Как найти касательную в точке через производную

п.1. Уравнение касательной

Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.

Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin{gather*} (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end{gather*}

Уравнение касательной к кривой (y=f(x)) в точке (x_0) имеет вид: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $$ при условии, что производная (f'(x_0)=aneinfty) — существует и конечна.

Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace{f'(x_0)}_{=k}x+underbrace{f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0}_{=b} $$

Уравнение касательной с угловым коэффициентом: begin{gather*} y=kx+b\ k=f'(x_0), b=f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0 end{gather*}

п.2. Алгоритм построения касательной

п.3. Вертикальная касательная

В случае, если производная (f'(x_0)=pminfty) — существует, но бесконечна, в точке (x_0) проходит вертикальная касательная (x=x_0).

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)

Пример 2. Напишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке:
a) ( f(x)=frac5x+frac x5, x_0=4 ) begin{gather*} f(x_0)=frac54+frac45=frac{25+16}{20}=frac{41}{20}\ f'(x)=left(frac5xright)’+left(frac x5right)’=-frac{5}{x^2}+frac15=frac{-25+x^2}{5x^2}=frac{x^2-25}{5x^2}\ f'(x_0)=frac{4^2-25}{5cdot 4^2}=-frac{9}{80} end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=-frac{9}{80}(x-4)+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+frac{9}{20}+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+2,5 $$
б) ( f(x)=frac{x^2+5}{3-x}, x_0=2 ) begin{gather*} f(x_0)=frac{2^2+5}{3-2}=frac91=9\ f'(x)=frac{(x^2+5)'(3-x)-(x^2+5)(3-x)’}{(3-x)^2}=frac{2x(3-x)+(x^2+5)}{(3-x)^2}=\ =frac{6x-2x^2+x^2+5}{(3-x)^2}=frac{-x^2+6x+5}{(3-x)^2}\ f'(x_0)=frac{-2^2+6cdot 2+5}{(3-2)^2}=13 end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=13(x-2)+9=13x-26+9=13x-17 $$

Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin{gather*} 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac{0,4}{2}=-0,2 end{gather*} Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt{0,4^2+(-0,2)^2}=0,2sqrt{2^2+1^2}=frac{sqrt{5}}{5})
Ответ: (frac{sqrt{5}}{5})

Геометрический смысл производной

Если плохо разбираешься в производной, то вот тебе полноценный гид по ней, с текстом, примерами и вебинарами: «Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования»!

Рассмотрим график какой-то функции ( y=fleft( x right)):

Выберем на линии графика некую точку ( A). Пусть ее абсцисса ( {{x}_{0}}), тогда ордината равна ( fleft( {{x}_{0}} right)).

Затем выберем близкую к точке ( A) точку ( B) с абсциссой ( {{x}_{0}}+Delta x); ее ордината – это ( fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)):

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).

Обозначим угол наклона прямой к оси ( Ox) как ( alpha ).

Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Какие значения может принимать угол ( alpha )?

Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – ( 180{}^circ ), а минимально возможный – ( 0{}^circ ).

Значит, ( alpha in left[ 0{}^circ ;180{}^circ right)). Угол ( 180{}^circ ) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с ( 0{}^circ ), а логичнее выбирать меньший угол.

Возьмем на рисунке такую точку ( C), чтобы прямая ( AC) была параллельна оси абсцисс, а ( BC) – ординат:

По рисунку видно, что ( AC=Delta x), а ( BC=Delta f).

Тогда отношение приращений:

Давай теперь уменьшать ( Delta x).

Тогда точка ( B) будет приближаться к точке ( A). Когда ( Delta x) станет бесконечно малым ( left( Delta xto 0 right)), отношение ( frac{Delta f}{Delta x}) станет равно производной функции в точке ( {{x}_{0}}).

Что же при этом станет с секущей?

Точка ( B) будет бесконечно близка к точке ( A), так что их можно будет считать одной и той же точкой.

Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки ( A), но этого достаточно).

Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси ( displaystyle Ox) назовем ( varphi ). Тогда получится, что производная

( {f}’left( {{x}_{0}} right)underset{Delta xto 0}{mathop{=}},frac{Delta f}{Delta x}= {tg}varphi ),

то есть

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

( y=kx+b).

За что отвечает коэффициент ( displaystyle k)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.

Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью ( displaystyle Ox)!

То есть вот что получается:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k).

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?

Посмотрим: Теперь углы ( alpha ) и ( displaystyle varphi ) тупые. А приращение функции ( Delta f) – отрицательное.

Снова рассмотрим ( triangle ABC): ( angle B=180{}^circ -alpha text{ }Rightarrow text{ } {tg}angle B=- {tg}alpha ).

С другой стороны, ( {tg}angle B=frac{AC}{BC}=frac{-Delta f}{Delta x}).

Получаем: ( frac{-Delta f}{Delta x}=- {tg}alpha text{ }Rightarrow text{ }frac{Delta f}{Delta x}= {tg}alpha ), то есть все, как и в прошлый раз.

Снова устремим точку ( displaystyle B) к точке ( displaystyle A), и секущая ( displaystyle AB) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке ( displaystyle A).

Итак, сформулируем окончательно полученное правило:

Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k)

Это и есть геометрический смысл производной.

Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:

На рисунке изображен график функции ( displaystyle y=mathsf{f}left( x right)) и касательная к нему в точке с абсциссой ( {{x}_{0}}).

Найдите значение производной функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}).

Решение.

На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Таким образом, производная функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}) равна ( displaystyle 1,2).

Ответ: ( displaystyle 1,2).

Теперь попробуй сам.

Уравнение касательной к графику функций

А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных.

Предположим, у нас есть какая-то функция, например, ( fleft( x right)=left( {{x}^{2}}+2 right)). Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке ( {{x}_{0}}). Например, в точке ( {{x}_{0}}=2).

Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:

Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости?

Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты ( k) и ( b) в уравнении

( y=kx+b).

Но ведь ( k) мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

( k={f}’left( {{x}_{0}} right)).

В нашем примере будет так:

( {f}’left( x right)={{left( {{x}^{2}}+2 right)}^{prime }}=2x;)

Графически ( b) – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь ( displaystyle x=0) во всех точках оси ( displaystyle Oy)):

Проведём ( BCparallel Ox) (так, что ( triangle ABC) – прямоугольный).

Тогда ( angle ABC=alpha )(тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны ( displaystyle AC) и ( displaystyle BC)?

По рисунку явно видно, что ( BC={{x}_{0}}), а ( AC=fleft( {{x}_{0}} right)-b). Тогда получаем:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}alpha =frac{AC}{BC}=frac{fleft( {{x}_{0}} right)-b}{{{x}_{0}}}text{ }Rightarrow text{ }b=fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right)).

Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

( y=kx+b={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot x+fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right);)

Пример:

Найди уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)={{x}^{2}}-2x+3) в точке ( {{x}_{0}}=3).

Решение:

На этом примере выработаем простой…

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №7. Производная функции — геометрический смысл, дифференцирование

На этом видео мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5. 

Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ. Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.  

Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.

P.S. Не забудьте потом посмотреть родственную тему: «Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций».

Уравнение касательной к графику функции

2 апреля 2011

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x₀ имеет конечную производную f (x₀). Тогда прямая, проходящая через точку (x₀; f (x₀)), имеющая угловой коэффициент f ’(x₀), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x₀ не существует? Возможны два варианта:

1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀)

Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f (x₀) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x₀ = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f(x₀). Точка x₀ = 2 нам дана, а вот значения f (x₀) и f ’(x₀) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x₀) = f (2) = 2³ = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x³)’ = 3x²;
Подставляем в производную x₀ = 2: f ’(x₀) = f ’(2) = 3 · 2² = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x₀ = π/2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x₀) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x₀) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Смотрите также:

1. Правила вычисления производных
2. Вводный урок по вычислению производных степенной функции
3. Что такое логарифм
4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
5. Текстовые задачи про рельсы
6. Задача B4: Семья из трех человек едет из Москвы в Нижний Новгород

Вы уже знаете, какую прямую называют касательной к окружности. А что понимают, например, под касательной к синусоиде? Прямая

Пусть даны график функции  и на ней точка  которая не является концом графика (рис. 60). Обозначим на данном графике по разные стороны от  произвольные точки  Прямые  — секущие. Если же точки  двигаясь по графику, приближать достаточно близко к  как угодно близко будут приближаться к некоторой прямой  Такую прямую  (если она существует) называют касательной к графику функции  в точке 

Если график функции такой, как показано на рисунке 61, то при неограниченном приближении точек  к точке  предельные положения секущих — прямые  — не совпадут. Говорят, что в точке  касательной к графику функции  не существует.

И если  — крайняя точка графика, то касательной к нему в точке  не существует.

Понятие касательной к графику часто используют для исследования функций. Рассмотрим этот вопрос сначала в общем виде.

Касательная — это прямая. Её уравнение имеет вид  где  — угловой коэффициент — тангенс угла между лучом касательной, расположенным выше оси  и положительным направлением этой оси. Обратите внимание на угловой коэффициент  касательной, проведённой к графику какой-либо функции в его точке с абсциссой  Если число  принадлежит промежутку возрастания функции, то соответствующее значение  положительное (рис. 62). Если  принадлежит промежутку убывания функции, то  — отрицательное (рис. 63). И наоборот: если каждому значению  из некоторого промежутка  соответствует положительное значение  то на  данная функция возрастает; если каждому значению  из некоторого промежутка  соответствует отрицательное значение  то на  функция убывает. Заслуживают внимания и те точки графика функции, в которых касательная не существует, и в которых она параллельна оси 

Итак, зная угловые коэффициенты касательных к графику функции в тех или иных точках, можно сделать вывод, возрастает данная функция в этих точках, или убывает.

Поскольку для исследования функций важно уметь определять угловой коэффициент касательной к её графику, то рассмотрим подробнее связь этого коэффициента с исследуемой функцией.

Пусть даны график функции  и на ней точку  в которой существует касательная к графику (рис. 64). Если абсцисса точки  равна  то её ордината —  Дадим значению аргумента  приращение  Тогда значению аргумента  на графике функции соответствует точка  с абсциссой  и ординатой 

Через точки  проведём прямые  параллельные осям абсцисс и ординат. Они пересекутся в некоторой точке  Тогда  — приращение аргумента, а  — приращение функции на 

Угловой коэффициент секущей  равен тангенсу угла  т. е. отношению 

Если  то секущая  поворачиваясь вокруг точки  приближается к касательной, проведённой в точке  к графику данной функции. Итак, если  — угловой коэффициент этой касательной и  то

Так определяется угловой коэффициент касательной к графику функции  в некоторой точке  если касательная в ней не параллельна оси  Если касательная к графику функции в некоторой точке параллельна оси  то угловой коэффициент этой касательной равен нулю.

К вычислению значения выражения   или  приводит решение многих задач по механике, электричеству, биологии, экономике, статистике и т. д. Именно поэтому это выражение получило специальное название — производная.

Производной функции  в точке  называют предел отношения приращения функции в точке  к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, а предел существует.

Производную функции  в точке  обозначают  Её определение записывают также в виде равенства:

Пример:

Найдите производную функции  в точке 

Решение:

Дадим аргументу  приращение  Соответствующее приращение функции 

Тогда  Если 

Следовательно, 

Ответ. 

Так решают задачу, пользуясь определением производной функции в точке.

До сих пор речь шла о производной функции в точке. А можно рассматривать производную функции и как функцию. Пусть, например, дана функция Найдём её производную в произвольной точке  Для этого дадим значению приращение  Соответствующее ему приращение функции

Поэтому  Если 

Имеем 

Следовательно, производная функции  в каждой её точке  равна  Пишут:  или, если 

Обратите внимание! Производная функции в точке — это число. Когда же говорят о производной, не указывая «в точке», подразумевают производную как функцию: производной функции  есть функция  производной функции  есть функция  и т. д.

Зная это, производную функции в точке можно вычислять проще, чем по определению производной функции в точке. Пример 2. Дана функция Найдите  Решение. Производной функции  является функция  Поэтому 

 Нахождение производной называется дифференцированием.  Функция, которая имеет производную в точке  называется дифференцируемой в точке  Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Докажем, например, что линейная функция  дифференцируема в каждой точке  Действительно, приращению  её аргумента  соответствует приращение функции  Поэтому  и если  А это и значит, что в каждой точке  функция  имеет производную

 Пишут

 В частности:

 Производная постоянной равна нулю.

Из курса планиметрии известно, что уравнение прямой, проходящей через заданную точку  имеет вид  где  — угловой коэффициент прямой.

Поскольку для касательной к графику функции  угловой коэффициент равен значению производной в точке касания  то можем записать общий вид уравнения касательной, проведённой к графику функции  в точке касания 

До сих пор речь шла о касательных к криволинейным графикам. Но графиком функции может быть и прямая или часть прямой. Поэтому для обобщения договариваются касательной к прямой в любой её точке считать эту самую прямую. Касательной к отрезку или лучу в любой его внутренней точке считают прямую, которой принадлежит этот отрезок или луч.

Выше было установлено, что производная линейной функции равна коэффициенту при переменной, т.е 

Полученный результат имеет очевидный геометрический смысл: касательная к прямой — графику функции  — есть эта самая прямая, её угловой коэффициент равен 

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найдите угол, который образуете положительным направлением оси касательная к графику функции  в точке 

Решение:

Определим сначала угловой коэффициент этой касательной по формуле  — приращения функции и приращения аргумента соответственно.

Найдем приращение функции  в точке 

Найдём угловой коэффициент касательной:

Поскольку 

Известно также, что  поэтому  отсюда 

Пример:

Докажите, что для функции  производной есть функция 

Решение:

  Если  А это и означает, что производной функции  является функция 

Пример:

Напишите уравнение касательной к графику функции  в его точке с абсциссой 

Решение:

Способ 1. Уравнение касательной имеет вид  Угловой коэффициент  равен значению производной функции  в точке  Значит, уравнение касательной Координаты точки касания  Точка с такими координатами принадлежит касательной, поэтому  отсюда Следовательно, уравнение касательной имеет вид: 

Способ 2. Запишем общий вид уравнения касательной:

Найдём 

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Касательная к графикам функции в точке

Угол наклона прямой линии [y=k x+b] — это угол [a], который берет свой отсчет от положительного направления оси координат ox по направлению к прямой. Угол наклона может иметь значение как со знаком плюс, так и со знаком минус.

На расположенном рис.1 показана прямая и угол наклона относительно оси.

Для каждого угла наклона характерен угловой коэффициент прямой.

Угловой коэффициент равен значению тангенса наклона заданной прямой линии: [k=operatorname{tg} alpha].

Основные значения угла наклона прямой

• Угол наклона прямой линии будет иметь нулевое значение, только в случае, когда параллельна ось Ox, и значение углового коэффициента равняется нулю. Потому что  [operatorname{tg} 0=0]. Следовательно уравнение прямой будет записываться следующим образом: [y=b].
• В случае, когда угол наклона будет острым, то должно выполняться два следующих условия: [0<alpha<frac{pi}{2}] или [0^{circ}<alpha<90^{circ}]. Отсюда следует, что значение углового коэффициента будет являться положительным значением. Потому что значение тангенса удовлетворяет следующему условию, где показатель тангенса больше нулевого значения: [t g>0]. При этом будет наблюдаться возрастание графика функции на протяжении всей координатной прямой.
• При условии, что угол [alpha=frac{pi}{2}], из этого следует, что прямая будет располагаться относительно оси Ox в перпендикулярном положении. Условие задается следующим равенством [x=c]. Где с — это простое действительное число.
• Если угол наклона прямой, является тупым, то будет применяться следующее условие: [frac{pi}{2}<alpha<pi] или [90^{circ}<alpha<180^{circ}] . Для данного случая характерно отрицательное значение углового коэффициента и убывание функции.

На графике показана секущая, которая обозначена красным цветом и точками А и В.

Если угловой коэффициент прямой линии равен тангенсу угла наклона, то используя прямоугольный треугольник можно найти значение тангенса. Сделать это можно вычислением по правилу: тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Чтобы определить значение секущий, нужно использовать следующую формулу:

[k=operatorname{tg} alpha=frac{B C}{A C}=frac{fleft(chi_{B}right)-fleft(chi_{A}right)}{chi_{B}-chi_{A}}], где:

[chi_{B}, chi_{A}] — абсциссы точек А и В;

[fleft(chi_{B}right), fleft(chi_{A}right)] — значения функции, в заданных точках.

Значение секущий определяется, используя следующее неравенство:

[k=frac{fleft(chi_{B}right)-fleft(chi_{A}right)}{chi_{B}-chi_{A}}] либо [k=frac{fleft(chi_{A}right)-fleft(chi_{B}right)}{chi_{A}-chi_{B}}]

Уравнение записывается следующим образом:

[k=frac{fleft(chi_{B}right)-fleft(chi_{A}right)}{chi_{B}-chi_{A}} cdotleft(chi-chi_{A}right)+fleft(chi_{A}right)]

[k=frac{fleft(chi_{A}right)-fleft(chi_{B}right)}{chi_{A}-chi_{B}} cdotleft(chi-chi_{B}right)+fleft(chi_{B}right)]

Пример:

Прямая задана следующей функцией: [y=x+1]. Данная функция считается касательной к графику [y=2 sqrt{x}] с координатными точками (1;2).

Рассмотрим графики со значениями (1;2). Функция обозначается черным цветом, а касательная линия соответственно синим цветом.

Чтобы определить касательную к функции, нужно исследовать поведение касательной АВ. При этом должно быть бесконечное приближение точки В к точке А.

Значение производной функции в точке и ее геометрический смысл

Для заданной функции [f(chi)] рассмотрим секущую АВ. Точки А и В заданы следующими значениями: [left(chi_{0}, fleft(chi_{0}right)right)] и [left(chi_{0}+Delta chi ,left(chi_{0}+Delta chiright)right.].

[Delta chi] — это показатель приращения значения аргумента.

Подставив все значения в исходную функцию получим следующий вид:

[Delta y=Delta f(chi)=fleft(chi_{0}+Delta chiright)-f(Delta chi)].

Для более лучшего восприятия решения, построим график.

Из графика видно, что образуется прямоугольный треугольник ABC. Составим соотношение [frac{Delta y}{Delta x}=operatorname{tg} alpha], для этого необходимо применить основное определение тригонометрической функции, а именно тангенса.

Исходя из основного определения касательной, запишем следующее выражение:

[lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}=operatorname{tg} alpha_{x}]

Используя правило производной, имеем следующее:

• производная [f(x)] в точке [x_{0}] — является пределом отношения приращения функции к аргументу.
• [Delta_{chi} rightarrow 0 text { и } fleft(x_{0}right)=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}].

Следовательно:

[f^{prime}left(x_{0}right)=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}=operatorname{tg} alpha_{x}=k_{z}]

[k_{z}] — это угловой коэффициент касательной функции.

Из данной функции можно сделать следующий вывод:

• функция [f(x)] может находится в точке со значением [x_{0}]
• функция может быть касательной к графику в некой точке касания, где угловой коэффициент равняется производной.

Понятие уравнения касательной прямой

Чтобы составить уравнение прямой, нужно знать угловой коэффициент с заданной точкой. Это точка, через которую проходит прямая. При пересечении угловой коэффициент записывается как значение [x_{0}].

Уравнение касательной записывается следующим образом:

[y=f^{prime}left(x_{0}right) cdotleft(x-x_{0}right)+fleft(x_{0}right)]

График функции [y=f(x)].

Расположение касательной прямой непосредственно зависит от значения углового коэффициента. Если прямая параллельна оси Ox, то значение коэффициента равно нулевому значению. При параллельном расположении относительно оси Oy, коэффициент угловой принимает значение бесконечности. При это уравнение касательной записывается как: [x=x_{0}].Также угловой коэффициент будет возрастать при значении больше нуля, а если коэффициент меньше нуля, то функция соответственно будет убывать.

Касательная линия к окружности

Для того чтобы задать окружность с центром в следующих точках:

[text {(Xcenter;Ycenter)}] и радиусом R, нужно воспользоваться формулой.

[(x-x_{center})^2+(y+y_{center})^2=R^2]

Данное выражение можно представить как две функции:

[y=sqrt{R^{2}-(x-x_{center})^2+y_{center}}] [y=-sqrt{R^{2}-(x-x_{center})^2+y_{center}}]

Из рисунка видно, что первая функция расположена в верхней части координатной плоскости. Вторая функция, соответственно в нижней части.

Чтобы составить уравнение окружности в точке, которая находится в верхней или нижней полуокружности, нужно составить уравнение для графика функции следующего вида:

[y=sqrt{R^{2}-left(x-x_{text {center }}right)^2 +y_{text {center }}}] и [y=-sqrt{R^{2}-left(x-x_{c e n t e r}right)+y_{c e n t e r}}], для конкретной точки.

Если в точках (x_center;y_center +R) и (x_center;y_center -R) касательные к окружности задаются выражением [y=y_{text {center }}+R ] и [y=y_{text {center }}-R], то они будут параллельны оси Oy. Из этого следует следующее уравнение [x=x_{text {center }}+R] и [x=x_{text {center }}-R].

Касательная к геометрической фигуре эллипс

Геометрическая фигура эллипс может быть задана следующей функцией:

[frac{left(x-x_{text {center }}right)^2}{a^{2}}+frac{left(y-y_{text {center }}right)^2}{b^{2}}=1]

Данное уравнение можно применять при следующих условиях:

• эллипс имеет в центре следующие точки: x_center; y_center
• a и b — это значение полуосей.

Используя два вида функций можно обозначить эллипс и окружность:

[y=frac{b}{a} cdot sqrt{a^{2}-left(x-x_{text {center }}right)+y_{text {center }}}]

[y=-frac{b}{a} cdot sqrt{a^{2}-left(x-x_{text {center }}right)+y_{text {center }}}]

Касательная к гиперболе. Основные функции

Чтобы составить уравнение касательной к геометрической фигуре гипербола, нужно применять основной алгоритм решения задач подобного типа.

Для гиперболы будет характерно следующее неравенство:

[frac{left(x-x_{text {center }}right)^2}{a^{2}}+frac{left(y-y_{text {center }}right)^2}{b^{2}}=1]

При этом должны выполняться следующие условия:

• центр в точке x_center;y_cente
• вершины точки (x_center+ [a]; y_center) и (x_center-[a]; y_center)

Если вершины имеют значения: (x_center;y_center+b) и (x_center;y_center-b), то функция задается следующим образом: [frac{left(x-x_{text {center }}right) 2}{a^{2}}+frac{left(y-y_{text {center }}right) ^2}{b^{2}}=-1].

Гиперболу можно определить, используя две пары уравнений, которые записываются в следующем виде:

[y=frac{b}{a} cdot sqrt{left(x-x_{text {center }}right)^2}-a^{2}+y_{text {center }}]

[y=-frac{b}{a} cdot sqrt{left(x-x_{text {center }}right)^2}-a^{2}+y_{text {center }}]

или

[y=frac{b}{a} cdot sqrt{left(x-x_{text {center }}right) ^2+a^{2}}+y_{text {center }}]

[y=-frac{b}{a} cdot sqrt{left(x-x_{text {center }}right)^2}+a^{2}+y_{text {center }}]

Для первых уравнение характерно параллельное расположение касательной относительно оси Oy. Соответственно для второй пары уравнений: параллельное расположение относительно оси Ox.

Касательная к параболе. Основные правила решения

Используя стандартный алгоритм решения, можно составить уравнение касательной к параболе [y=a x^{2}+b x+c] в точках [left(x_{0}, yleft(x_{0}right)right)]. Данное уравнение после преобразования будет иметь следующий вид:
[y=y^{prime}left(x_{0}right) cdotleft(x-x_{0}right)+yleft(x_{0}right)].

Необходимо задать параболу [x=a y^{2}+b y+c] как общая функция двух уравнений. Затем решить уравнение относительно оси Oy.

[x=a y^{2}+b y+c Rightarrow a y^{2}+b y+1-x=0;\D=b^{2}-4 a(c-x)\y=frac{-b+sqrt{b^{2} 4 a(c-x)}}{2 a};\y=frac{-b-sqrt{b^{2} 4 a(c-x)}}{2 a}.]

Чтобы определить принадлежность заданных точек [left(x_{0}, yleft(x_{0}right)right)], необходимо руководствоваться стандартным решением согласно алгоритма. Данная касательная будет иметь параллельное расположение относительно параболы.