журавского. А найти касательные напряжения поможет формула Журавского.

Теперь в теме изгиба нам остаётся только научиться считать, как будет деформироваться балка под действием момента.

Информация о произведении
Автор
: К.А.Овчинников
Редактор, факт-чекер: Д.А. Сабуров, Марк Ершов
Иллюстратор: Михаил Корнев [I]

Информация о произведении:
Условия использования: свободное некоммерческое использование при условии указания людей участвовавших в его создании и ссылку на первоисточник (статьи на действующем сайте интернет-журнала «Стройка Века»).

Для коммерческого использования — обращаться на почту:
buildxxvek@gmail.com

Источники

  1. Лекции по сопротивлению материалов в СПбПУ им. Петра Великого
  2. Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материалов. – Физматлит, 2002. – С. 548-548.
  3. iSopromat Формула Журавского // https://youtu.be/4rsFdn5fSrU 
  4. Kirsanov2011 Формула Журавского // https://youtu.be/AZE70B9m2lA 
  5. Основные теории прочности // http://sopromat.in.ua/handbook/teorii-prochnosti 
  6. Гипотезы прочности // http://k-a-t.ru/tex_mex/5-sochetanie_defor2/index.shtml 
  7. https://umath.ru/theory/posledovatelnosti/arifmeticheskaya-progressiya/

5 843

Эпюры касательных напряжений для прямоугольного, двутаврового, круглого сечений

Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения

При выводе формулы Журавского предполагалось: балка имеет прямоугольное поперечное сечение (рис. 7.11), поэтому

изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат;изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат;изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат; изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат

где y – расстояние от точки, в которой определяется касательное напряжение, до нейтральной оси x.

изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопроматПодставляя эти формулы в формулу Журавского, для касательных напряжений получим:

изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат

Касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по закону квадратичной параболы (см. рис. 7.11).

При изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат(для наиболее удаленных от нейтральной оси точек) изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат.

Для точек, расположенных на нейтральной оси (при изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат), изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат.

изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат

Эпюры касательных напряжений двутаврового сечения

Характерная особенность двутаврового сечения: резкое изменение ширины поперечного сечения (изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат), где полка соединяется со стенкой.

Определим касательное напряжение в некоторой точке K (рис. 7.12), проведя через нее сечение, ширина которого равна толщине стенки: изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат.

Рассмотрим верхнюю отсеченную часть поперечного сечения (заштрихована на рис. 7.12), статический момент инерции которой относительно нейтральной оси x равен сумме статических моментов инерции полки и заштрихованной части стенки:

изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат

Эпюра касательных напряжений для двутаврового сечения представлена на рис. 7.12, б.

Касательные напряжения изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат, возникающие в точках полки двутавра, по формуле Журавского вычислять нельзя, поскольку при ее выводе использовалось допущение о равномерности распределения касательных напряжений по ширине поперечного сечения, что справедливо только если ширина сечения изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопроматневелика. Однако очевидно, что касательные напряжения малы и не оказывают практического влияния на прочность балки. Эпюра касательных напряжений для двутаврового сечения показана штриховой линией (см. рис. 7.12, б).

Формула касательного напряжения в точке L ( где полка соединяется со стенкой):

изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках, лежащих на нейтральной оси x.

Эпюры касательных напряжений круглого сечения

Для построения эпюры касательных напряжений круглого сечения выясним направление касательных напряжений при изгибе, возникающих в некоторой точке контура поперечного сечения стержня.

изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат Рассмотрим произвольное поперечное сечение стержня (рис. 7.13, а).

Предположим: в некоторой точке контура К касательное напряжение при изгибе изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопроматнаправлено произвольно по отношению к контуру. Разложим касательное напряжение на две составляющие изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромати изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат, направленные соответственно по нормали и касательной к контуру. Если касательное напряжение изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопроматсуществует, то по закону парности касательных напряжений на поверхности стержня должно существовать равное ему по значению касательное напряжение при изгибе изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат. Поскольку поверхность стержня свободна от внешних сил, параллельных оси балки z, касательное напряжение на поверхности стержня изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромати, следовательно, изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат.

Таким образом, в точке контура поперечного сечения, поверхность которого не нагружена продольными внешними нагрузками, касательное напряжение при изгибе направлено по касательной к контуру.

Покажем, что в вершине угла поперечного сечения стержня касательное напряжение равно нулю (рис. 7.13, б).

Предположим, что в вершине угла (в точке M) возникает касательное напряжение изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат. Разложим его на составляющие касательные напряжения изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромати изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат. По закону парности касательных напряжений эти составляющие равны нулю, поскольку равны нулю напряжения на поверхности стержня изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромати изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат.

изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат

Задача вычисления касательных напряжений в произвольной точке балки круглого поперечного сечения усложняется. Однако если сделать предположение: в точках, расположенных на некоторой линии ab (рис. 7.14), касательные напряжения изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопроматпри изгибе направлены так, что все они пересекаются в точке О, и вертикальные проекции этих напряжений равномерно распределены вдоль линии ab, то формулу Журавского можно использовать для вычисления вертикальных проекций изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопроматпри построении эпюр касательных напряжений стержня круглого сечения. Вычисление остальных величин, входящих в формулу Журавского, производится, как и для прямоугольного поперечного сечения.

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в точках, расположенных на нейтральной оси x, вычисляются по формуле:

изображение Эпюры касательных напряжений прямоугольника двутавра круга сопромат

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти работу в государственных органах
  • Как найти правоустанавливающий документ
  • Как найти произведение цифр числа в java
  • Как найти выражение функции распределения
  • Как найти в ворде знаки больше меньше